追根溯源,返朴归真-恒成立不等式的本质与通法探讨
何为成立 何为恒成立——一个不等式证明引发的教学思考
。
时 ， （
・ ．
．
） 有 最 大 值 手 ，
≥ 手 成 立 ， 证 毕 ．
看完他 的证 明 ， 笔 者没有 立刻 作解释 ， 而是让
１
没问题 ， （ ｙ ＋ ｚ ） （ Ｚ ＋ Ｘ） （ ｘ ＋ ｙ） ≥８也 没 问 题 ， 但
旁边 的同学先看看 ． 旁边 的同学看完后 ， 点点头说 ：
图 ５
其本 质 为不等式 ｆ （ ） ） 图象 需存 在高于
通过 上述分析 ， 可 以清楚地看 到 ， 第 二位 同学在
题也一定 为真． 三、 问题 的鹪 决
图象 来 看 ， ’ ， （ ） 的 图
象 只要有高 出 ｙ ＝ Ｃ图象 的部分 即可， 如图 ４ ． 第二类 ） ＞ ） ，
可 以完 整 表 述 为 ： 对
∈， ， 不等式 ） ＞ （ ） 能够成立 ， 即“ ｊ‰∈， ， 使ｆ （ ｘ 。 ） ＞ｇ （ 。 ） 成立” ，
函数 图象， 如图 ３ ． 由上述分析可 以看 出， 恒成立问题一般都发生 在指定的 区间（ 可以为 Ｒ） 上， 其实质是对 “ Ｖ ∈， ” ， 即 自变量取遍定 义域 内的任意一 个数 ，结 论都成 立， 而非“ ｊ Ｘ ｏ ∈， ” 使结论成立．
２ ． 何为“ 能” 成 立
大值 或极 限最大 值 ） ． 从 函数 图象角度 来看 ， 不管 怎样 左右平移两 函数 图象 ， 厂 （ ） 的图象 一定在
数、 带绝对值 的一次 函数和各类混合 型函数在指定
区间上 的恒成立 问题 ， 更成为 高考 的一 大热 点和难 点． 那 么如何有 效突 破恒成 立 问题 ， 笔 者认 为理解
垒
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围。
分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路（2）通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路（3）通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方。
小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A ； （2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
例 已知()22x x af x x++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 的取值范围。
解：等价于()220x x x a ϕ=++≥对任意[)1,x ∈+∞恒 成立,又等价于1x ≥时,()min0x ϕ≥成立.由于()()211x x a ϕ=++-在[)1,+∞上为增函数,则()()min 13x a ϕϕ==+,所以303a a +≥⇒≥-2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3）解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
例 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
一个不等式恒成立问题的求解与思考
一个不等式恒成立问题的求解与思考作者：沈良来源：《福建中学数学》2018年第01期不等关系与相等关系是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，“数量、变量之间相等与不等关系”的研究成为数学学习的一个重要课题，不等式是一种数学表示形式，描述若干个量之间的不等关系，等式刻画的是若干个量之间的相等关系，不等式作为刻画不等关系的重要代表，如同方程是刻画相等关系的重要代表一样，是数学的重要研究对象，也因此，不等式恒成立条件下求参数取值范围成为数学考查中的一类经典问题。
不等式恒成立问题历来是高考的热点和重点，以变量与参数共存的不等式为背景来考量学生能较好考查学生思维的灵活性、深刻性与辩证性，能较好考查学生的知识技能、思想方法与能力素质等，因此在每年的高考与模拟试题中这方面的问题也是精彩丰呈，下面，笔者就对新疆维吾尔自治区2017年普通高考第二次适应性检测第21题，这个有关不等式恒成立条件下求参数值问题，从多样解法、蕴涵几何背景、渗透思想方法、知识拓展及教学启示等角度进行探讨。
1题意分析分析本题第1小题为函数单调性的判断，主要是求导后研究导函数取值的正负问题，同时（1）问又为（2）问做好热身;第2小题条件中为一个不等式恒成立问题，求解的是a的所有可能的取值的集合，这也是本题的巧妙所在，与通常在不等式恒成立条件下求参数范围不同，本题求解的是以的具体值，题目条件简洁清爽，简约而不简单，蕴含多种解法，蕴含丰富几何意义，解决本题需要学生有一定的分类讨论能力、数形结合能力、推理论证能力及较好的计算能力等，很好体现了试题能力立意的的特点。
2解法探究解法2分离参数法对于不等式恒成立问题，我们自然还会想到分离参数法（或称分离变量法）。
解法3数形结合法对于不等式恒成立问题，我们自然还会联想到转化为两个函数的图象问题研究。
3教学启示（1）抓住知识本质教学（2）融入数学思想方法从上述问题的解决，可以看到，数学思想方法在问题解决中起着一种高屋建瓴的指导作用，如不等式与方程、函数的互化，实现了不等式的有效转化;如运用数形结合的方法，实现“以形观数”，直观明了，特别是运用函数图象解决不等式问题非常巧妙，简化了许多计算;如转化与化归思想的应用，有效实现参变量分离，数学思想是知识的精髓，是方法的精神，是对知识与方法的高度概括与提炼，而数学方法是数学思想的具体化，是在数学的提出、解决数学内部问题或实际问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等，具有实践性，若说数学方法是外显的，那么数学思想可以说是内隐的，数学思想能更深刻地反映数学对象之间的内在关系，是进一步对数学方法的概括与升华，教学中，有机融入数学思想方法，有助于提升学生数学素养。
不等式恒成立问题3种基本方法
不等式恒成立问题3种基本方法不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。
一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。
1.不等式化简为等式最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。
例1:y+2除以3大于9，则y大于17令y+2=3x得3x除以3大于9化简得 x大于9代入y+2=3x，y大于17所以y+2除以3大于9时，y大于17。
2.纳法或组合法归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。
特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。
归纳法或组合法的步骤是：1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。
例 2:y>8，则9-y<1第一步： y>8明 y>8成立的第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1第四步：以上四步推出，若y>8，则9-y<13.解法图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。
例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。
通过以上三种方法可以解决许多不等式恒成立的问题，它们各有优缺点，需要在实际操作中根据不等式本身的特点来选择最合适的方法，以达到最好的解决效果。
但是，无论如何，从本质上来讲，学习和掌握数学，尤其是求解不等式恒成立问题，关键在于不断积累知识，勤加练习，加强技巧。
“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手
