导数 (4)
(完整版)导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）xx y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xxy +-=。
正切函数的4阶导数
正切函数的4阶导数
正切函数是一种常见的三角函数，其表达式为 tan(x) = sin(x) / cos(x)。
在数学中，正切函数的4阶导数可以用来描述其曲线的弯曲程度和曲率变化。
具体来说，正切函数的4阶导数的表达式为：
d4/dx4(tan(x)) = 24cos(x)^4 / (sin(x)^7)
这个公式可以用来计算正切函数在任何一点的4阶导数值。
例如，在x=π/4的点处，正切函数的4阶导数值为：
d4/dx4(tan(π/4)) = 24cos(π/4)^4 / (sin(π/4)^7) = 24/16 = 3/2
这意味着在x=π/4的点处，正切函数的曲线弯曲程度比较大，
同时曲率也在变化。
正切函数的4阶导数在数学和物理学中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来描述弹性材料的挠曲程度；在工程学中，它可以用来分析机械结构的变形情况。
因此，正切函数的4阶导数是一个重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
- 1 -。
函数导数四则运算法则
函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。
函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。
函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。
2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。
3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。
4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。
这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。
这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。
函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。
总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。
导数的四则运算法则课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
高中数学
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二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
（1）因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
（2） ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
（3） ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
（4） ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
导数的运算 (解析版)
（2）由 可得
【变式2-1】3．（福建·高考真题（理））求函数 的导数．
【答案】
【分析】根据导数的运算法则计算．
【详解】
【变式2-1】4．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)
【变式1-1】2.求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1） （2） (3) (4) (5) (6)
【解析】（1）由 ，则 ；
（2）由 ，则 ；
（3）由 ，则 ；
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（2）
（3）
（4）
（5）
【变式1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2) ；
(3) ；
(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
（4）由 ，则 ；
（5）由 ，则 ；
（6）由 ，则 .
【变式1-1】3．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.
大学导数知识点总结
大学导数知识点总结一、导数的概念导数是微积分中一个非常重要的概念，它是某一函数在某一点上的变化率。
在几何意义上，导数表示了曲线在某一点的切线斜率；在物理学中，导数表示了物体在某一时刻的速度和加速度。
因此，导数在数学、物理、经济等领域中都有着非常广泛的应用。
设y=f(x)，x为自变量，y为因变量。
如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，则称函数f(x)在点x=a处可导，记作f'(a)。
导数f'(a)就是函数f(x)在点x=a处的瞬间变化率，也就是函数的斜率。
导数的计算是微积分中的一个重要内容，它可以通过极限的方法来求得。
二、导数的计算方法求导数的过程即为求函数的瞬间变化率的过程，常用的方法有以下几种：1. 函数的基本求导公式：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等求导公式。
这些基本求导公式是求导的起点，通过它们可以得到更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么f(x)与g(x)的和、差、积、商函数在点x=a处的导数可分别表示为(f+g)'(a)、(f-g)'(a)、(fg)'(a)、(f/g)'(a)。
3. 复合函数求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
4. 隐函数求导：对于以x和y为自变量的方程，如果y不能表示为x的函数形式，则称y是x的隐函数。
对隐函数求导需要利用隐函数求导的公式。
5. 参数方程求导：对参数方程x=x(t)和y=y(t)所确定的轨迹求切线斜率时，需要计算dy/dx=y'(t)/x'(t)。
6. 反函数求导：如果函数y=f(x)在一段区间内是单调、连续、可导的，并且f'(x)≠0，则其反函数在对应区间内也是可导的，且有f^(-1)'(y)=1/f'(x)，即反函数的导数等于原函数导数的倒数。
导数微分积分公式大全
导数微分积分公式大全导数微分公式：1.常数函数的导数：f(x)=C，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数的导数：f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数：- 反正弦函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
7.当两个函数相加时，其导数为两个函数的导数之和。
8.当两个函数相乘时，其导数为一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以一个函数。
9.当一个函数的导数与一个常数相乘时，其导数等于常数乘以函数的导数。
10.当一个函数的导数与一个指数函数的底数e相乘时，其导数等于函数的导数。
积分公式：1. 幂函数的积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
2.三角函数的积分：- 正弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
- 余弦函数的积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C。
- 正切函数的积分：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
3.反三角函数的积分：- 反正弦函数的积分：∫arcsin(x) dx = x * arcsin(x) + √(1-x^2) + C。
微积分课件 第4章 导数的应用 4
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
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y
y f (x)
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3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
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二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
导数的概念与导数运算考点及题型全归纳
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：导数的四则运算法则课件
解析：由例2知y′＝－
1 x−1
2.
