初中数学一元二次方程知识点总结与练习讲课讲稿
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
九年级一元二次方程知识点总结
九年级一元二次方程知识点总结一元二次方程是九年级数学中的重要内容，它是由一个未知数的二次方程式所表示的方程。
在学习一元二次方程时，我们需要了解一些基本概念和解题方法。
下面将对一元二次方程的知识点进行总结。
一、基本概念1. 一元二次方程：一元二次方程式是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知数，且a≠0。
2. 二次项、一次项和常数项：在一元二次方程中，ax^2、bx和c 分别被称为二次项、一次项和常数项。
3. 标准形式：对于一元二次方程，我们通常将其化为标准形式，即将方程中的一次项系数化为正数，例如x^2-3x+2=0。
4. 解：解是使方程成立的未知数的值。
一元二次方程一般有两个解，可以是实数解或复数解。
二、解题方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以被因式分解时，我们可以通过因式分解法求解。
首先将方程化为(ax+b)(cx+d)=0的形式，然后令括号内的两个因式分别为零，解得方程的解。
2. 公式法：当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式是x=-b±√(b^2-4ac)/2a，其中a、b、c 是方程的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程可以表示为完全平方式时，我们可以通过完全平方式求解。
首先将方程写成(a±√b)^2=c的形式，然后开方并解得方程的解。
三、注意事项1. 判别式：判别式是求解一元二次方程时的重要指标，它是b^2-4ac。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程有两个共轭复数解。
2. 因式分解时要注意提取公因式和使用二次三项分解公式。
3. 在使用求根公式时，要注意判别式的符号和平方根的正负号。
4. 在使用完全平方式时，要注意将方程化为完全平方式的形式，并注意正负号。
通过对一元二次方程的学习，我们可以解决一些实际问题，例如求解抛物线的顶点、焦点、方程的图像等。
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
一元二次方程章节知识点总结教案资料
一元二次方程章节知总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a . b，x a b，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法：2 2 2配方法的理论根据是完全平方公式 a 2ab b (a b)，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2 2bx b2 (x b)2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式：b J b2 4ac “ 2 , c、x (b 4ac 0)2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理b c利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-上，二根之积等于-，也可以表示a a考点三、一元二次方程根的判别式根的判别式:III当厶＜0时，一元二次方程没有实数根。
九年级一元二次方程知识点总结
九年级一元二次方程知识点总结一元二次方程是九年级数学中的重要内容，它是一种含有未知数的二次方程。
掌握一元二次方程的解法和相关概念对于学习代数和解决实际问题都具有重要意义。
下面就九年级一元二次方程的知识点进行总结。
一、一元二次方程的定义和形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
一元二次方程的解是使得方程成立的未知数值。
二、一元二次方程的解法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解的方法求解。
具体步骤是将方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求出方程的解。
2. 公式法：当一元二次方程无法因式分解时，可以使用求根公式来求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据求根公式，可以计算出方程的解。
3. 完全平方公式：当一元二次方程具有完全平方形式时，可以利用完全平方公式求解。
完全平方公式为：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
根据完全平方公式，可以将一元二次方程转化为完全平方形式，然后求解方程。
三、一元二次方程的性质和应用1. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式可以用来判断一元二次方程的解的情况。
当判别式Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程无实数根。
2. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
当二次项系数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的解。
3. 一元二次方程的应用：一元二次方程可以用来解决各种实际问题。
例如，可以利用一元二次方程来求解物体的抛射运动问题、图形的面积和周长问题等。
初一数学一元二次方程全章精品讲义
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程 的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1） （2） （3）
（4） （5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知 是完全平方式，则 的值为______。
例3：若 是完全平方公式，则 的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1） （2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程 的两个根分别为 ，则二次三项式 可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规矩，方程 的解为______________。
例5：若关于 的方程 与 有相同的实数根，则 的值为_______。
例6：已知 为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知 的两边AB、AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于 的一元二次方程 恒有两个实数根．
7、已知关于 的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求 的值及该方程的另一个根
一元二次方程小结与复习总结课件
(6 )
y 4
y2
0
( ×)
(√ )
返回
1、一元二次方程3+x=2x(x+1)化成一般 形式为 2x2+x-3=0 ，其中二次项 系数为 2 。
2、若关于x的方程（m+2）x2-3x-2=0是 一元二次方程，则m的取值范围 是 m ≠-2 。
返回
解下列方程。
x2=3 解：x=± 3
∴x1= 3 x2=- 3
一、 1、一元二次方程的定义：含有 一 个未知数，且未知数的最
高次数为 2 次的 整式 方程。
2、一元二次方程的一般形式：
练习
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠ 0）
练习
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法。 （x+m）2=n（n≥ 0）
练习
2、配方法。 ①化——将二次项系数化为1。 ②移——将常数项移到方程的右边。 ③配——在方程两边同时加上一次项系数一半的平
②3x2-2x-5=0
解: 3x2-2x=5
x2-
2 3
x=
5 3
2
x2- 3
1
x+( 3
)2=
5 3
1
+( 3
)2
1
(x-3
)2=169
x-
1 3
=±
4 3
∴xx1=2=-53 1
x=
1 3
±4Байду номын сангаас
3
返
回
用公式法解方程。
①x2-2x-3=0
解:∵a=1,b=-2,c=-3 ∴b2-4ac=4+12=16>0
方，使原方程变为（x+m）2=n （n≥ 0）
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义 一元二次方程内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠.2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解【知识要点】1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在20(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
