ARCH类模型
arch模型的原理 -回复
arch模型的原理-回复ARCH模型，即自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model），是为了捕捉时间序列数据中异方差（heteroskedasticity）现象而生的一种经济计量模型。
在本文中，将一步一步回答“ARCH模型的原理”。
第一步，我们先了解什么是异方差。
异方差是指时间序列数据中，随着时间的推移，序列的方差出现明显变化的情况。
在金融市场，股票价格或金融资产的收益率常常呈现出异方差现象，即在某些时期波动较小，而在其他时期波动较大。
这种异方差现象对于风险度量和预测模型的构建都有很大的影响。
第二步，ARCH模型的基本思想是通过引入时间序列自己的过去序列的方差来解释序列的异方差现象。
也就是说，ARCH模型假设时间序列数据的方差是由过去的误差平方项决定的。
如果过去的方差较大，那么未来的方差也会较大；反之，如果过去的方差较小，那么未来的方差也会较小。
第三步，ARCH模型的具体形式是通过引入一个滞后期数的误差项平方的线性组合来表示方差的变化。
以ARCH(p)模型为例，其表达式为：σ^2_t = α_0 + α_1 * ε^2_(t-1) + α_2 * ε^2_(t-2) + ... + α_p * ε^2_(t-p)其中，σ^2_t表示时间t的方差，α_0为常数项，α_i（i=1,2,...,p）为参数，ε_t（t=1,2,...,p）为误差项。
在ARCH(p)模型中，根据过去p期的误差项平方的线性组合来估计当前时间的方差。
第四步，ARCH模型的参数估计可以使用最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）进行。
MLE的思想是找到一组参数值，使得模型产生的数据的概率最大化。
对于ARCH模型，我们需要对误差项的平方进行参数估计，然后利用MLE来求解最优的参数。
第五步，ARCH模型的估计和预测过程需要进行模型检验。
arch模型
ARCH 模型不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。
例如，宏观经济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确定性等。
在模型分析中，经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度量。
而且为了分析简洁，通常对模型作出一些假定，例如在回归模型中假定随机扰动项满足零均值、同方差和互不相关。
然而，实践表明，许多经济时间序列在经历一段相对平稳的时期后，都有非常大的波动。
如图，沪深股票市场日收益率变异情况就具有这种特性。
在这种情况下，同方差假定是不恰当的。
在这种情况下，人们关心的是如何预测序列的条件方差。
例如，作为资产持有者，他既关心收益率的预测值，同时也关心持有期内方差的大小。
如果一位投资者计划在第 t 时期买入某项资产，在第 t+1 时期售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了。
对于这一类问题，可以使用自回归条件异方差模型 （autoregressive conditiona heteroskedastic model ，简称 ARCH 模型）来进行分析。
最早的 ARCH 模型是由 Robert Engle 于 1982 年建立的，因此它的发展历史不长。
但是，这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的分析，ARCH 模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。
第一节 ARCH 模型的概念与性质 1、ARCH 过程ARCH 模型的一般性定义如下。
假设时间序列{}t y 服从如下回归模型：'t t ty x u ξ=+(8.1.1)其中 t x 是外生变量向量，它可以包含被解释变量的滞后项，ξ是回归参数向量。
如果扰动项序列{}t u 满足：11|~(0,)(,,)t t t t t t q u N h h h u u ---Ω= (8.1.2)其中：11122{,',,'}t t t t t y x y x -----Ω= 为t 时期以前的信息集。
金融计量经济第三讲ARCH模型的理论与应用
讨论课内容
• 1、利用证券市场指数数据分析股票市场的 衰减系数； • 2、非对称ARCH模型—TARCH和EGARCH模型的应用
练习，可采用自回归模型和单指数模型； • 3、准备讨论课内容，分小组，每组最多3人，讨论较前沿 的金融计量应用论文，最好是外文文献，若有思想较好的 个人作品也可。课堂讨论时间每组30分钟左右，听课的同 学可提问。请在二周后上报小组成员名单及分工。 • 1和2需要将分析结果做成文挡，电邮给老师（下周前）。 • Zhujin@
• （*）和（**）有何区别？ • 此方法可以用于期货价格、自由汇率等时间序列 的计算，不同问题结果分析时有所侧重。
不同阶段的时间序列的结果（当堂演算）： • 从1991年3月到95年12月:衰减系数>1,不符 合GARCH模型的要求； • 从95年12月到98年12月，衰减系数=0.92； • 98年12月到今，衰减系数=0.97
H0 : 1 2 q 0; H1 : i 0,1 i q
ht 0 1 t 1 q t q t (3.6)
例3.1：开放式基金与股价指数因果 关系分析