“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，求不等式恒成立问题就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结，以飧读者.1. 抓“解集”对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把“解集”作为“恒成立”求解的突破口.例1关于1的不等式1+(^+1)%+^<0在[0，9)上恒成立，求实数^的取值范围.解析：原不等式等价子&+1)(\+00〈0，x^0,即x<-m,2多0.当111多0时，不等式解集为空集；当!》<0时，原不等式解集为[0,m2)，当且仅当[0，9) [(),m 2)且乂0时，原结论成立，即》12>9_@_m<0,(½m<-3.2. 抓“主元”在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中，多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然.例2(2006*四川卷(文)）已知函数[_00=\:H:hx-l,g(x):f'(x)-ax-5, 其中^&)是1’00的导函数，对满足-1々<1的一切&的值，都有§&)〈0，求实数^的取值范围.解析：它表面上是一个给出参数3的范围，解不等式§00<0的问题，事实并非如此.现把以1为变量的函数@&)=3义2-ax+3a-5,改为以8为变量的函数，即以变量3为主元，^q>(a)=(3-x)a+3x2-5(-l^a<l),则对-l<a^l,恒有8(乂)〈0，BPq>(a)<0,从而转化为对_1<3<1，中(3)<0恒成立问题，又由中（幻是&的一次函数，问题就容易解决了，只需中（1)<0，cp(-l)<0,即3x2_x_2〈0,3x2+\-8<0，解方程组得-23 3.抓“厶”二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型，解决这类问题有很多方法，但万变不离其宗，其最根本的方法，还是利用“二次式中的判别式厶”.例3若不等式-x2+2mx-2m-l<0,xG[0，1]恒成立，求m的范围.解析：不等式要求在^£[0，1]时恒成立，所以厶<0仅是一个充分条件. 按判别式讨论，设^?&)=^2+2mx-2m-l.(1) 厶<0时，可解得1_2(2)(I)A>0f(0)<00〈0或（11)厶彡0f(l)<0m>l解得_12_12.1. 抓“分离”由“函数极值”思想可得，【《>3恒成立W f(x)min彳⑴^^恒成立a>「(x)max.由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法.例4在厶汕0中，己知厂⑶=<sinRsin 2(n4+R2)+cos2R,且|£出)1|<2恒成立，求实数01的取值范围.解析：由「出)=2sinB[1-cos(TT2+B)]+cos2B=2sinB+2sin215+1-2sin2B=2sinB+1,V O f(B)-2m.*.m>l,m^3,即mG(1，3].例5(2000年日本大学入学试题）已知两个函数饩%)=8\2+16x-k,g(x)=2x3+ox2+4x,其中k为实数.(1) 若对任意的乂£[-3，3]，都有^)彡8(\)成立，求让的取值范围；(2) 若对任意的义l、x 2e[-3,3]，都有f(xl)^g(x2),求让的取值范围.解析：（l)$F(x)=g(x)-f(x)=2x 3-3x2-12乂+匕问题转化为「(乂)彡0在xE[-3，3]上丨旦成立，为此只需？&)在[-3，3]上的最小值F(x)min>0即可.-..卜、'(x)=6x2-6x-12=6(x 2-x_2),*F'(义)=0得叉=2mx=-l./.F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,/.F(x)min=k-45,由卜45彡0，解得k彡45.⑵由题意可知，i x G[-3，3]时，都有r(x)max^g(x)min.iF'(乂)=16乂+16=0得叉=-1../【(-3)=24-匕£(-1)=-8-让，f(3)=120-k,...f(x)max=12()_1^，又由g'(x)=6x 2+10\+4=0，得乂=-1或乂=- 23，•••g(-3)=-21，g⑶=lll，g(-l)=-l，g(-23)=-2827，.•.g(x)min=-21,则120-k^-21,解得以41.2. 抓“图形”“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”，在不等式恒成立问题中，如若一时难以找出突破口，常可联想到问题中涉及的函数图像，以形助数，也许会有意想不到的收获.例6已知&>0且&乒1，f(x)=x2-dx,当代（-1，1)时，Wf(x)<12, 试求实数3的取值范围.解析：本题其实也是一个恒成立问题，即函数^义^^在区间)(^(-!，1) 中恒成立.由士’00=义2^\<丨2得乂2-121时，只有&彡2才能保证，而06.抓“特征”不等式恒成立问题和不等式能成立问题，两者“形似质异”，抓住它们的条件特征，有利于准确解题.例7(2006全国卷11文）设&£尺，二次函数,&)=&%2-2x-2a.gf(x)>0的解集为八，B={x|l解析：这是一个在不等式成立的前提下，求参数的范围问题.题目的要求与大部分见到的题并不相同，这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题，而本题却是一个不等式能成立的问题，因为题目的条件是只要集合六，6的交集不是空集就可以，即只要不等式以\)>()在区间(1，3)有解就可以，这等价于f(x)m a x>0，在)(£(1，3)成立.(1)当&〈0时，因为£&)的图像的对称轴1&<0，则对义£(1，3), £(1)最大，f(x)max=f(l)=a-2-2a>0 a<-2.(2)当&>0时，100max=f(3)=7a^>0>1>67.于是，实数&的取值范围是(-oo；-2)u(67,+°o).如果题目的条件不是&门丨3#，而是15A,则就化为€00>0在区间（1，3)恒成立的问题了.。
浅谈高中数学不等式的恒成立问题
，
，
３ （ １ ｎ ｘ ＋ ÷）
’ —
评注： 此类问题常因思维定势， 很多人易把它看成关于 Ｘ 的不等式讨论 ， 从而因计算繁琐 出错或者中途夭折； 若转 换一下思路 ， 把待求的 ｘ 为参数， 以 ｍ为变量， 令ｆ （ ｍ ） ＝ （ ｘ ２ － １ １ ｍ 一 ２ ｘ 一 １ ） 则问题转化为求一次函数（ 或常数函数 ） ， ｍ ） 的值 在［ － ２ ， ２ １ 内恒为负的问题， 再来求解参数 ｘ 应满足的条件 ， 这 样问题就轻而易举的得到解决了。 二、 分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中， 当不等式 中的参数（ 或关于参数的代数式） 能够与其它变量完全分离出来并， 且 分离后不等式其 中一边的函数（ 或代数式） 的最值或范围可 求时 ， 常用分离参数法 。 例 ２已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ （ ｅ ＋ ａ 】 （ ａ 为常数 ） 是实数集 Ｒ上的
二 ＋ 或ｘ － １ － Ｖ Ｔ 故 取 值 范 围 是 （ ｘ ＞ ＜ Ｔ
—
即 ｝ ｘ ３ ＋ ｘ ≥ ｘ （ １ 砸 ＋ 辜 ） 恒 成 立 。 由 于ｘ ＞ ０ ． ａ ｘ ￣ ＋ ｌ ≥ ｈ Ⅸ ＋ ÷，
亦
、 ／ ７— １ 、 ／ ３＋ １、
即 ｘ ｊ ≥ ｈ １ ｘ ＋ ， Ｚ 亦 即 ｝ｘ ｊ ２ ≥ ｌ ｌ ｌ ｘ ＋ ， Ｚ 所以 ａ ≥ —≠ ｘ ． ．
浅谈 高 中数学不 等式 的恒成 立 问题
福 建 省 南安 市诗 山 中学 郭 海 民
近年来全国各地高考数学试题 ， 考查不等式恒成立的 有关试题非常普遍， 这类问题既含参数又含变量 ， 往往与函 数、 数列、 方程、 几何有机结合起来， 具有形式灵活、 思维性 强、 不 同知识交汇等特点。 ． 不等式恒成立的问题既含参数又含变量 ， 往往与函数、 数列、 方程 、 几何有机结合起来 ， 具有形式灵活、 思维性强、 不同知识交汇等特点。考题通常有两种设计方式： 一是证 明某个不等式恒成立 ， 二是已知某个不等式恒成立 ， 求其中 的参数的取值范围。解决这类问题的方法关键是转化化归 通过等价转化可以把问题顺利解决 ， 下面我就结合 自己教 学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 构造函数法 在解决不等式恒成立问题时， 一种最重要的思想方法 就是构造适当的函数 ， 即构造函数法 ， 然后利用相关 函数的 图象和性质解决 问题 ， 同时注意在一个含多个变量的数学 问题中， 需要确定合适的变量和参数 ， 从而揭示函数关系 ， 使问题更加面目更加清晰明了， 一般来说 ， 已知存在范围的 量视为变量 ， 而待求范围的量视为参数。例如： 例１ 已知不等式 ２ ｘ 一 １ ＞ ｍ （ ｘ ２ － １ ） 对任意的 ｍ∈［ － ２ ， ２ 】 都成 立， 求的取值范围。 解： 由２ ｘ － ｌ ＞ ｍ （ ｘ ２ － １ ） 移项得： ｍ （ ｘ ２ － １ ） 一 （ ２ ｘ 一 １ ） ＞ ０ 。不等式 左侧与二次函数非常相似， 于是我们可以设 ｍ ） ＝ （ ｘ ２ ＿ １ ） ｍ 一 （ ２ ｘ 一 １ ） 贝 Ｊ ｌ 不等式 ２ ｘ 一 １ ＞ ｍ （ ｘ ２ － １ ） 对满足 ｍ∈ ［ 一 ２ ， ２ 】 的一切实数 ｍ 恒成立铮ｆ （ ｍ ） ＜ ０ 对１ １ １ ∈ ［ － ２ ， ２ 】 恒成立。当 一 ２ ≤ｍ ≤２ 时，