(中考数学)第07讲 一元二次方程(知识点梳理、记诵版)
第07讲 一元二次方程知识点梳理考点01 一元二次方程相关概念1.一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
2.一元二次方程必须满足的3个条件：（1）必须是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；3.一元二次方程的一般形式：我们把)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，称为一元二次方程的一般形式，其中c bx ax ,,2分别称为二次项、一次项和常数项；b a ,分别称为二次项系数和一次项系数。
2.一元二次方程的特殊形式：（1）当0,0=≠b a 时，02=+c ax ；（2）当0,0=≠c a 时，02=+bx ax ；（3）当0,0==≠c b a 时，02=ax ；3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根。
4.方程根的定义在解题时的应用：（1）判断一个值是否是一元二次方程的根；（2）已知方程的根求一元二次方程中字母系数的值； 考点02 一元二次方程的解法一、直接开平方法1.概念：如果492=x ，那么749±=±=x ，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。
2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化成q p x =+2)(的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数；（2）当0≥q 时，两边直接开平方即可求出它的根；当0<q 时，一元二次方程无实数根；二、配方法1.概念：先对原一元二次方程进行配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法。
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（4）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成q p x =+2)(的形式；（5）用直接开平方法解一元二次方程；三、公式法1.求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，，当042≥-ac b 时，一元二次方程的根是a ac b b x 242-±-=，这个式子称作一元二次方程的求根公式。
讲义精品一元二次方程讲义精品
考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习与小结课件
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
二、强化训练
1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共 9 人。
2、一个两位数等于它的个位数的平方，且各 位数字比十位数字大3，则这个两位数为
25或36
3、若关于x的一元二次方程ax²-2x+6=0有两
个实数根，求a的取值范围。
解：依题意得a≠0,
即3x= 6 ∴
5
∴
3
-
2 5
m 5
x 2 5
即 m=-13
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
知识点二 降次——解一元二次方程
1、配方法 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为 两个 一元二次方程来解。
步骤：
①方程化为一般情势; ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边 为常数项；
③化二次项系数为1；
x2
-
b a
0
即k+1=0
∴k=-1
（2） x1
x2
c a
1
即 k-2=1
∴K=3
（3）x1 x2 k 2 0
∴K=2
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
2、已知2和-1是关于x的方程2x²+mx+n=0 的两个根，则m的值为 -2 ，n的值为 -4
3、已知方程3x²+2x-3=0的两根为 x1, x2 ，
则 x1 x2
2 3
x1 x2 -1
=
22 9
。
广东省怀集县观塘初级中学
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次方程全章讲义(最新整理)
知识要点1.一元二次方程1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2）一元二次方程的一般形式： （a ≠0）0c bx ax 2=++为二次项，a 为二次项系数；2ax bx 为一次项，b 为一次项系数；c 为常数项。
2.一元二次方程的根。
1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
例1.如果2是方程的一个根，则常数b 是多少？05bx x 2=++3.解一元二次方程1）直接开平方法（1）若一元二次方程易写为形式，当p ＞0时，则，p n x 2=+）（n p x 1-=np x 2--=例2.解下列方程36x 52=+）（096x 2=-+）（（2）若一元二次方程可写为形式，当p=0时，p n x 2=+）（n x x 21-==（3）若一元二次方程可写为形式，当p ＜0时，因为实数的平方不会是负数，p n x 2=+）（所以x 取任何实数时，等式都不成立，即原方程无实数根。
2）配方法（1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
完全平方公式：222b ab 2a b a ++=+）（222b ab 2a b a +-=-）（配成完全平方公式： 222b a b ab 2a ）（+=++222b a b ab 2a ）（-=+-例3.填空22___)x (____x 10x +=++22)6_x (___x 12x =+-22___)x (___x 5x +=++22___x 2___x 20x 2）（+=++例4.解方程04x 2=++022x 202x 2=--移项4x 6x 2-=+两边同时加226（222343x +-=++左边写成完全平方形式53x 2=+）（降次53x +，3x +53x -=+，53x 1+-=53x 2--=例5.用配方法解下列方程01x 8x 2=+-x31x 22=+3）公式法1）任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： （a ≠0）0c bx ax 2=++则当时，有求根公式。
一元二次方程讲义
一元二次方程一、主要知识点回顾：二、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0） 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项。
一元一次方程与一元二次方程的区别：相同法1 它们的左右两边都是整式 2只含一个未知数 不同点 未知数的最高次数是2.例1：关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____, 常数项是_____例2：下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？（1） （2） （a 为常数） （3） （4） （5） （6）22(1)0m x mx m +-+=易错知识辨析判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a 0≠.典例剖析例1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） Ａ．()()12132+=+x xＢ．02112=-+xx Ｃ．02=++c bx axＤ．1222-=+x x x针对练习 1．方程(2)310mm x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） Ａ．2m =±Ｂ．2m =Ｃ．2m =-Ｄ．2m ≠±2．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ）一元二次方程一元二次方程的定义 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用（增长率问题、成本利润与数量问题）把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax ²+bx+c=0（a ≠0）直接开平方法：适应于形如（x-k ）² =h （h ≥0）型 配方法： 配方:方程两边同加一次项系数一半的平方公式法： 求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) 因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2(1)51x x x +=-260x ax +=243x y =230ax x -+=210x -=Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．1或1-Ｄ．21 3．将方程3x （x-1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）A ．4x2-4x+5=0B ．3x2-8x-10=0C ． 4x2+4x-5=0D ．3x2+8x+10=04．关于y 的方程是my （y-1）=ny （y+1）+2化成一般形式后为y2-y-2=0，则m ，n 的值依次是（ ）A ．1，0B ．0，1C ．-1，0D ．0，-1考点二、方程的解1．（2011年乐山市）已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．2． (2009年眉山市)关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______．三、一元二次方程的解法：1. 一元二次方程的解：满足一元二次方程成立的未知数的取值。