令－
1 x−1
2＝－1，
得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法归纳 关于函数导数的应用及其解决方法
应用
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 及涉及切线问题的综合应用．
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方
方法
x−1 − x−1 x−1 2
′x＝－
1 x−1
2，
所即以－y2a＝′|x＝－2＝1.－1，
所以a＝2.
变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋12＝0， 所以所求距离d＝12+24＝942.
变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直 线方程．
状元随笔 法则1：函数的和(差)的导数
导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导 函 数 的 情 形 ( 一 般 化 ) ， 即 [u(x)±v(x)±…±w(x)]′ ＝ u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．
法则2：函数的积的导数 (1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋ c[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)． (2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a， b为常数． (3) 函 数 的 积 的 导 数 可 以 推 广 到 有 限 个 函 数 的 乘 积 的 导 数 ， 即 [u(x)v(x)×…×w(x)]′ ＝ u ′(x)v(x)×…×w(x) ＋ u(x)v ′(x)×…×w(x) ＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x).
导数四则运算法则
意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数．因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
x 0 x
x 0 x x 0 x x 0
u (x )v (x ) u (x )v (x ).
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) u2(x) .
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
第三章 函数的微分学
第二节 导数的四则运算法则
一、导数的四则运算 二、偏导数的求法
一、导数的四则运算
定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，
则它们的和、差、积与商 v(x) (u(x) 0) u(x)
在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
另外可求得
(arcsin x) 1 , 1 x2
(arccos x) 1 , 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
,
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
(以后补证)
一、偏导数的求法
例 6 求 函 zx数 23x y2y3 在点 (2 , 1) 处
导数的四则运算法则
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
4 导数的四则运算法则
结束语 谢谢参与……
天道酬勤 人道酬诚
个人收集整理，仅供交流学习！
个人收集整理，仅供交流学习！
f (x) g(x) f (x) g (x) f (x) g(x) f (x) g (x)
即和(差)的导数等于导数的和（差）.
新知传授
2、导数的乘法与除法法则 一般地，若两个函数f (x)与g(x)的导数分别是
f (x)和g (x)，则：
f (x)g(x) f (x)g(x) g (x) f (x)
(3) y 2x cos x 3x ln x
(5) y x2 sin x lnx
x3 (2) y
x2 3
(4)
y
x(x2
1 x
1 x3
)
(6) y 2x x2 1
课堂小结
本节课先给出了导数的四则运算法则：加 法、减法、乘法、除法.再结合上一节导数公式， 理论上讲我们可以求出任何函数的导数……当 然，这个目标要实现，同学们就必须要记住导 数公式及导数的运算法则，还要多多练习，加 油！！！！！！ 每节课前上讲台练习，记不住会被罚抄……
(4) y x3 1 x
(6)
y
x2
1 x
1 x3
新知传授
例2
求下列函数的导数.
