[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编15.doc

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考研数学二历年真题(2003—2012)题目

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。

考研数学2全部真题答案

考研数学2全部真题答案考研数学2是许多考生备考过程中的一大难题。

它的题目形式多样，考察的知识点也十分广泛。

在备考过程中，熟悉真题并掌握解题技巧是非常重要的。

本文将为大家提供考研数学2全部真题的详细解答，希望对考生们的备考有所帮助。

第一部分：解析选择题第一题：A解析：这道题考察的是对数函数的性质。

根据定义，对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

因此，对数函数的图像在x轴的左侧是不连续的。

所以选项A是正确的。

第二题：B解析：这道题考察的是函数的极限。

根据极限的定义，当x趋于无穷大时，指数函数的增长速度远远大于多项式函数。

因此，选项B是正确的。

第三题：C解析：这道题考察的是导数的定义。

根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。

对于指数函数，其导数仍然是指数函数。

因此，选项C是正确的。

第四题：D解析：这道题考察的是曲线的切线方程。

根据切线的定义，切线是曲线在某一点的斜率所确定的直线。

对于给定的曲线和点，我们可以通过求导来得到曲线在该点的斜率，然后带入切点的坐标即可得到切线方程。

因此，选项D是正确的。

第五题：A解析：这道题考察的是函数的极值。

根据极值的定义，当函数在某一点的导数为零时，该点可能是函数的极值点。

因此，选项A是正确的。

第二部分：解析计算题第一题：略第二题：略第三题：略第四题：略第五题：略通过以上对考研数学2全部真题的解答，我们可以看到，考研数学2的题目难度较大，需要考生们具备扎实的数学基础和解题技巧。

在备考过程中，熟悉真题并进行针对性的练习是非常重要的。

同时，要注重对知识点的理解和掌握，加强对数学概念和定理的记忆。

此外，还可以参加一些数学辅导班或者找一位经验丰富的老师进行辅导，以提高解题能力和应试技巧。

总结起来，考研数学2是一门需要认真备考的科目。

通过对真题的解析和练习，考生们可以更好地掌握考点和解题技巧，提高自己的解题能力。

希望本文的解析对考生们的备考有所帮助，祝愿大家在考试中取得好成绩！。

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设Ik=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2 ＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1 ＜I3正确答案：D解析：本题主要考查定积分几何意义，曲线y=sinx如上图，而在(0，+∞)单调增且大于1，则曲线y=sinx如下图．该曲线与x轴围成三块域面积分别为S1，S2，S3，由定积分几何意义知=S1+(S3一S2)＞S1=I1则I2＜I1＜I3故应选(D)．2．设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，则A．x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B．x=π是函数F(x)的可去间断点．C．F(x)在x=π处连续但不可导．D．F(x)在x=π处可导．正确答案：C解析：3．设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则A．α＜一2．B．α＞2．C．一2＜α＜0．D．0＜α＜2．正确答案：D解析：则敛，则a+1＞1，即a＞0，故0＜a＜2．4．下列反常积分中收敛的是A．B．C．D．正确答案：D解析：∫2+∞=∫2+∞xe一xdx=一∫2+∞xde一x=一xe一x|2+∞+∫2+∞e 一xdx=一e一x|2+∞=e一2则该反常积分收敛，故应选(D)．5．知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是A．B．C．D．正确答案：D解析：则C1=一1+C2．令C1=C，则C2=1+C故应选(D)．6．反常积分的敛散性为A．①收敛，②收敛．B．①收敛，②发散．C．①发散，②收敛．D．①发散，②发散．正确答案：B解析：=一(0一1)=1则该反常积分收敛．则该反常积分发散，故应选(B)．填空题7．曲线y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧长s=________．正确答案：解析：8．设函数f(x)=λ＞0，则∫一∞+∞xf(x)dx=________．正确答案：解析：∫一∞+∞xf(x)dx=λ∫0+∞dx=一∫0+∞xde一λx= 一xeλx|0+∞+∫0+∞e一λxdx9．=________．正确答案：解析：这是一个n项和的极限，提出一个的因子知，原式为一个积分和式10．设函数f(x)=∫一1x则y=f(x)的反函数x=f一1(y)在y=0处的导数|y=0=________．正确答案：解析：由f(x)=∫一1x知，当f(x)=0时，x=一1，又11．设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是________．正确答案：解析：由线所围图形面积为12．∫一∞1=________．正确答案：解析：13．一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x) =一x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=________．正确答案：解析：质心的横坐标为14．设函数f(x)连续，φ(x)=x(t)dt，若φ(1)=1，φ’(1)=5，则f(1)=________．正确答案：2．解析：φ(x)=f(t)dt，由φ(1)=1知∫01f(t)dt=1，又φ’(x)=f(t)dt+2x2f(x2)由φ’(1)=5知5=∫01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1)则f(1)=2．15．极限=________．正确答案：sin1 一cos1．解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√x +∞2dx (B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在?α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0，lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续?α−β>1。