追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究
追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究蒋志飞【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】2页(P88-89)【作者】蒋志飞【作者单位】江苏省丹阳市吕叔湘中学【正文语种】中文最近，在高三的一轮复习课堂上接连出现含绝对值的函数最值问题，笔者在教学中发现很有规律可循，现整理成文，与同行探讨．求函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值．（2011年高校自主招生联盟之一“北约”试题）众所周知，函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a＜b）的最小值为ba，此时x∈［a，b］．这不仅可以利用函数图像求得，也可以用绝对值不等式的性质很快得出结果．这类问题可以推广为n元的情况，同样可以结合这类函数的图像特征，求出相应的最小值，并且发现有规律可循．但是，“北约”将这道题继续推广：当绝对值内x的系数不全为1时，函数的最小值问题．那么这类问题该如何求出，是否具有一般性的规律呢？下面就借助首先给出函数的最小值的求法．先给出引理：函数f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bn|（b1＜b2＜…＜bn，n∈N+）一定有最小值．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=bk时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［bk，bk+1］时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．引理证明：（1）当n=2k-1（k∈N+）时，f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bk|+…+|x-b2k-1|（b1＜b2＜…＜bk＜…＜b2k-1）．由绝对值不等式的性质得|x-b1|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b1，当且仅当x∈［b1，b2k-1］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-2|≥b2k-2-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-2］时，等号成立；……|x-bk-1|+|x-bk+1|≥bk+1-bk-1，当且仅当x∈［bk-1，bk+1］时，等号成立；|x-bk|≥0,当且仅当x=bk时等号．又bk∈［bk-1，bk+1］⊆［bk-2，bk+2］…⊆…⊆［b1，b2k-1］，所以当且仅当x=bk时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-1-b1+b2k-2-b2+…+bk+1-bk-1=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|．（2）当n=2k（k∈N+）时，同理可得|x-b1|+|x-b2k|≥b2k-b1，当且仅当x∈［b1，b2k］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-1］时，等号成立；……|x-bk|+|x-bk+1|≥bk+1-bk，当且仅当x∈［bk，bk+1］时，等号成立．又［bk，bk+1］⊆［bk-1，bk+2］⊆…⊆［b1，b2k］，所以当且仅当x∈［bk，bk+1］时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-b1+b2k-1-b2+…+bk+1-bk=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．从以上证明的过程可知，如果函数的常数bi（i=1，2，···，n）有相等量，只需对bi从小到大排序，同样可以按照上述方法求出其最小值及相应的x值．进而得到推论：对于函数（x1≤x2≤…≤xn，M，n∈N+）的形式．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=xk时，f（x）取最小值；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［xk，xk+1］时，f（x）取最小值．例1求函数y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相应x的值．解故当x∈例2若不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：不等式可化为|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+ |x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立．又函数y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|最小值为f（1）=3，于是只需3＞2m，得故实数m的取值范围为用此推论，易得“北约”考题解答：f（x）min通过对函数i∈N+）的最小值的探究，使我们掌握了一种简捷的求解方法，它回避了描点画图和烦琐的运算，为研究相关的绝对值不等式问题提供了有力的工具，在实际中也具有一定的应用价值．1．注重发散思维，拓展解题方法高中数学是一门重逻辑、重思维的学科，除了涉及到众多理论内容之外，针对不同类型的数学题目也有诸多求解的方法，所以为了更好地解决有关的高中数学问题，需要在明确解题思路的基础上，合理选择一些适宜的解题方法来达到快速求解数学问题的目的，这就要求高中数学教师在平时的解题教学中要注重拓展学生的发散性思维，比如通过“一题多解”或者“多题一解”的变式解题训练可以更好地锻炼学生的解题思维，从而可以为提升学生的高中数学求解能力奠定扎实基础．而高中数学求解中常用的解题法有构建函数法、数形结合法、反证法以及类比法等多种方法．但是无论采用何种解题法，都需要结合题干信息及已求解出的条件来合理选用求解的方法，从而最终达到求解的目的．2．把握解题的适度性，提升解题能力教学中注重把握解题教学训练的适度性，避免陷入题海求解训练，更重要的是要把握解题训练的精炼特性，以便学生解题训练的效果最大化．比如，针对不同类型的高中数学知识，教师可以专门为学生制定一些专项解题训练题目来进行求解训练；引导学生在平时的解题过程中要注重及时反思解题过程中的差误，归纳和总结解题的一些小技巧、小窍门等解题经验，从而逐步借助高效的解题训练和解题知识的积累来逐步提升学生的数学解题能力．总之，教无定法，贵在得法，高中数学解题教学也不例外．传统解题训练过于重视“就题论题”和“题海训练”，却忽视了学生在解题训练中的自主能动性和思维的灵活性，影响了学生的解题效果．若能注意解题中的一题多解、多题一解等解题思想，注意解题的效率，就能提高学生的解题能力，教师的教学效益．。
巧思妙法,破解不等式“恒成立”问题
㊀㊀㊀巧思妙法,破解不等式 恒成立 问题◉甘肃省天水市张家川回族自治县第三高级中学㊀范㊀烯㊀㊀摘要:不等式 恒成立 问题综合考查函数㊁不等式等相关知识,以及相应的数学思想方法,一直备受命题者青睐,是各级各类考试中的热点问题之一．解决不等式 恒成立 问题,有技可循,有法可依,合理构造,巧妙转化,总结规律,引领并指导数学教学与复习备考．关键词:不等式;恒成立;判别式;数形结合;分离参数㊀㊀涉及不等式恒成立 的问题,是高中数学函数与不等式的一个重点与难点,往往以含参不等式的形式出现,是一类极具交汇性㊁综合性与创新性的复杂应用问题,难度较大,形式多样．不等式 恒成立 问题知识融合性强,解决时有一定的经验规律与技巧方法可循,能有效考查学生各方面的数学基础知识㊁数学思想方法与数学能力等,具有较好的选拔性与区分度,倍受各方关注．１利用判别式法解决不等式恒成立 问题判别式法是通过引入参数进行待定系数法转化,利用二次方程有根来合理构建判别式,进而结合不等式的求解来分析与解决．例１㊀对于任意的正数a ,b ,不等式(２a b ＋a ２)k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２恒成立,则实数k 的最大值为．分析:根据题目条件等价转化对应的 恒成立 不等式,构建涉及分式不等式的恒成立问题,转化为关于b 的二次方程,利用方程有根并结合判别式构建对应的不等式,通过不等式的求解来确定参数的最值,进而得以确定实数k 的最大值．