一类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性

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一类非线性三点边值问题正解的存在性

一一
｛∈
［，］ｌｌ＜ｄ）０１：ｌｌ．
其中寺＜叩１０ａ１，满足：＜，＜＜，
厶。
１引理设定
引理１［设Ｘ为Ｂｎｃａａｈ空间，ｎ为Ｘ的一个
（）Ｈ。，∈ Ｃ［，３× ［，。）［，Ｃ）；（０１Ｏ＋。，Ｏ＋ × ）。
（）一（）￡（）一删（）（Ｏ１，）一０，（）＝０１（）３（）４
Ｂ（）２ＶＰ１（）存在惟一非平凡正解的充分条件．
本文所研究的空间为Ｂｎｃａａｈ空间ｃｏ１，［，３其中范数为ｌＩ＝ｍａ（）ＩＩｌＵｘｌ￡．
（）在ｔＨ，存。∈ ［，］使得ｆｔ，）≠ ０Ｏ１，（。０．
文献［— ］１４以及其中所引用参考文献对非线性边值问题正解的存在性作了大量的研究．在文献［３
—
有界开子集，且 ∈ｎ，Ｆ：若ｎ— Ｘ为一个全连续算子，：么存在Ｕ∈ 则要及＞１使得Ｆ（一Ａ，）ｘ，
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｂｙｕｓｎｇｔｒｙ — ＳｃａｅｏｉｅｒａｔｒａｉｅａｄｔｒｅｔｅｆＧｒｅｕ — ｉｈｅＬｅａｈｕｄｒｎｎｌｎａｌｅｎｔｖｎｈｅｐｏｐｒｉｓｏｅｎｆｎｃｔｏｉｎ，ａｄｃｓｄｅｉｇｔｒｐｅｔｆｎｌｎｅｒｔｏｏｕａｙｓｔｕｆｃｅｏｉｉｏｎｏｎｉｒｎｈｅｐｏｒｙｏｏｎｉａｉｙｏｎｓｍｅｂｎｄｒｅ，ａｓｆｉｉｎｔｃｎｄｔｏｎｆｒ

一类非线性三阶边值问题正解的存在性

（）ｏ４ｆ＜２，ＨＥｆ０，１＞－
则ＢＰ１Ｖ０．至少存在一个正解．）
由定理１还可得到
取ｘｃ）义Ａ — ＝Ｉ（定：为Ａ＝。（ｆ（ｓ，，ＸｕＪｔ（ｓ，Ｘ则ＡＣ，ｓ）ｕｓ，ｌｅ）ｕｄ
的不动点就是积分方程的解．１（．式，￣２１易得ｔ）引理１Ｇ１）（ｓ有如下性质：＇
【（）ｕ（＝ ’）０ｕ０ ’）ｕ（＝，＝０１
其中，： ×Ｒ＋为连续函数．ｆＩ．Ｒ受文［卜［】４５的启发，应用指数不动点定理代替锥拉伸与锥压缩不动点定理，获得了正解的存在性结果。并且在非线性项的增长限制上更加精确．
为了方便介绍，先引入以下记号：
其中ｆ＋＝ｉ。（／，ＢＰ１２至少存在一个正（）ｌｍｆｕｕ则Ｖ（．）））
解．２准备工作和主要结果证明
ｆｌｉｍｉｔｌ【ｕ／）ｏ］ｓｐｍａｔｌ（ｕ／）ｏｉｎ＝ｍＩｅ】ｔ），－ｉｕｌｎ（ ’ ｕｆｍｆｘｎｌｔ），ｓ（，ｕｆ
维普资讯
第１第２（０２卷期２７０）
寸Ｉ拒青离孑牛
Ｖ１．２７ｏ２ｏ（０．Ｎ２０）１
一
类非线性三阶边值问题正解的存在性
魏晋滢
（西北师范大学，甘肃兰州７０７）３００
摘
要：了三阶常微分方程边值问题讨论
把定理１应用到问题
三阶微分方程在天文学、流体力学等学科的研究中有着
广泛的应用．因此，其解的存在性受到广泛的关注，见文【卜【】１３．本文考察了如下的三阶常微分方程边值问题：Ｉ［。，设＝ｏ１】

一类三点边值问题单调递增正解的存在性

０≤ ≤ １
（）： “（）１０
（）１
式中：０＜ｔ，０＜１Ｏ＜１ ≤ ，０＜叼＜１／∈Ｃ（０，］×［，。，０，）且存在ｔ∈ ［，１，［１０＋。）［＋）。］使得厂
（００）＞０ｔ，．
本文利用锥上的不动点定理获得了其单调递增正解的存在性．文献［］１考察了式（）２，通过锥不动点指标理论定理，给出了此问题至少有１正解存在的条件．个
收稿日期：２００９—１０２— ７
基金项目：山西省自然科学基金资助项目（０９２Ｏ１— ）中北大学校青年基金资助项目．２００１０２；作者简介：梁月亮（９９一）１７，男，山西石楼人，讲师，从事非线性泛函分析、算子代数及其应用方面的研究与教学工作
Ｅ — ｍａｌｓａｕｍｏｎ１６．ｏｉ：ｈｇａｏ＠２ｃｒｎ
Ｊｎ．Ｏｌｕ２０
一
类三点边值问题单调递增正解的存在性
梁月亮，续晓欣，桑彦彬
（巾北大学理学院数学系，山西太原００５）３０１
摘要：考察了一类非线性常微分方程的三点边值问题．通过考察非线性项在有界集上的性质，运用不动点指数定理及格林函数的性质，获得了其单调递增正解存在性的新结果，推广

一维奇异P-Laplacian三点边值问题正解的存在性

理和非线性ＬｒｙＳｈｕｅ抉择定理建立了一维ｐＬｐａｉｅａ—ｃａｄｒ－ａｌｃｎ奇异边值问题解的一些存在性原则；ａＡａｗ等［利用ＬｒｙＳｈｕｅ抉择定理得到了Ｐ＝ｇｒａ１ｌｅ．ｃａｄｒａ２时正解的存在性．
白杰祖，力
（．东北师范大学人文学院信息技术学院，长春１０１；．长春大学理学院，长春１０２；１３１７２３０２３．东北师范大学数学与统计学院，长春１０２）３０４
摘要：利用非线性ＬｒｙＳｈｕｅ抉择定理和锥不动点定理，在假设条件下证明一维非线性ｅａ—ｃａｄｒ奇异ｐＬｐａｉ－ａｌａ点边值问题解的存在性．结果表明，在区间（１上至少存在一个正解．ｃｎ三０，］关键词：ｅａ．ｃａｄｒ择定理；不动点定理；奇异边值问题；正解的存在性ＬｒｙＳｈｕｅ抉锥
第５０卷
第４期
吉林大学学报（理学版）
Ｖｏ．Ｎｏ．１５０４
ｎＵｉｒｉＳｉｃｄｔｎｏｒａｏｌｎｅｓｙ（ｃｅｅＥｉｏ）Ｊｉｖｔｎｉ
Ｊｌ２１ｕｙ０２
一
维奇异ＰＬｐａｉｎ三点边值问题正解的存在性．ａｌｃａ
Ｐ－ｐａｉｎＴｈｅ－ｉｔＢｏｎａｙＶａｕｏｌｍｓＬａｌｃａｒｅＰｏｎｕｄｒｌｅＰｒｂｅ
ＢＡｉＩＪｅ，Ｚｉ，ＵＬ

时间测度上一类三点边值问题两正解的存在性

［摘
要］利用不动点指数定理，立了时间测度上一类非线性二阶三点边值问题至少两正解的充分条建
件，给出了具体实例以说明其应用．并
［键词］时间测度；值问题；解；关边正不动点指数定理［图分类号］Ｏ１５１中７．２［献标识码］Ａ文［章编号］１７—４４２１）４００ —６文６２１５（０００—１２０
定义１１实数的任意非空闭子集叫时间测度（ｉｃｌ）设丁为时间测度，．Ｔｍｅｓａｅ．前跳算子：卜
定义为
（）ｎ｛Ｔ：一ｉｆＥ＞ｆ；）
丁
后跳算子：Ｔ一了定义为 ’
ｐ一ｓｐ５Ｔ：ｓｆ．（）ｕ｛ ∈ ＜｝
其中（￡，呀ｏｐ丁），０＜Ａ） ≥０ ∈（，（）＜
。；呀一来自１￡（）ｆＥＣ（ｏＴ ×［，ｏ，０ｃ）Ａ２Ｅ，］０ｏ）［，ｏ））
在相应条件下至少二个正解的存在性．
为理解上述边值问题的含义，先简单介绍相关概念口．］
本文利用不动点指数定理，研究了时间测度上一类二阶非线性三点边值问题
（）厂ｆ“ ），ｔｏ］ｆ＋－，（）一０（Ｅ［，，
（Ｏ）一￡（ “ ０），ａ￣ｒ一（ｔ（／）丁），
１１ｌ
（．）１５

一类非线性边值问题正解的存在性研究

Ｊｆ￣ａｍｘ
）（觚口）ｒｄ＜＿ｏ ’ ｏｓ）ｔｒ０。
。
为的上确界范数。定义算子０：ＸＫ为
（ｘ（：ｘｘｔｃｆ｝ＥＸ， ∈Ｃ［，，。Ｏ））ｍａ｛（，（，Ｘｔ）ｏ）（１Ｒ）０］
＝ＪＧ，ａ），Ｂ。ｔｔｍｘ。（）ｓｓＪａ），ａｔ（ｄｓ（ｄ
ｆ（ｒ＝ｍｘ（，（）ｍａｌＪ（））ｄ２ｔ）。ａｆｔ），＝畦ｘ。ｔｎｒ，，，．Ｇ，（（）ｓｆ＜
证算子具有锥映射性质，更不易得出锥拉伸锥压缩的效果。为此，本文考虑将上下解方法与锥映射结合起来，出正解存在的判据。献［—］给文１３中对厂ｆ）（ “ ，
ｒｏ
ｐ
Ｊ｛＋
＼ｌ
０Ｓｔ≤ １
（）＝Ｊ（）（（ｆ口）（ ≤ ｆＧ，（厂）））
令＝Ｃ［，，）（１Ｒ，Ｋ＝ ∈Ｘ：（０，・定义０］ｘｔ｝ｌｌ）ｌｌ
ｊ（）（ｒｓｆ口）ｏＧ，（，ｄ）
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第２３卷第３期２００８年５月
海军航空工程学院学报
ＪｕｎｌｆｖｌｒｎｕｉａｎｔｏａｔａｉｅｓｔｏｒａａｏａｔｃｌｄＡｓｎｕｉｌｏＮａＡｅａｒｃＵｎｖｒｉｙ
考虑边值问题
【，（）（）（＝（删，＝＇（ｕｆｐＯ０ “ ） “ ０ｕ）１＋（１ ’ １））ａＯ－，ｌ

一阶非线性常微分方程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理

⼀阶⾮线性常微分⽅程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理上⼀节简单介绍了可求解的⼀阶常微分⽅程的解法，因为⼤部分⾮线性⽅程是不可解的，所以需要给出解的存在性的证明。

本节主要介绍⼀阶⾮线性常微分⽅程Cauchy问题（E）dydx=f(x,y),y(x0)=y0.解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的书上称它为Cauchy-Lipschitz定理）. 对⼀阶常微分⽅程解的存在性理论作出重要贡献的数学家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得关注。

据传Picard证明Picard—Lindelof定理的原始论⽂⾜⾜有三四百页，后来数学家Banach把Picard的⽅法抽象出来证明了著名的Banach不动点定理。