一元二次方程全章讲义
一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。
① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 －43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0；④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2= （x －1）（4x + 3）。
例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。
例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、21。
【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2= 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mxm 是一元二次方程，则m 2 = 。
4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2+ bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。
一元二次方程教案讲解与知识梳理
一元一次方程以及圆的知识点归纳以及复习授课时间：学科：数学年级：九年级课题：一元一次方程以及圆的知识点归纳以及复习。
学生姓名：教师姓名：教学目标1、熟练掌握一元二次方程的各种解题技巧以及应用题的解读。
2、圆章节知识点的归纳以及总结。
教学过程一元二次方程知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法；2．配方法；用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.3．公式法；(1)一元二次方程求根公式：一元二次方程，当时，.(2)一元二次方程根的判别式．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.4．因式分解法；(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(2)常用因式分解法：提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.知识点三、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；答(切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题.知识点四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.类型一、一元二次方程及根的定义1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值.思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.解：将代入原方程，得即解方程，得当时，原方程都可化为解方程，得.所以方程的另一个根为4，或-1.总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.举一反三：【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值.思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.解：因为是方程的一个根,所以,故,,所以..总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.类型二、一元二次方程的解法2.用直接开平方法解下列方程：(1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0.解：(1)27x2=3.(2)4(1-x)2=93.用配方法解下列方程：(1)；(2).解：(1)由，得，，，所以，故.(2)由，得，，，所以故4.用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3). 解：(1)这里并且所以，所以，.(2)将原方程变形为，则，所以，所以.(3)将原方程展开并整理得，这里，并且，所以.所以.总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材.5.用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3).解：(1)将原方程变形为，提取公因式，得，因为，所以所以或，故(2)直接提取公因式，得所以或，(即故.(3)直接用平方差公式因式分解得即所以或故.举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程．(1)2(x+3)2=x(x+3)；(2)x2-2x+2=0；(3)x2-8x=0；(4)x2+12x+32=0.解：(1)2(x+3)2=x(x+3)2(x+3)2-x(x+3)=0(x+3)[2(x+3)-x]=0(x+3)(x+6)=0x1=-3，x2=-6．(2)x2-2x+2=0这里a=1，b=-2，c=2b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0x==x1=+，x2=-(3)x(x-8)=0x1=0，x2=8．(4)配方，得x2+12x+32+4=0+4(x+6)2=4x+6=2或x+6=-2x2=-4，x2=-8．点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.6.若，求的值.思路点拨：观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.解：由，得，，，所以，故或(舍去)，所以.总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根;B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根;D.没有实数根解析:因为△=32-4×4×(-2)＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.答案:B.8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A.m＞B.m＜C.m＞-D.m＜-思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.解:由题意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，解得m＞-.答案:C.举一反三：【变式1】当m为什么值时，关于x的方程有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论.解：当即时，，方程为一元一次方程，总有实根；当即时，方程有根的条件是：，解得∴当且时，方程有实根.综上所述：当时，方程有实根.【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0∴满足∵ax+3＞0即ax＞-3∴所求不等式的解集为.类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A. B. C. D.7思路点拨:本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入.解:由根与系数关系可得x1+x2=，x1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.答案:A.总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.类型五、一元二次方程的应用考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．