解析:由不等式(２a b ＋a ２)k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２恒成立,可得不等式k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a２恒成立,即k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a ２æèçöø÷m i n．设４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a２＝λ(λ＞０)．整理可得４b ２＋(４－２λ)a b ＋(３－λ)a ２＝０,将其看作关于实数b 的二次方程．由判别式Δ＝(４－２λ)２a ２－１６a ２(３－λ)ȡ０,整理可得λ２ȡ８．又λ＞０,解得λȡ２㊀２．所以k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a ２æèçöø÷m i n＝２㊀２,即k 的最大值为２㊀２,故填答案:２㊀２．点评:利用判别式法解决不等式 恒成立 问题,关键是通过不等式的恒等变换等进行处理,巧妙引入参数转化为涉及某一变元的一元二次方程,利用方程有实根所对应的判别式非负来构建不等式,进而确定参数的取值范围,从而得以解决相应的不等式 恒成立 问题．２利用数形结合法解决不等式恒成立 问题数形结合法的关键就是将 恒成立 不等式合理转化为一个常规函数或一个含参函数的问题,通过函数图象的 形 来直观分析与处理．例２㊀已知函数f (x )＝e x－m x ,当x ＞０时,(x －２)f (x )＋m x ２＋２＞０恒成立,则实数m 的取值范围为．分析:据题目条件对相应的不等式进行等价化归与转化,结合参变分离法进行处理,并通过构造两个函数,把对应的函数的 数 转化为两个函数图象的 形 的问题,进而数形结合,考察含有参数的动直线与定曲线的位置关系,从而建立相应的关系式来确定对应的参数值．解析:由(x －２)f (x )＋m x ２＋２＞０,得(x －２) e x＞－２m x －２,则问题等价于 当x ＞０时,(x －２)e x ＞－２m x －２恒成立 ．图１构造g (x )＝(x －２)e x ,h (x )＝－２m x －２．如图１所示,根据条件,只要考察当x ＞０时,曲线g (x )＝(x －２)e x 的图象恒在直线h (x )＝－２m x －２的上方即可．对g (x )求导,可得g ᶄ(x )＝(x －１)e x．当x ɪ(０,１)时,g ᶄ(x )＜０,g (x )单调递减;当x ɪ(１,＋ɕ)时,g ᶄ(x )＞０,g (x )单调递增．又当x ɪ(０,＋ɕ)时,g ᵡ(x)＝x e x＞０,所以g (x )在(０,＋ɕ)上是凹函数．９５２０２２年１０月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀而g(０)＝h(０)＝－２,所以只要满足直线h(x)＝－２m x－２的斜率不大于曲线g(x)＝(x－２)e x在x＝０处的切线的斜率即可．所以有－２mɤgᶄ(０)＝－１,解得mȡ１２．即实数m的取值范围为１２,＋ɕéëêêöø÷．故填答案:１２,＋ɕéëêêöø÷．点评:利用数形结合法解决不等式 恒成立 问题,关键是结合 恒成立 的不等式进行恒等变形与转化,构建与之对应的两个函数,通过一条定曲线与一动直线的位置关系,利用图形直观确定临界位置,这是数形结合处理此类问题的关键所在．３利用分离参数法解决不等式 恒成立 问题分离参数法是解决含参不等式 恒成立 问题最常用的一类技巧方法,结合不等式进行恒等变形,分离出相应的参数,再从另一边所对应的函数来切入与处理．例３㊀(清华大学２０２０年１月份中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷文科 １２)已知不等式x＋a l n x＋１e xȡx a对xɪ(１,＋ɕ)恒成立,则实数a的最小值为(㊀㊀)．A．－㊀e㊀㊀B．－e２㊀㊀C．－e㊀㊀D．－２e分析:合理结合题目条件中不等式的等价变形与转化,再结合不等号两边的函数结构特征,利用函数的同构处理,通过函数求导确定函数的单调性,进而巧妙分离参数,最后利用函数的构建以及其单调性,进而确定相关参数的取值范围．解析:由x＋a l n x＋１e xȡx a,变形可得x＋e－xȡx a－a l n x,则有x＋e－xȡx a＋l n x－a．设函数f(x)＝x＋e－x(x＞１),可知f(l n x－a)＝l n x－a＋e－l n x＝l n x－a＋x a．那么x＋e－xȡx a＋l n x－aÛf(x)ȡf(l n x－a)．又当xɪ(１,＋ɕ)时fᶄ(x)＝１－e－x＞０,则由f(x)单调递增,可得xȡl n x－a＝－a l n x,即aȡ－x l n x．设g(x)＝－x l n x(x＞１)．求导有gᶄ(x)＝－l n x－１l n２x．由gᶄ(x)＝０,可得x＝e．所以函数g(x)在(１,e)上单调递增,在(e,＋ɕ)上单调递减．故g(x)ɤg(e)＝－e,从而aȡ－e．故选择:C．点评:利用分离参数法解决不等式 恒成立 问题,关键是对含参不等式进行合理恒等变形与转化,巧妙分离出参数,进而构建对应的函数,通过基本初等函数的单调性或借助函数求导处理来确定对应函数的单调性,进而确定对应函数的极值或最值,从而得以确定参数的取值范围．４利用主参变换法解决不等式 恒成立 问题主参变换法就是改变常规的主元与参数之间的关系与性质,转换思维角度,从 旁观者 的视角来切入,实现问题的化归与转化．例４㊀已知函数y＝m x２－m x－６＋m,若对于１ɤmɤ３,y＜０恒成立,则实数x的取值范围为．分析:根据题目条件,构建不等式恒成立所对应的不等式,借助主参变换处理,转化为涉及参数m的一次不等式,利用题目条件以及参数m的限制条件构建涉及参数x的不等式,进而利用题目条件转化相应的一元二次不等式,通过求解不等式来确定对应实数x的取值范围．解析:由y＜０,得m x２－m x－６＋m＜０．借助主参变换处理,整理可得(x２－x＋１)m－６＜０．又由１ɤmɤ３,可知不等式x２－x＋１＜６m恒成立,则x２－x＋１＜６３,即x２－x－１＜０,解得１－㊀５２＜x＜１＋㊀５２．所以,实数x的取值范围为(１－㊀５２,１＋㊀５２)．故填答案:(１－㊀５２,１＋㊀５２)．点评:利用主参变换法解决不等式 恒成立 问题,关键是利用题目中的不等式进行恒等变形与巧妙转化,合理转化主元与参数之间的关系,进行主参变换处理,结合不等式恒成立加以巧妙化归,进而转化为不等式㊁函数等其他相关问题加以分析与处理．涉及不等式 恒成立 的问题,解决的基本策略就是 含参 转化与 分参 处理两个基本思维角度．具体解决时,或通过 数 的视角,利用判别式法㊁分离参数法㊁主参变换法等处理;或通过 形 的视角,数形结合法等处理．综合不等式的性质以及函数的基本性质等,合理构造,巧妙转化为较为熟悉的数学模型,从而得以破解不等式 恒成立 问题,提升学生数学品质㊁数学能力,培养数学核心素养．Z０６复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１０月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
浅谈不等式恒成立问题doc
浅谈不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。
在05年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。
本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。
法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
中文关键词“不等式”, “恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。
1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22解之：得x 的取值范围为231x 271+<<+-2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。
结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<<解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立 记f(x)=x 2-x-a 2+a+1则应满足(-1)2-4(-a 2+a+1)<0 化简得 4a 2-4a-3<0解得 2321<<-a ,故选择C 。
不等式恒成立问题的求解方法探析
