2020年四川省绵阳市南山中学高考文科数学四诊试卷及答案解析

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绵阳市南山中学2020届高三数学(文)上学期12月考试卷附答案解析

绵阳市南山中学2020届高三上学期12月考数学（文）试卷一、单选题1．己知集合A ={x|x ≤−1}，B ={x|x >0}，则∁R (A∪B)=()A ．{x|x>−1}B ．{x|x≤0}C ．{x|−1≤x <0}D ．{x|−1<x ≤0}2．直线cos 0x y b α++=的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．22223,4G t m g RP mgv B r==C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ⋃3．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，2:(32)0l m x my -+=，则“1m =”是“12l l //”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．设1a >，则0.2log a ，0.2a ，0.2a 的大小关系是（）．A ．0.20.20.2log aa a <<B ．0.20.2log 0.2aa a <<C ．0.20.2log 0.2aa a<<D ．0.20.20.2log aaa<<6．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-7．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8．已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++有（）A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值52D ．最小值529．已知函数()()(0,0)2f x sin x πωϕωϕ=+><<，12()1,()0f x f x ==，若12min x x -12=，且11()22f =，则()f x 的单调递增区间为（）A ．15[2,2],66k k k Z -++∈B ．51[2,2],66k k k Z -++∈C ．51[2,2],66k k k Z ππ-++∈D ．17[2,2],66k k k Z ++∈10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．3y x=±C ．y x=±D ．2y x=±11．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x <'恒成立，则（）A ．4(1)(2)f f C ．(1)4(2)f f <D ．(1)4(2)f f <'12．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则)()OP PM PO PN +⋅-=（（）A ．20-B ．12C ．-12D ．20二、填空题13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是_______．14．已知点(),Ma b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是________.15．已知函数21,0()31,101x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+-<<⎪+⎩若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________．16．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行车道总宽度AB 为6米，则车辆通过隧道的限制高度是______米（精确到0.1米）三、解答题17．已知函数231()sin 2cos 22f x x x =--．（1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合．（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．18．已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N *∈，且6123112,63S a a a -==.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,n n N b *∈是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.19．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m 为任意实数.（1）求证：直线l 必与圆C 相交；（2）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短？最短弦长是多少？（3）若直线l 被圆C 截得的弦AB 的中点为点M ，求点M 的轨迹方程.20．椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是22，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由21．已知函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈.（1）当1a =时，求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为22212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求实数a 的值.23．已知函数()21f x x =-，x ∈R .(1)解不等式()1f x x <+；(2)若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <.解析绵阳市南山中学2020届高三上学期12月考数学（文）试卷一、单选题1．己知集合A ={x|x ≤−1}，B ={x|x >0}，则∁R (A∪B)=()A ．{x|x>−1}B ．{x|x≤0}C ．{x|−1≤x <0}D ．{x|−1<x ≤0}【答案】D【解析】根据集合的并集和补集点运算，即可求解．【详解】由题意，根据集合的并集，可得A ∪B={x |x ≤−1，或x >0}；∴∁R (A ∪B )={x |−1<x ≤0}．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．直线cos 0x y b α++=的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．22223,4G t m g RP mgv B r ==C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ⋃【答案】D【解析】先求直线的斜率并确定其范围，再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】由题意，直线方程可化为：y=﹣xcosα﹣b ∴直线的斜率为﹣cosα∴cosα∈[﹣1，1]设直线xcosα+y+b=0的倾斜角为β∴tanβ∈[﹣1，1]∴β∈][3044πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，故选：D ．【点睛】本题以直线为载体，考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查三角函数的性质，属于基础题．3．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，2:(32)0l m x my -+=，则“1m =”是“12l l //”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据12// l l ，解出m 后，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当12// l l 时，2(32)0m m --=，解得1m =或2m =；当1m =时，1212:10,:0 ,//l x y l x y l l +-=+=；当2m =时，12:210,:20l x y l x y +-=+=，12// l l ，故“1m =”是“12// l l ”的充分不必要条件.故选：B .【点睛】本题主要考查的是两直线平行及充分条件和必要条件，考查学生的逻辑思维能力，是基础题.4．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】根据题意，建立a与b的关系，即可得到夹角.【详解】因为()a b b -⊥ ，所以()=0a b b -⋅ ，则2=0a b b ⋅- ，则222cos =0b θb - ，所以1cos =2θ，所以夹角为π3故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.5．设1a >，则0.2log a ，0.2a ，0.2a 的大小关系是（）．A ．0.20.20.2log aa a <时，0.20.2log 0,00.21,1aa a <<，因此0.20.2log 0.2a a a <<，故选B.6．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-【答案】D 【解析】分析：设2PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2PF m =，则12122,3c F F m PF m ===，又由椭圆定义可知122(31)a PF PF m =+=+则离心率22312(31)c c m e a a m====-+，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.7．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()42,,Pm m -可得以PC 为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦():221AB m x my -+=，化为()4120x m y x -+-=，由41020x y x -=⎧⎨-=⎩可得结果.【详解】设()42,,,Pm m PA PB - 是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，①又221xy += ，②①-②得():221AB m x my -+=，化为()4120x my x -+-=，由141042012x x y x y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭总满足直线方程，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.8．已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++有（）A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值52D ．最小值52【答案】D【解析】根据等比中项的性质得到5a ，再根据等比数列性质化简151959149a a a a a a ++，根据基本不等式即可得到最值.【详解】数列{}n a 是等比数列，325858a a a a ==-∴，520a ∴=-<，而2153a a a =，2195a a a =，2597a a a =，2375a a a =，370,0a a <<，2222215195935737149149191a a a a a a a a a a a ∴++=++=++222373751966511122a a a a a ⋅+=+=+=≥，当且仅当223719a a =即3723,233a a =-=-等号成立.151959149a a a a a a ++有最小值52.故选：D .【点睛】本题主要考查的是等比中项的性质以及等比数列的性质的应用，考查基本不等式，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，是中档题.9．已知函数()()(0,0)2f x sin x πωϕωϕ=+><<，12()1,()0f x f x ==，若12min x x -12=，且11()22f =，则()f x 的单调递增区间为（）A ．15[2,2],66k k k Z -++∈B ．51[2,2],66k k k Z -++∈C ．51[2,2],66k k k Z ππ-++∈D ．17[2,2],66k k k Z ++∈【答案】B【解析】由已知条件12min12x x -=求出三角函数()f x 的周期，再由1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间【详解】设()f x 的周期为T ，由()11f x =，()20f x =，12min 12x x -=，得122422T T πωπ=⇒=⇒==，由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得11sin 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，又02πϕ<<，∴3πϕ=，()sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．由22232k x k ππππππ-+≤+≤+，得5122,66k x k k Z -+≤≤+∈．∴()f x 的单调递增区间为512,2,66k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．故选B ．【点睛】本题主要考查利用()()sin f x A x ωϕ=+的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．3y x=±C ．y x=±D ．2y x=±【答案】A【解析】作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，可得2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b =，结合双曲线定义可得2b a =从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，∵1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒∴2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b=又点M 在双曲线上，∴1222222a F M F M a b a -=+-=整理，得2b a =，∴2ba=∴双曲线的渐近线方程为2y x =±故选：A 【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.11．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x <'恒成立，则（）A ．4(1)(2)f f C ．(1)4(2)f f <D ．(1)4(2)f f <'【答案】B【解析】试题分析：设函数2()()f x g x x =(0)x >，则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x -='-''=<，所以函数()g x 在(0,)+∞为减函数，所以(1)(2)g g <，即22(1)(2)12f f >，所以4(1)(2)f f >，故选B.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【技巧点睛】对于已知不等式中既有()f x 又有'()f x ，一般不能直接确定'()f x 的正负，即不能确定()f x 的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()xg x e f x =，()()xf xg x e =等等.12．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则)()OP PM PO PN +⋅-=（（）A ．20-B ．12C ．-12D ．20【解析】【详解】分析：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()OP PM PO PN OM NO+⋅-=⋅()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--，由22281608y kxx kx x y-=⎧⇒--=⎨=⎩利用韦达定理求解即可.详解：设()()1122,,,Mx y N x y ，()()OP PM PO PN OM NO∴+⋅-=⋅ ()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--28x y = 的焦点()0,2F ，设过点F 的直线为2y kx -=，22281608y kxx kx x y -=⎧⇒--=⎨=⎩1216x x ⇒=-，128x x k +=，()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2162844k k k =-+⨯+=，()()OP PM PO PN OM NO∴+⋅-=⋅ ()121216412x x y y =--=---=，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.二、填空题13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是_______．【答案】280x y +-=【解析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程.【详解】直线240x y -+=与50x y -+=的交点为()1,6,垂直于直线20x y -=的直线方程可设为20x y m ++=,所以260,8m m ++==-,即280x y +-=.本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是________.【答案】相交【解析】试题分析：点M （a ，b ）在圆22:1O x y +=外221a b ∴+>，圆心到直线的距离2211d r a b=<=+，因此圆与直线相交【考点】点与圆，直线与圆的位置关系15．已知函数21,0()31,101x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+-<<⎪+⎩若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1(,1)2-【解析】先判断分段函数的单调性，再根据单调性解函数不等式2(3)(2)f a f a ->可得.【详解】当()1,0x ∈-时，()311x f x x +=+，则()()()()()22313112011x x f x x x +-+⋅'==>++，故函数在()1,0-上是增函数.再由21x +在[)0,+∞上是增函数，且00121101++≥=+，可得函数在()1,-+∞上是增函数，又由2(3)(2)f a f a ->，得：2321a a ->>-，解得112a -<<，故实数a 的取值范围是1(,1)2-.故答案：1(,1)2-.【点睛】本题主要考查的是函数的单调性的性质，考查学生对分段函数单调性的掌握情况，注意21a >-，这是解题的易错点，是中档题.16．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行车道总宽度AB为6米，则车辆通过隧道的限制高度是______米（精确到0.1米）【答案】3．2【解析】根据题意可以建立适当的平面直角坐标系，从而可以得到抛物线的解析式，然后根据要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到当x=-3时，求出相应的y值，此时汽车的顶部离隧道的顶部距离至少是0.5m，从而可以求得车辆经过隧道时的限制高度是多少米．【详解】取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，c（4，-4），设抛物线方程x2=-2py（p＞0），将点C代入抛物线方程得p=2，∴抛物线方程为x2=-4y，行车道总宽度AB=6m，∴将x=3代入抛物线方程，y=-2.25m，--≈∴限度为6 2.250.5 3.2m则车辆通过隧道的限制高度是3.2米.【点睛】本题主要考查了二次模型的实际应用，解题的关键是理解题意.三、解答题17．已知函数231()sin 2cos 22f x x x =--．（1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合．（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解．（2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值．【详解】解：（1）23131cos 21()sin 2cos sin 2sin(2)1222226x f x x x x x π+=--=--=-- ，∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f （C ）0=，sin(2)106C π∴--=，又0Cπ<< ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=，sin 2sin B A = ，由正弦定理可得：2b a =①，又3c =，∴由余弦定理可得：222(3)2cos 3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．18．已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N*∈，且6123112,63S aa a -==.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,n n N b *∈是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）22n 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入616(1)631a q S q-==-，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得2,1q q ==-或.又由6611631q S a q-=⋅=-，知，所以61126312a -⋅=-，得，所以.（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．（2）通项公式为,{,n n n b n a c n =为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．19．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m 为任意实数.（1）求证：直线l 必与圆C 相交；（2）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短？最短弦长是多少？（3）若直线l 被圆C 截得的弦AB 的中点为点M ，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）34m =-，最短弦长为45（3）224350x y x y +--+=【解析】（1）通过直线l 转化为直线系，求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置故选即可判断直线l 与圆C 相交；（2）说明直线|被圆C 截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l 垂直，求出斜率即可求出m 的值，再由勾股定理即可得到最短弦长；（3）由CM DM ⊥得弦AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】（1）由(21)(1)740,m x m y m m R +++--=∈，得(4)(27)0x y m x y +-++-=，m R ∈ ，40270x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，得3,1x y ==，∴直线l 恒过点()3,1D ，又圆()1,2C ，半径为5，()()22311255CD =-+-=< ，D ∴在圆内，则直线l 必与圆C 相交.（2）由（1）知D 在圆内，当直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短时，⊥l CD ，又211132CD k -==--，则直线l 的斜率为2，即有2121m m +-=+，解得34m =-.此时最短弦长为225545-=.故34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短，最短弦长是45.（3）设(),M x y ，又M 为AB 的中点，CM DM ∴⊥，()()1,2,3,1CM x y DM x y =--=--，可得0CM DM ⋅= .()()()()31120x x y y ∴--+--=，即224350x y x y +--+=.【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决本题的关键，考查转化思想和计算能力，函数与方程的思想的应用，是中档题.20．椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是22，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22142x y +=；（2）见解析.【解析】【详解】（1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ）又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅＝－1于是2222112{2b c a a b c -=-=-=，解得a ＝2，b ＝2所以椭圆E 方程为22142x y +=.（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）联立221{421x y y kx +==+，得（2k 2＋1）x 2＋4kx －2＝0其判别式△＝（4k ）2＋8（2k 2＋1）＞0所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）]＝（1＋λ）（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+＝－所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.21．已知函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈.（1）当1a =时，求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立，求a 的取值范围.【答案】(1)32y =-(2)答案见解析；(3)222(1)e e a e -≤-.【解析】试题分析：()1当1a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出曲线()y f x =在1x =处的切线方程；()2求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调性；()3根据函数的单调性求出函数的最小值，即实数a 的取值范围。