Banach不动点定理是分析学中最重要的定理之⼀，也是⽤的最多的定理之⼀，它在线性⽅程组求解迭代⽅法的收敛性、常微分⽅程的两点边值问题、隐函数定理、Lax-Milgram定理甚⾄代数⽅程解的存在性等问题中均有重要应⽤。

许多微分⽅程（组）通过转化为等价的积分⽅程再利⽤不动点理论来证明解的存在性。

本节也采⽤这⼀框架来探索⽅程（E）解的存在性。

为此，⾸先利⽤Picard迭代给出Banach不动点定理的证明。

定理1 (Banach) 设X为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），f:X→X为压缩映射，即存在常数k,0<k<1，对任意x,y∈X有‖f(x)−f(y)‖≤k‖x−y‖,则映射f:X→X有且只有⼀个不动点x∈X.证明：任取x0∈X，构造Picard迭代x n+1=f(x n),n≥0.则‖x n+1−x n‖=‖f(x n)−f xn−1‖≤k‖x n−x n−1‖≤⋯≤k n‖x1−x0‖.设m>n≥0，由三⾓不等式和上式得‖x m−x n‖≤m−1∑p=n‖x p+1−x p‖≤k n1−k‖x1−x0‖,当m,n→∞时，‖x m−x n‖→0, 故序列{x n}为Cauchy列，由X的完备性知存在x∞∈X使得lim f:X\to X满⾜Lipschitz条件，显然连续.故x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).存在性得证。

一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性

一
（）ＥＣ［，］［，）且不恒为零．Ｈ２ａ（Ｏ１，Ｏ＋∞ ）
提的是，不仅获得边值问题（，）１２正解（非平凡的
１预备引理
引理１３设ａ ≠ １则对于任意给定的ｈ［６， ∈ ｃｏ１，［，３边值问题
、
ｑａｉｎｗａｔｄｅｙｕｉｇｍｏｏｏｉｔｒｔｎｍｅｈｄＮｏｎｙｔｅｅｉｔｎｅｏｏｉｖｏｕｉｎｗａｕｔｓｓｕｉｄｂｓｎｔｎｃｉｅａｉｔｏ．ｏｎｏｔｏｌｈｘｓｅｃｆｐｓｔｅｓｌｔｓｉｏ
ｎ）ａ
Ａｂｔａｔｌｓｆｏｌｅｒｔｒｅｐｉｔｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｆｈｒ－ｒｅｒｉａｙ￣ｆｅｅｔｌｅｓｒｃ：Ａｃａｓｏｎｉａｈｅ－ｏｎｕｄｒａｕｒｂｅｏｉｏｄｒｏｄｎｒｌｆｒｎｉ＿ｎｎｂｔｄｉａ
一
类非线性三阶三点边值问题正解的存在性
孙建平，曹
（．１兰州理工大学理学院，甘肃兰州
珂
７０１）３００
７０５；．３００２甘肃联合大学师范学院，甘肃兰州
摘要：运用单调迭代法研究一类非线性三阶常微分方程三点边值问题，不仅获得其正解的存在性，还给出正解的两
工具的．譬如，６考虑如下三阶三点边值问题文［］
（）￡＋口（）厂（）＝０ｔ（￡）（）Ｏ一（）０一Ｏｔ（１ＥＯ，）（）１（）２Ｕ（）口（）ｔ１＝１７

