《图形的相似与解直角三角形》阶段练习
相似三角形与解直角三角形经典题型（含答案）
︰等于（等于（ ）的三边长，且，则它的内角∠BDG =3，那么S△ABC等于（等于（ ）（第（第（第（第7、如图，在△ABC中，DE//FG//BC，GI//EF//AB．若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为_____________．8、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，，则AB的长为_____________．题）（第8题）（第9题）9、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点．若，则AD的长为______．10、如图，在△ABC中，∠BAC︰∠ABC︰∠ACB=4︰2︰1，AD是∠BAC的平分线，有如下三个结论：①BC︰AC︰AB=4︰2︰1；②AC=AD＋AB；③△DAC∽△ABC．其中正确的结论是_____________．（填序号）序号）11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．求证：BE=2EC．12、如图，P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP=BQ．过B点作BH⊥PC，垂足为H．证明：DH⊥HQ．13、如图，O为△ABC内任一点．求证：．14、如图，M为△ABC的BC边中点，一截线交AB、AM、AC分别于P、N、Q．求证：．15、如图，已知直角梯形ABCD中，上底AD=a，下底BC=c，直角腰AB=b，E、F是AB上两点且AF=BE，DE⊥EC．求证：tan∠ADF和tan∠ADE是一元二次方程ax2－bx＋c=0的两个根．的两个根．16、某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物，两飞机在同一地点出发，甲机沿北偏东45°方向以20千米/时的速度飞行，乙机沿南偏东30°方向以千米/时的速度飞行．3小时后，乙机发现有部分药品误放在甲机上，而此时，乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机，则乙机该以怎样的速度飞行才能正好赶着甲机？正好赶着甲机？相似三角形与解直角三角形经典题型答案3、B B 由条件得由条件得b 2=a(a =a(a＋＋c)c)，延长，延长CB 至D ，使BD=AB BD=AB，，CD=a CD=a＋＋c ，△，△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DAC DAC DAC．．4、D D 设正方形设正方形DEFG 的边长为x ，29、214214、②③、②③、②③ 过过D 作DE DE⊥⊥AB 于E ．设DE=x DE=x，则，则AE=x AE=x，，BE=5x BE=5x，，AD=．10. 10. ③②③②③② 11 11 11、、提示：过C 作CF//AB CF//AB，交，交AE 延长线于F ，△ABD ABD≌△≌△≌△CAF CAF CAF，，CF=AD CF=AD，，，故BE=2CE BE=2CE．．16、提示：由△BCP ∽△HCB 有．因为BC=CD ，BP=BQ ， ，易知∠HCD=∠HBC ，故△HCD ∽△HBQ ，∴∠CHD=∠BHQ ，∴∠CHD ＋∠CHQ=∠BHQ ＋∠CHQ=90°，∴，∴DH DH DH⊥⊥HQ HQ．．17、提示：分别过A 、O 作BC 的垂线，垂足为H 、H′，18、提示：分别过B 、M 作PQ 的平行线交AC 于E 、F ，依M 为BC 的中点知：的中点知：19提示：易证△ADE ∽△BEC ，，即AE AE··AF=BC AF=BC··AD=a AD=a··c2020、、解：如图，∠BAC=105BAC=105°，°，∠C=30C=30°，°，∠B=45B=45°，°，过A 作AD AD⊥⊥BC 于D ． ∵∵AB=，∴BD=60BD=60．． ∵∠∵∠∵∠C=30C=30C=30°，°，AD AD⊥⊥BC BC，∴，∴，∴AC=120AC=120AC=120，， ∴∴CD=AD CD=AD··cot30cot30°°=．设乙机应以x 千米千米//时的速度飞行，则有：时的速度飞行，则有：2011年4月10号。
2013年初中毕业生学业考试复习初中数学图形的相似与解直角三角形阶段练习
A.
1 6
B.
1 3
C.
1 2
D.
2 3
【解析】
∵在正方形 ABCD 中， AC＝ 3 2， ∴BC＝ AB＝ 3， 延长 A′B′交 BC 于点 E， ∵点 A′的坐标为 (1,2)， ∴OE＝ 1， EC＝ A′E＝ 3－ 1＝ 2， ∴正方形 A′B′C′D′的边长为 1， 1 ∴正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 的相似比是 . 3 故选 B.
【答案】B
6．在△ABC 中，AB＝24，AC＝18， D 为 AC 上一点且 AD＝12，在 AB 上取一点 E， 使得以 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AE 的长应为( ) A． 16 B．14 C． 16 或 14 D ．16 或 9
AE AD AE 12 【解析】∵∠A＝∠A，①当 ＝ 时，△AED∽△ABC，则 ＝ ，∴AE＝16；②当 24 18 AB AC AE AD AE 12 ＝ 时，△AED∽△ACB，则 ＝ ，∴AE＝9.综上所述， AE 的长为 16 或 9. 18 24 AC AB
【答案】A
12．在平面直角坐标系中，设点 P 到原点 O 的距离为 p，OP 与 x 轴正方向的夹角为 a， 则用[p，a]表示点 P 的极坐标，显然，点 P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系，例如： 点 P 的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [ 2，45° ]．若点 Q 的极坐标为 [4,60° ]，则点 Q 的坐标为 ( ) A．(2,2 3) B．(2，－ 2 3) C．(2 3，2) D．(2,2)
【答案】A
1 3 8． 在△ABC 中， ∠A、 ∠B 都是锐角， 且 sin A＝ ， cos B＝ ， 则△ABC 的形状是( 2 2 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
九年级数学解直角三角形与图形的相似综合过关测试
解直角三角形过关自测卷(90分钟 100分)一、选择题（每题3分，共30分）1．图1，P 是角α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12,5），则tan α等于（ ） A.135 B.1312 C.125 D.512图1 图2 图32．在直角三角形ABC 中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值（ ）A.都扩大为原来的2倍B.都缩小为原来的21 C.都不变 D.无法确定3．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =BC ，点D 在AC 上，∠CBD =30°，则DCAD 的值为（ ）A.3B.22C. 3－1D.不能确定 4．1，则菱形的四个角分别为（ ）A.30°、150°、30°、150°B.45°、135°、45°、135°C.60°、120°、60°、120°D.不能确定5．如图2，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A.5 mB.6 mC.7 mD.8 m6．已知∠A，∠B是Rt△ABC的两个锐角，则方程tan A·x²－2x+tan B=0( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法确定7．如图3，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶20 n mile到达C地，则A，C两地相距（）A.30 n mileB.40 n mileC.203n mileD.103n mile 8．（2012，四川广安,有改动）如图4，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡度i=1BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A.100 mB.1003mC.150 mD.503m图4 图5 图69．如图5所示，学校的保管室里，有一架5 m长的梯子OC斜靠在墙上，此时梯子OC与地面所成的角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端C靠到对面墙上的C′点，此时梯子OC′与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为（）A.25（2+1）mB.25（3+2）mC.32mD.25（3+1）m10．（2013,广州）如图6所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tan B 等于（ ）A ．23 B.22 C.411D.55二、填空题（每题3分，共24分）11．（2012，湖北孝感）计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________. 12．在△ABC 中，∠A ,∠B 都是锐角，且(cos A －21)²+|1－tan B |=0,则∠C =__________. 13．若tan α=5,则ααααcos 3sin 2cos -sin +=__________.14．如图7，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），AB =80 m ，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是________m.图7 图8 图9 图10 15．（2014，厦门莲花中学模拟）如图8，△ABC 中，∠B =30°， ∠A =15°，若BC 边上的高为2，则BC =__________.16．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sin A =21,tan B =3,AB =10,则△ABC 的面积为___________.17．全市动员修海堤抗台风，某海堤的横断面是梯形，如图9所示，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度i=1∶1.2，堤顶宽DC 为3 m，堤高DF为10 m，则堤底宽AB约为________m.（精确到0.1 m)18．(2013，荆门)如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A=53，则DE=________.三、解答题（19题4分，20题6分，24题8分，其余每题7分，共46分）19．（1）计算：121-⎪⎭⎫⎝⎛+8+|1－2|0－2sin60°·tan60°；(2)计算：sin²30°+cos²45°+2sin60°·tan45°.20．（2013，昭通）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图11所示）．小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200 m到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1 m）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）图1121．小明将一副三角尺如图12所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD=2，求AC的长.图1222．（2013,贵阳）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE 的高度，如图13，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E 的仰角为50°．（人的身高忽略不计）（1）求AC的距离；（结果保留根号）图13（2）求塔高AE．（参考数据：tan50°≈1.2，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，3≈1.73，2≈1.41，结果保留整数）23．如图14，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10 n mile到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离.（2≈1.4, 3≈1.7,结果保留整数）图1424．某过街天桥的截面图为梯形，如图15所示，其中天桥斜面CD 的坡度i=1∶3，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=45.（1）求过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB.（结果精确到0.01 m）图1525．阅读下列材料，并解决后面的问题.如图16所示，在锐角三角形ABC 中，设∠BAC ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b ,c .过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则sin B =c AD ,sin C =b AD，即AD =c ·sin B ,AD =b ·sin C .于是c ·sin B =b ·sin C ,即CcB b sin sin =,同理有,sin sin sin sin B b BAC a BAC a C c =∠∠=，所以CcB b BAC a sin sin sin ==∠. 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.图16（1）在锐角三角形中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知三个元素，a ，b ，∠A ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B ，∠C .请你按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由a ，b ，∠A −−−→−用关系式__________求出∠B ； 第二步：由∠A ，∠B −−−→−用关系式__________求出∠C ； 第三步：由__________−−−→−用关系式__________求出c ；（2）一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮北偏西30°方向上，随后货轮以28.4 n mile/h 的速度按北偏东45°的方向航行，0.5 h 后到达B 处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°方向上（如图17所示），利用上面的结论求此时货轮到灯塔A的距离AB.（结果精确到0.1 n mile，参考数据：sin40°≈0.643,sin65°≈0.906,sin70°≈0.940,sin75°≈0.966)图17参考答案及点拨一、1．C 2．C 3．C4．C 点拨：设较大内角为α，则tan2α =3,所以2α=60°,所以α=120°.5．A 6．B 点拨：因为b 2－4ac =（－2）2－4·tan A ·tan B =4－4×1=0，故方程有两个相等的实数根.7．C 8．A 9．A10．B 点拨：过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，如答图1，易知四边形ABFD 是平行四边形，∴BF =AD =6，DF =AB =4，∵AB ⊥AC ,DF ∥AB ，∴DF ⊥AC ，又∵CA 是∠BCD 的平分线，∴CD =CF ，∠DCA =∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ，∴∠DAC =∠DCA .∴DC =DA =6，∴CF =6，∴BC =BF +CF =12.易求得AC =82,∴tan B =AB AC =428=22. 答图1二、11．1 点拨：cos 245°+tan30°·sin60°=222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33×23=21+21=1. 12．75°13．83 点拨：原式=3cos sin 2cos sin +-αααα=3tan 2tan +-αα=3525＋－=83.14．4015．32－2 点拨：设BC 边上的高为AD ，由题意知，AD =2，∠ACD =∠B +∠BAC =45°，∴tan 45°=CD AD =CD 2=1,∴CD =2, ∴tan B =BD AD =22－BC =33，解得BC =23－2. 16．2325 点拨：在该题中，并没有直接指明△ABC 是直角三角形，所以需先判断其为直角三角形，然后才能利用解直角三角形的知识解题.17．32.318．415 点拨：由题易证△AED ∽△ABC ，在△ABC 中，BC =6,sin A =53，可求得AB =10，AC =8.利用相似三角形的性质可求得DE 的长. 三、19．解：（1）原式=2+22+1－2×23×3=2+22+1－3=22. （2）原式=221⎪⎭⎫ ⎝⎛+222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2×23×1=41+21+26=43+26. 20．解：过P 作PC ⊥AB 于C ，如答图2，在Rt △APC 中，AP =200 m ，∠ACP =︒90，∠P AC =60°.∴PC =200×sin60°=200×23=1003（m ）.∵在Rt △PBC 中，sin ︒37=PB PC ,∴PB =︒37sin PC ≈6.073.1100⨯≈288（m ）. 答：这时小亮与妈妈相距约288 m.答图221．解：在Rt △BCD 中，∠BCD =45°，CD =2，cos ∠BCD =BC CD ,∴BC =BCD CD ∠cos =︒45cos 2=22.在Rt △ABC 中，∠BAC =60°，sin ∠BAC =AC BC ,∴AC =BAC BC ∠sin =︒60sin 22=2322=364.∴AC 的长为364. 点拨：△ABC 和△BCD 都是有特殊锐角的直角三角形，所以利用特殊角的三角函数值便可求得AC 的长.22．解：（1）在Rt △ABC 中，AB =4 m ，∠BCA =30°，由tan ∠BCA =ACAB ,得AC =BCA AB ∠tan =︒30tan 4=334=43（m ）. ∴AC 的距离为43 m.（2）设AE=x m ，在Rt △AED 中，由tan50°=ADx ，得AD =︒tan50x ≈1.2x （m ）， ∵CD =AD －AC =5，∴1.2x －43≈5,解得x ≈14， ∴塔高AE 约为14m.23．解：由题意知：∠BAC =53°－23°=30°，∠C =23°+22°=45°.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ,则CD =BD .∵BC =10 n mile ，∴CD =BD =BC ·cos45°=10×22=52 (n mile)，∴AD =325332530tan ⨯==︒BD ≈5×1.4×1.7=11.9(n mile).∴AC =AD +CD ≈11.9+25≈11.9+7.0=18.9≈19（n mile ）.答：此时小船与码头之间的距离约为19 n mile.24．解：（1）在Rt △AGB 中,∠ABG =45°,所以AG =BG .所以AB 的坡度为AG ∶BG =1∶1.（2）在Rt △DEC 中,tan C =33=EC DE ,所以∠C =30°.又因为CD =10 m, 所以DE =CD ·sin30°=5 m.（3）由（1）（2）知,AG =BG =DE =5 m,在Rt △AFG 中,∠AFG =30°,tan ∠AFG =FGAG ,即5533-=FB .