2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷(文科) (含答案解析)

2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3，4}，B={y|y=x2,x∈A}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A. y=x3B. y=lnxC. y=e−xD. y=−1x3.在等差数列{a n}中，若3a2=32，3a12=118，则a4+a10=()A. 45B. 50C. 75D. 604.如图是2017年1−11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是()A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5.设向量a⃗=(−1,4)，b⃗ =(x,8)，若|a⃗·b⃗ |=|a⃗||b⃗ |，则|a⃗−b⃗ |=()A. 5B. √13C. √17D. √1456.函数y=sinx+1的最大值是()A. 1B. 0C. 2D. π27.公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为(参考数据：√3≈1.732，sin15°≈0.2500，sin7.5°≈0.2588)()A. 48B. 36C. 24D. 128.函数f(x)=x3+4x2−5x在区间[−1,1]上()A. 有3个零点B. 有2个零点C. 有1个零点D. 没有零点9.在等比数列{a n}中，已知前n项和S n=5n+1+a，则a的值为()A. −1B. 1C. 5D. −510.在区间(0,3)上任取一个实数x，则2x<2的概率是()A. 23B. 12C. 13D. 1411.若直线ax+by+c=0与抛物线y2=2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为()A. 4cx−2by+a=0B. ax−2by+4c=0C. 4cx+2by+a=0D. ax+2by+4c=012.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，动点E，F在棱D′C′上．点G是AB的中点，动点P在棱A′A上，若EF=1，D′E=m，AP=n，则三棱锥P−EFG的体积()A. 与m，n都有关B. 与m，n都无关C. 与m有关，与n无关D. 与n有关，与m无关二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数1+2i1−i的值是______ ．14.某几何体三视图如图所示(正方形边长为2)，则该几何体的体积为______ ．15. 设x,y 满足约束条件{x −2y +4⩾03x −y −3⩽0x ⩾0,y ⩾0，若目标函数z =mx +ny(m >0,n >0)的最大值为3，则3m +2n 的最小值为_____. 16. 己知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的离心率为√52，F 1，F 2时双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B(0,b)，点P 在线段AB 上，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元) 8 8.28.48.68.89 销量y(件)908483807568(Ⅰ)求回归直线方程y ̂=bx +a ，其中b =−20，a =ŷ−bx ； (Ⅱ)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(I)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入−成本),−sinx)，n⃗=(1,sinx+√3cosx)，x∈R，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(32(I)求f(x)的最小正周期及值域；(2)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f(A)=0，a=√3，bc=2，求△ABC的周长．19.在如图所示的多面体EF−ABCD中，AB//CD//EF，EF⊥平面ADE，BE⊥DE．(1)求证：AE⊥平面EFCD；(2)若EF=2，AE=DE=1，求三棱锥F−BCE的体积．20.已知函数f(x)=alnx+x2−1．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−(a+2)(x−1)，若a=4时，方程g(x)=b(b∈R)恰有3个实数根，求b的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为2时，坐标原点O 到l 的距离为√55．(1)求a 、b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立？若存在，求出所有的点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l ：y =√3x(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为为参数)，曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为．(1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求|MN|的值．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|．(1)若不等式f(x)≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)−|x+2||>3的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出集合B，由此能求出交集A∩B.解：由题意得到B={y|y=x2,x∈A}={1,0,4,9,16}，所以A∩B={0,1，4}；故选B．2.答案：A解析：本题考查了基本初等函数的定义域和单调性问题，解题时应对选项中的函数进行分析，从而选出正确的答案，是基础题．根据题意，对选项中的函数进行认真分析，选出符合条件的答案来．解：对于A，定义域为R，且为增函数，符合，对于B，定义域为(0,+∞)，故不符合．对于C，y=e−x为减函数，故不符合，对于D，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故D不符合，故选A．3.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中3a2=32，3a12=118，∴由等差数列的性质可得a4+a10=a2+a12=323+1183=50故选：B由已知数据可得a2和a12，由等差数列的性质可得a4+a10=a2+a12，代入计算可得．本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．4.答案：D解析：本题考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．由2017年1−11月汽油、柴油价格走势图，得4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时柴油的价格下跌可得D错误，结合走势图可知A、B、C正确，故可得结果．解：由2017年1−11月汽油、柴油价格走势图，得：在A中，从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大，故A正确；在B中，从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快，故B正确；在C中，92#汽油与95#汽油价格成正相关，故C正确；在D中，4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时柴油的价格下跌，故D错误．故选D．5.答案：C解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，属于基础题．根据题意，可得|−x+32|=√17·√x2+64，解得x=−2，则a⃗−b⃗ =(1,−4)，则|a⃗−b⃗ |=√1+16=√17．解：∵a⃗=(−1,4),b⃗ =(x,8)，∴a⃗·b⃗ =−x+32，|a⃗|=√1+16=√17，|b⃗ |=√x2+64，∵|a⃗·b⃗ |=|a⃗||b⃗ |，∴|−x+32|=√17·√x2+64，解得x=−2，∴b⃗ =(−2,8)，∴a⃗−b⃗ =(1,−4)，∴|a⃗−b⃗ |=√1+16=√17．故选C．6.答案：C解析：解：由正弦函数的性质可知：−1≤sinx≤1，∴0≤sinx+1≤2，∴函数y=sinx+1的最大值2，故选C．根据正弦函数的性质求得：−1≤sinx≤1，则0≤sinx+1≤2，即可求得函数y=sinx+1的最大值．本题考查了正弦函数的值域，属于基础题．7.答案：C解析：列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=3√3，2不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．8.答案：B解析：解：∵f(0)=0，f(1)=1+4−5=0，∴0和1是函数的两个零点，∵f(−1)=−1+4+5=8>0，当x→−∞时，f(x)<0，∴在(−∞,−1)内函数f(x)也存在一个零点，∵f(x)最多有三个零点，∴f(x)=x3+4x2−5x在区间[−1,1]上有2个零点，故选：B根据三次函数的图象，结合函数零点的定义，即可得到结论．本题主要考查函数零点个数的判断，利用三次函数的图象和性质是解决本题的关键．9.答案：D解析：本题考查数列的递推关系以及等比数列的性质，根据数列的递推关系，可求出a n =4·5n 则a 2=100，a 3=500.又a 1，a 2，a 3成等比数列，根据等比数列的性质求出a 的值．解：当n =1时，a 1=S 1=52+a ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(5n+1+a)−(5n +a)=4·5n ，则a 2=100，a 3=500．又a 1，a 2，a 3成等比数列，则a 22=a 1a 3，即1002=(25+a)·500，解得a =−5，故选D ．10.答案：C解析：解：由已知区间(0,3)上任取一个实数x ，对应集合的区间长度为3，而满足2x <2的x <1，对应区间长度为1，所以所求概率是13；故选：C ．本题属于几何概型，利用变量对应的区间长度的比求概率即可．本题考查了一个变量的几何概型的概率计算；关键是求出变量对应区间长度，利用区间长度的比求概率．11.答案：A解析：解：设P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，N(x 3,y 3)，由PM 过焦点F ，得y 1y 2=−1，x 1x 2=14，则有P(14x 2,−1y 2)，同理Q(14x 3,−1y 3)，将P 点代入直线方程ax +by +c =0，有a ⋅14x 2+b(−1y 2)+c =0，两边乘以4x 2，得a −4bx 2y 2+4x 2c =0，又y 22=2x 2，∴y 2=2x 2y 2，∴a −2by 2+4cx 2=0，同理a −2by 3+4cx 3=0故所求直线为a−2by+4cx=0．故选：A．设P(x1,y1)，M(x2,y2)，N(x3,y3)，确定P，Q的坐标，代入直线方程ax+by+c=0，即可求出直线MN的方程．本题考查抛物线的性质，考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，确定P，Q的坐标是关键．12.答案：D解析：[本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．求出△EFG的面积和P到平面EFG的距离，代入棱锥的体积公式计算．解：连结AD′，A′D，则AD′=2√2，A′D⊥平面ABC′D′，∴AA′与平面ABC′D′所成的角为∠A′AD′=45°，∴P到平面ABC′D′的距离d=AP⋅sin45°=√2n2，∵S△EFG=12×EF×AD1=√2，∴三棱锥P−EFG的体积V=13⋅S△EFG⋅d=n3．故选D．13.答案：−12+32i解析：解：复数1+2i1−i =(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i2=−12+32i故答案为：−12+32i．复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化为a+bi(a、b∈R)的形式即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．14.答案：8−π解析：解：由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，∴几何体的体积为23−12⋅π⋅12⋅2=8−π，故答案为：8−π．由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，即可求出几何体的体积．本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，比较基础．15.答案：8解析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．可以作出不等式的平面区域，推出2m+3n=3，求3m +2n的最小值，先用乘积进而用基本不等式解答．解：不等式组{x−2y+4⩾03x−y−3⩽0x⩾0,y⩾0表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线z=mx+ny(m>0,n>0)过直线x−2y+4=0与直线3x−y−3=0的交点(2,3)时，目标函数z=mx+ny(m>0,n>0)取得最大3，即2m+3n=3，而3m +2n=13(3m+2n)(2m+3n)=13(12+9nm+4mn)≥13(12+12)=8，当且仅当9nm =4mn时，等号成立，故3m +2n的最小值为8．故答案为8．16.答案：−215解析：解：双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的离心率为√52，A 为左顶点、可得a =2，则c =√5，b =√c 2−a 2=1，设P(x,y)则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√5−x,−y)(√5−x,−y)=x 2+y 2−5，显然，当OP ⊥AB 时，x 2+y 2取得最小值，由面积法易得(x 2+y 2)min =45，故点P 在线段AB 上，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为：45−5=−215．故答案为：−215．设P(x,y)推出PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√5−x,−y)(√5−x,−y)=x 2+y 2−5，通过垂直整合求解最小值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．17.答案：解：(I)x =8+8.2+8.4+8.6+8.8+96=8.5，y =16(90+84+83+80+75+68)=80 ∵b =−20，a =y −bx ，∴a =80+20×8.5=250∴回归直线方程ŷ=−20x +250； (II)设工厂获得的利润为L 元，则L =x(−20x +250)−4(−20x +250)=−20(x −334)2+361.25∴该产品的单价应定为334元，工厂获得的利润最大．解析：(I)计算平均数，利用b =−20，a =ŷ−bx ，即可求得回归直线方程； (II)设工厂获得的利润为L 元，利用利润=销售收入−成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．18.答案：解：(1)∵向量m ⃗⃗⃗ =(32,−sinx)，n ⃗ =(1,sinx +√3cosx)，x ∈R ， ∴f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =32−sinx(sinx +√3cosx)=32−sin 2x −√3sinxcosx=32−12(1−cos2x)−√32sin2x =1+12cos2x −√32sin2x =1+cos(2x +π3)，故函数的值域为[0,2]，周期为T=2π2=π；(2)∵在△ABC中f(A)=1+cos(2A+π3)=0，∴cos(2A+π3)=−1，即2A+π3=π，解得A=π3，又a=√3，bc=2，∴3=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−6，解得b+c=3，∴△ABC的周长为a+b+c=3+√3．解析：(1)由向量和三角函数化简可得f(x)=1+cos(2x+π3)，可得值域和周期；(2)由(1)的结果和三角形的值易得A=π3，由余弦定理整体可得b+c的值，可得三角形周长．本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的数量积和余弦定理解三角形，属中档题．19.答案：(1)证明：∵多面体EF−ABCD中，AB//CD//EF，EF⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，∴EF⊥DE，EF⊥AE，∵BE⊥DE，EF∩BE=E，EF、BE⊂平面ABFE，∴DE⊥ABFE，又AE⊂平面ABFE，∴DE⊥AE，∵EF∩DE=E，EF、DE⊂平面EFCD，∴AE⊥平面EFCD；解：(2)∵EF⊥平面ADE，AE⊥平面EFCD，EF=2，AE=DE=1，∴三棱锥F−BCE的体积：V F−BCE=V B−CEF=13×AE×S△CEF=13×1×12×2×1=13．解析：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．(1)推导出EF⊥DE，EF⊥AE，BE⊥DE，从而DE⊥ABFE，进而DE⊥AE，由此能证明AE⊥平面EFCD；(2)三棱锥F−BCE的体积：V F−BCE=V B−CEF=13×AE×S△CEF，由此能求出结果．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=alnx+x2−1的导数为f′(x)=ax+2x，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=a+2，切点为(1,0)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=(a+2)(x−1)，即为(a+2)x−y−a−2=0;(Ⅱ)g(x)=f(x)−(a+2)(x−1)=4lnx+x2−1−6(x−1)，x>0g′(x)=4x +2x−6=2(x2−3x+2)x=2(x−1)(x−2)x，令g′(x)=0，解得x=1或x=2，当0<x<1，或x>2时，g′(x)>0，g(x)递增；当1<x<2时，g′(x)<0，g(x)递减．即有x=1处g(x)取得极大值，且为0，x=2处g(x)取得极小值，且为4ln2−3，方程g(x)=b(b∈R)恰有3个实数根，即为：4ln2−3<b<0，则b的取值范围是(4ln2−3,0)．解析：(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；(Ⅱ)求得g(x)的导数，求得g(x)的单调区间，得到极小值和极大值，由题意可得b介于极小值和极大值之间．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查函数方程的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)设F(c,0)，直线l的方程为y=2(x−c)，∵坐标原点O到l的距离为√55，∴√1+4=√55，∴c=12，∵e =c a =√33， ∴a =√32， ∴b 2=a 2−c 2=12，即b =√22； (2)由(1)知椭圆的方程为x 234+y 212=1，即x 23+y 22=14，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l ：x =ty +12，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立{4x 23+2y 2=1x =ty +12整理得(2t 2+3)y 2+2ty −1=0，Δ=12t 2+12>0．由韦达定理有：y 1+y 2=−2t 2t 2+3，∴x 1+x 2=t(y 1+y 2)+1=32t 2+3，∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P(32t 2+3,−2t 2t 2+3) ∵P 在椭圆上，∴代入椭圆方程得3(2t 2+3)2+2t 2(2t 2+3)2=14，整理得4t 4+4t 2−3=0⇒t 2=12，∴P(34,√24)或P(34,−√24)，此时l AB :x =√22y +12或x =−√22y +12，即：2x −√2y −1=0或2x +√2y −1=0.解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设F(c,0)，则直线l 的方程为y =2(x −c)，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b ．(2)把l ：x =ty +12代入椭圆方程，由韦达定理可求得y 1+y 2和x 1+x 2的表达式，可得点P 的坐标，代入椭圆方程，即可解决．22.答案：解：(1)射线l ：y = √3x(x ≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C 1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x 29 + y 24 =1，所以曲线C 1的普通方程为x 29 + y 24 =1； (2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4，所以x 2+y 2−4y =0，因为x 2+y 2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C 2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，所以由f(x)≤|a +1|恒成立得|a +1|≥3，即a +1≥3或a +1≤−3，解得a ≥2或a ≤−4；(2)不等式||x −1|−2|x +2||>3，等价于|x −1|−2|x +2|>3或|x −1|−2|x +2|<−3，设g(x)=|x −1|−2|x +2|={−x −5,x ≥1−3x −3,−2≤x <1x +5,x <−2，画出g(x)的图象如图所示：由图可知，不等式的解集为{x|x<−8或x>0}．解析：(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，再求关于a的绝对值不等式即可；(2)由题意画出函数g(x)=|x−1|−2|x+2|的图象，结合图象求出对应不等式的解集．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2020年5月2020届四川省绵阳南山中学2017级高三下学期四诊模拟考试数学(文)试卷参考答案

