2021高三文科数学午练20文科
2020-2021学年高考数学文科模拟试题一及答案解析
最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．15．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，410．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．∴====﹣﹣i，故选：C．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．5．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：∵=（﹣3，2），=（﹣1，0），∴=13，=1，•=3；又向量λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）•﹣2=0，即13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=5时，由题意满足条件，退出循环，输出s的值为98，从而可得判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为98，则判断框内可填入的条件为：n＞4？故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除B，D，再根据特殊值排除C，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，∴，∴．∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，∴，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间上的最大值为2，∴，则log4m=﹣1，解得，故选B．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意：+|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50 ．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．由，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．【考点】数列的函数特性．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，∵正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．故答案是：．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是①④（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．【解答】解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真命题；对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假命题；对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；（2）由f（）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1=，∴，即函数f（x）的最小正周期为π；（2）∵，A∈（0，π），∴，则．在△ABC中，由余弦定理得，，即，∴．由正弦定理，可得．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生15 45 60女生15 25 40合计30 70 100所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=1，BD=，∴S△ABD=AD•BD=．∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，∴V C﹣ABD==∵△ACD中，AC=，CD=，AD=1，∴S△ACD==，设点B到面ACD的距离为h，则=，∴h=∴点B到面ACD的距离为．（2）FG∥面ACD，理由如下：连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，∴FO∥AC，又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF，FO⊂面FOG，∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）利用椭圆的离心率计算公式，顶点A（a，0），及其a2=b2+c2即可得出a，b，c，于是得到椭圆的标准方程；（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．直线AE，AF的方程分别为：，，令x=3，则M，N，所以P．所以k•k′====．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到，得到，，确定a的符号，求出g（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，解x2﹣ax+1=0的两根为：，，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为（0，+∞），，令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，其两根为x1，x2，且，所以，，，∴a＜0．∴=，设，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min．∵，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年10月16日。
2020-2021学年高考数学文科第二次模拟考试试题及答案解析
最新高三第二次模拟考试数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合U={}0)7(|<-∈x x Z x ，A={1,4,5}，B={2,3,5}，则)(B C A U I =A.{1,5}B{1,4,6} C.{1,4}D. {1,4,5}2.平面向量b a ρρ,的夹角为ο30，a ρ=（1,0），|b |ρ=3，则||b a ρρ-=A.32B.1C.5D.223. 欧拉在1748年给出了著名公式θθθsin cos i e i +=（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式θθθsin cos i e i +=，任何一个复数z=)sin (cos θθi r +，都可以表示成θi re z =的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数312πie z =，222πie z =，则复数21z z z =在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 155=S ，639=S ，则4a =A.3B.4C.5D.75．已知“q p ∧”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是A.q p ∨B.）（）（q p ⌝∧⌝C.q p ∨⌝）（D.）（）（q p ⌝∨⌝6.οοοο40cos 80cos 40sin 80sin -的值为（ ）A.23-B.21-C.21D.23 7. 如图，B,D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB=1+t ，AD=2+t ，则→→⋅BD AC =A.1B. 2C. tD. 2t8. 已知双曲线)00(12222>>=-b a b y a x ，，若焦点F(c ，0)关于渐近线x a by =的对称点在另一条渐近线x aby -=上，则双曲线的离心率为 A.2B. 2 C.3D.39.函数()x f =x x cos |lg |-的零点个数为A. 3B.4C. 5D. 610.已知圆C ：122=+y x ，点P 在直线l ：y=x+2上，若圆C 上存在两点A,B 使得→→=PB PA 3，则点P 的横坐标的取值范围为（ ）A.[-1,21]B.[-2,21]C.[-1,0]D.[-2,0] 11. 四棱锥M-ABCD 的底面ABCD 是边长为的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM 的体积的最大值是A.48B. 36C.30D. 2412. 已知函数()x f =1--ax e x ，()x g =)1ln(-xe ，若0x ∃()∞+∈，0，使得()()00lg x f x f >成立，则a 的取值范围是A. （0，+∞）B.（0,1）C.（1，+∞）D.[1,+∞)第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
2021年高三文科数学训练试题(7)
父亲身高x(cm)174 176 176 176 178 儿子身高y(cm)175 175 176 177 177 2021年高三文科数学训练试题（7）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若复数是纯虚数,则实数的值为 （ ）A.B. 2C.-2D.-12、设,则 是“”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件3、 在等差数列中，，则数列前11项的和等于（ ）A. 24B. 48C. 66D. 132 4、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．5、为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据 如下： 则对的线性回归方程为 （ ）A. B. C. D.6、记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域内的概率（ ） A ． B ． C ． D ．7、设是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（ ） （1） （2） （3） （4）A.1B.2C.3D.4 8、若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 9、设函数)10)(10)(10)(10)(10()(5242322212c x x c x x c x x c x x c x x x f +-+-+-+-+-=， 设集合*921},,,{}0)(|{N x x x x f x M ⊆=== ，设，则 （ ）A ．B ．C ．D ．10、函数的图象大致是（ ）S ＝1，k ＝1输出S 开始是否 k ＝k ＋1 S ＝2S 结束 k ≤2011 S ＜1 S ＝S是 否(第13题)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分。
11、 若幂函数的图象经过点（2，4），则它在点处的切线方程为 12、已知，则的值等于13.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为 . 14、将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第25项为 .15、 如果函数的图象恰好经过个格点，则称函数 为阶格点函数.下列函数： （1）；(2)； (3)；(4)；(5) .是一阶格点函数的有 （填写序号）三、解答题：本大题共6个小题。
2020-2021学年（新课标i卷）高考数学文科模拟试题及答案解析
2020-2021学年（新课标i卷）⾼考数学⽂科模拟试题及答案解析绝密★启封并使⽤完毕前试题类型：普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试⽂科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1⾄3页，第Ⅱ卷3⾄5页. 2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀. 选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中，余下的2种花种在另⼀个花坛中，则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3，则它的表⾯积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（8）若a>b>0，0（A ）log a c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像⼤致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执⾏右⾯的程序框图，如果输⼊的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满⾜（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平⾯α过正⽂体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平⾯,ABCD m α=I 平⾯，11ABB A n α=I 平⾯，则m ，n 所成⾓的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3??-（C ）11,33??-（D ）11,3--第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考⽣根据要求作答. ⼆、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限⾓，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的⾯积为。
2021年高考文科数学模拟试卷（含答案）
2021年高考文科数学模拟试卷（含答案）2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则?R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．?C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝（）A．B．C．2D．34．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．137 5．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．312．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a 的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）1011131282325302616发芽数y（颗）（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ．（参考公式：回归直线方程为＝x ，其中＝，＝x）19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；BCD间的体积．（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB 的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln （1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．参考答案一、选择题1．解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，所以?R A＝（﹣1，5），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣4}，故选：B．2．解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ＝2．故选：C．3．解：根据茎叶图知，乙的中位数是31，∴甲的中位数也是31，即＝31，又甲的平均数是×（24+29+33+42）＝32，∴n＝9；故选：A．4．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，故选：B．5．解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣3）x+y﹣1＝0，l2：x+6by+1＝0，且l1⊥l2，∴（a﹣6）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b ＝时，等号成立．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝tan+tan+…+tan的值，由于tan的取值周期为6，且2017＝336×6+2，故选：C．7．解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积S＝πr2，＝2πr?h，侧面积S侧若侧面积是底面积的3倍，即2πr?h＝4πr2，则有h＝3r，若|PO|≤r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V′＝，故选：C．8．解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x7+x+1≥0”，故②错误；对于④：f'（x）＝3x2+6ax+b，因为f（x）在x＝﹣1有极值0，故，解得当a＝1，b＝3时，f'（x）＝3x7+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；故选：A．9．解：作出不等式表示的平面区域如图所示，令t＝，则t∈[0，8]，t+1∈[1，3]，＝＝．而当1+t＝1时，1+t+﹣3＝1，当1+t＝3时，1+t+﹣3＝1，∴的取值范围是[，1]．故选：C．10．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，f（x）＝＝，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象向x 轴靠近，排除C；故选：D．11．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，解得x1＝1．∴，则直线l的方程为y＝，即3x+4y﹣6＝0．则圆M的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故选：B．12．解：函数定义域为（0，+∞），由f（x）＝0有两个根，而f （1）＝2，所以x＝1不是方程的根，即直线y＝a与函数y＝有两个交点，，．由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+∞）．故选：A．二、填空题13．解：由三视图还原原几何体如图，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，∴这个几何体的外接球的体积为．