4第三章相似理论

Kh Rf Ri h Ri 2 2 Km K m u v z z

g v Kh v z


RiRC（0.21~0.25） 层流变为湍流 RiRT（1.0） 湍流变为层流
总体理查孙数
g Rb
v (u ) 2 (v) 2
第二节
近地面层
近地面层：湍流输送占有压倒优势作用的贴 地面层，其高度约为边界层高度的1/10。常通 量层。 近地层的厚度hc 假设近地层内，流场定常、水平均匀，略去 分子粘性力作用，选择x1轴沿地面风向。则 运动方程
u 3u1 fV g sin z
注意到边界层内气压梯度力可以用地转风来代替：
z
z
u
二、温度、湿度廓线：对数律 三、推广到非中性情况：幂次律
z m u u1 ( ) z1
第四节
大气稳定度参数
非中性层结大气 必须考虑热力作用对湍流结果的影响。 1 理查孙数Ri (Richardson) 静力稳定条件下，垂直运动加速度为负，抑制湍流；而风切 变则产生湍流。为使问题简化，忽略湍流能量方程其它项的 作用，把这两项的比值称为通量理查孙数。 g g 水平均匀、水平运动 w v w v v v Rf Rf u u w u v w v u iu j i z z x j
第三节
中性近地层风温廓线
一、风廓线：对数律
中性层结，位温不随高度变化；空气微团按绝热过 程运动；垂直向湍流热通量为零。
中性层结下风随高度的分布，可以从Prandtl的混合 长理论推导。Prandtl假设：l z 由K理论： wu K u m z
u 2 2 u 将 Km l z z z
主讲人 张镭 教授
2012.10.
第三章
近地层相似理论
第一节 相似理论的基础 第二节 近地面层 第三节 中性近地层风速温度廓线 第四节 大气稳定度参数 第五节 非中性近地层风速温度廓线 第六节 近地层气象参数化
第一节
相似理论的基础
现有的基本物理知识还不足以精确得出边界层基本 规律。然而，边界层观测结果经常出现一些稳定可 重现的特征。利用有关变量可研究出一些经验关系 式。相似理论的优点是为组合这些变量提供了方法。
z1 ln z0 u1 z2 u2 ln z0
即，在z可与 z0 比拟的薄层内,考虑 z0对 l 的影响， (z z 0 ) l
u* du dz ( z z0 )
地面粗糙度z0 (roughness length)，风速为零的高度。
表征地表面的几何特征，一般取凸起物的平均高度。 其典型值见表2.3.1。
am2 a1 a a2 a
21
22
a m 2 m
a
a
an a1
a a
n m ,1
a2
nm, 2
a m n m , m
根据量纲齐次性原理：
a m1 a a
a11 1 1
a12 2
a
a
a1 m m
平方，并写成差分形式：
2 2 2 u* u*0 u* fV g sin z hc
2 2 2 u* u*0 u*0 u*0 u*0 hc (10 % ~ 20 %) 2 fV g sin V g f sin u*0
f~1.2×10-4s-1 , =20 ~ 25 u*0 0.05 u*0 0.2 ~ 0.4m / s Vg hc=20 ~ 80m 如果风大（即u*很大），hc可达一、二百米。

ln
各种下垫面的z0 、u*和N的值
地面的种类 z0（cm） u*（cm/s） 16 26 36 N（cm2/s） 0.016 2.6 26
很光滑（泥面、 0.001 冰） 草地，草高1 厘米 坡地，10厘米 稀草 0.1 0.7
对数律的应用 （1）由一个高度的实测风速 lnz 求另一个高度的风速 （2）计算粗糙度 （3）计算摩擦速度 （4）求湍流切应力，空气密度 lnz0 可由状态方程求得 （5）求动量交换系数 K l 2 u 2 z 2 u u z m *
1
U 2
2
UD
3
D
8）也可以从上面的组合中重新选择得到新的组合，如：
1
U 2
2 2 3 Uz 0
1 D 3 3 z0
把1看成是与曳力系数CD完全相同的定义，而2正
好是雷诺数Re=UD/的倒数，3称为相对粗糙度。
以上仅是相似理论的第二步，下一步就是进行必要 的实验，找出无量纲组合之间的关系。
(1) 选择相关的变量。
(2) 把变量组成无量纲组应用定理。
(3) 利用实验数据，决定无量纲组的值。
(4) 使经验曲线或回归方程适合于实验数据，以便描述 无量纲组之间的关系。
相似理论并不能具体告诉无量纲组之间的方程或关 系式，必须反复实验、观察，选择定性的最佳的 方程式。如，把一组表示成另一组的幂函数、对
a=f(a1,a2,an)
（2.1.1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中：a1,a2,an为主定量（自变量）。 上述具体函数形式不确定，借助量纲分析原 理，将上述函数无量纲化，减少未知函数 的自变量数目，这是定理的基本思路。
设n个自变量中，最多有m个量纲独立的量a1,a2,am， 其余各量am＋１,am＋２ ,an 的量纲可用上述m个独立量 纲表示： a11 a12 a1m am1 a1 a2 am
( ) a ( D) b (U ) c
( ) d ( D) e (U ) f
z 0 ( ) g ( D) h (U ) i
6) 求解a，b，c等的幂，得到量纲相容方程。 第一个方程：ML-1T-2=(ML3)a(L)b(LT-1)C 左右量纲相等得 M：a=1 L：-3a+b+c=-1 T：-c=-2 类似，对于第二个方程和第三个方程，我们可以得到其它幂 数的值。 d=1，e=1，f=1，以及 g=1，h=1；i=0。 7) 对于各个方程，用右边除左边得到无量纲组，其数目总是对 z 于变量数减量纲数。 0
**界面的两种流动状态 取决于固体边界的几何特征（流体的物 理性质z0）和动力学特征（湍流情况/u*）。 （1）空气动力学光滑流：湍流微弱，以分子粘性为主 u* z0 0.13

