二项分布与应用(6含答案)

二项分布及其应用条件概率问题导学一、条件概率的概念与计算活动与探究11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A．18B．14C．25D．122．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则P(B|A)＝__________，P(A|B)＝__________．迁移与应用1．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．P(AB)＝P(A)P(B)D．P(A|A)＝02．5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求第一次取到新球的情况下，第二次取到新球的概率．计算条件概率的两种方法：(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)；(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝P(AB)P(A)计算求得P(B|A)．二、条件概率的应用活动与探究2盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？迁移与应用1．(2013浙江宁波模拟)某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班所占的概率为__________．2．某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生．现已把这10人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．(1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？(2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，问这名同学在第一小组内的概率是多少？在解决条件概率问题时，要灵活掌握P(A)，P(B)，P(AB)，P(B|A)，P(A|B)之间的关系．即在应用公式求概率时，要明确题中的两个已知事件，搞清已知什么，求什么，再运用公式求概率．答案：课前·预习导学【预习导引】1．P(AB)P(A)A B A B2．(1)[0,1](2)P(B|A)＋P(C|A)预习交流(1)提示：事件A发生的条件下，事件B发生等价于事件A与事件B同时发生，即AB 发生，但P (B |A )≠P (AB )．这是因为事件(B |A )中的基本事件空间为A ，相对于原来的总空间Ω而言，已经缩小了，而事件AB 所包含的基本事件空间不变，故P (B |A )≠P (AB )．(2)提示：P (AB )＝14， P (A )＝12，∴P (B |A )＝12．故选B ．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 1．思路分析：由题意知，本题属于条件概率．可以由题意求P (A )，P (AB )，然后根据公式求出P (B |A )．B 解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14．2．思路分析：应用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算．38 34 解析：由已知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝34．迁移与应用 1．B 解析：由P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (AB )＝P (B )是可能的．2．解：设“第一次取到新球”为事件A ，“第二次取到新球”为事件B ． 法一：因为n (A )＝3×4＝12，n (AB )＝3×2＝6，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12．法二： P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12．活动与探究2 思路分析：通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是玻璃球的概率．解：设A ＝{取得蓝球}，B 则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14．∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411．迁移与应用 1．16解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27， 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16．2．解：设A 表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学在第一小组内”，B 表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学是三好学生”，而第二问中所求概率为P (A |B )．(1)由等可能事件概率的定义知，P (A )＝C 15C 110＝12．(2)P (B )＝C 14C 110＝25，P (AB )＝C 12C 110＝15．∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12．当堂检测1．袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( )A ．15 B ．13 C ．38 D ．37答案：D 解析：设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则n (A )＝63，n (AB )＝21，故()1(|)()3n AB P B A n A ==．2．一个盒子中有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56 B ．34 C ．23 D ．13答案：C 解析：记A ：取的球不是红球，B ：取的球是绿球．则153()204P A ==，101()202P AB ==，∴1()22(|)3()34P AB P B A P A ===．3．抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．35答案：B 解析：记A ：抛掷两颗骰子，红色骰子点数为4或6，B ：两颗骰子的点数积大于20．121()363P A ==，41()369P AB ==， ∴()1()19|1()33P AB P B A P A ===．4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是__________．答案：0.5 解析：设A ：出生算起活到20岁．B ：出生算起活到25岁． P (A )＝0.8，P (AB )＝0.4，∴P (B |A )＝()0.4()0.8P AB P A =＝0.5． 5．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝__________； 答案：2π(2)P (B |A )＝__________．答案：14解析：该题为几何概型，圆的半径为1∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4．故P (A )＝2π，12()1π(|)2()4πP AB P B A P A ===． 事件的相互独立性问题导学一、判断事件的相互独立性 活动与探究1判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 迁移与应用1．(2013江西樟树模拟)下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，事件A 为“第一次为正面”，事件B 为“第二次为反面”B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，事件A 为“第一次摸到白球”，事件B 为“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，事件A 为“出现点数为奇数”，事件B 为“出现点数为偶数”D ．事件A 为“人能活到20岁”，事件B 为“人能活到50岁”2．一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．二、求相互独立事件同时发生的概率活动与探究2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率．迁移与应用1．设有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.962．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．相互独立事件的概率计算必须先根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，然后利用公式计算．三、相互独立事件的应用活动与探究3红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5，0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)红队至少两名队员获胜的概率．迁移与应用1．甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1,0.2,0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是() A．0.444 B．0.008C．0.7 D．0.2332．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是__________．事件的相互独立性是考试的重点，解题时需分清事件与事件之间的关联，判断是否相互独立．在求事件的概率时，有时会遇到求“至少……”或“至多……”等事件的概率问题，它们是诸多事件的和或积，如果从正面考虑这些问题，求解过程烦琐．但“至少……”或“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则反”的原则求解．