考研数学二真题29套：1989年至2018年

六、(本题满分 7 分) 证明方程ln x
x 1 cos 2xdx 在区间(0, ) 内有且仅有两个不同实根. e 0
含 29 套考研数学二历年真题：1985 年至 2018 年全国考研数学二真题真题目录（29 套）
1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

高数2考研真题

高数2考研真题高数2考研真题高等数学是考研数学科目中的重要部分，而高数2作为其中的一部分，其考察的内容更加深入和复杂。

对于考研学子来说，了解和熟悉高数2的考点和真题是非常重要的。

本文将对高数2考研真题进行分析和讨论，帮助考生更好地备考。

首先，我们来看一道高数2的考研真题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。

证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi-a}+\frac{f(\xi)}{b-\xi}。

这是一道典型的微分中值定理的应用题。

首先，我们可以观察到题目中给出了函数f(x)在区间[a,b]上的连续性和可导性，以及f(a)=f(b)=0这两个条件。

这些条件是为了让我们可以应用微分中值定理来证明题目中的结论。

根据微分中值定理，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么必然存在一个点ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。

我们可以将题目中的f(a)=f(b)=0代入到这个式子中，得到f'(\xi)=0。

这是因为分子为0，分母也为0，所以结果为0。

接下来，我们需要证明题目中的结论：f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi-a}+\frac{f(\xi)}{b-\xi}。

我们可以将f'(\xi)代入到这个式子中，得到\frac{f(\xi)}{\xi-a}+\frac{f(\xi)}{b-\xi}=0。

我们可以对这个式子进行化简，得到f(\xi)\left(\frac{1}{\xi-a}+\frac{1}{b-\xi}\right)=0。

根据零因子的性质，我们知道如果一个乘积等于0，那么其中至少有一个因子等于0。

所以，我们可以得出结论：f(\xi)=0或者\frac{1}{\xi-a}+\frac{1}{b-\xi}=0。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 〖答案〗B〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩〖答案〗D〖解析〗当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（）。

1990-2012考研数学二历年真题word版

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2）设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6）设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在；（Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关；（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h 应为多少？八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处的切线方程为：（）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ；（D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <；（B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >；（D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示：则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。

2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学二)