故答案为：．14．解：根据题意，作出如下所示的图形：同理可得，＝+，＝++＝．故答案为：．15．解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2①，当n＝1时，．①﹣②得3（S n﹣S n﹣1）+（a n﹣a n﹣1）＝0，所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．所以．所以T50＝c1+c2+…+c50＝＝．故答案为：．16．解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a2+b2，小正方形的面积为（a2+b6）﹣4×ab＝a4+b2﹣2ab；∴﹣3（）+1＝0，又a＞b，故答案为：．三、解答题17．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a4?a6，即＝a1?（a1+5d）②，∴a n＝a2+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵A（﹣1，），B（5，﹣），在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，又5＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．18．解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2），故所求线性回归方程为．19．解：（Ⅰ）证明：由已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，得DC⊥BC，AB⊥AD，∴AB⊥平面BCD，得AB⊥DC，∴DC⊥平面ABC；∵CD＝2，∴BD＝AB＝4，BC＝2，则．由（Ⅰ）知DC⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC．∴．∴三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为．20．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝4，即a＝2，又e＝＝，可得c＝，b＝＝1，（Ⅱ）设M（m，n），由题意可得N（﹣m，﹣n），可得过M的切线的斜率为﹣，化为mx+4ny＝4，圆C的圆心为（7，0），半径为2，可得圆心到切线的距离为，故S＝?2?＝?2|n|＝≤△NAB＝4，则当△NAB的面积最大时，直线l的方程为x+8y﹣12＝0，或x﹣8y ﹣12＝0，或x+8y+12＝0，或x﹣8y+12＝0．21．解：（Ⅰ）依题意，f′（x）＝1+lnx+1＝lnx+2，故k＝f′（1）＝2，又f（1）＝3，（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2﹣a）x﹣2ln（x+1）（x＞﹣1），则，∴6﹣a＞0，∴函数g（x）在上单调递减，在单调递增，①当，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，∴；②当，即时，g（x）在[0，3]单调递减，∴g（x）min＝g（3）＝8﹣3a﹣2ln4；综上，当时，；当时，g（x）min＝6﹣3a ﹣4ln2．22．解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…23．解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab＝1，或a+b＝0，①ab＝6时，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，②a+b＝0时，a，b异号，ab＜0，（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥7，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥8恒成立，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥4得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．。
2021年高考数学第二次模拟考试 文科
紫荆中学2020-2021学年第二次高考模拟考试试题高三数学（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}3,2{},3,1,0{==B A , 则A B ⋃=（ ）A . }3,2,1{B .}3,1,0{C .}3,2,0{D .}3,2,1,0{2.命题“对x R ∀∈，都有02≥x ”的否定为（ ）A ． x R ∃∈，使得 020<x B ． x R ∀∈，使得02<xC ． x R ∃∈，都有 020≥x D ．不x R ∃∈，使得02<x3.设x R ∈，则“12x <<”是“21x -<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 若x ，y 满足约束条件10,0,0,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．3-C ．0D ．2-5.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）6.已知函数,则 的值为( )A.81B.27C.9D.7.三个数的大小顺序是( ) A. B. C.D.8.函数()()2ln 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞9.)sin()tan()tan(23cos )2sin(παπααπαππα-----+-）（A ．αcosB ．αcos -C ．αsinD ．αsin -10.已知),43(ππβα∈，，53)(sin -=+βα， 1312)4sin(=-πβ，则=+)4cos(πα（ ）A ． 6556-B . 6533-C . 6556D . 6533 11.已知偶函数)()(R x x f y ∈=，满足)()2(x f x f -=+且]0,1[-∈x 时||)(x x f =，则0)1(log )(6=+-x x f 的解的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712.已知定义在R 上的函数)(x f ，)(x f '是其导函数，且满足2)()(>'+x f x f ，ef 42)1(+=则不等式xx e x f e 24)(+>的解集是 （ ）A ． )2,(-∞B ．)1,(-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分．)13.函数 的定义域为 __________．14.已知点是角 终边上的一点,则 求= __________．15.若集合}125|{},082|{2-<<-=<-+=m x m x B x x x A ，若R U =，A B C A U =⋂,则实数m 的取值范围是__________．16．设函数()()e 1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于[]12,2x ∀∈-， []21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．三、解答题:(本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
【高三】2021届高考数学文科模拟试题(附答案)
【高三】2021届高考数学文科模拟试题（附答案）安徽省阜阳市第一中学2021届高三上学期第二次模拟考试数学（）试题一、单选题（每小题5分，共50分）1.已知集合，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.2.已知的图像在上连续，则“ ”是“ 在内有零点”的（）条件。
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3. 下列函数中周期为且在上为减函数的是（）A. B. C. D.4.设为定义R上在的奇函数，当时，（为常数），则（）A. B. C. 1 D. 35.若非零向量，满足，且，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.6. 等差数列中，已知，则（）A. B. 24 C. 22 D. 207.已知，是两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若∥ ，，则∥ ；B.若∥ ，，，则∥ ；C.若⊥ ，⊥ ，则∥ ；D. 若∥ ，⊥ ，⊥ ，则∥ .8.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数的图像上；②P 和Q关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”（与看作同一对“友好点对”）。
已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A. 0对B. 1对C.2对D. 3对二．题（每小题5分，共25分）11. 已知i是虚数单位，为实数,且复数在复平面内对应的点在虚轴上，则=_______.12. 空间直角坐标系中，已知点，P点关于平面的对称点为，则 =_________13.设满足，则的最小值为_________14. 已知数列满足，，则的最小值是_________.15.下列命题中正确命题的序号是：___________①两条直线，和两条异面直线，相交，则直线，一定异面；② ，使；③ 都有；④ ，使是幂函数，且在上递减；⑤ 函数都不是偶函数。
2021年高三第二次模拟考试 文科数学 含解析
2021年高三第二次模拟考试文科数学含解析本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题【答案】A【解析】若﹁p∨q是假命题，则，都为为假命题，所以为真命题，为为假命题，所以p∧q是假命题，选A.2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】A,为非奇非偶函数.BC,在定义域上不单调。
选D.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A. 所有点向右平移个单位长度B.所有点向下平移个单位长度C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）【答案】B【解析】因为，所以只需把函数的图象上所有点向下平移个单位长度，所以选B.4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为//，所以，解得。
所以，即。
所以，选D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上【答案】C【解析】开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为x=5＞4，退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数的图象上,所以选C.6.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A. B. C. D.【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），,D（1，2），因为M、N是区域内的两个不同的点，所以运动点M、N，可得当M、N 分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是|,选 B.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为336俯视图侧（左）视图正（主视图）A． B. C. D.【答案】A【解析】视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。
2020-2021学年高考数学文科模拟检测综合试题及答案解析
最新高三数学试卷（文科）一.选择题（每题5分，共40分）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1 D．ρsinθ=﹣14．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4 B．5 C．6 D．75．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A．B．C．D．6．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元7．已知||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．1 B．C．D．28．在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）A．A B．B C．C D．D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见如表：相关人员数抽取人数公务员32 x教师48 y自由职业者64 4则调查小组的总人数为．10．双曲线﹣y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为．11．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c= ．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．13．已知数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），则a16= ．14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为．三.解答题（共6小题，共80分）15．函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）场数10 20 40 30（Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．17．在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a，求数列{b n}的前n项和的表达式．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ1+λ2为定值．20．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共40分）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，则右图中阴影部分表示的集合是：{1}．故选A．2．已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出z2，根据纯虚数的定义，求出a=±b，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵z=a+bi，∴z2=a2﹣b2+2abi，若z2为纯虚数，则a=±b，故是“a=b”的必要不充分条件，故选：B．3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1 D．ρsinθ=﹣1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用化为直角坐标，即可得出．【解答】解：点化为直角坐标，即．∴过点且平行于极轴的直线的方程是y=﹣1，化为直角坐标方程为：ρsinθ=﹣1．故选：D．4．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．5．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】只需把原函数解析式中x的系数变为原来的倍，即可得到所得的图象所对应的函数解析式．【解答】解：把函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为，故选B．6．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．7．已知||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则和利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：由||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|2=||2+t2||2﹣2t•=4+4t2+4t=4（t+）2+3，∴当t=﹣时，|﹣t|2的最小值为3，当t=﹣时，则|﹣t|（t∈R）的最小值为，故选：B8．在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）A．A B．B C．C D．D【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意可知，C，D中一定有一个为假的，分别假设C为假币，或D为假币，去判断假设是否成立，问题得以解决．【解答】解：5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C，D中一定有一个为假的，假设C为假币，则真硬币的重量为5克，则C的重量为6克，满足A，C，E共重16克，故假设成立，若D为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A，C，E共重16克，故假设不成立，则D是真硬币，故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见如表：相关人员数抽取人数公务员32 x教师48 y自由职业者64 4则调查小组的总人数为．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，即可求出答案．【解答】解：根据分层抽样原理，得==，解得x=2，y=3，所以调查小组的总人数为2+3+4=9（人）．故答案为：9．10．双曲线﹣y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，结合双曲线的方程求出m的值，利用双曲线的渐近线方程进行求解即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），即双曲线的焦点坐标为（2，0），则c=2，且双曲线的焦点在x轴，则a2=m，b2=1，a2+b2=c2，即m+1=4，则m=3，即a=，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故答案为：y=±x．11．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c= ．【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，列出方程即可求出c的值．【解答】解：△ABC中，a=7，b=8，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，64+c2﹣2×8c•cos=49，c2﹣8c+15=0，解得c=3或5．