偏微分方程数值解试题06B答案

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开课系室数学与计算科学学院

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偏微分方程数值解试卷

一（15分）、（1）简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤.(2)写出近似一阶偏导数

n

m

x

u |∂∂的三种有限差分逼近及其误差阶,写出近似

n

m x

u |22

∂∂的差分逼近及其误差阶.

评分标准：

（1） 7分，三个离散4分，其他步骤3分 （2） 8分，每个格式及误差2分。

二（15分）、（1）以抛物型方程的差分格式为例，解释差分格式的相容性,稳定性和收敛性概念,分析相容性,稳定性和收敛性与误差的关系，简述 Lax 等价性定理。(2) 简述差分格式稳定性分析的Fourier 级数法（或称为Neumann Von 方法，分离变量法）的一般步骤。

（1）8分，解释概念6分，等价关系2分

（2）7分，典型波2分，放大因子与条件3分，其他2分 三（20分）、对于边值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧=⨯=∈=∂∂+∂∂∂0

|)

1,0()1,0(),(,92

222G u G y x y u

x u

（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截

断误差的阶。

（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式并求解） （3）就取5/1=h 的情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解：（1）7分，离过程与格式

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四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<∂∂=∂∂T t t u t u x x x u T t x x u

t

u 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,2

2

ϕ

（1）建立古典显式差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）建立古典隐式差分格式，写出格式的矩阵形式（即F

BU

AU

k

k τ+=+1

的形

式），用矩阵方法分析格式的稳定性

（3）建立Nicolson Crank -隐式格式，写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

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五（10分）、逼近

0=∂∂+∂∂x

u a

t

u 的三层差分格式为

221

11

1

=-+--+-+h

u u a

u u n

j n j n j n j

τ

把三层格式表示为两层格式，求出相应的增长矩阵，分析格式稳定的必要条件。

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六（10分）、对于波动方程的初边值问题⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧≤≤==≤≤=∂∂=≤<<<∂∂=∂∂T t t u t u x x t x u x x u T t x x u

a t u 0,0),1(,0),0(10),()0,(),()0,(0,10,2

2

222ψϕ

建立显格式和初始条件近似，推导截断误差。

七（10分）、对于二维抛物型方程

)(

2

2

22

y

u x

u a t

u ∂∂+

∂∂=∂∂建立向后差分格式（隐格式），

指出截断误差阶，分析格式的稳定性。