边界附近必须考虑分子粘性，粘性副层以上考虑湍流粘性 宏观粘滞系数 N u* z0，它在粗糙流动中所起的作用与光滑流动 u 1 u* z ln 5.5 中粘滞率所起的作用相类似。
SL 地面总面积与粗糙元数之比，或粗糙元的地域大小
零点位移订正，位移距离d 在陆地上，如果各个粗糙元被组合得非常紧密，那么这 些粗糙元顶部的作用就类似于位移了的地面。在林冠顶 部以上，风廓线是对数增长的， u* z d u ln 中性条件下有 z0 有效高度=实际高度 +z0 – d’=实际高度 – d d’积雪厚度；d零点位移长度，可用试探法确定
a
a a a1a1 a2 2 amm
将（2.1.1）和（2.1.2）代入：
f (a1 , a 2 , a n )
a a a1a1 a 2 2 a mm
g ( a1 , a 2 , a m ; 1 , 2 n m )
上式左端为无量纲量，故右端也应为无量纲数，则： ( 1 , 2 nm )
由实验结果得知
1) 应力随雷诺数的增加而减少，直到临界雷诺数达到 2100左右为止。临界雷诺数是层流向湍流过渡的标志。 在低雷诺数（层流）时，应力不依赖于相对粗糙度。 2) 当雷诺数刚好大于临界值时，应力又重新增大。
3) 当雷诺数进一步增大时，应力又随雷诺数而减少，但 与导管粗糙度无关。 4) 当雷诺数更大时，应力是一个只依赖于相对粗糙度而 不依赖于雷诺数的常数。 大气雷诺数很大，边界层106-108。可以忽略分子粘性
z0并不等于地面上各个粗糙元的高度，但这些粗糙元 与z0之间是一一对应的关系。 z0确定后，就不随风速、稳定度或应力而改变。但如 果地面粗糙元（植被高度、范围、房屋建筑物等）发 生变化，z0也随之变化。 z0的求解方法：两个或两个高度以上的风测量结果， 即可求解z0和u*。
z0也可以根据地表情况进行估算，如果粗糙元间距均匀， 不太靠近，其高度和 * ss z 0 0.5h 形状又类似，则： S L * 粗糙元平均垂直范围；s 粗糙元平均轮廓或垂直面积 h s
2
和 u w u*2 代入得
u u* z z

u* dz du z
积分，1） 设z = z0时， u=0,则
z u ln z0
u*
若z = z1 , u = u1；z = z2 , u = u2, 显然
z z0 ln 2）设z =0, u =0, 则 u z0 u*
1
a m1
a a
a11 1
a12 2
a1m m
类似有：
2
a m 2
（2.1.2）
a a a1a21 a 2 22 a m2 m

nm an a1 n m ,1 a 2 n 0 m , 2 a mn m , m
a a a
把变量a也表示成a1,a2,am的形式：
数关系，选择方程通常包括未知系数，而未知系
数可以用实验数据回归来求解。 相似关系式常用来表示定常态（平衡），有关变量 中很少包括时间。对于随时间强烈变化的某些参 量，如边界层高度，很难用相似表达式来估计。
常利用边界层高度作为进入无量纲组的输入量以
诊断其它变量是否达到稳态。
定理
待定变量（因变量）a，满足