经验证，3或5都满足题意，所以c的值为3或5．故答案为：3或5．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱底面的高为2，则底面面积S==4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：813．已知数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），则a16= ．【考点】数列递推式．【分析】由，可分别求a2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求【解答】解：∵，则=﹣1=2=∴数列{a n}是以3为周期的数列∴a16=a1=故答案为：14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为．【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断．【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【解答】解：A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，可得所有元素是：1，2，3，4， (100)A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，可知：最小的5个数分别为：1，2，3，4，5．100必是一个集合的最大元素，含有100集合中的元素，有82，83，84，…，99．和1，2，3，4，5中的一个．这样特征值会比较小，则另一个集合的最大值为：81．类比可知：5个最大值为：24，43，62，81，100．则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为：1+2+3+4+5+24+43+62+81+100=325．故答案为：325．三.解答题（共6小题，共80分）15．函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（Ⅱ）由题意可得：．…所以=…==．…因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…16．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）场数10 20 40 30（Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算甲在一场比赛中得分不低于20分的频率即可；（Ⅱ）根据甲乙运动员得分的分布情况，即可判断甲、乙两名运动员成绩稳定的稳定性，（Ⅲ）根据平均数的计算公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72．即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72．（Ⅱ）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中[20，30），乙的成绩比较分散，∴甲更稳定．（Ⅲ）∵组距为10，∴甲在区间[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），上得分频率值分别为，，，，设甲的平均得分为S，则=23.80．17．在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a，求数列{b n}的前n项和的表达式．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1，可得5a1+10d﹣（2a1+d）=21，2（a1+d）﹣（a1+3d）=﹣1，解得：a1，d．可得a n．（2）b n==3×2n﹣1，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1，∴5a1+10d﹣（2a1+d）=21，2（a1+d）﹣（a1+3d）=﹣1，解得：a1=2，d=3．∴a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．（2）b n==3×2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和=3×（2+22+…+2n）﹣n=3×﹣n=3×2n+1﹣6﹣n．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）先证明AF∥平面CDE，AB∥平面CDE，即可证明平面BAF∥平面CDE；（2）证明AC⊥平面EBD平面EAC⊥平面EBD；（3）BM=BD时，AM∥平面BEF，证明AMNF是平行四边形得出AM∥FN，即可证明AM∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE．同理，AB∥平面CDE，∵AF∩AB=A，∴平面BAF∥平面CDE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD∩DE=D．∴AC⊥平面EBD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面EBD；解：（3）BM=BD时，AM∥平面BEF，理由如下：作MN∥ED，则MN平行且等于BD，∵AF∥DE，DE=3AF，∴AF平行且等于MN，∴AMNF是平行四边形，∴AM∥FN，∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，∴AM∥平面BEF19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用焦距为，求得c的值，根据当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大为2，建立方程，从而可得椭圆方程；（Ⅱ）直线l与椭圆方程联立，利用，，用A，B的横坐标表示λ1，λ2，从而可得结论．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．因为焦距为，所以c=．当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大，所以，所以．因为a2=b2+c2=4，所以a2=4，所以椭圆方程为．…（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：y=k（x﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．显然△＞0，且，．因为直线l交y轴于点N，所以N（0，﹣k）．所以，，且所以x1=λ1（1﹣x1），所以，同理．所以．即λ1+λ2为定值是．…20．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）令f（x）=0，求出函数的零点，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）令，求出函数的导数，结合函数的单调性得到得：，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，（x＞0）．令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）递减递增所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令．则，因为，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的，使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由得：．所以．因为，所以，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．2016年10月11日。
2020-2021学年高考数学文科模拟测试题及答案解析
最新高三（下）期初数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数a+bi=i（1﹣i）（其中a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．22．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}3．已知平向向量，满足：||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=﹣x2+2x，x∈[﹣1，3]，则任取一点x0∈[﹣1，3]，使得f（x0）≥0的概率为（）A．B．C．D．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前15项和S15=（）A．12 B．32 C．60 D．1207．给出下列命题：①设a，b为非零实数，则“a＜b”是“”的充分不必要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③命题“∀x∈R，sinx＜1”的否定为“∃x0∈R，sinx0＞1”；④命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“x+y＜5，则x＜2且y＜3”．其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．08．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ω）的图象如图所示，为了得到g （x）=Asinωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f （x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知f（x）=，则f（f（））的值为．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．13．若2x+2y=1，则x+y的取值范围是．14．运行如图的程序框图，当输入m=﹣4时的输出结果为n，若变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为．15．定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；③存在三次函数h（x），方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；④若函数，则=﹣1007.5．其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，要求写出必要的推理与演算过程.16．某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组．已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查．（I）求每组中抽取的城市的个数；（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率．17．已知，（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F 分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．20．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．21．已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆x2+y2=12上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点．（i）若以弦MN为直径的圆过坐标原点O，求实数m的值；（ii）设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数a+bi=i（1﹣i）（其中a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．【分析】先化简i（1﹣i），再根据复数相等即可求出a、b的值，进而求出答案．【解答】解：∵i（1﹣i）=1+i，∴a+bi=1+i，由复数相等的条件可得，∴a+b=1+1=2．故选D．2．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．3．已知平向向量，满足：||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的定义和运算性质即可得出．【解答】解：∵：||=1，||=6，•（﹣）=2，∴2==﹣12，化为=，∴=．故选：C．4．函数f（x）=﹣x2+2x，x∈[﹣1，3]，则任取一点x0∈[﹣1，3]，使得f（x0）≥0的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】解不等式f（x0）≥0，求出满足条件的x0的取值范围，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由f（x0）≥0得﹣x02+2x0≥0，解得0≤x0≤2，则有几何概型的概率公式可知f（x0）≥0的概率是=，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除．【解答】解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；答案B：α与β相交时候，m与交线平行；答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；答案D：，正确故选D．6．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前15项和S15=（）A．12 B．32 C．60 D．120【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由题意可得a8=4，然后利用等差数列的求和公式=15a8，结合性质可求【解答】解：由题意可得a8=4∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上∴a n可写为关于n的一次函数即可设a n=kn+m，则a n﹣a n﹣1=k（为常数）∴{a n}为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15=2a8=8∴=15a8=60故选C7．给出下列命题：①设a，b为非零实数，则“a＜b”是“”的充分不必要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③命题“∀x∈R，sinx＜1”的否定为“∃x0∈R，sinx0＞1”；④命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“x+y＜5，则x＜2且y＜3”．其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当a，b异号时，“a＜b”⇒“＜”，即可判断①的真假；利用正弦定理判断②的真假；利用全称命题与特称命题的否定关系判断③真假；写出命题的逆否命题，判断④的真假．【解答】解：对于①，当b＞0＞a时，可得＜，此时a，b为非零实数，则“a＜b”是“”的充分不必要条件不成立，①错误．对于②，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理==2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立，②正确；对于③，命题“∀x∈R，sinx＜1”的否定为“∃x0∈R，sinx0＞1”；不满足命题的否定形式，所以③不正确；对于④，命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“x+y＜5，则x＜2或y＜3”．所以④不正确；正确的命题有1个．故选：C．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ω）的图象如图所示，为了得到g （x）=Asinωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先根据函数的图象确定A、ω、φ的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1T=4（﹣）=π所以：ω=2当x=时，f（）=sin（2×+φ）=0，由于|φ|＜，解得：φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴要得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：C．9．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选D10．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f （x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知f（x）=，则f（f（））的值为3e ．【考点】对数的运算性质．【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．【解答】解：∵＞3，∴=log3（15﹣6）=2．∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．故答案为：3e．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得体是一个以俯视图为底面的四棱锥，该几何直观图如图所示：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，故几何体的表面积，故答案为：13．若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用基本不等式构造出2x•2y，利用指数的运算性质，即可求得x+y的取值范围．【解答】解：∵2x＞0，2y＞0，∴2x+2y≥=，当且仅当2x=2y，即x=y时取“=”，∵2x+2y=1，∴≤1，即=2﹣2，∴x+y≤﹣2，∴x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．14．运行如图的程序框图，当输入m=﹣4时的输出结果为n，若变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划的应用；循环结构．【分析】分析：先根据程序框图得到n的值，再画出约束条件，的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值．【解答】解：由程序框图运行的结果得：n=1，由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（2，1），B（1，2），C（0，1）将三个代入得z的值分别为10，8，2直线z=2x+y过点A （2，1）时，z取得最大值为5；故答案为：5．15．定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；③存在三次函数h（x），方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；④若函数，则=﹣1007.5．