• 选指数型基金一家，上证180指数为解释变 量，讨论之间是否有ARCH特征。
时间序列分析上机练习参考
• 有用的时间序列数据：各市场中的股价指数、行 业指数、个股价格、成交量；开放式基金或封闭 式基金净值与价格，开放式基金规模；期货价格、 持仓量、交易量；外汇交易价格；CPI；GDP； 其它金融时间序列； • 练习目的：掌握并熟练ADF检验、单整与协整检 验、EMC、Granger因果检验、ARCH系列应用 • 建模参考：A、B市场关联性、基金与股价指数的 关联性、购买力平价模型、股价与CPI或GDP的 关系，基金规模与股价或净值的关系等； • 选择一些建模主题，寻找数据，进行各项检验及 回归分析。Βιβλιοθήκη 第三节 其它ARCH类模型
【时间序列】波动率建模之ARCH模型
【时间序列】波动率建模之ARCH模型1. ARCH1.1 异方差在传统计量经济学模型中，都假设干扰项的方差为常数（同方差）。
但是在现实世界中，许多经济时间序列的波动具有丛聚性等特征。
例如：股市中可能存在的涨跌，当遇到结构性风险，股票价格可能存在大涨或者大跌的情况，这种类时间序列被称为条件异方差，即使无条件异方差是恒定的，但是也会存在方差相对较高的时候，而这个波动率是通常会呈现出持续性，这被称为波动丛聚性。
1.2 ARCH过程ARCH （atuoregressive conditional heteroskedastic，自回归条件异方差）模型可以描述一个序列阶段性的稳定和波动：表示白噪音过程，满足 ;相互独立,和都为常数，且把代入到中可得：这便是序列的一阶自回归异方模型ARCH(1)，推广到高阶则可得我们为什么要用条件异方差呢，首先来考虑估计一个平稳的ARMA模型，则的条件均值为，用条件均值去预测下一期，则预测误差的方差为如果使用无条件预测，结果一般是时间序列的长期均值。
则无条件预测误差方差为其中白噪音过程，，，可得由此可得无条件预测方差大于条件预测方差，所以使用条件预测结果更好。
所以针对一些时间序列的异方差性，可以使用一些模型去拟合条件方差。
1.3 ARCH性质1.ARCH模型，误差项的条件均值和无条件均值都等于0.对于所有，因此，序列具有序列不相关性，但是误差并不相互独立（误差），换个角度看， ARCH(1) 的方差是等于AR（1）的：2.为条件异方差将导致也为异方差，所以ARCH模型可以表示出序列中阶段性的稳定和波动3.ARCH误差和序列的自相关参数相互作用。
的变化和序列的持续较大的方差有关，越大，持续时间越长，的变化越持久。
ARCH是使用AR（P）来对条件方差建模，如果加上MA(q) 过程又会如何呢？由此衍生出了GARCH2. GARCH假设误差过程为：表示白噪音过程，均值为0，方差为1，因此的条件与无条件均值都为0.此模型将自回归以及异方差的移动平均项结合了起来。
06自回归条件异方差(ARCH)模型
研究目的：1984年第1季度是否有波动性突变 合理的均值模型：
yt 0.006 0.331yt 1 t (7.14) (5.47)
11
三、EViews应用举例（波动缓和）
异方差检验：
2 5 2 2 ˆ ˆ ˆ t 5.48 10 0.099 t 1 0.131 t 2
(1 0.511L 0.129L2 0.130L3 0.138L4 )Pt 1.632 2t (0.092) (0.098) (0.094) (0.175) (0.073) (1.347)
2 ht 1.353 0.163 2 t 1 0.591ht 1
(0.747) (0.80)
ht a0 a1 t i i ht i
i 1 i 1
上式称为GARCH(p,q)模型 GARCH模型的优点在于：一个高阶的ARCH模型 可能有一个更为简洁且更易识别和估算的GARCH 表达式。
9
二、GARCH模型
例：风险的GARCH模型（Holt和Aradhyula，1990） 研究目的：测算美国烤鸡业生产者的风险厌恶程度 烤鸡的供给函数
15
考虑如下模型
yt 1 t 1xt
var( yt 1 | xt ) xt2 2
如果xt = xt-1 = … = 常数，则yt就是方差恒定的白噪 声过程；如果xt变化，则yt就是异方差；如果xt呈 现出正序列相关，则yt的条件方差也呈现出序列正 相关。
3
一、ARCH过程
简单ARCH(1)模型（Engle，1982）
第六讲 自回归条件异方差(ARCH)模型
一、ARCH过程 二、GARCH模型 三、EViews应用举例 四、模型扩展
arch
2 t −1
可以看出， 的条件分布是正态的， 可以看出， ε t 的条件分布是正态的，但其条件方差是过 去平方误差的线性函数，是随时间而变化的函数。 而变化的函数 去平方误差的线性函数，是随时间而变化的函数。
5
RCH模型 （二）ARCH模型 RCH
ARCH类模型一般由两个方程组成 ARCH类模型一般由两个方程组成 （ ） 条件均值方程： 如 AR（p）模型
16
（三）扩展的ARCH模型 扩展的ARCH模型 ARCH
1.指数的GARCH模型 GARCH模型 1.指数的GARCH模型— E（ Exponential ）GARCH模型 指数的GARCH模型 ε t = ht vt 其中， 独立同分布， ），t 其中，{ vt}独立同分布，且 vt ~N（0，1）， = 1， 独立同分布 （ ， ）， ， 有下面的形式： 2，.......，T。并设条件方差 ht 有下面的形式： ， ， 。 p q ε t −i ε t −i log(ht ) = α 0 + ∑θ j log ht − j + ∑ α i + ϕi ht −i ht −i j =1 i =1