一类半线性三阶两点边值问题的解和正解

一类半线性三阶两点边值问题的解和正解泛函分析中令人欣喜的结果之一是，当一个未知函数在两点处的某些特定值已被给出时，可以使用有限的数学方法求解该函数。

这类问题称为边值问题，其中最简单的例子是一阶边值问题。

半线性三阶边值问题是边值问题中最重要的一类问题，它刻画了一类具有某些特殊性质的积分方程。

在这类问题中，函数的两个范围值及其在每一点处的一阶导数被给定，而函数的解的求解就成了一个重要的问题。

本文的主要内容是讨论一类半线性三阶两点边值问题的解和正解。

首先，我们引入了这一类问题的基本框架，它是一个带有两个边界点的积分方程。

接下来，我们使用变分法对三阶半线性边值问题建模，并给出了该问题具体的解法。

我们利用拉格朗日乘子转换将边值问题转化为一系列最优化问题，然后计算每个点的导数，从而可以确定函数的一阶线性近似。

最后，我们提出了一种基于平方拟合的正解方法，通过计算一阶函数两个终点的拟合曲线，以及边界点的函数值拟合，得到了函数的正解。

我们有理由认为，半线性三阶两点边值问题是解决分析问题的一种有效方法，它可以使用有限的计算来处理复杂的数学模型。

本文为该问题的求解提出了变分法和正解，并且通过实验证明了它们的有效性。

以期望值最大化为目标函数，该方法可以获得精确的解，这一结果被广泛应用于大量的统计学和机器学习问题中。

未来，我们希望更多地探讨半线性边值问题的分析和求解。

例如，除了上述可行的解和正解方法之外，其他变分和正解的求解算法也可能有更高的精度。

我们也可以尝试研究半线性三阶两点边值问题的多维拓展，以期带来更多的应用价值。

总之，本文主要讨论了一类半线性三阶两点边值问题的解和正解。

我们建模了半线性三阶边值问题，并引入了变分法和正解方法求解该类问题；进一步，该方法可用于统计学和机器学习问题中。

未来，我们将继续完善此求解方法，以期获得更准确的解和正解。

三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究

目录中文摘要 (1)英文摘要 (3)第一章绪论 (5)1.1研究背景及本文的主要工作 (5)1.2预备知识 (5)第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性 (7)2.1引言 (7)2.2预备知识和引理 (8)2.3主要结果及证明 (14)第三章三点边值问题多解的存在性 (25)3.1引言 (25)3.2上下解与度理论,变分方法 (26)3.2.1上下解 (26)3.2.2上下解与度理论 (29)3.2.3上下解与变分方法 (31)3.3多解及变号解的存在性 (38)参考文献 (50)在读期间发表的学术论文 (54)致谢 (55)山东师范大学硕士学位论文三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究董瑶(山东师范大学数学与统计学院,济南,山东,250358)摘要近年来,在微分方程领域,三点边值问题在物理、化学、生物学等学科内一直被广泛应用,在如今科技迅速发展的时代,边值问题的应用更加普遍.随着对微分方程三点边值问题需求的提高,学者们关于三点边值问题的正解的研究也逐渐深入.但是我们发现,迄今为止,对于三点边值问题的多个解,无穷多解,以及变号解的研究文章却是少之又少.本文也将围绕着三点边值问题解的情况展开研究,我们首先对于特殊的三点边值问题的正解展开研究,其次,对于更加一般的三点边值问题,我们将研究它的多解的情况.第一章,我们介绍了三点边值问题的研究背景,本文主要做的工作以及一些预备知识.第二章,我们考虑如下三点边值问题：{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,并且λ是一个正参数.本章建立了针对三点边值问题的上、下解定理,并主要应用此定理,结合比较原则、第一特征值第一特征函数、Arzela-Ascoli引理等知识,在问题中的K,a,η,λ处于不同范围时,我们得出带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性等结论.在第三章,我们研究如下问题,{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).在本章,我们进行了对于三点边值问题多解的存在性研究.首先,我们定义了针对此问题的广义的上下解定义,其次为建立上下解方法与度理论的联系,我们给出了严格上下解的定义,并在上下解存在的情况下,利用度理论给出了三个解的存在性结论.此外,我们将上下解方法与变分方法结合,在空间W1,2((0,1))1中,将上述问题转化成为了能量泛函,通过求该泛函的临界点,得到了三点边值山东师范大学硕士学位论文问题解的存在性结论.我们利用此方法,通过改变条件,得出了三点边值问题的四个解、五个解以及变号解的存在性结论.另外,当右端项f(t,u(t))具有特殊形式时,我们得出问题具有无穷多个解的结论.关键词:三点边值问题;多解;上下解;度理论;变分方法.分类号:O175.8山东师范大学硕士学位论文The Existence,Uniqueness and MultipleSolutions of Three-point Boundary ValueProblemsYao DongInstitute of Mathematics and Statistics,Shandong Normal UniversityJinan,Shandong,250358,P.R.ChinaABSTRACTIn recent years,in the field of differential equations,the three-point boundary value problem has been widely used in physics,chemistry,biology and other fields. In the era of rapid development of science and technology,the application of the three-point boundary value problem is more and more common.With the increasing demand for three-point boundary value problems of differential equations,many scholars have gradually deepened their research on the positive solutions of three-point boundary value problems.However,we find that there are very few studies on multiple solutions,infinite solutions and sign-changing solutions of three-point boundary value problems.In this thesis,we will study the solutions of three-point boundary value problems.Firstly,we will study the positive solution of special three-point boundary value problems.Secondly,for more general three-point boundary value problems,we will obtain the existence of its multiple solutions.In the Chapter1,we introduce the background of three-point boundary value problems and the main work of this paper,and we give some preliminary knowledge.In the Chapter2,we consider the three boundary value problems{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),where K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,andλis a positive parameter.In this chapter,we establish the upper and lower solution theorem for the three-point boundary value problems,and combine this theorem with the knowledge of comparison principle,eigenvalues and corresponding eigenfunctions,and Arzela-Ascoli lemma.When K,a,ηandλare in different ranges,we obtain the existence, uniqueness,and dependence of the solutions on the three-point boundary value problem with singular nonlinear terms.山东师范大学硕士学位论文In Chapter3,we study the following problem{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).In this chapter,we make a study on the existence of multiple solutions to the three-point boundary value problem.Firstly,we define a generalized definition of the upper and lower solutions for this problem.And secondly,to establish the connection between the upper and lower solution method and degree theory,we give the definition of the strictly upper and lower solutions.In the presence of the upper and lower solutions,the existence of three solutions is given by using the degree theory.In addition,we combine the upper and lower solution method with the variational method.In space W1,2((0,1)),we transform the above problem into1an energy functional.By finding the critical point of the functional,we obtain the existence conclusion of the solution of the three-point boundary value problems. We use this method to obtain the existence of four solutions,five solutions,and sign-changing solutions for the three-point boundary value problem by changing the conditions.In addition,when the right term f(t,u(t))with special forms,we obtain that the problem has infinitely many solutions.Keywords:three-point boundary value problem,multiple solutions,upper and lower solutions,degree theory,variational method.Classification:O175.8山东师范大学硕士学位论文第一章绪论1.1研究背景及本文的主要工作最初的微分动力系统理论,是在经典力学蓬勃发展的背景下发展起来的.众所周知,Newton开创了一套体系相对完备的经典力学理论,他和Leibniz创立了微积分的理论基础,这部分数学与物理的发展是相辅相成的.在处理许多物理问题中,人们首先想到的是微分方程,这与经典力学理论与微分方程的共同发展是脱不开关系的.微分方程初值问题和边值问题是微分方程理论研究的重要课题,其中初值问题仅与定义域中的某一点有关,而边值条件至少与定义域中的两个不同的点有关.自然界中的许多物理现象都可以归结为一些典型的方程来研究.因此,研究三点边值问题解的情况就显得非常必要.再者,奇异边值问题起源于化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料中的热传导理论的研究,应用前景也逐渐广泛,如大气对流、边界层流动、天体运动等,因此具有奇异性的微分方程边值问题解的研究也成为重要的研究方向之一．在目前的研究中,绝大部分是通过利用锥上的不动点定理来证明解的存在性以及多解性.而我们发现,上、下解方法对于研究边值问题的解也有很重要的作用.上下解方法在两点边值问题中的研究已较为广泛,但在三点边值问题中的应用相对较少,且大多条件较为严格.所以如何把已有的较为成熟的两点边值问题的上下解方法应用到三点边值问题中,并且适当减少所需条件从而得出解的相关结论,是本文需要重点考虑的问题之一.此外,拓扑度理论对于研究三点边值问题解的存在性也非常有用,我们还将将上下解方法与拓扑度理论相结合,借助拓扑度的计算,来得出三点边值问题多个解存在的结论.而我们通过阅读大量的文献发现,关于两点边值问题和椭圆形边值问题经常有无穷多解方面的理论结果，而三点边值问题无穷多个解的存在性还未被研究过，我们计划将上下解方法与变分方法结合,将边值问题转换成一个能量泛函,然后通过寻找能量泛函的临界点来证明此临界点是原问题的解,从而得出相关的结论.1.2预备知识本文中,我们将用到以下空间符号：C([0,1])是[0,1]上连续函数u(t)的全体,‖u‖=max|u|∞,山东师范大学硕士学位论文C 1([0,1])={u :[0,1]→R |u (t )在[0,1]上连续可微},‖u ‖=max {|u |∞,|u ′|∞},其中|u ′|∞=max t ∈[0,1]|u ′(t )|.显然,C 1([0,1])是一个Banach 空间.W 2,1((0,1))是函数集,若u ∈W 2,1((0,1)),则u ∈C 1([0,1]),且二阶弱导u ′′∈L 1(0,1).W 1,21((0,1))={u ∈W 1,2((0,1))|u (0)=0,u (1)=au (η)}.此空间相应的范数为||u ||=(∫︀10|u ′|2dt )12.Arzela-Ascoli 引理对于我们解决文章中的问题是非常重要的.引理1.2.1.(Arzela-Ascoli 引理)[39]任何定义在区间[a,b ]上的一致有界且等度连续的函数族{f (x )},必可从中选出一个在此区间上一致收敛的子列.下面是关于线性方程{︃−x ′′(t )=λx (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(1.1)的特征值和特征函数的相关引理.引理1.2.2.[30]问题(1.1)的频谱由一组严格递增的特征值序列λk >0,k =1,2,···组成,特征函数φk =sin(λ12k t ).此外,(i)lim k →+∞λk =+∞;(ii)φk (t )在(0,1)内有k −1个简单零点,k =2,3,···并且φ1在(0,1)上严格为正.在文献[9]中,作者对微分方程{︃−x ′′(t )=f (t,x (t )),0<t <1,x (0)=ax (η),x (1)=0建立了最大值原理.引理1.2.3.假设0<η<1,且F ={x ∈C [0,1]∩C 2(0,1),x (0)−ax (η)≥0,x (1)≥0}.若x ∈F 使得−x ′′(t )≥0,t ∈(0,1),那么x (t )≥0,t ∈[0,1].山东师范大学硕士学位论文第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性2.1引言本章中,我们研究以下三点边值问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.1)其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,p,q>0,并且λ是一个正参数.我们在p,q处于不同范围下展开研究,分别是0<p,q<1,0<p<1的情况.1987年,Ilin和Moiseev开始对非线性二阶m点边值问题展开研究[19,20].从那以后,出现了许多关于一般非线性多点边值问题解的存在性结果,见文献[10], [14],[23],[30]及它们的参考文献.例如,2007年,Rynne[30]采用Rabinowitz bifur-cation理论研究了以下问题：⎧⎪⎨⎪⎩−u′′=f(u),on(0,1),u∈R×X, u(0)=0,u(1)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),其中,m≥3,ηi∈(0,1),αi>0,m−2∑︁i=1αi<1且f(0)=0.Rynne在文中给出了该问题变号解的存在性.2008年,Rynne利用半特征值法和Fuˇc ik光谱理论研究了如下问题的可解性和不可解性：{︃−u′′=f(u)+ℎ,on(0,1),u(0)=0,u(1)=αu(η),我们知道,上下解方法对于研究边值问题是非常重要的,见文献[3],[6],[8],[26], [27],[32],[33],[36],[37],[16].因此,建立上下解方法对于研究三点边值问题是重要且有必要的.2007年,杜新生和赵增勤[9]研究了如下三点边值问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0,其中,0<a<1,0<η<1.在f不减的条件下,作者利用单调迭代技巧和上下解方法得出了正解存在的充要条件.2008年,在f递减的条件下,二人[10]又研究了山东师范大学硕士学位论文如下m点边值问题,⎧⎪⎨⎪⎩−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1), u(0)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),u(1)=0.作者通过构造问题的上下解得出了问题正解的存在和唯一性结果.同年,韦忠礼在[33]中构造了三点边值问题的上下解,并且给出问题{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0.的正解存在的充要条件.另一方面,奇异边值问题出现在化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料的热传导理论中,见文献[2,4,5,7,11,31].