其中正确命题的序号为②③④（把所有正确命题的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断①③；分别求出函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5与函数的对称中心判断②；求出函数的对称中心，可得g（x）+g（1﹣x）=﹣1，进一步求得=﹣1007.5判断④．【解答】解：∵任何三次函数的二阶导数都是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故①不正确；由f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5，得f′（x）=3x2﹣6x﹣3，f″（x）=6x﹣6，由6x﹣6=0，得x=1，函数f（x）的对称中心为（1，0），又由，得x=k，k∈Z，∴f（x）的对称中心是函数的一个对称中心，故②正确；∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即③正确；∵，∴g′（x）=x2﹣x，g''（x）=2x﹣1，令g''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵g（）=×（）3﹣×（）2﹣=﹣，∴函数的对称中心是（，﹣），∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1，∴=﹣1007.5，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，要求写出必要的推理与演算过程.16．某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组．已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查．（I）求每组中抽取的城市的个数；（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样方法的特点，求出从甲、乙、丙组中应抽取的城市数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设从甲、乙、丙三组城市中应抽取的个数分别为x、y、z，则由题意得===，…解得，x=1、y=2、z=3；…故从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为：1，2，3；…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为为：1，2，3，记甲组中已抽取的城市为a1，乙组中已抽取的城市为b1、b2，丙组中已抽取的城市为c1、c2、c3；…从已抽取的6个城市中任抽两个城市的所有可能为：a1b1、a1b2、a1c1、a1c2、a1c3、b1b2、b1c1、b1c2、b1c3、b2c1、b2c2、b2c3、c1c2、c1c3、c2c3共15种；…设“抽取的两个城市不来自同一组”为事件A，则事件A包括a1b1、a1b2、a1c1、a1c2、a1c3、b1c1、b1c2、b1c3、b2c1、b2c2、b2c3共11种；…所以P（A）=；即从已抽取的6个城市中任抽两个城市，两个城市不来自同一组的概率为．…17．已知，（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（I）利用数量积运算性质、和差公式可得，再利用单调性即可得出．（I I）由题意得P，Q．根据距离公式及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I），，解得，∵x∈[0，2]时，或，∴f（x）的单调递增区间为，．（I I）由题意得P，Q．根据距离公式，，，根据余弦定理，18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F 分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E﹣ABC=S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．19．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a4=9，a2a3=8．可得，解得并利用数列{a n}是递增的等比数列即可得出；（2）由数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），利用递推关系可得：==（n2+n+2）•2n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+2]•2n﹣1，化为：b n=．可得b n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a4=9，a2a3=8．∴，解得a1=1，q=2；或a1=8，q=．∵数列{a n}是递增的等比数列，∴a1=8，q=舍去．∴a1=1，q=2；∴a n=2n﹣1．（2）∵数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），∴当n≥2时，++…+=[（n﹣1）2+（n﹣1）+2]•2n﹣1，可得==（n2+n+2）•2n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+2]•2n﹣1，化为：b n=．当n=1时，=8，∴b1=．∴b n=．∴当n≥2时，数列{b n}的前n项和S n=+++…+=﹣．当n=1时也成立，∴数列{b n}的前n项和S n=﹣．20．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）确定函数的定义域，求导数．利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）．分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围．max【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=﹣…．∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…．（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）．max∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+=，∴φ′（x）=…①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3﹣＞1．…．②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0．…．③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2•＜{1，}（*）由（1）知，g（t）=2•在[0，1]上单调递减故≤2•≤2，而≤≤，∴不等式（*）无解综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．…21．已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆x2+y2=12上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点．（i）若以弦MN为直径的圆过坐标原点O，求实数m的值；（ii）设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点在圆O：x2+y2=12上，解得a，又，b2=a2﹣c2，解出即可得出椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l与椭圆C方程联立化为（m2+4）y2+6my﹣3=0，由OM⊥ON，可得，即x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入解出m，即可得出．（ii）由题意，N1（x2，﹣y2），可得直线NM的方程为，令y=0，可得点P的坐标为（4，0）．利用△PMN的面积为S=|PF|•|y1﹣y2|，化简了基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点在圆O：x2+y2=12上，∴．又离心率为，∴，解得c=3，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l与椭圆C方程联立化简并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，∴，，∴，．∵OM⊥ON，∴，即x1x2+y1y2=0，代入，得，解得，∴．（ii）由题意，N1（x2，﹣y2），∴直线NM的方程为，令y=0，得=，∴点P的坐标为（4，0）．△PMN的面积为==≤=，当且仅当，即时等号成立，故△PMN的面积存在最大值，最大值为1．2016年10月24日。
2021高三数学试卷(文科,有答案解析)
2021高三数学试卷（文科，有答案解析）2021―2021学年第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．2??fx??fx?2x?x，则f?1?? x?0R1、设是上的奇函数，当时，2、已知复数z?2?4i，w?z?1(z?1)2，则w? ．f(x)?3、已知函数x?52x?m的图像关于直线y?x对称，则m?x?1|?122q:x?2x?1?m?0(m?0)，若p是q的充分不2，命题p:|1?4、已知命题必要条件，则实数m的范围是 .111a1?2a2?...?nan?2n?5,n?N*?a?a?225、数列n满足2，则n .6、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 .,34］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 7、设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只??2小球得到是黑球的概率为5．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为．(x?9、若2n)2x的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．22x?ax?b?b?1(a,b?R)对任意实数x有f(1?x)?f(1?x)成立，若10、函数f(x)=-当x?[?1,1]时f(x)?0恒成立，则b的取值范围是_________.22a?b?3bc，a11、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c.若. sinC?23sinB ，则角A＝_________12、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b,12，13.7，18.3，20，且总. 体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则ab?_______13、已知数列?an??,bn?都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a1?b1?5,a1,b1?N,设cn?abn(n?N),则数列?cn?的前10项和等于______.2f(x)?x?a|x?m|?1(x?R)在区间(2,3)上存在唯一零点，14、设a为非零实数，偶函数则实数a的取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15、下列命题中，错误的是 ( ) A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面?不垂直平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面?D.若直线l不平行平面?，则在平面?内不存在与l平行的直线x?3?116、已知a?R，不等式x?a的解集为P，且?2?P，则a的取值范围是 ( )A.a??3B.?3?a?2C.a?2或a??3D.a?2或a??3????????????????17、已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足AP=?AB,AQ=(1??)AC,??R,若????????3BQ?CP=?2,则?= （）11?21?10?3?222 D．2A．2 B．2 C．18、函数y?2的定义域为[a,b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b?g(a)表示的图形可以是（）b 4 -4 O a -4 O b 4 a b 4 a -4 b 4 O a x-4 OA． B． C． D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．19.（本题满分12分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分6分）如图，正三棱柱ABC―A1B1C1的各棱长都相等，M、E分别是AB和AB1的中点，点F 在BC上且满足BF∶FC=1∶3. (1)求证：BB1∥平面EFM； (2)求四面体M?BEF的体积。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(二十)数学(文科)
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（二十）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}，B ={x |y =()lg 1-x }，则A ∩B =( ) A. {x |1＜x ≤3} B. {x |x ≥﹣2}C. {1，2，3}D. {2，3}【答案】D 【解析】 【分析】分别求解集合A ，B ，即可求出A ∩B .【详解】由10x ->得1x >，所以B ={x |y =()lg 1-x }={x |1x >}， 又A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ={2，3}. 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知i是虚数单位，复数izi=，则z的共轭复数z=( )A. 1B. 1+C. 1--D. 1-+【答案】B【解析】【分析】先计算z，由共轭复数概念即可得z.【详解】∵)()21i izi-===-，∴1z=+.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.3.已知向量a与b的夹角为3π，|a|=2，|b|=1，则|a-2b|=( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积，向量的模的公式进行运算即可.【详解】∵向量a与b的夹角为3π，|a|=2，|b|=1，∴|-a2b|2244a ab b==-⋅+==2故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量的模的计算，考查了学生的运算求解能力.4.设x，y满足约束条件10240x yx yxy-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=2x﹣y的最大值为( )A. ﹣1B. 0C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先作出可行域，结合图形求出z =2x ﹣y 的最大值.【详解】x ，y 满足约束条件1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，画出可行域如图，由图知，当直线z =2x ﹣y 过点()2,0A 时，z 最大值为4. 故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 30πB. 24πC. 15πD. 9π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r =3，高h =4，代入表面积公式计算即可.【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r =3，高h =4. 则圆锥的表面积为233524S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查了三视图的计算，考查了圆锥的表面积公式，关键是能将三视图还原成几何体. 6.已知()0,θπ∈，2sin 2cos21θθ=-，则cos θ=( ) A.25B.5 C. 25D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由2sin 2cos21θθ=-得24sin cos 12sin 1θθθ=--，可得sin 2cos θθ=-，再利用同角的三角函数的基本关系求出cos θ.【详解】∵()0,θπ∈，2sin 2cos21θθ=-，∴24sin cos 12sin 1θθθ=--，可得：22sin cos sin θθθ=-， ∵sin 0θ>，∴可得：sin 2cos θθ=-，cos 0θ<，∴22222sin cos 4cos cos 5cos 1θθθθθ+=+==，可得21cos 5θ=， ∴5cos θ=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，同角的三角函数的基本关系式，考查了学生的运算求解公式.7.干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查N=，执行该程序框图，运行相应的程找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988x=，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该序，输出5年所对应的干支为（）A. 己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得.【详解】模拟执行程序如下所示：====，不满足60429,1,366,2N i x ix≤，306,3==，不满足60x ix≤，==，不满足60246,4x ix≤，x i==，不满足60186,5x≤，==，不满足60126,6x ix≤，66,7==，不满足60x ix≤，==，满足606,8x ix≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.8.在四面体S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，32AB AC BC SA ====，，则该四面体的外接球的半径为( ) A. 1 B.3C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题知外接球的球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O ， 先求出ABC ∆的外接圆的半径，再求出四面体外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积. 