高三文科科一轮复习资料第六章不等式1.6.2

解析：①当 a2－1≠0，即 a≠± 时，原不等式的解集为 R 1 a2－1＜0， 的条件是 Δ＝a－12＋4a2－1＜0， 3 解之得－5＜a＜1. ②当 a2－1＝0，即 a＝± 时， 1 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 若 a＝－1，则原不等式为 2x－1＜0， 1 即 x＜2，不符合题目要求，舍去． 3 综上所述，当－5＜a≤1 时，原不等式的解集为 R.
方法二：由已知得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒 成立，令 g(x)＝x2－2ax＋2－a， Δ＞0， 2 即 Δ＝4a －4(2－a)≤0 或a≤－1， g－1≥0， 解得－3≤a≤1.
题型四 一元二次不等式的应用 例 4 某种商品，现在定价 p 元，每月卖出 n 件，设定价上 涨 x 成，每月卖出数量减少 y 成，每月售货总金额变成现在的 z 倍． (1)用 x 和 y 表示 z； (2)设 y＝kx(0＜k＜1)，利用 k 表示当每月售货总金额最大 时 x 的值； 2 (3)若 y＝3x， 求使每月售货总金额有所增加的 x 值的范围．
2 (3)当 y＝3x 时，z＝ ， 100 要使每月售货总金额有所增加，即 z＞1， 2 10－ x＞100，即 x(x－5)＜0， 应有(10＋x)· 3 所以 0＜x＜5，所以所求 x 的范围是(0,5)．
2 10＋x10－3x
点评：不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实 生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及到不等式的 解及有关问题，解不等式的应用题，要审清题意，建立合理、 恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键．
题型二 三个“二次”之间的关系 例 2 若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0 的解集是{x|－3＜x＜1}， 求 a 的值．
解析：∵(1－a)x2－4x＋6＞0 的解集是{x|－3＜x＜1}， ∴1－a＜0，即 a＞1. 于是原不等式可化为(a－1)x2＋4x－6＜0，a－1＞0， 其解集为{x|－3＜x＜1}． 则方程(a－1)x2＋4x－6＝0 的两根为－3 和 1， a＞1， －3＋1＝－ 4 ， a－1 由 6 －3×1＝－ ， a－1
4． a＜0 时， 不等式 x2－2ax－3a2＜0 的解集是__________．
解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又 a＜0， ∴不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}． 答案：{x|3a＜x＜－a}
5．不等式 2
x2＋2x－4
1 ≤2的解集为__________．
x2＋2x－4
变式探究 1 解关于 x 的不等式 a2x2－2ax＋1－b2＜0(a≠0，b＞0)．
解析：原不等式可化为(ax－1＋b)(ax－1－b)＜0， 1－b 1＋b 2 ∵a≠0， ＞0， a ∴(x－ a )(x－ a )＜0， 1－b＜1＋b， 且 1－b 1＋b ∴①若 a＜0，则 a ＞ a ， 1＋b 1－b 此时不等式的解集为{x| a ＜x＜ a }； 1－b 1＋b ②若 a＞0，则 a ＜ a ， 1－b 1＋b 此时不等式的解集为{x| a ＜x＜ a }.
解 析 ： (1) 由 题 意 得 y ＝ [1.2×(1 ＋ 0.75x) － 1×(1 ＋ x)]×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得 y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－1.2－1×1 000＞0， －60x2＋20x＞0， 即 0＜x＜1， 0＜x＜1. 1 解得 0＜x＜3. 1 ∴投入成本增加的比例应在0，3范围内.
点评：不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解是全体实数(或恒成立) a＞0， 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；当 a≠0 时， 不等 Δ＜0； 式 ax2＋bx＋c＜0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 a＜0， 时，b＝0，c＜0；当 a≠0 时， 类似地，还有 f(x)≤a Δ＜0. 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
解析：
1 1 1 1 不等式2－x3＋x＞0，同解于x－2x＋3＜0， 1 1 1 1 又∵相应方程x－2x＋3＝0 的两根为：x1＝－3，x2＝2， 1 1 1 1 x－ x＋ ＜0 的解为－ ＜x＜ . ∴ 2 3 3 2
解析：原不等式⇔ 2 ≤2－1⇔x2＋2x－4≤－1， 即 x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1，解集为[－3,1]． 答案：[－3,1]
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零． (2)计算相应的判别式； (3)当 Δ＞0 时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式解的结构，写出其解．
解得 a＝3.