史俊平[31]应用上下解方法研究了下述问题,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−Δu+K(x)u−q=λu p,x∈Ω, u(x)>0,∀x∈Ω,u|ðΩ=0,其中K∈C2,β(Ω),p,q∈(0,1),且λ是一个正参数.K(x)在不同情况下,史俊平得到了获得了问题古典解的存在唯一性.受上述文献启发,对于不同的λ,当p,q和K(t)在不同情况下,我们将得出问题(2.1)正解的存在性和唯一性.2.2预备知识和引理在本节,我们首先研究以下带导数的三点边值问题，{︃−x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.2)其中,η∈(0,1),0<a<1,且f∈[0,1]×R×R.下面,我们给出问题(2.2)的上下解的定义.定义2.2.1.如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t),α′(t)),t∈(0,1),α(0)≤0,α(1)≤aα(η),(2.3)那么α(t)称为问题(2.2)的一个下解.通过改变上述问题中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.山东师范大学硕士学位论文如果问题(2.2)存在一个上解α(t)和一个下解β(t)满足α(t)≤β(t),那么,我们称(α(t),β(t))为问题(2.2)的一对上下解.设Dβα={(t,x)∈(0,1)×R+|α(t)≤x≤β(t),t∈(0,1)}.引理2.2.1.假设ℎ∈L1(0,1).那么在C[0,1]内，对于每一个λ>0,问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=αx(1)(2.4)都有唯一解.证明:假设v1(t)和v2(t)分别满足{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x′(0)=1和{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(1)=0,x′(1)=−1.定义G(t,s)=1ω{︃v2(t)v1(s),0≤s≤t≤1,v1(t)v1(s),0≤t≤s≤1,且x(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].那么−x′′(t)+λx(t)=−1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]′′−e′′1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=−1ω[v′2(t)v1(t)−v′1(t)v2(t)]ℎ(t)−1ω[λ∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+λ∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t)−λ1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t),t∈(0,1),山东师范大学硕士学位论文并且x(1)−αx(η)=∫︁10G(1,s)ℎ(s)ds+e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=0.因此,x(t)是问题(2.4)的一个C[0,1]解.因为λ>0,问题(2.4)有唯一的C[0,1]解.证毕.定理2.2.1.设α,β∈C([0,1])∩C1(0,1)是(2.2)的一组上下解,满足α≤β.设ψ∈L1[0,1],并且φ:R+→R+0是一个连续函数，满足∫︁∞01φ(s)ds=+∞.(2.5)假设f:Dβα×R→R是一个L1-Carath´e odory函数，使得|f(t,x,v)|≤ψ(t)φ(|v|),∀(t,x)∈Dβα,v∈R.(2.6)那么问题(2.2)至少有一个解x∈C1[0,1]使得对于∀t∈[0,1],α(t)≤x(t)≤β(t).证明:我们的证明分为以下五步.一.我们考虑一个新的问题.由(2.5),存在一个足够大的R>0使得∫︁R 01φ(s)ds>‖ψ‖1.(2.7)并且(2.6)保证了存在一个N∈L1[0,1]使得|f(t,x,v)|≤N(t),∀(t,x)∈Dβα,|v|≤R.(2.8)定义χ(t,x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩α(t),x<α(t),x,α(t)≤x≤β(t),β(t),x>β(t),(2.9)g(t,x,v)=max{min{f(t,χ(t,x),v),N(t)},−N(t)}.(2.10)选择一个λ>0,考虑新边值问题{︃−x′′(t)+λx=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.11)山东师范大学硕士学位论文其中0<a<1,0<η<1.二.我们考虑问题(2.11)的C1[0,1]解得存在性.引理2.2.1保证了对于∀ℎ∈L1[0,1],线性问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ,t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η)有唯一的C[0,1]解v(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].对于x∈C1[0,1],我们定义(F x)(t)=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈[0,1],(T x)(t)=∫︁10G(t,s)(F x)(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)(F x)(s)ds,s∈[0,1].由(2.9)和(2.10),我们可以得到|g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t))|≤N(t)+λmax{supt∈[0,1]|α(t)|,supt∈[0,1]|β(t)|},这表明函数属于集合{(T x)(t):x∈C1[0,1]}且{(T x)′(t):x∈C1[0,1]},且函数有界并等度连续.Arzela-Ascoli定理保证了T C1[0,1]是相对紧集.T的连续性证明成立.应用Schauder不动点定理,我们可以证明T至少有一个不动点x∈C1[0,1].三.(2.11)的解满足α(t)≤x(t)≤β(t).我们只需证明对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).事实上,假设存在一个t0∈[0,1)使得x(t0)>β(t0).因为x(0)=0≤β(0),t0>0.设w(t)=x(t)−β(t), t∈[0,1].则w(0)≤0,w(t0)>0.设t*=sup{t|w(s)>0,s∈[t0,t]},t*=inf{t| w(s)>0,s∈[t,t0]}.显然对于∀t∈(t*,t*)都有w(t)>0,w(t*)=0且w(t*)≥0.如果w(t*)=0,那么存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).如果w(t*)>0,显然t*=1且w(1)=x(1)−β(1)>0.因为w(η)=x(η)−β(η)=1a(x(1)−β(1))=1a w(1)>w(1),所以也存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).因此,w′(t′)=0(i.e.,β′(t′)=x′(t′))并且−w′′(t′)≥0.另一方面,因为−w′′(t′)=β′′(t′)−x′′(t′)≤−f(t′,β(t′),β(t′))+g(t′,x(t′),x′(t))+λχ(t′,x(t′))−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+max{min{f(t′,β(t′),β′(t)),N(t)},−N(t)} +λβ(t′)−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+f(t′,β(t′),β′(t′))+λβ(t′)−λx(t′)=λ(β(t′)−x(t′))<0,山东师范大学硕士学位论文矛盾.同理可证对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).因此,由(2.10),x满足{︃−x′′(t)=g(t,x(t),x′(t))=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)},t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η).(2.12)四.(2.11)的解满足|x′|∞≤R.相反地,假设存在一个t′∈(0,1)使得|x′(t′)|>R.不失一般性,我们假设x′(t′)>R.因为当0<a<1时,x(0)=0,x(1)=ax(η),所以存在一个t0∈(0,1)使得x′(t0)=0.不失一般性,对于∀t∈(t′,t0),我们假设x′(t)>0.观察到对于∀(t,x)∈Dβα,v∈R,max{min{f(t,x,v),N(t)},−N(t)}≤ψ(t)φ(|v|).那么,由(2.12),我们有∫︀R 01φ(s)ds=|∫︀x′(t′)x′(t0)1φ(s)ds|=|∫︀t0t′1φ(x′(t))dx′(t)|=|∫︀t0t′x′′(t)φ(x′(t))dt|=|∫︀t0t′g(t,x(t),x′(t))φ(x′(t))dt| =∫︀t0t′ψ(t)φ(x′(t))φ(x′(t))dt=∫︀t0t′ψ(t)dt=‖ψ‖1.这与(2.7)矛盾.因此|f(t,x(t),x′(t))|≤N(t),又因为u∈[α,β],我们得到g(t,x(t),x′(t))=f(t,x(t),x′(t)),∀t∈(0,1).五.我们证明x(t)满足问题(2.2).因为|x′|∞≤R,α(t)≤x(t)≤β(t),由(2.8),(2.10),(2.12),我们可以得到{︃−x′′(t)=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)}=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),也就是说,x(t)是问题(2.2)的一个C1[0,1]解.证毕.现在我们考虑下述问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.13)山东师范大学硕士学位论文其中η∈(0,1),0<a<1且f∈[0,1]×R×R.下面我们给出(2.13)的上下解的定义.定义2.2.2.[36]如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)且满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t)),t∈(0,1),(2.14)α(0)≤0,α(1)≤aα(η),那么函数α(t)称为(2.13)的一个下解.通过改变问题(2.14)中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.通过定理2.2.1,我们可以得到下述结论.推论2.2.1.假设存在问题(2.2)的一个下解α(t)和一个上解β(t),使得对,都于∀t∈[0,1],有α(t)≤β(t),并且存在F∈L1[0,1]使得对于∀(t,x)∈Dβα有|f(t,x)|≤F(t),那么问题(2.13)至少有一个C[0,1]解x(t),满足α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1].注2.2.1.这个结论在文献[33]中出现过,我们的定理改进了先前文献中的结论.引理2.2.2.假设f:(0,1)×[0,+∞)→R是一个连续函数,使得当s>0时,对于∀t∈(0,1)都有s−1f(t,s)严格递增.设w,v∈C[0,1]∩C2(0,1)满足(a)w′′+f(t,w)≤0≤v′′+f(t,v),t∈(0,1);(b)w,v>0,t∈(0,1)且w(0)≥v(0),w(1)≥aw(η),v(1)≤av(η);(c)v′′∈L1[0,1].那么w(t)≥v(t),t∈[0,1].证明:由v′′∈L1(0,1),我们可以知道v′(0+)和v′(1−)存在并且v∈C1[0,1].假设在[0,1]上v(t)≤w(t).不失一般性,我们假设存在t0∈(0,1)使得v(t0)−(v(t)−w(t))>0.设w(t0)=max0≤t≤1t*=inf{t1|0≤t1<t0,v(t)>w(t),t∈(t1,t0)},t*=sup{t2|t0≤t2<1,v(t)>w(t),t∈(t0,t2)}.显然0≤t*<t*≤1,且v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),其中D+表示Dini导数.对于t*≤1,有三种情况.(1)t*<1.那么v(t*)=w(t*),v′(t*)≤w′(t*),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t).(2)t*=1且v(t*)=w(t*),v′(t*−)≤D−w(t*−),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t),其中D−表示Dini导数.(3)t*=1且v(t*)>w(t*),对于∀t∈(t*,t*],v(t)>w(t).因为v(1)−w(1)≤山东师范大学硕士学位论文a(v(η)−w(η))<v(η)−w(η),所以存在t′∈[η,1]使得v(t′)−w(t′)>0,(v(t′)−w(t′))′<0.综上,存在一个t′>t*使得v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),v(t′)≥w(t′),v′(t′−)≤D−w(t′−),且v(t)>w(t),∀t∈(t*,t′).设y(t)=v′(t)w(t)−w′(t)v(t),t∈(t*,t′),那么我们可以得到lim t→t*+inf y(t)≥0≥limt→t′−sup y(t).(2.15)另一方面,对于t∈(t*,t′),我们有y′(t)=w(t)v′′(t)−w′′(t)v(t)=−w(t)f(t,v(t)+v(t)f(t,w(t))=w(t)v(t)(f(t,w(t))w(t)−f(t,v(t))v(t))≥0,并且在(α,β)内y′(t)≡0.这表明y(t′)>y(t*),这与(2.15)矛盾,所以v(t)≤w(t).证毕.利用文献[9]中类似的方法,我们可以建立下述极大值原理,这可以应用在我们正解的唯一性证明中.引理2.2.3.(极大值原理)假设0<η<1,且F={x∈C[0,1]∩C2(0,1),x(1)−ax(η)≥0,x(0)≥0},如果对于∀t∈(0,1),x(t)∈F时都有−x′′(t)≥0,那么x(t)≥0,t∈[0,1].2.3主要结果及证明定义K*=maxt∈[0,1]K(t),K*=mint∈[0,1]K(t).定理2.3.1当K*>0时,(i)若0<p,q<1,存在λ>0使得对于λ>λ,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)对于λ>λ,(2.1)有一个极大解xλ(t)并且xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.16)山东师范大学硕士学位论文其中0<q,p <1,K ∈C [0,1],K *>0,0<a <1,0<η<1,且λ是一个正参数.在[9]中,当f (t,x )关于x 递增时,问题{︃−x ′′(t )=f (t,x ),t ∈(0,1),x (0)=ax (η),x (1)=0有唯一C 1[0,1]正解.因此,我们可以假设x *(t )是问题{︃−x ′′(t )=x p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(2.17)的唯一C 1[0,1]正解,其中0<a <1,0<η<1.令β(t )=λ11−p x *(t ),则−β′′(t )+K (t )β−q (t )=λ11−p x *(t )+K (t )λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x *(t )+K *λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x p *(t ),λβp (t )=λ11−p x p *(t ).因此,−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ).结合(2.17)我们可以得到{︃−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ),t ∈(0,1),β(0)=0,β(1)=aβ(η).因此,β(t )是问题(2.16)的一个上解.设α(t )=Mϕ21+q1,其中M 是一个正实数,且ϕ1是第一特征函数.那么−α′′(t )+K (t )α−q(t )=−2M 1+q ϕ1−q1+q1(t )ϕ′′1(t )+K (t )M q ϕ2q 1+q 1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q1+q 1=2λ1M 1+q ϕ21+q1+K (t )M qϕ2q 1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q 1<2λ1Mϕ21+q 1+K *M q ϕ2q1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.由引理2.2.1我们有ϕ1(t )=sin(√λ1t ),ϕ′1(t )=√λ1cos(√λ1t ).因此我们可以得到，存在δ0>0和b ∈(0,1)使得|ϕ′1(t )|=|√︀λ1cos(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[0,b ),|ϕ1(t )|=|sin(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[b,1].(a )在[0,b )上,选择M ≥M 1=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q,那么我们有K *M q ϕ2q 1+q1≤2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.山东师范大学硕士学位论文(b )在[b,1]上,选择M ≥M 2=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q ,那么我们有K *M q ϕ2q1+q1≤λ1M 1+qϕ21+q 1.固定M =max {M 1,M 2},则−α′′(t )+K (t )α−q(t )≤3λ1M 1+q ϕ21+q 1,λαp (t )=λM pϕ2q 1+q1.令λ0=3M 1−q1+q|ϕ1|2−2p1+q ∞,我们有3Mλ11+q ϕ21+q 1<λM p ϕ2p 1+q1,∀λ>λ0.