不等式恒成立问题的求解方法探析黄秋兰（江西省南昌市第十六中学）本文通过结合实例来探析解决这类问题的常用策略以及数学思想方法.一、变量分离法对于一些含参数的不等式问题，通过将不等式同解变形，使不等式中的变量和参数分离，再通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题.例1.若对于任意角总有sin 2θ+2m cos θ+4m -1<0成立，求m 的取值范围.解析：此式是可分离变量型，由原不等式得2m （cos θ+2）<cos 2θ，又cos θ+2>0，则原不等式等价变形为2m <cos 2θcos θ+2恒成立.因此，2m 必须小于cos 2θcos θ+2的最小值，这样问题化归为怎样求cos 2θcos θ+2的最小值.因为cos 2θcos θ+2=（cos θ+2）2-4（cos θ+2）+4cos θ+2=cos θ+2+4cos θ+2-4≥4-4=0即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0.例2.设函数f （x ）=1x ln x（x >0且x ≠1）①求函数f （x ）的单调区间；②已知21x>x a 对任意的>x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围.解析：①略，可知f （x ）的单调增区间为（0，1e），单调减区间为（1e，1）和（1，+∞）②对21xx a 两边取自然对数，得1xln2>a ln x两边同时除以ln x ，分离出参数a ，得a >ln2x ln x （ln x <0）由①知，当0<x <1时，f （x ）=1x ln x 的最大值为f （1e ）=-e∴y =ln2x ln x的最大值为-e ·ln2∴a>-e ·ln2即可保证原式恒成立.所以实数a 的取值范围是（-e ·ln2，+∞）一般地，若f （a ）≥g （x ）恒成立，只须求出g （x ）max ，则f （a ）≥g （x ）max ，（若f （a ）≤g （x ）恒成立，只须求出g （x ）min ，则f （a ）≤g （x ）min ），然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题关键还是转化为函数求最值.二、主元变更法在解决某些含参数不等式恒成立问题时，应克服思维的定势和认识上的习惯，常量与变量是相对的，在主元与参量交织在一起时，要敏锐地捕捉到主元，建立关于主元的函数.例3.若不等式2x -1>m （x 2-1）对满足m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.解：设f （m ）=m （x 2-1）-（2x -1），对满足m ≤2的m ，f （m ）<0恒成立，∴f （-2）<0f （2）<0{∴-2（x 2-1）-（2x-1）<02（x 2-1）-（2x-1）<0{解得：-1+7√2<x <1+3√2例4.对于满足0≤p ≤4的一切实数p ，不等式x 2+px >4x+p -3恒成立，求x 的取值范围.分析：我们的学生习惯上把x 当作自变量，若记函数y=x 2+（p -4）x +3-p ，于是问题转化为当p ∈［0，4］时y >0恒成立，求x 的范围.解决这个问题常需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这就复杂了.但若能把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在［0，4］内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题，问题就简化了.解：设f （p ）=（x -1）p+x 2-4x +3，当x =1时显然不满足题意.由题设知当0≤p ≤4时f （p ）>0恒成立，f （0）>0，f （4）>0即x 2-4x +3>0且x 2-1>0，解得x >3或x <-1.x 的取值范围为x >3或x <-1.三、数形结合法我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”这充分说明了数形结合思想的妙处.在不等式恒成立问题中利用数形结合同样有重要意义.将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，摘要：恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式恒成立问题更是高考的重点.不等式恒成立问题把数学中有关不等式、函数、三角、几何、数列、导数等内容有机地结合，其既具综合性较强，覆盖知识点多，解题方法灵活等特点，又能有效地考核对所蕴涵数学思想和方法的掌握.但学生遇到这类问题时，却较难找到解题的切入点和突破口，因此它也是教学的难点.关键词:不等式；恒成立；函数（下转第102页）设点A 、C 坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 1+x 2=4km k 2+4，y 1+y 2=-1k （x 1+x 2）+2m=2k 2m k 2+4∴线段AC 的中点G 的坐标为（4km k 2+4，k 2m k 2+4）.将点G 的坐标代入直线OB 的方程y=kx （k ≠0），得k 2m k 2+4=k ·4km k 2+4，化简得1=4，这与1≠4矛盾所以四边形OABC 不是菱形方法四：因为四边形OABC 为菱形，所以OA =OC ，设OA =OC =r （r >1）则A ，C 两点为圆x 2+y 2=r 2与椭圆x 24+y 2=1的交点联立方程x 2+y 2=r 2x 24+y 2=1⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐得x 2=4（r 2-1）3所以A ，C 两点的横坐标相等或互为相反数。
一题多解“论”变式,化归思想“谈”解法——以不等式恒成立问题为例
课初始阶段．成功的开端教学能够引起学生的学习 兴趣，营造出民主、和谐的学习氛围，激发他们的 创新思维，提升自身的数学核心素养．在教学过程 中，教师要重视吸引学生的注意力，发散他们的数 学思维，使其快速进入学习状态．
新能力的核心，同时要教会学生从归纳概括得到猜 想和规律，并加以验证等创新的重要方法．因为数 学不仅是思维的科学，也是实验科学．数学推理不 仅包括演绎推理，还包括了合情的归纳推理．
教材是《课程标准》落实的具体平台，是课程 目标的具体化，是教与学的总指针．中考既是选拔 性考试，又兼顾学业评价考试的功能．所以，近年 来的中考试题编写常常取材于课本例题或课后的 习题，或是取问题情境，或是弱化条件强化问题的 结论．纵观各种情况，都不外乎教材的例题、习题 或探究活动都具有导向性、典型性，是《课程标准》 和课程总目标落实的具体化．在平日教学中，教师 不要盲目的抛开教材，一味追求试题的难点或广 度，而应高度重视开发教材、挖掘和利用好教材．具 体就是以典型例题、习题为范本，举一反三，做到 “一题多解、一题多变、一题多法”，把知识融会贯 通．这样，教师教得容易学生学得轻松，轻负优质 的教学也必然实现．
在本节课中，笔者首先引导学生回顾了以前学 过的二次函数求最值的方法，要求他们完成当 x ∈[2，4] 时，求函数 y = x2 − 2x +1 的最大值和最小
28
福建中学数学
2019 年第 3 期
值，（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，
为下面引出二次函数求最值的方法做铺垫）．学生
画出函数图象，观察图象得到最高点和最低点，进
启示 数学基本思想是《课程标准》的“四基” 之一，而中考考纲应符合《课程标准》要求．近几 年全国各地中考数学试题把数学基本思想和方法 作为必考．因此试题中把数学思想方法、数感、运 算能力、推理能力、几何直观、模型思想等有机地 综合屡见不鲜．所以教学过程中要注意以下问题：
例谈解答不等式恒成立问题的两个路径
解答本题，我们首先需对原不等式进行变形，使
不 等 式 左 右 两 边 的 形 式 相 似 ，然 后 构 造 函 数
g(x) = ex + x, ，将原不等式恒成立问题等价转化为证明
g(x - ln a) > g(ln(x - 1)) 恒成立，再构造新函数 h(x) ，通
过研究其导函数判断出函数的单调性，求得函数 h(x)
∴
1 a
ex
>
ln
a(x
-
1) -
1，
∴ ex - ln a - ln a > ln(x - 1) - 1，
∴ ex - ln a + x - ln a > eln(x - 1) + ln(x - 1)，
令 g(x) = ex + x, 显然该函数为增函数，
∴原不等式可以化为：g(x - ln a)> g(ln(x - 1)) ，
方法集锦
例谈解答不等式恒成立问题的两个路径
严步胜
不等式恒成立问题是一类常考的题目，此类问题
的综合性较强，不仅考查了不等式、方程、导数、函数
的图象和性质，还考查了数形结合思想与转化思想，
是一类难度较大的问题.解答此类问题的常用方法是
分离常数法、主元变换法、数形结合法等.本文以一道
典型题目为例，谈一谈解答不等式恒成立问题的另外
两种方法：换元法与同构法，以帮助同学们拓宽解答
不等式恒成立问题的思路.
