辽宁省葫芦岛市六校协作体2015-2016学年高二上学期第二次考试 数学(理) bytian
2015-2016年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．68．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．999．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3] 11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．100812．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab）n=a n b n”类比推理出“（a+b）n=a n+b n”；②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ．其中结论正确的有个．16．（5分）若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a的值为．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z====2+i，则=2﹣i，则对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）=a，∴f′（x）=，∴f′（1）=1=，∴a=2，故选：C．4．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．【解答】解：【法一】∵（1﹣i）z=，∴z===﹣1，∴|z|=1．【法二】∵（1﹣i）z=，∴|1﹣i|•|z|=，即•|z|=，解得|z|=1．故选：A．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．【解答】解：由f（x）=sin（4x+）+ax，得：f′（x）=4cos（4x+）+a，∴f′（0）=2+a，即曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线的斜率为2+a．又曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，∴2+a=3，解得a=1．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项【解答】解：用数学归纳法证明1+++…+＜n的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：C．7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．6【解答】解：由题意，由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积S=∫01（2x2﹣x+2）dx==．故选：A．8．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．99【解答】解：由已知得出：若9+=92×（a，b为正整数），则a=92﹣1=80，b=9，所以a+b=89，故选：A．9．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定【解答】解：∵P=+，Q=+1，∴P﹣Q=+﹣﹣1==，∵a1、a2∈（1，+∞），∴1﹣a1＜0，a2﹣1＞0，∴P﹣Q＜0，即P＜Q．故选：C．10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3]【解答】解：∵f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1），可得a2﹣1＞0，解得a＜﹣1或a＞1，∴f′（x）=3ax2﹣4ax+（a+1），△=16a2﹣12a（a+1）≤0时，即1＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件综上，函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是1＜a≤3．故选：D．11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．1008【解答】解：观察下列数的规律图：12343456745678910…知：第1行各数之和是1=12=（2×1﹣1）2，第2行各数之和是2+3+4=32=（2×2﹣1）2，第3行各数之和是3+4+5+6+7=52=（2×3﹣1）2，第4行各数之和是4+5+6+7+8+9+10=72=（2×4﹣1）2，∴第n行各数之和是（2n﹣1）2，由20152=（2n﹣1）2，解得n=1008．故选：D．12．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）【解答】解：∵y=f（x﹣3）为奇函数，∴f（0）=f（3﹣3）=﹣f（﹣3﹣3）=﹣f（﹣6）=3设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，又∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）﹣f（x）＞0，∴g′（x）＞0．∴y=g（x）单调递增．由f（x）＜3e x．即g（x）＜3．又∵g（0）==3，∴g（x）＜g（0）∴x＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=﹣1．【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 它是实数1+m3=0∴m=﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=﹣．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+2x ﹣1的导数为：f ′（x ）=3ax 2+2，f ′（1）=3a+2，而f （1）=a+1，切线方程为：y ﹣a ﹣1=（3a+2）（x ﹣1）， 因为切线方程经过（3，4）， 所以4﹣a ﹣1=（3a+2）（3﹣1），解得a=﹣． 故答案为：﹣．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab ）n =a n b n ”类比推理出“（a+b ）n =a n +b n ”；②已知直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ． 其中结论正确的有 0 个．【解答】解：当n=2时，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2，故①错； 当=，向量与不一定平行，故②错；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交，故③错． 故答案为：0．16．（5分）若函数f （x ）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a 的值为．【解答】解：由f （x ）=lnx+（x ＞0），得f ′（x ）=﹣=，f ′（x ）=0则x=a ，若a ＜1，则f （x ）min =f （1）=a=，不满足题意；若a ＞e ，则f （x ）min =f （e ）=1+=，则a=＜e ，不合题意；若e ≥a ≥1，则f （x ）min =f （a ）=lna+1=，则a=＜e ，满足题意；故答案为：．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．【解答】解：复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，可得：a2﹣1=0，a2﹣3a+2≠0，解得a=1．a的值为：1；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得：a2﹣1＞﹣a2+3a﹣2≠0，解得a＞1或a且a≠2．a的取值范围：（﹣∞，）∪（1，2）∪（2，+∞）．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则a2+b2=25，∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=（3a﹣4b）+（4a+3b）i，∴，解得或．∴z=4+3i或z=﹣4﹣3i．（2）证明：∵m＞0，∴1+m＞0，欲证（）2≤成立，只需证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2﹣2ab+b2）≥0，即证（a﹣b）2≥0，显然（a﹣b）2≥0恒成立，∴（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．【解答】解：由f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，则f′（x）=sinx+xcosx+acosx﹣（ax+b）sinx=（x+a）cosx﹣（ax+b﹣1）sinx，与f′（x）=xcosx﹣sinx比较可得：，可得．∴a=0，b=2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．∵x≥1．∴a ≤（x ﹣），当x≥1时，令g（x）=（x ﹣）是增函数，g（x）min=（1﹣1）=0．∴a≤0．（2）∵x=3是f（x）的极值点∴f′（3）=0，即27﹣6a﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x有极大值点x=﹣，极小值点x=3．此时f（x）在x∈[﹣，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=﹣18，最大值是：f（1）=﹣6，（因f（a）=f（4）=﹣12）．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）S1=a1=，S2=（2×4﹣2）（S2﹣S1），∴S2=，S3=（2×9﹣3）（S3﹣S2），∴S3=，S4=（2×16﹣4）（S4﹣S3），∴S4=（2）由（1）的计算可猜想S n =，下面用数学归纳法证①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即S k =，则当n=k+1时，S k+1=[2×（k+1）2﹣（k+1）]（S k+1﹣S k），第11页（共13页）∴（2k2+3k）S k+1=k（k+1），∴S k+1==，故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S n =．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）|f（x）﹣1|=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，原不等式化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令∅（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=e x﹣（1+a），由∅′（x）=0得：e x=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．第12页（共13页）故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）第13页（共13页）。
辽宁省葫芦岛市六校协作体2016-2017学年高二上学期期中联考文数试卷及答案
辽宁省六校2016-2017学年度上学期高二年级12月联考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = （ ）． A ．5 B ．7 C ．9 D ．112.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（ ）A. 2214y x -= B. 2214x y -=C. 221416x y -=，或221416y x -=D. 2214y x -=，或2214x y -=3. 下列命题错误．．的是 （ ） A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题 B ．命题“∈∃x R,02>-x x ”的否定是“∈∀x R,02≤-x x ”C ．∀0>x 且1≠x ，都有21>+xx D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真 4. 两等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和的比7235++=n n T S n n ，则55b a 的值是（ ） A ．2817 B ．5327 C ． 4825 D ．23155. 已知条件p ：1x ≤，条件q ：1x<1，则p 是⌝q 成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件6．命题p：x y +?；命题q ：在ABC D中，若sinA>sinB ，则A>B 。
下列命题为真命题的是（ ）A.pB.p Øq ∧⌝C.p q ÚD. p q Ù7.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且1011912a a a a +=23e （e 为自然对数的底数），则1220ln ln ln a a a +++= （ ）A. 20B.30C.40D.508 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为 （ ）A.12B.11C.3D.－１9. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于,P Q 两点，则11||||FP FQ +=（ ） A. 12B. 1C. 2D. 410. 设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是（ ）A.C.D. 11. 知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为( )C. 212. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 与y 轴交点为N,且3EO NO =，则C 的离心率为( )A ．13 B. 12 C. 23 D. 34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 设0x >，则133y x x=--的最大值是 14. 已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，若2MF N ∆的周长为8，则椭圆方程为_____________15．过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为____________16. 已知数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1)(11=+++n n n n n a a a a b ，则数列{}n b 的前20项的和为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，（1）若不等式0)(>x f 的解集)3,1(-．求b a ,的值； （2）若(1)2,00f a b =>>、求14a b+的最小值．18.（本小题满分12分）设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求实数n T20.（本小题满分12分）已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率；（Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.21.（本小题满分12分已知数列{n a }的前 n 项和 S n 满足1()2n n n S p S a =-+（p 为大于 0 的常数），且 a 1 是 6a 3 与 a 2的等差中项。
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）设命题p：∃x＞1，x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x≤1，x2﹣x+1≤0 B．∃x＞1，x2﹣x+1≤0C．∀x＞1，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤1，x2﹣x+1＞02．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢p1∧￢p2B．p1∨￢p2C．￢p1∧p2D．p1∧p25．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n 的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆8．（5分）下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=011．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．16．（5分）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=3，=3，则p=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．18．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．19．（12分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．21．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求的最大值．22．（12分）已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）设命题p：∃x＞1，x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x≤1，x2﹣x+1≤0 B．∃x＞1，x2﹣x+1≤0C．∀x＞1，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤1，x2﹣x+1＞0【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞1，x2﹣x+1≤0，故选：C．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选：D．3．（5分）已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵当“a＞|b|”成立时，a＞|b|≥0，∴“a2＞b2”成立，即“a＞|b|”⇒“a2＞b2”为真命题；是必要条件；而当“a2＞b2”成立时，a＞|b|≥0，或a＜﹣|b|≤0，∴a＞|b|≥0不一定成立，即“a2＞b2”⇒“a＞|b|”为假命题；不是充分条件；故“a2＞b2”是“a＞|b|”的必要非充分条件；故选：B．4．（5分）已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢p1∧￢p2B．p1∨￢p2C．￢p1∧p2D．p1∧p2【解答】解：对于不等式，判别式△=1﹣4＜0，所以该不等式无解；∴命题p1是假命题；函数f（x）=x2﹣1在[1，2]上单调递增，∴对于任意x∈[1，2]，f（x）≥f（1）=0，即x2﹣1≥0；∴命题p2是真命题；∴￢p1是真命题，￢p2是假命题；∴￢p1∧￢p2是假命题，p1∨￢p2为假命题，￢p1∧p2为真命题，p1∧p2为假命题．故选：C．5．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．6．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：联立，化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，∵直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）[4（n﹣1）2﹣1]≥0，化为：4n2﹣8n+3≤4m2，由于对于任意的实数m上式恒成立，∴4n2﹣8n+3≤0，解得．∴n的取值范围是．故选：A．7．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．8．（5分）下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①该命题的否命题是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B；若A，B∈（0，]，∵正弦函数y=sinx在（0，]上是增函数，∴sinA≤sinB 可得到A≤B；若A∈（0，]，B∈（，π），sinA＜sinB能得到A＜B；若A∈（，π），B∈（0，]，则由sinA≤sinB，得到sin（π﹣A）≤sinB，∴π≤A+B，显然这种情况不存在；综上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以该命题正确；法二：∵=，∴若sinA＞sinB，则a＞b，从而有“A＞B”，所以该命题正确；②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；法二：p是q的必要不充分条件⇔￢q是￢p的必要不充分条件，而命题p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命题q：x+y≠5，￢q：x+y=5，则￢p⇒￢q，而￢q推不出￢p，故￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；③由x2+x+1=+＞0，故不存在实数x0，使x02+x0+1＜0；③错误；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有实根，则m≤1”，由△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故④错误；故选：C．9．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知，抛物线y=x2即抛物线2y=x2焦点为（0，），准线方程为y=﹣，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣=故选：B．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．11．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选：A．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x 轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为若x∉A∩B，则x∉A 且x∉B．【解答】解：同时否定条件和结论，得到否命题，所以命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题是：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．故答案为：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是[1，2）．【解答】解：p：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．q：∵f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，∴5﹣2m＞1，解得m＜2．∴当1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m 的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．15．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为﹣=1．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：16．（5分）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=3，=3，则p=2．