【详解】因为SA ⊥平面ABC ，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O ，由3AB AC BC ===，设ABC ∆的外接圆的半径为r ，则32sin 60r =，所以3r =，所以外接球的半径22()132SA R r =+=+=2，故选：C【点睛】本题主要考查了几何体的外接球的表面积的计算，考查了学生空间想象能力. 9.已知函数||x f x e =（），13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22log 3b f c f ==，,则( )A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，又()133log 2log 2a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭且3220l g 3o log 2<<<分析即可得答案.【详解】∵函数f （x ）=e |x |，∴函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴()()1333log 2log lo 22g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭又3221lo 0lo 3g g 2<<<<， ∴a c b <<. 故选：D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，利用函数单调性比较函数值的大小，考查了转化与化归的思想.10.已知函数()()sin (0)2f x x πωϕωϕ=+><，的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则f （x ）的图象( ) A. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于直线6x π=对称C. 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 D. 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ω=，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，得6πϕ=-，将选项代入验证即可得答案.【详解】∵f （x ）的最小正周期为π， ∴T 2ππω==，得2ω=，此时()()sin 2f x x ϕ=+，图象向右平移12π个单位后得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数为偶函数，则62k ππϕπ-=+，k ∈Z ，得23k πϕπ=+， ∵2πϕ<，∴当1k =-时，3πϕ=-，则()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 则f （512π）5sin 2123ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭sin 12π==，故f （x ）关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不对称，故A 错误； f （6π）sin 2sin 0063ππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故关于直线6x π=不对称，故B 错误；当12π-≤x 512π≤时，6π-≤2x 56π≤，2π-≤2x 32ππ-≤，此时函数f （x ）为增函数，故C 正确； 当12π-≤x 712π≤时，6π-≤2x 76π≤，2π-≤2x 536ππ-≤，此时函数f （x ）不单调，故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算求解能力. 11.已知可导函数f （x ）的定义域为R ，且满足()()4f x f x +=-，()()20x f x '-<，则对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由题可得函数f （x ）关于直线x =2对称，且在()2,+∞单调递减，在(),2-∞单调递增，从充分性，必要性两方面分别说明得出对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充要条件. 【详解】f （x ）满足f （x +4）=f （﹣x ），∴函数f （x ）关于直线x =2对称，则()()4f x f x =-， ∵()()20x f x '-<，∴2x >时，()0f x '<，函数f （x ）单调递减；2x <时，()0f x '>，函数f （x ）单调递增.先看充分性：若122x x <≤，符合()()12f x f x <，得124x x +<；若122x x <<，()()()1224f x f x f x <=-得124x x <-即124x x +<， 若122x x ≤<，则()()12f x f x >，不符合()()12f x f x <，故对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充分条件；再看必要性：若124x x +<且12x x <，得12x <，若22x ≤，则得122x x <≤，有()()12f x f x <，若22x >，则1242x x <-<，则有()()()1224f x f x f x <-=， 故对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的必要条件； 综上，对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，函数图象的对称性，充要条件的判断，考查了分类讨论的思想.12.已知双曲线C 的两个顶点分别为A 1，A 2，若C 的渐近线上存在点P ，使得12PA PA =，则C 的离心率的取值范围是( ) A. （1，3] B. [3，+∞）C. （1，2]D. [2，+∞）【答案】A 【解析】 【分析】由题意设一条渐进线为：b y x a =，取点,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又12PA PA =，代入化简得222260c x ax a a-+=，由题转化为此方程有解，0≥可得离心率的取值范围. 【详解】由题意设一条渐进线为：b y x a =，取点,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，且()1,0A a -，()2,0A a ，因为12PA PA =， ()()2222()2()b b x a x x a x a a ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，整理得222260c x ax a a -+=，该方程有解时，存在符合题意的P 点，故22223640c a a a =-⨯≥，化简得229c a≤，即29e ≤， ∴13e <≤.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的离心率范围的求解，考查了学生转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y = 【解析】 【分析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =， 则抛物线方程为：22x y =. 故答案为：22x y =.【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14.甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种.若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子.玩一次该游戏，甲同学不输的概率为_____. 【答案】23【解析】 【分析】首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求出甲不输的概率即可. 【详解】画树状图得则玩一次该游戏，甲同学不输的概率：62=93P =. 故答案为：23【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，考查了利用树状图解决概率问题.15.在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B =135°，32355AB AC CD ===，，，则AD =_____.【答案】210【解析】 【分析】设BCA α∠=，ACD β∠=，在△ABC 中，由正弦定理求得sin α，则可得cos β，再由余弦定理求出AD 即可.【详解】如图设BCA α∠=，ACD β∠=，∵在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B =135°，32355AB AC CD ===，，，在△ABC 中，由正弦定理可得：sin135sin AC AB α=⇒sinαsin13555AB AC ⋅==； ∴5cos cos 90sin βαα=︒-==（） ∴(2222252cos 355235540AD AC CD AC CD β=+-⋅⋅=+-⨯=， ∴AD =10. 故答案为：10【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了学生的运算求解能力.16.已知函数()22log 021x x a f x x x x a<<⎧=⎨-+≥⎩，，，若存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____.【答案】()()0,11,2 【解析】【分析】画出函数2log y x =和函数221y x x =-+的图象，结合图象通过平移直线观察可得a 的取值范围.【详解】画出函数2log y x =和函数221y x x =-+的图象，如图所示：两个函数有两个交点，坐标()1,0和()2,1，∵存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，∴观察图象可知，当0＜a ＜1时符合题意.当1＜a ＜2时符合题意，∴a 的取值范围是：()()0,11,2. 故答案为：()()0,11,2【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，根据方程的根的情况求参数范围，考查了转化与化归和数形结合的思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，且2a 5=a 8﹣2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{b n }的前n 项和S n . 【答案】（1）a n =﹣n ；（2）S n 1n n =+ 【解析】【分析】 （1）由题可得()()()211111282472a d a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩，从而求出1a ，d ，进而得到数列{a n }的通项公式； （2）由（1）得111n b n n =-+，采用裂项相消法求出n S . 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，因为a 1，a 3，a 9成等比数列， 所以a 32=a 1a 9，即()()211128a d a a d +=+得a 1=d ①，又2a 5=a 8﹣2， 所以()112472a d a d =+-+得a 1+d =﹣2 ②，由①②，解得a 1=d =﹣1，所以a n =﹣n ；（2）由（1）知a n =﹣n ，∴()()111111111n n n b a a n n n n n n +====----++， ∴S n =b 1+b 2+…+b n =（112-）+（1231-）+（1341-）+…+（111n n -+）=1111n n n -=++. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列，数列求和等知识，考查了用裂项相消法求数列的和，考查了学生的运算求解能力.18.A 、B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83B 73 84 75 73 78 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m ，n 表示）.（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A 、B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B 同学的平均分为78，方差219s =，求m ，n .【答案】（1）B 同学，理由见解析；（2）m =8，n =0.【解析】【分析】（1）根据题意作出茎叶图即可；（2）根据平均数，方差公式列出方程求解即可.【详解】（1）A 、B 两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，所以选派B 同学参加数学竞赛更好.（2）因为18x =（73+84+75+73+70+m +80+n +76+85）=78， 所以m +n =8，①，因为S 218=[52+62+32+52+（m ﹣8）2+（n +2）2+22+72]=19， 所以（m ﹣8）2+（n +2）2=4，②联立①②解得，m =8，n =0.【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，以及茎叶图，考查了学生的数据分析和运算求解能力. 19.如图，在四棱柱ABCD A B C D ''''-中，四边形ABCD 为平行四边形，4260DD CD AD BAD '===∠=︒，，，且点D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）棱BC 上存在一点N ，使得AD ⊥平面D HN '，试确定点N 的位置，说明理由；（2）求三棱锥C A HC ''-的体积.【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）点N 为棱BC 的中点，由题可得△HBC 为等边三角形，所以NH ⊥BC ，又可证D H '⊥BC ，故可得BC ⊥平面D HN '，又AD //BC ，即证AD ⊥平面D HN '；（2）由题得A '到平面DD C C ''的距离即为A 到平面DD C C ''的距离，过A 作AM ⊥CD 于点M ，证AM ⊥平面DD C C ''，则13C A HC A C HC C HC V V S AM '''''--∆=⋅=，由条件代值计算即可. 【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '，BH ，∵D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，∴D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴D H '⊥BC ，在△HBC 中，23HC BC HCB π==∠=，，故△HBC 为等边三角形，又点N 为棱BC 的中点，∴NH ⊥BC ，又D H '⊥BC ，D H '∩NH =H ，D H '，NH ⊂平面D HN '，∴BC ⊥平面D HN '，又由平行四边形ABCD 得AD //BC ，∴AD ⊥平面D HN '，点N 即为所求.（2）∵平面AA B B ''//平面DD C C ''，∴A '到平面DD C C ''的距离即为A 到平面DD C C ''的距离，过A 作AM ⊥CD 于点M ，又D H '⊥平面ABCD ，∴D H '⊥AM ，又CD D H H ⋂'=，∴AM ⊥平面DD C C ''， sin 3AM AD BAD =∠=，2223D H DD DH ''=-=， 又112232322C CH S CHD H '∆'=⋅=⨯⨯=， 所以11233233C A HC A C HC C HC V V S AM '''''--∆=⋅==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的证明，几何体的体积的计算，考查了学生的直观想象与逻辑推理能力，考查了转化与化归的数学思想.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，点P 为椭圆C 上的一动点，12PF F △面积的最大值为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，点()22,0A ，证明：直线PA 与直线QA 关于x 轴对称. 【答案】（1）22142x y +=.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和12PF F △面积的最大值为2，即可列出,,a b c 方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF 的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QA k k =-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，所以2c e a ==，即222c a =，又222a b c =+，所以b c =， 因为12MF F ∆面积的最大值为2，所以1222c b ⋅⋅=，即2c b ⋅=， 又因为b c =，所以b c ==24a =，故椭圆C 的方程为22142x y += （2）由（1）得2F ，当直线l 的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则122122222y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +++=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，21.已知()()()2x f x ax b e x =+++在点()()0,0f 处的切线方程为60x y -=. （1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >时，证明：()2ln 23f x x x >++.【答案】（1）a =2，b =0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得()00f =，()06f '=，列方程即可求解a ，b ；（2）令()()()2ln 23x x g x f x +-+=，则()()1'212(0)x g x x e x x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，令()12(0)x h x e x x =+->，判断存在唯一011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0012x e x =-，从而得到2000()222ln 1min g x x x x =---；再令()211222ln 1,43x x x x x ϕ⎛⎫=---∈ ⎪⎝⎭，，证明()0x ϕ>即得证()2ln 23f x x x >++.