(1) y x2ex
(2) y x sin x
(3) y x l4) y sin x x
(6)
y
cos x x2
x
新知传授
例3
求下列函数的导数. (1) y (x2 3)(3x 2)
1 x lna
四阶导数几何意义
四阶导数几何意义四阶导数是函数的第四次导数，它在微积分中具有重要的几何意义。
为了理解四阶导数的几何意义，我们需要先回顾一下导数的几何意义。
一阶导数表示函数在某一点处的切线斜率，它告诉我们函数在该点的变化速率。
二阶导数表示函数的曲率，它告诉我们函数的弯曲程度。
三阶导数表示函数的弯曲程度的变化率，它描述了曲线的加速度。
那么，四阶导数又代表了什么呢？四阶导数描述了函数的曲率的变化率，它可以提供更深入的几何信息。
下面我们来详细探讨四阶导数的几何意义。
首先，我们回顾一下曲率的概念。
曲线的曲率表示了曲线在某一点处的弯曲程度。
对于平面曲线来说，曲率是一个标量值，而对于曲面来说，曲率是一个向量，包含了曲面在某一点处的弯曲方向和强度。
在二维平面中，我们可以用曲率半径来描述曲线的曲率。
曲率半径是一个与曲线弯曲程度成反比的量，曲率半径越小，曲线越弯曲。
曲率半径的倒数称为曲率，它表示了曲线每单位长度上的弯曲程度。
对于一条光滑的曲线来说，我们可以通过函数来描述它。
假设有一个函数f(x)，表示曲线在每一个点的纵坐标。
我们可以使用导数来计算曲线的切线斜率，进而计算曲率。
一阶导数f'(x)表示了曲线在每一个点处的切线斜率。
二阶导数f''(x)表示了曲线的曲率。
三阶导数f'''(x)表示了曲线的曲率变化率，即曲线的加速度。
而四阶导数f''''(x)则描述了曲线的曲率变化率的变化率，它提供了曲线的弯曲程度变化的信息。
具体来说，四阶导数可以告诉我们曲线的弯曲程度是如何变化的。
如果四阶导数是正值，那么曲线的弯曲程度会逐渐增加；如果四阶导数是负值，那么曲线的弯曲程度会逐渐减小；如果四阶导数是零，那么曲线的弯曲程度保持不变。
此外，四阶导数还可以用于描述曲线的拟合程度。
如果曲线的四阶导数在某个区间内始终接近于零，那么说明曲线在该区间内可以用一个低阶多项式函数来很好地拟合。
导数基本
(3)y＝cos2x；
(4)y＝ln(x＞－1)．
解：(1)y′＝(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′
＝x＋2＋x＋1＝2x＋3；
(2)y′＝
＝；
(3)y′＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x；
(4)y′＝[ln(x＋3)－ln(x＋1)]′
＝－＝－．
(1)弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系．
注：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；
(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(3)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程．
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0，0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得x0＝－2，∴斜率k＝13．∴直线l的方程为y＝13x．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则斜率k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解得x0＝－2，
③函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．
(2)求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)通常有以下两种方法．
①利用导数的定义：即求
的值；
②利用导函数的函数值：先求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数f′(x)，再将x0(x0∈(a，b))代入导函数f′(x)，得f′(x0)．
导数和对数
导数和对数摘要：1.导数与微分2.对数与指数3.导数与对数的关系4.实际应用正文：1.导数与微分导数是微积分学中的一个重要概念，用于表示函数在某一点处的变化率。
简单来说，导数就是一个数，表示函数在某一点的切线斜率。
在数学符号中，导数通常用f"(x) 表示。
导数的求解需要用到微分，微分是导数的基础。
微分用来度量一个变量在某一点的变化量，可以用以下公式表示：Δy = f"(x) * Δx。
其中，Δy 表示y 的变化量，Δx 表示x 的变化量，f"(x) 表示函数f(x) 在x 点的导数。
2.对数与指数对数是数学中另一个重要概念，它与指数密切相关。
对数表示一个数以某个基数为底数的幂次，通常用log_a(b) 表示。
其中，a 表示底数，b 表示幂，log_a(b) 表示以a 为底b 的对数。
对数与指数的关系可以用换底公式表示：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
其中，c 表示另一个底数。
3.导数与对数的关系导数与对数之间有着密切的关系。
在微积分学中，对数函数的导数可以通过求导对数函数的底数得到。
具体来说，如果y = log_a(x)，那么y 的导数就是1/(xlna)。
此外，对数函数还可以用来求解某些复杂函数的导数。
例如，如果f(x) = a^x，那么f(x) 的导数就是a^x * ln(a)。
这里，ln(a) 表示以e 为底的对数。
4.实际应用导数和对数在实际应用中具有重要意义。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域，导数常用来表示物体在某一时刻的速度、加速度等物理量。
而在对数函数中，对数常用来表示指数增长或减小的速率。
此外，在金融领域，对数函数也常用来表示资产的收益率。
总之，导数和对数是微积分学中的两个重要概念，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
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龙文教育一对一个性化辅导教案学生学校91中学年级高二次数第51次科目数学教师日期2016-3-12 时段10:00-12:00 课题导数（一）教学重点变化率问题、导数的概念、导数的几何意义、几个常见函数的导数教学难点导数的几何意义、几个常见函数的导数教学目标1、了解函数的平均变化率、瞬时变化率概念；2、掌握导数的概念及导数的几何意义；3、掌握几个常见函数的导数。
教学步骤及教学内容一、教学衔接：1. 检查学生的作业，及时指点；2. 回顾上节课内容。
二、内容讲解：知识点1：变化率问题知识点2：导数的概念知识点3：导数的几何意义知识点4：几个常见函数的导数三、课堂总结与反思带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结四、作业布置：管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○ 好○ 较好○ 一般○ 差备注：2、本次课后作业：课堂小结家长签字：日期：年月日导数（一）知识点一：变化率问题1．已知函数y ＝f (x )，我们把式子f x 2 －f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx.2．求函数平均变化率通常用“两步法”：一是作差，二是作商，即先求出Δy ＝f (x 2)－f (x 1)和Δx ＝x 2－x 1，再对所求得的差作商，即得Δy Δx ＝f x 2 －f x 1x 2－x 1.例题讲解 A 组 基础巩固1．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.92．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09 D ．2.13．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )24．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.35．在求平均变化率时，自变量的增量Δx 应满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠06．