所以FB =35－5≈3.66 （m ）. 答：此改建需占路面的宽度FB 约为3.66 m.25．解：（1）Bb A a sin sin =;∠A +∠B +∠C =180°；a ,∠A ，∠C ；Cc A a sin sin = （2）根据题意，得∠ABC =180°－45°－70°=65°，∠A =180°－（30°+45°+65°）=40°，BC =0.5×28.4=14.2（n mile ）.因为︒=︒40sin 2.1475sin AB ，所以AB ≈643.0966.02.14⨯≈21.3（n mile ），所以此时货轮到灯塔A 的距离AB 约为21.3 n mile.图形的相似过关自测卷(90分钟100分)一、选择题(每题3分,共24分)1．已知：a=0.2，b=1.6，c=4，d=1，则下列各式中正确的是（）2A.a∶b=c∶dB.a∶c=d∶bC.a∶b=d∶cD.a∶d=c∶b 2．下列命题中：①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似，正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.43．如图1，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为（）A.8 cmB.20 cmC.3.2 cmD.10 cm 4．如图2，已知△ABC的BC边上有两点D、E，且△ADE是正三角形，则下列条件不一定能使△ABD与△AEC相似的是（）A.∠BAC=120°B.AC²=EC·EBC.DE²=BD·ECD.∠EAC+∠B=60°图1 图2 图35．如图3，AD是△ABC的高，EF⊥BC，F为垂足，E是AB边的中点，DC=1BF，若BC=10，则DC的长是（）2A.310B.25C.2D. 45 6．如图4，在平行四边形ABCD 中，过点B 的直线BF 与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有（ ）A.4对B.5对C.6对D.7对图4 图5 图67．如图5，小东用长为3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8 m ，与旗杆相距22 m ，则旗杆的高为（ ）A.12 mB.10 mC.8 mD.7 m8．（2013，新疆）如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC = 60°，BC =2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5二、填空题(每题3分,共24分)9．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是__________.10．如图7，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，BDAD =2，则ADE S △︰ABC S △=_________．图7 图8 图9 图1011．如图8，△ABC 中，点D 在AB 上，请填上一个你认为适合的条件_______________，使得△ACD ∽△ABC ．12．（2013，淄博）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图9，∠A =36°，AB =AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有___________条．13．如图10，光源P 在横杆AB 的上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，已知AB =2 m ，CD =6 m ，点P 到CD 的距离是2.7 m ，那么AB 与CD 间的距离是__________.14．如图11，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AD =4，AB =5，BC =6，点P 是AB 上一个动点，当PC +PD 的和最小时，PB 的长为____________．图11 图12 图1315．（2013，南通）如图12，在□ABCD中，AB=6 cm，AD=9 cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂cm，则EF+CF的长为_________cm．足为G，BG16．（2013，苏州）如图13，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为___________．三、解答题(23题10分,其余每题7分，共52分)17．如图14，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求AB∶BC的值．图1418．（2013，怀化）如图15，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°．求证：△ABC∽△DEF．图1519．如图16，已知△ADE∽△ABC，∠A=70°，∠B=45°，AE=3cm，EB=4cm，AD=4cm，求∠AED的度数及AC的长．图1620．（2013，滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正视图如图17所示，其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm，过B点作BH⊥AD，分别交EF，AD于M，H，过C点作CG⊥AD，分别交EF，AD于N，G．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．图1721．如图18，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）BH=CG；图18（2）FC ²=BF ·GF ；（3）22AB FC =GB GF ．22．如图19，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上． （1）以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△11B OA 与 △OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA （所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）；图19（2）求出线段11B A 所在直线对应的函数关系式．23．（2013，遵义）如图20，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2 cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？．图20（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由参考答案及点拨一、1．C 点拨：∵a =0.2，b =1.6，c =4，d =21，且0.2×4=1.6×21，∴ac=bd ,∴a ∶b =d ∶c ,故选C ．2．B 点拨：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形两对对应角相等，故此选项正确；③在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然小梯形与原梯形不相似，故此选项错误；④所有的正方形的四个角都是直角，对应边成比例，所以所有的正方形都相似，此选项正确，故正确的有2个，故选B ． 3．B 点拨：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为2∶5，三角尺的一边长为8 cm ，∴投影三角形的对应边长为：8÷52=20（cm ），故选B ．4．B 点拨：本题在根据各选项中条件判定△ABD 与△AEC 相似时，易不理解判定定理2中“两边成比例且夹角相等”这一条件而出错. 5．C 点拨：∵AD 是△ABC 的高，EF ⊥BC ，F 为垂足，E 是AB 边的中点,∴EF ∥AD ，∴BF=DF ,∵DC =21BF ，BC =10,∴25BF =10,∴BF =4,∴DC =2．故选C ．6．B 点拨：题图中相似三角形有△ABC ∽△CDA ，△AGE ∽△ABC ，△AFE ∽△CB E ，△BGE ∽△BAF ，△AGE ∽△CDA 共5对，理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=CD ，∠D =∠ABC ，∴△ABC ≌△CDA ，即△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，∴△AGE ∽△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，AD ∥BC ，∴GE ∥AD ，∴△BGE ∽△BAF ，∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ，故选B ． 7．A 点拨：如答图1，∵ED ⊥AD ，BC ⊥AC ，∴ED ∥BC ，∴△AED∽△ABC ，∴BCED =AC AD，而AD =8 m ，AC=AD+CD =8+22=30（m ），ED =3.2 m ，∴BC=AD AC ED ∙ =8302.3⨯=12（m ），∴旗杆的高为12 m ，故选A ．答图18．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =2 cm ，∴AB =2BC =4 cm ，∵BC =2 cm ，D 为BC 的中点，动点E 以1 cm/s 的速度从A 点出发，∴BD =21BC =1 cm ，BE=AB －AE ，若∠BED =90°，当A →B 时，∵∠ABC =60°，∴∠BDE =30°，∴BE =21BD =12cm ，∴t =3.5，当B →A 时，t =4+0.5=4.5．若∠BDE =90°，当A →B 时，∵∠ABC=60°，∴∠BED =30°，∴BE=2BD =2 cm ，∴t =4－2=2，当B →A 时，t =4+2=6（舍去）．综上可得：t 的值为2或3.5或4.5，故选D ．二、9．28 点拨：设另一个多边形的周长是x ，依题意，有x ∶（1+2+3+4+5+6）=8∶6，解得x =28，故另一个多边形的周长是28． 10．4∶9 点拨：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵AD ∶DB =2∶1，∴AD ∶AB =2∶3，∴S △ADE ∶S △ABC =4∶9．11．∠2=∠ACB 点拨：要使△ACD ∽△ABC ，已知有一对公共角，则可添加∠2=∠ACB 或∠1=∠B ，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，答案不唯一．12．3 点拨：如答图2，过P 点作PD ∥BC 交AC 于D ，过P 点作PE ∥AC ，交BC 于E ，当PD ∥BC 时，△APD ∽△ABC ；当PE ∥AC 时，△BPE ∽△BAC ；连接PC ，∵∠A =36°，AB=AC ，点P 在AC 的垂直平分线上，∴AP=PC ，∠ABC=∠ACB =72°，∴∠ACP =∠P AC =36°，∴∠PCB =36°，∴∠B =∠B ，∠PCB =∠A ，∴△CPB ∽△ACB ，故过点P 的△ABC 的相似线最多有3条，故答案为3．答图213．1.8 m 点拨：∵AB ∥CD ，∴△P AB ∽△PCD ，设CD 到AB 距离为x m ，则7.27.2x －=CD AB ，又∵AB =2 m ，CD =6 m ，∴7.27.2x －=31，∴x =1.8，故答案为1.8 m ．14．3 点拨：延长CB 到E ，使EB =CB ，连接DE 交AB 于P ．则DE 就是PC+PD 的和的最小值，如答图3．∵AD ∥BE ，∴∠A =∠PBE ，∠ADP =∠E ，∴△ADP ∽△BEP ，∴AP ∶BP =AD ∶BE =4∶6=2∶3，∴PB =23P A ，又∵P A+PB=AB =5，∴PB =53AB =3．答图315．5 点拨：∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ；又∵AD ∥BC ，∴∠BEA =∠DAE =∠BAE ，∴AB=BE=6 cm ，∴EC =9－6=3（cm ），∵BG ⊥AE ，垂足为G ，∴AE =2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB =90°，AB =6 cm ，BG =42 cm ，∴AG =2BG ＡＢ—２ =2 cm ，∴AE =2AG =4 cm ；∵EC ∥AD ，∴EF AE EF + =AD EC =CD FC FC + =93=31，∴4+EF EF =31，6+FC FC =31,解得：EF =2 cm ，FC =3 cm ，∴EF+CF 的长为5 cm ，故答案为5．16．（2，4－22） 点拨：∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴OA=OC =2，OB =22，∵QO=OC ，∴BQ=OB －OQ =22－2，∵AB ∥OC ，∴△BPQ ∽△OCQ ，∴OC BP =OQBQ，即2BP =2222—，解得BP =22－2，∴AP=AB －BP =2－（22－2）=4－22，∴点P 的坐标为（2，4－22），故答案为（2，4－22）．三、17．解：如答图4，过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，∠BA C=120°，∴∠B =∠C =30°，BC =2BD ，设AD=x ，则AB =2AD =2x ，根据勾股定理，BD =22AD AB — =()222x x — =3x ，∴BC =23x ，∴AB ∶BC =2x ∶23x =1∶3．答图418．证明：在△DEF 中，∠D =180°－∠E －∠F =180°－79°－54°=47°，∵∠C =∠F =54°，∠A =∠D =47°，∴△ABC ∽△DEF . 19．解：∵∠A =70°，∠B =45°，∴∠C =180°－∠A －∠B =180°－70°－45°=65°，∵△ADE ∽△ABC ，∴∠AED =∠C =65°；AE ∶AC=AD ∶AB ，而AE =3 cm ，EB =4 cm ，AD =4 cm ，∴AB=AE+EB =4+3=7（cm ）,∴AC =473 =421（cm ）．∴∠AED 的度数为65°，AC 的长为421cm ． 20．解：由题意得，MH =8 cm ，BH =40 cm ，则BM =32 cm ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，AD =50 cm ，BC =20 cm ，∴AH =21（AD －BC ）=15 cm ．∵EF ∥AD ，∴△BEM ∽△BAH ，∴AH EM =BHBM ，即15EM =4032，解得：EM =12 cm ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，且EF ∥AD ，∴EF=EM+NF+BC =2EM+BC =44 cm ． 答：横梁EF 应为44 cm ．21．证明：（1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF ，∵在正方形ABCD 中，∠ABH +∠CBG =90°，∠CBG +∠BCG =90°，∠BAH +∠ABH =90°，∴∠BAH =∠CBG ，∠ABH =∠BCG ，AB=BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴BH=CG .（2）∵∠BFC =∠CFG ，∠BCF =∠CGF=90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴BF FC =FCGF，即FC 2=BF ·GF ； （3）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF ，∴∠CBG+∠BCG =90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD =90°，∴∠CBG +∠BFC =90°，∴∠BCG =∠BFC ,∵∠CBG =∠FBC ,∴△BCG ∽△BFC ，∴BFBC=ＢＣＢＧ,BC 2=BG ·BF ，∵AB =BC ，∴AB 2=BG ·BF ，∴22AB FC =BF BG BF FG ⋅⋅，即22ABFC =GB GF．22．解：（1）如答图5，△OA 1B 1为所求作的三角形．答图5（2）由（1）可得点A 1、B 1的坐标分别为A 1（4，0）、B 1（2，－4），故设线段A 1 B 1所在直线对应的函数关系式为y=kx+b （k ≠0）， ∴⎩⎨⎧+=+=,24,40b k b k － 解得⎩⎨⎧==.82－，b k故线段A 1 B 1所在直线对应的函数关系式为：y =2x －8． 23．解：∵如答图6，答图6在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4 cm ，BC =3 cm ．∴根据勾股定理，得AB =22BC AC — =5 cm ．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AB AM =AC AP ，即54t —=425t —，解得t =23；②当△APM ∽△ABC 时，AC AM =AB AP ，即44t —=525t—，解得t =0（不合题意，舍去），综上所述，当t =23时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似.（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．如答图6，过点P作PH ⊥BC 于点H ．则PH ∥AC ，∴△BPH ∽△BAC ，∴AC PH =BABP，即4PH =52t ，∴PH =58t cm ，∴S =S △ABC －S △BPN =21×3×4－21×（3－t ）·58t =54(t －23)2+521（0＜t ＜2.5）．∵54＞0，∴S 有最小值．当t =23时，S 最小值=521．答：当t =23时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是521cm 2.。
第七章《图形的相似与解直角三角形》自我测评
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解析：已知 AB＝ AC，得∠ ABC＝∠ ACB, 由∠ CBD ＝∠ A，∠ DCE＝∠ CBD，∠ EDF＝∠ DCE，得 △ ABC∽△ BDC, △ BCD∽△ CED, △ CDE∽△ DFE，利 4 b 用相似三角形的性质，可得 EF＝ 3 . 故选 C. a 答案： C
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BD 在 Rt△ BDC 中， tan∠ BCD＝ ，∴ CD＝ CD BD 4.455 ≈ ≈23.447(km)．∴ AC＝ AD＋ CD≈3.245 tan∠ BCD 0.19 ＋ 23.447＝26.692(km)．∴航行的时间为 26.692÷30≈0.89(h)． 答：需要约 0.89 小时到达．
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解析：在 Rt△ ABC 中， ∠ACB＝ 90° ， BC＝ 6， 3 BC BC sin A＝ ， ∵ sin A＝ ， ∴ AB＝ ＝10， ∴ AC 5 AB sin A ＝ AB － BC ＝ 10 － 6 ＝ 8.∵ D 是 AB 的中点， ∴ AD ＝ 5.∵∠ADE ＝ ∠ C ＝ 90°， ∠ A 是 公 共 角 ， DE AD DE 5 ∴△ ADE∽△ACB，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 DE 6 8 BC AC 15 ＝ . 4