例题:已知 f (x) = ex - a ln(ax - a) + a(a > 0) ,若 f (x) > 0
恒成立，求 a 的取值范围.
该函数中含有指数和对数式，采用常规的方法很
探析不等式的恒成立问题
探析不等式的恒成立问题作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2016年第02期含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式出现在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色. 题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想，是高考热点题型之一. 解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下几种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题来解决恒成立问题（2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题来解决恒成立问题（3）转化为两个函数图像之间的关系，用数形结合来解决恒成立问题（4）某区间上任意型的不等式恒成立问题①对于区间D上的任意实数x，不等式f（x）> a恒成立，等价于在区间D上f（x）min>a.②对于区间D上的任意实数x，不等式f（x）< b恒成立，等价于在区间D上f（x）max<b.③对于区间D上的任意实数x，不等式f（x）④对于任意实数x1∈D1，x2∈D2，不等式f（x1）（5）某区间上存在型的不等式恒成立问题①存在x∈D使不等式f（x）>a恒成立，等价于在区间D上f（x）max> a.②存在x∈D使不等式f（x）③存在x∈D使不等式f（x）④存在实数x1∈D1，x2∈D2，不等式f（x1）（6）某区间上综合任意型和存在型的不等式恒成立问题①对于任意实数x1∈D1，存在实数x2∈D2，不等式f（x1）②对于任意实数x1∈D1，存在实数x2∈D2，不等式f（x1）>g（x2）恒成立，等价于f （x1）min > g（x2）min.典例剖析1. 变换主元，转化为一次函数问题来解决恒成立问题首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解. 此方法常适用于化为一次函数. 对于一次函数f（x）=kx+b， x∈[m， n] 有：f（x）>0恒成立？圳f（m）>0，f（n）>0，f（x）例1. 求使不等式x2+（a-6）x+9-3a>0，| a |≤1恒成立的x的取值范围.解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式（x-3）a+x2-6x+9 > 0. 令f（a）=（x-3）a+x2-6x+9 . 因为f（a） > 0在| a |≤1时恒成立，所以：（1）若x=3，则f（a）=0，不符合题意，应舍去.（2）若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f（-1）>0，f（1）>0，即x2-7x+12 >0，x2-5x+6 >0，解得x4.点评：在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系.本题已知参数a的取值范围，求x的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于x的不等式就立即转化为关于a 的不等式，问题便迎刃而解了.点评：对于指定区间上的不等式的恒成立问题，通常要转化为函数的最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案.总之，在解综合性较强的不等式恒成立问题时，要选择何种解法，应以题为本，关键抓住恒成立的本质，具体问题具体分析，灵活选择最行之有效的方法，而不要拘泥于一种方法.责任编辑徐国坚。
【技巧与方法】【通解探索】不等式恒成立问题的解法探究
7
−
e2
,
故
a的取值范围是Fra bibliotek[7
−
e2
,
) +∞ .
4
4
所以 g(x) 在 (0, 2) 内单调递增, 而 g(0) = 1, 故当 x ∈ (0, 2) 时, g(x) > 1, 不合题意.
评注 所给不等式进行合理的变形化为 f (x) g(x)(或 f (x) g(x)), 能较容易地作出不等号两边函数的图象, 由数
(x1, x2) 单调递减, 在 (x2, +∞) 单调递增, 且 g′(0) = g′(2) =
2(
2)
1, 构造函数 g(x) = 1 x3 − ax2 +x+1 e−x (x 0), 则
2
f (x) > 0 恒 成 立 ⇔ f (x)min > 0 (注: 若 f (x) 的 最
小值不存在, 则 f (x) > 0 恒成立 ⇔ f (x) 的下界大于 0);
f (x) < 0 恒成立 ⇔ f (x)max < 0 (注: 若 f (x) 的最大值不存
x
+
) 1
e−x
42
2
时 [g′′(x)]min = g′′(ln 3) = 2a + 3 (1 − ln 3). (i) 若 2a + 3 (1 − ln 3) 0, 即 a 3 (ln 3 − 1) , 则 g′(x) 2
在 (0, +∞) 内单调递增, g′(x) 0, g(x) 在 [0, +∞) 内单调
+m m2
+
1
−
em
)
,
高考数学解题技巧,不等式恒成立问题设计独特
高考数学解题技巧，不等式恒成立问题设计独特很多高三的同学，就要面临高考了，在这里希望所有的高三学子都能考上你们想要大学。
高考一天一天的临近，大家的压力也是与日俱增！而不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点。
考生对于这类问题难以寻求问题解决的切入点和突破口，这里对这一类问题的求解策略作一些探讨。
1、函数最值法2、分离参数法：评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为函数最值法求解。
3、数形结合法：评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法。
4、变更主元法：5、特殊化法（压缩参数范围）评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法。
6、分段讨论法评注：① 分段讨论法是将函数定义域中变量x分为几段来具体讨论求参数范围，所求的参数对各段的x要同时成立，最终将各段中求得的参数范围求交集，要特别注意分段讨论与分类讨论的区别！② 当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系。
7、单调性法评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解。
技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功。
就先分享这些。
希望这些解题技巧能对大家有点帮助！。
回归问题本质防止高中数学解题“一错再错”
回归问题本质防止高中数学解题“一错再错”王莉红【摘要】面对高中数学教学中学生解题一错再错的现象,教师要重视错题、要备好学生、要将问题化繁为简,要重过程,要重通性通法,使得问题回归到本质,促进学生对问题的透彻理解,从而防止“再错”发生.【期刊名称】《福建教育学院学报》【年(卷),期】2018(019)009【总页数】3页(P52-54)【关键词】重视错题;备好学生;化繁为简;重过程;重通性通法【作者】王莉红【作者单位】建阳第一中学,福建建阳354200【正文语种】中文【中图分类】G633.6在高中数学教学中，学生的“一错再错”现象总是随处可见。
作为教师的我们总是认为学生学习不用心，不努力，导致屡考屡错。
事实上，问题真的都出在学生身上吗？其实不然，很多时候，教师只告诉学生“这题这样做”，却未必深究“为什么这样做”，使得很多学生对问题本质模糊不清，题型稍加变换或时间一长，就又一错再错了。
下面，笔者就从教师教的层面入手，就教师如何回归问题本质，防止“再错”现象，谈谈几点拙见。
一、重视学生的错题学生的错题，恰好是教师教学的宝贵资源，因为它反映出学生在对这类知识的掌握过程中存在着不足之处，给学生提供了查缺补漏的机会。
这些错题，不仅学生要去回顾反思，找到出错原因，教师也要追根溯源。
在教师找到源头之后，对症下药，就可避免学生一错再错的现象发生。
值得一提的是：教师不能认为错题曾经强调过了，在再次讲评时而简单带过。
因为学生错误已是先入为主、根深蒂固，只有经过反复的认知，方可加深学生对知识本质的理解，打破原有惯性思维，迫使学生产生内在“观念冲突”，才能建立新的“认知平衡”。