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的斜渐近线方程是()(A)y x e =+(B)1y x e =+(C)yx=(D)1y x e=-(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x≤=+>⎩的原函数为()(A))ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧-≤⎪=⎨⎪+->⎩(B))ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩(C))ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩(D))ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩(3)设数列{}n x ,{}n y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时()(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 是n y 的等价无穷小(D)n x 是n y 的同阶但非等价无穷小(4)已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则,a b 的取值范围为()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，'(0)f 不存在(B)'(0)f 不存在，()f x 在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f "不存在(D)(0)f "存在，()f x "在0x =处不连续(6)若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()(A)1ln(ln 2)-(B)ln(ln 2)-(C)1ln 2-(D)ln 2(7)设函数2()()xf x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是()(A)[)0,1(B)[)1,+∞(C)[)1,2(D)[)2,+∞(8)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)*****0A B B A A B ⎛⎫-⎪⎝⎭(B)****0A B A B B A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(C)****0B A B A A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(D)****0B A A B A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(10)已知向量12121221=2=1=5=03191ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，若γ既可由12αα，线性表示，也可由12ββ，线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)=+++f x ax bx x 与2()cos x g x ex =-是等价无穷小，则ab =_______.(12)曲线y =⎰的弧长为________.(13)设函数(,)=z z x y 由2ze xz x y +=-确定，则22(1,1)zx ∂=∂________.(14)曲线35332=+x y y 在1x =对应点处的法线斜率为________.(15)设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +-=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰________.(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其,a b 为常数，若0111412a a a=则，11120a a ab =________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L ：()()y x x e y =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x .(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.(18)(本题满分12分)求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值.(19)(本题满分12分)已知平面区域(,)01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，(Ⅰ)求D 的面积.(Ⅱ)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰.(21)(本题满分12分)设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续导数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a .(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(22)(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .2023年答案及解析（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(B)【解析】1ln()11limlim limln()11→∞→∞→∞+-===+=-x x x x e yx k e x x x 11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(D)【解析】当0≤x 时，1()ln(==++⎰f x dx x C当0>x时，()(1)cos(1)sin(1)sin sin=+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos=+++x x x C原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处11lim ln(-→+=xx C C，22lim(1)sin cos1+→+++=+xx x x C C所以121=+C C，令2=C C，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C xf x dxx x x C x，结合选项，令=C，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos,0⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩x xF xx x x x(3)【答案】(B)【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sinx xπ<故12sinn n nx x xπ+=>112n ny y+<1111122444n nn n nn n ny y y yx x x xππππ++⎛⎫⎛⎫⇒<⋅=⋅===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Llim0nnnyx→∞⇒=.故n y是n x的高阶无穷小.(4)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by的特征方程为20++=a bλλ，当240∆=->a b时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C都不为零，则微分方程的解1212--=+x xy C e C eλλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b 时，特征方程的根为1,222=-±a b a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (5)【答案】(C)【解析】1)当0t >时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx =⎧+=⎨=⎩；当0t <时，sin cos ,sin 1x t dy t t ty t t dx =⎧--=⎨=-⎩；当0t =时，因为()()()000sin '0lim lim 03x t f x f t tf x t+++→→-===；()()()000sin '0lim lim 0x t f x f t tf x t---→→--===所以()'00f =.2)()()()()000sin cos sin cos lim 'lim 0'0;lim 'lim 0'0;33x t x t t t t t t t f x f f x f ++--→→→→+--======所以()()0lim ''00x f x f →==，即()'f x 在0x =连续.3)当0t =时，因为()()()00''0sin cos 2''0lim lim 339x t f x f t t t f x t +++→→-+===⋅；()()()00''0sin cos ''0lim lim 2x t f x f t t tf x t---→→---===-所以()''0f 不存在.(6)【答案】(A)【解析】当0α>时()()()12211111()ln ln ln 2f dx x x x αααααα+∞+∞+==-⋅=⋅⎰所以()()()211ln ln 21111'()ln ln 20ln 2ln 2ln 2f αααααααα⎛⎫=-⋅-⋅=-⋅+= ⎪⎝⎭，即01ln ln 2α=-.(7)【答案】(C)【解析】()()()222(),'()2'()42xxxf x x a e f x x a x e f x x x a e =+=++=+++，，由于()f x 无极值点，所以440a -≤，即1a ≥；由于()f x 有拐点，所以()16420a -+>，即2a <；综上所述[)1,2a ∈.(8)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**2⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n B A EOB A E A B A B A B E OA B E O A B E ，故(D)正确.(9)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(10)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】由2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-22222221()211()1()2ax bx x x x x x x x οοο++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,2ab =-.(12)43π【解析】y '=由弧长公式可得l ==2sin x t =23024cos tdtπ⎰30441cos 23ππ=+=⎰tdt .(13)【答案】23-【解析】两边同时对x 求导得：02e z-=∂∂⋅++∂∂⋅xzx z x z ①两边再同时对x 求导得：2222e e 0zz z z z z z z x x x x x x x∂∂∂∂∂∂⋅⋅+⋅+++⋅=∂∂∂∂∂∂②将1,1x y ==代入原方程得10ze z z +=⇒=，代入①式得1200=∂∂⇒=∂∂++∂∂⋅xz x z x z e .代入②式得2301112222220-=∂∂⇒=∂∂+++∂∂⋅+⋅x z x z x z e e .(14)【答案】119-【解析】两边对x 求导：242956''=⋅+⋅x y y y y ①当1=x 时，代入原方程得12335=⇒+=y y y 将1,1==x y 代入①式得(1,1)995y 6y y |11'''=+⇒=,所以曲线在1=x 处的法线斜率为119-.(15)【答案】21【解析】⎰⎰⎰+=312132)()()(dxx f dx x f dx x f ⎰⎰++=211)2()(dxx f dx x f⎰⎰++=211])([)(dxx x f dx x f ⎰⎰⎰++=21101)()(xdxdx x f dx x f ⎰⎰+=201)(xdxdx x f 210+=21=(16)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为Y y xy '=-，则x y xy '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2()0y e =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32x e =.当32e x e <<时，()0S x '<；当32x e >时，()0S x '>，故()S x 在32x e =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332()S e e =.(18)【解析】cos cos 0(sin )0y x yy f e x f xe y '⎧=+=⎪⎨'=-=⎪⎩，得驻点为：1(,)e k π--，其中k 为奇数；(,)e k π-，其中k 为偶数.则cos cos 2cos 1(sin )sin (cos )xxy xyy y yy f f e y f xe y xe y ''⎧=⎪''=-⎨⎪''=+-⎩代入1(,)e k π--，其中k 为奇数，得210xxxyyyA fB fC f e -''⎧==⎪''==⎨⎪''==-⎩，20AC B -<，故1(,)e k π--不是极值点；代入(,)e k π-，其中k 为偶数，得210xxxyyy A f B f C f e ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，20AC B ->且0A >，故(,)e k π-是极小值点，2(,)2e f e k π-=-为极小值.(19)【解析】(Ⅰ)由题设条件可知：+++2111=1)(1)2tt S dt t t ∞∞∞===+-⎰⎰；(Ⅱ)旋转体体积22222111111(1(1)(1)4πππππ+∞+∞+∞⎡⎤====-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰V y dx dx dx x x x x .(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算2ln 383tan arctan 312ln 21tan )ta 3(12ln cos )ta 3(12ln 212ln )sin cos 3(1ln )sin cos 3(11)sin cos 3(1)sin cos 3(131303023022302230cos sin 12cos sin 1122cos sin 12cos sin 112230cos sin 12cos sin 112223022πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσπππππθθθθθθθθπθθθθπ=⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------d n d n d d r d r d rd r d d y x D(21)【解析】(Ⅰ)证明:22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,ξηη∈⊂-a a ，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即(Ⅱ)证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--(22)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)T α=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。