因此,∀λ>λ0,−α′′(t )+K (t )α−q (t )<λαp (t ).由引理2.2.1,α(0)=Mϕ21+q1(0)=0,α(1)=Mϕ21+q1(1)=M [aϕ1(η)]21+q=Ma21+qϕ21+q 1(η)<aMϕ21+q1(η)=aα(η).令λ2=(M |ϕ1x *|∞|ϕ1|1−q 1+q∞)1−p.那么对于∀λ>λ2,α(t )=Mϕ21+q1(t )≤λ11−p x *(t )=β(t ).因此我们选择λ=max {λ0,λ2},且λ>λ,则(α(t ),β(t ))是问题(2.16)的一对上下解.我们令F (t )=λβp +K *β−q ,则对于∀(t,x )∈D βα,|f (t,x )|≤F (t ),则F (t )∈L 1[0,1].由推论2.2.1,对于λ>λ,问题(2.16)至少有一个C [0,1]正解x (t )满足α(t )≤x (t )≤β(t ).(ii)(极大解的存在性)我们观察以下问题,{︃−x ′′(t )=λx p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η).(2.18)由[9],对于∀λ>0,我们记问题(2.18)的唯一解是w λ(t ).在(i)中,我们得到了问题(2.16)的解x λ(t ),则w ′′λ(t )+λw pλ(t )=0<x ′′λ(t )+λx p λ(t ),并且x −1f (t,x )=λx p −1λ(t )关于x 递减.由(i),x λ(t )∈L 1[0,1].由引理2.2.3,我们可以得到x λ(t )≤w λ(t ).设Ωj =[1i 0+j,1),j =1,2,···,且对于j =1,2,···,w j (t )是问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x ′′(t )+K (t )w −q j −1(t )=λw p j −1(t ),t ∈Ωj ,x (t )=w j −1(t ),t ∈[0,1i 0+j),x (1)=ax (η)(2.19)的解,w 0(t )=w λ(t )在(2.18)中已经被定义.设x λ(t )是(2.16)的解.山东师范大学硕士学位论文在(2.19)中,设j=1我们可以得到⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−w′′1(t)+K(t)w−qλ(t)=λw pλ(t),t∈Ω1,w1(t)=wλ(t),t∈[0,1i0+j),w1(1)=aw1(η).(2.20)结合(2.18)我们可以得到t∈Ω1时,w′′1(t)−w′′λ(t)≥0.由极大值原理,我们可以得到w1(t)≤w0(t)=wλ(t).同样地,我们可以得到w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t).下面,我们观察问题(2.16),结合(2.20)我们得到−w′′1(t)+x′′λ(t)+K(t)(w−qλ(t)−x−qλ(t))=λ(w pλ(t)−x pλ(t))≥0,因此当t∈Ω1时,x′′λ(t)−w′′1(t)≥0.由极大值原理易证当t∈[0,1]时,xλ(t)≤w1(t).同样的方法,我们可以得到xλ(t)≤w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t),t∈[0,1].此外,我们有{w j(t)}j∈N下方有界,且被xλ(t)界定.因为w j(t)是问题(2.18)的解,所以−w′′j (t)=λw pj−1(t)−K(t)w−qj−1(t)≤λw pj−1(t)−K*w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj(t).假设t0∈(0,1),w j(t0)=max0≤t≤1w j(t),则w′j(t0)=0,且w j(t)在(t,t0)上递增.对于−w′′j (t),从t到t0进行积分,可以得到∫︁t0t−w′′j(s)ds≤∫︁t0t[λw p+qj−1(s)−K*]w−qj(s)ds.所以w′j (t)w qj(t)≤λw p+qj−1(t0)−K*.同样地,通过对−w′′j(t)从t0到t上进行积分,我们也可以得到|w′j (t)w j(t)|≤λw p+qj−1(t0)−K*.对于给定的t1,t2∈[0,1],我们可以得到∫︁t2 t1w′j(s)w qj(s)ds≤∫︁t2t1|w′j(s)w qj(s)|ds≤∫︁t2t1[λw p+qj−1(t0)−K*]ds.我们可以找到一个足够大的K使得|λw p+qj−1(t0)−K*|<K.那么∫︀t2t1w′j(s)w qj(s)ds≤K|t2−t1|,|w q+1j (t2)−w q+1j(t1)|≤K|t2−t1|.(2.21)我们定义算子I(w)=w q+1,则I−1(w)=w1q+1.由(2.21)可知{I(w j(t))}j∈N 在[0,1]上一致有界且等度连续.显然,I−1在有界闭域Ω上一致连续,即对于∀ε> 0,存在一个δ>0使得当w1,w2∈Ω时,|w1−w2|<δ,我们得到|I−1(w1)−I−1(w2)|<ε.因为0<w j(t)<w0(t),所以存在一个M>0使得w j(t)∈(0,M].山东师范大学硕士学位论文由(2.21),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t 1−t 2|<δ′时,|w q +1j (t 2)−w q +1j (t 1)|<δ.所以,∀ε>0,存在δ′>0,当|t 1−t 2|<δ′时,|w j (t 2)−w j (t 1)|=|I −1(w q +1j (t 2))−I −1(w q +1j (t 1))|<ε.因此{w j (t )}j ∈N 等度连续.由Arzela-Ascoli 引理得出,存在子列{w j k (t )}j k ∈{j }使得lim j k →+∞w j k (t )=x λ(t ).不失一般性,我们设lim j →+∞w j (t )=x λ(t ),t ∈[0,1].(2.22)接下来,我们将证明x λ(t )是问题(2.16)的C [0,1]正解.固定t ∈(0,1)(t =12),那么w j (t )可以表示为w j (t )=w j (12)+w ′j (12)(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )w −q j −1(s )−λw pj −1(s )]ds.(2.23)固定j ∈N ,由Lagrange 中值定理,存在t n ∈(12,1)使得x λ(1)−w j (12)≤w j (1)−w j (12)=w ′j (t n )(1−12)<w 0(1).所以,存在M 1>0使得|w ′j (t n )|<2M 1.因为{w j (t )}j ∈N 在[0,1]上有界,我们可以假设m <w j (t )<M 2,t ∈[12,t n].|∫︀t n 12−w ′′j (s )ds |=|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K (s )w −q j −1(s )]ds |≤|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K *w −q j −1(s )]ds |≤λM p −K *m −q ,因此|w ′j (12)|−|w ′j (t n )|≤|w ′j (12)−w ′j (t n )|≤λM p 2−K *m −q ,i.e.,|w ′j (12)|≤2M 1+λM p2−K *m −q .所以{w ′j (12)}j ∈N 和{w j (12)}j ∈N均有界.那么它们都有一个收敛子列.不失一般性,我们假设lim j →∞w ′j (12)=r 0.在(2.23)中,t ∈(0,1)时,令j →∞,我们可以得到x λ(t )=x λ(12)+r 0(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )x −q λ(s )−λx pλ(s )]ds,即,−x ′′λ(t )+K (t )x −q λ(t )=λx pλ(t ).所以x λ(t )是问题(2.16)的一个C [0,1]正解.所以x λ(t )是问题(2.16)的一个极大解.下面我们将给出此极大解对于参数λ的依赖性.令H ={μ>0:当λ=μ时,(2.16)有一个C [0,1]正解}.由(i),显然H =∅.令λ1∈H ,且λ=λ1时,x λ(t )是相应的(2.16)的一个极大解.则对于∀λ2>λ1>λ,x ′′λ1(t )+λ1x p λ1(t )≥0,t ∈(0,1).由引理2.2.3可知,在[0,1]山东师范大学硕士学位论文内,xλ1(t)≤wλ2(t).在以上证明中,用xλ1(t)来替换xλ(t),我们发现{︃−x′′λ1(t)+K(t)x−qλ1(t)=λ1x pλ1(t)≤λ2x pλ1,t∈(0,1),−w′′λ2(t)+K(t)w−qλ2(t)≥λ2w pλ2(t).将此与边值条件相结合,可以得到当λ=λ2>λ1时,(xλ1(t),wλ2(t))是问题(2.16)的一对上下解.这可以证明λ=λ2时,xλ2(t)是问题(2.16)的一个解,满足xλ1(t)≤xλ2(t)≤wλ2(t).因此,λ2∈H.另外,由(ii),对于∀λ2>λ1≥λ,都有xλ2(t)≥xλ1(t).证毕.定理2.3.2当K*<0时,(i)若0<p<1,0<q,对于∀λ>0,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)若0<p,q<1,对于∀λ>0,问题(2.1)存在唯一C1[0,1]正解xλ(t).(iii)(ii)中的xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.24)其中q>0,0<p<1,K(t)∈C[0,1],K*<0,0<a<1,0<η<1且λ是一个正参数.我们首先考虑如下这个近似问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=1n ,x(1)=ax(η)+1n,(2.25)其中0<a<1,0<η<1,n≥1.令ε足够小,我们将证明αn(t)=εϕ1(t)+1n是(2.25)的一个下解.事实上,当n足够大时,我们可以得到εϕ1(t)+1n 无限接近于0.因为√λ1∈(π2,3π2)[30],我们可以推出−α′′n (t)+K(t)α−qn(t)−λαpn(t)=λ1εϕ1(t)+K(t)(εϕ1(t)+1n)−q−λ(εϕ1(t)+1n)p<λ1εϕ1(t)−λ(εϕ1(t)+1n)p<εϕ1(t)[λ1−λ(εϕ1(t)+1n)p−1]<0,αn(0)−1n =εϕ1(0)=0,且αn(1)−[aαn(η)+1n]=εaϕ1(η)+1n−aεϕ1(η)−an−1n<0,这表明αn(t)是问题(2.25)的一个下解.接下来,我们将构造(2.25)的一个上解.令β(t)=−Mt2+(M+aM)t+M,山东师范大学硕士学位论文其中M足够大,满足M>{(2λ)11−p,1n(1−a)}.我们可以得到−β′′(t)+K(t)β−q(t)=2M+K(t)[−Mt2+(M+aM)t+M]−q>2M+K*M−q>M,λβp(t)=λ[−Mt2+(M+aM)t+M]p<λ[M(1+a)24+M]p<λ(2M)p,−β′′(t)+K(t)β−q(t)≥λβp(t),β(1)−(aβ(η)+1n )=(a+1)M−a[−Mη2+(M+aM)η+M]−1n >(a+1)M−2aM−1n=M−aM−1n>0,且β(0)−1n =M−1n>0.易知β(t)是问题(2.25)的一个上解.选择F n(t)=λβp−K*α−qn ,那么对于∀(t,x)∈Dβαn,都有|f(t,x)|≤F n(t).易证F n(t)∈L1[0,1].由于ε足够小,且n足够大,所以αn(t)≤β(t).由推论2.2.1, (αn(t),β(t))是问题(2.25)的一对上下解.并且对于∀n∈N,(2.25)至少有一个C[0,1]正解x n(t)满足αn(t)≤x n(t)≤β(t).下面,我们将得出结论,存在子列{x nk (t)}和x(t)使得limn k→∞x nk(t)=x(t).因为β(t)∈C[0,1]∩C2(0,1),所以β(t)有界.因此,{x n(t)}n∈N在[0,1]上一致有界.因为x n(t)是问题(2.25)的一个C[0,1]正解,所以x n(t)满足−x′′n (t)=λx pn(t)−K(t)x−qn(t)≤λx pn(t)−K*x−qn(t)≤[λx p+qn(t)−K*]x−qn(t).假设t0∈(0,1),x n(t0)=max0≤t≤1x n(t),那么x′n(t0)=0,且x n(t)在(t,t0)上递增.对于−x′′n (t),从t到t0进行积分,我们可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].我们可以找到一个K>0使得x′n(t)x qn(t)≤K.并且对−x′′n (t)从t0到t进行积分,可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以−x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].对于上述K,可以得到|−x′n(t)x qn(t)|≤K,即|x′n (t)x qn(t)|≤K.山东师范大学硕士学位论文给定t1,t2∈[0,1],我们得到∫︁t2 t1x′n(s)x qn(s)ds≤∫︁t2t1|x′n(s)x qn(s)|ds≤∫︁t2t1Kds.那么∫︀t2t1x′n(s)x qn(s)ds≤K|t2−t1|,此等式可以写为|∫︁x n(t2)x n(t1)x qn(s)dx n(s)|≤K|t2−t1|,|x q+1n(t2)−x q+1n(t1)|≤K|t2−t1|.(2.26)我们定义算子I(x)=x q+1,则I−1(x)=x1q+1.由(2.26)我们可以得出,在[0,1]内,{I(x n(t))}n∈N一致有界,等度连续.显然在有界闭域Ω内,I−1一致连续,即,∀ε>0,存在一个δ>0使得当x1,x2∈Ω,|x1−x2|<δ时,|I−1(x1)−I−1(x2)|<ε.因为0<x n(t)<β(t),存在一个M>0使得x n(t)∈(0,M].由(2.26),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,有|x q+1n (t2)−x q+1n(t1)|<δ.所以,对于∀ε>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,|x n(t2)−x n(t1)|=|I−1(x q+1n (t2))−I−1(x q+1n(t1))|<ε.因此,{x n(t)}n∈N等度连续,由Arzela-Ascoli引理,存在子列{x nk (t)}使得limn k→+∞x nk(t)=x(t).不失一般性,我们假设limn→+∞x n(t)=x(t),t∈[0,1].(2.27)接下来,我们将证明x(t)是问题(2.24)的C[0,1]正解.固定t∈(0,1)(t=12),x n(t)可以表示为x n(t)=x n(12)+x′n(12)(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−qn(s)−λx pn(s)]ds.(2.28)固定n∈N,由Lagrange中值定理,存在t n∈(12,1)使得αn(1)−x n(12)≤x n(1)−x n(12)=x′n(t n)(1−12)≤β(1).所以,存在M1>0使得|x′n(t n)|≤2M1.因为{x n(t)}n∈N在[0,1]内有界,可以假设m≤x n(t)≤M2,t∈[12,t n].|∫︁t n12−x′′n(s)ds|=|∫︁t n12[λx pn(s)−K(s)x−qn(s)]ds|.我们可以得到|−x′n (t n)+x′n(12)|≤λM p2−K*M−q2,且|x′n(12)|≤2M1+λM p2−K*M−q2.因此{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N均有界,它们都有收敛子列.不失一般性,我们记子列为{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N.固定n∈N,假设limn→∞x′n(12)=r0.由(2.28),令n→∞,我们得到x(t)=x(12)+r0(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−q(s)−λx p(s)]ds.通过对x(t)进行二次求导,我们得到−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t).山东师范大学硕士学位论文结合(2.27),可以得到x(t)是问题(2.24)的一个C[0,1]正解.(ii)我们研究(2.24)的C1[0,1]正解的唯一性.令F(t)=λβp−K*(εϕ1)−q.显然,当0<q<1时,F(t)在(0,1)上可积,因为|x′′(t)|≤F(t),x(t)在(0,1)上绝对可积.那么x′(0+)和x′(1−)都存在,即x(t)∈C1[0,1].我们采用反证法来证明,假设x1(t),x2(t)是问题(2.24)的两个C1[0,1]正解,且在[0,1]上x1(t)≡x2(t).不失一般性,我们假设存在t*∈(0,1)使得x2(t*)−x1(t*)=max0≤t≤1(x2(t)−x1(t))>0.设α=inf{t1|0≤t1<t*,x2(t)>x1(t),t∈(t1,t*)},β=sup{t2|t*≤t2<1,x2(t)>x1(t),t∈(t*,t2)}.显然0≤α<β≤1,且x1(α)=x2(α),x′1(α)≤x′2(α),x1(β)≤x2(β),x′1(β+)≥x′2(β+),x1(t)<x2(t),t∈(α,β).设y(t)=x1(t)x′2(t)−x2(t)x′1(t),t∈(α,β).那么我们有limt→α+inf y(t)≥0≥limt→β+sup y(t).(2.29)另一方面,当t∈(α,β)时,y′(t)=x1x′′2−x2x′′1=x1(Kx−q2−λx p2)+x2(λx p1−Kx−q1)=Kx1x−q2−λx1x p2+λx p1x2−Kx−q1x2=Kx1x2(x−q−12−x−q−11)+λx1x2(x p−11−x p−12)≥0,且在(α,β)上,y′(t)≡0.这表明y(β−)>y(α+),这与(2.29)矛盾,所以x1(t)≡x2(t).因此,(2.24)的C1[0,1]正解唯一.(iii)我们假设0<λ1<λ2,且xλ1(t),xλ2(t)是相应的问题(2.24)的C1[0,1]正解.显然,x′′λ1(t)∈L1[0,1].在(2.24)中,f(t,x)=λx p(t)−K(t)x−q(t)连续.因为p,q∈(0,1),K*<0,易知当t∈[0,1]时,x−1f(t,x)=λx p−1(t)−K(t)x−q−1(t)关于x>0递减.当t∈(0,1)时,x′′λ2(t)−K(t)x−qλ2(t)+λ2x pλ2(t)=0<x′′λ1(t)−K(t)x−qλ1(t)+λ2x pλ1(t),xλ2(0)≥xλ1(0),xλ2(1)≥axλ2(η),且xλ1(1)≥axλ1(η).因此由引理2.2.3,xλ1(t)≤xλ2(t),t∈[0,1].所以x(t)关于λ递增.证毕.。