［1］所以，教师应深入剖析问题本质，并进行有针对性的变式巩固，对一个错误变换不同的背景，不断呈现，使得学生的错误经过反复校正得到强化、固化，从而改善学生一错再错的现状。
二、备好教材，更要备好学生在备课时，限于学生的认知水平，教师对学生解题时可能会混淆和卡壳的知识点要做到心中有数，这样在课堂上才能有的放矢，揭示问题本质，避免学生学得“云里雾里”。
不等式(恒)成立问题的探究
不等式(恒)成立问题的探究
陈玉娟
【期刊名称】《新高考（高二数学）》
【年(卷),期】2015(000)005
【摘要】高中数学中有关函数、方程和不等式的综合问题常涉及不等式（恒）成立问题，这类问题主要考查初等函数与导数的综合运用，常见于高考压轴题．同学们可以再好好品味下本文解决此类问题常用的两种通法．通法一的“优势”是构造的函数比较“整齐”，“劣势”是常需分类讨论才能解决．通法二的“优势”是常可避免分类讨论，“劣势”在于构造的函数比较复杂，常为分式．所以在选用时要具体问题具体分析．
【总页数】3页(P30-32)
【作者】陈玉娟
【作者单位】江苏省常州高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.不等式恒成立与能成立以及恰成立问题的探究
2.不等式恒成立与能成立以及恰成立问题的探究
3.问题巧转化导数妙破解
——一道含参不等式恒成立问题的探究4.基于问题链的高中数学深度学习探究与实践——以"含参数不等式恒成立问题"教学为例5.问题巧转化导数妙破解——一道含参不等式恒成立问题的探究
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
浅析不等式恒成立的求解方法
。蒙自县文澜高级中学邓绍锋
近年来，高考试卷中经常出现不等式恒成立的 问题。不等式恒成立与函数的最值即甬数图象的最 值点密切相关．也就是利用极端思想的原理。不等式 ｆ（ｘ）≥ａ恒成立，其实质就是ｆ（ｘ）的最小值大于或等于 ａ，不等式“ｘ）≤ａ恒成立．实质是“ｘ）的最大值小于等 于乱不等式“ｘ）≥ｇ（ｘ）恒成立实质是“ｘ）一ｇ（ｘ）的最大 值大于等于Ｏ，不等式ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）恒成立，实质是 ｆ（ｘ）一ｇ（ｘ）的最大值小于等于Ｏ．这类问题有时可以用 图象法解决。 函数的图象法是用图象来表示两个变量的函数 关系，其优点是直观形象。通过研究图象的变化趋 势，归纳图象的性质解决问题，这是数形结合的典型 方法．它以形为主．辅之以数，用于解决某些恒成立 的不等式是一个不错的选择。 一、一次函数型 给定一次函数ｙ－＝ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｂ（ａ≠Ｏ），若ｙ－－ｆ（ｘ）在 ［ｍ，ｎ］内恒有ｙ－－ｆ（ｘ）＞Ｏ成立，则由函数的图象可得，
㈨岭・¨吣Ｉ－ｆ芒’ｘ芸Ｋ１
作函数Ｙ３＝ｌｌｏｇ．，ｘＩ的图像，使图像经过点（了１，１），
州ｘ）图象相切时，ｐ的取值最大，此时一号＋号－－－－－－Ｘ＋２
［叩Ｘ２－２Ｘ一（ｐ－－４），于是△＝４“（ｐ．４）＝０可以求得ｐ＝３．
行事有效的校长应具备什么品质
一是远见。校长需要有远见，能够与学校及社 区的所有成员进行交流。 二是决心。成功的校长需具备坚定的性格。 三是恒心。成功的校长会遇到各种人群的阻 力，所以他们需要有恒心。 四是情商。成功的校长需要理解他人，能够调 动员工的积极性。 由此，我们大致可以得出这么一个逻辑判断： 校长行事是否有效，将决定他会做什么事情．继而 影响到学校课堂教学的有效性。因此，校长的行事 有效，将决定和影响到课堂教学的有效性。 摘自＜上海教育＞
导数之恒（能）成立问题解析
导数之恒（能）成立问题解析发布时间：2023-03-07T06:25:34.915Z 来源：《中国教工》2022年10月20期作者：侯萍[导读] 恒成立问题为高考热点，多与导数结合，既考察学生的计算能力，又考察分类讨论侯萍弥勒市第一中学云南弥勒652399恒成立问题为高考热点，多与导数结合，既考察学生的计算能力，又考察分类讨论，化归转化，数形结合等多种数学思想，综合性极强。
该题型通法为分离参数法，即将问题化归转化为给定区间上的af(x)(或af(x))形式后求解af(x(或af(x)即可。
需要注意的是自变量系数部分为一个代数式或不等式两边同时除以一个代数式时，该代数式符号要能确定，否则就要分类讨论，或结合具体条件寻找有无特法。
如：x[]时，ax+2>0恒成立，求实数a的取值范围。
除了分类讨论法，本题只要使线段的两个端点均在x轴上方即可，即易得-2<a<2。
又如：已知函数(a - )+ lnx ，aR。
（1）当a=1时，求f(x)在[1,e]上的最值；（2）当x时，函数f(x)的图像恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围。
解：（1）易知f(x)=x+>0，f(x=f(1)= ，f(x=f(e)=1+ ；（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a - )+ lnx -2ax 。
由题知x时，g(x)<0恒成立。
因为g(x)=(2a - 1)x - 2a+ = 。
，即a=时，检验得符合要求；当时，令g(x)=0得x=1或x= 。
①当,即时，x>时g(x)>0 ，1<x<时g(x)<0 。
故x时g(x)不合题意，舍去；②当0<,即a1时，x时g(x)>0 ,g(x)不合题意，舍去；③当<0,即a<时，2a-1<0, x时g(x)<0，g(x)递减，只要g(1)= - a - ,则此时 ,综上可知，实数a的取值范围为再如本题第三问：已知函数 + xlnx，g(x)= - 3 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
追根溯源，返朴归真——恒成立不等式的本质与通法探讨龙诗春 湖南省衡南县第五中学先看2010年天津理第16题及提供的参考答案：设函数()21f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x fx f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是 。
解法１．不等式化为()222222211441440x x m m x m m--+--++-≥，即222114230m x x m ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭，因为20x >，所以22212314x m m x +-+≥， 设()223x g x x+=，3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭。
令1u x=，则203u <≤，函数()()232g x h u u u ==+在区间20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，因而max )(x g =2422833933h ⨯⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，所以1－21m ＋42m ≥max )(x g =38， 整理得()()2243310m m -+≥，解得32m ≤-或32m ≥，因此实数m 的取值范围是33,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎪⎝⎦⎣⎭U 。
解法2．不等式化为()222222211441440x x m m x m m--+--++-≥，整理得222114230m x x m ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭，令2221()1423F x m x x m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭。
由于()030F =-<，则其判别式0∆>，因此()0F x ≥对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立⇔F(x)的图像如图⇔22221140;30;22312214m m F m m ⎧⎪⎪-+>⎪⎪⎪⎛⎫≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得234m >，因此实数m 的取值范围是33,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U 。
