最优控制课件Chap5-2

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x ( t ) ( A BR
1
T ˆ B K ) x (t )
x (0 ) 已 知
（ 5 -7 6 ）
把 控 制 规 律 5 -1 和 5 -2 的 假 设 条 件 作 一 比 较 ， 可 见 它 们 之间的主要差别是： 1 ) 在 控 制 规 律 5 -1 中 ， 并 不 要 求 状 态 方 程 （ 5 -5 1 ） 完 全 可 控 ， 但 在 控 制 规 律 5 -2 中 ， 则 要 求 状 态 方 程 （ 5 -7 2 ） 完 全 可控。
我们知道，完全可控的条件是矩阵
[ B AB A
n 1
B]
（ 5 -7 7 ）
的 秩 为 n， 即 包 含 n 个 线 性 无 关 的 列 向 量 。 可 控 性 意 味 着 能找到一个控制，把状态转移到零，当然也包括状态位于 零值附近在内。
7
对 控 制 规 律 5 -1 来 说 ， 因 为 其 控 制 区 间[ t 0 , T f ] 有 限 ， 所以由状态不可控性能指标所产生的影响，通常是有限 的； 但 对 控 制 规 律 5 -2 来 说 ， 因 为 其 控 制 区 间 无 限 ， 所 以倘若系统不可控，则无论哪一个控制都将使性能指标 趋于无限，因而无从比较其优劣。 可控性条件就是为了保证性能指标有限而提出来 的。
ˆ2 k 12 1 ˆ ˆ ˆ k 11 k 12 k 22 b 0 ˆ ˆ2 2 k 12 k 8 5 ） （ 5 -8 6 ） （ 5 -8 7 ） （ 5 -8 8 ） （ 5 -8 9 ）
ˆ a 2 k 12
§5 -2
线性时不变系统当Tf 时的状态调节器问题
1
上 一 节 我 们 研 究 了 状 态 调 节 器 的 一 般 问 题 ，得 知 其 最 优 反 馈 调 节 器 是 线 性 的 ， 然 而 ， 只 要 其 控 制 区 间[ t 0 , T f ] 为 有 限 ，这 种 系 统 总 是 时 变 的 ，甚 至 在 状 态 方 程 和 性 能 指 标 都 是 时 不 变 的 ， 即 矩 阵 A (t ) ， B (t ) ， Q (t ) ， R (t ) 都 是 常 数 矩 阵 的 情 况 下 也 是 如 此 。这 种 时 变 的 状 态 调 节 器 ，将 使 系 统 的结构大为复杂。
1
T ˆ B K x (t )
T ˆ ˆ ˆ K A A K K BR
1
T ˆ B K Q 0
解 由 方 程 （ 5 -7 4 ） 和 （ 5 -8 1 ） 可 推 出 最 优 控 制 ，
ˆ ˆ u ( t ) k 12 x 1 ( t ) k 22 x 2 ( t )
G (s) 1 s 1 (1 s
2 2
a 2) s

1 s s
2
a 2 1
（ 5 -1 0 3 ）
它的两个极点是
s a2 2 1 2 a2
（ 5 -1 0 4 ）
由 此 可 见 ， 若 a<2， 则 系 统 响 应 将 是 衰 减 振 荡 的 ； 若 a>2， 则系统不发生振荡。
T
k 11 1] k 21
k 12 x 1 ( t ) k 22 x 2 ( t )
k 12 x 1 ( t ) k 22 x 2 ( t )
其中，K满足代数Riccati方程
k 11 k 21 k 12 0 k 22 3 1 0 2 1 3 k 11 2 k 21 k 12 k 22
2 2 2
取极小值。试求出最优控制u*(t) 。 解：已知
0 A 3 1 0 1 , B ,Q 2 1 0 0 ,R 1 1
16
KA A K KBR
T
1
B K Q 0
T
故最优控制为
u (t ) R
1
ˆ B K x (t ) [ 0
（ 5 -1 0 1 ）
13
ˆ ˆ u ( t ) k 12 x 1 ( t ) k 22 x 2 ( t )
把 方 程 （ 5 -1 0 1 ） 代 入 （ 5 -8 2 ） 求 出 最 优 控 制 ，
u ( t ) x1 ( t ) a 2 x 2 (t )
（ 5 -1 0 2 ）
15
例
二阶可控系统的状态方程：
x1 ( t ) x 2 ( t ) x 2 ( t ) 3 x1 ( t ) 2 x 2 ( t ) u ( t )
最优控制u*(t)应使性能指标
J 1 2