【详解】（1）()()()()21x x f x a e x ax b e '=+++++， 因为f （x ）在点()()0,0f 处的切线方程为y =6x ，所以()00f =，()06f '=，即30326b a b =⎧⎨+=⎩，解得a =2，b =0； （2）由（1）得()()22x f x x e x =++， 设()()()222ln 23x x x g x e x x ++-++=，即()22222ln 3x g x xe x x x ++=--， 则()()()()224221'214221212(0)xx x x x g x x e x x e x e x x x x +-⎛⎫=+++-=++=++-> ⎪⎝⎭设()12(0)x h x e x x=+->，则h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且113411201043h e h e ⎛⎫⎛⎫=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以存在唯一011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()000120x h x e x =+-=，即0012x e x =-， 当00x x <<时，()0h x <，()0g x '<，g （x ）单调递减；当0x x >时，()0h x >，()0g x '>，g （x ）单调递增； ()02200000000001()2222ln 322222ln 3x min g x g x x e x x x x x x x x ⎛⎫∴==++--=-++-- ⎪⎝⎭2000222ln 1x x x =---，设()211222ln 1,43x x x x x ϕ⎛⎫=---∈ ⎪⎝⎭，，则()()()21212'42x x x x x xϕ-+=--=， 当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()1132ln 3039x ϕϕ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 所以2000()222ln 10min g x x x x =--->，即()0g x >，所以当0x >时，()2ln 23f x x x >++.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，综合考查了函数的单调性，最值等问题，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=. （1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的22C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos 2sin x θθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 又因为P 为AB中点，所以cos θ⎛ ⎝⎭P ， 则点P 到直线l72sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，72sin 6πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值5， 故AB 中点P 到直线l【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1,f x x m x m N *=-++∈. 若存在实数x 使得()3f x <成立.（1）求m 的值；（2）若,0αβ>，()()411m αβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x 使得()3f x <成立等价于存在实数x 使得12-++<x m x 成立，而111x m x x m x m -++≥---=+，当且仅当()()10x m x -+≤时取得.故存在实数x 使得()3f x <成立等价于13m +<，解得42m -<<，又因为*m N ∈，则1m =（2）由（1）得1m =，故()()4111αβ--=， 所以1141βα=+-， 由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(二十)文科数学试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（二十）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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一、选择题（共12小题）1.已知集合A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}，B ={x |y =()lg 1-x }，则A ∩B =( ) A. {x |1＜x ≤3} B. {x |x ≥﹣2}C. {1，2，3}D. {2，3}【答案】D 【解析】 【分析】分别求解集合A ，B ，即可求出A ∩B .【详解】由10x ->得1x >，所以B ={x |y =()lg 1-x }={x |1x >}， 又A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ={2，3}. 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知i是虚数单位，复数izi=，则z的共轭复数z=( )A. 1B. 1+C. 1--D. 1-+【答案】B【解析】【分析】先计算z，由共轭复数概念即可得z.【详解】∵)()21i izi-===-，∴1z=+.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.3.已知向量a与b的夹角为3π，|a|=2，|b|=1，则|a-2b|=( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积，向量的模的公式进行运算即可.【详解】∵向量a与b的夹角为3π，|a|=2，|b|=1，∴|-a2b|2244a ab b==-⋅+==2故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量的模的计算，考查了学生的运算求解能力.4.设x，y满足约束条件10240x yx yxy-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=2x﹣y的最大值为( )A. ﹣1B. 0C. 4D. 6【答案】C【解析】 【分析】先作出可行域，结合图形求出z =2x ﹣y 的最大值.【详解】x ，y 满足约束条件1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，画出可行域如图，由图知，当直线z =2x ﹣y 过点()2,0A 时，z 最大值为4. 故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 30πB. 24πC. 15πD. 9π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r =3，高h =4，代入表面积公式计算即可.【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r =3，高h =4. 则圆锥的表面积为233524S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查了三视图的计算，考查了圆锥的表面积公式，关键是能将三视图还原成几何体. 6.已知()0,θπ∈，2sin 2cos21θθ=-，则cos θ=( ) A.25B.5 C. 25D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由2sin 2cos21θθ=-得24sin cos 12sin 1θθθ=--，可得sin 2cos θθ=-，再利用同角的三角函数的基本关系求出cos θ.【详解】∵()0,θπ∈，2sin 2cos21θθ=-，∴24sin cos 12sin 1θθθ=--，可得：22sin cos sin θθθ=-， ∵sin 0θ>，∴可得：sin 2cos θθ=-，cos 0θ<，∴22222sin cos 4cos cos 5cos 1θθθθθ+=+==，可得21cos 5θ=， ∴5cos θ=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，同角的三角函数的基本关系式，考查了学生的运算求解公式.7.干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程x=，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该序，输出5年所对应的干支为（）A. 己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得.【详解】模拟执行程序如下所示：====，不满足60429,1,366,2N i x ix≤，306,3==，不满足60x ix≤，==，不满足60x i246,4x≤，==，不满足60186,5x ix≤，126,6==，不满足60x ix≤，==，不满足6066,7x ix≤，x i==，满足606,8x≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.8.在四面体S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，32AB AC BC SA ====，，则该四面体的外接球的半径为( ) A. 1 B.3C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题知外接球的球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O ， 先求出ABC ∆的外接圆的半径，再求出四面体外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积. 【详解】因为SA ⊥平面ABC ，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O ，由3AB AC BC ===，设ABC ∆的外接圆的半径为r ，则32sin 60r =，所以3r =，所以外接球的半径22()132SA R r =+=+=2，故选：C【点睛】本题主要考查了几何体的外接球的表面积的计算，考查了学生空间想象能力. 9.已知函数||x f x e =（），13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22log 3b f c f ==，,则( )A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，又()133log 2log 2a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭且3220l g 3o log 2<<<分析即可得答案.【详解】∵函数f （x ）=e |x |，∴函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴()()1333log 2log lo 22g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭又3221lo 0lo 3g g 2<<<<， ∴a c b <<. 故选：D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，利用函数单调性比较函数值的大小，考查了转化与化归的思想.10.已知函数()()sin (0)2f x x πωϕωϕ=+><，的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则f （x ）的图象( ) A. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于直线6x π=对称C. 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 D. 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ω=，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，得6πϕ=-，将选项代入验证即可得答案.【详解】∵f （x ）的最小正周期为π， ∴T 2ππω==，得2ω=，此时()()sin 2f x x ϕ=+，图象向右平移12π个单位后得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数为偶函数，则62k ππϕπ-=+，k ∈Z ，得23k πϕπ=+， ∵2πϕ<，∴当1k =-时，3πϕ=-，则()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 则f （512π）5sin 2123ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭sin 12π==，故f （x ）关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不对称，故A 错误； f （6π）sin 2sin 0063ππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故关于直线6x π=不对称，故B 错误；当12π-≤x 512π≤时，6π-≤2x 56π≤，2π-≤2x 32ππ-≤，此时函数f （x ）为增函数，故C 正确； 当12π-≤x 712π≤时，6π-≤2x 76π≤，2π-≤2x 536ππ-≤，此时函数f （x ）不单调，故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算求解能力. 11.已知可导函数f （x ）的定义域为R ，且满足()()4f x f x +=-，()()20x f x '-<，则对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由题可得函数f （x ）关于直线x =2对称，且在()2,+∞单调递减，在(),2-∞单调递增，从充分性，必要性两方面分别说明得出对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充要条件. 【详解】f （x ）满足f （x +4）=f （﹣x ），∴函数f （x ）关于直线x =2对称，则()()4f x f x =-， ∵()()20x f x '-<，∴2x >时，()0f x '<，函数f （x ）单调递减；2x <时，()0f x '>，函数f （x ）单调递增. 先看充分性：若122x x <≤，符合()()12f x f x <，得124x x +<；若122x x <<，()()()1224f x f x f x <=-得124x x <-即124x x +<， 若122x x ≤<，则()()12f x f x >，不符合()()12f x f x <，故对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充分条件；再看必要性：若124x x +<且12x x <，得12x <，若22x ≤，则得122x x <≤，有()()12f x f x <，若22x >，则1242x x <-<，则有()()()1224f x f x f x <-=， 故对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的必要条件； 综上，对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，函数图象的对称性，充要条件的判断，考查了分类讨论的思想.12.已知双曲线C 的两个顶点分别为A 1，A 2，若C 的渐近线上存在点P ，使得12PA PA =，则C 的离心率的取值范围是( ) A. （1，3] B. [3，+∞）C. （1，2]D. [2，+∞）【答案】A 【解析】 【分析】由题意设一条渐进线为：b y x a =，取点,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又12PA PA =，代入化简得222260c x ax a a-+=，由题转化为此方程有解，0≥可得离心率的取值范围. 【详解】由题意设一条渐进线为：b y x a =，取点,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，且()1,0A a -，()2,0A a ，因为12PA PA =， ()()2222()2()b b x a x x a x a a ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，整理得222260c x ax a a -+=，该方程有解时，存在符合题意P 点，故22223640c a a a =-⨯≥，化简得229c a≤，即29e ≤， ∴13e <≤.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的离心率范围的求解，考查了学生转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y = 【解析】 【分析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =， 则抛物线方程为：22x y =. 故答案为：22x y =.【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14.甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种.若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子.玩一次该游戏，甲同学不输的概率为_____. 【答案】23【解析】 【分析】首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求出甲不输的概率即可. 【详解】画树状图得则玩一次该游戏，甲同学不输的概率：62=93 P=.故答案为：23【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，考查了利用树状图解决概率问题.15.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=135°，32355AB AC CD===，，，则AD=_____. 【答案】210【解析】【分析】设BCAα∠=，ACDβ∠=，在△ABC中，由正弦定理求得sinα，则可得cosβ，再由余弦定理求出AD 即可.【详解】如图设BCAα∠=，ACDβ∠=，∵在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=135°，32355AB AC CD===，，，在△ABC中，由正弦定理可得：sin135sinAC ABα=⇒sinαsin13555ABAC⋅==；∴5cos cos90sinβαα=︒-==（）∴(2222252cos355235540AD AC CD AC CDβ=+-⋅⋅=+-⨯=，∴AD=10.