【解答】解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则由于|BC|=3|BN|，则直线l的斜率为2，∵|AF|=3，∴AM=3，故|AC|=3|AM|=9，从而|BF|=1.5，|CB|=4.5．CF=6，CA=9故，即p=4，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴．当a∈[1，2]时，的最小值为3．要使|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只需||m﹣4|≤3，即1≤m≤7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由已知，得的判别式：，得m＜﹣1或m＞4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得实数m的取值范围是：（4，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．【解答】解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、所以a=c，e==．（2）由题知A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，c=，设B（x，y）．由=2⇔（c，﹣b）=2（x﹣c，y），解得x=，y=﹣，即B（，﹣）．将B点坐标代入=1，得+=1，即+=1，解得a2=3c2．①又由•=（﹣c，﹣b）•（，﹣）=⇒b2﹣c2=1，即有a2﹣2c2=1．②由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2．所以椭圆方程为+=1．19．（12分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．【解答】解：（1）x2=2py，，，p=2，∴x2=4y…（4分）（2），∴k2=t+①，△=16（k2+t）＞0②由①②可知，t∈（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）…（6分）设C（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k，∴．∴，代入x2=4y得16k2λ2=4λ（4k2+2t）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵t＞0或t＜﹣8，∴或∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求的最大值．【解答】解：（1）双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又＜1，∴∠POx=30°，∴=tan 30°=，∴a=b．又a2+b2=22，∴3b2+b2=4，∴b2=1，a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，∴离心率e==．（2）由已知，l：y=（x﹣c）与y=x联立，解方程组得P（，）．设=λ，则=λ，∵F（c，0），设A（x0，y0），则（x0﹣c，y0）=λ，∴x0=，y0=．即A（，）．将A点坐标代入椭圆方程，得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2，等式两边同除以a4，（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），∴λ2=+3≤﹣2 +3=3﹣2=（﹣1）2，∴当2﹣e2=，即e2=2﹣时，λ有最大值﹣1，即的最大值为﹣1．22．（12分）已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解（1）∵QC2的垂直平分线交QC1于P，∴|PQ|=|PC2|，|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=|QC1|=2＞|C1C2|=2，∴动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．设这个椭圆的标准方程是，∵2a=2，2c=2，∴b2=1，∴椭圆的标准方程是．（Ⅱ）设M（a1，b1），N（a2，b2），则a12+2b12=2，a22+2b22=2．∵，则a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0，∴，，∴直线MN的斜率为．（Ⅲ）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，由题意知，点S（0，﹣）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则，，∵，∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=（k2+1）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2++，=﹣==0．∴，∴m=1，所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．。
2015-2016年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50B．45C．40D．202．（5分）已知x、y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.7x+a，则a=（）A．1.25B．1.05C．1.35D．1.453．（5分）若抛物线y2=2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A．y2=4x B．y2=6x C．y2=8x D．y2=10x4．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）A．5B．6C．4D．86．（5分）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．7．（5分）如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7B．k≤6C．k＜6D．k＞68．（5分）若椭圆的离心率为，短轴长为2，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．9．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x2﹣5x+6≠0”B．命题“已知x、y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题”C．已知命题p和q，若p∨q为真命题，则命题p与q中必一真一假D．命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x0∈R，x02+x0+1≥010．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．5B．8C．﹣1D．+212．（5分）已知直线l：y=ax+1﹣a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=﹣2|x﹣1|；②y=x2；③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（）A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是．14．（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于1，则就有可能撞到玻璃上面不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于1，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是．15．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是．16．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
(优辅资源)辽宁省葫芦岛市高三第二次(5月)调研考试数学理试题Word版含答案
优异文档葫芦岛市一般高中2016~2017 学年第二学期第二次调研考试高三数学（供理科考生使用）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 个小题,每题 5 分，共60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1. 与复数z 的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z 的共轭复数，并记做z-, 若z=i(3-2i)( 其中i 为复数单位), 则-z= DA.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i2. 已知cos( -4 )=2 23, 则sin =CA. 79B.19C.-19D.-793. 以下选项中说法正确的选项是 Ay A.命题“p q 为真”是命题“p q 为真”的必要条件.→→B.若向量 a , b→满足a→·b→>0, 则a→与b 的夹角为锐角.1CBC.若am2≤bm2, 则a≤b.2≤bm2, 则a≤b.2D.“x0∈R,x0 -x 0≤0”的否定是“x∈R,x 2-x ≥0”AO 1 x4. 已知随机变量X~N(1,1), 其正态分布密度曲线以下列图，若向正方形OABC中随机扔掷10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 B附：若随机变量X~N(μ, σ2) ，则P(μ- σ＜X≤μ+σ)=0.6826 ，P( μ-2 σ＜ξ≤μ+2σ)=0.9544 ．A ．6038B ．6587C ．7028D ．75395. 已知双曲线过点（2，3），其中一条渐进线方程为y= 3x，则双曲线的标准方程是 CA ．27x-162 2y y=1 B．-12 32x=1 C ．x2-2-22 2y 3y=1 D ．-3 232x=1236.《数书九章》是中国南宋时期优异数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。
《数书九章》中记录了秦九韶的好多创立性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边ɑ，b，с求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完好等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实. 一为从隅，开平方得积. ”若把以上这段文字写成公式，即Ｓ＝优异文档优异文档1 4 [c2 2a -(c2+a2-b2+a2-b22) 2 ] . 现有周长为10+2 7的△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:3: 7，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为 AA.6 3B.4 7C. 8 7D.12→→7. 已知e1 ，e2→是夹角为90 的两个单位向量，且 a→→=3e1 -e 2→, b→=2e1→→+e2 ,则a→, b 的夹角为 CA.120B.60C.45D.308. 已知函数f(x)=cos(2x- )- 3sin(2x- )(| |< ) 的图象向右平移2个单位后关于y 轴对12称，则f(x) 在区间[- ,0] 上的最小值为 C2A ．-1B ． 3C ．- 3D ．-29. 20 世纪70 年代, 流行一种游戏－角谷猜想，规则以下：任意写出一个自然数n，依照以下的规律进行变换：若是n是个奇数，则下一步变成3n+1; 若是n 是个偶数，则下一步变成n2. 这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么弘大的数字，最后必然会落入谷底, 改正确的说是落入底部的4-2-1 循环,而永远也跳不出这个圈子. 以下程序框图就是依照这个游戏而设计的，若是输出的i 值为6, 则输入的n 值为 CA. 5B. 16C.5 或32 D．4 或5 或3210. 若a= 2(-cosx)dx 则(ax+1)2ax9 张开式中，x3 项的系数为ＡA ．- 212B ．-638C ．638D ．631611. 一个几何体的三视图以下列图，则它的体积为 BA ．203403B ．C.83D ．403 b 3 a12. 设a,b R且a＜b, 若a e =b e , 则以下结论中必然正确的个数是 D①a+b>6; ②ab<9; ③a+2b>9; ④a<3<b;A.1B.2C.3D.4优异文档优异文档第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22 题～第23 题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共 4 个小题,每题 5 分，共20 分.13. 若函数f(x)=xln （x+ a+x2）为偶函数，则a= ; 114. 已知抛物线C:x→→2=2py(p>0),P,Q 是C 上任意两点,点M(0,-1) 满足MP·MQ≥0, 则p 的取值范围是_______;x+y-5 ≤ 02x-y-1 ≥015. 若x,y 满足拘束条件, 等差数列{a n} 满足a1=x,a 5=y ,其前n 项为S n,则S5-S2 的x-2y+1 ≤0最大值为________33/4 16.3-2 2 14.(0,2]16. 在ABC中，若sin2A+sin 2B=sin 2C- 2sinAsinB ，则sin2A ·tan 2B 的最大值是.三、解答题：本大题共７小题，共70 分.17．（本小题满分12 分）已知数列{a n} 满足:a 1+2a2+⋯+na n=4- n+2n-1 ,n N * ．* ．2（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）若b n=(3n-2)a n，求数列{b n} 的前n 项和S n.18．（本小题满分12 分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,AP=AB=AC=a,AD= 2a,PA⊥底面ABCD.(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;(2)在棱PC 上可否存在一点E,使得二面角B-AE-D 的平面角的余弦值为-63 ?若存在,求出λCE的值?若不存在,说明原由. = CP优异文档优异文档19．（本小题满分12 分）近几年，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即圆通公司与申通公司；＂快递员＂的薪水是＂底薪＋送件提成＂；这两家公司对＂快递员＂的日薪水方案为：圆通公司规定快递员每日底薪为70 元，每送件一次提成１元；申通公司规定快递员每日底薪为120 元，每日前83 件没有提成，高出83 件部分每件提成10 元，假设同一公司的快递员每日送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其１００天的送件数，获取以下条形图：(1) 求申通公司的快递员一日薪水y( 单位：元) 与送件数n 的函数关系；(2) 若将频率视为概率，回答以下问题：①记圆通公司的“快递员”日薪水为X（单位：元），求X的分布列和数学希望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，若是仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明原由．20．（本小题满分12 分）→→→→已知椭圆的两个焦点为F1(- 5,0),F 2( 5,0),M 是椭圆上一点，若MF1·MF2＝0,|MF 1| ·|MF2|=8.(1) 求椭圆的方程．(2) 直线l 过右焦点F2( 5,0)( 不与x 轴重合)且与椭圆订交于不相同的两→→点A,B, 在x 轴上可否存在一个定点P(x0,0) ，使得PA·PB的值为定值？若存在，写出P 点的坐标( 不用求出定值) ；若不存在，说明原由；21．（本小题满分12 分）已知函数f(x)= 12x2+acosx,g(x) 是f(x) 的导函数.2+acosx,g(x) 是f(x) 的导函数.(1) 若f(x) 在（,f( )) 处的切线方程为y=2 2 +22x-2+48, 求a 的值；(2) 若a≥0 且f(x) 在x=0 时获取最小值，求 a 的取值范围；(3) 在(1) 的条件下, 求证：当x>0 时，g (x)2x 13+ x2>x2> xe8优异文档优异文档请考生在第22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.若是多做，则按所做的第一个题目计分．(22)( 本小题满分10 分) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1 的参数方程为x=5+5costy=4+5sint（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ=2cos ．（Ⅰ）把C1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1 与C2 交点的极坐标（ρ≥0，0≤<2 ）．(23)( 本小题满分10 分) 选修4-5 ：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.（1）解不等式|g(x)|<5;（2）若对任意x1 R,都有x2 R,使得f(x1)=g(x2)建立, 求实数 a 的取值范围.2016---2017 学年度下学期高三第二次调研考试数学试题( 理科)参照答案及评分标准一. 选择题: 每题 5 分, 总计60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C A C C C A B D二. 填空题: 每题 5 分, 总计20 分 .13. 1 14. (0,2]15. 33416. 3-2 2三. 解答题:17. ( 本小题满分12 分)(1) 当n=1 时,a 1=4- 30=1 2当n≥2 时,a1+2a2+⋯+na n=4- n+2n-1 .......................... ①2a1+2a2+⋯+(n-1)a n=4- n+1n-2 .......................... ②2n+1 ①- ②得: na n= n-2 -2 n+2 1n-1 = n-1 (2n+2-n-2)=2 2nn-121 a n= n-12优异文档优异文档1当n=1 时,a 1也适合上式, ∴a n= n-1 (n N*)................6 分2(2) b n=(3n-2)1n-1 21 4 7 1 1S n= 0+ 1+ 2+⋯+(3n-5)2 2 2n-2 +(3n-2)2n-1 ...................... ①21 1 4 72Sn = 1+ 2+ 3+⋯+(3n-5)2 2 21n-1 +(3n-2)21n ...................... ②23 1①- ②得: 1 12Sn= 0+3(21 1 1 11+ 2+ 3+⋯+ n-1 )-(3n-2)2 2 2 22(1-1n=1+2n-1 )21-(3n-2)1n21-2解得:S n=8- 3n+4n-1 .................12 分218.( 本小题满分12 分)(1) 在ACD中,AC=a,CD=a, AD= 2a 由勾股定理得:CD⊥AC∵PA⊥底面ABCD ∴PA⊥CDAC 面PAC, PA 面PAC,PA∩AC=A∴CD⊥面PAC又∵CD 面PCD∴平面PCD⊥平面PAC.................6 分(2) 由(1) 知:AB⊥AC, 又PA⊥底面ABCD∴以 A 为原点AB,AC,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立以下列图坐标系则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,a,0),P(0,0,a)CEC P→=λ→CP (x假设点E存在, 且λ=,则CEE,y E-a,z E)= λ(0,-a,a)∴x E=0,y E=(1- λ)a,z E=λa→=(a,0,0) AE →=(0,(1- λ)a, λa), AD→=(-a,a,0) AB→设平面BAE的法向量为n1→=(x 1 ,y 1,z 1), 平面DAE的法向量为n2=(x 2 ,y 2,z 2), 则ax1=0 -ax 2+ay2=0(1- λ)ay 1+λaz1=0 (1- λ)ay 2+λaz2=0 优异文档优异文档→→n1 =(0, λ, λ-1) n 2 =(λ, λ, λ-1) ................9 分→→n1 ·n2→→cos<n 1 ,n 2 >=→→|n 1 | ·|n 1 |=λ2+(λ-1)2λ2 +( -)λ2·λ2+λ2=2+( λ-1) 2λ2λ2-2λ+12-2 λ+12-2 λ+1·3λ2-2 λ+1= 2λ3λ2-2 λ+12-2 λ+1→,n→>|= 6由题意:|cos<n 123 即 :2λ2-2λ+12-2 λ+1=3λ2-2λ+1633(2λ2-2 λ+1) =2( 3λ1 2-2 λ+1) ∴λ=2∴棱PC 上存在一点E,使得二面角B-AE-D 的平面角的余弦值为-12 6.3 ,且此时λ=...............12 分19．（本题满分12 分）(1) 由题意: 当0≤n≤83 时,y=120 元, 当n>85 时,y=120+(n-83) ×10=10n-710∴申通公司的快递员一日薪水y( 单位：元) 与送件数n 的函数关系为:y= 120( , )0≤n≤8310n-710 ( , ) n>83⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2)X 的所有可能取值为152,154,156,158,160①由题意:P(X=152)=0.1, P(X=154)=0.1, P(X=156)=0.2, P(X=158)=0.3, P(X=160)=0.3∴X 的分布列为:X 152 154 156 158 160P 0.1 0.1 0.2 0.3 0.3∴X 的数学希望EX=152×0.1+154 ×0.1+156 ×0.2+158 ×0.3+160 ×0.3=157.2( 元)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分②设申通公司的日薪水为Y, 则EY=120+0×0.1+10 ×0.2+30 ×0.1+50 ×0.4+70 ×0.2=159( 元)由于到圆通公司的日薪水的数学希望( 均值)没有申通公司的日薪水的数学希望( 均值) 高, 所以小王应当到申通公司应聘“快递员”的工作. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20．