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2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷(文科)

2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|1x B x e =…，}x R ∈，则(A B =I ) A ．{0，1，2} B ．{1，2} C ．{1}- D ．{2}2．（5分）下列函数中，定义域为R ，且在区间(0,)+∞上单调递增的是( )A ．y lnx =B ．y x =C ．sin y x =D ．1x y e -=3．（5分）等差数列{}n a 中，33a =，57a =，则7(a = )A ．5B ．9C ．11D ．134．（5分）5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是( )A ．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B ．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C ．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D ．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量5．（5分）在平面内,3),(3,1)AB AC ==-u u u r u u u r ，则||(BC =u u u u u r )A ．23B ．22C ．2D 36．（5分）函数sin(1)y x =-的图象( )A ．关于点(1,0)对称B ．关于直线1x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称7．（5分）公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣”．如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n 的值为( ) （参考数据：3 1.73≈，tan 0.2712π≈，tan 0.13)24π≈A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）方程32291210x x x -++=的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和21n n S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是( )A ．p l =-B ．01p <<C ．2p =-D ．1p >10．（5分）在区间[1-，1]上任取一个数k ，使直线(2)y k x =-与曲线21y x =-率为( ) A ．13 B 3 C ．16 D 3 11．（5分）直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，P 是MN 的中点，若点P 的纵坐标是1，则线段FP 的长为( ) A 25 B 5 C 5 D 35 12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是线段AB 、1BD 上的动点，若//EF 平面11ADD A ，则三棱锥1A EFB -的最大体积为( ) A 3 B ．112 C ．124 D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）复数2 1ii=-．14．（5分）某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为2，则该模具的体积为．15．（5分）实数x，y满足约束条件20,10,0,x yx yy-⎧⎪--⎨⎪⎩…„…若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为4，则ab的最大值为．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左右焦点为1(2,0)F-，2(2,0)F，点P是双曲线上任意一点，若12PF PFu u u r u u u u rg的最小值是2-，则双曲线C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x（元/件）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程ˆˆˆy bx a=+，其中121()()ˆ()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆˆ)a y bx=-18．（12分）已知向量(sin 2x a =r ，3)-，(cos 2x b =r ，2cos )2x ，()f x a b =r r g ．（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （A ）3=-，2b =，且ABC ∆的面积为23，求a ．19．（12分）在几何体EFG ABCD -中，如图，四边形ABCD 为平行四边形，////AF BG DE ，平面//EFG 平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2AF AB AD ==，EF EG ⊥．（1）若三棱锥G DEF -的体积为1，求AD ；（2）求证：CE AD ⊥．20．（12分）已知函数()()x f x e alnx a R =+∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程；（2）设0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，若0e a -<<，求证：00()x f x e >．21．（12分）已知椭圆22:12x C y +=，直线:l y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求AOB ∆的面积；（2）若(0)OM tOB t =>u u u u r u u u r ，试问椭圆C 上是否存在点P ，使得四边形OAPM 为平行四边形？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,(3sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为23ρθ=-．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；。

2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷(文科)(含答案解析)

2020年四川省绵阳市高考数学四诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，，，则A. 1，B.C.D.2.下列函数中，定义域为R，且在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.等差数列中，，，则A. 5B. 9C. 11D. 134.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量5.在平面内，则A. B. C. 2 D.6.函数的图象A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于x轴对称D. 关于y轴对称7.公元263年，数学家刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣”如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n的值为参考数据：，，A. 6B. 12C. 24D. 488.方程的实根个数是A. 0B. 1C. 2D. 39.已知数列的前n项和，则为等比数列的充要条件是A. B. C. D.10.在区间上任取一个数k，使直线与曲线相交的概率为A. B. C. D.11.直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，P是MN的中点，若点P的纵坐标是1，则线段FP的长为A. B. C. D.12.已知正方体的棱长为1，E、F分别是线段AB、上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数______．14.某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为2，则该模具的体积为______．15.实数x，y满足约束条件若目标函数的最大值为4，则ab的最大值为______．16.已知双曲线C：的左右焦点为，，点P是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价元89件销量万件908483807568根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；若该产品成本是4元件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？参考公式：回归方程，其中，18.已知向量，，．求的最小正周期和最大值；在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，求a．19.在几何体中，如图，四边形ABCD为平行四边形，，平面平面ABCD，平面ABCD，，．若三棱锥的体积为1，求AD；求证：．20.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；设是的导函数的零点，若，求证：．21.已知椭圆C：，直线l：交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．若直线l过椭圆C的右焦点F，求的面积；若，试问椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPM为平行四边形？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的直角坐标方程；设曲线与交于A，B两点，若，求的取值范围．23.已知函数．若不等式的解集为，求实数a的值；在的条件下，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合0，1，，，1，．故选：A．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，是对数函数，其定义域为，不符合题意；对于B，，其定义域为，不符合题意；对于C，，其定义域为R，在区间上不是单调函数，不符合题意；对于D，，其定义域为R，且在区间上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的定义域、单调性的分析判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．3.答案：C解析：解：等差数列中，，，则，故选：C．根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的性质，属于基础题．4.答案：D解析：解：对于A，由柱状图可得五月出货量最高，故A正确；对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；对于C，根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年，且明显总出货量低于2018年，故C正确；对于D，可计算的2018年12月出货量为，8月出货量为，故12月更高，故D错误，故选：D．根据图象逐一分析即可本题考查学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，，则，则；故选：B．根据题意，由向量的坐标计算公式可得，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量模的计算以及向量的坐标计算，注意向量的坐标计算公式，属于基础题．6.答案：A解析：解：，对于A，由于，可得函数的图象关于点对称，故A 正确；对于B，由于，可得函数的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，由于，可得函数的图象不关于x轴对称，故C错误；对于D，由正弦函数的图象和性质可求错误．故选：A．由已知利用正弦函数的图象和性质即可逐项判断求解．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．7.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得：，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.答案：B解析：解：令，则，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，当时函数取得极小值，又时，，时，，故函数与x轴只有一个交点．故选：B．先令，然后结合导数分析函数的特征，即可求解．本题主要考查了利用导数研究函数的零点个数，属于中档试题．9.答案：A解析：解：，当时，，当时，，为等比数列，，，故选：A．根据数列的递推公式和充要条件即可求出．本题考查了等比数列的通项公式和充要条件，属于基础题．10.答案：D解析：解：曲线即为圆的上半圆，圆心为，圆心到直线的距离为；要使直线与圆有公共点，则，解得；由图可得：，在区间上随机取一个数k，使直线与曲线有公共点的概率为．故选：D．求出圆心到直线的距离，根据直线与圆有两个不同的公共点列不等式求出k的取值范围，再计算所求的概率．本题考查了几何概型的概率以及直线与圆相交的性质问题，解题的关键弄清概率类型，是基础题．11.答案：C解析：【分析】设点，，利用点差法求出点的坐标之间的关系，求出点P的坐标即可解决问题．本题主要考查点差法及斜率公式、两点间的公式，属于基础题．【解答】解：设点，，由题意知：，由得：，又由题知直线l的斜率存在，设为k，则，是MN的中点，且点P的纵坐标是1，．又，设，则，解得，．故选：C．12.答案：C解析：解：如图，由底面ABCD，可得平面底面ABCD，在平面内过F作于G，则底面ABCD，可得，平面，又平面，且，平面平面，可得，则平面，又，且平面，可得平面，则F到平面的距离等于G到平面的距离．设，则F到平面的距离等于G到平面的距离为x，则，．当时，．故选：C．由题意画出图形，在平面内过F作于G，证明平面，平面，得F到平面的距离等于G到平面的距离．设，则F到平面的距离等于G到平面的距离为x，利用等体积法写出三棱锥的体积，再由二次函数求最值．本题考查多面体体积最大值的求法，考查化归与转化思想方法，训练了利用二次函数求最值，是中档题．13.答案：解析：解：复数故答案为：．复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化简为的形式．本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．14.答案：解析：解：该模具的表面积可分为两部分：去掉一个圆的长方体的体积和半球的体积，，．则该模具的体积为：．故答案为：．该模具的表面积可分为两部分：去掉一个圆的长方体的体积和半球的体积的差，即可求出该模具的体积．由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．15.答案：2解析：解：作出不等式对应的平面区域，由得，则目标函数对应直线的斜率，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，此时z的最大值为，当且仅当，时取等号．，．故答案为：2．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得ab的最大值．本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．16.答案：解析：解：设，则，，，，的最小值是，，解得，又，离心率．故答案为：．设点，写出的表达式，由其最小值解出a，再由求出离心率．本题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题．17.答案：解：，．，．，．关于x的线性回归方程为；设工厂获得的利润为L万元．则．预测把单价定为元时，工厂获得最大利润，最大利润为万元．解析：由已知求得与的值，可得线性回归方程；设工厂获得的利润为L万元，则，展开后利用配方法求最值．本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，训练了利用配方法求最值，考查计算能力，是中档题．18.答案：解：向量，，所以；所以的最小正周期为，当，即，时，取得最大值为；中，由，即，所以，解得；又，的面积为，解得；由余弦定理得，，解得．解析：计算平面向量的数量积并化简，求出的最小正周期和最大值为；由题意求出A的值，再利用三角形的面积和余弦定理，求得a的值．本题考查了三角函数的求值问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．19.答案：解：，，DE确定平面ADEF，AF、BG确定平面ABGF，平面平面ABCD，平面平面，平面平面，，同理，，四边形ADEF和ABGF为平行四边形，四边形ABCD为平行四边形，，，四边形CDFG是平行四边形，平面ABCD，平面EFG，又平面EFG，，又，且，平面EFD，设，有中，，．．证明：由得平面EFD，平面EFD，，又四边形CDFG为平行四边形，，，，由，平面EGC，平面EGC，平面EGC，又平面EGC，．解析：推导出，，从而四边形ADEF和ABGF为平行四边形，推导出四边形CDFG是平行四边形，平面EFG，，再由，得平面EFD，由此能赤求出AD，由平面EFD，得，由四边形CDFG为平行四边形，得，由，得，推导出平面EGC，由此能证明．本题考查线段长的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：当时，，，故所求切线方程为：，即．证明：由题意：，是的零点，，，，结合可知，令，，显然在上递增，且．，因此，．解析：求出的导数，然后求出，，利用直线方程的点斜式写出切线方程；求出零点满足的等量关系、零点满足的范围，然后研究的单调性、最值即可．本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的零点问题，同时考查学生运用转化思想、函数与方程思想解题的意识与运算能力、逻辑推理能力等核心素养．属于中档题．21.答案：解由题意的方程可得右焦点，因为直线l过椭圆C的右焦点F，所以，即，所以直线l的方程为：，设，，联立直线与椭圆的方程可得，整理可得，解得或，所以；联立直线与椭圆的方程：，整理可得，，可得，且，，，因为四边形OAPM为平行四边形，所以，且，，，所以，所以，由P在椭圆上，所以，整理可得，将上面的代入可得，即，因为，，所以可得，所以t的取值范围．解析：由题意的方程可得右焦点F的坐标，进而可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程可得求出A，B的坐标进而求出三角形AOB的面积；因为四边形OAPM为平行四边形，所以，且，，，所以可得P的坐标，将直线l的方程与椭圆联立可得两根之和及两根之积及判别式大于0，将P的坐标代入椭圆的方程可得t的取值范围．本题考查求面积公式及直线与椭圆的综合，和四边形为平行四边形的性质，属于中档题．22.答案：解：曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．将曲线的参数方程为代入，得到：，所以，，所以，由于，解得，所以，所以，故的取值范围为．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数，则不等式可化为，即；解得，即；又不等式的解集为，令，解得；不等式恒成立，即恒成立，所以恒成立；又，所以不等式恒成立化为，解得，即实数m的取值范围是．解析：不等式可化为，求出不等式的解集，再根据题意列方程求出a的值；不等式恒成立，等价于恒成立；利用绝对值不等式求出的最小值，把问题化为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．。