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15．(8 分 )(2013· 济宁 )钓鱼岛及其附属岛屿是中国固 有领土(如图① )，A，B，C 分别是钓鱼岛、南小岛、 黄尾屿上的点(如图② )，点 C 在点 A 的北偏东 47° 方向，点 B 在点 A 的南偏东 79° 方向，且 A，B 两 点的距离约为 5.5 km；
图①
图②
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8． (2013· 雅安)如图， DE 是△ ABC 的中位线，延 长 DE 至 F 使 EF＝ DE， 连结 CF， 则 S△ 的值为 ( )
中考数学专项训练-图形的相似与解直角三角形
中考数学专项训练-图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B)A.12B．2 C．3 D．4(第1题图)(第2题图)2．(泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B)A．18 B.1095C.965D.2533．(遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D)A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C)A.22B.32C．1 D.625．(滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C 的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(随州中考)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__125或53__时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．若△ABC的边BC长为40 cm，高AH为30 cm，则正方形DEFG的边长为__120 7__cm.(第7题图)(第8题图)8．(包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，OA与反比例函数y＝kx的图象交于点D，且OD＝2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD＝10，则k的值为__－16__．9．(六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝__169__．10．(泰安中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD ＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD＝ABCP，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABC＝BPBA.∵AB＝10，BC＝12，∴1012＝BP10，∴BP＝253.11．(随州中考)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE ∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( B)A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD＝3，DC＝4，DE＝52，∠EDF＝90°，则DF长是( C)A.158B.113C.103D.165(第12题图)(第13题图)13．(杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE ， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB＝AEAC＝35.∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AFAG＝AEAC，∴AFAG＝35.16 .(枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，由图形可知，∠A2C2B2＝∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)，∴AD＝2，CD＝6，AC＝22＋62＝210，∴sin∠ACB＝ADAC＝2210＝1010，即sin∠A2C2B2＝10 10.17．(连云港中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD的值；(2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∠A＝∠HDC，∴△ABC∽△DHC，∴ACCD＝BCCH＝3，∴CH＝1，BH＝BC＋CH＝4，在Rt△BHD中，cos∠HBD＝BH BD ，∴BD·cos∠HBD＝BH＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH . ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD ＝3， ∴AB ＝3DH ，∴3DH ＝3DH 4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式． 解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ， ∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ， ∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD ， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x2， ∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2, ＝12x 2＋2x.。
(遵义专版)2019年中考数学总复习第1节图形的相似与位似(精练)试题
第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )A.12B．2 C．3 D．4(第1题图)(第2题图)2．(2019泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )A．18 B.1095C.965D.2533．(2019遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C )A.22B.32C．1 D.625．(2019滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2019随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm.(第7题图)(第8题图)8．(2019包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2019六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__． 10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长． 解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A.158 B.113 C.103 D.165(第12题图)(第13题图)13．(2019杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2019长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2019杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值． 解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC， ∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2019枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求， 由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB， 过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2019连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长． 解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4， 在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BH BD， ∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2019眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式． 解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ， ∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2, ＝12x 2＋2x.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9C．m＜﹣9 D．m≤﹣93．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.5．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点6．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．08．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B ＝135°，则劣弧AC 的长是（ ）A.4πB.2πC.πD.23π9．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（ ）A ．6B ．245C ．65D ．210．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）.A.15°B.20°C.25°D.30°12．下列运算正确的是（ ）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷= 3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式(a －b)(a －9b)＋4ab 的结果是____．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．15．方程3x x -=1xx +的解是_____． 16．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．17．已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a 2﹣b ＝_____． 18．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是_____． 三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a 、b ． （1）求a 、b 之积为偶数的概率；（2）若c ＝5，求长为a 、b 、c 的三条线段能围成三角形的概率．20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上一点，tan ∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA 的值．22．计算：（π0﹣3|+（12）﹣123．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．24．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a aa a a a+-+⋅---+，其中a＝﹣12．25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．(a-3b)214．615．x=﹣3 216．5 17．518．3 10三、解答题19．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM ＝DN ，列出方程求出AB 的长度，根据DF ∥BM ，得到413,43DF DG BM BG ===即可求解. 【详解】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°， ∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°， ∴△BPM 是等腰直角三角形， ∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB＝∠BCD＝90°，∵∠CBD＝45°，∴△BMP是等腰直角三角形，∴BM＝PM＝DN，与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP＝ED，∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，根据勾股定理得：BP BM，即BD+2DE＝BP BM，故答案为：BD+2DE BM；（3）如图3，∵AB∥CD，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， ∵BM ＝DN ， ∴x+2＝2x ，x ＝2， ∴AB ＝AD ＝2，DF ＝43，∴BD = ∵DF ∥BM ，∴413,43DF DG BM BG ===∴142DG =⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．5【解析】 【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值． 【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =.【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣（3+2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）见解析；（2）m的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而增大，则x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝1，m2＝﹣3（舍去）；综上所述，m的值为﹣5或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算； （2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可． 【详解】（1） ）0+（13）﹣1+4cos30°﹣﹣＝＝4； （2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++＝1a， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（ ）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．下列说法正确的是( )A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为22S =甲，21S =乙，说明甲的射击成绩比乙稳定3．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣20194．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =5．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．2=x B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x xx y x y=--++D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C．﹣3 D．﹣7．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重合，△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动（保持FG⊥BC），当点E运动到CD边上时△EFG停止运动，设△EFG的运动时间为t秒，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于t的函数大致图象为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．39．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A B．C D10．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A.x 2+52 ＝（x+1）2B.x 2+52 ＝（x ﹣1）2C.x 2+（x+1）2 ＝102D.x 2+（x ﹣1）2＝52 11．下列计算正确的是（ ）A ．3a ﹣a ＝3B ．（a 2）3＝a 6C ．3a+2a ＝2a 2D ．a 2﹣a 2＝a 412．2018年国庆小长假，泰安市旅游再次交出漂亮“成绩单”，全市纳入重点监测的21个旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元，将132000000用科学记数法表示为（ ）A ．1.32×109B ．1.32×108C ．1.32×107D ．1.32×106二、填空题13．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．14．如图，OC 是O 的半径，弦AB OC ⊥于点D ，点E 在O 上，EB 恰好经过圆心O ，连接EC .若B E ∠=∠，32OD =，则劣弧AB 的长为__________.15．分解因式：228ax a -=_______．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －12≤x＜n ＋12，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝1x 1.62+的非负实数x 的值为____. 17．在不透明的袋子中有2个白球，3个红球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率18．截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为_____．三、解答题19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝，AB＝6，求FD的长．20．如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.（1）求x的取值范围；（2）当AB＝2BC时，x的值为_____.21．化简分式：2222334424x x xx x x x⎛⎫---÷⎪-+--⎝⎭，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．22．2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式；(3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，（1）求点A的坐标；（2）点P是从O点出发，沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，交四边形ABCD的边AO或AB于点Q，交OC或BC于点R．