计算标准化残差序列（ ˆ 计算标准化残差序列（ vt ）的JB统计量 统计量 模型判定 AIC SC
10
4. 预测 的值， 只要知道参数 a 0 ， a1 ，...... ，a q 的值，就可以在 2 ε t2−q ， （t — 1）时刻，利用给定的数据 ε t −1 ，...… ， ）时刻， 2 在时刻t的条件方差 预测 ε t 在时刻 的条件方差 σ t 。
18
3. TARCH模型 模型 TARCH（Threshold ARCH）模型最先由 （ （ ）模型最先由Zakoian（ 1990）提出，它具有如下形式的条件方差 ）提出，
波动率的估计(ARCH模型)ppt课件
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
5
异方差性
6
异方差性另一例子：波动率据聚类性。 资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
H30V
H240V
16
滑动平均波动率－关于n的选择
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
17
指数滑动平均(EWMA)
计算公式
ˆ
2 t
24
ARCH(q)
t ht t
ht
0
1
2 t 1
q
2 tq
Vt是独立白噪声过程
E(vt | vt1, ...) 0 Var(vt | vt1,...) 1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
25
ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
t ht t
ht
0
11
历史波动率的估计
ˆT21
1 T
T
2 t
t 1
12
历史波动率
34 32 30 28 26 24 22
1400145015001550160016501700175018001850 HV
13
滑动平均波动率
滑动平均
SV模型综述
SV模型的估计
a) 基于矩法的估计 Taylor(1986)采用了直接的矩估计法，Melino & Turnbull(1990)对参数估计使用的广义矩法(Generalized Method of Moments，简称GMM)，由于GMM估计量具有一致和渐 近的特征，并且较容易实现，因而有大量的GMM对SV估计的实 证结论。基于矩法估计原理，Duffie & Singleto(1993)用模 拟过程的矩向量代替了分析矩向量，称为模拟矩法 (simulated method of moments，简称SMM)。Bansal， Gallant and Tauchen(1995)推导了有效矩法(Efficient Method of Moments，简称EMM)，其是基于对刻度函数的校准 而得出函数的方法，Chernov & Ghysels(2000)应用EMM估计了 连续和离散的SV模型。
SV模型的估计
SV模型的特征决定了收益率Y的扰动项在历史上是可 观察的，到t-1期的条件分布是不可知的，所以其确切的似 然函数是不可得的，故直接采用极大似然估计法就行不通， 替代的方法是采用滤波来得到估计值。不同的学者围绕 SV 模型中的扰动项不可观测的特性，提出了多种估计方法。针 对非长期记忆模型，估计方法可以分为三类： 一是基于矩法的估计； 二是基于极大似然法则的估计； 三是基于辅助模型的估计，主要是马尔科夫链蒙特卡 罗法(Markov Chains Monte Carlo，简称 MCMC)。
参考文献
References: [7] 王春峰, 蒋祥林, 李刚. Estimating volatility of Chinese stock market by stochastic volatility model[J]. 管理科学学报. 2003(04). [8] 白崑, 张世英. The Research and Applicaiton of Structure Change in SV Model[J]. 系统工程. 2003(02). [9] 苏卫东, 张世英. Multivariate long memory SV model and its application to Shanghai and Shenzhen stock markets[J]. 管理科学学报. 2004(01). [10] 黄大海, 郑丕谔. MCMC-based comparison of two classes of volatility models[J]. 系统工程学报. 2004(04). [11] 孟利锋, 张世英, 何信. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Model with Leverage Effect and Its Application[J]. 系统工程. 2004(03). [12] 孟利锋, 张世英, 何信. Estimation of SV Models on the Basis of Empirical Characteristic Function Method[J]. 系统工程. 2004(12). [13] 苏卫东, 齐安甜, 黄兴. On the Statistical Properties and Empirical Analysis of Long Memory Stochastic Volatility Model[J]. 系统工程. 2004(03).