（本题满分12 分）→| （1）由题意:c= 5,|MF 1→|2+|MF22=(2c) →| ·|M→F|=82=20 |MF1 2→|+|M→F |) ∴(|MF 1 →|→|2+|MF→| ·|M→F |=36 解得: |M→F |+|M→F|=62 2=|MF1 2 2+2|MF1 2 1 22a=6 ∴a=3 b 2=a2-c 2=4∴椭圆的方程为:2x+92y=1⋯⋯⋯4 分4(2) 解法一: 设直线l 的方程为:x=my+ 5代入椭圆方程并消元整理得:(4m 2+9)x 2-18 5x+45-36m2=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①设A(x1,y 1),B(x 2,y 2), 则是方程①的两个解, 由韦达定理得:优异文档优异文档18 5 x1+x2 =2+9, x4m245-36m1x2=2+9 y4m11y2= 2(x 1- 5)(x 2- 5)=m12( x 1x2- 5(x 1+x2)+5)=m-164m2+92+9→→=(x PA·PB 1-x 0,y 1) ·(x 2-x 0,y 2)=( x 1-x 0)( x 2-x 0)+ y 1y2= x 1x2- x 0(x 1+x2)+x 02+ y2+ y1y22 45-36m = 2+9 - 4m 18 54m2+9 x2+9 x-16 (4x 0 0+292-36)m2 +9x 2-18 5x2-36)m2 +9x 2-18 5x0+x0 2+9=2+4m 4m2+9⋯⋯⋯8 分→→=t 则(4x 令PA·PB 2-36)m2+9x 2-18 5x0+29= t(4m2+9)比较系数得:4x 0 0+29=9t 消去t 得:2-36=4t 且9x 2-18 5x11936x0 0+29×4 解得:x 0=2 -36×9=36x 2-72 5x5119 ∴在x 轴上可否存在一个定点P(→→5,0) ，使得PA·PB的值为定值(-12481); ⋯⋯⋯12 分解法二: 当直线与x 轴不垂直时, 设直线l 方程为:y=k(x- 5), 代入椭圆方程并消元整理得: (9k 2+4)x 2-18 5k2x+45k 2-36=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯①设A(x1,y 1),B(x 2,y 2), 则是方程①的两个解, 由韦达定理得:2 2-3618 5k 45kx1+x2 = 2 , x 1x2= 2 y 1y2=k 4+9k 4+9k 2(x 2( x1- 5)(x 2- 5)=k 1x2- 5(x1+x2)+5)=2(x 2( x22-16k4+9k→·→PB= (xPA 1-x 0,y 1) ·(x 2-x 0,y 2)=( x 1-x 0)( x 2-x 0)+ y 1y2= x 1x2- x 0(x 1+x2)+x 02+ y2+ y1y2(9x 0 0+29)k2-18 5x 2+4x 2-36= 2 ⋯⋯⋯8 分4+9k→→=t 则(9x 令PA·PB 02-18 5x2-18 5x0+29)k2 +4x 2-36= t(4+9k2 +4x 2-36=t(4+9k2)9x0 0+29=9 t 且4x 02-18 5x 2-36=4t119 解得:x 0= 5 此时t 的值为-12481⋯⋯⋯10 分当直线l 与x 轴垂直时, l 的方程为:x= 5, 代入椭圆方程解得:A( 5,- 43),B( 5,43)→→=(- 2 PA·PB 5,-43) ·(-295,43)=2081-169=-124819→∴当直线l 与x 轴垂直时, PA→·PB也为定值-12481综上, 在x 轴上可否存在一个定点P( 119→→5,0) ，使得PA·PB的值为定值(-12481); ⋯12 分21. （本题满分12 分）解: (1)f (x)=x-asinx,f (2)= 2-a= +22所以a=-1, 经考据a=-1 合题意; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2)g(x)= f (x)= x-asinx g (x)=1-acosx①当a=0 时, f(x)= 12x2, 显然在x=0 时获取最小值, ∴a=0 合题意;2, 显然在x=0 时获取最小值, ∴a=0 合题意;②当a>0 时,(i)当1a≥1 即0<a≤1 时, g (x)≥0 恒建立, ∴g(x) 在(- ∞,+ ∞) 上单调递加, 又g(0)=0优异文档优异文档∴当x<0 时,g(x)<0 即f (x)<0, 当x>0 时,g(x)>0 即f (x)>0∴f(x) 在(- ∞,0) 上单调递减, 在(0,+ ∞) 上单调递加;∴f(x) 在x=0 时获取最小值∴当0<a≤1 时合题意;1 1使g (x)=0 (ii) 当0< <1 即a>1 时,在(0, )内存在唯一x0=arccosa a当x (0,x0)时, ∵y=cosx 在(0, )上是单调递减的, ∴cosx>cosx1 a 0=∴g (x)= a ( 1-cosx)<0 ∴g(x) 在(0, x0)上单调递减∴g(x)<g(0)=0 a即f (x)<0 ∴f(x) 在(0, x0) 内单调递减;∴x (0,x0)时,f(x)<0 这与f(x) 在x=0 时获取最小值即f(x) ≥f(0) 矛盾∴当a>1 时不合题意; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分综上, a 的取值范围是[0,1](3) 由(1) 知,a=-1 此时g(x)= x+sinx, g (x)=1+cosx∴g (x)2=1+cosx2=|cosx| ≥cos2x2∴若要证原不等式建立, 只需证cosx 1x 3+ x2 82>e x建立;1由(2) 知, 当a=1 时,f(x) ≥f(0) 恒建立, 即x2+cosx ≥1 恒建立2即cosx ≥1- 12x2( 当且仅当x=0 时取"=" 号) 2( 当且仅当x=0 时取"=" 号)∴cos x≥1-218x2( 当且仅当x=0 时取"=" 号) ⋯⋯⋯⋯⋯①2( 当且仅当x=0 时取"=" 号) ⋯⋯⋯⋯⋯①∴只需证: 1-x1 3x x2+2> x2+ 2> xe8 81 x1建立, 即1+ x e2> x2> x41 1又由均值不等式知:1+ x2≥x( 当且仅当x=2 时取"=" 号) ⋯⋯⋯⋯⋯②4∵①②两个不等式取"=" 的条件不一致x 1∴只需证: x ≥xe两边取对数得:lnx ≥1- 1x⋯⋯⋯⋯⋯③下面证③式建立: 令(x)=lnx-1+ 1 x则(x)= 1x-1 x-12= 2 ∴(x) 在(0,1) 上单调递减, 在(1,+ ∞) 上单调递加x x∴(x) ≥(1)=0即lnx-1+ 1x≥0 ∴lnx ≥1-1x即③式建立∴原不等式建立; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分优异文档优异文档22. （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线 C 的参数方程为1 x=5+5costy=4+5sint（t 为参数），则曲线C 的一般方程为12 2( x 5) ( y 4) 25，曲线C 的极坐标方程为12 10 cos 8 sin 16 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分（Ⅱ）曲线 C 的极坐标方程1 2 10 cos 8 sin 16 0 ，曲线C 的极坐标方程为22cos ，联立得2sin(2 )4 2，又[0, 2 ) ，则0或，4当0时， 2 ；当4 时， 2 ，所以交点坐标为(2,0) ，( 2, )4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分23. （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲解:(1) 由|g(x)|<5 得: |x-1|+2<5 即|x-1|<3解得:-2<x<4∴原不等式的解集为:{x| -2<x<4 } ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分(2) ∵对任意x1 R,都有x2 R,使得f(x 1)=g(x 2)建立, ∴{y|y=f(x),x R} {y|y=g(x),x R} f(x)=|2x-a|+|2x+3| ≥|(2x-a)-( 2x+3)|=|a+3| ( 当且仅当(2x-a)(2x+3) ≤0 时,取"=")∴{y|y=f(x),x R}=[ |a+3|,+ ∞)∵g(x)=|x-1|+2 ≥2 ∴{y|y=g(x),x R}=[2,+ ∞)∴应有: |a+3|≥2解得:a≥-1 或a≤-5∴实数 a 的取值范围是:(-∞,-5] [-1,+ ∞) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分(优辅资源)辽宁省葫芦岛市高三第二次(5月)调研考试数学理试题Word版含答案优异文档21 / 2121 / 21。
辽宁省葫芦岛市六校协作体2016届高三上学期第二次考试数学(理)试卷及答案
2015—2016学年度第一学期葫芦岛市六校协作体第二次考试高三数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|230},{|22}A x x x B x x =--≥=-≤<，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[]1,1-C ．[1,2)-D ．[1,2)2、若棱长为2的正方体的八个顶点都在一个球面上，则该求的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3、在数列{}n a 中，311,1,n n a a a n N *+==+∈，则10a =（ ）A ．-6B ．-5C ．5D ．64、“11a b>”是“a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5、120(26)x x dx +=⎰（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46、已知,x y 满足2010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若32z x y =-的最大值为a ，最小值为b ，则ab =（ ）A ．-12B ．-9C ．3D ．67、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．1 8、函数21()log 2x y x =-的零点为0x ，则（ ）A ．01x <B ．03x >C ．023x <<D ．012x <<9、若将()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移6π个单位，再将纵坐标不变，恒坐标变为原来的12倍，得()g x 的图象，且()g x 关于直线12x π=对称，则()4f π=（ ）A ．1B ．-1C ．10、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的有（ ）①()2cos f x x x =+；②()ln x f x x =；③()21x x e f x e +=④ A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个11、如图，四边形ABCD 为菱形，四边形CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE=1，60BCD ∠=，若二面角D CE F --的大小为α，异面直线BC 与AE所成角的大小为β，则（ ）A ．tan tan 3αβ==B ．tan tan 3αβ==C ．tan tan 33αβ==D ．tan tan 33αβ== 12、已知函数()21(1)(1)x x x f x e x ->-⎧=⎨≤-⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围为（ ） A ．1(,1)e -∞- B ．1(,1)e -∞- C ．1(,2)e -∞- D ．1(,2)e-∞-- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
辽宁省葫芦岛市普通高中作协体2016-2017学年高三上学期第二次考试数学(理)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1 2 3 4A =，，，，{}0 2 4 6B =，，，，则A B 等于（ ）A ．{}0 1 2 3 4 6，，，，， B ．{}1 3， C ．{}2 4， D ．{}0 6， 2.()sin 150-︒的值为（ ）A ．12- B． C ．12D3.下列各图中，表示以x 为自变量的奇函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4910a a +=，则12S 等于（ ） A ．30 B ．45 C.60 D ．1205.在梯形ABCD 中，3AB CD =，则BC 等于（ ）A ．1233AB AD -+ B ．2433AB AD -+ C.23AB AD - D ．23AB AD -+6.设变量x 、y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数4z x y =+的最小值为（ ）A ．6-B ．6 C.7 D ．87.在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos cos b A a B c +=，2a b ==，则ABC △的周长为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．7.58.将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．524π C.4π D ．724π 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．1 C.43D ．2 10.已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2a b -在向量a -方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．1-11.“()()14210aaa --+>”是“定积分60cos 1a xdx π>⎰”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的递减区间为（ ）A ．()0 4，B ．()()0 1 4 +∞，，， C.40 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()4 1 43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量m 与向量n 平行，其中()2 8m =，，()4 n t =-，，则t = ． 14.若函数()f x 为R 上的偶函数，且当010x <<时，()ln f x x =，则()()2f e f e -+= ．15.长、宽、高分别为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()413n n S a =-，则()216411n n a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且sin cos a C A =. ⑴求角A 的大小；⑵若a =，3c =，求ABC △的面积. 18. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，17a =，且2a ，5a ，10a 成等比数列. ⑴求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； ⑵若15n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）设定义在R 上的函数()f x 满足()()221f x f x =+且，()12f =. ⑴求()0f ，()2f ，()4f 的值；⑵若()f x 为一次函数，且()()()g x x m f x =-在()3 +∞，上为增函数，求m 的取值范围. 20. （本小题满分12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA CD ⊥，BC ⊥平面PAB ，且E 、M 、N 分别为PD 、CD 、AD 的中点，3PF FD =.⑴证明：PB ∥平面FMN ；⑵若2PA AB ==，求二面角E AC B --的余弦值. 21. （本小题满分12分）已知函数()()2sin cos 2f x x x x x R =∈. ⑴若()12f a =且52123a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求cos 2a ； ⑵求曲线()y f x =在点()()0 0f ，处的切线方程；⑶记函数()f x 在 42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值为b ，且函数()f x 在[] a b ππ，（a b <）上单调递增，求实数a 的最小值. 22. （本小题满分12分） 已知函数()()22ln f x x a x a R =+∈. ⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()()42g x f x x =-+存在两个极值点，且0x 是函数()g x 的极小值点，求证：()01ln 22g x >-.2016-2017学年第一学期葫芦岛市普通高中协作体 高三第二次考试数学试题参考答案（理科）一、选择题1.C 集合A 、B 的公共元素是2，4，所以选C.2.A ()1sin 150sin150sin 302-︒=-︒=-︒=-.3.B 作平行于y 轴的直线，图象中y 的取值是唯一的，故排除A ，D ，奇函数的图象关于原点对称，故选B.4.C ()()1121249126602a a S a a +⨯==⨯+=.5.D 1233BC AC AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+. 6.C 由x ，y 满足的约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域如图所示，当直线4z x y =+过点()1 3C ，时，z 取得最小值且最小值为437+＝.7.A 由正弦定理可得sin cos sin cos sin B A A B c C +=，即()sin sin sin A B C c C +==，∵sin 0C >，∴1c =，故ABC △的周长为1225++=.8.B ∵()sin 443f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭的图象关于12x π=对称，∴441232k πππϕπ⨯++=+，∴()424k k Z ππϕ=-∈，∵0ϕ>，∴min 524πϕ=. 9.C 由三视图可知该几何体是一四棱锥，底面是长和宽分别为4和1的矩形，高为1，则其体积为1441133V ⨯⨯⨯=＝.10.D 2a b -在a -方向上的投影为()22221011a b aa b a aa -⋅-⋅--==-=-.11.B ∵2134212024aaa ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴()()142101a a a a --+>⇔>.定积分66001cos sin sin162a xdx a x a a πππ===>⎰，∴2a >. 12.B 由图可知，先减后增的那条曲线为()'f x 的图象，先增再减最后增的曲线为()f x 的图象，当()()0 1 4 x ∈+∞，，时，()()'f x f x <， 令()()()''0xf x f xg x e -=<，得()()'0f x f x -<，则()()0 1 4 x ∈+∞，，， 故()g x 的减区间为()0 1，，()4 +∞，. 二、填空题13.16- 由向量m 与向量n 平行得232t =-，∴16t =-. 14.3 ()()()()22123f e f e f e f e -+=+=+=.15.9π ∵球心O 为长方体的体对角线的中点，∴R =249S R ππ==.16.4 ∵()413n n S a =-，∴()()114123n n S a n --=-≥，∴()1143n n n n n a S S a a --=-=-，∴14n n a a -=，又()111413a S a ==-，∴14a =，∴{}n a 是首项为4，公比为4的等比数列，∴4n n a =， ∴()216416416411112224164164n n n n n n a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2n =时取“=”.三、解答题17.解：⑴由sin cos a C A =得，sin sin cos A C C A =，∵sin 0C >，∴sin A A =，∴tan A =， ∵0A π<<，∴3A π=.…………………………5分⑵由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即21393b b =+-，整理得2340b b --=，解得4b =或1b =-（舍去），故1sin 2ABC S bc A ==△.……………………10分18.解：⑴∵2510 a a a ，，成等比数列，∴()()()277974d d d ++=+，又∵0d ≠，∴2d =. ∴25n a n =+，()272562n n nS n n ++==+.………………………………7分∴()01f =-，∵()12f =.……………………………………2分∴()()22115f f =+=，()()422111f f =+=.…………………………4分 ⑵∵()01f =-.∴设()1f x kx =-，又()12f =，∴12k -=，3k =. ∴()31f x x =-，…………………………………………7分 ∴()()()()231331g x x m x x m x m =--=-++， ∴3136m +≤，∴173m ≤，即17( ]3m ∈-∞，.…………………………12分 20.⑴证明：连结BD ，分别交AC 、MN 于点O 、G ，连结EO 、FG ， ∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO PB ∥.……………………2分又3PF FD =，∴F 为ED 中点，又CM MD =，AN DN =，∴G 为OD 中点， ∴FG EO ∥，∴PB FG ∥.……………………………………4分 ∵FG ⊂平面FMN ，PB ⊄平面FMN ，∴PB ∥平面FMN .………………………………5分⑵解：∵BC ⊥平面PAB ，∴BC PA ⊥，又PA CD ⊥，BC CD C =，∴PA ⊥平面ABCD .……………………………………6分如图 ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 1 1A C B E ，，，，，，，，，，，， 则()2 2 0AC =，，，()0 1 1AE =，，，………………………………7分∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABC 的一个法向量()00 0 1n =，，.…………8分 设平面AEC 的法向量为() n x y z =，，， 则0n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220y z x y +=⎧⎨+=⎩，…………………………9分令1x =，则1y =-，1z =，∴()1 1 1n =-，，，…………10分 ∴()000cos n n n n n n ⋅==，.……………………………………11分 由图可知，二面角E AC B --为钝角， ∴二面角E AC B --的余弦值为分21.解：⑴()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，……………………1分∵()12f α=，∴1sin 234πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵52 123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴2 32ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭分∴11cos 2cos 23324ππαα⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭分⑵∵()'4cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()'02f =，又()0f =，∴所求切线方程为2y x =-……7分⑶当 42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，22 363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，()[]1 2f x ∈，， ∴2b =.…………………………………………………………9分 由222232k x k πππππ-+≤-≤+得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.……………………10分 又函数()f x 在[] 2a ππ，（2a <）上单调递增， ∴[]5 22 21212a ππππππ⎡⎤⊆-++⎢⎥⎣⎦，，，∴2212a ππππ-+≤≤，∴min 2312a =.………………12分22.解：函数的定义域为()0 +∞，， ⑴()24'4a x af x x x x+=+=，当0a ≥，()'0f x >恒成立，∴函数()f x 在()0 +∞，上单调递增；当0a <时，令()'0f x =，得x =x =，则当0 x ⎛∈ ⎝时，()'0f x <，函数()f x 在0 ⎛ ⎝上单调递减，当 x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，时，()'0f x >，函数()f x 在 ⎫+∞⎪⎪⎭，上单调递增.…………5分 ⑵∵()2242ln g x x x a x =-++，∴()244'44a x x a g x x x x-+=-+=，∵函数()g x 存在两个极值点，设两个极值点为10 x x ，，∴10 x x ，是方程2440x x a -+=的两根，∴16160a ∆=->，01a <<，且101x x +=， ∵函数244y x x a =-+开口向上，与x 轴交于两点，0x 是函数()g x 的极小值点， ∴10x x <，从而0112x <<， 由200440x x a -+=，得2044a x =-+，()00 1x ∈，，()()()22000002144ln g x x x x x =-+-， 设()()()2212144ln 12h t t t t t t ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，∵()()'412ln 0h t t t =->，∴()h t 在1 12⎛⎫⎪⎝⎭，上递增，∴()11ln 222h t h ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，∴()01ln 22g x >-.……………………………………12分。