所以，满足条件的 a 的值为 3.
点评：二次函数、二次方程、二次不等式是一个有机的整 体，解题时要根据题意，将三者相互转化，切莫将三者割裂开 来．
1 1 变式探究 2 已知 ax ＋2x＋c＞0 的解集为－3＜x＜2，试 求 a、c 的值，并解不等式－cx2＋2x－a＞0.
2
1 1 解析：由 ax ＋2x＋c＞0 的解集为－3＜x＜2，知 a＜0， 1 1 2 且方程 ax ＋2x＋c＝0 的两个根为 x1＝－3，x2＝2，
题型探究 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 解关于 x 的不等式：ax2－2x＋1＞0.
解析： 1 ①当 a＝0 时，不等式即－2x＋1＞0，∴解集为{x|x＜2}； ②当 a＜0 时，△＝4－4a＞0， 2 1 2 此时不等式为 x －ax＋a＜0， 1－ 1－a 2 1 2 由于方程 x －ax＋a＝0 的两根分别为 、 a 1＋ 1－a 1－ 1－a 1＋ 1－a ，且 ＞ ， a a a 1＋ 1－a 1－ 1－a ∴不等式的解集为：{x| ＜x＜ }； a a
③当 a＞0 时，若 0＜a＜1， 2 1 2 此时不等式即 x －ax＋a＞0， 1－ 1－a 1＋ 1－a ∵ ＜ ， a a 1－ 1－a 1＋ 1－a ∴不等式解集为{x|x＜ ，或 x＞ }， a a 若 a＝1，则不等式为(x－1)2＞0， ∴不等式解集为{x∈R|x≠1}； 若 a＞1，则△＜0，不等式解集为 R. 点评：当含有参数的一元二次不等式对应的二次方程有两 个不同的根时，判断谁大谁小，要考虑参数的作用．
10＋x10－kx (2)在 y＝kx 的条件下，z＝ ，整理可得 z＝ 100 251－k2 1 51－k2 100＋ · －k· x－ ， 100 k k 51－k 由于 0＜k＜1，所以 k ＞0， 51－k 所以使 z 值最大的 x 值是 x＝ k .
③______ ⑥______
①{x|x＜x1 或 x＞x2} ②{x|x≠x1} ③R ④{x|x1＜x＜x2} ⑤∅ ⑥∅
2.用一个流程图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a ＞0)的求解的算法过程． ⑦{x|x≠x1} ⑧{x|x＜x1 或 x＞x2} ⑨R
考点自测
1 1 1.不等式2－x3＋x＞0 的解集为( ) 1 1 1 1 A.－3，2 B.－∞，－3∪2，＋∞ 1 1 1 1 C.－2，3 D.－∞，－2∪3，＋∞
6．2 一元二次不等式及其解法
考纲点击 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设 计求解的程序框图.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.一元二次不等式的解法 判别式 Δ＞0 2 Δ＝b －4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
1 1 故原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}． 答案：A
2．不等式 x2－|x|－2＜0 的解集是( ) A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2 或 x＞2} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1 或 x＞1}
解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔|x| －2＜0⇔－2＜x＜2，故选 A. 答案：A
变式探究 4 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆．本年 度为适应市场需求， 计划提高产品质量， 适度增加投入成本． 若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提 高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知 年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的 关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加， 则投入成本增 加的比例 x 应在什么范围内？
2．一元二次不等式的解法技巧 (1)解一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，当 a＞0 时， 其相应一元二次方程的判别式 Δ＞0，则求两根或分解因式， 根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若 Δ＝0 或 Δ＜0， 这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图象写出不等式的 解． (2)当含有参数时，必须要分类讨论．分类是由不确定和不 统一而引起的，分类标准是根据需要而设定的，这种“需要” 可能是：是什么不等式(一元一次？一元二次？)；开口方向如 何；根的判别式的正负；根的大小等． (3)要特别注意三个“二次”之间的联系， 重视数形结合的 思想和分类讨论思想的应用.
解析：
x (1)按现在的定价上涨 x 成时， 上涨后的定价为 P1＋10元， y 每月卖出数量为 n1－10件，
每月售货总金额是 npz 元， 10＋x10－y x y 1＋ ·1－ ，所以 z＝ 因而 npz＝p . 10 n 10 100
变式探究 3 已知 f(x)＝x2－2ax＋2，当 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒 成立，求实数 a 的取值范围．