10.(陕西)在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-64x-1350=0解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm，•宽为(50+2x)cm，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.答案:B.11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000．整理，得x2-15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克应涨价5元．总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃(如图)，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得又∵ 当时，当时，∴不合题意，舍去．∴.答：花圃的长为13米，宽为10米．考点1：圆的有关概念和性质一、考点讲解：1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心二、经典考题剖析：(1)如图，在⊙O 中，弦ACBD ，OEAB ，垂足为E ，求证：OE=12CD(2)如图，AC ，BD 是⊙O 的两条弦，且ACBD ，⊙O 的半径为12，求AB 2＋CD 2的值。
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初中数学一元二次方程知识点总结与练习知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程；(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）；3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
5.一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 6.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
7.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x-3=0.(7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x 4+6=0. (10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2（B ）－2（C ）0（D ）不等于22、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a 。
3、已知关于x 的方程()2220mm x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
特别警示：（1）“0a ≠”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
例题：1、已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 。
2、设a 是一元二次方程052=+x x 的较大根，b 是0232=+-x x 较小根， 那么b a +的值是 （ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）1 （D ）23、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程131x x +=-的解相同。
（1） 求k 的值；（2） 求方程220x kx +-=的另一个解。
知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =()240b ac -≥；（4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
例题：解方程： 1、解下列方程：（1）()()y y 32322-=+ （2）()()1211312-=-x x（3）()2252)3(-=+x x (4) ()()()2222263-++=-y y y知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式是24b ac -： （1） 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； （2） 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； （3） 当240b ac -<时，方程无实数根。
温馨提示：若方程有实数根，则有240b ac -≥。
例题：1、已知方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k= 。
2、当m 满足何条件时，方程()019122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？3、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 。
4、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，总有两个不相等的实数根。
知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题：1、关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=，则k 的值为： （ ）（A ）314-或 （B ）1- （C ）34（D ）不存在2、已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是 （ ）（A ）3或-1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或13、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是4、两个不相等的实数m,n 满足2264,64m m n n -=-=，则mn 的值为 。
5、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。
在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。
2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？一元二次方程综合复习1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ） A.()()23121x x +=+ B.21120x x+-= C.20ax bx c ++= D.2221x x x +=+ 2、方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±13、若1x =是一元二次方程220ax bx +-=的一个根，则a b += 。
4、实数aacb b 242-±是方程 的根 （ ）（A ）02=++c bx ax （B ）02=+-c bx ax （C ）02=--c bx ax （D ）02=-+c bx ax 5、方程2250x -=的解是： （ ）A.125x x ==B.1225x x ==C.125,5x x ==-D.1225,25x x ==-6、关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值 范围是 （ ）（A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10k k >-≠且 7、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）A ）2310x x ++=B 1=-C ）2230x x ++=D ）111x x x =-- 8、关于x 的一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根12,x x ，且12124x x x x >+-，则m 的取值范围是 （ ）（A ）53m >- （B ）12m ≤ （C ）53m <- （D ）5132m -<≤9.若（x+y ）（1－x －y ）+6=0，则x+y 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．－2或3 D ．2或－310、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx －1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是__ _． 11、填上适当的数，使等式成立：+-x x 52 ＝x (－ 2)．12、当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ．13、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。