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：153分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f′（x ）＞1，f （0）=4，则不等式e x f （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D ．（3，+∞）2、椭圆（a ＞b ＞0）上总存在点P ，使，F 1、F 2为椭圆的焦点，那么椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．（0，） B ．[] C ．[] D ．[）3、已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A ．5 B ．8 C ．﹣1 D ．+24、双曲线（a ＞0，b ＞0）左右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，与双曲线在第一二象限的交点恰是所在边中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．C ．D ．25、下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x 2﹣5x+6≠0”B ．命题“已知x 、y ∈R ，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题”C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为真命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x 0∈R ，x 02+x 0+1≥06、执行如图所示程序框图，则输出a=（ ）A ．20B ．14C ．10D ．77、f （x ）=ax+sinx 是R 上的增函数，则实数a 的范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）、8、设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9、若抛物线y 2=2px ，（p ＞0）上一点P （2，y 0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）A ．y 2=4xB ．y 2=6xC ．y 2=8xD ．y 2=10x10、已知x 、y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为=0.7x+a ，则a=（ ）A ．1.25B ．1.05C ．1.35D ．1.4511、为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n 的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n 为（ ）A ．50B ．45C ．40D ．2012、若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．14、若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．15、过抛物线y2=4x焦点作斜率为﹣2的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|= ．16、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于1，则就有可能撞到玻璃上面不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于1，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是．17、已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为．三、解答题（题型注释）18、已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P （0，1），Q （0，2）．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．20、已知集合A={x|x 2﹣3x+2≤0}，集合B={y|y=x 2﹣2x+a}，集合C={x|x 2﹣ax ﹣4≤0}，命题p ：A∩B≠∅，命题q ：A ⊆C ．（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围． （2）若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．21、一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片．（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于8的概率； （2）若随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率．22、为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：（1）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：（2）若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数；（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率．参考答案1、A2、D3、C4、C5、C6、C7、D8、A9、C10、B11、B12、C13、（1）f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）[4，+∞）14、[，+∞）15、516、17、18、（Ⅰ）①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（Ⅱ）a=﹣1或或0＜a≤219、（1）（2）证明见解析20、（1）a＞3；（2）0≤a≤321、（1）（2）22、（1）m=42,n=0.42,M=100,N=1,图见解析（2）10260，（3）【解析】1、试题分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．2、试题分析：由，可得PF1⊥PF2，P在以F1F2为直径的圆上，由题意可得半径为c的圆与椭圆有交点，即为c≥b，运用离心率公式和不等式的解法，即可得到所求范围．解：由，可得PF1⊥PF2，P在以F1F2为直径的圆上，可设圆的半径为c，圆心为O，由题意可得椭圆与圆均有交点，则c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，即为c2≥a2，e=≥，且0＜e＜1，可得e的范围是[，1）．故选：D．考点：椭圆的简单性质．3、试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q 的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：|FC|﹣r=﹣1，故选C．考点：抛物线的简单性质．4、试题分析：根据双曲线的对称性可推断出三角形的顶点在y轴，根据正三角形的性质求得顶点的坐标，进而求得正三角形的边与双曲线的交点，代入双曲线方程与b2=c2﹣a2联立整理求得e．解：双曲线恰好平分正三角形的另两边，顶点就在Y轴上坐标是（0，c）或（0，﹣c），那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点（，c）在双曲线上代入方程﹣=1联立b2=c2﹣a2求得e4﹣8e2+4=0求得e=+1，故选：C．考点：双曲线的简单性质．5、试题分析：根据命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，可判定A 真假，根据条件判断B的真假，根据复合命题的真假判定C，根据全称命题特称命题判断D．解：对于A，命题“若x2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x2﹣5x+6≠0”，正确，对于B，命题“已知x、y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题，正确，对于C，已知命题p和q，若p∨q为真命题，则命题p与q中至少一个为真，故错误，对于D，命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x0∈R，x02+x0+1≥0，正确，故选：C．考点：命题的真假判断与应用．6、试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=2016时，不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=1满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=2满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=3满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=7，i=4满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=20，i=5满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=6满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=7满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=8…观察规律可知，a的取值以5为周期，由2015=403×5可得满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=2016不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．故选：C．考点：程序框图．7、试题分析：求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．解：∵f（x）=ax+sinx是R上的增函数，∴f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a+cosx≥0，即a≥﹣cosx，∵﹣1≤﹣cosx≤1，∴a≥1，故选：D考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．8、试题分析：根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．9、试题分析：由已知条件，利用抛物线的性质得到，求出p的值，由此能求出抛物线的标准方程．解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，∴，解得p=4，∴抛物线的标准方程为y2=8x．故选：C．考点：抛物线的简单性质．10、试题分析：由线性回归直线方程中系数的求法，（，）点在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．解：=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，∴回归方程过点（3.5，3.5）代入得3.5=0.7×3.5+a∴a=1.05．故选：B．考点：线性回归方程．11、试题分析：利用分层抽样性质求解．解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．考点：分层抽样方法．12、试题分析：先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．考点：椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．13、试题分析：（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根据f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[﹣2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b 在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．14、试题分析：求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．15、试题分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p得答案．解：抛物线焦点为（1，0），则直线方程为y=﹣2x+2，代入抛物线方程得x2﹣3x+1=0，∴x1+x2=3，根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=3+2=5．故答案为：5．考点：抛物线的简单性质．16、试题分析：小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P=．故答案为：．考点：几何概型．17、试题分析：求得抛物线的焦点，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程和a，b，c的关系，解方程即可得到所求．解：抛物线x2=24y的焦点为（0，6），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），即有c=6，即a2+b2=36，渐近线方程为y=±x，由题意可得tan30°=，即为b=a，解得a=3，b=3，即有双曲线的标准方程为：．故答案为：．考点：抛物线的简单性质．18、试题分析：（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．19、试题分析：（1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用离心率为，即可求得椭圆C的方程；（2）设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），求出直线PM、QN的方程，求得x0，y0的值，代入椭圆方程，整理可得结论．（1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，∴b==．因为离心率e==，所以=，所以a=2所以椭圆C的方程为．（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），则直线PM的方程为y=x+1，①直线QN的方程为y=x+2．②设T（x，y），联立①②解得x0=，y0=．因为，所以（）2+（）2=1．整理得=（2y﹣3）2，所以﹣12y+8=4y2﹣12y+9，即．所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．20、试题分析：（1）先求出集合A，B的等价条件，根据命题p为假命题，即A∩B=∅成立，进行求解即可．（2）若p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系进行求解即可．解：（1）A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y=x2﹣2x+a}={y|y=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1}={y|y≥a﹣1}，若命题p为假命题，即A∩B=∅，则a﹣1＞2，得a＞3．（2）若命题p∧q为真命题，则A∩B≠∅，且A⊆C．则，得，得0≤a≤3．考点：复合命题的真假；交集及其运算．21、试题分析：（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”，任取三张卡片，利用列举法求出三张卡片上的数字全部可能的结果种数和数字之和大于或等于8的种数，由此能求出3张卡片上数字之和大于或等于8的概率．（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，利用列举法能求出两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率．解：（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，数字之和大于或等于8的是（1、3、4），（2、3、4），共2种，所以P（A）=．（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个事件B包含的结果有（1、3）（3、1）（2、3）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个，所以所求事件的概率为P（B）=．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．22、试题分析：（I）由频率分布表利用频率=，能求出M，m，n，前能出频率分布直方图示．（Ⅱ）先求出全区90分以上学生的频率，由此能估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数．（Ⅲ）利用列举法能求出被选中2人分数均不超过30分的概率．解：（I）由频率分布表得M==100，∴m=100﹣（3+3+37+15）=42，n==0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1，频率分布表如右图所示．（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为（人）．（Ⅲ）设考试成绩在（0，30]内的3 人分别为A、B、C，考试成绩在（30，60]内的3人分别为a，b，c，从不超过60分的6人中，任意取2人的结果有15个：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），被选中2人分数均不超过30分的情况有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，∴被选中2人分数均不超过30分的概率p=．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．。
【精品】2017年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．102．（5分）实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣15．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件6．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e3（e为自然对数的底数），则lna1+lna2+…+lna20=（）A．20 B．30 C．40 D．507．（5分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA 1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（）A．（2，，0）B．（2，，0） C．（2，，0） D．（2，，0）8．（5分）已知a+4b=ab，a、b均为正数，则使a+b＞m恒成立的m的取值范围是（）A．m＜9 B．m≤9 C．m＜8 D．m≤89．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成的角θ满足（）A．θ=B．cosθ=C．tanθ=D．sinθ=10．（5分）已知双曲线过点，渐进线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离为（）A．3 B．C．D．11．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM与y轴交点为N，且，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为．14．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为．15．（5分）若函数f（x）=（a+2b）x2﹣2x+a+2c（a，b，c∈R）的值域为[0，+∞），则a+b+c的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n ）=1，则数列{b n}的前20项的和为．（a n+a n+1三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）当点E在何位置时，BD⊥AE？证明你的结论；（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且|DA|＜|DB|，求的最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，写出T n关于n的表达式，并求满足T n＞时n的取值范围．22．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．2016-2017学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．2．（5分）实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或【解答】解：实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是：或，故选：D．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真【解答】解：对于A．“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题，正确；对于B．“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；对于C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2=2，正确；对于D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，m=0时不成立．故选：D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．5．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，∴¬q：0≤x≤1．∴p是¬q成立必要不充分条件．故选：B．6．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e3（e为自然对数的底数），则lna1+lna2+…+lna20=（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e3（e为自然对数的底数），∴a10a11=a9a12=e3，∴lna1+lna2+…+lna20=ln（a1×a2×a3×…×a20）=ln（a10×a11）10=ln（e3）10=30．故选：B．7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A 1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（）A．（2，，0）B．（2，，0） C．（2，，0） D．（2，，0）【解答】解：由题意得E（2，0，1），C1（0，2，2），设F（2，y，0），则=（﹣2，2，1），=（0，y，﹣1），∵∠C1EF=90°，∴•=2y﹣1=0，解得y=，则点F的坐标为（2，，0），故选：A．