四川省绵阳市2020届高三年级高考适应性考试(四诊)文科数学试题与答案

秘密★启用前【考试时间:2020年5月21日15:00——17：00】绵阳市高中2017级高考适应性考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A {1,0,1,2,{|},}1,x B x e x R =≥∈-=则A∩B=.0,1,2}{A .{1,2}.{1}.{2}B C D -2.下列函数中,定义域为R ,且在区间(0,+∞)上单调递增的是1.ln ..sin .x A y xB y y xD y e -====3.等差数列{a n }中35,3,7,a α==则a 7=A.5B.9C.11D.134.5G 时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如下统计图:根据该统计图,下列说法错误的是A.2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量5.在平面内((),,,AB AC ==u u u r u u u r 则BC u u u u r =.2?A D 6.函数()sin 1y x =-的图象A.关于点(1,0)对称B.关于直线1x =对称C.关于x 轴对称 D .关于y 轴对称7.公元263年,数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”, 提出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则圆周合体而无所失矣”.右图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图,则其输出的n 的值为(参考数据: 1.73,,tan0.27,tan 0.13)1224ππ≈≈≈A.6B.12C.24D.48 8.方程2x 3-9x 2+12x+1=0的实根个数是A.0B.1C.2D.39.已知数列{a n }的前n 项和,21n n S p =⨯+则{a n }为等比数列的充要条件是A.0<p<1B.p=-1C.p=-2D.p>110.在区间[-1,1]上任取一个数k,使直线(2)y k x =-与曲线y =为A.13B.3C.16D.611.直线l 过抛物线C:y 2-4x 的焦点F,且与抛物线C 交于M,N 两点,P 是MN 的中点,若点P 的纵坐标是1,则线段FP 的长为..5522A B D 12.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 分别是线段AB 、BD 1上的动点,若EF ∥平面ADD 1A 1,则三棱锥A —EFB 1的最大体积为111 (12248)A B C D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.复数21i i-= ▲ 14.某工件模具的三视图如右图所示,已知俯视图中正方形的边长为2,则该模具的体积为 ▲15.实数x,y 满足约束条件020,10,,x x y y y ⎧⎪⎨⎪≥-≥--⎩≤若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为4,则ab 的最大值为 ▲16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为()()212,0,2,0,F F -点P 是双曲线上任意一点,若12·PF PF u u u r u u u u r 的最小值是-2,则双曲线C 的离心率为 ▲三、解答题:共70分。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷(文科) (含答案解析)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x<0}，，则A∩B=()A. (2,+∞)B. (2,3)C. (3,+∞)D. (−∞,2)2.若复数z满足z−izi=1，其中i是虚数单位，则z−=()A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、极差分别是()A. 47，55B. 46，55C. 47，56D. 46，564.从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为()A. 15B. 12C. 35D. 455.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节(自上而下)的容积为()A. 1升B. 升C. 升D. 升6.设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若α⊥β，l//α，则l⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l//βD. 若l//α，l⊥β，则α⊥β7.执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=()A. 5B. 6C. 7D. 8 8. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则ω的取值范围是( ) A. [12,34] B. [12,54] C. (0,12] D. (0,2]9. 已知抛物线C ：y 2=8x 焦点为F ，点P 是C 上一点，若△POF 的面积为2，则|PF|=( )A. 52B. 3C. 72D. 410. 从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…x n ，y 1，..，y n 构成n 个数对(x 1,y 1)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )A. m nB. 4m nC. n−m nD. 4(n−m)n 11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，点P(x 0,y 0)是直线bx −ay +2a =0上任意一点，若圆(x −x 0)2+(y −y 0)2=1与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为( )A. (1,2]B. (1,√2)C. (2,+∞)D. [√2,+∞)12. 设f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数，f′(x)为其导函数，已知f(1−2x)=f(2x −1)，f(−2)=0，当x >0时，−xf′(x)<f(x)，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A. (−2,0)∪(0,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−∞,−2)∪(0,2)D. (0,2)∪(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知cosα=√210，α∈(−π,0)，则cos (α−π4)=_______．15.若实数x，y满足{x+y−1≥0y−x−1≤0x≤1，则z=2x+3y的最大值为________．16.已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，E是棱AD上的任意一点，F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥BECF的体积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，2B=A+C，且c=2a．(1)求角A，B，C的大小；(2)设数列{a n}满足a n=2n|cos nC|，前n项和为S n，若S n=20，求n的值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB//DC，CD=8，BA=4，AC与BD交于O，点E为PC上一点，且PE=12EC．(Ⅰ)证明：OE//平面PAD；(Ⅱ)若直线PB与底面ABCD所成的角为45°，且AC⊥BD，求四棱锥P−ABCD的体积．19.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x(万元)与销售收入y(万元)进行了统计，得到相应数据如表：广告投入x(万元)91081112销售收入y(万元)2123212025(1)求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程ŷ=b̂x+â．(2)若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少．参考公式：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(x−x)2n,â=y−b̂·x20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F(c,0)，直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2√2c时，△AFD是等腰三角形．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21.已知函数f(x)=lnx+a(x2−1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=e−1，x∈[1,+∞)时，证明：f(x)⩽(x−1)e x．222.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．(1)当θ0=π时，求ρ0及l的极坐标方程；3(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．23.已知不等式|x|+|x−2|<x+5的解集为(m,n)．(1)求m，n的值；(2)若x>0，y>0，nx+y+m=0，求√1x +1y的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，B={x|y=ln(x−2)}={x|x>2}，∴A∩B={x|2<x<3}=(2,3)，故选：B．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．解：由z−izi=1，得z−i=zi，∴z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴z−=−12−12i．故选：D．3.答案：D解析：解：根据茎叶图中的数据知，该样本数据的中位数为12×(45+47)=46，极差为68−12=56．故选：D．根据茎叶图中的数据，计算该样本数据的中位数和极差的大小．本题考查了利用茎叶图计算数据的中位数和极差的应用问题，是基础题．4.答案：C解析：解：从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，基本事件总数n =C 63=20，所选3人中恰有1名女生包含的基本事件个数m =C 42C 21=12，则所选3人中恰有1名女生的概率为p =m n =1220=35．故选：C ．基本事件总数n =C 63=20，所选3人中恰有1名女生包含的基本事件个数m =C 42C 21=12，由此能求出所选3人中恰有1名女生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.答案：D解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．由题意可得等差数列的首项和公差，由通项公式可得．解：由题意可得每节的容积自上而下构成9项等差数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=3，a 9+a 8+a 7=4，设公差为d ，则a 1+a 2+a 3+a 4=4a 1+6d =3，a 9+a 8+a 7=3a 1+21d =4，两式联立可得a 1=1322，d =766，∴第6节的容积a 5=a 1+5d =3733．故选D ． 6.答案：D解析：解：由l 是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：在A 中：若l//α，l//β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中：若α⊥β，l//α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故B 错误；在C 中：若α⊥β，l ⊥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故C 错误；在D 中：若l//α，l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确．故选：D ．。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷(文科)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−3x <0}，B ={x|y =ln(x −2)}，则A ∩B =( )A. (2,+∞)B. (2,3)C. (3,+∞)D. (−∞,2) 2. 定义运算∣∣∣a b cd ∣∣∣=ad −bc ，若复数z 满足∣∣∣z −i 1−i −2i ∣∣∣=0(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是( ) A. 46，45 B. 45，46 C. 45，45 D. 47，454. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.35. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为( )A.10011升 B. 9011升C.25433升 D.20122升6. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l ⊥α，α⊥β，则l//β；②若l ⊥α，α//β，则l//β；③若l ⊥α，α//β，则l ⊥β；④若l//α，α⊥β，则l ⊥β．其中说法正确的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 执行如图所示的程序框图，若输入的t =0.001，则输出的n =( )A. 6B. 5C. 4D. 38.函数f(x)=Asin(ωx+φ)满足：f(π3+x)=−f(π3−x)，且f(π6+x)=f(π6−x)，则ω的一个可能取值是()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知点P(4,4)是抛物线C：y2=2px上的一点，F是其焦点，定点M(−1,4)，则△MPF的外接圆的面积为()A. 125π32B. 125π16C. 125π8D. 125π410.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)…(x n,y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A. 4nm B. 2nmC. 4mnD. 2mn11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点P(x0,y0)是直线bx−ay+2a=0上任意一点，若圆(x−x0)2+(y−y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为()A. (1,2]B. (1,√2)C. (2,+∞)D. [√2,+∞)12.设函数f′(x)是偶函数f(x)(x∈R)的导函数，f(x)在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，并且当x∈(−1,1)时，xf′(x)+f(x)<0.则使得f(x)<0成立的x的取值范围是()A. (−2,0)∪(0,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−1,1)D. (−2,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为600，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则|3a⃗−2b⃗ |=______．14.若tanα=3,α∈(0,π2)，则cos(α−π4)=______．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{x ≥0y ≥0x +2y ≤83x +y ≤9，则z =x +3y 的最大值是______．16. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，且c =2a ．(1)求角A 的大小；(2)设数列{a n }满足a n =2n |cosnC|，前n 项和为S n ，若S n =20，求n 的值．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1⊥A 1C 1，D 是B 1C 1的中点，A 1A =A 1B 1=2．(1)求证：AB 1//平面A 1CD ；(2)若异面直线AB 1和BC 所成角为60°，求四棱锥A 1−CDB 1B 的体积．19. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月(5−10月)的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A ，B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表().使用寿命材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100参考数据：∑y i i=1i i=1i 参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑(n i=1x i y i )−nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x−．20. 已知A(−2,0)，B(2,0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB面积的最大值为2√3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当点P 在椭圆上运动时，求证：以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切．21.已知f(x)=3e x+x2，g(x)=9x−1．(1)讨论函数φ(x)=alnx−bg(x)(a∈R,b>0)在(1,+∞)上的单调性；(2)比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明．22.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=2sinθ上，直线l过点A(2,0)且与OM垂直，垂足为P．(1)当θ0=π4时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．23.已知不等式|x|+|x−2|<x+5的解集为(m,n)．(1)求m，n的值；(2)若x>0，y>0，nx+y+m=0，求√1x +1y的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={x|x 2−3x <0}={x|0<x <3}， B ={x|y =ln(x −2)}={x|x >2}， ∴A ∩B ={x|2<x <3}=(2,3)，故选：B ．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：由题意，∣∣∣z −i 1−i −2i ∣∣∣=−2iz +i(1−i)=0， ∴z =1+i 2i =(1+i)(−i)−2i 2=12−12i ，则z −=12+12i ，∴z −在复平面内对应的点的坐标为(12,12)，在第一象限．故选：A ．由已知得−2iz +i(1−i)=0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：根据茎叶图知，样本中的30个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是45，47， ∴该样本的中位数为：45+472=46；出现次数最多的数据是45， ∴该样本的众数是45．故选：A ．结合茎叶图，利用中位数、众数的定义求解即可．本题利用茎叶图考查了中位数、众数的定义与计算问题，是基础题． 4.【答案】C【解析】解：重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，基本事件总数n =C 52=10，恰有1名医生和1名护士被选中包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为p =m n=610=0.6．