设运动时间为t（s），已知t＝3时，直线l恰好经过点 C．求①点P出发时同时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求当0＜t＜3时S与t的函数关系式；并直接写出S的最大值．②是否存在某一时刻t，使得△ORE为直角三角形？若存在，请求出相应t的值；若不存在，请说明理由．24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）A、B两地间的距离为km；（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）求甲、乙第一次相遇的时间；（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．25．如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；分别以点D，E为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点F ；画射线BF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，作FH ⊥BC 于点H求证：BG ＝BH ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7：314．2π15．2(2)(2)a x x +-16．817．3518．5×107三、解答题19．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE ∥OD ，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；（2）连接BD ，由切线的性质及勾股定理可求出BD 的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BFDF ，然后再在Rt △ODF 中，求DF 即可. 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∵AD 平分∠EAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE ∥OD ，∵ED ⊥CA ，∴OD ⊥ED ，∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．∴BD =2，∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴∠4+∠5＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠3＝∠2，∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△FDA ， ∴BF BD DF AD ==∴BF ＝4DF ， 在Rt △ODF 中，∵（3+BF ）2＝32+DF 2，∴（3+4DF ）2＝32+DF 2，∴DF ＝7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定、切线的性质及判定、勾股定理等知识点，综合性比较强，熟练掌握基础知识是解题的关键.20．(1) 223x<<;(2)1【解析】【分析】(1)根据A、B、C三点在数轴上的位置列不等式组即可得出x的取值范围；（2）分别求出AB、BC的距离，根据AB=2BC列方程即可得出x的值.【详解】（1）由题意得：231123xx x-+>-⎧⎨+>-+⎩①②解不等式①得：x＜2；解不等式②得：x＞23．∴不等式组的解集为：23＜x＜2．（2）∵AB=2BC，∴-2x+3-(-1)=2[x+1-(-2x+3)]-2x+4=2x+2+4x-68x=8解得x=1.故答案为：1【点睛】本题考查数轴的性质、解一元一次不等式组及解一元一次方程，不等式解集遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．x+2，3.【解析】【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．【详解】2222334424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭ ＝22(2)33(224x x x x x x ⎡⎤---÷⎢⎥---⎣⎦） ＝233()224x x x x x --÷--- ＝(-2)(2)323x x x x x -⋅--+ ＝x+2，∵x 2﹣4≠0，x ﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x ＝1代入，原式＝3．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．22．(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)见解析；(3)750≤m≤900．【解析】【分析】:(1)根据题意,直接按照第一个标准,由底薪每单补贴,求解即可(2)按照x ＞m,0＜x≤500和0＜x≤500三种情况,分别求解即可;(3)根据(2)中的关系式,分别代入求解,注意要符合工资要求【详解】(1)由题意可得，1000+500×6+(600﹣500)×8＝1000+3000+800＝4800(元)，答：若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)由题意可得，当0＜x≤500时，y ＝1000+6x ，当500＜x≤m 时，y ＝1000+500×6+(x﹣500)×8＝8x ，当x ＞m 时，y ＝1000+500×6+(m﹣500)×8+(x﹣m)×10＝10x ﹣2m ，由上可得，y ＝10006(05008(500102(x x x x m x m x m +⎧⎪⎨⎪-⎩＜≤）＜≤）＞） ；(3)若800＜m≤900，y ＝8×800＝6400，符合题意，若700≤m≤800，6400≤﹣2m+10×800≤6500，解得，750≤m≤800，综上所述：750≤m≤900．【点睛】此题考查不等式组的应用，解题关键在于列出方程23．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614. 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．【详解】解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，∵OB ＝8，即B （8，0）∴A （4，4），（2）∵A （4，4），B （8，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6，∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，∴PR ＝4，C （3，﹣4），∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-43t ）， ∴QR=t-(-43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：Ⅰ．若∠REO＝90°，如图1，则点P与E点重合，∴8﹣2t＝0，解得t＝4，Ⅱ．若∠ORE＝90°，如图2．△ORP∽△REP，∴OP RPRP PE=，即RP2＝OP•PE，∴24(82) 3tt t⎛⎫=-⎪⎝⎭，解之得：t＝36 17，Ⅲ．当t＞4时，△ORE不可能为直角三角形．故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或36 17，【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．24．（1）30；（2）y＝﹣30x+60；（3）甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）25≤x≤56或76≤x≤2．【解析】【分析】（1）观察图形即可求得A 、B 两地间的距离；（2）乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1=k 1x ，设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2，由待定系数法可求乙与B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的函数关系式；（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ，甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．【详解】解：（1）由题意，得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为：30；（2）设乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1＝k 1x ，由题意，得 30＝k 1，∴y 乙1＝30x ；设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2＝k 2x+b 2，由题意，得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：223060k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝-30x+60．（3）由函数图象，得（30+20）x ＝30，解得x ＝0.6．故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1＝kx+b ，由题意，得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩， 解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩， y 甲1＝﹣20x+30，设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2＝k 3x+b 3，由题意，得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩，解得：332040k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 甲2＝﹣20x+40，当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩…时， ∴25≤x≤56； 306015102x x -+-⎧⎨⎩……， 解得：76≤x≤2． ∴25≤x≤56或76≤x≤2．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．25．详见解析【解析】【分析】由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，再证明△GBF ≌△HBF 即可得到结论.【详解】证明：由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABF ＝∠CBF ，∵FG ⊥AB ，FH ⊥BC ．∴∠FGB ＝∠FHB ，在△GBF 和△HBF 中，FGB FHB GBF HBF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF ≌△HBF （AAS ），∴BG ＝BH ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．。
相似三角形与解直角三角形试题
2016年07月22日相似三角形与解直角三角形试题一．选择题（共12小题）1．（2016?南海区校级模拟）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm2．（2016?新都区模拟）将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍D．18倍3．（2015?江都市一模）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）22=AC?BD C．AB?AD=BC?BD D．AB?AC=AD?BC A．AB．=BC?BD BAB：，堤高BC=10mAB的坡比是1，则4．（2015?祁阳县三模）如图，河堤横断面迎水坡坡面AB 的长度是（10m 20m D．B．C20m ．A．15m5．（2015秋?北塘区期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）．BD．C．．A26．（2012?新营区校级模拟）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（）第1页（共19页）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．4：17．（2015秋?黄浦区期中）如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长（）或．．．BD．CA8．（2016?东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）点OA．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）9．（2016?承德模拟）如图，把△COD扩大后得到△AOB，若点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0）．则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（2，5）D．（3，6）10．（2015?咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC 与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：611．（2015?铁岭一模）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）第2页（共19页））（﹣2a，﹣b）．（﹣2b，﹣2a D．））A．（﹣2a，﹣2b B．（﹣a，﹣2b C的坐标是两个顶点在x 轴的上方，点C△?平武县一模）如图，ABC中，A，B12．（2016的△ABCA′B′C，并把△．以点（﹣1，0）C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形，则点A'的纵坐标是（）A边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点的纵坐标是1.54 ．．﹣4 D．﹣A．3 B3 C二．填空题（共14小题）2．（13．2016?河西区模拟）计算cos+tan6045°°cos30°的值为．AB=15，AC=如图，．（2016?天桥区一模）△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，142互为相反数，﹣）﹣|与（tanB|sinA．15（2016?富顺县校级模拟）已知△ABC，若有．则∠C的度数是，，AC=4AB=8，同安区质检）如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°201416．（?．B=则∠．?2013．17（秋七里河区校级期末）化简=3第19页（共页），?18．（2015桂林）如图，在Rt△ABC中，D⊥AB，垂足为CDAC=8∠ACB=90°，，BC=6，．tan 则∠BCD的值是，BC=2，tanA=，∠D=90°，AB=3ABCD19．（2016?虹口区一模）如图，在四边形中，∠B=则CD=．20．（2015?青岛模拟）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．21．（2015秋?太仓市期末）在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=．22．（2015?丹东一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=．23．（2014?汉川市模拟）如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是．24．（2016?岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．25．（2016?徐汇区一模）如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是米．第4页（共19页）上，和地面BC费县二模）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD26．（2016?米，则电线230°角，且此时测得1米杆的影长为CD=8量得米，BC=20米，CD与地面成米．杆的高度为1小题）三．解答题（共）米，小军和1+800（处与东端?荆门）如图，天星山山脚下西端AB处相距27．（2016，东端的坡角45°B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是A小明同时分别从处和处，则小明的行走速度秒．若小明与小军同时到达山顶C米°是30，小军的行走速度为/ 是多少？195第页（共页）2016年07月22日相似三角形与解直角三角形试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016?南海区校级模拟）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2016?新都区模拟）将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍D．18倍【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：9，∴这两个相似三角形的相似比为1：3，∴这两个相似三角形的周长比为1：3，∴周长扩大为原来的3倍，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．（2015?江都市一模）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）22=AC?BD C．AB?AD=BC?ABBD D．AB?AC=AD?BC．BD ABA．=BC?B【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．【解答】解：∵△ABC∽△DBA，第6页（共19页）==；∴2AB∴BC；?AC=AD?=BC?BD，AB AD．故选正确地判断出相似三角形的对应边和对应角【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，是解答此题的关键．，则BC=10m：，堤高2015?祁阳县三模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是14．（的长度是（坡面ABm．10D20m C．A．15m B．20m的值，通过解直角三角BCAB的坡比以及铅直高度在Rt△ABC中，已知了坡面【分析】的长．形即可求出斜面AB 中，△ABC【解答】解：在Rt，：∵BC=10m，tanA=1mAC=BC÷，tanA=10∴）．AB==20（∴m C．故选：熟练运用勾股定理是【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解答本题的关键．，AC=4AB=5，AC°，D是边上一点，ABC（5．2015秋?北塘区期中）如图，Rt△中，∠C=90 ）BDC，则CD=（ABC若△∽△D．B．2．C．A ，利用相似三角形对应边成比例解答即可．△BDC∽【分析】根据△ABCAC=4 AB=5，∠∵C=90°，【解答】解：BC=3∴BDC △∵△ABC∽∴∴∴．