已知A 、B 两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，其中A 车向北行驶，速度为30 km/h ，B 车向东行驶，速度为40 km/h ，那么A ，B 两车间直线距离增加的速度为( )A ．50 km/hB ．60 km/hC ．80 km/hD ．65 km/h7．当汽球体积由V 1＝0 cm 3增加到V 2＝36π cm 3时气球的平均膨胀率为__________． 8．已知函数f (x )＝1x ，则此函数f (x )＝1x 在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为__________．9．一质点的运动方程是s ＝5－3t 2，则在时间[1,1＋Δt ]上的平均速度为__________．10．已知某物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4(t 的单位：s ，s 的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s 附近的平均速度．B 组 能力提升11．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 12．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( ) A ．－2(Δx )2 B ．－(Δx )2 C ．2Δx D ．－2Δx13．一水库的蓄水量与时间关系图象如图所示，试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？知识点二：导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δt →0ΔyΔx ＝li m Δt →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx . 我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.例题讲解 A 组 基础巩固1．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2xB ．2C ．2＋ΔxD ．1 2．设f (x )＝ax ＋4 ，若f ′(1)＝2，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－33．一物体做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( ) A ．0 B ．3 C ．－2 D ．3－2t 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →0f x ＋1 －f 12x＝( )A.12 B ．1 C ．2 D.145．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s )，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s6．设f (x )在点x ＝x 0处可导，且f ′(x 0)＝－2，则li m Δx →0f x 0 －f x 0－ΔxΔx＝( )A ．0B ．2C ．－2D ．不存在 7．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是s ＝vt ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0求f ′(1)·f ′(－1)的值．B 组 能力提升10．已知f ′(x 0)＝lim x →xf x －f x 0 x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f xx －3的值是( )A ．4B ．6C ．8D ．不存在11．已知一个质点从固定点A 开始运动，位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，求t ＝4时，li m Δt →0ΔyΔt的值．12．某一物体运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋20≤t ＜329＋3 t －32t ≥3 .)知识点三：导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即 k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.A 组 基础巩固1．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14 2．设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1 －f 1－2x2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ． 2B ．－1C ．1D ．－23．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)与f ′(5)分别为( ) A ．3,3 B ．3，－1 C ．－1,3 D ．－1，－14．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.125．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)6．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2 D ．6 7．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －5C ．y ＝3x －5D ．y ＝2x 8．曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为__________．9．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程．知识点四 几种常用函数的导数函数导数 (1)y ＝f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 (2)y ＝f (x )＝x f ′(x )＝1 (3)y ＝f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x (4)y ＝f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2(5)y ＝f (x )＝xf ′(x )＝12x例题讲解1．已知f (x )＝x n ，若f ′(－1)＝－4，则n 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 2．y ＝32x 2在点⎝⎛⎭⎫－1，32处切线的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π43．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．2B ．－2C ．±2D ．44．若曲线y ＝x 12-在点(a ，a 12-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．85．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 6．下列结论中不正确的是( ) A ．若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32 B ．若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22C ．若f (x )＝1x 2·x ，则f ′(1)＝－52D ．若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－57．曲线y ＝x 过点(4,2)的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝14x ＋1C ．y ＝－12x ＋32 D ．y ＝x8．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线斜率是________．9．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．10．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直的直线方程．11．求曲线y ＝x 5的斜率等于5的切线方程。