一类非线性三阶三点边值问题单调正解的存在性

一类非线性三阶三点边值问题单调正解的存在性曹珂【摘要】考虑了一类非线性三阶常微分方程三点边值问题单调正解的存在性.通过运用迭代技巧,不仅得到其单调正解的存在性,还给出两个迭代序列,并且迭代序列的初值是简单的零函数和一次函数,从计算的角度来说是有用的和可行的.最后通过实例说明了所得结果的重要性.%This paper is concerned with the existence of monotone positive solutions for three-point boundary value problem of a class of nonlinear third-order ordinary differential equation. By applying iterative techniques, the existence of monotone positive solution is obtained and two iterative sequences of monotone positive solution are given. Moreover, the iterative scheme starts off with zero function or linear function,which is very useful and feasible for computational purpose. At last,an example is also included to illustrate the importance of the results obtained.【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2011(034)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】边值问题;单调正解;存在性;迭代法【作者】曹珂【作者单位】甘肃联合大学师范学院数学系,中国兰州730010【正文语种】中文【中图分类】O175三阶微分方程起源于应用数学和物理学的各种不同领域中, 例如, 带有固定或变化横截面的屈曲梁的挠度, 三层梁, 电磁波, 地球引力吹积的涨潮等[1]. 最近, 三阶三点边值问题正解的存在性受到了人们的高度重视[2-7], 但现有文献大多是以各种不动点定理为工具的. 譬如, 文献[6]考虑了如下三阶三点边值问题(1)其中通过运用Guo-Krasnosel’ skii不动点定理，在非线性项满足超线性或次线性的条件下得到了边值问题(1)至少一个正解的存在性结果．文[9]运用单调迭代法考虑了边值问题(1)正解的存在性结果．受以上文献的启发，本文将运用单调迭代法来研究下述边值问题(2)单调正解的存在性，其中值得一提的是, 我们不仅获得了边值问题(2)单调正解(非平凡的非负解)的存在性, 还给出了单调正解的两个迭代序列, 并且迭代序列的初值是很简单的零函数或一次函数, 这从计算的角度来说是非常有用和可行的.全文假设下述条件成立：(H1) f∈C([0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞))；(H2) a∈C([0,1],[0,+∞))且不恒为零.1 预备引理引理1[6] 设αη≠1，则对于任意给定的h∈C[0,1]，边值问题有唯一解u(t)=G(t,s)h(s)ds，其中以下总是假定令引理2[6] 对于任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1]，0≤G(t,s)≤tg(s)，0≤Gt(t,s)≤g(s)．记E=C1[0,1],定义其中的范数为令K={u∈E|u(t)≥0,u′(t)≥0,t∈[0,1]}, 易知K为E 中的锥，而(E,K)为半序Banach空间．这样我们可以在E中定义半序：u≤v(u,v∈E)当且仅当v-u∈K.定义算子T:(Tu)(t)=G(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds,t∈[0,1].对于任意的u∈K, 由引理2及(H1)，(H2)可知，(Tu)(t)=G(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≥0,t∈[0,1]，(Tu)′(t)=Gt(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≥0,t∈[0,1],这表明T:K→K. 显然，T的不动点即为边值问题(2)的单调非负解.为方便起见, 记则由(H2)可知Λ>0.引理3 T:K→K是全连续的.证首先证明T为紧算子. 设D⊂K有界，则存在M1>0,使得对于任意的u∈D,‖u‖≤M1. 下证T(D)是K中的相对紧集．考虑任意点列⊂T(D), 则存在⊂D使得T(uk)=wk. 令M2=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M1]×[0,M1]}.则对于任意的自然数k由引理2可知则是一致有界的．类似地，Λ-1M2,t∈[0,1].可得是一致有界的，因此是等度连续的．由Arzela-Ascoli定理可知在C[0,1]中存在收敛子列．不失一般性，假设在C[0,1]中是收敛的．另外，由Gt(t,s)的一致连续性可知，对任给ε>0,存在一个δ>0,对任意t1,t2∈[0,1]且因此，即得是等度连续的．由Arzela-Ascoli定理可知在C[0,1]中有收敛子列．综上所述，在C1[0,1]有收敛子列．这就证明了T为紧算子.其次，我们证明T为连续算子. 假设um,u∈K且‖um-u‖→0(m→∞). 则存在M3>0，使得对于任意的自然数m，‖um‖≤M3. 令M4=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M3]×[0,M3]},则对于任意的自然数m，t∈[0,1]，由引理2，有，由勒贝格控制收敛定理可知，(Tu)(t),t∈[0,1]，(Tu)′(t),t∈[0,1].因此, T是连续算子. 综上所述，T:K→K是全连续算子．2 主要结果定理2 假设f(0,0)>0且存在常数R>0使得f(u1,v1)≤f(u2,v2)≤ΛR,0≤u1≤u2≤R,0≤v1≤v2≤R.(3)若构造迭代序列vn+1=Tvn,wn+1=Twn,n=0,1,2,3,…,其中v0(t)=0,w0(t)=Rt,t∈[0,1]. 则序列与分别收敛于T的不动点v,w∈C1[0,1], 这两个不动点即为边值问题(2)的单调解, 并且满足0<v(t)≤R,t∈(0,1] 且0≤v′(t)≤R,t∈(0,1],0<w(t)≤R,t∈(0,1] 且0≤w′(t)≤R,t∈(0,1].证令KR={u∈K:‖u‖≤R}, 则有T:KR→KR. 事实上，对于任意的u∈KR, 有由引理2及(3)可知(Tu)(t)=G(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤tg(s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤(Tu)′(t)=Gt(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤g(s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤这意味着T:KR→KR.下面证明如果序列在C1[0,1]中收敛于v，则其必为边值问题(2)的单调正解，且满足0<v(t)≤R,0≤v′(t)≤R,t∈[0,1].注意到v0∈KR 且T:KR→KR, 从而vn∈KR,n=1,2,…. 故有界，又因为T是全连续算子，因此是相对紧集.首先我们证明是单调的. 由引理2，有v1(t)-v0(t)=(Tv)0(t)=G(t,s)a(s)f(0,0)ds≥0,t∈[0,1]，(4)(5)由(4),(5)可知v1-v0∈K, 这表明v0≤v1. 假设vk-1≤vk，由引理2及(3)可知(6)(7)由(6),(7)可知vk+1-vk∈K, 即vk≤vk+1, 这样就证明了vn≤vn+1,n=0,1,2….因此存在v∈KR, 使得‖vn-v‖→0(n→∞). 由T的连续性及vn+1=Tvn,n=1,2,3,…，易知v=Tv. 又由于f(0,0)>0, 可知零函数不是边值问题(2)的解，故有‖v‖>0. 从而0<v(t)≤R,0≤v′(t)≤R,t∈[0,1].类似地，可以证明在C1[0,1]中收敛于w，w也是边值问题(2)的单调正解且满足0<w(t)≤R,0≤w′(t)≤R,t∈[0,1].3 应用实例例考虑边值问题(8)因为α=2和简单计算可知Λ=1. 选取R=2, 则定理2的所有假设均满足. 由定理2可知边值问题(8)存在单调正解v,w且满足：0<v(t)≤2,t∈(0,1] 且0≤v′(t)≤2,t∈(0,1],0<w(t)≤2,t∈(0,1] 且0≤w′(t)≤2,t∈(0,1].此外，两个迭代序列为：迭代序列的第一，第二和第三项分别如下：v0(t)=0,w0(t)=2t,参考文献：[1] GREGUS M. Third order linear differential equations [M]. Dordrecht: Reidel,1987.[2] ANDERSON D R, DAVIS J M. Multiple solutions and eigenvalues for three-order right focal boundary value problems[J]. J Math Anal Appl, 2002, 267(1): 135-157.[3] ANDERSON D R. Green’s function for a third-order generalized right focal problem[J]. J Math Anal Appl, 2003, 288(1): 1-14.[4] YAO Q. The existence and multiplicity of positive solutions for a third-order three-point boundary value problem[J]. Acta Math Appl Sinica, 2003, 19(1): 117-122.[5] SUN Y. Positive solutions of singular third-order three-point boundary value problem[J]. J Math Anal Appl, 2005, 306(2): 589-603.[6] GUO L J, SUN J P, ZHAO Y H. Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J]. Nonlinear Analysis, 2008, 68(10): 3151-3158.[7] 孙建平, 彭俊国, 郭丽君. 非线性三阶三点边值问题的正解 [J]. 兰州理工大学学报, 2009, 35(1): 139-142.[8] AMANN H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problem in ordered Banach spaces[J]. SIAM Rev, 1976, 18(4): 620-709.[9] 孙建平, 曹珂. 一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性 [J]. 兰州理工大学学报,2010, 36(2): 123-124.。

一类三阶三点边值问题正解的存在性

一类三阶三点边值问题正解的存在性程德胜;武晨【摘要】We study the existence of positive solution to the following third-order three-point boundary value problems u(t)+a(t)f(u(t))=0 ,t∈(0 ,1 ),u(0 )= u′(0 )= 0 ,u′(1 )-αu′(η)=λ,where 0<η<1 ,0<α<1/η,λ>0.By using fixed point theorem in cones,we obtain the existence of the positive solution if f is either superlinear or sublinear.Our results extend and improve some results made by Wu Hongping.%考虑一类三阶三点边值问题u（t）＋a（t）f（u（t））＝0，t∈（0，1），u（0）＝u′（0）＝0，u′（1）－αu′（η）＝λ，其中，0＜η＜1，0＜α＜1／η，λ＞0，f满足超线性或者次线性条件，利用锥上的不动点定理，得到上述边值问题解的存在性结果。