CD=197第页（共页）故选D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，还考查了勾股定理．6．（2012?新营区校级模拟）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．4：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．【解答】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比为1：4，∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2015秋?黄浦区期中）如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长（）或D C．．A ．B．【分析】分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．【解答】解：分两种情况：①∵△ABC∽△CDB，∴AC：BC=BC：BD，即5：3=3：BD，∴5BD=9，BD=；∴AB==4，②由勾股定理得：△BDC，∽∵△ABC第8页（共19页），∴即，BD=解得：；的长为综上可知：或；BD D．故选：分两勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，【点评】本题主要考查了相似三角形的性质、种情况讨论是解决问题的关键．，以原3）（﹣9，﹣（﹣3，6），B20168．（?东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A）′的坐标是（△ABO缩小，则点A的对应点点OA为位似中心，相似比为，把，12）或（D ．（﹣1，C．（﹣9，18）或（9，﹣18），，A．（﹣12）B．（﹣918））﹣2，那么位似图形对应点的坐标的比k【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为进行求解．或﹣k等于kABO，把，以原点O△为位似中心，相似比为，6）B（﹣9，﹣3）解：【解答】∵A（﹣3，缩小，点的坐′]，即，6×A（﹣3×，6﹣×）或[3×）（﹣）A∴点A的对应点′的坐标为（﹣．2），2）或（1，﹣标为（﹣1 ．故选D本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，【点评】k．k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣相似比为C的坐标分别为，BC△AOB，若点，D扩大后得到?9．（2016承德模拟）如图，把△COD ）的坐标为（A．则点05B），（，21（，）D20，（，）199第页（共页）6）．（3，．（2，5）D）A．（2，5 B．（2.5，5）C A点坐标．B，D点坐标得出两三角形的位似比，进而得出【分析】利用已知图形结合，（2），D的坐标分别为C（1，2，【解答】解：∵把△COD扩大后得到△AOB，点C，DB ，，0），0）B（5 ，2：5∴△COD与△AOB的位似比为：．，5）则点A的坐标为：（2.5 ．故选：B 得出两图形的位似比是解题关键．【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，，则AD=OADEF．若为位似中心，将△ABC放大得到△10．（2015?咸宁）如图，以点O ）与△DEF的面积之比为（△ABC61：1：5 D．1：2 B．1：4 C．A．【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．，DEF，AD=OA放大得到以点O为位似中心，将△ABC△【解答】解：∵，OD=1：2∴OA：．：4与△DEF的面积之比为：1ABC∴△．故选：B 此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．【点评】时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图变化的鱼”2015?铁岭一模）某学习小组在讨论“11．（））对应大鱼上的点（，所示）．则小鱼上的点（ab）2a（﹣，﹣b．2a2b．2ba．），﹣（﹣A．2a2b B（﹣，﹣）C（﹣，﹣）D1910第页（共页）位似变换是以原点为在平面直角坐标系中，【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：．位似中心，相似比为1：2 ，解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2【解答】，﹣2b）．2a ∴对应点是（﹣故选A．【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．的坐标是两个顶点在x轴的上方，点C平武县一模）如图，△ABC中，A，B．12（2016?的，并把△ABC的位似图形△A′B′C（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC ），则点A的纵坐标是1.5A'的纵坐标是（边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点4D．B．﹣3 C．﹣4 A．3的纵坐倍，进而得出点A'根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2【分析】标．的位ABCC为位似中心，在x轴的下方作△解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点【解答】，′B′C似图形△A 倍．△ABC的边长放大到原来的2并把A的纵坐标是1.5，点A′的对应点A'的纵坐标是：﹣3．则点故选：B．倍关系是解决此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出纵坐标的绝对值是2【点评】问题的关键．二．填空题（共14小题）2．2cos30°的值为cos13．（2016?河西区模拟）计算45°+tan60°直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【分析】2 cos30°45°+tan60解：【解答】cos°2 +（）×=+= ．=2 ．故答案为：2 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【点评】．（2016?天桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，14AB=15，AC=9．第11页（共19页）xAC=3x，再根据勾股定理求出求出【分析】根据锐角三角函数的定义先设BC=4x，得出AC．的值，从而得出ACB=90°，，tanA==【解答】解：∵∠AC=3x，设BC=4x，则∴，AB==15∵∴，15=2解得：x，=9x∴（不合题意，舍去）x=﹣3，=3或21∴AC=3x=9；故答案为：9．求锐角的三【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数和勾股定理；角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．2互为相反数，﹣ABC，若有|sinA与（﹣|tanB）富顺县校级模拟）已知15．（2016?△．90则∠C°的度数是的度数BA，∠【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质得出∠进而得出答案．2互为相反数，）|sinA﹣|与（tanB﹣【解答】解：∵﹣=0，，∴sinA﹣=0tanB则sinA=，tanB=，，，∠B=60°∴∠A=30°．的度数是：90°则∠C 90°．故答案为：正确应【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质等知识，用绝对值以及偶次方的性质是解题关键．，AB=8，AC=4，∠（?2014同安区质检）如图，已知在直角三角形ABC中，C=90°．16 ．60°B=则∠1912第页（共页）的度数．∠【分析】根据图形可得sin∠，代入计算出B=sin∠B的值，然后即可得出B=B==，【解答】解：∵sin∠．∴∠B=60°．故答案为：60°B【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据直角三角形，求出sin∠的值．=．秋（2013?七里河区校级期末）化简17．（a≥0）、tan30°=计算即可．【分析】利用=tan30 ，°解：【解答】∵＜1﹣=．°=1原式=1﹣tan30∴解决此类题目的本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．【点评】关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算．，DAB，垂足为，BC=6，CD⊥，在（2015?桂林）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=818．．则tan∠BCD的值是BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．∠【分析】先求得A=∠．B=90°∠∠B=90°，∠BCD+∠RtRt【解答】解：在△ABC与△BCD中，A+ BCD．∠∴∠A=．A===∠∴tan∠BCD=tan故答案为．因而求一个角的函数值，三角函数值只与角的大小有关，【点评】本题考查了解直角三角形，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．1913第页（共页），tanA=，BC=2，∠2016?虹口区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=D=90°，AB=319．（CD=．则的的长，则EC△E，在直角ABE中利用三角函数求得BE【分析】延长AD和BC交于点CDE 中利用三角函数的定义求解．长即可求得，然后在直角△E．解：延长AD和BC交于点【解答】AB=3，中，tanA==，∵在直角△ABE ，∴BE=4 ，﹣BC=4﹣2=2∴EC=BE ，E=∠E∠B=∠EDC=90°，∠和∵△ABE△CDE中，∠A，∴∠DCE==，DCE=tanA=△CDE中，tan∴直角∠，DE=4x，则DC=3x∴设222在直角△CDE中，EC，=DE+DC224=16x∴+9x，，解得：x=则CD=．故答案是：．度直角三角形的性质，熟练掌握相似此题考查了相似三角形的判定与性质，含30【点评】三角形的判定与性质是解本题的关键．的顶点都在方格纸的格点△ABC1（20．2015?青岛模拟）如图，每个小正方形的边长为，上，则sinA=．第14页（共19页）的长，根据锐角三角函数的正弦于等对边比斜边，可得答根据勾股定理，可得AC【分析】案．【解答】，解：如图：由勾股定理，得AC=，=2，==sinA=故答案为：．余弦等于【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，邻边比斜边，正切等于对边比邻边．，则．太仓市期末）在21．（2015秋?△ABC中，若cosA=BC=，AB=，AC=3为直角三角形，再根据余弦函数的定义得出答△ABC【分析】根据勾股定理的逆定理得出案即可．，AB=，AC=3【解答】解：∵BC=，222）（∴=3（+），222BC∴=AC+AB，ABC为直角三角形，∴△=，∴cosA=．故答案为熟记三角函数的求法是解题的关【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的逆定理，键．．1△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=丹东一模）如图，．22（2015?可得答案．的度数，∠C根据正切函数值是对边比邻边，根据勾股定理逆定理，【分析】可得222 AB，，=9+1=10AC【解答】解：由+BC=5+5=101915第页（共页）222AC∴=AB+BC，∠C=90°．tanA==1，故答案为：1．利用了勾股定理，正切函数的定义，注意锐角三角【点评】本题考查了特殊角三角函数值，函数的定义前提是在直角三角形中．的面积AC=5，则汉川市模拟）如图，?△ABC中，△cosB=ABC，，sinC=23．（2014．是，的长，即可得出三角，CD，AD，进而得出ADBD【分析】根据已知作出三角形的高线形的面积．BC，A作AD⊥【解答】解：过点，，，sinC=AC=5∵△ABC中，cosB=∴cosB==，，∠B=45°∴，sinC===∵AD=3∴，∴CD=4，∴BD=3，=．××BC=×3（3+4）则的面积是：△ABC×AD故答案为：．进而得出相关线段的长度是，⊥BC【点评】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD 解决问题的关键．，小辰从山脚Ai=1：出发，沿山坡向上走了201624．（?岳阳）如图，一山坡的坡度为100米．B200米到达点，则小辰上升了页）19页（共16第度的直角三角形三30tan【分析】根据坡比的定义得到∠，A然后根据含=，∠A=30°边的关系求解．==解：根据题意得【解答】tan∠，A= 所以∠，A=30°m）．BC=AB=×200=100所以（100．故答案为的比，又l【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度表示，常写成i=1：m的形式叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i，如果将货物从地面用皮带轮：2.4?25．（2016徐汇区一模）如图所示，一皮带轮的坡比是1 米．送到离地1026米的平台，那么该货物经过的路程是首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【分析】，BDAE=10：2.4，米，AE⊥i=1【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡比i=∵=，米，∴BE=24（米）．ABE中，AB==26Rt∴在△26．故答案为：注意掌握数形结此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．此题比较简单，【点评】合思想的应用，注意理解坡比的定义．上，和地面BCCD费县二模）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面（26．2016?米，则电线21米杆的影长为°米，CD=8米，BC=20CD与地面成30角，且此时测得量得米．14+2杆的高度为1917第页（共页）【分析】构造相应的直角三角形，利用勾股定理及影长与实物比求解．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．∵∠DCE=30°，CD=8米，=4（米），×∴CE=CD?cos∠DCE=8 DE=4米，∴，，设AB=xEF=y ，⊥BF，AB⊥BF∵DE ，∴△DEF∽△ABF，即，=∴…①=∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，=…②，x=14+2联立，解得①②（米）．14+2．故答案为：【点评】此题主要考查学生对坡角及坡度问题的掌握情况．三．解答题（共1小题）1+（）米，小军和处与东端B处相距80027．（2016?荆门）如图，天星山山脚下西端A小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C是30°处，则小明的行走速度是多少？【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，AC=x∴．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，第18页（共19页）==2xBC=，∴小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C∵处，，解得a=1∴=米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．第19页（共19页）。
《图形的相似与解直角三角形》阶段练习PPT文档53页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
《图形的相似与解直角三角形》阶段 练习
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
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毕节专版中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形阶段测评五图形的相似与解直角三角形精练课件
阶段测评（五）图形的相似与解直角三角形（时间：60分钟总分：100分）—、选择题（本大题共10小题，每小题3分9共30分）1•若工：y=l : 3,2』=3“则生匕的值是（A ）A. -5 B—里C.£ D. 52. （2018 •广东中考）在厶ABC中，点D，E分别为边AB,AC的中点，则△ ADE与△ ABC的面13积之比为（C ）B. Q T D413（第3题图）tan a B沁sin a sin asin BD.COSBcos a4.（2018 -金华中考）如图，两根竹竿AB和人D 斜靠在墙CE上，量得ZABC = a，ZADC = ^ 则竹竿AE与AD的长度之比为（B ）5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目馱\6.如图，点D,E,F分别是△ ABC(AB>AC)各边的中点，下列说法错误的是(A )A. AD 平分ZB ACB △AEFs^AM —C.EF与AD互相平分D.ADFE是△ABC的位似图形7. （2018 •睑州中考）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则需的值D cA EB （第12题图）iri B\ r_ri \E/\ n- n/Ti j/ i iLL（第13题图）15. （2018・包头中考）如图，在口ABCD中，AC是右AEF= 1，则ADF的值为•三、解答题（本大题共5小题，共50分）16. （8分）（2018 -自贡中考）如图，在/MBC中,12,tan A=—,Z/B=30°；求AC 和AB 的长.解:过点C 作CH 丄AB 于点H. 在 RtABCH 中,BC=12,ZB = 30°, :.CH = ^-BC=6,BH= yBC 2-CH 2=6V3.••• AC= /AH 2+CH 2= 10, AB = AH + EH = 8 + 6 將.3 在 RtAACH 中，tan A = j = CH AH :.AH = & C A H B17. (10分)(2018・株洲中考)如图,RtAABM 和RtAADN 的斜边分别为正方形的边AE和A AD,其中AM=AN.(1)求证：RtAABM^RtAAND ；(2)线段MN■与线段AD相交于T,若AT二1jAD,求tan ZABM 的值.•••△DNTs/\AMT，•AM_AT 9DN~DT9•・・AT=*AD,DT • AM_ 1 •丽_!"•在RtAABM 中9 tan z^_ABM=AM_AM BM~DN1&（10分）（2018・滨州中考）如图，AB为OO 的直径，点C在①O ±,AD±CD于点D,且AC平分ZDAB.求证：(1)直线DC是OO的切线;(2)AC2 = 2AD ・AC1（2）连接EC.VAB为①O的直径，・・・ AB = 2AO, ZACB = 90°.VAD±DC, .\ZADC=ZACB = 90°. ^VZDAC=ZCAB9.\ADAC^ACAB9 V AB = 2AO, A AC2= 2AD • AO..AC_AD^\]AC2=AB • AD.*AB~AC19. （10 分）（2018 •长眇中考）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某区对两地间的公路进行改建.如图，两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶.已知BC=80 km, ZA =45°,ZB = 30°.解：（1）过点C作的垂线CD,垂足为D.VAB±CD?BC=80,ZA = 45°,ZB = 30°,A B ・・・CD=4B C=40,A AC=#CD=40 72,AAC+BC= 40 #+80^40 X 1. 41 + 80 =136.4.CA B(2) V cos 30° = f^,BC=80,BD = BC • cos 30° = 80X牙=40 75".CD・・・tan45。