考研数学二真题及答案

考研数学二真题及答案近年来，随着考研的热度不断提升，数学二成为考生们备考的重点科目之一。

为了帮助考生更好地备考数学二，本文将提供一套考研数学二的真题及答案，希望能为考生们提供一定的参考和帮助。

一、选择题部分1. 题目：已知函数$f(x)=ax^2 + bx + c$，且满足$f(x) \geq 0$，则下列说法正确的是（）A. 若$b^2-4ac>0$，则$f(x)>0$;B. 若$b^2-4ac=0$，则$f(x) \geq 0$;C. 若$b^2-4ac<0$，则$f(x)=0$;D. 若$b^2-4ac>0$，则$f(x) \leq 0$;答案：A2. 题目：设二次型$Q(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 -2x_1x_2 - 6x_1x_3$，则$Q(x_1,x_2,x_3)$的秩为（）A. 1;B. 2;C. 3;D. 4;答案：C二、解答题部分1. 题目：已知平面上两点$A(1,-2)$，$B(5,3)$，以向量$\overrightarrow{AB}$为准则，建立直角坐标系，则该直角坐标系下直线$AB$的方程为 ____________。

解答：由已知，向量$\overrightarrow{AB} = (5-1, 3-(-2)) = (4, 5)$，所以直线$AB$的方程为$x-1=\frac{y-(-2)}{5-(-2)}$，经过整理得$x-1=\frac{y+2}{7}$。

2. 题目：设函数$f(x)$在$(-\infty, 0)$上连续，则函数$g(x)=x^4 -2xf(x)-4x^2$在$(-\infty, 0)$上A. 单调递减；B. 单调递增；C. 有上界，无下界；D. 有下界，无上界。

解答：对函数$g(x)$进行求导得$g'(x) = 4x^3 - 2f(x) - 2xf'(x) - 8x$。

2005-2009考研数学(二)历年真题集锦

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。

考研数学历年真题(1987-1997)年数学二

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）已知()()==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在，，0002_____________.（2）设则,11ln2xxy +-==''=0x y _____________.（3）()=-⎰x x dx4_____________.（4）设=++⎰+∞284x x dx_____________.（5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-=ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x xx e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231(),()(),[()()](),2b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰则（） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S <<(D)213S S S <<(3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x（）(A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0(C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00(D)()()()()的拐点也不是曲线的极值，不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x （）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数（5）.设()()()为则][,0,0,,0,20,22x f g x x x x x f x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥-<=>+≤-=（）（A ）⎧<+0,22x x（B ）⎧<-0,22x x1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设='+==-0x 322y ,)(则x e x y _____________.（2）=-+⎰-dx x x 21121）（_____________.（3）微分方程的052=+'+''y y y 通解为_____________.（4）=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∞→)11ln(sin )31ln(sin lim x x x x _____________.（5）由曲线22,1==+=y x x y 及所围图形的面积=S _____________.(2)设函数()x f 在区间），（δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有()0,2=≤x x x f 则必是()x f 的（） (A)间断点(B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且0)0(='f(D)可导的点，且()00≠'f(3)设)(x f 处处可导，则（）(A)()()-∞='-∞=-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(B)()()-∞=-∞='-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(C)()()+∞='+∞=-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(D)()()+∞=+∞='-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(4)在区间0cos 2141=-+∞+∞-x x x ）内，方程，（（） (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根（5）.设),()()()(],[)(),(x g y m m x f x g b a x g x f =<<，由曲线为常数上连续，且在区间b x a x x f y ===及),(所围平面图形绕直线m y =旋转体体积为（）（A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-bdx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---bdx x g x f x g x f m )]()()][()([π（1）计算.12102dx e n x ⎰--（2）求.sin 1⎰+x dx（3）设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰,)]([,)(2202t f y du u f x t其中)(u f 具有二阶导数，且.,0)(22dx y d u f 求≠（4）求函数011)(=+-=x xxx f 在点处带拉格朗日型余项n 阶泰勒展开式。