8．（5分）已知a+4b=ab，a、b均为正数，则使a+b＞m恒成立的m的取值范围是（）A．m＜9 B．m≤9 C．m＜8 D．m≤8【解答】解：根据题意，若a+4b=ab，则有+=1，a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9，即a+b有最小值9，若a+b＞m恒成立，必有m＜9，故选：A．9．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成的角θ满足（）A．θ=B．cosθ=C．tanθ=D．sinθ=【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得P（0，0，1），G（，，0），=（），∵底面ABCD的法向量=（0，0，1），PG与底面所成的角θ，∴sinθ===，∴cosθ==．故选：B．10．（5分）已知双曲线过点，渐进线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离为（）A．3 B．C．D．【解答】解：由题意双曲线过点，渐进线方程为，可设双曲线的方程为3x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点，可得λ=3×9﹣15=12，易得双曲线的方程为﹣=1，顶点为（±2，0），焦点为（±4，0）．又圆心在双曲线上，所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±3，设圆心的纵坐标为m，则﹣=1，所以m2=15，所求的距离为=2．故选：C．11．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设，=，=，则=，=，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，∴=（）•（）==1+1﹣4=﹣2，=（）2==1+4+2=7，||2=（）2=﹣2+2+2=1+1+4﹣2﹣2=2，∴=，=，∴cos＜＞===﹣．∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为．故选：D．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM与y轴交点为N，且，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），且A（﹣a，0），B（a，0）；由PF⊥x轴，不妨设M（﹣c，t），（t≠0）；则直线AM的方程为=，令x=0，得y=，∴直线AM与y轴的交点为E（0，）；又直线BM的方程为=，令x=0，得y=，∴直线BM与y轴的交点为N（0，）；又，∴=，化简得a=2c，∴=，则曲线C的离心率为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为．【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2=3，∴椭圆方程为．故答案为：为．14．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为．【解答】解：设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=，∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=故答案为：．15．（5分）若函数f（x）=（a+2b）x2﹣2x+a+2c（a，b，c∈R）的值域为[0，+∞），则a+b+c的最小值为．【解答】解：∵二次函数f（x）=（a+2b）x2﹣2x+a+2c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴a+2b＞0，△=12﹣4（a+2b）（a+2c）=0，∴a＞0，b＞0，c＞0，（a+2b）（a+2c）=3，而=（a+b+c）2=3，∴a+b+c=，故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n）=1，则数列{b n}的前20项的和为．+1【解答】解：数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，可得a n=4+3（n﹣1）=3n+1，b n（a n+a n+1）=1，可得b n=====（﹣），则数列{b n}的前20项的和为b1+b2+…+b20=（﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：①若函数f（x）=lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R，则ax2﹣4x+a＞0恒成立．若a=0，则不等式为﹣4x＞0，即x＜0，不满足条件．若a≠0，则，即，解得a＞2，即p：a＞2．②要使不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，则，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，∵在（﹣∞，﹣1]上是增函数，∴y max=1，x=﹣1，故a≥1，即q：a≥1．若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假．若p真q假，则，此时不成立．若p假q真，则，解得1≤a≤2．即实数a的取值范围是1≤a≤2．18．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由已知得，即为，即，由d≠0，即有，故a n=2+n﹣1=n+1；（2）b n===﹣，∴前n项和T n=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．19．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）当点E在何位置时，BD⊥AE？证明你的结论；（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．【解答】解：（Ⅰ）由该四棱锥的三视图知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，==．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD（Ⅱ）不论点E在PC上的何位置，都有BD⊥AE，证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（Ⅲ）解法一：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连接BG，∵CD=CB，EC=EC，∴Rt△ECD≌Rt△ECB，∴BG=EA，∴∠DGB是二面角D﹣EA﹣B的平面角，∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE，在Rt△ADE中，DG===BG，在△DGB中，由余弦定理得∴∠DGB=．解法二：以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），从设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由可得：﹣a+c=0，b=0，同理得：a'=0，﹣b'+c'=0．令c=1，c'=﹣1，则a=1，b'=﹣1，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则∴∠DGB=．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且|DA|＜|DB|，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为，则直线，由，得x2﹣2px﹣p2=0…（2分）∴x1+x2=2p，∴y1+y2=3p，∴|MN|=y1+y2+p=4p=16，∴p=4…（4分）∴抛物线C的方程为x2=8y…（5分）（Ⅱ）设动圆圆心P（x0，y0），A（x1，0），B（x2，0），则，且圆，令y=0，整理得：，解得：x1=x0﹣4，x2=x0+4，…（7分），，…（9分）当x0=0时，，当x0≠0时，，∵x0＞0，∴，，∵，所以的最小值为．…（12分）21．（12分）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，写出T n关于n的表达式，并求满足T n＞时n的取值范围．【解答】解：（1）由a1+2a2+3a3+…+na n=n，可得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=n﹣1（n＞1），﹣1相减可得na n=1，即有a n=，（n＞1），当n=1时，a1=1，上式也成立，可得a n=，（n∈N*）；（2）由，结合（1）可得，b n=（2n﹣1）•（）n，前n项和T n=1•+3•（）2+…+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n，T n=1•（）2+3•（）3+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1，相减可得，T n=+2[（）2+…+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1=+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化简可得，前n项和T n=3﹣．由T n﹣T n=3﹣﹣（3﹣）=，﹣1，可得数列{T n}递增，当n≥2时，T n＞T n﹣1由T4=3﹣=＜；T5=3﹣=＞．即有n≥5时，T n≥T5＞．故n的取值范围是n≥5，且n∈N*．22．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．【解答】（本小题满分14分）解：（I）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为，∴由已知，，，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，∴椭圆的方程为．（5分）（II）（1）当直线AB的斜率不存在时，=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，（m2≠4）∵k OA•k OB=k AC•k BD，∴=﹣，∴=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==+km•+m2=，∴﹣=，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，（9分）=x1x2+y1y2===2﹣，∴﹣2=2﹣4≤＜2，且的最大值为2∴∈[﹣2，0）∪（0，2]．（10分）证明：（2）设原点到直线AB的距离为d，则S△AOE=|AB|•d=•|x2﹣x1|•====2=2，∴S四边形ABCD=4S△AOB =8为定值．（14分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l 运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
辽宁省葫芦岛市六校协作体高二数学上学期期初考试试题
2016—2017学年度上学期辽宁省六校协作体高二期初考试数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合)}32lg(|{},031|{-==<--=x y x B x x x A ，则=B A I （ ） A ．}233|{-<<-x x B ．}1|{>x x C ．}3|{>x x D ．}323|{<<x x2. 已知)21,23(),23,21(==BC BA ，则=∠ABC （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．32π3. 已知3.0log ,2,3.023.02===c b a ，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a << 4. 为了得到函数)32sin(π+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度5. 设m l 、是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若α⊥l ，m l //，则α⊥mB ．若m l ⊥，α⊂m ，则α⊥lC ．若α//l ，α⊂m ，则m l //D ．若α//l ，α//m ，则m l //6. 若31tan -=α，则=α2sin （ ）A ．54 B ．54- C ． 53- D ． 53 7. 在ABC ∆中，c a A 3,32==∠π，则=CBsin sin （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知圆04:22=-+y y x M ，圆1)1()1(:22=-+-y x N ，则圆M 与圆N 的公切线条数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 函数)2cos(62cos )(x x x f ++-=π的最小值为 （ ）A ．211- B ．27C ．5-D ．710. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．61 B ．31 C ．21D ．1 11. 若函数()3cos()f x x ωϕ=+，对任意的x 都有()()66f x f x ππ+=-,则()6f π等于( )A ．3-B ．0C ．3D ．3±12. 函数11y x=-的图像与函数2sin y x π=(24x -≤≤)的图像的交点为),(,),,(),,2211m m y x y x y x Λ（,则=++++++)()()(2211m m y x y x y x Λ ( )A. 2B. 4C. 6D. 8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. =310sinπ_______. 14. 已知函数)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，则=)1(f ______. 15. 已知直线3233:+=x y l 与圆1222=+y x 交于B A ,两点，过B A ,分别作l 的垂线与x 轴交于D C ,两点，则=||CD ______. .16. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知B A 2=，ABC ∆的面积42a S =，则角A的大小为_________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)(1)计算21log 32.5log 6.25lg0.012e +++；(2)计算14030.75333264((2)16---⎡⎤-++⎣⎦.18. (本小题满分12分)已知函数)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f -+=. (1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 的单调递增区间. 19. (本小题满分12分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2cos cos cos cos cC A b C B a =+.(1)求角C ；(2)若5,7=+=b a c ，求ABC ∆的面积. 20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，2AD AB =，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点． (1)证明：//EF 平面PAB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明⊥BO 平面PAC ；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知以1C 为圆心的圆.25)7()6(:221=-+-y x C 及其上一点).4,2(A（1）设圆2C 与x 轴相切，与圆1C 外切，且圆心2C 在直线6=x 上，求圆2C 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于C B ,两点，且||||OA BC =，求直线l 的方程. 22. (本小题满分12分)设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >.(1)求(0)f 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性,并给出证明； (3)如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围．FE PAC2016—2017学年度上学期辽宁省六校协作体高二期初考试数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题 13、23- 14、0 15、4 16、2π或4π 三、解答题 17. 解：(1)原式=111222322-+-⨯=-；.............. (5分) (2)原式=11191416816-++=-..................... (10分)18. 解：（1）x x x x x x x f sin cos cos 3sin 3cos sin 3)(22-+-= )sin (cos 3cos sin 222x x x x -+= ).32sin(22cos 32sin π+=+=x x x ……… 5分因此)(x f 的最小正周期.22ππ==T .............. (6分) （2）令223222πππππ+≤+≤-k x k ，得12125ππππ+≤≤-k x k ）Z (∈k ……… 11分 因此)(x f 的单调递增区间为).](12,125[Z k k k ∈+-ππππ.............. (12分)19. 解：（1）由已知及正弦定理得，C B A B A C sin 21)sin cos cos (sin cos =+，即.sin )sin(cos 2C B A C =+故C C C sin sin cos 2=，可得21cos =C ，所以.3π=C …………6分 (2)由已知及余弦定理得，7cos 222=-+C ab b a ， 故7cos 22)(2=--+C ab ab b a ，又,3,5π==+C b a因此，6=ab ，所以ABC ∆的面积.233sin 21==C ab S ……12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D A B C A C A B C ADD20. 证明：（1）∵CD EF //，AB CD //，∴AB EF //，又∵⊄EF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ． ……………………6分(2) 在线段AD 上存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ， 此时点O 为线段AD 的四等分点，且AD AO 41=， …………………… 8分∵⊥PA 底面ABCD ，∴BO PA ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△ACD ，∴BO AC ⊥， ········ 10分 又∵A AC PA =I ，∴⊥BO 平面PAC ． ··············· 12分 21. 解：（1）因为2C 在直线6=x 上，所以可设),6(2n C ，因为圆2C 与x 轴相切，则圆2C 为.)()6(222n n y x =-+-又圆2C 与圆1C 外切， 圆.25)7()6(:221=-+-y x C 则5|||7|+=-n n ，解得.1=n所以圆2C 的标准方程为.1)1()6(22=-+-y x ……… 6分 （2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为b x y +=2，则圆心1C 到直线l 的距离.5|5|12|712|22b b d +=++-=则5)5(25252||222b d BC +-=-=，又52||||==OA BC ，所以525)5(2522=+-b ，解得5=b 或15-=b ，……… 11分 FE PA CO即直线l 的方程为：052=+-y x 或.0152=--y x ……… 12分22. 解： (1)令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-，所以(0)0f =；.………. (2分) (2)因为()()()f x y f x f y -=-， 所以(0)(0)()f x f f x -=-， 由(1)知(0)0f =，所以()()f x f x -=-，又函数()y f x =的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以函数()y f x =为奇函数. .………. (5分) (3)任取12,x x R ∈，不妨设12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=-因为当0x >时，()0f x >所以12()0f x x ->，即12()()0f x f x ->，所以12()()f x f x > 所以函数()y f x =在定义域R 上单调递增. .………. (8分) 因为()()()f x y f x f y -=- 所以()()()f x f x y f y =-+所以211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f =+=+=--=. .………. (10分) 因为()(2)2f x f x ++< 所以()(2)(4)f x f x f ++<所以(2)(4)()(4)f x f f x f x +<-=- 因为函数()y f x =在定义域R 上单调递增 所以24x x +<- 从而1x <所以x 的取值范围为{|1}x x <.. .………. (12分)。
2016届辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷(理科) 解析版