Eviews数据统计与分析教程9章条件异方差模型ARCHGARCH
EViews统计分析基础教程
三、ARCH模型的其他扩展形式
2. TARCH模型
TARCH（Threshold ARCH）模型是门限自回归条件异 方差模型，可用来分析数据的剧烈波动性。 模型中条件方差的形式为
其中，dt-1是一个虚拟变量，满足的条件为 1 ，如果μt-1<0
dt-1= 0，如果μt-1>=0
EViews统计分析基础教程
一、自回归条件异方差模型（ARCH）
2.ARCH模型检验
（2）残差平方的相关图（Q）检验法
在EViews操作中，要实现残差平方的相关图（Q）检验，需 在 方 程 对 象 窗 口 中 选 择 “ View”|“Residual Tests”|“Correlogram – Q – statistics”选项。
GARCH（1，1）模型在金融领域应用广泛，可以对金融时 间序列的数据进行描述。
EViews统计分析基础教程
二、广义自回归条件异方差模型（GARCH）
2.GARCH模型的建立
当上述辅助回归方程进行ARCH效应检验时，如果ARCH的 滞后阶数q很大，检验结果依然显著，即残差序列依然存在 ARCH（q）效应。此时可采用GARCH（p，q）模型重新进 行估计。
在“Options”中输入ARCH和GARCH的阶数 。
在“Variance”的编辑栏中可列出方差方程中的外生变量。
EViews统计分析基础教程
一、自回归条件异方差模型（ARCH）
3.ARCH模型的建立
Options选项卡
如果选中“Backcasting”（回推） 中的复选框，MA初始扰动项 和GARCH项中的初始预测方 差将使用回推（“Backcasting”） 方法确定初始值。
ARCH模型
ARCH模型ARCH模型(Autoregressive conditional heteroskedasticity model)[编辑]什么ARCH模型?ARCH模型由美国加州大学圣迭哥分校罗伯特·恩格尔(Engle)教授1982年在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中首次提出。
此后在计量经济领域中得到迅速发展。
所谓ARCH模型，按照英文直译是自回归条件异方差模型。
粗略地说，该模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。
作为一种全新的理论，ARCH模型在近十几年里取得了极为迅速的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融市场的预测和决策。
ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。
被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。
ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。
目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。
[编辑]ARCH模型的基本思想ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。
该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。
并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。
这样就构成了自回归条件异方差模型。
由于需要使用到条件方差，我们这里不采用恩格尔的比较严谨的复杂的数学表达式，而是采取下面的表达方式，以便于我们把握模型的精髓。
见如下数学表达：Yt = βXt＋εt (1)其中，∙Yt为被解释变量，∙Xt为解释变量，εt为误差项。
如果误差项的平方服从AR(q)过程，即εt2 =a0＋a1εt －12 ＋a2εt－22 ＋……＋ aqεt－q2 ＋ηt t=1,2,3…… (2)其中，ηt独立同分布，并满足E（ηt）= 0, D(ηt)= λ 2 ,则称上述模型是自回归条件异方差模型。
ARCH类模型
根据 2 取ARCH或GARCH形式而将模型称之为ARCH-M或GARCH-M模
t
型。这一扩展在描述资产预期收益与预期风险紧密相连的金融领域
有十分重要的意义。
ARCH-M模型
• 若用 y t表示某金融资产的收益率水平，方差 t 作为风险指标，表 示收益率水平的波动程度，那么模型（1.5）意味着除了包含传统 的解释金融资产收益率的各因素之外，还将风险因素 2 作为解释 t 变量，直接引入收益率的决定过程中。根据资产定价理论，股票 风险是决定股票价格的重要因素，一个证券投资者在做出某一投 资决策时，不但要考虑证券的收益率，还要考虑收益率的波动， 或者说风险的大小。方差的增加将导致预期收益率的增加，因此， 模型（1.5）所示的ARCH-M模型或GARCH-M模型恰好反映了“应将 风险因素引入金融资产定价过程”的思想，因而模型一经提出即 获得了广泛的应用。
特征应用于对未来时期变化的预测。我们将要利用估计出来的序列的模
型来预测该序列未来的变化，所以必须假定该序列所反映的随机变量的 特征在不同时期里，包括在过去和将来的时期里是保持不变的。 在此部分采用ADF来对平稳性进行检验。如果ADF统计量小于相应的 临界值，则序列是平稳的。如果ADF统计量大于相应的临界值，则表明序 列非平稳。