故选：C ．现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，基本事件总数n =C 52=10，恰有1名医生和1名护士被选中包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，由此能求出恰有1名医生和1名护士被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】D【解析】解：设每节的容积自上而下组成等差数列{a n }，由题意可得：a 1+a 2+a 3+a 4=3，a 7+a 8+a 9=4，则4a 1+6d =3，3a 1+21d =4，联立解得a 1=1322，d =766， ∴S 9=9×1322+9×82×766=20122．故选：D ．设每节的容积自上而下组成等差数列{a n }，由题意可得：a 1+a 2+a 3+a 4=3，a 7+a 8+a 9=4，解出再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：由α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，知：在①中，若l ⊥α，α⊥β，则l//β或l ⊂β，故①错误；在②中，若l ⊥α，α//β，则l ⊥β，故②错误；在③中，若l ⊥α，α//β，则由线面垂直的判定定理得l ⊥β，故③正确；在④中，若l//α，α⊥β，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故④错误．故选：C ．在①中，l//β或l ⊂β；在②中，l ⊥β；在③中，由线面垂直的判定定理得l ⊥β；在④中，l 与β相交、平行或l ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行过程知，S =1，n =0，m =12，计算S =12，m =14，n =1；满足S >0.001，计算S =12×14=18=0.125，m =18，n =2；满足S >0.001，计算S =18×18=164=0.015625，m =116，n =3；满足S >0.001，计算S =164×116=11024=0.0009765625，m =132，n =4；不满足S >0.001，终止循环，输出n =4．故选：C ．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n 值．本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是常用的解题方法． 8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)满足：f(π3+x)=−f(π3−x)，所以函数f(x)的图象关于(π3,0)对称，又f(π6+x)=f(π6−x)，所以函数f(x)的图象关于x=π6对称；所以(2k−1)T4=π3−π6=π6，k为正整数，所以T=2π3(2k−1)，即2πω=2π3(2k−1)，解得ω=3(2k−1)，k为正整数；当k=1时，ω=3，所以ω的一个可能取值是3．故选：B．根据题意，得出函数f(x)的图象关于(π3,0)对称，也关于x=π6对称；由此求出函数的周期T的可能取值，从而得出ω的可能取值．本题考查了函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题目．9.【答案】B【解析】解：点P(4,4)是抛物线C：y2=2px上的一点，可得16=8p，解得p=2，即抛物线的方程为y2=4x，由F(1,0)，M(−1,4)，P(4,4)，可得MP=5，PF=5，MF=2√5，cos∠MPF=52+52−(2√5)22×5×5=35，则sin∠MPF=√1−925=45，设△MPF的外接圆的半径为R，则2R=2√545=5√52，解得R=5√54，可得△MPF的外接圆的面积为π×12516=125π16．故选：B．代入P的坐标，由抛物线方程可得p，求得焦点坐标，由两点距离公式可得MP，MF，PF，再由余弦定理可得cos∠MPF，由同角平方关系可得sin∠MPF，由正弦定理可得△MPF的外接圆的半径，进而得到所求圆本题考查抛物线的方程和性质，考查三角形的正弦定理和外接圆的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π×12，从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，对应的区域的面积为12．∴mn =14π×1212，∴π=4mn．故选：C．以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．本题考查与面积有关的几何概型，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，属于中档题．先求出双曲线的渐近线方程，可得直线bx−ay+2a=0与直线bx−ay=0的距离d=√a2+b2=2ac，根据圆(x−x0)2+(y−y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点，可得d≥1，解得即可．【解答】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，∵P(x0,y0)是直线bx−ay+2a=0上任意一点，则直线bx−ay+2a=0与直线bx−ay=0的距离d=√a2+b2=2ac，∵圆(x−x0)2+(y−y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥1，∴2ac≥1，即e=ca≤2，故e的取值范围为(1,2]，故选：A．12.【答案】D【解析】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，构造函数g(x)=xf(x)是解题的关键，本题是一道中档题．令g(x)=xf(x)，判断出g(x)是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f(x)<0的解集即可．【解答】解：令g(x)=xf(x)，g′(x)=xf′(x)+f(x)，当x∈(−1,1)时，xf′(x)+f(x)<0，∴g(x)在(−1,1)递减，而g(−x)=−xf(−x)=−xf(x)=−g(x)，∴g(x)在R是奇函数，∵f(x)在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，即g(x)在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，∴g(x)在(−∞,−1)递增，在(−1,1)递减，在(1,+∞)递增，g(0)=0，g(2)=0，g(−2)=0，如图示：，x≥0时，f(x)<0，即xf(x)<0，由图象得：0≤x<2，x<0时，f(x)<0，即xf(x)>0，由图象得：−2<x<0，综上：x∈(−2,2)，故选：D．13.【答案】6【解析】解：根据题意，向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则a⃗⋅b⃗ =2×3×cos60°=3，则|3a⃗−2b⃗ |2=9a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=36，则|3a⃗−2b⃗ |=6；故答案为：6根据题意，由向量数量积的计算公式可得a⃗⋅b⃗ =2×3×cos60°=3，又由|3a⃗−2b⃗ |2=9a⃗2−12a⃗⋅b⃗ + 4b⃗ 2，代入数据计算变形即可得答案．本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．14.【答案】2√55【解析】解：由tanα=3，得sinαcosα=3，即sinα=3cosα．又sin 2α+cos 2α=1，且α∈(0,π2)，解得：sinα=3√1010，cosα=√1010． ∴cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=√1010×√22+3√1010×√22=2√55．故答案为：2√55．由已知结合同角三角函数基本关系式求解sinα、cosα的值，然后展开两角差的余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题． 15.【答案】12【解析】解：由约束条件{x ≥0y ≥0x +2y ≤83x +y ≤9作出可行域，化目标函数z =x +3y 为y =−x 3+z3．由图可知，当直线y =−x3+z3过点A(0,4)时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为12．故答案为：12．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】(43,203)【解析】【分析】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，正确理解题意是关键，是中档题．由题意画出图形，可得要使任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，则液体的体积应大于三棱锥A1−ABD的体积，小于多面体BCD−A1B1C1D1的体积，则答案可求．【解答】解：如图，要使任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，则液体的体积应大于三棱锥A1−ABD的体积，小于多面体BCD−A1B1C1D1的体积．∵V A1−ABD =13×12×2×2×2=43，∴V BCD−A1B1C1D1=8−43=203．∴液体体积的取值范围为：(43,203)．故答案为(43,203)．17.【答案】解：(1)由已知：2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=π3.又由c=2a，∴b2=a2+c2−2accosπ3=3a2，∴c2=a2+b2，∴△ABC为直角三角形，C=π2，A=π2−π3=π6．(2)a n=2n|cosnC|=2n|cos nπ2|={0,n为奇数2n,n为偶数．∴S n=S2k+1=S2k=0×k+22+24+⋯…+22k=4(1−22k)1−4=4k+1−43，k∈N∗，由S n=4k+1−43=20，k∈N∗，得4k+1=64=43，k=2，∴n=4或5．【解析】(1)由已知：2B =A +C ，又A +B +C =π，解得B =π3.又由c =2a ，利用余弦定理即可得出． (2)a n =2n |cosnC|=2n |cosnπ2|={0,n 为奇数2n,n 为偶数.分组求和即可得出．本题考查了解三角形、数列分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.【答案】(1)证明：如图，连AC 1交A 1C 于点E ，连DE ．因为直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是矩形，故点E 是AC 1中点，又D 是B 1C 1的中点，故DE //AB 1，又AB 1⊄平面A 1CD ，DE ⊂平面A 1CD ，故AB 1//平面A 1CD ．(2)解：由(1)知DE//AB 1，又C 1D//BC ，故∠C 1DE 或其补角为异面直线AB 1和BC 所成角．设AC =2m ，则C 1E =√m 2+1,C 1D =√m 2+1,DE =√2，故△C 1DE 为等腰三角形，故∠C 1DE =60°，故△C 1DE 为等边三角形，则有√m 2+1=√2，得到m =1．故△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，故A 1D ⊥C 1B 1，又B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故A 1D ⊥B 1B ，又B 1B ∩C 1B 1=B 1，故A 1D ⊥平面CDB 1B ，又梯形CDB 1B 的面积S CDB 1B =12×(√2+2√2)×2=3√2,A 1D =√2，则四棱锥A 1−CDB 1B 的体积V =13S CDB 1B ⋅A 1D =13×3√2×√2=2．【解析】(1)连AC 1交A 1C 于点E ，连DE.证明DE//AB 1，然后证明AB 1//平面A 1CD ．(2)说明∠C 1DE 或其补角为异面直线AB 1和BC 所成角．说明A 1D ⊥平面CDB 1B ，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力．19.【答案】解：(1)由折线图可知统计数据(x,y)共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)．计算可得x −=16(1+2+3+4+5+6)=3.5， y −=16(11+13+15+16+20+21)=16，b ̂=∑x i 6i=1y i −6x −y−∑x i 26i=1−6x−2=371−6×3.5×1691−6×3.52=2，a ̂=y −−b ̂x −=16−2×3.5=9．∴月度利润x 与月份代码x 之间的线性回归方程为y ̂=2x +9，当x =13时，y ̂=2×13+9=35．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为x 1−=1×0.2+2×0.35+3×0.35+4×0.1=2.35； B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为x 2−=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.2=2.7． ∵x 1−<x 2−，∴应该采购B 新型材料．【解析】(1)由折线图可知统计数据(x,y)共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21).根据这6组数据可求得线性回归方程，再令x =13求得y 值即可； (2)求出A ，B 两种新材料的使用寿命的平均值，进行比较得结论．本题考查了线性回归方程，考查随机变量期望的求法，考查计算能力，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)，F(c,0)；由题意知{12⋅2a ⋅b =2√3a =2a 2=b 2+c 2，解得b =√3，c =1；所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12；(Ⅱ)证明：由题意可设直线AP 的方程为y =k(x +2)(k ≠0)，则点D 坐标为(2,4k)，BD 中点E 的坐标为(2,2k)；由{y =k(x +2)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0；设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则−2x 0=16k 2−123+4k 2，所以x 0=6−8k 23+4k 2，y 0=k(x 0+2)=12k3+4k 2；因为点F 坐标为(1,0)，当k =±12时，点P 的坐标为(1,±32)，直线PF ⊥x 轴，点D 的坐标为(2,±2)，此时以BD 为直径的圆(x −2)2+(y ±1)2=1与直线PF 相切；当k ≠±12时，则直线PF 的斜率为k PF =y 0x0−1=4k 1−4k 2，所以直线PF 的方程为y =4k1−4k 2(x −1)，点E 到直线PF 的距离为 d =|8k 1−4k 2−2k−4k1−4k 2|√2(1−4k 2)2+1=|2k+8k 31−4k 2|1+4k 2|1−4k 2|=2|k|；又因为|BD|=4|k|，所以d=12|BD|，故以BD为直径的圆与直线PF相切；综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，根据题意求出a、b、c的值，写出椭圆C的方程，计算得出离心率；(Ⅱ)设直线AP的方程y=k(x+2)(k≠0)，由直线方程与椭圆方程联立，求出点P的坐标，再根据题意求出以BD为直径的圆，判断该圆是否与直线PF相切．本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是综合题．21.【答案】解：(1)φ(x)=alnx−9bx+b，φ′(x)=ax −9b=a−9bxx=9b(a9b−x)x，x>1，当a9b≤1，即a≤9b时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(1,+∞)上单调递减，当a9b >1，即a>9b时，令φ′(x)>0，得x∈(1,a9b)；令φ′(x)<0，得x∈(a9b,+∞)，故φ(x)在(1,a9b)上单调递增，在(a9b,+∞)上单调递减；(2)f(x)>g(x)，证明如下：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=3e x+x2−9x+1，因为ℎ′(x)=3e x+2x−9为增函数，且ℎ′(0)=−6<0，ℎ′(1)=3e−7>0，所以存在x0∈(0,1)，使得ℎ′(x0)=0，当x>x0时，ℎ′(x)>0；当x<x0时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=3e x0+x02−9x0+1，因为3e x0+2x0−9=0，所以3e x0=−2x0+9，所以ℎ(x)min=−2x0+9+x02−9x0+1=x02−11x0+10=(x0−1)(x0−10)，因为x0∈(0,1)，所以(x0−1)(x0−10)>0，所以ℎ(x)min>0，所以f(x)>g(x)．【解析】(1)先求出导函数φ′(x)，再对a9b与1的大小分情况讨论，即可求出函数φ(x)的单调性；(2)f(x)>g(x)，证明如下：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=3e x+x2−9x+1，求导得到存在x0∈(0,1)，使得ℎ′(x0)=0，当x>x0时，ℎ′(x)>0；当x<x0时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)min=−2x0+9+x02−9x0+1= x02−11x0+10=(x0−1)(x0−10)>0，所以f(x)>g(x)．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．22.【答案】解：(1)当θ0=π4时，在曲线C：ρ=2sinθ上，所以ρ0=2×√22=√2所以M(√2,π4)，转换为直角坐标为M(1,1)．直线l过点A(2,0)且与OM垂直，所以直线l的斜率为k=−1，所以直线l 的方程为：y =−(x −2)，整理得x +y −2=0．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−2=0，整理得ρ=√2sin(θ+π4)．(2)由于l ⊥OM ，所以∠OPA =π2，则：点P 的轨迹是以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1转换为极坐标方程为ρ=2cosθ，由于点P 在线段OM 上，所以{ρ=2cosθρ=2sinθ，解得θ=π4．故点P 的轨迹方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤π4)．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线的垂直的充要条件的应用求出结果．(2)利用点在线段上的应用求出极坐标的方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线垂直的充要条件案的应用，三角函数关系式的变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题． 23.【答案】解：(1)当x ≤0时，原不等式化为−x −x +2<x +5，即x >−1，则−1<x ≤0；当0<x ≤2时，原不等式化为x −x +2<x +5，即x >−3，则0<x ≤2；当x >2时，原不等式化为x +x −2<x +5，即x <7，则2<x <7． ∴不等式|x|+|x −2|<x +5的解集为(−1,7)．再由不等式|x|+|x −2|<x +5的解集为(m,n)，得m =−1，n =7；(2)由nx +y +m =0，得7x +y =1，又x >0，y >0，∴1x+1y=(1x+1y)(7x +y)=8+yx+7x y≥8+2√y x⋅7x y=8+2√7．当且仅当7x =y =12时上式等号成立．则√1x +1y的最小值为√8+2√7=√7+1．【解析】(1)分x ≤0，0<x ≤2，x >2三类去绝对值求解不等式，结合不等式|x|+|x −2|<x +5的解集为(m,n)求得m ，n 的值；(2)把(1)中求得的m ，n 代入nx +y +m =0，得到7x +y =1，利用1的代换及基本不等式求√1x+1y 的最小值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。