相似三角形与解直角三角形经典题型(含答案)
凯迪教育相似三角形与解直角三角形经典题201512151、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE︰EC=1︰2，BE交AD于P，则AP ︰PD等于（）7A．1︰1B．1︰2 C．2︰3D．4︰32、如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AE︰EF ︰FB为（）A．1︰2︰3B．2︰1︰3 C．3︰2︰1D．3︰1︰23、设a、b、c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B>2∠A B．∠B=2∠A C．∠B<2∠A D．不确定4、如图，D、E在BC上，F、G分别在AC、AB上，且四边形DEFG为正方形．如果S△CEF=S△AGF=1，S△=3，那么S△ABC等于（）BDG（第4题）（第5题）A．6B．7 C．8D．95、如图，△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB＝_____________．6、如图，梯形ABCD中，AD//BC，两条对角线AC、BD相交于O．若S△AOD︰S△COB=1︰9，那么S△BOC︰S＝___________．△DOC（第6题）（第7题）7、如图，在△ABC中，DE//FG//BC，GI//EF//AB．若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为_____________．8、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，，则AB的长为_____________．（第8题）（第9题）9、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点．若，则AD的长为______．10、如图，在△ABC中，∠BAC︰∠ABC︰∠ACB=4︰2︰1，AD是∠BAC的平分线，有如下三个结论：①BC︰AC︰AB=4︰2︰1；②AC=AD＋AB；③△DAC∽△ABC．其中正确的结论是_____________．（填序号）11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．求证：BE=2EC．12、如图，P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP=BQ．过B点作BH⊥PC，垂足为H．证明：DH⊥HQ．13、如图，O为△ABC内任一点．求证：．14、如图，M为△ABC的BC边中点，一截线交AB、AM、AC分别于P、N、Q．求证：．15、如图，已知直角梯形ABCD中，上底AD=a，下底BC=c，直角腰AB=b，E、F是AB上两点且AF=BE，DE⊥EC．求证：tan∠ADF和tan∠ADE是一元二次方程ax2－bx＋c=0的两个根．16、某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物，两飞机在同一地点出发，甲机沿北偏东45°方向以20千米/时的速度飞行，乙机沿南偏东30°方向以千米/时的速度飞行．3小时后，乙机发现有部分药品误放在甲机上，而此时，乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机，则乙机该以怎样的速度飞行才能正好赶着甲机？相似三角形与解直角三角形经典题型答案3、B 由条件得b2=a(a＋c)，延长CB至D，使BD=AB，CD=a＋c，△ABC∽△DAC．4、D 设正方形DEFG的边长为x，29、214、②③过D作DE⊥AB于E．设DE=x，则AE=x，BE=5x，AD=．10. ③② 11、提示：过C作CF//AB，交AE延长线于F，△ABD≌△CAF，CF=AD，，故BE=2CE．16、提示：由△BCP∽△HCB有．因为BC=CD，BP=BQ，，易知∠HCD=∠HBC，故△HCD∽△HBQ，∴∠CHD=∠BHQ，∴∠CHD＋∠CHQ=∠BHQ＋∠CHQ=90°，∴DH⊥HQ．17、提示：分别过A、O作BC的垂线，垂足为H、H′，18、提示：分别过B、M作PQ的平行线交AC于E、F，依M为BC的中点知：19提示：易证△ADE∽△BEC，，即AE·AF=BC·AD=a·c20、解：如图，∠BAC=105°，∠C=30°，∠B=45°，过A作AD⊥BC于D．∵AB=，∴BD=60．∵∠C=30°，AD⊥BC，∴AC=120，∴CD=AD·cot30°=．设乙机应以x千米/时的速度飞行，则有：2011年4月10号。
中考数学总复习 相似形与解直角三角形 (含答案)
中考数学总复习 相似形与解直角三角形(测试时间60分钟，满分100分)一、选择题(每题3分，共24分)1．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD 等于 ( ) A ．21B.33C.22D ．32第1题 第2题2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 位似中心，相似比为专，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为 ( ) A ．(2，1) B ，(2，O) C ．(3，3) D ．(3，1)3，如图，一束平行光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC ＝30°，窗户在教室地面的影长MN ＝23m ，若窗户下沿到教室地面的距离BC ＝l m ，则窗户上沿到教室地面的距离AC 为( )A ．2 3mB ．3 mC ．3．2mD ．233 m第3题 第4题4．在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AC ＝4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB ＝x ，AD ＝y ，则y 关于x 的函数关系用图像大致可以表示为 ( )5．如图，△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，EF ＝1，则BN 的长度为 ( ) A ．34B ．23C.58D ．712第5题第6题6．如图，点A 在半径为3的 ⊙O 内，OA ＝3，P 为⊙O 上一点，当∠OPA 取最大值时，PA 的长等于( )A ．23B ．6C.23D ．237．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 ( )A ．4 cmB ． 6 cmC ．8 cmD ． 10 cm第7题 第8题 8．如图．△ABC 中，E 、F 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足EB AE ＝FC AF ＝21，则△EFD 与△ABC 的面积比为( )A ．91B ．92C ．31D ．32 二、填空题(每题4分，共16分) 9．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是___________10．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝14cm ，则阴影部分的面积是_________2cm第l0题第11题第12题11．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为_________.12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D、E分别在AB、AC上：将△ABC沿DE 折叠，使点A落在点A＇处，若A’为CE的中点,则折痕DE的长为________________.三、解答题(第13、14题每题8分，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共60分)13．如图，是小明晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小明，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．(1)在小明由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中．他在地面上的影子长度的变化情况为_________;(2)请你在图中画出小明站在AB处的影子；第13题(3)当小明离开灯杆的距离OB＝4．2 m时，身高(AB)为1．6m的小明的影长为1．6m，问当小明离开灯杆的距离OD＝6m时，小明的影长是多少m?14．今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动。
中考复习总结强化训练9-相似形-解直角三角形(含答案)
初三数学强化训练（九）4.5相似形，解直角三角形一、填空题 1．若357a b c==,且a +2b －c =12,则b =________． 2．△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的面积比为 ． 3．△ABC 中,ACBC,AB =3,则cosA =_________．4．如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC =2，AD =1，则DB = ． 5．如图在△ABC 中D 是AB 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是 ．6．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1．8米，乙身高1．5米，则甲的影长是 米．7．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___ _m ．8．如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2．7m ，则AB 与CD 间的距离是__________m ．9．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．10．如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．A 时B 时二、选择题11．下列命题中，是真命题的为（ ）A ．锐角三角形都相似B ．直角三角形都相似C ．等腰三角形都相似D ．等边三角形都相似 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值（ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变13．如图，∠ABC =∠EFC =70︒，∠ACB =60︒，∠DGB =40︒，则下列哪一组三角形相似？ （ ） A ．△BDG ，△CEF B ．△ABC ，△CEF C ．△ABC ，△BDG D ．△FGH ，△ABC14．如图，△ABC 中，点DE 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论： ①BC =2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ACABAE AD =．其中正确的有 （ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长之比为 （ ）A ．1︰2B ．1︰3C ．1︰4D ．1︰516．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）A ．(2)a b --，B ．(2)a b --，C ．(22)a b --，D ．(22)b a --，三、解答题17．如图，在某广场上空飘着一只汽球P ，A 、B 是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠P AB =45o ，仰角∠PBA =30o ，求汽球P 的高度（精确到0．1米，3=1．732）18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2)P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．BDAB C DE F G HD C BA ED C B A19．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABC =∠ADE ．(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．20．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE =2，ED =4．（1）求证: ABE ∆与ABD ∆相似；(2)求tan ADB ∠的值；（3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于EDF ∠的度数．21．如图，AB =3AC ，BD =3AE ，又BD ∥AC ，点B 、A 、E 在同一条直线上．(1) 求证：△ABD ∽△CAE ；(2) 如果AC =BD ，AD =22BD ，设BD = a ，求BC ．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ． 求证：（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）BC 2=2AB ·CE ．23．正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．24．如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． (1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长； (3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．参考答案一、填空题1.102.9：16.3.324.35.∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ACAC AB=6.67.48. 1.89.()9,0 10.144 二、选择题11. D 12. D 13. B 14. A 15. A 15. A 16. C 三、解答题17.解：过点P 作PC ⊥AB 于C 点，设PC=x 米．在Rt △PAC 中，tan ∠PAB=AC PC ，∴︒=45tan PCAC =PC=x （米） 在Rt △PBC 中，tan ∠PBA=BC PC∴BC=︒30tan PC =x 3（米）又∵AB=90 ∴AB=AC+BC=903=+x x ∴)13(453190-=+=x （米）∴PC=45(1.732－1)=32.9（米）18.解：(1)△ABC 和△DEF 相似．根据勾股定理，得AB =AC BC =5；DE =DF =EF =∵AB AC BC DE DF EF ===ABC ∽△DEF ． (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P 2P 5D ，△P 4P 5F ，△P 2P 4D ，△P 4P 5D ，△P 2P 4 P 5，△P 1FD ．19.解：(1) △ABC ∽△ADE, △ABD ∽△ACE (2)①证△ABC ∽△ADE ．∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ， 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE ∴△ABC ∽△ADE ． ②证△ABD ∽△ACE ．∵△ABC ∽△ADE ，∴AE ACAD AB =又∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE20.（１）∵点A 是弧BC 的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝32A CBF E D P 1P 2P 3P 4P 5在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝33 （３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝60°21.(1) ∵ BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上， ∴ ∠DBA = ∠CAE ,又∵3==AEBDAC AB , ∴ △ABD ∽△CAE . (2) ∵AB = 3AC = 3BD ，AD =22BD ，∴ AD 2 + BD 2 = 8BD 2 + BD 2 = 9BD 2 =AB 2，∴∠D =90°, 由（1）得 ∠E =∠D = 90°, ∵ AE =31BD , EC =31AD = 232BD , AB = 3BD ， ∴在Rt △BCE 中，BC 2 = (AB + AE )2 + EC 2 = (3BD +31BD )2 + (322BD )2=9108BD 2= 12a 2 , ∴ BC =32 a . 22.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90° AD 是底边BC 上的高．又∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰三角形， ∴D 是(2) 证明：∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE =∠CAD ． 又∵ ∠BCE =∠ACD ， ∴△BEC ∽△ADC ；（3）证明：由△BEC ∽△ADC ，知BCCEAC CD =，即CD ·BC =AC ·CE ． ∵D 是BC 的中点，∴CD=21BC ． 又 ∵AB =AC ，∴CD ·BC =AC ·CE =21BC ·BC=AB ·CE 即BC 2=2AB ·CE ．23.解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°， 在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△， （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，，244x x CN -+∴=， ()222141144282102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=，由（1）知AM ABMN MC=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．24.(1)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．又∵PC ⊥CD ，∴∠PCD ＝90°．而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PCD ．∴AC BCCP CD=．∴AC ·CD ＝PC ·BC ；(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ． ∵P 是AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BEBC ＝．又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43． ∴PE ＝tan BECPB ∠＝3)4从而PC ＝PE ＋EC．由(1)得CD ＝43PC(3)当点P 在AB 上运动时，S △PCD ＝12PC ·CD ．由(1)可知，CD ＝43PC ． ∴S △PCD ＝23PC 2．故PC 最大时，S △PCD 取得最大值； 而PC 为直径时最大，∴S △PCD 的最大值S ＝23×52＝503．。
《图形的相似与解直角三角形》阶段练习
1＝ 10
10 10 .