2016年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（5分）（2016•河南模拟）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．（5分）（2016•葫芦岛二模）已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．（5分）（2016•葫芦岛二模）已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）（2005•江苏）已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•葫芦岛二模）（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣646．（5分）（2016•葫芦岛二模）“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2016•葫芦岛二模）由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．98．（5分）（2016•葫芦岛二模）如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．49．（5分）（2016•葫芦岛二模）若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）（2016•葫芦岛二模）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．11．（5分）（2016•葫芦岛二模）实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．（5分）（2016•葫芦岛二模）若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2二、填空题13．（5分）（2016•葫芦岛二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于______．14．（5分）（2016•葫芦岛二模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为______．15．（5分）（2016•河南模拟）定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x﹣x2）的最大值为______．16．（5分）（2016•葫芦岛二模）在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n 项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0=______．三、解答题17．（12分）（2016•河南模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．18．（12分）（2016•河南模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．19．（12分）（2016•葫芦岛二模）2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2=20．（12分）（2016•葫芦岛二模）设椭圆C1：+y2=1的右焦点为F，动圆过点F且与直线x+1=0相切，M（3，0），设动圆圆心的轨迹为C2．（1）求C2的方程；（2）过F任作一条斜率为k1的直线l，l与C2交于A，B两点，直线MA交C2于另一点C，直线MB交C2于另一点D，若直线CD的斜率为k2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•葫芦岛二模）已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g（x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B（q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB ＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•葫芦岛二模）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•葫芦岛二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•云南二模）已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．2016年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2016•河南模拟）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}=（2，4），B={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，∴∁U B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩（∁U B）=（3，4）．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•葫芦岛二模）已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】由=﹣，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=m+i，z2=1﹣2i，且=﹣，∴=，∴，解得m=﹣．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）（2016•葫芦岛二模）已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由条件进行数量积的计算求出，从而得出cos=，这样即可得出与的夹角．【解答】解：根据条件，==；∴；∴与的夹角为．故选：B．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念及范围，已知三角函数值求角．4．（5分）（2005•江苏）已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．【点评】本题考查二倍角的余弦．诱导公式的化简与求值，考查计算能力，是基础题．5．（5分）（2016•葫芦岛二模）（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出r的值即可得出展开式的常数项．【解答】解：（x3﹣）4的展开式中通项公式为T r+1=•x3（4﹣r）•=（﹣2）r••x12﹣4r，令12﹣4r=0，解得r=3；所以展开式的常数项为T4=（﹣2）3×=﹣32．故选：C．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2016•葫芦岛二模）“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=2，两直线方程分别为：3x+4y+5=0与直线2x+2y﹣6=0此时两直线平行，充分性成立．则当m=0时，两直线方程分别为3x+y+7=0或y=0，此时两直线不平行，当m≠0，若两直线平行，则，即m2+m=6且，解得m=2或m=﹣3，且m≠﹣2，即m=2或m=﹣3，即必要性不成立，“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题在两条直线平行的情况下求参数m的值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．在判断两条直线平行时，应该注意两条直线不能重合，否则会出现多解而致错．7．（5分）（2016•葫芦岛二模）由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．9【分析】根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论．【解答】解：由，得：或，所以直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为S==（4x﹣）=9故选：D．【点评】本题考查了定积分，考查了数形结合的数学思想，解答此题的关键是明确微积分基本定理．8．（5分）（2016•葫芦岛二模）如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．该几何体的所有棱中最长的棱的长度是PB==2．故选：B．【点评】本题考查了三视图的有关计算、余弦定理、勾股定理、二面角的平面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2016•葫芦岛二模）若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．10．（5分）（2016•葫芦岛二模）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．11．（5分）（2016•葫芦岛二模）实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）（2016•葫芦岛二模）若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2【分析】根据f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．转化成一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根x1，x2，且0＜x1＜x2，根据根与系数的关系，将x1用x2表示，求得的表达式，再求最值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根，由x1+x2=1，x1x2=，则a=2x2（1﹣x2），f（x1）=x12﹣2x1+alnx1=（1﹣x2）﹣2（1﹣x2）+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）．0＜x2＜1，所以=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣．0＜x2＜1，令g（x）=x+2（1﹣x）ln（1﹣x）﹣，0＜x＜1，g′（x）=1﹣2ln（1﹣x）﹣2+=﹣1﹣2ln（1﹣x）+．＞0，所以g（x）是增函数，所以x→0时，g（x）→﹣∞；x→1时，g（x）→0；所以t没有最小值和最大值；故选C．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间及不等式成立的综合应用，同时考查了根与系数的关系，化简比较繁琐，注意要细心，属于难题．二、填空题13．（5分）（2016•葫芦岛二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于或3．【分析】设等比数列{a n}的首项为a1，由已知列关于a1和q的方程组求解．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，由S3=39，a2=9，得，解得：或．∴公比q等于或3．故答案为：或3．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．14．（5分）（2016•葫芦岛二模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为．【分析】求出渐近线方程，利用圆的半径，圆心距，半弦长满足勾股定理求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），可得渐近线方程为：y=2x，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为：=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质，仔细与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15．（5分）（2016•河南模拟）定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x﹣x2）的最大值为4．【分析】根据新定义，求出f（x）的表达式，然后利用数形结合求出函数f（x）的最大值即可．【解答】解：由x2=2x﹣x2，得x2=x，解得x=0或x=1，由y=2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，由y=2x﹣x2＜0，得x＜0或x＞2，∴由x2（2x﹣x2）≥0时，解得0≤x≤2，由x2（2x﹣x2）＜0解得x＜0或x＞2，即当0≤x≤2时，f（x）=x2，当x＜0或x＞2时，f（x）=2x﹣x2．作出对应的函数图象∴图象可知当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，根据新定义求出函数的表达式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破点．16．（5分）（2016•葫芦岛二模）在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n 项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0=14．【分析】设公差为d，4a12=﹣3a23＞0得到a12=﹣d，d＜0，判断出a17＜0，a16＞0，得到b15=＜0，b16=﹣d＞0，即可得到S16＜S15＜S14，问题得以解决．【解答】解：设公差为d，4a12=﹣3a23＞0，∴4a12=﹣3（a12+11d）＞0，∴a12=﹣d，d＜0，∴a17=a12+5d=d＜0，a16=a12+4d=﹣d＞0，∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18∵b15=＜0，b16=＞0a15=a12+3d=﹣d＞0，a18=a12+6d=d＜0，∴b15=＜0，b16=﹣d＞0，∴b15+b16=d﹣d＜0，∴S16＜S15＜S14，∴S14最大．故答案为：14【点评】本题考查了等差数列通项公式，以及前和项和最值问题，关键是判断b15+b16的和，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016•河南模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinAcosB=sinBcosA，由此可得的值．（Ⅱ）可求tanA=，由（Ⅰ）得tanB=．利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．（2分）又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，（5分）可得=．（7分）（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…（12分）【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2016•河南模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A ﹣PD﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），∴=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，2，﹣2），∴=0，=0，∴DE⊥PB，DE⊥PC，∵PB∩PC=P，∴DE⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量=（0，2，0）．设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），∴，∴取=（2，﹣1，1），∴cos＜，＞==﹣．【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．19．（12分）（2016•葫芦岛二模）2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2=（2）①利用分层抽样原理求出对应的数值；②计算X的可能取值以及对应的概率值，列出X的分布列，求出数学期望值．计算K2=≈7.5524＞6.635，∴有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关；（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数是6×=4，观看“概率的应用”视频的人数是6×=2；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，则X的可能取值为1、2、3，计算P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的应用问题，是基础题目．20．（12分）（2016•葫芦岛二模）设椭圆C1：+y2=1的右焦点为F，动圆过点F且与直线x+1=0相切，M（3，0），设动圆圆心的轨迹为C2．（1）求C2的方程；（2）过F任作一条斜率为k1的直线l，l与C2交于A，B两点，直线MA交C2于另一点C，直线MB交C2于另一点D，若直线CD的斜率为k2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）由椭圆方程求出椭圆右焦点，结合题意可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）分别设出AB、AC所在直线方程x=my+1与x=ny+3，联立直线方程与抛物线方程，可得A、B、C 的纵坐标的关系，同理得到B、D纵坐标的关系，最后都用A的纵坐标表示，求出AB、CD的斜率（用A的纵坐标表示），可得为定值3．【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1，得a2=2，b2=1，∴，则F（1，0），由动圆过点F且与直线x+1=0相切，可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）如图，直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4my﹣4=0．∴y1y2=﹣4，则，①设AC所在直线方程为x=ny+3，C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得y2﹣4ny﹣12=0．∴y1y3=﹣12，则．同理求得y2y4=﹣12，②联立①②得，，∴，==，∴．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用定义求抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系的应用，体现了“设而不求”及“整体运算”思想方法，是中档题．21．（12分）（2016•葫芦岛二模）已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g（x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B（q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线方程；设出与g（x）图象相切的切点，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点为（0，0），进而得到a的值；（2）由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，求得导数，可得最小值0；再由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，求得导数，可得最大值0，进而得到证明；（3）由直线的斜率公式可得k AB=，k BC=，构造h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g （p））﹣（3+2q）（q﹣p），证明h（q）＞0，可得k AB＞，同理可证：k BC＜，从而可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e3x﹣1的导数为f′（x）=3e3x﹣1，可得f（x）的图象在x=处的切线斜率为3，切点为（，1），即有切线的方程为y﹣1=3（x﹣），即为y=3x，设与g（x）的图象相切的切点为（m，n），可得n=3m=ln（1+2m）+am，又g′（x）=+a，可得3=+a，消去a，可得（1+2m）ln（1+2m）=2m，令t=1+2m（t＞0），即有tlnt=t﹣1．可令y=tlnt﹣t+1，导数y′=lnt，可得t＞1，函数y递增；0＜t＜1时，函数y递减．则t=1时，函数y=tlnt﹣t+1取得最小值0．则tlnt=t﹣1的解为t=1，则m=0，可得a=1；（2）证明：当x＞﹣时，由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，可得m′（x）=3e3x﹣1﹣3，当x＞时，m（x）递增；当﹣＜x＜时，m（x）递减．可得x=处，m（x）取得极小值，且为最小值0．则f（x）≥3x；由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，可得n′（x）=﹣2=，当x＞0时，n（x）递减；当﹣＜x＜0时，n（x）递增．即有x=0处n（x）取得极大值，且为最大值0，则g（x）≤3x，由于等号不同时取得，则f（x）＞g（x）；（3）证明：k AB=，k BC=，令h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），则h′（q）=2 （g（q）﹣g（p））+（1+2q）g′（q）﹣2（q﹣p）﹣（3+2q）=2 （g（q）﹣g（p））﹣2（q﹣p）=2（ln（1+2q）﹣ln（1+2p））∵y=ln（1+2x）在（﹣，+∞）上单调递增，且q＞p，∴ln（1+2q）﹣ln（1+2p）＞0，∴h′（q）＞0．∴h（q）在（p，q）上单调递增，∴h（q）＞h（p）=0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））﹣（3+2q）（q﹣p）＞0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））＞（3+2q）（q﹣p），∵q﹣p＞0，1+2q＞0，∴＞，即k AB＞；同理可证k BC＜．∴k AB＞k BC．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用导数求得最值，考查直线的斜率大小比较，注意运用构造函数，求得导数，判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•葫芦岛二模）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．【分析】（Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB因此∠BCF=∠CAB．…（5分）解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC所以FA=FG，且AB=BG由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）所以AB=BG=2，所以⊙O半径为．…（10分）【点评】本题考查两角相等的证明，考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•葫芦岛二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再将代入能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，能求出l与C交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y﹣2=0，再将代入x+y﹣2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（5分）（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得或，∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，）．…（10分）【点评】本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线l与曲线C交点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•云南二模）已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．【分析】（1））解不等式|x+2a|＜4﹣2a，得到4﹣4a=0，求出a的值即可；（2）问题转化为m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a，∴2a﹣4＜x+2a＜4﹣2a，∴﹣4＜x＜4﹣4a，∴4﹣4a=0，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（﹣2x）=|﹣2x+2|，若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，即m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x=，x≥1时，h（x）=﹣2x+4≤2，﹣2＜x＜1时，h（x）∈（﹣4，2），x≤﹣2时，h（x）=﹣4，∴h（x）的最大值是2，∴m≥2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，是一道中档题．。
(解析版)辽宁省葫芦岛市六校协作体2015-2016学年高二