结果表明：文中方法进一步改进和推广了吴红萍的结果。

【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】4页(P127-130)【关键词】三阶三点边值问题;锥;格林函数;不动点定理【作者】程德胜;武晨【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院基础课程教学部，南京江苏210019;江苏联合职业技术学院南京分院基础课程教学部，南京江苏 210019【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程边值问题是研究奇数阶边值问题的基础,由于其广泛的物理背景和现实意义，三阶边值问题引起了许多学者的关注，并且取得了较多成果[1-10]. 吴红萍[2]考虑了三阶三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ.其中：0<η<1；0<α<1/η；λ>0.通过应用Leggett-Wilmlias不动点定理得到上述边值问题有3个正解的存在性.但作者仅考虑在上述条件下解的存在性，并没有考虑到当f满足超线性或次线性条件下,上述边值问题的解是否存在.本文研究一类三阶三点边值问题,即其中:0<η<1;0<α<1/η;λ>0.在f满足超线性或次线性条件下，上述边值问题解的存在性.假设以下条件成立：1)∞.引理1[7] 假设E是一个Banach空间，P是E中的锥，假设Ω1,Ω2是E中满足0∈Ω1⊂⊂Ω2的两个开子集，并且是一个全连续算子，满足ⅰ) ‖Tu‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω1,并且‖Tu‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω2，或者ⅱ) ‖Tu‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω1,且‖Tu‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω2，则T在中至少有一个不动点.引理2[3] 边值问题 u‴(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0,1)，u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ,有唯一解，即式(2)中:G(t,s)引理3[3] 对任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有，且.引理4[3] 对任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]，有0≤G1(t,s)≤s(1-s).引理5[3] 若u∈C+[0,1]，边值问题(1)的唯一解式(2)非负，且满足‖u‖.考虑Banach空间E=C[0,1]，赋予范数‖u‖|u(t)|，定义锥K={u∈：u(t)≥0,t∈[0,1]，且‖u‖}，对任意u∈K，定义算子,有由引理3可得则有当t∈[τ,1]时，由引理3和式(4),有因此，‖Tu(t)‖，这表明TK⊂K.更进一步容易验证T：K→K是全连续的，且T的不动点即边值问题(1)的解.记.定理1 假设f0=0，且f∞=∞(超线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.证明因为f0=0，所以存在R1>0，使0≤u≤R1时，有f(u)≤εu,t2≤ε‖u‖成立.其中，ε为大于0的常数，且满足当u∈K,‖u‖=R1时，由引理3和式(5)，有令Ω1={u∈E：‖u‖<R1}，则由式(6)可知：‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1.另一方面，由f∞=∞可知，存在R2>R1，使u≥τ2R2时，有f(u)≥ρu成立.其中，ρ>0，且满足令Ω2={u∈E：‖u‖<R2}，当u∈K,‖u‖=R2时，有u(t)≥τ2‖u‖=τ2R2,t∈[τ,1].因此，由式(7)可得因此，‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2.由引理1可知：有一个不动点，即边值问题(1)的解. 定理2 假设f0=∞，且f∞=0(次线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.证明因为f0=∞，则存在R3>0，使0≤u≤R3时，有f(u)≥δu成立.其中，δ>0，且满足当u∈K,‖u‖=R3时，由式(8)可得令Ω3={u∈E：‖u‖<R3}，当‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω3.因为f∞=0，则存在R<0，使当u≥R时，f(u)≤γu.其中,γ>0，且满足下面分两种情况进行讨论.1) 如果f是有界的，即存在M>0，当u∈[0,+∞]时，有f(u)≤M成立，此时，令从而‖Tu‖≤‖u‖.2) 如果f是无界的，令},使f(u)≤f(R4)成立.其中,0≤u≤R4.当u∈K,‖u‖=R4时，由式(9)和f(u)≤f(R4)可得因此,‖Tu‖≤‖u‖.无论哪一种情况，都可以令Ω4={u∈E：‖u‖<R4}，从而对任意的u∈K∩∂Ω4.都有‖Tu‖≤‖u‖成立.由引理1可知:边值问题(1)至少有一个正解. 建立适当的格林函数，选择合适的锥，运用锥拉伸与压缩不动点定理，对一个含参数的三阶边值问题在满足超线性或者次线性条件下正解的存在性进行了探究，得到了一些新的推广的结果，也丰富了对锥拉伸压缩不动点定理的理论分析.【相关文献】[1] 杨春风.一类三阶三点边值问题正解的存在性和不存在性[J],山东大学学报(理学版),2012,47(10):109-115.[2] 吴红萍.一类三阶三点非齐次边值问题的两个正解[J].西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(6):9-12.[3] SUN Yongping.Positive solutions for third-order three-point nonhomogeneous boundary value problems[J].Appl Math Letters,2009,22(1):45-51.[4] 王全义,邹黄辉.一类n阶非线性三点边值问题单调正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2014,35(3):344-348.[5] 王全义,邹黄辉.非线性奇异三阶两点边值问题单调正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2012,33(6):699-704.[6] 高婷,韩晓玲.三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J].四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[7] 武晨.带有积分型边值条件的奇异的n阶边值问题无穷多正解的存在性[J].淮北师范大学学报(自然科学版),2015(3):14-17.[8] 孙建平,张小丽.非线性三阶三点边值问题正解的存在性[J].西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(3):1-4.[9] 孙建平,彭俊国,郭丽君.非线性三阶三点边值问题的正解[J].兰州理工大学学报,2009,35(1):139-142.[10] 吕学哲,裴明鹤.一类三阶三点边值问题正解的存在性[J].北华大学学报(自然科学版),2014(5):577-580.。

非线性项带导数的三点边值问题正解的存在性与多解性

非线性项带导数的三点边值问题正解的存在性与多解性康宏亮;肖鸿民【摘要】基于锥上的不动点理论,考虑非线性项带导数的二阶三点边值问题{u″(t)+a(t)f(u′(t))=0,t∈[0,1],u′(0)=0,u(1)=αu(η)正解的存在性及多解性,其中f:[0,∞)→[0,∞)为连续函数,0<α<1,0<η<1,0<αη<1.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)002【总页数】5页(P194-198)【关键词】三点边值问题;正解;多解性;不动点指数;存在性【作者】康宏亮;肖鸿民【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言及主要结果基于丰富的实际应用背景,非线性常微分方程边值问题正解的存在性和多解性问题在常微分方程研究领域显得尤为重要.对于经典的三点边值问题,近30年来已取得了一定结果,参见文献[1-15]及其相关文献.特别地,1994年,Wang[1]在f∈C([0,∞),[0,∞)),a∈C([0,1),[0,∞))且a(t)在(0,1)的任意子区间内不恒为0的条件下构造锥K={u(t):u∈C[0,1],u(t)≥0,然后运用锥上的不动点理论获得了二阶微分方程Robin边值问题(1)在非线性项满足超线性或次线性条件下其正解的存在性.1999年,Ma[2]研究三点边值问题时提出了研究这类问题的关键条件0<αη<1,并且通过构造锥K={u∈C[0,1]:u(t)≥0,其中使得非线性项在满足超线性或次线性条件的前提下,建立了正解的存在性结果. 文献[1-2]中的f均不依赖于u′,因为f(u′)在C[0,1]内研究,将无法构造锥,继而无法运用锥上的不动点定理研究相应问题正解的存在性.但经过仔细分析发现,对于边界条件比较特别的形式而言,当非线性项上带导数时,可以在C1[0,1]中构造锥,进而使用不动点指数理论获得该问题正解的存在性和多解性.基于此,本文将研究系统正解的存在性和多解性,其中,α>0,0<αη<1.本文总假定:(H1) f:[0,∞)→[0,∞)连续;(H2) a∈C([0,1],[0,∞))且在(0,1)的任意子区间内a(t)不恒为0;(H3) 存在p<0,使得当p≤s≤0时,f(s)≤ξp,其中(H4) 存在p<0,使得当p≤s≤0时,f(s)≥δp,其中,本文主要结果如下:定理 1 假定(H1)和(H2)成立,若f满足下列条件之一:(i) (超线性)f0=0且f∞=∞;(ii) (次线性)f0=∞且f∞=0,则边值问题(3)至少存在一个正解,其中定理 2 假定(H1)～(H3)成立且f0=f∞=∞,那么问题(3)至少存在2个正解x1、x2,使得0<‖x1‖<p<‖x2‖.定理3 假定(H1)、(H2)和(H4)成立且f0=f∞=0,那么问题(3)至少存在2个正解x1、x2,使得0<‖x1‖<p<‖x2‖.本文主要工具为:引理 1[16] 设X为Banach空间,K⊆X是X中的一个锥.定义Kp={x∈K|‖x‖≤p,p>0},∂Kp={x∈K|‖x‖=p},假设A:Kp→K是一个全连续算子,当x∈∂Kp时Ax≠x,则:(i) 如果当x∈∂Kp时,有‖x‖≤‖Ax‖成立,则i(A,Kp,K)=0;(ii) 如果当x∈∂Kp时,有‖x‖≥‖Ax‖成立,则i(A,Kp,K)=1.令X=C1[0,1],则其按范数构成Banach空间.引理 2[15] 设α≠1,则对y∈C[0,1],问题(4)有唯一解u(t)=-(t-s)y(s)ds+B=:Au(t),u∈[0,1],其中α(η-s)y(s)ds).因此Hammerstein积分算子的核为其中且引理 3 A(K)⊆K,且A是全连续算子.证明Au′(t)=-a(s)f(u′(s))ds≤0,u″(t)=-a(t)f(u′(t))≤0.故A(K)⊆K.由f的连续性及Arzela-Ascoli定理可知A:K→K是全连续算子.2 主要结果的证明定理1的证明定义锥K={u∈C1[0,1],u′≤0,u在[0,1]上是向上凸的,u′(0)=0,u(1)=αu(η)}.容易验证锥K中的元素u满足(5)这里(i) 超线性情形.因为f0=0,取H1<0,使得对H1≤u′≤0,有f(u′)≤ηu′,其中η<0满足-ηa(s)ds≤1, t∈[0,1].因此若u∈K,‖u‖=-H1,则由|Au′(t)|=|-a(s)f(u′(s))ds|≤|η|a(s)|u′(s)|ds≤|η|‖u‖a(s)ds≤‖u‖.记Ω1:={u∈X:‖u‖≤-H1},则‖Au‖≤‖u‖, u∈K∩∂Ω1.又因为f∞=∞,故存在使得对有f(u′)≥μu′,其中μ<0满足记若u∈K,‖u‖=-H2,则有故‖Au‖≥‖u‖, u∈K∩∂Ω2.所以,由引理1(i)知:算子A在中有一个不动点,并有-H1≤‖u‖≤-H2.进而由G(t,s)>0得u(t)>0,t∈(0,1).(ii) 次线性情形.因为f0=∞,故可取H1<0,使得对-H1≤u′≤0有其中满足则对u∈K,‖u‖=-H1,有Ω1:={u∈X:‖u‖<-H1},则‖Au‖≥‖u‖, u∈K∩∂Ω1.又因为f∞=0,所以存在使得对有f(u′)≤λu′,其中λ<0满足λa(s)ds≤1. 考虑以下2种情形:1) f有界,即存在N,对∀u′∈(-∞,0),f(u′)≤N.取H2:=min{2H1,-Na(s)ds},使得对u∈K及‖u‖=-H2有|Au′(t)|=|-a(s)f(u′(s))ds|≤N|a(s)ds|≤-H2=‖u‖,所以‖Au‖≤‖u‖.2) f无界.取使得f(u′)≤f(H2),H2<u′≤0,则对u∈K,‖u‖=-H2有|Au′(t)|=|-a(s)f(u′(s))ds|≤|-a(s)f(H2)ds|≤|λH2a(s)ds|≤|H2|=‖u‖.所以无论何种情况,只要令Ω2:={u∈X:‖u‖<-H2},就有‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2.由引理1(ii)知问题(3)有一个正解.定理2的证明令M<0,使得(6)由f0=f∞=∞与引理1(ii)知,若存在p<r<0使得r≤u′≤0满足f(u′)≥Mu′,则因此,由引理1得i(A,Kr,K)=0.(7)对同样的满足(6)式的M,由f0=f∞=∞可知,存在R1<0,使得f(u′)≥Mu′,∀u′≤R1.令R<min{p,2R1},因此对u′∈∂KR有因此,由引理1得i(A,KR,K)=0.(8)另一方面,由条件(H3),若u′∈∂Kp,则ξ‖u‖a(s)ds=‖u‖.因此,由引理1得i(A,Kp,K)=1.(9)由(7)～(9)式得i(A,KR\Kp,K)=-1, i(A,Kp\Kr,K)=1.因此,A在KR\Kp上有一个不动点x1,在Kp\Kr上有一个不动点x2,均为问题(3)的解,并且x1(t)>0,x2(t)>0,t∈(0,1).定理3的证明由f0=f∞=0,对∀ε<0,存在W<0,使得f(u′)≤W+εu′,∀u′≤0,t∈[0,1],那么|Au′(t)|=|-a(s)f(u′(s))ds|≤|-a(s)(W+εu′)ds|.因此,令ε充分小且R<p充分小时,‖Au‖<‖u‖,u∈∂KR.故由引理1得i(A,KR,K)=1.(10)同样地,对p<r<0有i(A,Kr,K)=1.(11)另一方面,由(H4),对u′∈∂Kp有因此,由引理1得i(A,Kp,K)=0.(12)由(10)～(12)式得A有2个不动点,则问题(3)有2个正解.3 应用例 1 考虑非线性项带导数的二阶三点边值问题正解的存在性,其中连续,a(t)=1,故满足条件(H1)和(H2).又因为满足超线性情形,则由定理1可知,问题(13)至少存在一个正解.参考文献【相关文献】[1] WANG H. On the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations in the annulus[J]. Journal of Differential Equations,1994,109(1):1-7.[2] MA R. Positive solutions for a nonlinear three-point boundary value problem[J]. Electronic Journal of Differential Equations,1999,34:1-8.[3] LI H, ZHAO M. Positive solutions for second order three-point boundary value problems with sign-changing nonlinearities[J]. Advances inMathematics(Chin),2017,46:708-716.[4] XUE Y, ZHANG G. Positive solutions of second-order three-point boundary value problems with sign-changing coefficients[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations,2016,97:10-20.[5] ZHONG X, HUANG Q, WEI H. Existence and approximation of solution for a nonlinear second-order three-point boundary value problem[J]. Boundary ValueProblems,2016,169:21-30.[6] XU W, DING W. Existence of positive solutions for second-order impulsive differential equations with delay and three-point boundary value problem[J]. Advances in Difference Equations,2016,239:11-23.[7] SUN Y, ZHAO M. Existence of positive pseudo-symmetric solution for second-order three-point boundary value problems[J]. Applied Mathematics andComputing,2015,47(1/2):49-59.[8] ZHAO Y, CHEN H, ZHANG Q. Multiple solutions of three-point boundary value problems for second-order impulsive differential equation at resonance[J]. Boundary Value Problems,2014,103:17-27.[9] LIU J, FENG H, FENG X. Multiplicity of positive solutions for a singular second-order three-point boundary value problem with a parameter[J]. Journal of Applied Mathematics,2014,34:255-267.[10] OUYANG Z, OU C, WONG J. Solvability of second order three-point boundary value problems at resonance[J]. Communications in Applied Analysis,2013,1:47-60.[11] NIETO J J. Existence of a solution for a three-point boundary value problem for a second-order differential equation at resonance[J]. Boundary Value Problems,2013,7:130-145.[12] OCTAVIA N. Existence results for second order three-point boundary value problems[J]. Differential Equations and Applications,2012,4:547-570.[13] LIU H, OUYANG Z. Existence of solutions for second-order three-point integral boundary value problems at resonance[J]. Boundary Value Problems,2013,34:197-208. [14] BAI D, FENG H. Eigenvalue for a singular second order three-point boundary valueproblem[J]. Applied Mathematics and Computing,2012,38(1/2):443-452.[15] MA R. Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem[J]. Electronic Journal of Differential Equations,1999,34:1-8.[16] 郭大均. 非线性泛函分析[M]. 济南:山东科学技术出版社,1985.。