考研数学二2015真题

考研数学二2015真题2015年考研数学二真题共有3个大题，分别是微分几何、概率论和常微分方程。

下面将针对每个大题进行讲解和分析。

微分几何题目要求：已知函数 f(x, y) = x^4 + y^4，求曲线 C：y = 2x^2 上点 P 的切线方程，该切线过点 (1, 2)。

解析：首先，我们需要求曲线 C 上点 P 的切线方程。

由题目给出的曲线方程 C：y = 2x^2，可以得到曲线上任意一点的坐标为 (x, 2x^2)。

现在我们来求点 P 的切线方程。

切线方程的一般形式为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。

我们需要求出斜率 k 和截距 b。

首先，我们知道切线经过点 P (1, 2)，所以方程中的 x 和 y 可以直接代入为 1 和 2。

带入后得到方程 2 = k*1 + b，即 k + b = 2。

其次，我们需要求出斜率 k。

由微分几何的知识可得，曲线 C 上点P 的切线斜率等于函数 f(x, y) 在点 P 处的偏导数关于 x 的值。

函数 f(x, y) = x^4 + y^4 求关于 x 的偏导数，可得 4x^3。

将点 P 的坐标代入，可得斜率 k = 4 * 1^3 = 4。

现在我们有了斜率 k 和截距 b 的值，带入切线方程 y = kx + b，即可得到切线方程 y = 4x + b。

将切线经过点 P 的坐标代入，可得到 b = 2 - 4*1 = -2。

综上所述，曲线 C 上点 P 的切线方程为 y = 4x - 2。

根据题意，切线过点 (1, 2)。

概率论题目要求：设某电子元器件的寿命 X（以小时为单位）是连续型随机变量的密度函数为 f(x) = 0.1e^(-0.1x)，请计算该元器件寿命大于100小时的概率。

解析：题目中给出了电子元器件寿命 X 的密度函数 f(x) = 0.1e^(-0.1x)，我们需要计算该元器件寿命大于100小时的概率。

对于连续型随机变量，我们可以通过求取概率密度函数在某个区间上的定积分来计算该区间上的概率。

考研真题数学二(2000——2018)高数大题

数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值（19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明（1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。

2023年全国硕士研究生入学考试《考研数学二》真题

2023年全国硕士研究生入学考试《考研数学二》真题2023年全国硕士研究生入学考试《考研数学二》真题1.[单选][5分]A. y=x+eB. y=x+1/eC. y=xD. y=x-1/e2.[单选][5分]3.[单选][5分]A. xn是yn的高阶无穷小B. yn是xn的高阶无穷小C. xn与yn是等价无穷小D. xn与yn是同阶但不等价的无穷小4.[单选][5分]若微分方程y''+ay'+by=0的解在（-∞，+∞）上有界，则（）A. a0，b0B. a0，b0C. a0，b0D. a0，b0A. f(x)连续，f'(0)不存在B. f'(0)连续，f'(x)在x=0处不连续C. f'(x)连续，f''(0)不存在D. f''(0)存在，f'(x)在x=0处不连续6.[单选][5分]7.[单选][5分]设函数f(x)=(x2+a)ex，若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是()A. [0，1)B. [1，+∞)C. [1，2)D. [2，+∞)8.[单选][5分]9.[单选][5分]10.[单选][5分]11.[问答][10分]12.[问答][10分]13.[问答][10分]15.[问答][10分]16.[问答][10分]17.[问答][5分]18.[问答][5分]19.[问答][5分]20.[问答][5分]21.[问答][5分]22.[问答][5分]。