ARCH类模型分析检验的一般步骤
ARCH族模型分析一般包括如下五个主要步骤： 第一步，考察时间序列的统计特征。
检验序列值 y t 的均值、方差、峰度、偏度及Jarque-Bera等指标，
从而分析其正态性。如果序列显示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈 偏态、峰度系数大于3）、 Jarque-Bera统计量显示其具有非正态性，则
log
log
2 t
arch模型的原理 -回复
arch模型的原理-回复ARCH模型是一种用于时间序列分析和波动性建模的经济学模型。
它的全称是“Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model”，即自回归条件异方差模型。
ARCH模型由Robert F. Engle于1982年提出，并因此获得了2003年诺贝尔经济学奖。
ARCH模型的核心思想是利用过去时期的波动度来估计当前时期的波动度，通过将条件异方差引入模型，能更准确地描述金融市场中真实的波动性。
ARCH模型的基本形式可以表示为：\[y_t=\sigma_t\varepsilon_t\] 其中，\(y_t\)是时间序列的观测值，\(\sigma_t\)是条件标准差，\(\varepsilon_t\)是服从独立同分布的白噪声序列。
ARCH模型的关键在于如何建模条件标准差\(\sigma_t\)。
ARCH模型假设其平方等于过去一段时间内的残差平方的加权和。
具体地，ARCH(p)模型可以表示为：\[ \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 \] 其中，\(\omega\)是模型的截距项，\(\alpha_i\)是条件异方差参数，表示过去i个残差对当前时期波动度的影响。
ARCH模型的估计通常使用最大似然估计法。
最大似然估计通过最大化给定观测序列的条件下模型预测的概率来确定模型参数。
具体而言，最大似然估计需要将ARCH模型转化为正态分布的形式，然后使用数值优化方法求解参数的最大似然估计。
ARCH模型的估计结果可以用于许多金融市场的应用。
例如，可以利用ARCH模型预测未来波动性，从而为投资者制定风险管理策略提供依据。
此外，ARCH模型还可以用于构建波动率指数，如沪深300指数的VIX指数，用于衡量市场风险。
然而，ARCH模型也有一些局限性。
首先，它基于正态分布的假设，忽略了金融市场中的非线性和尖峰厚尾现象。
SAS实验指导-Arch建模要点
ARCH建模及SAS实现一．Arch模型Arch模型即自回归条件异方差模型，是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。
1982年，R.Engle在研究英国通货膨胀率序列规律时提出ARCH模型，其核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。
1986年，Bollerslev在ARCH模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的GARCH模型。
1. 金融时间序列的异方差性特征金融时间序列，无恒定均值(非平稳性)，呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性；具有明显的异方差(方差随时间变化而变化)特征：尖峰厚尾：金融资产收益呈现厚尾和在均值处呈现过度波峰；波动丛聚性：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。
杠杆效应：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向。
因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融时间序列数据。
2. ARCH(p)模型考虑k 变量的回归模型011t t k kt t y x x γγγε=++++若残差项t ε的均值为0，对y t 取基于t-1时刻信息的期望：1011()t t t k kt E y x x γγγ-=+++该模型中，y t 的无条件方差是固定的。
但考虑y t 的条件方差：22110111var(|)()t t t t t k kt t t y Y E y x x E γγγε---=----=其中，1var(|)t t y Y -表示基于t-1时刻信息集合Y t-1的y t 的条件方差，若残差项t ε存在自回归结构，则y t 的条件方差不固定。
假设在前p 期所有信息的条件下，残差项平方2t ε服从AR(p )模型：22211t t p t p t εωαεαεν--=++++ (*)其中t ν为0均值、2νσ方差的白噪声序列。
则残差项t ε服从条件正态分布：()2211~0,t t p t p N εωαεαε--+++ 残差项t ε的条件方差：22211var()t t t p t p εσωαεαε--==+++由两部分组成：（1）常数项ω；（2）ARCH 项——变动信息，前p 期的残差平方和21pi t i i αε-=∑注：未知参数01,,,p ααα和01,,,k γγγ利用极大似然估计法估计。
ARCH族模型
Mean
0.000125
Median
-0.001175
20
Maximum
0.104160
Minimum
-0.084541
Std. Dev.
