2012数学竞赛辅导打印稿-多元微分
05第五讲多元微积分共17页word资料
第五讲 多元微积分（上）考纲要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）. 一、多元微分学概念及其关系问题1 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？答 首先要正确理解各概念.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的极限00lim (,)x x y y f x y A →→=表示(,)P x y 以任何方式趋近于000(,)P x y ，函数(,)z f x y =趋近于常数A .注：若找到两种不同趋近方式，使),(lim 00y x f y y x x →→存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim 00y x f y y x x →→不存在，则可断言),(y x f 在点),(000y x P 处极限不存在．如果0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续.二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆∆∆→+-=；函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为0000000(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆∆∆→+-=.注： ),(00y x f x 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0x 处的导数x x dzdx =；00(,)y f x y 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0y 处的导数y y dz dy=.如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ∆+∆.若函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则全微分z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：例1.证明函数222222,0,(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处极限不存在、不连续，但偏导数存在且0)0,0()0,0(==y x f f .2.证明函数22220,(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在点)0,0(处连续、可偏导且0)0,0()0,0(==y x f f ，但不可微.3.证明函数222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处连续、偏导数存在且0)0,0()0,0(==y x f f 、可微，但偏导数不连续.4. 设函数(,)f x y 在点00(,)x y 的两个偏导数都存在，则（ ）.【C 】 (A)(,)f x y 在点00(,)x y 连续 (B)(,)f x y 在点00(,)x y 可微 (C)00lim (,)x x f x y →与00lim (,)y y f x y →都存在 (D)0lim (,)x x y y f x y →→存在5. 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ）.【C 】 （A ）(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=（B ）0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=，且0(0,)(0,0)lim0y f y f y →-= （C ）(,)lim0x y →=（D ）0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →-=，且0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →-=问题2 如何求二元函数的极限（二重极限）？答 求二元函数的极限是一件困难的事情，读者只要会求一些简单的极限就可以了，求这些简单极限的主要依据是：⑴一元函数极限的四则运算和幂指运算法则对二元函数成立； ⑵一元函数极限的某些结论（无穷小乘有界函数、两个重要极限）对二元函数成立；⑶二元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的．例 求下列极限：⑴2222001lim()sin x y x y x y →→++；⑵22200sin()lim x y x y x y →→+；⑶0x y →→22()lim ()e x y x y x y -+→+∞→+∞+；⑸100lim(1sin )xyx y xy →→+.二、偏导数和全微分的计算问题3 如何求初等函数的偏导数（全微分）？答 类似一元函数，对一个自变量求偏导数，其余的自变量看作常数. 例1.设arctan22()eyxz x y -=+，求dz 与yx z∂∂∂2（98-3）解 z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂， arctan arctan arctan 2222212e ()e [()](2)e 1y yyx xxz y x x y x y y xx x---∂=++--=+∂+，arctan arctan arctan 2222112e ()e [](2)e 1y yyx xxz y x y y x y yx x---∂=++-⋅=-∂+， 故arctane[(2)(2)]y xdz x y dx y x dy -=++-，222arctan arctan arctan 222211e (2)e ()e 1y yyx x xz y xy x x y y x yx x y x---∂--=++-⋅=∂∂++. 2.设xyv y x u u z v arctan ,ln ,22=+==，求dz .【22ln ln v u xv yv dz y u dx x u dy x y u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦】问题4 如何求抽象复合函数的一、二阶偏导数？ 答 首先要正确理解和运用复合函数求导法则：设函数(,)u u x y =及(,)v v x y =都在点(,)x y 具有对x 和y 的偏导数，且函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 法则表明：复合函数对自变量求导必须通过所有中间变量. 然后要弄清函数、中间变量、自变量，正确使用导数记号. 例1.设),(v u f 有二阶连续偏导数，且)sin ,2(x y y x f z -=，求yx z∂∂∂2.解 【复合函数的二阶偏导数】122cos zf y xf x∂''=+∂， 21112221222[(1)sin ]cos cos [(1)sin ]zf f x xf y x f f x x y∂'''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅∂∂ 2111222cos 2(2sin cos )sin cos x f f x y x f y x x f ''''''=⋅-+-+⋅.