考研数学二(一元函数积分概念、计算及应用)模拟试卷15(题后含答

考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷15(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求∫0e-1(x+1)ln2x(x+1)dx．正确答案：原式=∫0e-1ln2(x+1)d(x+1)2∫1eln2tdt2=(t2ln2t｜1e-∫1et2dln2t)=(e2-∫1tt2.2lnt.dt)=(e2-∫1elntdt2)=(e2-t2lnt｜1e+∫1et2dlnt)=∫1etdt=t2｜1e=(e2-1)．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用2．求定积分：(Ⅰ)J=∫-22min{2，x2}dx；(Ⅱ)J=∫-1x(1-｜t｜)dt，x≥-1．正确答案：(Ⅰ)min{2，x2}=于是J=∫-22min{2，x2}dx=2∫02min{2，x2}dx(Ⅱ)当-1≤x≤0时，J=∫-1x(1+t)dt=(1+t)2｜∫-1x=(1+x)2．当x＞0时，J=∫-10(1+t)dt+∫0x(1-t)dt=(1+t)2｜∫-10-(1-t)2｜0x=1-(1-x)2．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用3．设n为正整数,利用已知公式In=sinnxdx=cosnxdx=，其中求下列积分：(Ⅰ)Jn=sinnxcosnxdx；(Ⅱ)Jn=∫1(x2-1)ndx．正确答案：(Ⅰ)Jn=2-nsinn2xdx=2-n.∫0πsinnudu，而(Ⅱ) Jn=2∫01(-1)n(1-x2)ndx(-1)n(1-sin2t)ncostdt 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用4．求无穷积分J=∫1+∞正确答案：J=∫1+∞[ln(1+x)-lnx- ]dx，而，因此涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用5．设f(x)=求f(x)的不定积分∫f(x)dx．正确答案：当x＜0时，f(x)=∫sin2xdx=cos2x+C1；当x＞0时，f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)-=xln(2x+1)-∫dx+=xln(2x+1)-x+ln(2x+1)+C2，为了保证F(x)在x=0点连续，必须C2=+C1，(*)特别，若取C1=0，C2=就是f(x)的一个原函数．因此涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用6．设f’(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．正确答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x-1)=(x-1)f(x)｜01-∫01(x-1)f’(x)dx=f(0)-∫01(x-1)f’(x)dx=-∫01(x-1)arcsin(x-1)2dx=∫01arcsin(x-1)2d(x-1)2∫01arcsintdt=∫01arcsintdt 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用7．设a＞0，f(x)在(-∞．+∞)上有连续导数．求极限∫-aa[f(t+a)-f(t-a)]dt．正确答案：记I(a)=∫-aa[f(t+a)-f(t-a)]dt，由积分中值定理可得I(a)=[f(ξ+a)-f(ξ-a)].2a=[f(ξ+a)-f(ξ-a)]，-a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)=f’(η).2a=f’(η)，ξ-a＜η＜ξ+a．于是涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用8．求∫0φ(x) [φ(x)-t]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．正确答案：=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt+φ(x)f[φ(x)]φ’(x)-φ(x)f[φ(x)]φ’(x)=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用9．设f(x)在(-∞，+∞)连续，在点x=0处可导，且f(0)=0，令(Ⅰ)试求A的值，使F(x)在(-∞，+∞)上连续；(Ⅱ)求F’(x)并讨论其连续性．正确答案：(Ⅰ)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x=0处连续，只要F(x)=A．而故令A=0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)=∫0xtf(t)dt+∫0xtf(t)dt．在x=0处，由导数定义和洛必达法则可得所以又故F’(x)在(-∞，+∞)上连续．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用10．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)=求f(x)．正确答案：因由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)=f(x).2xf’(x)=x．在(*)式中令x=0可得f(0)=0．于是(*)式两边积分(∫0x)得∫0xf’(t)dt=∫0xtdt，f(0)=0，x∈[0，a]．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用11．求函数f(x)=∫ex在区间[e，e2]上的最大值．正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由f’(x)=，x∈[e，e2]，可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用12．求星形线L(a＞0)所围区域的面积A．正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：涉及知识点：13．求下列旋转体的体积V：(Ⅰ)由曲线y=x2，x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体；(Ⅱ)由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)，y=0所围图形绕y 轴旋转的旋转体．正确答案：(Ⅰ)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为V=∫01π[ -(x2)2]dx=π∫01(x-x4)dx(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V=2∫02πayxdx=2π∫02πa(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt=2πa3∫02π(1-cost)2(t-sint)dt=2πa3∫02π(1-cost)2tdt-2πa3∫-ππ(1-cost)2sintdt=2πa3∫02π(1-cost)2tdt 2πa3∫-ππ[1-cos(u+π)]2(u+π)du=2πa3∫-ππ(1+cosu)2udu+2π2a3∫-ππ(1+cosu)2du=4π2a3∫0π(1+cosu)2du=4π2a3∫0π(1+2cosu+cos2u)du=4π2a3=6π3a3．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用14．求双纽线r2=a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈．面积由r2=a2cos2θ2rr’=-2a2sin2θ，涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用15．求功：(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(Ⅱ)半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?正确答案：(Ⅰ)(微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x+dx][-1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1-x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功dw1=(1+x)π(1-x2)dx．因此，对下半球做的功w1=∫-10π(1+x)(1-x2)dx．取上半球中的微元薄片，即V取小区间[x，x+dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1-x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2=π(1-x2)dx．因此，对上半球做的功w2=∫01π(1-x2)dx．于是，对整个球做的功为w=w1+w2=∫-10π(1+x)(1-x2)dx+∫01π(1-x2)dx =∫-11π(1-x2)dx+∫-10πx(1-x2)dx (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x+dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2-x2)dx，又比重ρ=1，于是把这层水抽出需做功dw=πx(R2-x2)dx．因此，所求的功w=∫0Rπx(R2-x2)dx 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用16．过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(Ⅰ)切点A的坐标；(Ⅱ)过切点A的切线方程；(Ⅲ)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．正确答案：如图3．7．(Ⅰ)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y=x02+2x0(x-x0)，即y=2x0x-x02．令y=0截距x=按题意解得x0=1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y=2x-1．(Ⅲ)旋转体体积V=∫01π(x2)2dx- 涉及知识点：17．设常数a≤＜α＜β≤b，曲线Γ：(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：正确答案：(Ⅰ)Γ：y2=(x-a)(b-x)=-x2+(a+b)x-ab，两边对x求导得2yu’=-2x+a+b，因此(Ⅱ)曲线为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α=a，β=，则对应的Γ长涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用18．设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)∫0xf(x-t)dt=sin2x；求f(x)在上的平均值．正确答案：令x-t=u，则∫0xf(x-)dt=∫0xf(u)du．于是f(x)∫0xf(u)dx=sin4x，d[∫0xf(u)du]2=2sin4xdx．两边积分故f(x)在上的平均值为涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用19．设a＞0，f(x)在(0，+∞)连续，求证：(Ⅰ)∫ta(Ⅱ)又设=f(x)(x＞0)，则∫aa2正确答案：(Ⅰ)按要证的等式，将等式左端改写可得(Ⅱ)按题设，对左端作变换涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用20．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且∫abf(x)dx=0，求证：在[a，b]上f(x)≡0．正确答案：由定积分的性质0≤∫axf(t)dt≤∫abf(x)dx=0(∈[a，b])∫axf(t)dt=0(∈[a，b])[∫axf(t)dt]=f(x)=0(∈[a，b])．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用21．证明其中n为自然数．正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In=cosn-1xcosxsinnxdx，两式相加得2In=cosn-1x(cosxsinnx-sinxcosnx)dx=cosn-1xsin(n-1)xdx=+In-1．现得递推公式2In=+In-1，即2nIn=+2n-1In-1．令Jn=2nIn，得Jn-1=+Jn-1．由此进一步得注意J0=0 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用22．证明：定积分sinx2dx＞0．正确答案：先作变量替换t=x2被积函数在[0，2π]上变号，t∈(0，π)时取正值，t∈(π，2π)时取负值，于是I=∫0πI1+I2．把后一积分转化为[0，π]上积分，然后比较被积函数，即被积函数若补充定义f(0)=0，则f(t)在[0，π]连续，且f(t)＞0(t∈(0，π])．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用23．证明：正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)由题(Ⅱ)与题(Ⅰ)得涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用24．证明：｜∫nn+psin(x2)dx｜≤，其中p＞0．正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用25．证明：∫0π=0．正确答案：使用和差化积公式．由于sin2nx=sin2x-sin2x+sin4x-sin4x+…+sin(2n-2)x-sin(2n-2)x+sin2nx=sin2x+2cos3xsinx+2cos5xsinx+…+2cos(2n-3)xsinx+2cos(2n-1)xsinx，所以I=2∫0π[cosx+cos3x+cos5x+…+cos(2n-1)x]dx=0．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用26．设f(x)在[0，1]连续，且对任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)-f(y)｜≤M｜x-y｜，M为正的常数，求证：正确答案：将∫01f(x)dx与分别表示成代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得不等式左端涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用27．设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．(*)正确答案：把证明定积分不等式(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (*)转化为证明重积分不等式．引入区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y ≤b}(*)式左端=∫abf(x)g(x)dx.∫abf(y)g(y)dy=[f(x)g(y).f(y)g(x)]dxdy≤[f2(x)g2(y)+f2(y)g2(x)]dxdy=f2(x)g2(y)dxdy+f2(y)g2(x)dxdy=∫abf2(x)dx∫abg2(y)dy+∫abf2(y)dy∫abg2(x)dx=∫abf2(x)dx∫abg2(y)dy=(*)式右端．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用。