0.029352
Skewness 0.430958
10
Kurtosis
4.323751
Jarque-Bera 41.58695
Probability 0.000000 0
• 示例
20
ARCH模型的检验 (1)
一、自回归条件异方差的LM检验
(1)建立原假设：
H0 :1 2 q 0
H1
:
1
,
2
,
,
不
q
全为
零
(2)
估计yt
xtT
，
t
求ˆt，
计算ˆt2
(3) 估计辅助回归式：
ˆt2 0 1ˆt21 qˆt2q t
(4) 用第2步得到的可决系数R2构成统计量LM TR2。
在这个模型中， 由 0，于所以负t1的 要比正的 t1
计算得到更大的差当方期差残值。
17
因子模型（1）
• 因子模型通过一个单一的GARCH波动性，市场因 子的波动性的估计和预测来估计预测个体资产的波 动性和相关性。在资本资产定价模型中，单一资产 或者证券组合的回报与市场回报之间的关系可用回 归方程表示。
• （输出见下页） • F统计量，TR2均显著
7
ARCH模型
• ARCH模型很好的捕捉了金融时间序列中 波动的簇聚现象(即大的波动往往跟随着大 的波动；小的波动之后往往跟随着小的波 动)，随后这一模型被不断的用来研究金融 市场的收益序列变化的问题，并且由于它 自身的灵活性，ARCH模型得到不断地改 进，成为一个庞大的ARCH模型族。
ARCH模型
一、多变量ARCH 方法简介1、多元ARCH 模型的结构：多变量ARCH 估计量是ARCH （Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ，自回归条件异方差模型）估计量的多变量形式，该方法能够有效地估计以自回归的形式表示的模型中的误差项的方差和协方差。
多元ARCH 模型的均值方程可以用分块矩阵表示如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k u u u X X X y y y212121210000δδδ式中：i y 表示第i 个方程的T⨯1维因变量向量，i u 表示第i 个方式的T⨯1维扰动项向量，i =1,2,…, k ，T 是样本观测值个数，k 是内生变量，i X 表示第i 个方程的T ⨯i k 阶解释变量矩阵，如果含有常数项，则i X 的第一列全为1，i k 表示第i 个方程的解释变量个数（包含常数项），i δ表示第i 个方程的ik ⨯1，i =1,2,…, k 维系数向量。
式（12.2.53）可以简单地表示为u X Y +∆=式中：设=∆=∑=,1ki i k （1'δ2'δ…k 'δ）是m ⨯1维向量。
2、多元ARCH 模型的估计同单方程ARCH 模型的估计方法类似，多元ARCH 估计量仍然使用极大似然估计法联合估计均值方程和条件方差方程。
2、多变量ARCH 模型的三种基本设定：对角VECH 、不变条件协相关（Constant Conditional Correlation ，CCC ）和对角BEKK 。
3、多元ARCH模型的检验、预测及评估多变量ARCH的评估，一般来讲，联立方程模型的评估，首先都是讲其中的方程单独地逐个检查，考察使用的标准就是单方程的评估标准。
在这个过程中，可能会发现有些方程与数据拟合的很好而另外一些则不是很理想。
这是，就必须对模型整体在统计意义上的拟合性做出判断。
ARCH学习总结
ARCH 学习1. ARCH 模型 定义：均值方程t t ε= ~..t i i d ν 2()0()1t t E E νν== 01at j t jj h ααε-==+∑ 特性：A.无条件均值 B.条件均值 C.无条件方差 Ｄ．条件方差高铁梅版本总结自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model ， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。
自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点，但时间序列同样也存在异方差特征，在金融数据上这一特征很明显。
为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。
ARCH 的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= σ2 t )依赖于时刻(t -1)的扰动项平方的大小，即依赖于 û2t - 1 。
ARCH 模型如果 ut 的均值为零，对 y t 取基于(t -1)时刻的信息的期望，即Et -1(yt )，有如下的关系： 即第一个方程式为均值方程。
假设在时刻 ( t -1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条件分布是：~ 也就是，ut 遵循以0为均值，(α0+α1u 2t-1 )为方差的正态分布。
由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程： 通常用极大似然估计得到参数γ0, γ1, γ2, ⋯⋯, γk , α0, α1的有效估计。
容易加以推广，ARCH (p )过程可以写为： （6.1.8） 这时方差方程中的(p +1)个参数α0, α1, α2, ⋯⋯, αp 也要和回归模型中的参数γ0, γ1, γ2, ⋯⋯, γk 一样，利用极大似然估计法进行估计。
如果（6.1.8）中方差不存在异方差，则02)var(ασ==t t u即： 相应的检验，对（6.1.8）建立方程，如果显著为0，即不存在异方差，否则存在异方差，等价于存在ARCH 效应。
STATA中各种ARCH模型的设定方法