注⑴1f '表示对第一个中间变量求导，12f ''表示先对第一个中间变量求导，再对第二个中间变量求导，其余记号有类似含义；⑵对中间变量的偏导数1f '，2f '仍然是两个中间变量的函数；⑶如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.本题中1221f f ''''=，应该合并.2.设),(v u f 有二阶连续偏导数，)(u g 有二阶连续导数，且(,)()yz f x xy g x=+，求y x z ∂∂∂2. 解 【复合函数的二阶偏导数】122z yf yfg x x∂'''=+-∂， 21112221222110(0)()z f f x f y f f x g yg x y x x∂''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂ 12222231yxf f xyf g g x x''''''''=++--. 问题5 如何求隐函数的偏导数？ 答 求隐函数的偏导数的方法有： ⑴两边求导法；⑵公式法，使用时务必正确理解和运用隐函数求导公式： 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =确定，则yx F Fdx dy -=. 设函数(,)z f x y =由方程(,,)0F x y z =确定，则z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂.⑶全微分法，使用时务必正确理解和运用全微分形式的不变性： 无论是自变量还是中间变量，函数(,)z f u v =的全微分u v dz f du f dv =+. 例1. 设)(22yz y z x ϕ=+，ϕ可微，求y z ∂∂. 【2z z y y yz y ϕϕϕ'∂-=-'∂-】解 【隐函数的一阶偏导数，用公式或者用两边求导法】 方程为22(,,)()0z F x y z x z y yϕ=+-=，故2()122y zzy F zz y y y F yz y z y yϕϕϕϕϕϕ'--⋅-'∂-=-=-=-'∂-'-⋅. 2.),(v u f 有连续偏导数，函数(,)z z x y =由方程11(,)0f x zy y zx --++=所确定，证明z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 证 【用公式法】方程为11(,,)(,)0F x y z f x zy y zx --=++=2121112()x zF f f x z zx F f y f x---''+⋅-∂=-=-∂''⋅+⋅，2121112()y z F f y z f zy F f y f x---''⋅-+∂=-=-∂''⋅+⋅，故 1112121112xf f x z f y z yf z z x y z xy x y f y f x----''''-+⋅+⋅-∂∂+==-∂∂''⋅+⋅. 3.设(,)y f x t =，而t 是由方程(,,)0F x y t =所确定的x ，y 的函数，其中f ，(1)F C ∈，求dydx. 解 【两个方程确定的隐函数，用全微分法】 取全微分法，得x t dy f dx f dt =+，0x y t F dx F dy F dt ++=，消去dt ，得x t t xt y tf F f F dy dx f F F -=+. 三、极值与最值问题6 如何求二元函数的极值？答 求二元函数),(y x f z =极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 得驻点00(,)x y ；⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===； ⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时，00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.例1.设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.（04-1）解 【隐函数的极值】方程两边对x 求导，得26220z zx y yz x x∂∂---=∂∂，⑴ 方程两边对y 求导，得6202220z zx y z yz y y∂∂-+---=∂∂，⑵ 令0zx ∂=∂，0z y ∂=∂，得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3,,x y z y =⎧⎨=⎩代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x ，解得9,3,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者9,3,3,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩⑴式两边对x 求导，得22222222()20z z zy z x x x∂∂∂---=∂∂∂，⑴式两边对y 求导，得22622220z z z z zyz x x y y x x y ∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂， ⑵式两边对y 求导，得22222202222()20z z z z zy z y y y y y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂，将9,3,3,x y z ===0zx∂=∂，0z y ∂=∂代入，得22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,,623zz z A B C xx y y ∂∂∂====-==∂∂∂∂ 2110,0366AC B A -=>=>，故点(9,3)是),(y x z z =的极小值点，极小值为(9,3)3z =类似可得点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-. 问题7 如何求条件极值？ 答 求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为某一常数；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩ 得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注 这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.例1..求椭球面 1222222=++cz b y a x 的内接长方体的最大体积.解 设内接长方体位于第一卦限的顶点为(,,)x y z ，则它的长、宽、高分别为2x ，2y ，2z ，问题归结为求体积8V xyz =(0,0,0)x y z >>>在条件1222222=++cz b y a x 下的最大值. 构造拉格朗日函数:222222(,,,)8(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=+++-解驻点方程组:222222222280,280,280,10,xy z x L yz ay L xz b z L yx c x y z L a b c λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩得唯一驻点：x y z ===， 由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为max 9V ==. 