15．(16 分)(2016·武汉)在△ ABC 中，P 为边 AB 上
一点．
【导学号 90280292】
(1)如图 1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP， ∴△ACP∽△ABC, ∴AC∶AB＝AP∶AC， ∴AC2＝AP·AB．
AC 边上的点，DE∥BC，BE 与
CD 相交于点 F，则下列结论一
定正确的是( )
【导学号 90280285】
A．AADB＝AAEC
B．DFCF＝AEEC
C．DADB＝DBCE
D．DBFF＝EFFC
【 解 析 】 ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC ，
△
DEF∽△CBF，∴AADB ＝AAEC ＝DFCF，DBCE＝FDCF＝
(1)请画出△ ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的 △ A1B1C1；
解：△ ABC 向 左平移 6 个单位长 度后得到的 △ A1B1C1，如图 1 所示；
(2)以点 O 为位似中心，将△ ABC 缩小为原来的12， 得到△ A2B2C2，请在 y 轴右侧画出△ A2B2C2，并求出 ∠A2C2B2 的正弦值．
设△ CEF 的面积为 9k，则四边形 AFEB 的面积＝7k, ∵△CDF 与四边形 AFEB 的面积相等， ∴S△ CDF＝7k. ∵△CDF 与△ CEF 是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之 比， ∴ DF∶ EF＝ 7k∶ 9k＝ 7∶ 9， ∵ EF＝ 9，∴ DF＝ 7. 【答案】7
S正方形ABCD
4
．(写出
所有正确结论的序 号)
【导学号 90280291】
【解析】∵△BPC 是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°. 在正方形 ABCD 中， ∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴△ABE≌△DCF，故①正确；
《相似》《视图与投影》《解直角三角形》知识训练
Ｂ． １ ０ ｍ
Ｃ
２ ２ １ 福建 福 州 ） 列 几 何 体 ．（ ０ １ 下 中 ， 视 图 、 视 图与 俯 视 图都 是 相 主 左
同 的 圆的 几何 体 是 （ ）
Ａ．５ ／３ ｍ 、
Ｃ． １ ５ ｍ
Ｄ ０ ／３ ｍ ．１ 、
Ａ ① 和②相似 ． Ｂ ①和③相似 ． ｃ ①和④ 相似 ．
中 ，点Ｄ， 分 别在Ａ ， 上 ，Ｅ∥ Ｅ ＢＡ ｃ Ｄ
ＢＣ， ５ Ｂ １ ＡＥ ３ ＡＤ＝ ， Ｄ＝ ０， ＝ ，则Ｃ 的值 Ｅ
为（ ）
Ｂ ．６ Ｃ ．３ Ｄ．４
交ＡＤ的 延 长线 于 点Ｅ。则下 列 结 论
Ａ． ｓｎ ｉ ａ
６ ２ １ 湖 南 湘 潭 ） 城 中 学 九 ．（ ０ １ 莲 年 级 数 学 兴趣 小 组 为 测 量 校 内旗 杆 高 度 ， 图１ 在 Ｃ 测 得旗 杆 顶 端Ａ 如 ０， 点
的仰 角 为 ３ 。 向 前 走 了６ｍ到 达 Ｄ ０， 点 ，在Ｄ点 测 得 旗杆 顶 端Ａ的 仰 角 为
观 ｝ ｝ ｉ 觋 想 出 褊 挚 的 童 潍 彤 ． ｝ ｊ
列结 论 中一定 正 确 的是 （
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中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第19课时图形的相似与位似(精练)试题(2021年整理)
（毕节专版）2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第19课时图形的相似与位似（精练）试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（毕节专版）2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第19课时图形的相似与位似（精练）试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第19课时图形的相似与位似（时间:45分钟）1．如图,l1∥l2∥l3，直线a，b与l1,l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若错误!＝错误!,DE＝4，则EF的长是( C)A.错误!B.错误!C．6 D．102．（2018·临安中考)如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( B）A B C D3．(2018·重庆中考A卷）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2。
5 cm，则它的最长边为( C ) A．3 cm B．4 cm C．4。
5 cm D．5 cm4．(2018·内江中考）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为( D）A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶95．(2018·自贡中考）如图,在△ABC中,点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D)A．8 B．12 C．14 D．16（第5题图）) (第6题图）)6．(2018·荆门中考)如图，四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝（C）A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶17．(原创题）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为__1∶3__．8．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3。
相似三角形与解直角三角形试题
2016年07月22日相似三角形与解直角三角形试题一．选择题（共12小题）1．（2016•南海区校级模拟）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm2．（2016•新都区模拟）将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍D．18倍3．（2015•江都市一模）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=BC•BD B．AB2=AC•BD C．AB•AD=BC•BD D．AB•AC=AD•BC 4．（2015•祁阳县三模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（A．15m B．20m C．20m D．10m5．（2015秋•北塘区期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．6．（2012•新营区校级模拟）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．4：17．（2015秋•黄浦区期中）如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB 相似，那么BD的长（）A．B．C．D．或8．（2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）9．（2016•承德模拟）如图，把△COD扩大后得到△AOB，若点C，D，B的坐标分别为C （1，2），D（2，0），B（5，0）．则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（2，5）D．（3，6）10．（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：611．（2015•铁岭一模）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，﹣2b）B．（﹣a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）12．（2016•平武县一模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4二．填空题（共14小题）13．（2016•河西区模拟）计算cos245°+tan60°cos30°的值为．14．（2016•天桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=．15．（2016•富顺县校级模拟）已知△ABC，若有|sinA﹣|与（tanB﹣）2互为相反数，则∠C的度数是．16．（2014•同安区质检）如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，则∠B=．17．（2013秋•七里河区校级期末）化简=．18．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．19．（2016•虹口区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．20．（2015•青岛模拟）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．21．（2015秋•太仓市期末）在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=．22．（2015•丹东一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=．23．（2014•汉川市模拟）如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是．24．（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．25．（2016•徐汇区一模）如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是米．26．（2016•费县二模）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．三．解答题（共1小题）27．（2016•荆门）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？2016年07月22日相似三角形与解直角三角形试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•南海区校级模拟）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2016•新都区模拟）将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍D．18倍【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：9，∴这两个相似三角形的相似比为1：3，∴这两个相似三角形的周长比为1：3，∴周长扩大为原来的3倍，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．（2015•江都市一模）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=BC•BD B．AB2=AC•BD C．AB•AD=BC•BD D．AB•AC=AD•BC【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．【解答】解：∵△ABC∽△DBA，∴==；∴AB2=BC•BD，AB•AC=AD•BC；故选AD．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．4．（2015•祁阳县三模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（A．15m B．20m C．20m D．10m【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=10m，tanA=1：，∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20（m）．故选：C．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．5．（2015秋•北塘区期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．【分析】根据△ABC∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例解答即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4∴BC=3∵△ABC∽△BDC∴∴∴CD=．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，还考查了勾股定理．6．（2012•新营区校级模拟）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．4：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．【解答】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比为1：4，∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2015秋•黄浦区期中）如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB 相似，那么BD的长（）A．B．C．D．或【分析】分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．【解答】解：分两种情况：①∵△ABC∽△CDB，∴AC：BC=BC：BD，即5：3=3：BD，∴5BD=9，∴BD=；②由勾股定理得：AB==4，∵△ABC∽△BDC，∴，即，解得：BD=；综上可知：BD的长为或；故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，分两种情况讨论是解决问题的关键．8．（2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．9．（2016•承德模拟）如图，把△COD扩大后得到△AOB，若点C，D，B的坐标分别为C （1，2），D（2，0），B（5，0）．则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（2，5）D．（3，6）【分析】利用已知图形结合B，D点坐标得出两三角形的位似比，进而得出A点坐标．【解答】解：∵把△COD扩大后得到△AOB，点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0），∴△COD与△AOB的位似比为：2：5，则点A的坐标为：（2.5，5）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键．10．（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故选：B．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．11．（2015•铁岭一模）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，﹣2b）B．（﹣a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2，∴对应点是（﹣2a，﹣2b）．故选A．【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．12．（2016•平武县一模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，进而得出点A'的纵坐标．【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是：﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出纵坐标的绝对值是2倍关系是解决问题的关键．二．填空题（共14小题）13．（2016•河西区模拟）计算cos245°+tan60°cos30°的值为2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：cos245°+tan60°cos30°=（）2+×=+=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．（2016•天桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=9．【分析】根据锐角三角函数的定义先设BC=4x，得出AC=3x，再根据勾股定理求出求出x 的值，从而得出AC．【解答】解：∵∠ACB=90°，tanA==，∴设BC=4x，则AC=3x，∵AB==15，∴15=，解得：x2=9，∴x1=3或x2=﹣3（不合题意，舍去），∴AC=3x=9；故答案为：9．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数和勾股定理；求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．15．（2016•富顺县校级模拟）已知△ABC，若有|sinA﹣|与（tanB﹣）2互为相反数，则∠C的度数是90°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质得出∠A，∠B的度数进而得出答案．【解答】解：∵|sinA﹣|与（tanB﹣）2互为相反数，∴sinA﹣=0，tanB﹣=0，则sinA=，tanB=，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数是：90°．故答案为：90°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质等知识，正确应用绝对值以及偶次方的性质是解题关键．16．（2014•同安区质检）如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，则∠B=60°．【分析】根据图形可得sin∠B=，代入计算出sin∠B的值，然后即可得出∠B的度数．【解答】解：∵sin∠B===，∴∠B=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据直角三角形，求出sin∠B 的值．17．（2013秋•七里河区校级期末）化简=．【分析】利用（a≥0）、tan30°=计算即可．【解答】解：∵tan30°=＜1，∴原式=1﹣tan30°=1﹣=．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算．18．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．19．（2016•虹口区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tanA==，AB=3，∴BE=4，∴EC=BE﹣BC=4﹣2=2，∵△ABE和△CDE中，∠B=∠EDC=90°，∠E=∠E，∴∠DCE=∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE=tanA==，∴设DE=4x，则DC=3x，在直角△CDE中，EC2=DE2+DC2，∴4=16x2+9x2，解得：x=，则CD=．故答案是：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（2015•青岛模拟）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的正弦于等对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC==2，sinA===，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边．21．（2015秋•太仓市期末）在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=．【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，再根据余弦函数的定义得出答案即可．【解答】解：∵BC=，AB=，AC=3，∴（）2+（）2=32，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC为直角三角形，∴cosA==，故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的逆定理，熟记三角函数的求法是解题的关键．22．（2015•丹东一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=1．【分析】根据勾股定理逆定理，可得∠C的度数，根据正切函数值是对边比邻边，可得答案．【解答】解：由AC2+BC2=5+5=10，AB2=9+1=10，∴AC2+BC2=AB2，∠C=90°．tanA==1，故答案为：1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，利用了勾股定理，正切函数的定义，注意锐角三角函数的定义前提是在直角三角形中．23．（2014•汉川市模拟）如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是．【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，∴cosB==，∴∠B=45°，∵sinC===，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．24．（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了100米．【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．【解答】解：根据题意得tan∠A===，所以∠A=30°，所以BC=AB=×200=100（m）．故答案为100．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式25．（2016•徐汇区一模）如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是26米．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡比i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡比的定义．26．（2016•费县二模）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为14+2米．【分析】构造相应的直角三角形，利用勾股定理及影长与实物比求解．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CD•cos∠DCE=8×=4（米），∴DE=4米，设AB=x，EF=y，∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，∴=，即=…①，∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，=…②，①②联立，解得x=14+2（米）．故答案为：14+2．【点评】此题主要考查学生对坡角及坡度问题的掌握情况．三．解答题（共1小题）27．（2016•荆门）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．。
31-32图形的相似-解直角三角形doc
EDCBA第31课 图形的相似1．如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对E D CBAO E DCBAO EDCBA第1题图第2题图第3题图2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ，若AD=4，BD=2，则DE:BC 的值为（ ） A ．15 B ．2 C ．23D ．323．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点O ，若D O E S ∆=9，则AOB S ∆等于（ ）A ．18B ．27C ．36D ．454．如图，△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，D 为AB 边上一点，如果BD=2AD ，CD=8，sin ∠BCD=34，那么AE 的值为（ ） A． 3 B ．6 C ．7.2 D ．9第4题图 第5题图第6题图5．如图，梯形ABCD 的对角线交于点O ，有以下四个结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽△ACB ；③D O C S ∆:A O D S ∆ =DC:AB ；④A O D S ∆=B O C S ∆，其中始终正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个OBDCAD CBA6．如图，要使△ACD ∽△ABC ，只需添加条件 （只要写出一个合适的条件即可）． 7．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）6米的点A 处，沿DA 所在直线行走14米到点B 时，人影长度变长 米ADB/B MC第7题图第8题图第9题图8．矩形ABCD 中，M 是BC 边上且与B 、C 不重合的点，点P 是射线AM 上的点，若以A 、P 、D 为顶点的三角形与△ABM 相似，则这样的点有 个．9．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为2:3，已知AB=4，则DE 的长等于 ． 10．如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB=10，AC=2，用一块三角尺进行如下操作，将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若BD=8，则AP 的长为 ．11．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A 、B 为顶点作格点三角形，与△ACB 相似（相似比不能为1），则另一个顶点C 的坐标为 米．第10题图 第11题图第12题图12．如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积为S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方MNBOAOEFDCBAECBAIJHGF ED C BA形的面积S8= ．13．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE，图中有无相似三角形？若有，请写出，并对其中一对加以证明，若没有，请证明理由．14．如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径，AC∥OD，求证：（1）CD= （先填后证）；（2）若P AP C=56，试求A BA D的EDCBAOPDCBA第32课 锐角三角函数（解直角三角形）1．已知α为锐角，且54cos =α，则sin tan αα+＝ ．2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，32tan =A ，AC =4，则BC = ．3．已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，31tan =B ，10=BC ，则AB 的长为 ．4．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处（如图）．上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里．（结果保留根号）5．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．1（第9题） 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点Ａ（３，０），点Ｂ（０，－４）则cos O A B ∠等 于（ ） Ａ．34 Ｂ．34-Ｃ．35Ｄ．457．︒+︒60sin 160cos ·1tan 30︒的值是（ ）A ．23－3B ．334 C ．2－332+ D ．2338．在△ABC 中∠C=900，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且22440c ac a -+=，则sin cos A A +的值（ ）A ．B ．12+C ．12+ Ｄ．29．在直角三角形中，各边的长度都扩大原来的m 倍，则锐角A 的各三角函数值（ ） A ．都扩大到m 倍 B ．都扩大到（m+1）倍 C ．不变 D ．不能确定ABC10．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，则重叠部分的面积为（ ） A ．1sin αB ．sin α Ｃ．1cos αＤ．cos α11．沿坡角为30°的斜面前进100米，则上升的高度为（ ）A ．m BC ．50 mD ．50m12．计算：2sin 60tan 30sin 45︒︒︒⋅+13．计算：sin 30cos 60tan 45tan 60tan 30︒︒︒︒︒+--⋅ 第10题图14．如下图所示，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AC 边上一点，且5==DB AD ，3=CD ，求CBD ∠tan 和A sin .15．某片绿地的形状如图，其中60A ︒∠=，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200米，CD=100米，求AD ，BC 的长．331003 BAB C DE16．某校的教室A 位于工地O 的正方向，且OA=200米，一部拖拉机从O 点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53︒方向行驶，沿拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A 是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由，若在，求出教室A 受污染的时间有几秒？（已知sin 530.8︒= s i n 370.︒= t a n 370.7︒=）第31课 图形的相似答案1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 6．∠ADC ＝∠ACB (∠ACD ＝∠ABC) 7．3.5米 8．2 9．6 10．2或8 11．（4，4）或（5，2） 12．128 13．有 △ADE ∽△AEC ，证明略 14．（1）CD=BD 证明略 (2) 54A B A D= ,第32课 锐角三角函数（含解直角三角形）答案1． 2．49203．040 4．835．A 6．Ｃ 7．A 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ11．Ｃ 12．解：原式＝１ 13．解：原式=1 14．解：在Rt △CDB 中，︒=∠90C ，4352222=-=-=CDDBBC ，∴43t a n =∠C B D .在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5422=+=ACBCAB ，∴55sin =A .15．解：R t △ABC 中02002004001602AB AE C osAC os ====（米）∠E=900-∠A=900-600=300 RT △CDE 中1001002001302C D C E SinESin ︒====（米）tan 303C D D E ︒===米）400227AD AE DE =-=-≈（米）200146BC BE C E =-=≈（米）16.解：由题意可知53α︒=，OA=200米 作AB ⊥OM 于B ， 037BOA ∴∠=37120AB OASin ∴=≈120130< 教室A 在噪音范围内由题意知，在OM 上取两点C 、D ，得AC=AD=130米AB ⊥OM 50BC ∴=≈=米50B C B D =≈米 100C D ≈米∴受污染时间为100205=秒100205=。
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15．(2014· 娄底)如图，小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿， 使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点 O， 此时 O 点与竹竿的距离 OD＝6 m，竹竿与旗杆的距离 DB＝12 m，则旗杆 AB 的高为 m.
