2019-2020学年北京市平谷区高二下学期期末质量监控数学试题 Word版

平谷区2019—2020学年度第二学期质量监控试卷高二数学2020．6第Ⅰ卷选择题（共40分）—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点的坐标是A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)---- 2．知抛物线28y x =，那么其焦点到准线的距离是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．已知等差数列{}n a }中1464,10a a a =+=那么24a a += A ．17 B ．9 C ． 10 D ． 244，已知直线0x y a ++=与圆22(2)(3)2x y -++=相切，那么a 的值为 A ．3或－1B ． 1±C ．－3或－7D ． 5-±5．已知函数f （x ）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是 A ．函数f (x )在(,1)-∞上单调递减 B ．函数f （x ）有三个零点C ．当x ＝0时，函数f （x ）取得最大值D ．当x ＝0时，函数f （x ）取得极大值6．已知数列{}n a 的前n 项和为,2n n n S S =，则45a a += A ．48 B ． 32 C ． 24 D ． 87．设函数()cos f x x x =+，则f (x )是 A ．有一个零点的增函数 B ．有一个零点的减函数 C ．有二个零点的增函数 D ．没有零点的减函数8．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或丙团队获得一等奖"； 小王说：“乙团队获得一等奖”；小李说：“丁、丙两个团队均未获得一等奖"； 小赵说：“甲团队获得一等奖"．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是 A ． 甲B ．乙C ．丙D ．丁第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．已知复数2iz i-=，那么||z =________ 10．已知直线1:210l x y -+=与直线2:20l x by ++=互相垂直，那么b ＝________11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为________12．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中，122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点________ 14．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t 水净化到纯净度为x %时所需费用（单位：元）为4015()(80100)100c x x x=<<-．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）15． （本题满分13分） 已知函数323()22f x x x =++ (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(1，f (1))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在[—2，2]上的最大值和最小值． 16． （本题满分13分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，37a =，________． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最值．从61535513n n S a a S a a -==-=⋅①②③中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）． 17． （本题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为12,F F ，经过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若11AF BF ⊥，求直线l 方程。

18． （本题满分14分）已知函数ln (),()x af x a R x-=∈ (Ⅰ)若函数f (x )在x ＝e 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若对所有1x ≥，都有f （x ）x <，求实数a 的取值范围． 19．（本题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆上一点(1,2Q 满足12||||QF QF += （I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆C 上两点M 、N 关于x 轴对称，点P 为椭圆上一动点（不与M 、N 重合），若直线PM ，PN 与 轴分别交于G 、H 两点，证明：||||OG OH ⋅为定值．20．（本题满分13分）定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M —数列”(Ⅰ)已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，满足294711,28a a a a +=⋅=，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n b 是n S 和1的等差中项，证明：数列{}n b 是"M －数列"；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M —数列” {}n c ，对于任意正整数k ，都有1k k a c +≤成立．求此时数列{}n c 公比q 的最小值．平谷区2019-2020学年度第二学期教学试卷参考答案高二数学 2020.6一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 10. 2； 11.y=±； 12.320； 13.214. 40.15三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分13分）解：（I）因为()233'f x x x=+，………2分()16'f=，即切线的斜率6k=………4分又因为()291=f，即切点坐标为912,⎛⎫⎪⎝⎭，………6分所以曲线()y f x=在点()()11,f处的切线方程为12230x y--=.………7分（II）由()233'f x x x=+，令()0'f x=，01x,=-………8分所以()f x的最大值为16，最小值为0. ………13分16．（本小题满分13分）选①补充条件.解：（I）设等差数列{}n a的公差为d，由651S=，73=a，得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+5125667211dada，解得11a=，3d=所以1(1)332na n n=+-⨯=-．