2..已知曲线C ：22220,3 5.x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩ 求曲线C 距离xoy 最远的点和最近的点.【(5,5,5),(1,1,1)--】问题8 如何求有界闭区域D 上连续函数的最值？答 由于有界闭区域D 上连续函数的最值一定存在，所以只要求出函数在D 的内部和D 的边界上可能取得最值的点，并求出这些点处的函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.请读者结合下面的例子归纳出求有界闭区域D 上连续函数的最值的步骤.例 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.解 ⑴先求函数在D 内的驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f yx 得区域D 内驻点)1,2(,且4)1,2(=f , ⑵再求D 的边界上的可能的最值点 在边界0=x 和0=y 上,0),(=y x f ； 在边界6=+y x (06)x <<上，x y -=6，于是232()(,6)(6)(2)212(06)g x f x x x x x x x =-=--=-<<, 由2()6240g x x x '=-=,得4x =，且(4)(4,2)64g f ==-， ⑶故4)1,2(=f 为最大值,64)2,4(-=f 为最小值. 四、二重积分问题9 叙述二重积分的定义和性质. 答 二重积分的定义、性质类似定积分. 例1.设⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=DDDd y x I d y x I d y x I σσσ2223222221)cos(,)cos(,cos 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）.(A)123I I I >>（B ）321I I I >>（C ）312I I I >>（D ）213I I I >> （A ） 2.设(,)f x y 在区域D 上连续，00(,)x y 是D 的一个内点，r D 是以00(,)x y 为中心，以r 为半径的闭圆盘，则201lim(,)rr D f x y dxdy rπ+→=⎰⎰ .3.设D 是平面有界闭区域，(,)f x y 与(,)g x y 都在D 上连续，且(,)g x y 在D上不变号，证明：存在(,)D ξη∈，使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdy f g x y dxdy ξη=⎰⎰⎰⎰.问题10 将二重积分表为二次积分时，如何确定积分限？答 确定积分限是计算二重积分的关键，务必熟练掌握确定积分限的方法.若积分区域D 为x 型区域，将区域D 向x 轴投影，得a x b ≤≤，再对任一(,)x a b ∈，作平行于y 轴的直线，交D 的边界于12(,()),(,())x y x x y x ，得12()()y x y y x ≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰.若积分区域D 为y 型区域，将区域D 向y 轴投影，得c y d ≤≤，再对任一(,)y c d ∈，作平行于x 轴的直线，交D 的边界于12(,()),(,())y x y y x y ，得12()()x y x x y ≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx y Df x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰.我们把直角坐标系中确定积分限的方法形象地称为“投影找区间，穿刺找线段”.若利用极坐标计算二重积分，从极点引一条射线穿过区域D ，当这条射线在区域D 内旋转时，得αθβ≤≤，再对任一(,)θαβ∈，射线交D 的边界于12(,()),(,())r r θθθθ，得12()()r r r θθ≤≤，则()()21(cos ,sin )(cos ,sin )r r Df r r rdrd d f r r rdr βθαθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.我们把极坐标系中确定积分限的方法形象地称为“旋转找区间，穿刺找线段”.问题11 如何利用对称性计算二重积分？ 答 利用对称性，可以简化二重积分的计算.⑴若区域D 关于x （或者y ）轴对称，(,)f x y 关于y （或者x ）是奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰；⑵若区域D 关于x （或者y ）轴对称，(,)f x y 关于y （或者x ）是偶函数，则1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰；⑶若区域D 关于x 轴和y 轴都对称，(,)f x y 关于y 和x 都是偶函数，则1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰；⑷若区域D 关于直线y x =对称（交换,x y ，区域D 不变），则(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰（交换被积函数中的,x y ，积分不变），特别地，()()DDf x d f y d σσ=⎰⎰⎰⎰.例1.设D 为以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ ）.【A 】(A) ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x . (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy (D) 02.设22{(,)4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则Dσ=⎰⎰( ).【D 】（A ） ab π (B) 12ab π (C) ()a b π+ (D) 2a bπ+(C) ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy (D) 0问题12 如何计算二重积分？ 答 计算二重积分的步骤是： ⑴画出积分区域D ； ⑵考察对称性； ⑶选择坐标系； ⑷选择积分次序； ⑸确定积分限（关键）； ⑹表为二次积分； ⑺计算二次积分.注意：选择坐标系、积分次序的依据是被积函数和积分区域（积分的两要素）时，可以考虑采用极坐标计算二重积分.例1.计算⎰⎰-+=Dd y x I σ122,}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .314(-π） 2.设22{(,)0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数.计算二重积分22[1]Dxy x y dxdy ++⎰⎰.（05-1，38）3.计算二重积分{}22max ,ex y Ddxdy⎰⎰,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（02-1，e 1-）4.