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解析：方法一：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB， CD OD 6 1 ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴AB＝3CD＝9(m)，即旗杆 AB OB 6＋12 3 AB 的高为 9 m．方法二：∵∠CDO＝∠ABO＝90° ， CD AB AB 3 ∴tan O＝ ＝ ，即 ＝ ，得 AB＝9(m)，即旗 OD OB 6 6＋12 杆 AB 的高为 9 m. 答案：9
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二、填空题(每小题 4 分，共 20 分) 13 ． (2013· 扬 州 ) 在 △ABC 中 ， AB ＝ AC ＝ 5 ， sin∠ABC＝0.8，则 BC＝ .
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解析：如图，作 AD⊥BC 于点 D.∵AB＝AC，∴BD AD ＝CD.在 Rt△ABD 中， ∵sin∠ABC＝ ， ∴AD＝AB· sin∠ABC AB ＝5×0.8＝4，∴BD＝ AB －AD ＝ 5 －4 ＝3，∴BC＝2BD ＝6.
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下列结论：①△ADE∽△ACD；②当 BD＝6 时， △ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时， BD 25 为 8 或 ；④0<CE≤6.4. 其中正确的结论是 2 (把你认为正确结论的序号都填上)．
4
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8．(2014· 河北)在研究相似问题时，甲、乙同学 的观点如下： 甲：将边长为3,4,5的三角形按图①的方式向外扩 张，得到新三角形，它们的对应边间距均为 1，则新 三角形与原三角形相似．
图①
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乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图②的方式向外扩 张，得到新矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形 与原矩形不相似．
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16．(2014· 湖州)如图，已知在 Rt△OAC 中，O 为 坐标原点，直角顶点 C 在 x 轴的正半轴上，
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k 反比例函数 y＝ (k≠0)在第一象限的图象经过 OA 的 x 中点 B，交 AC 于点 D，连接 OD.若△OCD∽△ACO， 则直线 OA 的解析式为 .
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7．如图，在△ABC 中，AB＝ AC＝ a， BC＝ b(a ＞ b) ．在△ABC 内依次作 ∠CBD ＝∠A ，∠DCE ＝ ∠CBD，∠EDF＝∠DCE.则 EF 等于( )
b3 A. 2 a
a3 B. 2 b
b4 C. 3 a
a4 D. 3Biblioteka b宇轩图书解析：由 AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB.由∠CBD ＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE，得 △ABC∽△BDC, △BCD∽△CED, △CDE∽△DFE， b 利用相似三角形的性质，可得 EF＝ 3.故选 C. a 答案： C
2 2
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12．(2013· 德阳)如图，在▱ABCD 中，AB＝6, AD ＝9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线 于点 F，BG⊥AE，垂足为 G，若 BG＝4 2，则△CEF 的面积是( )
A． 2 2
B.
2
C． 3 2
D． 4 2
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解析：∵在▱ABCD 中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9， AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF＝∠DAF.∵AB∥DF， ∴∠BAF＝∠F，∴∠F＝∠DAF，∴△ADF 是等腰三角 形，∴DF＝AD＝9.又∵CD＝AB＝6，∴CF＝3.同理可得 ∠BEA＝∠DAF＝∠BAF，∴BA＝BE.∵BG⊥AE，
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3．(2014· 连云港)如图，若△ABC 和△DEF 的面 积分别为 S1，S2，则( )
1 A．S1＝ S2 2 C．S1＝S2
7 B．S1＝ S2 2 8 D．S1＝ S2 5
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解析：如图，若都以长度为 8的边为底，则高都 等于5sin 40° ，所以两三角形的底相等，高相等，所 以S1＝S2.故选C.
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《图形的相似与解直角三角形》阶段练习 (时间：60分钟 分值：100分)
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一、 选择题(每小题 4 分，共 48 分) 1．计算 6tan 45° －2cos 60° 的结果是( D A．4 3 C．5 3 B．49 D．5 )
1 解析：原式＝6×1－2× ＝6－1＝5.故选 D. 2
解得 a2＝2k，
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a ∴点 B 的坐标为 2，a.设直线 OA 的解析式为 a y＝mx，则 m· ＝a，解得 m＝2，∴直线 OA 的解析式 2 为 y＝2x. 答案：2x
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17．(2014· 咸宁)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝ 10，点 D 是边 BC 上一动点(不与 B，C 重合)，∠ADE 4 ＝∠B＝α，DE 交 AC 于点 E，且 cos α＝ . 5
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解析：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，交 DG 于点 I，
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1 2 2 BH＝ BC＝6，在 Rt△ABH 中，AH＝ AB －BH ＝ 2 18 －6 ＝12 2，易知 D，G 分别是 AB，AC 的中点， 1 则 I 为 AH 的中点，IH＝6 2，DG＝ BC＝6，则正方 2 形 DGFE 的边长 FG＝6， 于是点 F 到 BC 的距离＝6 2 －6.故选 D. 答案： D
k k 解析：设 OC＝a(a＞0)，∵点 D 在 y＝ 上，∴CD＝ . x a OC AC OC a ∵△OCD∽△ACO，∴ ＝ ，∴AC＝ ＝ ， CD OC CD k
3 a ∴点 A a， k .∵点 B 是 OA 的中点，∴点 B 的坐标 3 a a k a ， 为 2 2k .∵点 B 在反比例函数图象上，∴ ＝ ， a 2k 2 3 2 3
答案： C
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4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交 于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF∶FC＝( )
A．1∶4 C．2∶3
B．1∶3 D．1∶2
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解析：由平行四边形的性质，可得 OB＝OD，又 1 1 ∵E 是 OD 的中点，∴DE＝ BD，DE＝ BE.又∵DF∥AB， 4 3 ∴DF∶AB＝DE∶BE＝1∶3.∴DF∶FC＝1∶2.故选 D. 答案： D
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解析： 如图， ∵点 G 是 BC 的中点， EG∥AB， ∴EG 是△ABC 的中位线，
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∴AB＝2EG＝30(米)．在 Rt△ABC 中，∠CAB＝ 3 30° ，则 BC＝AB· tan∠BAC＝30× ＝10 3(米)．延 3 长 CD 至点 F，使 CF＝AB.在 Rt△AFD 中，AF＝BC ＝10 3米， ∠FAD＝30° ， 则 FD＝AF· tan∠FAD＝10 3 3 × ＝10(米)．综上可得，CD＝AB－FD＝20(米)．故 3 选 A. 答案： A
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6．(2014· 孝感)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC， BD 相交成的锐角为 α，若 AC＝a，BD＝b，则▱ABCD 的面积是( ) B．absin α 1 D. abcos α 2 1 A. absin α 2 C．abcos α
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解析：如图，作 DE⊥AC，垂足为点 E，
2 2 2 2
答案：6
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14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E，BC 3 ＝6，sin A＝ ，则 DE＝ 5 .
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解析：在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，BC＝6， BC BC 3 sin A＝ ，∵sin A＝ ，∴AB＝ ＝10， AB 5 sin A ∴AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8. ∵D 是 AB 的中点，∴AD＝5. ∵∠ADE＝∠C＝90° ，∠A 是公共角， DE AD DE 5 ∴△ADE∽△ACB，∴ ＝ ，即 ＝ ， BC AC 6 8 15 解得 DE＝ . 4 15 答案： 4
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2．(2014· 兰州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ， BC＝3，AC＝4，那么 cos A 的值等于( )
3 A. 4
4 B. 3
3 C. 5
4 D. 5
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解析：∵∠C＝ 90° ， BC＝ 3， AC＝ 4， ∴AB＝ 5. AC 4 在 Rt△ABC 中，cos A＝ ＝ .故选 D. AB 5 答案： D
2 2
24 2 2 18 ＝ (cm)．在 Rt△DHB 中，BH＝ BD －DH ＝ (cm)， 5 5 7 则 AH＝AB－BH＝ (cm)． 5
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7 GH AH GH 5 ∵△AGH∽△ABO，∴ ＝ ，即 ＝ ， BO AO 3 4 21 ∴GH＝ (cm)．故选 B. 20 答案： B
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9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米， 从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点， 且俯角 α 为 60° ，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30° ， 若旗杆底点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD 为 ( ) A．20 米 B．10 3米 C．15 3米 D．5 6米
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∵四边形 ABCD 是平行四边形，BD＝b， 1 1 ∴OD＝ b，∴DE＝OD· sin α＝ bsin α， 2 2 1 1 a 1 1 ∴S△ODC＝ OC· DE＝ × × bsin α＝ absin α， 2 2 2 2 8 1 ∴S▱ABCD＝4S△ODC＝ absin α.故选 A. 2 答案： A