四川省绵阳南山中学2020届高三毕业班下学期“绵阳四诊”模拟考试数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前四川省绵阳南山中学2020届高三毕业班下学期“绵阳四诊”模拟考试数学(文)试题(解析版)一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（）A. ()2,+∞B. ()2,3C. ()3,+∞D. (),2-∞ 【答案】B【解析】分析：解不等式得集合A,求函数定义域得集合B ，根据交集定义求解集合交集即可. 详解：集合{}230{|03}A x x x x x =-<=<<，(){}{}ln 22B x y x x x ==-=，所以{}()|232,3A B x x ⋂=<<=.故选B.点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.2. 定义运算a bad bc c d =-，若复数z 满足012z i i i -=--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得()210iz i i -+-=，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，()21012z i iz i i i i -=-+-=--，∴()()211112222i i i z i i i +-+===--，则1122z i =+， ∴z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题．3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图,则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图,根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知,出现次数最多的是数45,将所有数从小到大排列后,中间两数为45,47,故中位数为46,故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法,属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义,然后根据定义和公式求解,（1）中位数,如果样本容量是奇数中间的数既是中位数,如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.。

2020届四川省绵阳市涪城区南山中学高三(下)入学数学(文科)试题Word版含解析

2020届四川省绵阳市涪城区南山中学高三（下）入学数学（文科）试题一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）2．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃xA．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题3．已知复数z=﹣3+4i（i是虚数单位），则复数的虚部为（）A．﹣B． C．D．﹣i4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．5．若，则sin2θ=（）A． B． C．D．6．如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．7．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．38．已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log，则f（a），f（b），f（c）的2大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）9．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC=90°，则ω=（）A．B．C．D．11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长，若，则cosB=（）A．﹣B．C．D．﹣12．已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．14．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则2+在方向上的投影为．15．已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题①若α∥β则l⊥m；②若l⊥m则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m则α⊥β．其中正确命题的序号是．16．已知点P为双曲线右支上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．18．在微信群中抢红包已成为一种娱乐，已知某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解喜欢抢红包是否与性别有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了45人的调查结果，并作出频数统计表如下：表1：男性等级喜欢一般不喜欢频数15x5表2：女性等级喜欢一般不喜欢频数153y（Ⅰ）由表中统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；男性女性总计喜欢非喜欢总计参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k）0.100.050.012.7063.841 6.635k（Ⅱ）从表1“一般”与表2“不喜欢”的人中随机选取2人进行交谈，求所选2人中至少有1人是“不喜欢”的概率．19．如图，四边形BCDE是直角梯形，CD∥BE，CD丄BC，CD=BE=2，平面BCDE丄平面ABC，又已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中点．（I）求证：AM丄ME；（II）求四面体ADME的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，﹣4）以线段PM为直径的圆经过原点O．（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过点E（0，﹣4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A′，试判断直线A′B是否恒过一定点，并证明你的结论．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标系；（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||PA|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2020届四川省绵阳市涪城区南山中学高三（下）入学数学（文科）试题参考答案一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，由集合B中的不等式＜（）x＜3，解得：﹣1＜x＜2，∴B=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，1]．故选：C．2．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．【分析】首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合由逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的复合命题的真值表进行判断即可．【解答】解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．3．已知复数z=﹣3+4i（i是虚数单位），则复数的虚部为（）A．﹣B． C．D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=﹣3+4i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=﹣3+4i，∴=，∴复数的虚部为﹣．故选：A．4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C5．若，则sin2θ=（）A． B． C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得sin2θ的值．【解答】解：若，则===，故选：D．6．如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【解答】解：经过第一次循环得到 S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D7．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．3【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定；7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到=1，=+=++，使用基本不等式求得的最小值．【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣2b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有=3，∴a2+4b2=9，∴=1，∴=+=++≥+2=1，当且仅当=时，等号成立，故选 C．，则f（a），f（b），f（c）的8．已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）【考点】3F：函数单调性的性质；4M：对数值大小的比较．【分析】判断出函数f（x）的单调性，求出a，b，c的大小，从而判断出函数值的大小即可．【解答】解：f（x）=2x﹣2﹣x在R递增，＜0，而a=（）＞1，0＜b=（）＜1，c=log2故a＞b＞c，则f（a）＞f（b）＞f（c），故选：C．9．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．10．已知函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC=90°，则ω=（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数f（x）的最值求得A，再利用勾股定理求得AC、AB、BC的值，再利用 AC2=AB2+BC2，求得ω．【解答】解：根据函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）在平面直角坐标系中的部分图象，可得A=4，再根据AC==，AB==，BC==，∠ABC=90°，∴AC2=AB2+BC2，即+192=+48++48，∴ω=，故选：B．11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长，若，则cosB=（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】HX：解三角形．【分析】由已知及向量减法的平行四边形法则可得4a=即（4a﹣3c）+（2b﹣3c）=，根据向量的基本定理可得a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理即可求cosB【解答】解：∵∴4a=∴（4a﹣3c）+（2b﹣3c）=∵，不共线∴即a=则cosB===﹣故选A12．已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）≥f（1），知x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（2）=0，从而得到b=1﹣4a，作差：lna﹣（﹣b﹣1）=lna+2﹣4a，所以构造函数g（x）=lnx+2﹣4x，通过导数可求得g（x）≤g（）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜﹣b﹣1．【解答】解：f′（x）=2ax+b﹣，由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；令g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）=；∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；∴g（a）＜0，即2﹣4a+lna=lna+b+1＜0；故lna＜﹣b﹣1，故选：C．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D的面积和区域D在圆中的部分面积，从而求出满足条件的概率P的值．【解答】解：画出区域D和圆，如图示：区域D的面积是4，区域D在圆中的部分面积是，∴点P落在圆内的概率是=，故答案为：．14．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则2+在方向上的投影为 3 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的定义和性质，即向量的平方即为模的平方，再由向量的投影的概念即可求得所求值．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为60°，∴（2+）•=2•+=2||•||•cos60°+4=2×1×2×+4=6，∴2+在方向上的投影为=3，故答案为：315．已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题①若α∥β则l⊥m；②若l⊥m则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m则α⊥β．其中正确命题的序号是①④．【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】由l⊥α，m⊂β，知：①若α∥β，则l⊥β，故l⊥m；②若l⊥m，则α与β平行或相交；③若α⊥β，则l与m相交、平行或异面；④若l∥m，则m⊥α，故α⊥β．【解答】解：∵l⊥α，m⊂β，∴①若α∥β，则l⊥β，∴l⊥m，故①正确；②若l⊥m，则α与β平行或相交，故②不正确；③若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故③不正确；④若l∥m，则m⊥α，∴α⊥β，故④正确．故答案为：①④．16．已知点P为双曲线右支上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．【解答】解：双曲线的a=4，b=3，c==5，设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S=|PF1|•r，S=|PF2|•r，S △=•2c •r=cr ，由得，|PF 1|•r=|PF 2|•r+λcr ，故λ===，故答案为：．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知数列{log 2（a n ﹣1）}（n ∈N *）为等差数列，且a 1=3，a 3=9．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【考点】84：等差数列的通项公式；89：等比数列的前n 项和；R6：不等式的证明．【分析】（1）设等差数列{log 2（a n ﹣1）}的公差为d ．根据a 1和a 3的值求得d ，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log 2（a n ﹣1）}的通项公式，进而求得a n ．（2）把（1）中求得的a n 代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1﹣原式得证．【解答】（I ）解：设等差数列{log 2（a n ﹣1）}的公差为d ．由a 1=3，a 3=9得2（log 22+d ）=log 22+log 28，即d=1．所以log 2（a n ﹣1）=1+（n ﹣1）×1=n ，即a n =2n +1．（II ）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．18．在微信群中抢红包已成为一种娱乐，已知某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解喜欢抢红包是否与性别有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了45人的调查结果，并作出频数统计表如下：表1：男性等级喜欢一般不喜欢频数15x5表2：女性等级喜欢一般不喜欢频数153y（Ⅰ）由表中统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；男性女性总计喜欢15 15 30非喜欢10 5 15总计25 20 45参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：）0.100.050.01P（K2≥k2.7063.841 6.635k（Ⅱ）从表1“一般”与表2“不喜欢”的人中随机选取2人进行交谈，求所选2人中至少有1人是“不喜欢”的概率．【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）先由分层抽样求出x=5，y=2，得到2×2列联表，求出K2=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．（Ⅱ）先求出基本事件总数，再求出所选2人中至少有一人“不喜欢”的基本事件个数，由此能求出所选2人中至少有一人“不喜欢”的概率．【解答】解：（Ⅰ）设从男性中抽取了m人，则=，m=25，…从而知从女性中抽取了20人，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．…填写完整的2×2列联表如下：男性女性总计喜欢151530非喜欢10515总计252045而K2====1.125＜2.706，…∵1﹣0.9=0.1，P（K2≥2.706）=0.10，∴没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．…（ II）由（Ⅰ）知表1中“一般”的有5人，分别记为A，B，C，D，E，表2中“不喜欢”的有2人，分别记为a，b，则从中随机选取2人，不同的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，a}，{B，b}，{C，D}，{C，E}，{C，a}，{C，b}，{D，E}，{D，a}，{D，b}，{E，a}，{E，b}，{a，b}，共21种．…设事件M表示“所选2人中至少有1人是‘不喜欢’”，则为“所选2人都是‘一般’”，事件M所包含的不同的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10种．…∴P（）=，故P（M）=1﹣P（）=1﹣=．…19．如图，四边形BCDE是直角梯形，CD∥BE，CD丄BC，CD=BE=2，平面BCDE丄平面ABC，又已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中点．（I）求证：AM丄ME；（II）求四面体ADME的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由AB=AC，M是BC的中点，可得AM⊥BC，再由面面垂直的性质可得AM⊥平面BCDE，进一步得到AM⊥ME；（Ⅱ）由已知可得△BME的面积，得到△DCM的面积，求出梯形BCDE的面积，作差可得△DME 的面积，结合（Ⅰ）知，AM⊥平面BCDE，即三棱锥A﹣DME的高AM=．代入棱锥体积公式得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵平面BCDE⊥平面ABC，而平面BCDE∩平面ABC=BC，AM⊂平面ABC，∴AM⊥平面BCDE，又EM⊂平面BCDE，∴AM⊥ME；（Ⅱ）解：∵BE∥CD，CD⊥BC，且四边形BCDE是直角梯形，∴．．而梯形BCDE的面积．∴．由（Ⅰ）知，AM⊥平面BCDE，即三棱锥A﹣DME的高AM=．∴=8．20．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，﹣4）以线段PM为直径的圆经过原点O．（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过点E（0，﹣4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A′，试判断直线A′B是否恒过一定点，并证明你的结论．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；J3：轨迹方程．【分析】（1）根据点P（x，y），M（x，﹣4）以线段PM为直径的圆经过原点O，可知OP⊥OM，所以，即（x，y）•（x，﹣4）=0，化简可得动点P的轨迹W的方程；（2）直线l与轨迹W的方程联立，进而可求直线A′B的方程，由此，可判断是否恒过一定点【解答】解：（1）由题意可得OP⊥OM，所以，即（x，y）•（x，﹣4）=0即x2﹣4y=0，即动点P的轨迹w的方程为x2=4y（2）设直线l的方程为y=kx﹣4，A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（﹣x1，y1）．由消y整理得x2﹣4kx+16=0则x1+x2=4k，x1x2=16直线∴∴即，所以，直线A′B恒过定点（0，4）．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x ＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标系；（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||PA|﹣|PB||的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程为，消去t，求得普通方程：y=x﹣1，由ρ=4sin（θ+）=4sinθ+4cosθ，可得：ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，即可求得x2+y2﹣4x﹣4y=0圆C 的直角坐标系；（2）将参数方程代入曲线圆C的直角坐标系，可求得t2﹣t﹣7=0，由韦达定理可知t1+t2=，t 1•t2=﹣7＜0，即t1•t2异号，可知||PA|﹣|PB||=|t1+t2|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t，求得普通方程：y=x﹣1，直线l的普通方程为：y=x﹣1，ρ=4sin（θ+）=4sinθ+4cosθ，∴ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，．所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y=0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，把，代入x2+y2﹣4x﹣4y=0，得：t2﹣t﹣7=0，设两个实根为t1，t2，则t1+t2=，t1•t2=﹣7＜0，即t1•t2异号．∴||PA|﹣|PB||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科数学试卷-学生用卷