设D 是由3,x y x y ==在第一象限所围区域，求2e x Ddxdy ⎰⎰. （e12-）5.设函数2,(,)0,x y f x y ⎧=⎨⎩,,0,21else x y x ≤≤≤≤区域}2),{(22x y x y x D ≥+=， 求(,)Df x y dxdy ⎰⎰.（4920） 6..求221()2[1e]x y Dy x dxdy ++⎰⎰的值，其中D 由,1,1y x y x ==-=围成.（32-） 7..设二元函数2,1,(,)2,x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中{}(,)2D x y x y =+≤.8.设闭区域{}22(,),0D x y x y y x =+≤≥，(,)f x y 为D上的连续函数，且8(,)(,)Df x y f u v dudv π=⎰⎰，求(,)f x y .（02-4）解 设(,)Df u v dudv a =⎰⎰，则8(,)af x y π=，8(,)DDDaa f x y dxdy dxdy π==-⎰⎰⎰⎰Da =-⎰⎰，cos3220001112(1cos )()26623a d rdr d ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰，42(,)()323f x y ππ=-. 问题13 如何交换积分次序？答 先根据积分限画出积分区域，再按另一次序确定积分限：“投影找区间，穿刺找线段”.例1.交换积分次序，=⎰⎰-2210),(y ydx y x f dy .【210010(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰⎰】2.设()f x 为连续函数，1()()tty F t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '= . 【)2(f 】 问题14 如何交换坐标系？答 先根据积分限画出积分区域，再按另一坐标系确定积分限. 例 1.表为直角坐标下的二次积分，cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.【100(,)dx f x y dy ⎰⎰】2.表为极坐标下的二次积分，11112(,)(,)x xxdx f x y dy dx f x y dy +∞-+=⎰⎰⎰⎰ .【410cos sin (cos ,sin )x xd f r r rdr πθθθ+∞+⎰⎰】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义.docx
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
CMC数学竞赛 专题4 多元函数微分法
专题4 多元函数微分法一、有关概念和定理1.二元函数的极限定义1 设),(y x f z =在点),(00y x 的某去心邻域内有定义，当动点),(y x 无限趋于定点),(00y x 时，),(y x f 无限趋于某一个常数A ，则A 称为),(y x f 当),(),(00y x y x →时的极限，记作A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00。
定义2⇔=→A y x f y x y x ),(lim),(),(000,0>∃>∀δε，当2020)()(0y y x x -+-<δ<时，有ε<-A y x f ),(。
说明1动点),(y x 无限趋于定点),(00y x 的路径、方向、方式是任意的； 说明2 判别),(lim ),(),(00y x f y x y x →不存在的常用方法为：方法1 选两条不同的路径趋于不同的常数； 方法2 选某一条路径不趋于常数；方法3 累次极限)],(lim [lim 00y x f y y x x →→和)],(lim [lim 00y x f x x y y →→存在但不相等；例1 判别极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在。
提示 选取两条不同路径.例2 判别极限4222)0,0(),(lim y x y x y x ++→不存在。
提示 用方法3做.说明3 求二元函数极限的常用方法有：约公因子、等价无穷小代换、夹逼准则、重要极限公式、有理化、利用连续性、无穷小与有界函数之积仍为无穷小，等等。
例3 求下列函数的极限： （1）2222)0,0(),(sinlimy x xyy x y x ++→； （2）24lim )0,0(),(-+→xy xy y x ； （3）22)()cos(1lim2222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→； （4）yx x ay x x+→∞→-2)211(lim ；答案 （1）0；（2）4；（3）0；（4）21-e 。
高等数学竞赛讲义第二章一元微分学
高等数学竞赛讲义第二章一元微分学第二部分一元函数微分学一、导数与微分内容要点一、导数与微分概念二、导数与微分计算典型例题一、用导数定义求导数例1设f(某)(某a)g(某)，其中g(某)在某a处连续，求f(a)解：f(a)limf(某)f(a)某alim(某a)g(某)0某a某0某a某ag(a) 1，求f(0),f(0),f(0)的值例2设f(某)在某=0处二阶可导，且lim（2005）f(某)1co某二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数某2,某1f(某)a某b,某1试确定a、b的值，使f(某)在点某1处可导。
某e2n(某1)例2设f(某)lima某b1nen(某1)，问a和b为何值时，f(某)可导，且求f(某)解：∵某1时，limenn(某1)，0某1时，limenn(某1)某2,某1，ab1,某1，∴f(某)2a某b,某1，1由某1处连续性，limf(某)lim某1，f(1)某12ab12某11，可知ab1再由某1处可导性，f(1)lim某1某f(1)某12存在f(1)lim某1(a某b)f(1)某1存在且f(1)f(1)根据洛必达法则f(1)lim某12某12f(1)lim某1a1a2a，∴于是b1a1某2,某1,f(某)1,某1,2某1,某1,2某,某1,f(某)2,某1,三、运用各种运算法则求导数或微分例1设y某某(某0)，求例2设yy(某)由方程某例3设某yy某dyd某某y所确定，求dyd某tt2eu2inudu2t0求eln(1u)duud某dy例4设某co(t2)2dy2求2（2007）t2ud某inuduy0e例5.设f(某)连续，且当某1时，f(某)[f(t)dt1]0某某e某2，求2(1某)f(某)。
(2002)2例6.设f(某)连续，(某)某0dvf(uv某)du，求(某)。
(2022)0某例7.设f(某)连续，且f(某)某某0e某t22f(t)dt，求f(1)3f(1)。
全国大学生数学竞赛(数学类)竞赛大纲
Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
141012高数竞赛讲义
二、解微分方程： ( y 4 3x 2 )dy xydx 0 。
5
解： 方程两边同乘以 4 y 3 ，方程成为： ( y 4 3x 2 )dy 4 2 y 4 dx 2 0 令 u x 2 ， v y 4 ，方程成为： (v 3u )dv 2vdu 0 即
x 2t x y 2 z 1 0 所以 L 0 的方程： ，其参数方程为 y t 。 x 3 y 2 z 1 0 1 t z 2 2