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．抛物线y2=8x的焦点坐标是（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，4）2．要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，323．双曲线的实轴长为（）A．2 B．2C．4 D．44．在区间[﹣2，3]中任取一个数m，则“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的概率是（）A．B．C．D．5．下列各选项中叙述错误的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则x2﹣3x+2=0”B．命题“∀x∈R，lg（x2+x+1）≥0”是假命题C．已知a，b∈R，则“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分不必要条件D．命题“若x=2，则向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线”的逆命题是真命题6．已知双曲线x（b＞0），若右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．7．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，538．执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．9．设椭圆C：的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．10．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全部总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，40 C．0.1，35 D．0.1，4511．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为135°，则E的离心率为（）A．B．C．D．12．过抛物线y2=x的焦点作倾斜角为30°的直线与抛物线交于P、Q两点，则|PQ|=（）A．B．2 C．3 D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是．14．若A，B两事件互斥，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，则P（A+B）=．15．一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在「40，50），[50，60）内的数据个数之和是．16．双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为25～30，30～35，35～40，45～50，50～55六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知35～45之间的志愿者共20人．（1）计算N的值；（2）从45～55之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率．19．已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），离心率为，若P为椭圆C上的任意一点，过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q，M为线段QP的中点．（1）求椭圆C短轴长；（2）求点M的轨迹方程．20．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线过点M（，1）．（1）求C的方程；（2）过C的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=，|AF|＜|BF|，求|AF|．21．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称 A B C D E销售额（x）/千万元3 5 6 7 9利润额（y）/千万元2 3 3 4 5（1）画出销售额和利润额的散点图；（2）若销售额和利润额具有线性相关关系．用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，．（1）求直线BD的方程；（2）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d1，点Q到抛物线C的准线的距离为d2，求d1+d2的最小值．2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．抛物线y2=8x的焦点坐标是（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，4）【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=8x可得：p=4．即可得出焦点坐标．【解答】解：由抛物线y2=8x可得：p=4．∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，32【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，则抽样间隔相同即可得到结论．【解答】解：若采用系统抽样，则抽样间隔为50÷5=10，故只有B满足条件，故选：B【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．3．双曲线的实轴长为（）A．2 B．2C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线中，a=2，即可求出实轴长．【解答】解：双曲线中，a=2，实轴长为2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．在区间[﹣2，3]中任取一个数m，则“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．【分析】表示焦点在x 轴上的椭圆，则m+3＞m 2+1，可得区间长度，求出在区间[﹣2，3]上随机取一个实数m 的区间长度，即可得出结论．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m+3＞m 2+1， 解得﹣1＜m ＜2，故概率P== 故选：A【点评】本题考查概率的求法，是较基础题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．5．下列各选项中叙述错误的是（ ）A ．命题“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”B ．命题“∀x ∈R ，lg （x 2+x+1）≥0”是假命题C ．已知a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“2a ＞2b ﹣1”的充分不必要条件D ．命题“若x=2，则向量=（﹣x ，1）与=（﹣4，x ）共线”的逆命题是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；平面向量及应用；简易逻辑．【分析】写出原命题的否命题，可判断A ；举出反例x=﹣，可判断B ；根据充要条件的定义，可判断C ；写出原命题的逆命题，并根据向量共线的充要条件进行判断，可判断D ．【解答】解：命题“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”，故A 正确；当x=﹣时，命题“∀x ∈R ，lg （x 2+x+1）≥0”不成立，故命题“∀x ∈R ，lg （x 2+x+1）≥0”是假命题，故B 正确；“a＞b”时，“2a＞2b”，则“2a＞2b﹣1”成立，故“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分条件；“2a＞2b﹣1”时，“2a＞2b”不一定成立，则“a＞b”不一定成立，“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的不必要条件，故“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分不必要条件，即C正确；命题“若x=2，则向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线”的逆命题是命题“若向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线，则x=2”，若向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线，则x2=4，解得；x=±2，故D错误；，故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，充要条件，向量共线等知识点，难度中档．6．已知双曲线x（b＞0），若右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由右焦点F（c，0）到一条渐近线y=bx的距离为b=2，结合a，可得c，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：右焦点F（c，0）到一条渐近线y=bx的距离为b=2，∵a=1，∴c=，∴双曲线的离心率为e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．7．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．8．执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和．S=+++…+=+++…+=（1﹣+…﹣）=．故选：A．【点评】本题主要考察了循环结构和裂项法求数列的前n项和，属于基础题．9．设椭圆C：的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，且，求出a后结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：由题意知，c=2，且，∴a=4，又a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=16﹣4=12．∴C的标准方程为．故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础的计算题．10．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全部总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，40 C．0.1，35 D．0.1，45【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】读图分析可得成绩小于17秒的学生人数占的频率，由频数与频率的关系可得其占的比例；同时读图可得成绩大于等于15秒的学生的频率，进而可得其频数．【解答】解：成绩小于17秒的学生人数占的频率=0.34+0.36+0.18+0.02=0.9，则成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为90%；成绩大于等于15秒的学生的频率为0.34+0.36+0.06+0.04=0.8，则人数等于50×0.8=40人．故选：B．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为135°，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△ABM是顶角为135°的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：设双曲线的方程为：（a＞0，b＞0），∵△ABM是顶角为135°的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，∴点M的坐标为（（+1）a，a），又∵点M在双曲线上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，a2=（1+）b2，而c2=a2+b2=（2+）b2，∴e2==，因此e=，故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，灵活运用几何关系是解决本题的关键，属于中档题．12．过抛物线y2=x的焦点作倾斜角为30°的直线与抛物线交于P、Q两点，则|PQ|=（）A．B．2 C．3 D．1【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点，设出P，Q的坐标，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p，求出直线PQ的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理，计算即可得到所求值．【解答】解：y2=x的焦点为（，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+，由直线PQ：y=（x﹣）代入抛物线的方程可得，x 2﹣x+=0，即有x 1+x 2=，则|AB|=+=2． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的弦长的求法，注意运用联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，同时注意抛物线的定义的运用：求弦长，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ≤0”的否定是 ∀x ∈Z ，x 2+2x+m ＞0 ．【考点】命题的否定． 【专题】规律型．【分析】将“存在”换为“∀”同时将结论“x 2+2x+m ≤0”换为“x 2+2x+m ＞0”．【解答】解：“存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ≤0”的否定是∀x ∈Z ，x 2+2x+m ＞0， 故答案为∀x ∈Z ，x 2+2x+m ＞0【点评】求含量词的命题的否定，应该将量词交换同时将结论否定．14．若A ，B 两事件互斥，且P （A ）=0.3，P （B ）=0.6，则P （A+B ）= 0.9 ．【考点】互斥事件的概率加法公式． 【专题】计算题；概率与统计．【分析】由条件根据互斥事件的概率加法公式，求得即可．【解答】解：∵事件A 、B 是互斥事件，且P （A ）=0.5，P （B ）=0.6，∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.9，故答案为：0.9．【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题15．一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在「40，50），[50，60）内的数据个数之和是 21 ．【考点】频率分布表．【专题】计算题；概率与统计．【分析】设分布在「40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y．根据样本容量为50和数据在[20，60）上的频率为0.6，建立关于x、y的方程，解之即可得到x+y的值．【解答】解：根据题意，设分布在「40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y∵样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，样本容量为50∴，解之得x+y=21即样本在「40，50），[50，60）内的数据个数之和为21故答案为：21【点评】本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据．着重考查了频率分布表的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．16．双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=9．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，求得点P 的坐标，进而计算|PF1|，|PF2|，即可求得|PF1|：|PF2|的值．【解答】解：由题意，a=2，b=，c=不妨设F1（﹣，0），则P（，），∴|PF2|=，|PF1|=4+=，∴|PF1|：|PF2|=9．故答案为：9．【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查距离公式的运用，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．【解答】解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．18．为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为25～30，30～35，35～40，45～50，50～55六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知35～45之间的志愿者共20人．（1）计算N的值；（2）从45～55之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计．【分析】（1）通过频率分布直方图，即可计算出N；（2）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中恰好抽到1名女教师，1名男教师共有8种，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题知35～40的频率为[1﹣（0.01+0.02+0.04+0.01）×5]=0.3，∴35～40的频率为0.3+0.04×5=0.5，∴N==40，（2）45～55之间的志愿者中女教师有4名，男教师有40×（0.01+0.02）×5﹣2=2名，记4名女教师为A1，A2，A3，A4，2名男教师为B1B2，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共有15种．其中恰好抽到1名女教师，1名男教师共有8种，故恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19．已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），离心率为，若P为椭圆C上的任意一点，过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q，M为线段QP的中点．（1）求椭圆C短轴长；（2）求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由椭圆的焦点坐标和离心率列出方程组，由此能求出椭圆的短轴长．（2）由知椭圆方程为，设P（x0，y0），M（x，y），利用代入法能求出点M的轨迹方程．【解答】解：（1）∵椭圆C的左，右焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），离心率为，∴设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），则，解得a=2，b=2，c=2，∴椭圆C短轴长2b=4，．（2）由（1）知椭圆方程为，设P（x0，y0），M（x，y），则，，y=y0，代入，得，整理，得．∴点M的轨迹方程为．【点评】本题考查椭圆的短轴长的求法，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线过点M（，1）．（1）求C的方程；（2）过C的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=，|AF|＜|BF|，求|AF|．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过设抛物线C的标准方程为y2=2px，代入点M（，1）计算可知p=1，进而可得结论；（2）通过（1）可知焦点F（，0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，通过联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算可知m=±，进而利用抛物线的定义计算即得结论．【解答】解：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为：y2=2px，∵抛物线过点M（，1），∴p=1，所以抛物线C的方程为：y2=2x；（2）由（1）可知焦点F（，0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），设直线AB的方程为：x=my+，则联立直线AB与抛物线方程，整理可知：y2﹣2my﹣1=0，∴y1+y2=2m，y1y2=﹣1，△=4m2+4＞0，∴|AB|===2（1+m 2）=，解得：m=±，∴x 1+x 2=m （y 1+y 2）+1=，x 1x 2=m 2y 1y 2+（y 1+y 2）+=，∴x 1=或x 1=， ∵|AF|＜|BF|，∴B （，y 1）、A （，y 2），又∵抛物线C 的准线方程为：x=﹣，∴|AF|=+=．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称A B C D E销售额（x ）/千万元 3 5 6 7 9 利润额（y ）/千万元2 3 3 4 5 （1）画出销售额和利润额的散点图；（2）若销售额和利润额具有线性相关关系．用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程．【考点】回归分析的初步应用． 【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图．由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系．（2）做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本直线的代入求出a 的值，协会粗线性回归方程．【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图．由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系．（2）∵=6，=3.4，b==0.5a=3.4﹣0.5×6=0.4∴回归直线方程y=0.5x+0.4．【点评】本题考查线性回归方程的做法和判断两组变量之间的关系的方法，本题解题的关键是先判断出两组数据具有线性相关关系，进而求出线性回归方程，本题是一个基础题．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，．（1）求直线BD的方程；（2）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d1，点Q到抛物线C的准线的距离为d2，求d1+d2的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知得BP=DA=2，P（1，2），B（﹣1，2），由此能求出直线BD的方程．（2）由已知求出p=，d2=|QF|，从而当A、Q、F三点共线时，d1+d2有最小值．【解答】解：（1）∵BP=DA，且A（3，0），D（1，0），∴BP=DA=2，而B、P关于y轴对称，∴点P的横坐标为1，从而得到P（1，2），B（﹣1，2），∴直线BD的方程为：，整理，得：x+y﹣1=0．（2）∵抛物线C：x2=2py（P＞0）过点P（1，2），∴4p=1，即p=，∴抛物线C的焦点为F，则d2=|QF|，∴当A、Q、F三点共线时，d1+d2有最小值，即（d1+d2）min=|AF|==．【点评】本题考查直线方程的求法，考查两点间距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和抛物线性质的合理运用．。
辽宁省葫芦岛市第一高级中学等五校2015-2016学年高二6月联考数学(理)试题 含答案
2015—-2016学年度下学期省五校高二6月考试数学（理)试题全卷满分150分 时间120分钟说明:本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成.第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为主观题，按要求答在试卷相应位置上.第I 卷 选择题（满分60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}3|log 0A x x =≥,{|1}B x x =≤，则（ )A.AB =∅B 。
A B =RC.B A ⊆D.A B ⊆2。
若复数z 满足zi = 1 + 2i ，则z 的共轭复数是 （ )A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+3。
已知命题p ：“1m =”，命题q ：“直线0mx y -=与直线20x m y +=互相垂直"，则命题p 是 命题q 的( ）A 。
充分不必要条件B 。
必要不充分条件C 。