STATA 中各种ARCH 模型的设定方法一、模型设定 1．基本模型2220Mean equation :,~(0,)Variance equation :(,)(,)t t t t t ty u u A B σσγ =+ =++x βσu σu均值方程中可以包括ARCH 项或ARMA 项，模型如下：22220Mean equation :()(,),~(0,)Variance equation :(,)(,)t t i t i t t t i ty g ARMA p q u u A B ψσσσγ- =+++ =++∑x βσu σu其中，2()t i g σ-表示方差的某种函数。
均值方程中的方差成分通过archm 设定，archmlags(numlist )设定滞后阶数，archmexp(exp )设定函数表达式，即方差的转换函数。
比如，在均值方程中加入条件标准差，则设定为archmexp(sqrt(X))，加入条件方差的倒数，则设定为archmexp(1/X)。
注意，函数表达式中统一用X 表示条件方差。
均值方程中的ARMA 成分通过arima(#p , #d , #q )或ar(numlist )，ma(numlist )设定。
模型中的成分A()选项如下（如果不设定，则A()=0）。
21,122,13,124,125,5,16,():():():():(0)():(||)():pi t i i qi t i j k i t ii k i t i t i i k i t i i t i i arch p u garch q saarch k u tarch k u u aarch k u u narch k αασαααγα-=-=-=--=--= A()=A()+ A()=A()+A()=A()+A()=A()+>A()=A()++A()=A()+∑∑∑∑∑26,126,71()():()k i t i i i k i t i i u narchk k u κακ-=-=-A()=A()+-∑∑B()包括的选项如下（如果不设定，则B()=0）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
p
其滞后阶数p可用自相关函数、偏自相关函数、Ljung-Box Q统计量来
确定，各参数 可以用最小二乘法（OLS）求得。当然也可以包含其它变
i
量来解释
yt 的变化规律，如按ARCH-M模型中将干扰项的方差或标准差引
入回归方程。
ARCH族模型分析检验的一般步骤
在利用OLS估计方法得到均值方程后，观察其残差序列 方序列 t2 。若残差平方序列呈现出自相关性（表现为自相关系数显著不 ˆ
GARCH模型
●若在干扰项 t 本期条件方差 t 的决定模型中引入条件方差本 身的滞后值，如 t21 ，便得到最简单的GARCH（1,1）模型， 即：
2
Var( t t 1 ) t2 0 1 t21 1 t21
（1.3）
该模型改进方法最早由经济学家Bollerslve于1986年提出。 ●模型（1.3）中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项： 0
，q ARCH
模型（1.1）称作均值方程，模型（1.2）称作方差方程。
ARCH模型
• 上述定义所谓的条件方差，可简单的理解为在已知信息集为 t 1 的条件下，t 时刻干扰项 t 的方差。对于模型（1.2）表示的 条件方差，前期的误差项对本期的的误差项 t 有着正向且持续 的影响。 • 如果扰动项方差没有自相关，就会有
t 1 t 1
指利好或利坏冲击
等式左边是条件方差的对数，所以条件方差的预测值一定是非负 的。如果 0 ，则冲击的影响存在着非对称性。如果 0 ， 正负冲击对条件方差的影响是对称的。
EGARCH模型
• Eviews指定的EGARCH模型和Nelson给出的模型之间有两点区别。首 先，Nelson假定 服从广义误差分布，而EViews假设扰动项服从正 t 态分布；其次，Nelson指定的条件方差的对数与上述的不同：Nelso n(1991)在最初给出的EGARCH(1,1)模型是如下形式：
2．用均值方程的残差平方的一阶滞后量来度量从前期得到的 波动性的信息： t2 1 （ARCH项）。
3．上一期的预测方差： t 1 （GARCH项）。
2
GARCH模型
●进一步扩展，GARCH(p,q)模型是指：
Var( t t 1 ) 0 i
2 t i 1
log
log
2 t
2 t 1
t 1 t 1 2 t 1 t 1
在正态误差的假设下估计这个模型将产生与EViews得出的那些结论恒 等的估计结果，除了截矩项 ，它只差了 2 。
• EViews指定了更高阶的EGARCH模型:
• 一种特殊的异方差形式——误差项的方查主要依赖于以前 期间误差的变化程度，即存在某种自相关性。
模型提出背景
• ARCH模型作为一种全新的理论，在近十几年里得到了极为迅速 的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融 市场的预测和决策。 • ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。 被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据 时间序列分析的模型。ARCH模型是过去20年内金融计量学发展 中最重大的创新。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论 从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二 的。
特征应用于对未来时期变化的预测。我们将要利用估计出来的序列的模