故答案为：10【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了学生的运算求解能力.16.已知函数()22log021x x af xx x x a<<⎧=⎨-+≥⎩，，，若存在实数m，使得方程()0f x m-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____.【答案】()()0,11,2 【解析】【分析】画出函数2log y x =和函数221y x x =-+的图象，结合图象通过平移直线观察可得a 的取值范围.【详解】画出函数2log y x =和函数221y x x =-+的图象，如图所示：两个函数有两个交点，坐标为()1,0和()2,1，∵存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，∴观察图象可知，当0＜a ＜1时符合题意.当1＜a ＜2时符合题意，∴a 的取值范围是：()()0,11,2. 故答案为：()()0,11,2【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，根据方程的根的情况求参数范围，考查了转化与化归和数形结合的思想.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，且2a 5=a 8﹣2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{b n }的前n 项和S n . 【答案】（1）a n =﹣n ；（2）S n 1n n =+ 【解析】【分析】 （1）由题可得()()()211111282472a d a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩，从而求出1a ，d ，进而得到数列{a n }的通项公式； （2）由（1）得111n b n n =-+，采用裂项相消法求出n S . 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 32=a 1a 9，即()()211128a d a a d +=+得a 1=d ①，又2a 5=a 8﹣2，所以()112472a d a d =+-+得a 1+d =﹣2 ②，由①②，解得a 1=d =﹣1，所以a n =﹣n ；（2）由（1）知a n =﹣n ，∴()()111111111n n n b a a n n n n n n +====----++， ∴S n =b 1+b 2+…+b n =（112-）+（1231-）+（1341-）+…+（111n n -+）=1111n n n -=++. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列，数列求和等知识，考查了用裂项相消法求数列的和，考查了学生的运算求解能力.18.A 、B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83B 73 84 75 73 78 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m ，n 表示）.（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A 、B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B 同学的平均分为78，方差219s =，求m ，n .【答案】（1）B 同学，理由见解析；（2）m =8，n =0.【解析】【分析】（1）根据题意作出茎叶图即可；（2）根据平均数，方差公式列出方程求解即可.【详解】（1）A 、B 两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，所以选派B 同学参加数学竞赛更好.（2）因为18x =（73+84+75+73+70+m +80+n +76+85）=78， 所以m +n =8，①，因为S 218=[52+62+32+52+（m ﹣8）2+（n +2）2+22+72]=19， 所以（m ﹣8）2+（n +2）2=4，②联立①②解得，m =8，n =0.【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，以及茎叶图，考查了学生的数据分析和运算求解能力. 19.如图，在四棱柱ABCD A B C D ''''-中，四边形ABCD 为平行四边形，4260DD CD AD BAD '===∠=︒，，，且点D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）棱BC 上存在一点N ，使得AD ⊥平面D HN '，试确定点N 的位置，说明理由；（2）求三棱锥C A HC ''-的体积.【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）点N 为棱BC 的中点，由题可得△HBC 为等边三角形，所以NH ⊥BC ，又可证D H '⊥BC ，故可得BC ⊥平面D HN '，又AD //BC ，即证AD ⊥平面D HN '；（2）由题得A '到平面DD C C ''的距离即为A 到平面DD C C ''的距离，过A 作AM ⊥CD 于点M ，证AM ⊥平面DD C C ''，则13C A HC A C HC C HC V V S AM '''''--∆=⋅=，由条件代值计算即可. 【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '，BH ，∵D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，∴D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴D H '⊥BC ，在△HBC 中，23HC BC HCB π==∠=，，故△HBC 为等边三角形，又点N 为棱BC 的中点，∴NH ⊥BC ，又D H '⊥BC ，D H '∩NH =H ，D H '，NH ⊂平面D HN '，∴BC ⊥平面D HN '，又由平行四边形ABCD 得AD //BC ，∴AD ⊥平面D HN '，点N 即为所求.（2）∵平面AA B B ''//平面DD C C ''，∴A '到平面DD C C ''的距离即为A 到平面DD C C ''的距离，过A 作AM ⊥CD 于点M ，又D H '⊥平面ABCD ，∴D H '⊥AM ，又CD D H H ⋂'=，∴AM ⊥平面DD C C ''， sin 3AM AD BAD =∠=，2223D H DD DH ''=-=， 又112232322C CH S CHD H '∆'=⋅=⨯⨯=， 所以11233233C A HC A C HC C HC V V S AM '''''--∆=⋅==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的证明，几何体的体积的计算，考查了学生的直观想象与逻辑推理能力，考查了转化与化归的数学思想.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，点P 为椭圆C 上的一动点，12PF F △面积的最大值为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，点()22,0A ，证明：直线PA 与直线QA 关于x 轴对称. 【答案】（1）22142x y +=.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和12PF F △面积的最大值为2，即可列出,,a b c 方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF 的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QA k k =-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，所以2c e a ==，即222c a =，又222a b c =+，所以b c =， 因为12MF F ∆面积的最大值为2，所以1222c b ⋅⋅=，即2c b ⋅=， 又因为b c =，所以b c ==24a =，故椭圆C 的方程为22142x y += （2）由（1）得2F ，当直线l 的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则122122222y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +++=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，21.已知()()()2x f x ax b e x =+++在点()()0,0f 处的切线方程为60x y -=. （1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >时，证明：()2ln 23f x x x >++.【答案】（1）a =2，b =0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得()00f =，()06f '=，列方程即可求解a ，b ；（2）令()()()2ln 23x x g x f x +-+=，则()()1'212(0)x g x x e x x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，令()12(0)x h x e x x =+->，判断存在唯一011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0012x e x =-，从而得到2000()222ln 1min g x x x x =---；再令()211222ln 1,43x x x x x ϕ⎛⎫=---∈ ⎪⎝⎭，，证明()0x ϕ>即得证()2ln 23f x x x >++.【详解】（1）()()()()21x x f x a e x ax b e '=+++++， 因为f （x ）在点()()0,0f 处的切线方程为y =6x ，所以()00f =，()06f '=， 即30326b a b =⎧⎨+=⎩，解得a =2，b =0； （2）由（1）得()()22x f x x e x =++， 设()()()222ln 23x x x g x e x x ++-++=，即()22222ln 3x g x xe x x x ++=--， 则()()()()224221'214221212(0)xx x x x g x x e x x e x e x x x x +-⎛⎫=+++-=++=++-> ⎪⎝⎭设()12(0)x h x e x x=+->，则h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且113411201043h e h e ⎛⎫⎛⎫=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以存在唯一011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()000120x h x e x =+-=，即0012x e x =-， 当00x x <<时，()0h x <，()0g x '<，g （x ）单调递减；当0x x >时，()0h x >，()0g x '>，g （x ）单调递增；()02200000000001()2222ln 322222ln 3x min g x g x x e x x x x x x x x ⎛⎫∴==++--=-++-- ⎪⎝⎭2000222ln 1x x x =---，设()211222ln 1,43x x x x x ϕ⎛⎫=---∈ ⎪⎝⎭，，则()()()21212'42x x x x x xϕ-+=--=， 当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()1132ln 3039x ϕϕ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 所以2000()222ln 10min g x x x x =--->，即()0g x >，所以当0x >时，()2ln 23f x x x >++.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，综合考查了函数的单调性，最值等问题，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=. （1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程； （2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的22C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos 2sin x θθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 又因为P 为AB中点，所以cos θ⎛ ⎝⎭P ， 则点P 到直线l72sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，72sin 6πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值5， 故AB 中点P 到直线l【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1,f x x m x m N *=-++∈. 若存在实数x 使得()3f x <成立.（1）求m 的值；（2）若,0αβ>，()()411m αβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x 使得()3f x <成立等价于存在实数x 使得12-++<x m x 成立，而111x m x x m x m -++≥---=+，当且仅当()()10x m x -+≤时取得.故存在实数x 使得()3f x <成立等价于13m +<，解得42m -<<，又因为*m N ∈，则1m =（2）由（1）得1m =，故()()4111αβ--=， 所以1141βα=+-， 由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。
2021年高三文科数学模拟训试题(6)
2021年高三文科数学模拟训试题（6）.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数=A. B. C. D.22．设集合，，若，则A. B. C. D.3. 函数有极值的充要条件是（）A．B．C．D．4．已知函数，则等于（）A．4 B．C．-4 D．5.等比数列的前项和为（），，则（）A、B、C、D、6．如右图，设，两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（其中，，精确到）A．B．C． D．7．若不等式在内恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图执行下面的程序框图，那么输出的S=A.2450B.2500C.2652D.25509.已知二次函数的值域是，那么的最小值是（）A．1 B．2C ．D ．310．若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程 有解（点不在上），则此方程的解集为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x ，y ∈N *)分 组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)频 数2xyz24则样本在区间 [10，60 ) 上的频率为 ． 12．已知△ABC 的周长为9，且，则cos C ＝ .13．若x 21＋m ＋y 21－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是_____________．14．右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是 .15．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下 一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行 的实心圆点的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 记不等式组表示的平面区域为M.（Ⅰ）画出平面区域M ，并求平面区域M 的面积； （Ⅱ）若点为平面区域M 中任意一点，求直线的图象经过一、二、四象限的概率.............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 (5) (6)1 1 yxO··17. 设函数． （I ）求的单调递增区间； （II ）在△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积为，求的值．18. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，，为的上一点，且.（Ⅰ）若F 为PE 的中点，求证：平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥的体积.19. 已知等比数列的各项均为正数，且．（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n 项和．（Ⅲ）设，求数列{}的前项和．20．设函数，.（Ⅰ）若，关于的不等式恒成立，试求的取值范围； （Ⅱ）若函数在区间上恰有一个零点，试求的取值范围.21．已知抛物线，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且抛物线上一点到点F 的距离是3. （Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若k > 0，且，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：.A PCBDE江西省南康中学xx届高三下学期数学（文）试题(六)参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11、12、13、14、15、三、解答题16．（Ⅰ）如图，△ABC的内部及其各条边就表示平面区域Ｍ，其中、、，（4分）∴平面区域M的面积为（6分）（Ⅱ）要使直线的图象经过一、二、四象限，则，（6分）又点的区域为M，故使直线的图象经过一、二、四象限的点的区域为第二象限的阴影部分（9分）故所求的概率为（12分）17．解：（I）=== …………4分由，得∴的单调递增区间为. …………6分（II）由（I）可知, ∴∴52222() 6666A k A k k Zππππππ+=++=+∈或∴…………9分,则，，又，a= …………12分18.解：（Ⅰ）连结BD交AC于O，连结OE，∵为的上一点，且，F为PE的中点∴E为DF中点，OE//BF （5分）又∵平面AEC ∴平面AEC （6分）（Ⅱ）侧棱底面，，APCBDEFOa)11yxO··ABC(b)又，， ∴， （9分） 又,∴三棱锥的体积922121192323131ΔΔ=⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅==--PAD PAE AEP C AEC P S CD S CD V V （12分） 19. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由得，所以．由条件可知，故．由得，所以． 故数列{a n }的通项公式为a n =． （Ⅱ）， 故，12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++，所以数列的前n 项和为．（Ⅲ）由=．由错位相减法得其前和为 20．（Ⅰ） 依题得:，不等式恒成立,则.设,则即可.又，当且仅当时, .所以的取值范围是. ………………6分 （Ⅱ）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线. ………………7分 依题意得：当时，只需满足即解得, ………………9分 当时满足题意，时不满足题意，则 . 当时，只需满足即解得.当时满足题意，时不满足题意，则. …………12分 综上所述, 的取值范围是. …………13分21、（Ⅰ）因为点到抛物线的焦点的距离是，所以点到抛物线的准线的距离是所以所以.所以抛物线方程 ………….. 2分因为点在抛物线上， 所以. ，所以. ….. 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知因为直线经过点，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率是. 所以直线的方程是，即.所以联立方程组 消去，得 ……….. 5分 所以因为，且所以……….. 7分所以所以所以（舍负）所以的值是 ….. 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组 得设，，所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=-- .. 10分 由，所以所以 所以切线的方程是，切线的方程是 ……….. 12分所以点的坐标是，所以所以 ….. 14分 39989 9C35 鰵 bV24446 5F7E 彾30082 7582 疂R32761 7FF9 翹29804 746C 瑬21152 52A0 加242775ED5 廕31506 7B12 笒]27572 6BB4 殴。