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第1题5分若A={x|3⩽3x⩽27}，B={x|log2x>1}，则A∩B=（）．A. [1,2)B. [1,+∞)C. (2,3]D. [1,3]2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第2题5分已知向量a→=(1,−2)，b→=(m,4)，且a→//b→，那么2a→−b→=（）．A. (4,0)B. (0,4)C. (4,−8)D. (−4,8)3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第3题5分已知命题p:∀x∈(0,+∞)，lg⁡x⩾0，q:∃x0∈R，sin⁡x0=cos⁡x0，则下列命题中为真命题的是（）．A. (¬p)∧qB. ¬qC. p∨(¬q)D. p∧q4、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第4题5分已知p:|x−2|⩽3，q:x2−4x−5⩽0，则p是q的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第5题5分要得到函数y =sin (4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象（）．A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第6题5分若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a (log a b )，n =(log a b )2，l =log a b 2，则m ，n ，l 的大小关系为（）．A. m >l >nB. n >l >mC. l >n >mD. l >m >n7、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第7题5分 2019~2020学年重庆南岸区重庆第二外国语学校高二下学期期末第8题5分2019年陕西西安碑林区西安市铁一中学高三一模理科第8题5分2017~2018学年山东枣庄薛城区枣庄市第八中学高三上学期期中文科第10题5分2017~2018学年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高二下学期期中理科第10题5分已知函数f(x)=1x−ln⁡x−1，则y =f(x)的图象大致为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第8题5分已知函数f(x)={a+2x，x⩽112x+a，x>1，其中a∈R．如果函数f(x)恰有两个零点，则a的取值范围为（）．A. (−∞,−12]B. [−2,+∞)C. [−2,−12]D. [−2,−12)9、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第9题5分函数f(x)=Asin⁡(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x1，x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=（）．A. 1B. 12C. √22D. √3210、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第10题5分2019~2020学年四川宜宾翠屏区四川省宜宾市第四中学高三上学期期末理科第11题5分2020~2021学年四川眉山仁寿县仁寿县第一中学（北校区）高二上学期期中理科第7题5分已知a>0，x，y满足约束条件{x⩾1, x+y⩽3,y⩾a(x−3)若z=2x+y的最小值为1，则a=（）．A. 14B. 12C. 1D. 211、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第11题5分偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，且当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，则函数g(x)=f(x)−|lg x|在x∈(0,10)上的零点个数为（）．A. 10B. 9C. 8D. 712、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第12题5分已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF 平行BC ，实数x ，y 满足PA →+xPB →+yPC →=0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，若S 1=λ1S ，S 2=λ2S ，S 3=λ3S ，则λ2⋅λ3取最大值时，xy 的值为（）．A. 13B. 14C. 15D. 16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第13题5分 1sin 10∘−√3sin 80∘的值为．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第14题5分 2018~2019学年天津河东区天津市第七中学高二上学期期中第12题4分2017~2018学年湖北高一下学期期中理科第15题5分2017~2018学年10月福建泉州惠安县福建省惠安惠南中学高二上学期月考第17题5分 2019~2020学年河南郑州高二上学期期中理科第13题5分设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1(n ∈N ∗)，则数列{1a n }前10项的和为．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第15题5分 2017~2018学年10月江苏扬州高邮市江苏省高邮中学高三上学期月考第8题5分已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →⋅(AB →+AC →)= ．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第16题5分设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (−x )−f (x )=0，且x ∈[0,+∞)时，f ′(x )>2x ．若f (a −2)−f (a )⩾4−4a ，则实数a 的取值范围为．三、必考题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第17题12分2020~2021学年陕西铜川高一下学期期末第21题12分2015~2016学年天津河西区高一上学期期末第19题10分2018~2019学年12月天津和平区天津市第二南开中学高三上学期月考理科第15题13分2017~2018学年天津高一上学期期末六校联考第19题13分已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−π6)，x∈R．(1) 求f(x)的最小正周期．(2) 求f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值和最小值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第18题12分已知等比数列{a n}中，a1=2，a3+2是a2和a4的等差中项．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 记b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第19题12分2010年高考真题安徽卷理科第16题12分2017~2018学年10月湖南衡阳衡阳县衡阳县第一中学高三上学期月考理科第17题12分2019~2020学年9月陕西西安碑林区西安市铁一中学高二上学期月考第20题10分设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A=sin⁡(π3+B)sin⁡(π3−B)+sin2B．(1) 求角A的值；(2) 若AB→⋅AC→=12，a=2√7，求b，c（其中b<c）．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第20题12分已知函数f(x)=xln⁡x(x>0)．(1) 求f(x)的单调区间和极值．(2) 若对任意x∈(0,+∞)，f(x)⩾−x2+mx−32恒成立，求实数m的最大值．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第21题12分2017~2018学年4月北京西城区北京市第八中学高三下学期月考理科第18题14分2017~2018学年湖南衡阳衡阳县高二下学期期末理科第21题12分2018~2019学年5月北京东城区北京市第一六六中学高二下学期月考第18题18分设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e x(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2．(1) 求a，b，c，d的值．(2) 若x⩾−2时，f(x)⩽kg(x)，求k的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第22题10分2020~2021学年12月四川成都郫都区高三上学期月考理科第22题10分2017~2018学年青海西宁城北区西宁市第四高级中学高二下学期期末理科第22题12分在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin⁡θ，ρcos⁡(θ−π4)=2√2．(1) 求C1与C2交点的极坐标；(2) 设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为{x=t3+a，y=b2t3+1（t∈R为参数），求a，b的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三零模文科第23题10分2016年广东珠海高三二模文科第24题10分2017~2018学年2月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考理科第23题10分2019~2020学年12月河北衡水武邑县河北武邑中学高三上学期月考理科第23题10分2017年辽宁葫芦岛高三二模理科第23题已知函数f(x)=|2x−a|+|2x+3|，g(x)=|x−1|+2．(1) 解不等式|g(x)|<5．(2) 若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 B;13 、【答案】4;;14 、【答案】201115 、【答案】6;16 、【答案】(−∞,1];17 、【答案】 (1) π．;(2) √3；4−12．;18 、【答案】 (1) a n=2n．;(2) S n=2+(n−1)⋅2n+1，n∈N∗．;19 、【答案】 (1) π3．;(2) c=6，b=4．;20 、【答案】 (1) 函数f(x)的单调递增区间是(1e ,+∞)，单调递减区间是(0,1e)．极小值为f(1e )=−1e，无极大值．;(2) 4．;21 、【答案】 (1) a=4，b=2，c=2，d=2．;(2) [1,e2]．;22 、【答案】 (1) 交点的极坐标为(4,π2)，(2√2,π4);(2) a=−1，b=2;23 、【答案】 (1) −2<x<4．;(2) a⩾−1或a⩽−5．;。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学仿真试卷(文科)(二)(6月份)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学仿真试卷（文科）（二）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−3x<0}，N={x|log2(x−2)≤0}，则M∩N=()A. (2,3)B. (2,3]C. (0,3]D. (0,3)2.复数z=−3+i的共轭复数是()2+iA. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−i3.已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，命题p：若m⊥α，m⊥n，则n//α；命题q：若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β，则下列命题为真命题的是()A. p∧qB. p∨qC. p∨(￢q)D. (￢p)∧q4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15−a5，则S9等于()A. 18B. 36C. 45D. 605.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2+2πB. 1+πC. 2+πD. 1+2π6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是()A.B.C.D.7. 从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)…(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A. 4nmB. 2nmC.4m nD.2m n8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多9. 函数f(x)=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位后图象关于y 轴对称，则f(x)在[0,π2]上的最小值为( )A. −1B. 1C. −√3D. √310. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆E 的离心率为( )A. 23B. 34C. √53D. √7411. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120∘，AP =√2,AB =2，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为√3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是( )A. 9π2B. 9√2πC. 18πD. 40π12. 已知函数f(x)={|lnx|,0<x ≤ee x,x >e ，若0<a <b <c 且满足f(a)=f(b)=f(c)，则af(b)+bf(c)+cf(a)的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (1,e +1e +1)D. (e,2e +1e )二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(−1,1)，且a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 共线，则λ=______． 14. 若x ，y 满足约束条件{x −1≥0x −y ≤0x +y −4≤0.则yx 的最大值为______． 15. 已知f(x)=e x−12−e −x+12+4x2x−1，则f(12020)+f(22020)+f(32020)+⋯+f(20192020)的值为______．16. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M(−a,0)，N(0,b)，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则S2S 1=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且bcosC +ccosB =−4cosA ，a =2．(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)求b +2c 的取值范围．18. 在矩形ABCD 所在平面α的同一侧取两点E 、F ，使DE ⊥α且AF ⊥α，若AB =AF =3，AD =4，DE =1． (1)求证：AD ⊥BF ；(2)求多面体ABF −DCE 体积的大小．19. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y =c ⋅x b (b,c 为大于0的常数).按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比yx0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； (2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：∑(6i=1lnx i ⋅lny i )∑(6i=1lnx i )∑(6i=1lny i )∑(6i=1lnx i )275.3 24.6 18.3 101.4根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程．附：对于样本(v i ,u i )(i =1,2，…，6)，其回归直线u =b ⋅v +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(n i=1v i −v −)(u i −u −)∑(n i=1v i −v −)2=∑v i n i=1u i −nv − u−∑v i 2n i=1−nv−2，a ̂=u −−b ̂v −，e ≈2.7183．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA|=|FD|.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程；(2)若直线l 1//l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．21. 已知函数f(x)=lnx ．(Ⅰ)设函数g(x)=af(x)+x(a ≠0)的最小值不小于−2a ，求a 的取值范围；(Ⅱ)已知关于x 的不等式(x +1)[f(x +1)+1]−bx >0恒成立，记正整数b 的最大值为m ，记函数φ(x)=f′(x)+11−x (0<x <1)的最小值为n ，试比较m 、n 的大小．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=3|x+1|−|2x−4|．(1)求不等式f(x)>3的解集；(2)若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|≤t2−8t恒成立，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：M={x|0<x<3}，N={x|log2(x−2)≤0}={x|0<x−2≤1}={x|2<x≤3}，故可知M∩N=(2,3)．故选：A．由已知结合二次不等式的求解及对数不等式的求解分别求出M，N，进而可求．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础试题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求共轭复数即可．【解答】解：复数z=−3+i2+i =(−3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5+5i5=−1+i．所以复数z的共轭复数为：−1−i．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由面面垂直、线面垂直的性质分析可得p、q都是假命题，进而由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及面面垂直、线面垂直的性质，属于基础题．【解答】解：根据题意，命题p：若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，命题p为假命题，对于命题q，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与平面β不一定垂直，命题q为假命题，则p∧q、p∨q、(￢p)∧q都是假命题，p∨(￢q)为真命题；故选：C．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．由等差数列的通项公式知a2+a8=15−a5⇒a5=5，再由等差数列的前n项和公式知S9=92×2a5．【解答】解：∵a2+a8=15−a5，∴a5=5，∴S9=9×(a1+a9)2=9×2×a52=45．故选C．5.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是半圆柱体与长方体的组合体，如图所示；则该几何体的体积为V=12π×12×2+2×1×1=π+2．故选：C．根据三视图知该几何体是半圆柱体与长方体的组合体，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．6.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，，得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．当x=π2时，函数的值为0，故排除C．