型来预测该序列未来的变化，所以必须假定该序列所反映的随机变量的 特征在不同时期里，包括在过去和将来的时期里是保持不变的。 在此部分采用ADF来对平稳性进行检验。如果ADF统计量小于相应的 临界值，则序列是平稳的。如果ADF统计量大于相应的 2 q 0 H ： var( t ) t2 0 。
从而得到误差方差同方差性情形。
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t2 0 1 t21 2 t22 p t2q 其中，t 表示从原始回归模型（1.1）估计得到的OLS残差。 ˆ
ut i ut i 2 i i log j log t i t i i 1 j 1 估计EGARCH模型只要选择ARCH指定设置下的EGARCH项即可。
2 t
p
2 t j
q
ARCH类模型分析检验的一般步骤
TARCH模型
• 用该模型进行预测时，假定残差的分布基本上是对称的，这样可 以认为 d 在一半时间内为1，但不知道具体何时为1 。这样在预 测中，可以设定 0.5 。 d • 更一般的TARCH模型形式如下：
0 i
2 t i 1
q
2 t i
d t 1 k t2k
（1.4）中的系数 i 和 k 都要服从一定的条件。
GARCH模型
●可以证明：若干扰项服从GARCH(p,q)模型，其方差为：
如果 逐渐衰减。
成立，干扰项
t 为平稳过程。换句话
说，可以说明外部冲击对干扰项的波动将随着时间的推移 的值的大小反映出外部冲击对干扰项波动产 生影响的持久性。
ARCH-M模型
2 2
2
若 Var( t t 1 ) t 0 1 t 1 2 t 2 q t q （1.2）
2 2
其中，, 2 q 0 1 2 q 1 ， 1 即条件方差具有 阶自回归形式，则称误差项 t (q)过程。
ARCH类模型介绍
ARCH模型
●对于某一时间序列
yt ，其变化规律可由如下回归模型描述：
（1.1）
yt X t
在t时刻可获得的信息集为 t 1 的条件下，误差项 t 服从以0为期望值、以 为条件方差的正态分布，即： t2
E( t ) 0
Var( t t 1 ) t
ARCH族模型分析检验的一般步骤
第三步，确定均值方程，正式检验残差序列是否确实存在自回 归条件异方差。
确定均值方差，即方程 yt X t 中 X 的形式。在对序列
归模型表示均值方程，即：
yt
进行ADF检验，验证其为平稳序列后，用其前期值 yt 1 , yt 2 的自回
y t 0 i y t i t
2 t 1 k 1
p
EGARCH模型
• EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson， 1991）提出。条件方差被指定为：
t 1 t 1 log log t 1 t 1
2 t 2 t 1
2
TARCH模型
对于股票而言，常常可以观测到的一个现象是，如果它在市 场上向上或向下变化相同的幅度，那么它向下滑动过程中的波动 性要高于向上运动过程中的波动性，称此为杠杆效应。为了解释 这一现象，Engle（1993）描述了如下形式的对好消息和坏消息的 非对称信息曲线：
波动性
信息 0
TARCH和EGARCH模型都可以用来描述非对称性。
其中，当 0 时，d t t
1 ；否则，d t 0 。
• 在这个模型中，好消息 t 0和坏消息 ( 0) 对条件方差有不同 t 的影响：好消息有一个 的冲击；坏消息有一个对1 的冲击。 1 如果 0 ，则冲击是非对称的，如果 0 ，我们说存在杠杆效应， 非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 ，则非对称效应 0 的作用是使得波动减小。如果 ，条件方差对冲击的反映是对称 0 的。
ˆ t 及残差平
为0）或者在残差平方的时间序列图上观察到积聚现象，这都意味着存在
ARCH类模型分析检验的一般步骤
ARCH族模型分析一般包括如下五个主要步骤： 第一步，考察时间序列的统计特征。
检验序列值
yt 的均值、方差、峰度、偏度及Jarque-Bera等指标，
从而分析其正态性。如果序列显示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈 偏态、峰度系数大于3）、 Jarque-Bera统计量显示其具有非正态性，则
q
2 t i
k t2k
k 1
p
（1.4）
即模型中有条件方差的p阶滞后和误差平方项的q阶滞后。相 对于ARCH模型，GARCH模型的优点在于：可以用低阶的GARCH模 型来代表高阶的ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得 比较容易。 在用GARCH(p,q)模型对金融时间序列进行估计时，模型
2
根据 2 取ARCH或GARCH形式而将模型称之为ARCH-M或GARCH-M模
t
型。这一扩展在描述资产预期收益与预期风险紧密相连的金融领域
有十分重要的意义。
ARCH-M模型
• 若用 yt表示某金融资产的收益率水平，方差 t 作为风险指标，表 示收益率水平的波动程度，那么模型（1.5）意味着除了包含传统 的解释金融资产收益率的各因素之外，还将风险因素 2 作为解释 t 变量，直接引入收益率的决定过程中。根据资产定价理论，股票 风险是决定股票价格的重要因素，一个证券投资者在做出某一投 资决策时，不但要考虑证券的收益率，还要考虑收益率的波动， 或者说风险的大小。方差的增加将导致预期收益率的增加，因此， 模型（1.5）所示的ARCH-M模型或GARCH-M模型恰好反映了“应将 风险因素引入金融资产定价过程”的思想，因而模型一经提出即 获得了广泛的应用。
• 除了刻画干扰项 t 的方差过程之外，还可以将干扰项的条件 y yt 方差作为影响序列t 本身的解释变量之一，引入序列 的 均值方程，即:
yt X t2 t
(1.5)
也可以将条件方差换成条件标准差：yt X t t 或取对数： yt X ln( t ) t