考研数二试卷真题

考研数二试卷真题考研数学二（数学分析和线性代数）是许多中国学生在准备研究生入学考试时必须面对的科目。

数学二的考试内容通常包括数学分析和线性代数，考试形式为闭卷笔试，考试时间一般为3小时。

数学分析部分：数学分析是研究函数、极限、微分、积分等概念的数学分支。

考研数学二的数学分析部分通常包含以下内容：- 函数的连续性、可微性、可积性- 极限的概念和性质- 微分学的基本定理和应用- 积分学的基本定理和应用- 级数的收敛性判定- 多元函数的微分和积分线性代数部分：线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵理论的数学分支。

考研数学二的线性代数部分通常包含以下内容：- 向量空间和子空间- 基、维数和坐标变换- 线性变换和矩阵表示- 特征值和特征向量- 二次型和正定矩阵- 线性方程组的解法真题示例：在准备考研数学二时，考生通常会通过历年真题来熟悉考试题型和难度。

以下是一些可能出现在考研数学二真题中的题目类型示例：1. 数学分析例题：- 证明函数$ f(x) = x^2 \sin(1/x) $在$ x = 0 $处的极限为0。

- 计算定积分$ \int_{0}^{1} x^2 \, dx $。

2. 线性代数例题：- 求解线性方程组$ \begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - y = 0\end{cases} $。