充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若平面向量,a b 满足()223,1a b -=-,()23,1b a -=--，则a 与b 的夹角是（ ）A.56πB.23π C 。
6π D 。
3π5.已知{}na 为等差数列，且64a =，则47a a 的最大值为（ ）1 2 2主视图侧视图2 2俯视图32A 。
8B 。
10C 。
18D 。
366.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分"问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约( ）A 。
134石B 。
169石 C. 192石 D.3387。
已知实数y x 、满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 y x z 2+=的最大值为（ ）A 。
—2 B. -1 C. 1 D 。
28。
程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( ）A ．2B ．－12C ．－3D ．139。
辽宁省六校协作体2016-2017学年高二6月联考数学(理)试题word版有答案AKqlAw
2016～2017学年度下学期省六校协作体高二年级6月联考数学 理科第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只要一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |x 2−4x +3=0},B ={y |y =−x 2+2x +2,x ∈R },全集U =R ,则A ∩(∁U B )=( ) A .∅B .[1,3]C .{3}D .{1,3}2.设复数z 满足1z =1+2i1−i (i 是虚单位),则z 的共轭复数．．．．在复平面内对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知平面α及直线l ,则“∃直线m ⊂α,使得l ⊥m ”是“l ⊥α”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.将函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π3个单位长度后,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标压缩到原来的12倍,最终所得图象对应的函数的最小正周期为( ) A .π2B .2πC .π6D .5π65.抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程为( ) A .x =−a4B .y =−a 4C .x =−14aD .y =−14a6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边是a ,b ,c ,且a ⋅cosB +b ⋅cosA +2c ⋅cosC =0,则C =( ) A .60︒B .120︒C .30︒D .150︒7.已知非零向量a →,b →满足|a →|=3|b →|,a →在b →方向上的正射影是−32b →,则a →与b →的夹角是( )A .2π3 B .π3 C .5π6D .π68.术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的分别为28,36,则输出的a =( ) A .3 B .2 C .3 D .49.若圆C :x 2+y 2−2ax +b =0上存在两个不同的点A ,B x −3y −2=0对称,其中b ∈N ,则圆C 的面积最大时,b =( ) A .3B .2C .1D .010.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议,规定男女同学至少有1人参加,下面是不同的选法种数的三个算式:①C 120C 130C 248;②C 450−C 420−C 430; ③C120C 330+C 220C 230+C 320C 130.则其中正确算式的个数是( ) A .0B .1C .2D .311.定义在R 上的可导函数f (x ),f ′(x )是其导函数.则下列结论中错误．．的．是( ) A .若f (x )是偶函数,则f ′(x )必是奇函数B .若f (x )是奇函数,则f ′(x )必是偶函数 C .若f ′(x )是偶函数,则f (x )必是奇函数D .若f ′(x )是奇函数,则f (x )必是偶函数 12.若对∀a ∈[1e2,1],∃b ,c ∈[−1,1],且b ≠c ,使λ+alna =2b 2e b =2c 2e c (e 是自然对数的底数),则实数λ的取值范围是( ) A .(1e ,2e ]B .(1e ,2e ]C .(3e ,2e ] D .(3e ,8e2]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.随机取两个正实数x ,y ,满足x +y <2,则y >x 2的概率是14.已知双曲线C :x 29−y 24=1,点M 与C的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点P 在双曲线C 的左支．．上(如右图所示),则|AN |−|BN |=________. 15.如图,正四面体ABCD 的棱CD 放置在水平面α内,且AB ∥α,其俯视图的外轮廓是边长为2的正方形,则与这个正四面体的6条棱都相切的球的表面积为________. 16.函数f (x )=sinx (sinx +在区(a π2,a π)(0<a 有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围是______三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤主视图 左视图17.(本小题满分12分) 设S n是数列{a n}(n∈N *)的前n项和,且S n=a n+1,a1=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=n+2n(n+1)S n(n∈N *),T n表示数列{b n}(n∈N *)的前n项和,求证:T n<1(n∈N *).18.(本小题满分12分)为了调查学生数学学习的质量情况,从高二年级学生(之比为9:11)中,取n计.根据数学的分数取得了这n数据,按照以下区间分为八组:①[30,45), ②[45,60), ③[60,75), ④[75,90),⑤[90,105), ⑥[105,120), ⑦[120,135), ⑧[135,150)得到频率分布直方图如右.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.(1)求n的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度;(2)如果把“学生数学成绩不低于90分”作为是否达标的标准,对抽取的n名学生,完成下列2⨯2列联表:达标未达标合计男生30________女生____________合计____________.据此资料,你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关?(3)若从该校的高二年级学生中随机抽取3人,记这3人中成绩不低于120分的学生人数为X,求X的分布列、数学期望和方差.附1:“2⨯2列联表a bc d”的卡方统计量公式:K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附2:卡方(K2)统计量的概率分布表:P(K2≥k)…0.0500.0100.001…k…3.8416.63510.828…19.(本小题满分12分)FGMNE如图七面体ABCDEFG中,面ABCD,ADEF,ABGF都是正方形.M,N分别是棱FG,DE的中点.(1)求证:直线MN∥平面CEG;(2)在线段GC(包括端点)上是否存在点P,使直线MP与平面CEG所成的角恰好是30︒?若存在,求GP:GC的数值;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)长度为22的线段MN的两个端点分别在直线l1:y=2x和l2:y=−2x上滑动,P是MN的中点.动点P的轨迹是曲线E(1)求曲线E的方程;(2)已知曲线E与x轴的负半轴交于点A,过A作两条直线L1,L2与曲线E的异于A的交点分别为B,C.设L1,L2是k1,k2,若k1k2=1,求证:由B、C确定的直线l经过定点.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(12x2−ax)lnx−14x2+ax(常数a>0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f′(x)是f(x)的导函数,求证:f′(x)<4e x−3−alnx.请考生在22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4−4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l过点P(−1,2)且与直线l′:x+3y−1=0垂直.以O为极点,Ox为极轴建立极坐标系(长度单位与直角坐标的长度单位一致),在极坐标系下,曲线C:ρ=4sinθ.(1)求直线l的参数方程．．．．,曲线C的直角坐标方程．．．．．．;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求1|PA|+1|PB|的值.23.(本小题满分10分)选修4−5:不等式选讲设函数f(x)=2|x+1|+|2x−3|.(1)解不等式f(x)≤7;(2)若f(x)≥a+|4x−6|对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.2016～2017学年度下学期省六校协作体高二年级6月联考数学 理科(参考答案)一、二题答案:17.(1) S n =a n +1……① S n +1=a n +2……②②−①Þa n +1=a n +2−a n +1Þa n +2=2a n +1Þa n +1=2a n (n ≥2) 取①中n =1Þa 2=2故当n ≥2时,a n =a 23n −2=2n −1从而a n =2n−1，n≥22，n=1……6分(2) S n =a n +1=2n Þb n =2n n+2=n·2n−11−·2n 1故T n =b 1+b 2+…+b n =1·201−2·211+2·211−3·221+…+n·2n−11−·2n 1= 1−·2n 1<1……12分18.(1) “成绩少于60分”的频率n 5=(15001+3751)·15Þn =100……2分④的高度=组距[75，90）内的频率=300=1/125……4分(2) 按照“男生”和“女生”分层抽样 在容量为100的样本中,“男生”人数=9+119´100=45,“女生”人数=9+1111´100=55“达标”即“成绩不低于90分”的频数=(501+601+1001+3001)´15´100=75 据此可填表如下:10025……6分 据表可得卡方统计量K 2=´´´´´455575253010−45152=33100=3.030<3.841故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关可以认为它们之间没有关联……8分(3) “成绩不低于120分”的频率=(1001+3001)´15=51因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的概率都可认为是51从而X ～B (3,51),则 P (X =0)=30(51)0(54)3=12564, P (X =1)=31(51)1(54)2=12548P (X =2)=32(51)2(54)1=12512, P (X =3)=33(51)3(54)0=1251故X 的分布列为: 1251……10分数学期望E (X )=3´51=53……11分方差D (X )=3´51´(1−51)=2512……12分19.(1) 取CE 中点QÞÞÞÞÌËGQ 面CEGMN 面CEG ÞMN ∥面CEG ……6分(2) 易知AB ,AD ,AF 两两垂直,如图建系A −xyz设B (a ,0,0),则C (a ,a ,0),E (0,a ,a ),G (a ,0,a ),M (2a,0,a ) 则→CE=(−a ,0,a ),→CG=(0,−a ,a )设面CEG 的法向量为→n=(x ,y ,z )据→n ·→CE =→n ·→CG =0Þ−y+z=0−x+z=0,取→n=(1,1,1) 设→GP =l →GC则→MP =→MG +→GP =→MG +l →GC =(2a ,0,0)+l(0,a ,−a )=(2a,l a ,−l a )据题意,sin 30°=××|n =l3+2421=21Þl=126故存在点P ,且GP :GC =126…………12分20.(1) 设M (m ,m ),N (n ,−n ),P (x ,y ) 据|MN |=2Þ(m −n )2+2(m +n )2=8……① 因P 是MN 中点,故=2y m+n=2x Þy m+n=2x……②把②带入①得曲线E 的方程为x 2+4y2=1……6分(2) 易知A (−1,0),设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),且设直线l 的方程为y =kx +p联立4x2+y2=4y=kx+p Þ(k 2+4)x 2+2pkx +p 2−4=0Þk2+4p2−4……③又k 1k 2=x1+1y1×x2+1y2=x1+1kx1+p ×x2+1kx2+p=1Þ(k 2−1)x 1x 2+(pk −1)(x 1+x 2)+p 2−1=0……④把③带入④Þ3p 2+2kp −5k 2=0Þp =−35k 或p =k ,因直线l 不能过A 点,故p =k 舍,取p =−35k此时直线l 的方程为y =k (x −35),故直线l 经过定点Q (35,0)……12分另证:设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),且设直线L 1的方程为y =k (x +1),L 2的方程为y =k 1(x +1)联立4x2+y2=4x+1Þ(k 2+4)x 2+2k 2x +k 2−4=0Þx 1(−1)=k2+4k2−4ÞB (4+k24−k2,4+k28k) 同理得C (4k2+14k2−1,4k2+18k)从而知直线BC 即直线l 的斜率k BC =k2+1−3k ,进而得直线l 的方程为y =k2+1−3k x +k2+15k故直线l 经过定点Q (35,0)……12分21.(1) f ′(x )=(x −a )lnx (x >0,a >0) 画出y =x −a (a >0)及y =lnx (x >0)的图象,它们的零点分别为a 和1 ①当0<a <1时,f (x )在(0,a )↑,(a ,1)↓,(1,+∞)↑……2分 ②当a =1时,f (x )在(0,+∞)↑……4分③当a >1时,f (x )在(0,1)↑,(1,a )↓,(a ,+∞)↑……6分(2) 因f ′(x )=(x −a )lnx =xlnx −alnx 要证f ′(x )<4e x −3−alnx ,需证xlnx <4e (x >0) 法1. 即证x lnx <x2x−3(x >0) 设F (x )=x lnx(x >0),G (x )=x2x−3(x >0)一方面,F ′(x )=x21−lnx(x >0)ÞF (x )在(0,e )↑,(e ,+∞)↓ 则F (x )≤F (e )=e 1……①另一方面,G ′(x )=x3x−3(x >0)ÞG (x )在(0,2)↓,(2,+∞)↑则G (x )≥G (2)=e 1……② 据①②ÞF (x )≤G (x )有因①的取等条件是x =e ,②的取等条件是x =2故F (x )<G (x ),即x lnx <x2x−3(x >0)成立,即f ′(x )<4e −alnx ……12分法2. 先证lnx ≤e 1x (x >0)(差函数)进而xlnx ≤e 1x 2(x >0)再证e 1x 2≤4e (差函数或商函数) 说明等号不成立故xlnx <4e (x >0)成立22.(1) 直线l ′的法向量为(1,) 因l ⊥l ′,故l 的方向向量为(1,) 故直线l 的参数方程为t x=−1+t……2分曲线C :r =4sin qÞr 2=4r sin qÞx 2+y 2=4y故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0……5分(2) 把l 的参数方程t x=−1+t代入圆C 的直角坐标方程x 2+y 2−4y =0得4t 2−2t −3=0Þ43注意|PA |=2|t 1|,|PB |=2|t 2|,且t 1t 2<0则|PA|1+|PB|1=21(|t1|1+|t2|1)=2|t1t2||t1|+|t2|=2|t1t2||t1–t2|=2|t1t2|t1+t22−4t1t2=313……10分23.(1) 首先f (x )=23故f (x )≤7Û①−4x+1≤7x<−1或②2或③2 其中①Û−23≤x <−1,②Û−1≤x ≤23,③Û23<x ≤2 综上,f (x )≤7的解集为[−23,2]…………5分(2) 使a ≤2|x +1|−|2x −3|恒成立设g (x )=2|x +1|−|2x −3|因|g (x )|=|2|x +1|−|2x −3||≤|(2x +2)−(2x −3)|=5故−5≤g (x )≤5为使a ≤g (x )恒成立则a ∈(−∞,−5]…………10分。
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2015 2016学年度第一学期葫芦岛市六校协作体第二次考试
高二数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、要从编号为0150 的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，则选取的5枚导弹的编号可能是（ ）
A ．05,10,15,20,25
B ．03,13,23,33,43
C ．01,02,03,04,05
D ．02,04,08,16,32
2、抛物线2:8C y x =-上一点(,2)m 到其焦点的距离为（ ） A ．2 B ．
52 C ．3 D ．5
3
3、在区间[]2,3-中任取一个数m ，则
22
2131
x y m m +=++表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是（ ） A ．
35 B ．12 C ．25 D ．4
5
4、下列各项中叙述错误的是（ ）
A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的否命题是“若1x =，则2
320x x -+=” B ．命题“2
,lg(1)0x R x x ∀∈++≥”是假命题
C ．已知,a b R ∈，则“a b >”是“221a b
>-”的充分不必要条件
D ．命题“若2x =，则向量(,1)a x =- 与(4,)b x =-
共线”的逆命题是真命题
5、已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>，若右焦点(,0)F c 到一条渐近线
的距离为2，则双曲线离心率为（ ）
A ．
12 B ．3
2
C ．2
D 6、执行如图所示的程序框图，若输入20n =，则输出的S 值是（ ）
A ．1021
B ．2021
C ．511
D ．1011
7、已知0,1,0a a x >≠>，则“2a >”是“11
log log 22
a
a x x +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8、设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为(2,0)-，离心率为12，则C 的标准方程为（ ）
A ．
2211612x y += B ．221164x y += C ．221128x y += D ．22
1168
x y +=
9、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13名与19秒之间， 将测试结果按如下方式分成六组，第一组，成绩大于定于13秒且小于14秒； 第二组：成家大于等于14秒且小于15秒； ；第六组：成绩大于等于18秒 且小于等于19秒，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析长x 和y 分别为（ ）
A ．0.9,35
B ．0.9,40
C ．0.1,35
D ．0.1,40
10、已知A 、B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为135
，则E 的离心率为（ ）
A
11、一天中对某人的心跳检测了8次，得到如下表所示的数据
上述数据的统计分析中，一部分计算减如图所示的程序框图（其中a 是这8个数的平均数），则输出的值是（ ）
A ．7 C ．8 D ．12、过抛物线2
2(0)y px p =>的交点作倾斜角为30
的直线与抛物线交于P 、Q 两点，分别过
P 、Q 两点作11,PP QQ 垂直与抛物线的准线11,P Q ，若2PQ =，则四边形11PPQQ 的面积是（ ）
A ．．2 C ．3 D ．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 13、命题“2,20x Z x x m ∃∈++≤”的否定是
14、一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，值记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.6，则估计样本在[40,50),[50,60)内的数据个数之和是
15、双曲线22
1123
x y -=的焦点为1F 和2F ，点P 在双曲线上，如果线段1PF 的中点在y 轴上， 则12:PF PF =
16、长为3的线段AB 的断点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)C x y 满足2AC CB = ，则
动点C 的轨迹方程是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）
设条件2
:2310p x x -+≤；条件2
:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
18、（本小题满分12分）
为响应工业园区矩形的万人体质监测活动，某高校招募了N 名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为25~30,30~35,35~40,40~45,45~50,50~55六个层次，其频率分布直
方图如图所示，已知35~45之间的志愿者共20人 （1）计算N 的值；
（2）从45~55之间的志愿者（其中共4名女教师，其余全为男 教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师， 1名男教师的的概率。
19、（本小题满分12分）
已知椭圆C 的左右焦点坐标分别是(2,0),(2,0)-，若P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 垂直于y 轴的直线交y 轴于点Q 、M 为线段QP 的中点。
（1）求椭圆C 短轴长； （2）求点M 的轨迹方程。
20、（本小题满分12分）
某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）画出销售额和利润额的散点图；
（2）若销售额和利润额具有线性相关关系，用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程。
21、（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆22
2199x y +=的右顶点，点(1,0)D ，点P 、B 在椭圆上，且在x 轴上方，BP DA =
（1）求直线BD 的方程；
（2）已知抛物线2
:2(0)C x py p =>过点P ，点Q 是抛物线C 上的动点，设点Q 到点A 的距
离为1d ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为2d ，求12d d +的最小值。
22、（本小题满分12分）
已知抛物线21:2(0)C y px p =>上一点P 到其焦点F 的距离为3
2
，以P 为原先且与抛物线准线l 相切的圆恰好过原点O 。
（1）求抛物线1C 的方程；
（2）设点(,0)(2)A a a >，圆2C 的圆心T 是曲线1C 上的动点，圆2C 与y 轴交于M 、N 两点，且4MN =，若点A 到点T 的最短距离为1a -，试判断直线l 与圆2C 的位置关系，并说明理由。