解法3．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x fx f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，把32x =代入上式得()233144222f m f f f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即 2222991144144444m m m m--⋅+≤-+-，即()()2243310m m -+≥，解得32m ≤-或32m ≥，因此实数m 的取值范围是33,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎪⎝⎦⎣⎭U 。
解法3对吗？这种采取取特定值确定参数范围的方法无论是填空题还是解答题都是不妥的，只不过在这里取32x =时碰巧最后结果是对的，但我们可能习惯于取整数来求解，这时得到的可能就不是应该要的结果了，费时费力却不讨好。
不过，解法3却告诉了我们恒成立含参数形式的不等式问题的本质，如f(x ，a)≥0对x ∈D 怛成立，求a 的取值范围，其实质就是对于x 取D 内的每一个值x i 代入f(x ，a)≥0求出相应的a 的取值范围M i ，那么符合题意的a 的取值范围就是M i 的交集。
但由于通常情况下x 的取值是无穷的，所以运用这种方式是很难求得a 的取值范围的。
解法1采用变量分离再转化为函数最值问题来求解，但它并不是任何时候任何这类问题都可行的方法，解决这类问题的通法是什么呢？解法2！实际上，f(x ，a)≥0（＞0）对x ∈D 怛成立，求a 的取值范围。
令g(x)=f(x ，a)，x ∈D ，问题就转化为求g(x)的最小值h(a)，这样f(x ，a)≥0（＞0）对x ∈D 怛成立⇔h(a)≥0（＞0），由此求得a 的取值范围，这就是解决这类问题的通常方法！下面结合两道高考题所提供的参考答案分析这类问题的通法求解。
例1 2011年湖北文20设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32g x x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。
(I) 求a 、b 的值，并写出切线l的方程；(II)若方程()()f x gx m x +=有三个互不相同的实根0、x、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)f xg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。
【参考答案】解：(I)/2/()34,()23f x x ax b g x x =++=-，由题意得)2(f =0，)2(/f =)2(/g =1，解得：2,5a b =-=；切线l 的方程：20x y --=。
(II)由(I)得32()()32f x g x x x x +=-+，依题意得：方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相等的根120,,x x ，故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两个相异实根且12,x x 不等于0，所以△=9－4（2－m ）＞0，得m ＞－41且m ≠2；又对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)f xg x m x +<-恒成立，特别地，取1x x =时，111()()f x g x m x m +-<-成立，即00m m <-⇒<，由韦达定理知：121230,20x x x x m +=>=->，故120x x <<，对任意的[]12,x x x ∈，有210,0,0x x x x x -≤-≥>，则：12()()()()0f x g x m x x x x x x +-=--≤；又111()()0f x g x m x +-=所以函数在[]12,x x x ∈上的最大值为0，于是当0m <时对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-恒成立；综上：m 的取值范围是1(,0)4-。
本解法结合x 取特定值来确定m 的取值范围，有点出乎意料，下面运用通法求解，就会觉得思考自然生成，不会有一种涩涩的感觉，而且指向问题的实质所在。
另解第(II)问：由题设可得m ＞－41且m ≠2；令)(x h =)(x f ＋)(x g －m x =3x －32x ＋（2－m ）x =x （2x －3x ＋2－m ），)(/x h =32x －6x ＋2－m ，其△=12（1＋m ）＞0，故)(/x h =0有两相异实根，设为3x 、4x 。
当－41＜m ＜2时，3x ＞0且4x ＞0，结合条件可得)(x h 的示意图如图1。
因而对任意x ∈[1x ，2x ]，()()(1)f x g x m x +<-恒成立⇔对任意x ∈[1x ，2x ]，)(x h ＜－m ⇔对任意x ∈[1x ，2x ]，max )(x h ＜－m ⇔0＜－m ⇔－41＜m ＜0。
当m ＞2时，3x ＜0且4x ＞0，结合条件可得)(x h 的示意图如图2。
这时当x ∈[1x ，0]时，)(x h ≥0，而－m ＜0，所以对任意x ∈[1x ，0]，)(x h ＜－m 不成立。
综上得，符合要求的m 的取值范围是1(,0)4-。
本解法实际上就是研究三次多项式函数的性质与图像，通过对于性质的探讨得到函数图像的特征，结合图像特征来解决问题。
图1 图2 例2 2010全国卷2理数22 设函数()1xf x e-=-。
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围。
【参考答案】（I ）当x >－1时，)(x f ≥1+x x当且仅当x e ≥1＋x 。
令)(x g =x e －1－x ，则)(/x g =xe －1。
当x≥0时，)(/x g ≥0，)(x g 在[0，＋∞）是增函数；当x ≤0时，)(/x g ≤0，)(x g 在（－∞，0]是减函数。
于是)(x g 在x =0处达到最小值，因而当x ∈R 时，)(x g ≥)0(g ，即xe ≥1＋x 。
所以当x ＞-1时，()1x fx x ≥+。
（II ）由题设x ≥0，此时)(x f ≥0。
当a ＜0时，若x ＞－a1，则1+ax x ＜0，)(x f ≤1+ax x 不成立；当a ≥0时，令)(x h =a x )(x f ＋)(x f －x ，则)(x f ≤1+ax x 当且仅当)(x h ≤0。
)(/x h =a )(x f ＋a x )(/x f ＋)(/x f －1=a )(x f －a x )(x f ＋a x －)(x f 。
（i ）当0≤a ≤21时，由（I ）知x ≤（x ＋1）)(x f ，)(/x h =a )(x f －a x )(x f ＋a x －)(x f≤a )(x f －a x )(x f ＋a （x ＋1）)(x f －)(x f =（2a －1）)(x f ≤0，)(x h 在[0，＋∞）是减函数，)(x h ≤)0(h =0，即)(x f ≤1+ax x 。
（ii ）当a ＞21时，由（i ）知x ≥)(x f ，)(/x h =a )(x f －a x )(x f ＋a x －)(x f ≥=a )(x f －a x )(x f ＋a )(x f －)(x f =（2a －1－a x ）)(x f ，当0＜x ＜aa 12-时，)(/x h ＞0，所以)(x h ＞)0(h =0，即)(x f ＞1+ax x 。
综上，a 的取值范围是[0，21]。
第（II ）问的求解可谓构思巧妙，巧妙在于运用第（I ）问的结果利用不等式的放缩技巧帮助求解，这种解法对于思维具有不一般的跳跃性，可谓匠心独运！在对解法惊叹之余，自然想明白是否有更易入手的途径解决本问题。
下面给出另两种解法： 解法1：当a ＜0时，同参考答案；当a ≥0时，（变量分离）因x ≥0，所以a x ＋1＞0，x =0时)(x f ≤1+ax x 显然成立；当x ＞0时，)(x f ≤1+ax x ⇔a x （x e －1）≤（x －1）xe ＋1⇔a ≤)1(1-+-xxxe x e xe ，令)(x g =)1(1-+-xxx e x e xe ，x ＞0；则当x ＞0时，)(x f ≤1+ax x ⇔a ≤min )(x g 。
)(/x g =2222)1(21---+xxxxe x e x e e ，令)(x h =xe2＋1－2xe －2x xe ，)(/x h =x e （2x e －2x －2x －2），令)(x m =2x e －2x －2x －2，)(/x m =2xe －2x －2，，)(//x m =2x e －2≥0，所以)(/x m 在[0，＋∞）是增函数，所以)(/x m ≥)0(/m =0，)(x m 在[0，＋∞）是增函数，)(x m ≥m (0)=0，所以)(/x h ≥0，)(x h 在[0，＋∞）是增函数，)(x h ≥)0(h =0，从而)(/x g ＞0，所以)(x g 在（0，＋∞）是增函数。