2021年高三第20周综合练习卷数学文试题 含答案
2021年高三第20周综合练习卷数学文试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数的虚部是（）A． B． C． D．2、设集合，集合为函数的定义域，则（）A． B． C． D．3、设等差数列的前项和为，若，则等于（）A．B．C．D．4、已知函数，若，则实数的值等于（）A．B．C．或D．或5、如图，在中，，若，，则（）A．B．C．D．6、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．7、执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入（）A．B．C．D．8、已知双曲线的离心率为，且它有一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．9、“”是“关于，的不等式组2010xx yx yx y m≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10、定义两个实数间的一种新运算“”：，、．对任意实数，，，给出如下结论：①；②；③．其中正确的个数是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、已知为第四象限角，且，则．12、已知，的取值如下表：从散点图可以看出与线性相关，且回归方程为，则．13、若（其中，），则的最小值等于．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线（是参数）被圆（是参数）截得的弦长为．15、（几何证明选讲选做题）如图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦于点，，，则．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图象过点．求和的值；设，求函数的单调递增区间．17、（本小题满分12分）年春节前，有超过万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续天对进站休息的驾驶人员每隔辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有名，则四川籍的应抽取几名？在上述抽出的驾驶人员中任取名，求至少有名驾驶人员是广西籍的概率．18、（本小题满分14分）如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点.求证：平面；求证：平面平面.19、（本小题满分14分）已知数列的前项和满足，等差数列满足，．求数列、的通项公式；设，数列的前项和为，问的最小正整数是多少？20、（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．求椭圆的方程；如图，椭圆的长轴为，设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，点满足，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，，求证：为锐角．21、（本小题满分14分）已知函数，．若的极大值为，求实数的值；若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；若函数满足：在定义域内存在实数，使（为常数），则称“关于可线性分解”．设，若关于实数可线性分解，求的取值范围．37064 90C8 郈8BE31259 7A1B 稛23138 5A62 婢=40105 9CA9 鲩21883 557B 啻.d-。
2021年高三文科数学复习：20月考试卷(四)(新人教A)
2021年高三文科数学复习：20月考试卷（四）（新人教A ）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( ) A.32 B.23 C.54 D.453．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或04．(2011年韶关模拟)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．85．若椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q 点，使得|PQ |＝|F 2P |，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．点6．(2011年滨州模拟)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．227．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mnm ＋n等于( ) A.12a B.14a C ．2a D.a 48．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥ 平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°10.(2011年福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163π C.43π＋8 D ．12π11.(2011年清远模拟)给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．(2011年扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为________14.在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)15 M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．16已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．18．（本小题满分12分）椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E的方程；19．（本小题满分12分）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，求b 2＋13a 的最小值20．（本小题满分12分）根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)；(3)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.21．（本小题满分12分）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到直线l 的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．22．（本小题满分14分）如图， 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． (1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平面MQB .月考试卷（四）参考答案及评分标准1答案：A 解析：双曲线x 24－y 212＝1的渐近线为y ＝±3x ，c ＝4＋12＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为431＋(±3)2＝2 3.2答案：C 解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5. A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||＝108＝54.3答案：D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 4答案：D 解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1，∵椭圆的长轴在y 轴上，∴m －2>10－m >0，即6<m <10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.5答案：A 解析：因|F 1Q |＝|F 1P |＋|PQ |＝|F 1P |＋|PF 2|＝2a ，所以Q 点的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.6答案：D 解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.7答案：B 解析：取通径AB ，则m ＝n ＝12a ，故mn m ＋n ＝14a.8答案：A 解析：l ⊥α⇒l ⊥m ，l ⊥n ，反之因为m 、n 不一定相交，故l ⊥m 且l ⊥n 不一定推出l ⊥α 9答案：D 10答案：A解析：由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.11答案：C 解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m .②中l 与m 也可能异面．③中⎭⎬⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n 12答案：A 解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2. 13答案：π 14答案：②④15答案：9解析：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|MF 1|·|MF 2|≤(|MF 1|＋|MF 2|2)2＝a 2＝9.16答案：2解析：由题知，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝42， ∴圆心坐标为(3,0)，半径r ＝4.∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x ＝－1，x ＝7. 而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，∴由－p 2＝－1得p ＝2，由－p2＝7得p ＝－14与题设矛盾(舍去)．∴p ＝2.17解析：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－(23×32×23)2＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.18解析：设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆的方程可化为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2(负值舍去)，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.19解析：c a ＝2⇒c 2a 2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233， 当a ＝13a ，即a ＝33时取最小值233.20解析：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny . 代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y . (3)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .21解析：(1)依题意，l 方程x a ＋y －b ＝1，即bx －ay －ab ＝0，由原点O 到l 的距离为32，得ab a 2＋b 2＝ab c ＝32，又e ＝c a ＝233，∴b ＝1，a ＝ 3.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1. (2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 23－y 2＝1的解，消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意，1－3k 2≠0，由根与系数关系，知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1 ＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1 ＝63k 2－1＋1. 又∵OM →·ON →＝－23，∴63k 2－1＋1＝－23，k ＝±12，当k ＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.22解析：(1)连接BD ，四边形ABCD 为菱形．∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点， ∴AD ⊥BQ .∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴AD ⊥PQ ， 又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，而AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .(2)当t ＝13时，使得PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，则O 为BD 的中点．又∵BQ 为△ABD 边AD 上的中线，∴N 为正三角形ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a . ∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ，∴PA ∥MN ，PM PC ＝ANAC ＝33a 3a ＝13，即PM ＝13PC ，t ＝13.31110 7986 禆(738700 972C 霬22711 58B7 墷30663 77C7 矇28431 6F0F 漏35213 898D 覍28877 70CD 烍33258 81EA 自35128 8938 褸P27091 69D3 槓32534 7F16 编。
2021年高三下学期统一练习(二)文科数学 含解析
2021年高三下学期统一练习（二）文科数学含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数的虚部为（A）3 （B）（C）4 （D）【答案】A【解析】，所以虚部为3，选A.2. 若a∈R，则“a＝1”是“”的（A）充要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分又不必要条件【答案】C【解析】若，则。
所以“a＝1”是“”的充分而不必要条件，选C.3. 设向量a=(4，x),b=(2,-1),且a⊥b，则x的值是（A）8 （B）-8 （C）2 （D）-2【答案】A【解析】因为,所以设，解得，选A.4. 双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由双曲线的方程可知，所以，即离心率，选C.5. 下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】因为函数的周期是，所以，解得，排除A,B.当时，为最大值，所以图象关于直线对称，选D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）24 （B）20+4（C）28 （D）24+ 4【答案】B【解析】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为，.选B．7.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b为直角边长的等腰直角三角形，其面积为，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足的概率,由题意令，解得,选D．8. 已知偶函数f(x)（x∈R），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）.关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下：①当a=2，m=0时，直线与图象G恰有3个公共点；②当a=3,m=时，直线与图象G恰有6个公共点；③，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ①②③【答案】D【解析】设，则，故，所以当时，。