一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性

一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性白杰;祖力【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【摘要】利用非线性Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理,在假设条件下证明一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题解的存在性.结果表明,在区间(O,1]上至少存在一个正解.%By means of nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, thernauthors proved the existence of the solutions for one-dimensional singular p-Laplacian three-point boundaryrnvalue problems under assumptive conditions. There is at least one positive value in the interval from zero tornone.【总页数】7页(P621-627)【作者】白杰;祖力【作者单位】东北师范大学人文学院信息技术学院,长春130117;长春大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O175.14【相关文献】1.一类p-Laplacian奇异型方程组三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 刘勤凤;肖建中;仓曰华2.三阶p-Laplacian方程三点奇异边值问题正解的存在性 [J], 田元生;刘春根3.Sturm-Liouville型一维P-Laplacian方程奇异边值问题的正解存在性 [J], 熊明4.一类一维 p-Laplacian 非线性奇异三点边值问题正解的存在性 [J], 白杰;祖力5.p-Laplacian算子奇异三点边值问题正解的存在性 [J], 严树林;李志艳;葛渭高因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类三点边值问题正解的存在性和唯一性

一类三点边值问题正解的存在性和唯一性
苗凤华;宋玥蔷
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2014()2
【摘要】研究了一类带有递增同胚和正同态算子的三点边值问题,利用偏序集上的不动点定理证明了该问题正解的存在性和唯一性,并且证明了这个正解是严格单调递增的.
【总页数】3页(P9-11)
【关键词】偏序集;不动点定理;正解
【作者】苗凤华;宋玥蔷
【作者单位】长春师范大学数学学院;长春师范大学科研处;吉林大学符号计算与知识工程教育部重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类四阶两点边值问题正解的存在性和唯一性 [J], 武晨
2.分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性和唯一性 [J], 赵霞;刘洋;胡卫敏
3.非线性二阶三点边值问题正解的存在性和唯一性 [J], 武晨
4.一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性与不存在性 [J], 何健堃;贾梅;陈
辉
5.一类三阶边值问题正解的存在性和唯一性 [J], 武晨
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第２６卷第２期
２１００年４月
德州学院 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 报
ＪｕｎｌｏｚｏｉｅｓｔｏｒａｆＤｅｈｕＵｎｖｒｉｙ
Ｖ０．６，．１２Ｎｏ２
Ａｐ．，０１ｒ２０
一
类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性
其中０＜１Ｏ＜．＜７，＜ａ
０引言
文献［］一步考察了问题（），过锥拉伸３进３式通
本文的目的是考察下列非线性三点边值问题的
正解存在性
ｆＵｔ＋ｆｔ “ （）一０，ｕ（）（，￡）０ｆ１
子．
若存在ｔ∈ Ｌ，－得（ｏ＞０则／￡＞０ｔｏ１Ｊ使ｔ），，）ｔ（，
∈Ｅ，］ｏ１．
证明
根据引理ｌ及引理２易得ｒｃｏ１）（Ｅ，］
证经单证“）ｊ（ｓ（ｄ＋明简验（一ｒ）ｓｓ。，）１Ｇ
２３
Ｉ．，ｆｆ＋ＳＳ
１一
≤ １（）６
（）的单调递增正解当且仅当 “是丁在Ｃｏ１１式ＬＥ，］
中的不动点．
Ｇ（，ｆ）一ｆｔ
【一１
０Ｚ
≤１
引理３Ｔ：Ｌ，］Ｃｏ１是全连续算Ｃｏ１一Ｅ，］
郭秋生，月亮。梁
（．石楼中学，山西吕梁１０２０；．中北大学理学院数学系，太原３５０２００５）３０１
摘
要：考察了一类非线性常微分方程的三点边值问题，过考察非线性项在有界集上的性质，用Ｉｒｙ — 通运ａｅ
其中０，叩１ｆＥ（０１ ×［，＜ａ，＜，［，］Ｏ＋∞）［，。，０＋ｏ）且存在ｔＥ［，］得ｆｔ，）．）。７１使７（０＞Ｏ。
研究了一类非线性三点边值问题，用锥上的利不动点定理获得了其单调递增正解的存在性，近年来，由于其广泛的应用，线性三点边值问题的研究非
＜
０
１
（）４
【（），（）— “ 叩一ｙＵ０一 “ １ —ｄ（）
１引理部分
引理１边值问题
理论定理，出了此问题至少有一个正解存在的条给
件．
ｊ（一）ｕｔ一，Ｕ）
正解
Ｉ（）ａ（）１一（）ｏ一 “ ，）ｏ（
受到普遍重视］．文献Ｅｉｌ考察了问题（），过锥不动点指标２式通
项在其定义域的某个有界子集上的“ 高度 ” 当，适此
类问题可以有一个解或正解．
ｆ（）ｆｔ“（）Ｕ（）一ｏ＋（，，￡），
形下首先给出了问题（）的正解存在的条件，３式即
ｕｔ（）一ｌｔ５ｙ（）ｓ＋Ｇ（，）ｓｄ
厂是超线性的或次线性的．
ｊ（＋（一，￡） ‘ ｏ
【（），（） “＇ “０一０ “ １＝口（）７
收稿日期：２０ —１Ｏ０９１一３
（５）
』，，（
ｆ＿，０Ｋ丁（（”Ｏ＜２Ｙ）
当（）非负连续函数时，在唯一单调递增凹的￡为存
【ｏ一Ｐ（）（） “ （）ｙ，Ｔ一ａ（）
文献［］，如云在厂（，一ｈ￡ｇ “ 的情２中马ｔ）（）（）
（３）
１－ａ－
ｊ（。）Ｇ
，
其中
通讯作者：梁月亮（９９）男，１７一，山西石楼人，师，士，讲硕主要从事非线性泛函分析与非线性微分方程方面的研究
第２期
郭秋生，：等一类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性
ｒ
ｃｃｏ１，Ｔ：［，］Ｃ０１．Ｅ，］故ＣＯ１一［，］Ｔ的全连续
性由Ａｒｅ — ｃｌ定理推出．ｚｌＡｓｏｉａ
』（）ｓ满问（式以对数：，（ｓ足题５．下函Ｇｓ）ｄ）
一
引理４［设Ｘ为Ｂｎｃ６３ａａｈ空间，为Ｘ的Ｑ
Ｓｈｕｅ非线性抉择及格林函数的性质，得了一类非线性三点边值问题单调递增正解存在的新结果，广和改ｃａｄｒ获推进了相关文献的结果．关键词：三点边值问题；正解；动点定理不中图分类号：７．Ｏ１５８文献标识码：Ａ文章编号：１００４—９４（０００ — ０２３４４２１）２０２ —０
个有界开子集，且 ∈Ｑ，Ｆ： — ｘ为一个全连若Ｑ
与锥压缩型不动点定理的局部化应用，文献［］将２作
了进一步推广．文献［］５考察了问题（），用Ｌ～４式利ｅ
ｒｙＳｈｕｅ不动点定理，者证明了只要非线性ａ— ｃａｄｒ作
【（）ｕ７，（）＝（） “ｏ一ａ（）Ｍ１＝０＝