同时求解此类问题时，也是符号语言和文字语言之间的转化，应加强各语言之间的转化能力．答案：课前·预习导学【预习导引】1．P(A)P(B)2．B B预习交流(1)提示：①要正确理解和区分事件A与B相互独立、事件A与B互斥．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．相互独立事件可以同时发生．只有当A与B相互独立时，才能使用P(AB)＝P(A)P(B)；同时也只有当A与B互斥时，才能使用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②事件A与B是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但在实际问题中往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件是否相互独立．通常，诸如射击问题，若干电子元件或机器是否正常工作，有放回地抽样等对应的事件(组)认为是相互独立的．(2)提示：C课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：利用相互独立事件的定义判断．解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16．所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以事件A与B相互独立．迁移与应用1．A解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；选项D是条件概率，事件B受事件A的影响．2．解：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生互不影响，∴A与B相互独立，A，B能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a，b，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P(A)＝46＝23，P(B)＝56，P(AB)＝23，∴P(AB)≠P(A)·P(B)．∴事件A，B不是相互独立事件，事件A，B能同时发生，∴A，B不是互斥事件．活动与探究2思路分析：分析清楚事件间的独立、互斥的关系，再由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算．解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，A与B都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6．(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB．∴P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3．(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝A B．∴P(D)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3．(3)法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括A B，A B，AB，且它们彼此为互斥事件．∴P(E)＝P(A B＋A B＋AB)＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8．法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．∴P(E)＝1－P(A B)＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8．迁移与应用1．C解析：设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P(A∪B)＝1－P(A B)＝1－P(A)P(B)＝1－0.2×0.3＝0.94．2．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6，A1，A2，A3相互独立．(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P (A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228．(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564．活动与探究3思路分析：弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5．(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F，D E F，D E F，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P(D E F＋D E F＋D E F)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35．(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF．由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55．法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F，且P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1．所以红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(D E F)＝1－0.35－0.1＝0.55．迁移与应用1．A解析：所求的概率为0.1×0.8×0.6＋0.9×0.2×0.6＋0.9×0.8×0.4＝0.444．2．0.902解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．∴至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．当堂检测1．两个射手彼此独立射击一目标，甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率是()A．0.72 B．0.85 C．0.1 D．不确定答案：A解析：由已知甲、乙同时射中目标概率是0.9×0.8＝0.72．2．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取一球，则至少取一白球的概率为()A．38B．35C．25D．15答案：B解析：至少取一白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一袋中取一球为红球的概率为35，从另一袋中取一球为红球的概率为23，则至少取一白球的概率为323 1535 -⨯=．3．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．答案：370解析：加工出来的零件的正品率是1116711170696870⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此加工出来的零件的次品率为67317070 -=．4．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为__________，__________，__________．答案：0.20.250.5解析：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意可知A，B，C是相互独立事件．由题意可知()()()0.05,()()()0.1,()()()0.125, P AB P A P BP AC P A P CP BC P B P C==⎧⎪==⎨⎪==⎩得()0.2,()0.25,()0.5. P AP BP C=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25,0.5．5．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．答案：解：如图所示，分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7)＝0.027．于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(ABC)＝1－0.027＝0.973．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．独立重复试验与二项分布问题导学一、独立重复试验活动与探究1某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．迁移与应用1．(2013四川广元模拟)打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为()A．C41000.84×0.296B．0.84C．0.84×0.296D．0.24×0.2962．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为__________．(1)n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．(2)独立重复试验概率求解的关注点：①运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．二、二项分布活动与探究2某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．迁移与应用1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，则击中目标的次数X的概率分布列为__________．2．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．