………7分（II）解法1：由等差数列{}n a的通项公式可知，数列{}n a是单调递增数列，且首项为1，所以前n 项和n S 有最小值，无最大值，且最小值为11=S .解法2：由数列{}n a 的前n 项和()21322n n n a a n nS +-==由二次函数图像性质可知，当1n =时n S 有最小值1，无最大值. ……… 13分 选②补充条件.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为13n n a a -=- ，所以3d =- 由3112713a a d a =+=→=，所以()13(1)3316n a n n =+-⨯-=-+． ………7分 （II ）解法1：因为3d =-，所以等差数列{}n a 是单调递减数列.令0≥n a ，316≤n ，N n ∈，所以前5项和5S 为n S 的最大值. 即前n 项和n S 的最大值为355=S ，无最小值.解法2：因为数列{}n a 的前n 项和()2132922n n n a a n nS +-+==由二次函数图像性质可知，当5n =时n S 有最大值35，无最小值. ……… 13分 选③补充条件.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由535S a a =⋅，73=a ，得()⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+d a d a d a 47245572111， 解得19a =，1d =-所以()9(1)110n a n n =+-⨯-=-+． ……… 7分 （II ）解法1：因为1d =-，所以等差数列{}n a 是单调递减数列.令0≥n a ，10≤n ，N n ∈，即当910n ,=时前n 项和n S 有最大值. 所以前n 项和n S 的最大值为45109==S S ，无最小值.解法2：数列{}n a 的前n 项和()211922n n n a a n nS +-+==由二次函数图像性质可知，当910n ,=时n S 有最大值45，无最小值. …… 13分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 12c e a ==，且过点()20,. ∴21a ,c ==， ……… 2分 ∴2223b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； ……… 4分（Ⅱ）当斜率不存在时，设l :1x =，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛231231，，，B A 显然不满足条件. ………6分 当斜率存在时设l :()1y k x =-，),(11y x A 、),(22y x B ，……… 7分联立()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得：()22223484120k x k x k +-+-=， ∴221212228412343+4k k x x ,x x k k-+==+， ……… 9分 因为11AF BF ⊥， 所以110AF BF ⋅= 即：()()1212110x x y y +++= 整理得()()()()22212121110kx x k x x k ++-+++= ……… 11分带入化简：2797k k ==±，即 ∴直线l方程为)1y x =-. ……… 13分 18．（本小题满分14分）解：（I ）由()ln x a f x x -=得()()012>-+=x x xln a x f '……… 2分因为函数()f x 在e x =处取得极值，所以()0=e f '， ………4分解得0=a ………5分 经检验，0=a 时，函数()f x 在e x =处取得极大值. 所以 0=a ……… 6分 （II ） 因为对所有1x ≥，都有()f x x <，所以2x x ln a x xax ln ->⇒<- ……… 8分 设()2x x ln x g -=则()xx x g '221-= ………10分因为1x ≥，所以()0<x g '，即()x g 在()+∞,1上单调递减 ………12分 所以()()11-=≤g x g即1->a ………14分19．（本小题满分14分）解：（I）由椭圆上一点1Q ⎛⎝⎭满足12QF QF +=得a = ……… 2分且222112b⎛ ⎝⎭+= ……… 3分所以21b =所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ……… 4分（II ）证明：因为M ，N 两点关于x 轴对称，所以设()11,M x y ，()00,P x y ，则()11,N x y -， ……… 5分 得直线PM 的方程为()100010y y y y x x x x --=--，令0y =得点G 的横坐标100101G x y x y x y y -=-，同理可得H 点的横坐标100101H x y x y x y y +=+ . ………9分∴212021202021101001101001y y y x y x y y y x y x y y y x y x x x OH OG HG --=++--==，……… 11分 因为121221y x +=，220012x y +=∴221122x y =-，220022x y =-． ……… 13分 即得：2OG OH ⋅=为定值． ……… 14分20．（本小题满分13分） 解：（I ）因为{}n a 是等差数列，所以,a a a a 117492=+=+ ……… 1分 又因为{}n a 是递增等差数列， 所以n a d a a a a a a a n =⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=⋅=+117428111747474 即数列{}n a 的通项公式为 n a n = ……… 3分 （II ）因为n b 是n S 和1的等差中项， 所以1221-=⇒+=n n n n b S S b ……… 4分 当1=n 时，1121111=⇒-==b b S b ……… 5分11 当2≥n 时，）（）（121211---=-=--n n n n n b b S S b化简得12-=n n b b即数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.所以数列{}n b 是“M-数列”. ……… 7分 （III ）因为数列{}n c 是 “M-数列”所以数列{}n c 是首项为1，公比为正数的等比数列，设公比为()0>q q ， 则1-=n n q c . ……… 8分因为对于任意正整数k ，都有1+≤k k c a 成立，即k q k ≤恒成立 两边取对数得q ln k kln ≤()0>∈*q ,N k ……… 9分设()x xln x f =则()21x xln x f '-=令()e x x f '=⇒=0(),e x x f '<<⇒>00即()()上递增在e ,x f 0(),e x x f '>⇒<0即()()上递减，在∞+e x f所以比较()()333222ln f ,ln f ==大小而()()()()326933368222f f ln ln f ,ln ln f <⇒====所以()()3f x f ≤ ……… 11分 即3333ln ln k kln =≤ 因为q ln k kln ≤ 所以3333≥⇒≤q q ln ln所以数列{}n c 公比q 的最小值为33. ………13分。