- 证明矩阵$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} $的特征值，并求出相应的特征向量。

复习建议：- 系统地复习数学分析和线性代数的基本概念和定理。

- 通过做历年真题和模拟题来提高解题速度和准确率。

- 注意培养数学思维，理解数学概念背后的逻辑。

- 定期进行模拟考试，以检验复习效果。

结束语：考研数学二的复习是一个系统工程，需要考生投入大量的时间和精力。

希望以上内容能够帮助考生更好地准备考试，取得理想的成绩。

数学(二)考研真题及解答

数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x+=-的水平渐近线方程为 . （2）设函数2301sin ,0,(),0x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = . （3）广义积分220(1)xdx x +∞=+⎰ . （4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0A dy dx == . （6）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = .二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆< （C ）0.y dy ∆<< （D ）0.dy y <∆< 【】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x eh g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.-- （C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.- 【】（10）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--= （C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=。

考研数学二填空题专项强化真题试卷15(题后含答案及解析)

考研数学二填空题专项强化真题试卷15(题后含答案及解析)题型有：1.1．设函数y=y(x)由方程y=1一xey确定，则|x=0=________．正确答案：一e．解析：方程y=1一xey两端对x求导得由原方程知，当x=0时，y=1，将x=0，y=1代入上式得2．曲线y=(x-5)x2/3的拐点坐标为_______.正确答案：（-1，-6）涉及知识点：一元函数微分学3．(1989年)设f(χ)是连续函数，且f(χ)＝χ＋2∫01f(t)dt，则f(χ)＝_______．正确答案：χ－1．解析：令∫01f(t)dt＝a，则f(χ)＝χ＋2a．将f(χ)＝χ＋2a代入∫01f(t)dt ＝a，得∫01(t＋2a)dt＝a即＋2a＝a 由此可得a＝－则f(χ)＝χ－1 知识模块：一元函数积分学4．(1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解为_______．正确答案：(χ－4)y4＝Cχ．解析：该方程是一个变量可分离方程，即(χ－4)y4＝Cχ知识模块：常微分方程5．[904*](x3＋sin2x)cos2xdx＝_______．正确答案：应填解析：[分析] 积分区间为对称区间，首先想到被积函数的奇偶性，尽量用奇偶函数在对称区间上的性质简化计算过程．[详解][评注] 若f(x)为连续函数，则∫2－aaf(x)dx＝∫0a[f(x)＋f(－x)]dx＝知识模块：一元函数积分学6．(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为p=eπθ(a>0)，则该曲线上相应于θ，从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________．正确答案：由已知p=eπθ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为解析：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为参数方程定义的曲线面积微元为dS=y(θ)x’(θ)dθ．知识模块：一元函数积分学7．设平面区域D由直线y＝x，圆x2＋y2＝2y，及y轴围成，则二重积分＝________。

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[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编15
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设I k=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有
（A）I1＜I2＜I3
（B）I3＜I2＜I1
（C）I2＜I3＜I1
（D）I2＜I1＜I3
2 设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则
（A）x=π是函数F(x)的跳跃间断点．
（B）x=π是函数F(x)的可去间断点．
（C）F(x)在x=π处连续但不可导．
（D）F(x)在x=π处可导．
3 设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则（A）α＜一2．
（B）α＞2．
（C）一2＜α＜0．
（D）0＜α＜2．
4 下列反常积分中收敛的是
5 知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是
6 反常积分的敛散性为
（A）①收敛，②收敛．
（B）①收敛，②发散．
（C）①发散，②收敛．
（D）①发散，②发散．
二、填空题
7 曲线y=∫0x tantdt(0≤x≤)的弧长s=________．
8 设函数f(x)=λ＞0，则∫一∞+∞xf(x)dx=________．
9 =________．
10 设函数f(x)=∫一1x则y=f(x)的反函数x=f一1(y)在y=0处的导数
|y=0=________．
11 设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是________．
12 ∫一∞1=________．
13 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x) =一x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=________．
14 设函数f(x)连续，φ(x)=x(t)dt，若φ(1)=1，φ'(1)=5，则f(1)=________．
15 极限=________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16 一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2—
2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．(Ⅰ)求容器的容积；(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg/m3)
17 过点(0，1)作曲线L:y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D 由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
18 设D是由曲线y=，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，V x，V y分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若V y=10V x，求a的值．
19 设曲线L的方程为y=(Ⅰ)求L的弧长；(Ⅱ)设D 是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标．
20 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1．证明：(Ⅰ)0≤∫a x g(t)dt≤(x一a)，x∈[a，b](Ⅱ)f(x)dx≤∫a b f(x)g(x)dx．
21 已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2一(2一 y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积．
22 设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)及直线y=0，x=所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积，若V1=V2，求A的值．
23 设函数f(x)=∫01|t2一x2|dt(x＞0)，求f'(x)，并求f(x)的最小值．
24 设D是由曲线y=围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．
25 已知函数f(x)在的一个原函数，且f(0)=0．(Ⅰ)求f(x)在区间上的平均值；(Ⅱ)证明f(x)在区间内存在唯一零点．。