三、二项分布的综合应用活动与探究3甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．迁移与应用某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．相同预习交流1提示：①在相同条件下重复做n次试验的过程中，各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)，A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验的结果．②在独立重复试验中，每一次试验只有两个结果，也就是事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中，某事件发生的概率都是一样的．2．C k n p k(1－p)n－k成功概率预习交流2(1)提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布也就是两点分布，因此它们的关系是特殊与一般的关系．(2)提示：B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8．5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝25C ×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”， 其概率为P ＝05C ×(0.2)5＋15C ×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．∴所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99．(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02．∴恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．迁移与应用 1．A 解析：由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C 4100·0．84×0．296． 2．827解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验， 设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13， ∴恰有2人申请A 片区的概率为P (2)＝24C ·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝827．活动与探究2 思路分析：本题符合二项分布模型，根据题意，可直接利用二项分布的概率计算方法解答．解：由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，∴P (X ＝k )＝4C k ·⎝⎛⎭⎫13k ·⎝⎛⎭⎫234－k ＝4C k ·24－k 81(k ＝0,1,2,3,4)，∴X 的分布列为由已知，n ＝4，p ＝0.8，P (X ＝k )＝C k 4×0.8k ×0.24－k ，k ＝0,1,2,3,4， ∴P (X ＝0)＝C 04×0.80×0.24＝0.001 6，P (X ＝1)＝C 14×0.81×0.23＝0.025 6，P (X ＝2)＝C 24×0.82×0.22＝0.153 6，P (X ＝3)＝C 34×0.83×0.21＝0.409 6，P (X ＝4)＝C 44×0.84×0.20＝0.409 6．∴X2．解：(5,3)，(5,5)，(3,5)共3种情况， ∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13． ∴某个家庭获奖的概率为13． (2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验． ∴X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13． ∴P (X ＝0)＝05C ·⎝⎛⎭⎫130·⎝⎛⎭⎫235＝32243，P (X ＝1)＝15C ·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫234＝80243，P (X ＝2)＝25C ·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫233＝80243，P (X ＝3)＝35C ·⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫232＝40243，P (X ＝4)＝45C ·⎝⎛⎭⎫134·⎝⎛⎭⎫231＝10243，P (X ＝5)＝55C ·⎝⎛⎭⎫135·⎝⎛⎭⎫230＝1243．∴X件．解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23． P (ξ＝0)＝03C ×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝13C ×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝23C ×⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝33C ×⎝⎛⎭⎫233＝827，所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得23分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝23C ×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛ 23×13×12＋13×⎭⎫23×12＋13×13×12＝1081． P (D )＝827×⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝4243． ∴P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1081＋4243＝34243． 迁移与应用 解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ．因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 发生的概率为：P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427． (2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681， P (B 1)＝C 14×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827．由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89． 当堂检测 1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A．49125B．48125C．1625D．925答案：B解析：∵每1粒发芽的概率为定值，∴播下3粒种子相当于做了3次试验，设发芽的种子数为X，则X服从二项分布，即X～B4 3,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴P(X＝2)＝C23×214155⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝48125．故选B．2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B162⎛⎫⎪⎝⎭，，则P(ξ≤3)等于()A．1132B．732C．2132D．764答案：C解析：P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝6666 012366661111 C C C C2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++＝21 32．3．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为__________．答案：49解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为2123214 C339⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)答案：①③解析：②中恰好击中目标3次的概率应为34C×0.93×0.1＝0.93×0.4，①③正确．5．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求：(1)甲坑不需要补种的概率；答案：解：因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875．(2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；答案：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为21371C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭． (3)有坑需要补种的概率．(精确到0.001)答案：方法一：因为3个坑都不需要补种的概率为378⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以有坑需要补种的概率为1－378⎛⎫ ⎪⎝⎭≈0.330． 方法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为21317C 0.28788⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；恰有2个坑需要补种的概率为22317C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；3个坑都需要补种的概率为303317C 0.00288⎛⎫⎛⎫⨯⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330．。