2013高一数学必修1教师用书：第二章-§4-二次函数性质的再研究-4.2-二次函数的性质(北师大版)

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 图 像 a<0
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
(1)抛物线开口向 上 ， (1)抛物线开口向 下 ， 并向上无限延伸 性 质 并向下无限延伸
b － (2)对称轴是 x＝ 2a
由题意得 m 该函数的对称轴是 x 8 - 2， , 且函数在区间 是增加的 m 所以 2 8 即m 16 f (1) 9 m 25 即f (1) 25
变式训练 1 如果二次函数f ( x) x 2 (a 1) x 5在区间0,1上是增加的， 那么f (2)的取值范围是多少？
（ 1）求利润y f ( x)的解析式（利润 销售收入- 总成本）
（2）工厂生产多少台产品 时，可使盈利最多？
4．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a
的取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范围是
A．0≤a≤1 C．－2≤a≤0 B．0≤a≤2
(
)
D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
1．已知二次函数在某区间上的单调性，求参数的取 值范围，应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关于参 数的不等式，从而求解得出参数的取值范围．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上 的最值可作如下讨论，
对称轴x＝h与[m，n]
最大值 的位置关系 h<m f(n) f(m) 最小值
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D
5．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2ax＋a在区间[0,3]上的 最小值为－2，求a的值．
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2，对称轴为 x＝a，按 a 是否在[0,3] 中分三种情况讨论． (1)当 a<0 时，ymin＝f(0)＝a＝－2，适合； (2)当 0≤a≤3 时， ymin＝f(a)＝a－a2＝－2， 解得 a＝2 或－1， 但－1∉[0,3]，∴a＝2； (3)当 a>3 时，ymin＝f(3)＝9－5a＝－2， 11 11 解得 a＝ 5 ，但 5 <3，故舍去． 综上，a＝± 2.
(2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.
[例3]
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． [思路点拨] (1)、(2)可就f(x)＝(x－1)2＋2的对称轴与区
2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数 a的取值范围． (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求
实数a的值．
解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对 称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]，
由题意(－∞，a]⊇(－∞，2)， ∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞)
＝
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a ymax＝
[例 1]
已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； 2 (2)已知 f(－3)＝1，不计算函数值，求 f(0)； 3 15 (3)不直接计算函数值，试比较 f(－4)与 f( 4 )的大小．
[思路点拨]
[精解详析]
例题4某产品生产厂家根据以 往的生产的销售经验得 到以下有关销售的统计 规律， 每生产产品x（百台），其总成本为 G ( x)(万元），其中固定成本 为2.8万元，并且每生产
1百台的生产成本为 1万元（总成本 固定成本 生产陈本），销售收入 R( x)(万元）满足
0.4 x 2 4.2 x,0 x 5 R( x) 假定产品产销平衡（即 生产的产品都卖掉）。 根据上述规律， 11 , x 5 请完成下列问题：
h>n
f(m)
f(n)
对称轴 x＝h 与[m，n] 的位置关系 m＋n m≤h< 2 m≤h≤n m＋n h＝ 2 m＋n 2 <h≤n
最大值
最小值
f(n) f(m)或 f(n) f(m)
f(h) f(h) f(h)
对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24. 问题1：将该二次函数化成顶点式． 提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. 问题2：该函数的单调区间是什么？ 提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)． 问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？
提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．
x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|>|3－1|， ∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；
(3)①当t>1时， f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
变式训练 已知二次函数 y f ( x)满足f (3 x) f (3 x), 且f ( x) 0, 有两个 实根x1 , x2 , 则x1 x2
例题2 : 已知函数f ( x) 4 x 2 m x 5在区间- 2， 上是增加的，求 f (1)的取值范围
顶点坐标是
b － ，(2)对称轴是 x＝ 2a ，
顶点坐标是
b 4ac－b (－2a， 4a )
2
b 4ac－b (－2a， 4a )
2
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
b (－∞，－2a] (3)在区间 b (－∞，－2a] (3)在区间
性 质
上是减函数，在区间 上是增函数，在区间 b b (－2a，+∞] 上是增函数 (－ ，+∞] 上是减函数 2a (4)抛物线有最低点，当 x＝ (4)抛物线有最高点， b － 时，y 有最小值，ymin 2a b 当 x＝－ 时， y 有最大值， 2a
③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减， 所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2， t2－2t＋3， t>1， 0≤t≤1， 综上得 g(t)＝2， t2＋2， t<0.
练习
- 5,5上的最大值 已知函数f ( x) x 2 2ax 2, 求f ( x)在区间
间的情况直接求最值，(3)可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系， 就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论．
[精解详析]
∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴
为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当 x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3； (2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当
对称轴问题 (1)利用配方法求二次函数 y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 b 直线x 2a (2)若二次函数f ( x)对任意x1 , x2都有f ( x1 ) f ( x2 ),则对称轴为 x1 x2 直线x 2 (3)若二次函数y f ( x)对定义域所有x都有f (a x) f (a x), 则对称轴为直线 x a (a为常数）
12 2 ∵y＝f(x)＝3x ＋2x＋1＝3(x＋3) ＋3.
2
1 2 1 (1)顶点坐标为(－3，3)，对称轴是直线 x＝－3； 2 1 1 (2)∵f(－3)＝1，又|0－(－3)|＝3， 2 1 1 |－3－(－3)|＝3， 2 所以结合二次函数的对称性可和 f(0)＝f(－3)＝1；
12 2 (3)由 f(x)＝3(x＋3) ＋3知二次函数图像开口向上，且 1 对称轴为 x＝－3，所以离对称轴越近，函数值越小． 3 1 15 1 又|－4－(－3)|<| 4 －(－3)|， 3 15 ∴f(－4)<f( 4 )．