故选D．7.【答案】C【解析】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π×12，从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，对应的区域的面积为12．∴mn =14π×1212，∴π=4mn．故选：C．以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．本题考查与面积有关的几何概型，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：对于选项A，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故A项错误；对于选项B，速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故B项正确．对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故C项错误；对于选项D ，同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故D 项错误；故选：B ．结合甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率的折线图，逐个分析选项即可判断出结果．本题主要考查了统计图的应用，以及简单的合情推理，是基础题．9.【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位后， ∴y =2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)，此时函数关于y 轴对称，则φ+2π3=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ−π6，k ∈Z∵|φ|<π2，∴当k =0时，φ=−π6，则f(x)=2sin(2x −π6)，当0≤x ≤π2时，−π6≤2x −π6≤5π6，即当2x −π6=−π6时，函数取得最小值，最小值为2sin(−π6)=2×(−12)=−1．故选：A ．根据三角函数平移关系求出函数的解析式，结合图象关于y 轴对称，求出φ的值，然后求出角的范围，结合最小与角的关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数图象平移关系，以及对称性求出φ的值是解决本题的关键．难度中等．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，勾股定理，考查了计算能力，属于中档题．设|AB|=3m ，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|AF 2|=2m ，|F 2B|=m ，|AF 1|=2a −2m ，|BF 1|=2a −m.由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AB ⊥AF 1，利用勾股定理即可得出．【解答】解：设|AB|=3m ，∵AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AF 2|=2m ，|F 2B|=m ，∴|AF 1|=2a −2m ，|BF 1|=2a −m ． ∵AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AB ⊥AF 1， ∴4c 2=(2m)2+(2a −2m)2，在Rt △ABF 1中(2a −m)2=(3m)2+(2a −2m)2，即m =13a ， ∴4c 2=49a 2+169a 2，∴9c 2=5a 2， ∴ca =√53．故选C ．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【解答】解：如图所示：三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AP =√2,AB =2， M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为√3，则当AM ⊥BC 时，线段PM 达到最小值，由于PA ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AM ，所以在Rt △PAM 中，PA 2+AM 2=PM 2，解得AM =1，因为PA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，则PA ⊥BM 由PM ⊥BM ，PA ∩PM =P ，PA,PM ⊂平面PAM ，故有BM ⊥平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，BM ⊥AM ，所以在Rt △ABM 中，BM =√AB 2−AM 2=√3，则tan∠BAM =BMAM =√3，则∠BAM =60°，由于∠BAC =120°，所以∠MAC =∠BAC −∠BAM =60° 则△ABC 为等腰三角形．所以BC =2√3，在△ABC 中，设外接圆的直径为2r =2√3sin120°=4，则r =2，设球心距离平面ABC 的的高度为h ，则ℎ2+22=22+(√2−ℎ)2，解得ℎ=√22，所以外接球的半径R═√22+(√22)2=√92，则S =4⋅π⋅92=18π，故选：C ．12.【答案】D【解析】解：画出函数f(x)的图象，由0<a e ，−lna =lnb ，lnb =ec ，∴ab =1,clnb =e,af(b)+bf(c)+cf(a)=(a +b +c)lnb =(1b +b)lnb +e ，令g(b)=(b +1b )lnb +e(10，lnb >0，∴g′(b)>0，则函数g(b)在区间(1,e)上单调递增，∴g(1)<g(b)<g(e)，即e<(b+1b )lnb+e<2e+1e，∴af(b)+bf(a)+cf(a)的取值范围是(e,2e+1e)．故选：D．依题意，ab=1,clnb=e,af(b)+bf(c)+cf(a)=(a+b+c)lnb=(1b+b)lnb+e，且1<b<e，令g(b)=(b+1b)lnb+e(1<b<e)，运用导数求其最值即得到取值范围．本题考查函数与方程的运用，考查函数与导数的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】−2【解析】解：由题可知，a⃗−b⃗ =(3,λ−1)，因为a⃗−b⃗ 与b⃗ 共线，所以3×1=−1×(λ−1)，解得λ=−2．故答案为：−2．先由平面向量的线性坐标运算求出a⃗−b⃗ ，再根据平面向量平行的坐标运算法则求解即可．本题考查平面向量的线性运算和平行的坐标运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定yx的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．设k =yx ，则k 的几何意义为区域内的点与原点的连线的斜率，由图象知OA 的斜率最大，由{x =1x +y −4=0，解得{x =1y =3，即A(1,3)， k OA =31=3，即yx 的最大值为3．故答案为3．15.【答案】4038【解析】解：因为f(x)+f(1−x)=ex−12−e−x+12+4x2x−1+e(1−x)−12−e−(1−x)+12+4(1−x)2(1−x)−1=4x 2x−1+4−4x1−2x =4(2x−1)2x−1=4，记S =f(12020)+f(22020)+f(32020)+⋯+f(20192020) 又S =f(20192020)+f(20182020)+⋯+f(22020)+f(12020)，对齐相加得2S =2019×4，所以S =4038．故答案为：4038．根据条件推得f(x)+f(1−x)=4，即可求解结论．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意观察题目特点，求出规律．16.【答案】4【解析】解：离心率为e =ca =2，即c =2a ，b =√3a ， M(−a,0)，N(0,b)，可得MN 的方程为bx −ay +ab =0，设P(m,n)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −m,−n)⋅(c −m,−n)=m 2+n 2−c 2，由m 2+n 2=(√m 2+n 2)2表示原点O 与P 的距离的平方，显然OP 垂直于MN 时，|OP|最小，由OP ：y =−ab x ，即y =−√33x ，联立直线√3x −y +√3a =0，可得P(−34a,√34a)，即S 1=12⋅2c ⋅√34a =√32a 2，当P 与N 重合时，可得OP 的距离最大，可得S 2=12⋅2c ⋅b =2√3a 2，即有S 2S 1=2√3a 2√32a =4．故答案为：4．由离心率公式和a ，b ，c 的关系，设出MN 的方程，以及P(m,n)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，运用向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，可得取得最值时的P 的位置，由三角形的面积公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由bcosC +ccosB =−4cosA 结合余弦定理可得b ⋅a2+b 2−c 22ab+c ⋅a 2+c 2−b 22ac=−4cosA ，整理可得，a =−4cosA ，因为a =2，即cosA =−12，又因为A ∈(0,π)，所以A =2π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：2R =asinA =bsinB =csinC =√32=√3， ∴b +2c =√3sinC +√3sinB =√3sin(π3−B)+√3sinB ，=√3(√32cosB −12sinB)+√3sinB =4cosB ．因为B ∈(0,π3)，所以4cosB ∈(2,4)，即b +2c 的取值范围是(2,4)．【解析】(I)由已知结合余弦定理进行化简可求cos A ，进而可求A ；(II)由已知结合正弦定理可利用sin B ，sin C 表示b ，c ，dairb +2c 后结合和差角，辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理及和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，则AD ⊥AB ，又∵AF ⊥α，AD ⊂α，∴AF ⊥AD ， ∵AF ∩AB =A ，∴AD ⊥平面ABF ，而BF ⊂平面ABF ，∴AD ⊥BF ，(2)解：∵AF//DE ，DE ⊂平面DCE ，AF ⊄平面DCE ，∴AF//平面DCE ，则F 到平面CDE 的距离等于A 到平面CDE 的距离．又AB =AF =3，AD =4，DE =1，∴V ABF−DCE =V F−ABCD +V E−FCD=V F−ABCD +V F−ECD =13×3×4×3+13×12×3×1×4=14．【解析】(1)由已知得AD ⊥AB ，再由直线与平面垂直的性质可得AF ⊥AD ，然后利用直线与平面垂直的判定可得AD ⊥平面ABF ，进一步得到AD ⊥BF ，(2)由已知可得AF//平面DCE ，得到F 到平面CDE 的距离等于A 到平面CDE 的距离，由V ABF−DCE =V F−ABCD +V E−FCD ，利用等体积法求解．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知，优等品的质量与尺寸的比yx ∈(0.302,0.388)则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c ，有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，选中的两件均为优等品的事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，所以所求概率为315=15．(2)对y =c ⋅x b 两边取自然对数得lny =lnc +blnx 令v i =lnx i ，u i =lny i ，则u =b ⋅v +a ，且a =lnc 由所给统计量及最小二乘估计公式有：b ̂=∑v 1n i=1u i −nu −v−∑v i 2n i=1−nv−2=75.3−24.6×18.3÷6101.4−24.62÷6=0.270.54=12a ̂=u −−b ̂v −=(18.3−12×24.6)6=1，由a ̂=lnc ̂得c ̂=e ，所以y 关于x 的回归方程为y ̂=ex 0.5．【解析】(1)求出优等品的质量与尺寸的比yx ∈(0.302,0.388)，随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c ，有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，列出基本事件，选中的两件均为优等品的事件个数，然后求解概率．(2)对y =c ⋅x b 两边取自然对数得lny =lnc +blnx ，令v i =lnx i ，u i =lny i ，则u =b ⋅v +a ，且a =lnc ，利用由所给统计量及最小二乘估计公式，求解y 关于x 的回归方程即可．本题考查古典概型概率公式的运用，回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．20.【答案】解：(1)由题意知F(p 2,0)，设D(t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p+2t 4,0)，因为|FA|=|FD|，由抛物线的定义知：3+p2=|t −p2|，解得t =3+p 或t =−3(舍去)．由p+2t 4=3，解得p =2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由(1)知F(1,0)，设A(x 1,y 1)，|FD|=|AF|=x 1+1， ∴D(x 1+2,0)，故直线AB 的斜率为−y 12，因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y =−y 12x +b ，代入抛物线方程得y 2+8y 1y −8by 1=0，由题意△=0，得b =−2y 1．设E(x 2,y 2)，则x 2=4y 12，y 2=−4y 1．当y 12≠4时，A(y 124,y 1)，E(4y 12,−4y 1)，k AE =4y1y 12−4，可得直线AE 的方程为y −y 1=4y1y 12−4(x −x 1)，由y 12=4x 1，整理可得y =4y1y 12−4(x −1)，直线AE 恒过点F(1,0)，当y 12=4时，直线AE 的方程为x =1，过点F(1,0)，所以直线AE 过定点F(1,0)．【解析】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，定点问题，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出p 值；(2)设出点A 的坐标，求出直线AB 的方程，利用直线l 1//l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，求出点E 的坐标，写出直线AE 的方程，将方程化为点斜式，可求出定点．21.【答案】解：(Ⅰ)g(x)=alnx +x(x >0)，g′(x)=a x +1=a+x x．当a >0时，g′(x)>0，则g(x)在(0,+∞)单调递增，无最小值；当a <0时，在(0,−a)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(−a,+∞)上，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，故g(x)min =g(−a)=aln(−a)−a ≥−2a ⇒a(ln(−a)+1)≥0， ∵a <0，∴ln(−a)+1≤0，解得：−1e ≤a <0．(Ⅱ)bx <(x +1)ln(x +1)+x +1⇒m <(x+1)ln(x+1)+x+1x=ℎ(x)，ℎ′(x)=x−1−ln(x+1)x 2．令m(x)=x −1−ln(x +1)，则m′(x)=1−1x+1=xx+1>0，故m(x)为增函数，m(2)=1−ln3<0，m(3)=2−2ln2>0，故存在x 0∈(2,3)，使得m(x 0)=0，即x 0−1=ln(x 0+1)，故ℎ(x)min =ℎ(x 0)=(x 0+1)ln(x 0+1)+x 0+1x 0=(x 0+1)⋅x 0x 0=x 0+1∈(3,4)，所以b max =m =3．又因为φ(x)=(11−x +1x )(1−x +x)=2+x1−x +1−x x≥2+2√1=4，又0<x <1，当且仅当x1−x =1−x x即x =12时取等号，故n =4．综上可知，n >m ．【解析】(Ⅰ)求出g(x)的导函数，对a 分类讨论，求出单调性，进而求得最小值，解不等式求得a 的取值范围；(Ⅱ)由bx <(x +1)ln(x +1)+x +1⇒m <(x+1)ln(x+1)+x+1x=ℎ(x)，求出ℎ′(x)=x−1−ln(x+1)x 2.令m(x)=x −1−ln(x +1)，利用导数求出ℎ(x)的最小值的范围，可得b max =m =3；由基本不等式可求得φ(x)≥4，可得n =4，进而可比较m ，n 的大小．本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用基本不等式求最值的方法，考查分类讨论思想与转化思想的运用，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2(t 为参数).转化为直角坐标方程为x 2−4y 2=1，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54.转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54．(2)由于直线与x轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x=√52+√32ty=12t(t为参数)，代入x2−4y2=1得到：t2−2√15t−1=0，所以：t1+t2=2√15，t1⋅t2=−1，则：1|PA|+1|PB|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|=8．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当x<−1时，f(x)=−3(x+1)+(2x−4)>3，解得x<−10；当−1≤x≤2时，f(x)=3(x+1)+(2x−4)>3，解得x>45，则45<x≤2；当x>2时，f(x)=3(x+1)−(2x−4)>3，解得x>−4，则x>2；综上知，不等式f(x)>3的解集为(−∞,−10)∪(45,+∞)；(2)由f(x)−|x−2|=3|x+1|−|2x−4|−|x−2|=3|x+1|−3|x−2|=|3x+3|−|3x−6|≤|3x+ 3−(3x−6)|=9，若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|≤t2−8t恒成立，则t2−8t≥9，解得t≤−1或t≥9；则t的取值范围是(−∞,−1]∪[9,+∞)．【解析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f(x)>3的解集；(2)利用绝对值三角不等式求出f(x)−|x−2|的最大值，得出关于t的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

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2020年四川省绵阳市南山中学高考文科数学四诊试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合2{|30}A x x x =-<，{|(2)}B x y ln x ==-，则(A B =I )
A ．(2,)+∞
B ．(2,3)
C ．(3,)+∞
D ．(,2)-∞ 2．定义运算a b ad
bc c d =-，若复数z 满足0(12z i i i i
-=--为虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的
中位数和众数分别是( )
A ．46，45
B ．45，46
C ．45，45
D ．47，45
4．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )
A ．0.7
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.3
5．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为( )
A ．10011升
B ．9011升
C ．25433升
D ．20122
升 6．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：
①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若l α⊥，//αβ，则//l β；③若l α⊥，//αβ，则l β⊥；
④若//l α，αβ⊥，则l β⊥．
其中说法正确的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．执行如图所示的程序框图，若输入的0.001t =，则输出的(n = )。