0
[ x 1 ( t ) x 2 ( t ) u ( t )] d t
ˆ k 12 ˆ k 22
b 0 a 0 0 0
ˆ k 11 ˆ k 12
ˆ k 12 0 ˆ k 22 1
0
1
ˆ k 12 1 ˆ b k 22
（ 5 -8 3 ）
11
把 （ 5 -8 3 ） 中 得 矩 阵 相 乘 ， 整 理 出 三 个 代 数 方 程
图 5 -5 是 最 优 状 态 调 节 器 系 统 的 方 块 图 ， 图 中 s 是 经 典 控 制 理 论 中 常 用 的 拉 普 拉 斯 微 分 算 子 。 对 方 块 图 5 -5 稍 加 变 换 ， 就 得 到 方 块 图 5 -6 。
14
其 反 馈 回 路 的 传 递 函 数 是 (1 s a 2 ) 。 写 出 系 统 的 闭 环 传递函数：
a ( a)
k (t ) r 1 f ra f ra e e
2 (t T f )
f ra f ra
2 (t T f )
3
Tf
lim k ( t ) r ( a ) ar r
q r
a
2
第 二 ， 由 图 5 -4 和 方 程 （ 5 -6 8 ） 可 见 ， 随 着 终 端 时 间 T f 的 无 限 增 长 ， k (t ) 终 于 变 成 了 常 数 ， 而 最 优 反 馈 时 变系统也就转化为时不变系统。
1 T ˆ B K x (t )
（ 5 -7 4 ）
ˆ 其中 K 是nn正定常数矩阵，满足下列非线性矩阵代数方程：
T ˆ ˆ ˆ K A A K K BR 1 T ˆ B K Q 0
（ 5 -7 5 ）
此 时 最 优 状 态 x (t ) 是 下 列 线 性 时 不 变 齐 次 方 程 的 解 ：
2
在着手解决这一问题之前，回顾一下上一节所分析的 一阶系统，有两点颇有启发意义： 第 一 ， 由 （ 5 -6 4 ） 式 可 以 看 出 ， 即 使 在 一 阶 线 性 时 不 变 系 统 的 情 况 下 ， 卡 提 方 程 的 解 k (t ) 仍 然 是 时 间 t 的 函 数 ， 黎 反馈系统的时变性质正是由此产生的。
8
2 ） 在 控 制 规 律 5 -2 中 ， 矩 阵 F 0 ， 意 即 不 考 虑 任 何 形 如 lim
1 2 x ( T f ) Fx ( T f ) 的 终 端 代 价 函 数 。
T
Tf
因为，人们所关注的总是系统在有限时间内的响应，故 而在Tf 时的终端代价函数并无多大实际意义。
2 2 2
（ 5 -7 9 ）
式中
ab
2
0
1 0 0 B 1 1 Q b b a
（ 5 -8 0 ）
R 1
0 A 0
（ 5 -8 1 ）
不 等 式 （ 5 -8 0 ） 保 证 了Q 是 正 定 的 。
10
u (t ) R
k 11 k 21
k 12 0 0 k 22 1
k 11 1 k 21
k 12 1 k 22 0
0 0 1 0
0 0
经整理，并注意到k12=k21，得
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2 k 12 6 k 12 1 0 k 11 2 k 12 3 k 22 k 12 k 22 0 2k 4k k 2 1 0 12 22 22
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例 5 -2
设有可控系统
x1 ( t ) x 2 ( t ) x 2 (t ) u (t )
（ 5 -7 8 ）
这是双积分装置的状态方程，性能指标是
J 1
2 0

[ x 1 ( t ) 2 bx 1 ( t ) x 2 ( t ) ax 2 ( t ) u ( t )] dt
显 然 ， 问 题 的 症 结 在 于 k (t)是 时 变 的 。 因 此 ， 人 们 就 进 一 步 探 索 使 k (t ) 为 常 数 矩 阵 的 条 件 ， 据 以 构 成 线 性 时 不 变 的 状 态 调 节 器 系 统 ，既 简 化 了 系 统 的 结 构 ，又 便 于 维 护 使用，从工程的角度看，颇有实用价值。
完全可控，性能指标可写成
J 1
2 0

[ x ( t )Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
（ 5 -7 3 ）
其 中 u (t ) 不 受 约 束 ， 和 R 都 是 正 定 常 数 矩 阵 ， 最 优 控 制 存 在 、 Q 则 唯一，且由下式确定：
u (t ) R
12
由 不 等 式 （ 5 -9 0 ） 和 （ 5 -9 1 ） 可 知 ，
ˆ k 22 0
（ 5 -9 2 ）
可 以 判 别 当 k 12 1 与 系 统 条 件 矛 盾 ， 不 成 立 ， 由 此 得 知 方 程 （ 5 -8 4 ） -（ 5 -8 6 ） 的 解 为