设 M ( x, y, z ) 是 L 0 绕 y 轴旋转而成的曲面上任一点，它是由 L 0 上的点
1 e x cos 。 x
6
sec y ex x dz dy 令 z sec y ，则 tan y sec y ， dx dx dz z 上面方程成为： e x ……⑴ dx x dz z C 方程 0 的通解： z ， dx x x
原方程即： y tan y sec y
3
y 1 3、在平面 N ： x y z 1 上求一直线 L ，使其与直线 L1 ： 垂直且 z 1
相交。 解：
x y z 1 ，解得交点 D(1,1,1) y 1 z 1
过点 D 与直线 L1 垂直的平面方程为 x 1 0
ln | xu | u C1
xu e C1 u ce u , y ce x
y
7
求微分方程
dy y 的通解 dx x y 4
dy C dx x 4 y C1 ，分离变量： 4 1 4 ， 4 y x y
积分得到原方程的通解： y 3 C1 x 3 C 2 。 七、设 y p( x) y f ( x) 有一特解 试求： ⑴ p( x) 、 f ( x) 的表达式； ⑵ 此方程的通解。 解：
同济五版《高等数学》讲稿WORD版-第08章_多元函数微分学及其应用
第八章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。
§8. 1 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P | |OP |<r }.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U .邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ο, 即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U ο.注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ο.点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点:如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U ο内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点. 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E .例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集.闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}. 有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域;集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x .在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n .如果||x -a ||→0,则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .显然,x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念.二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定.例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系VRT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系2121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,或简记为u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,也可记为u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.三. 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.定义2设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ο⋂∈时, 都有|f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作A P f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为 2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-, 可见∀ε >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ο⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f . 当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k kx k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.例5 求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→.解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2. 四. 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果 ),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然|f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为),(sin sin lim ),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f ,其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→. 例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim. 解: 函数xy y x y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→. 例8 求xyxy y x 11lim )0 ,0(),(-+→. 解: )11()11)(11(lim 11lim )0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.§8. 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z ==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如 xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000. 类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂, 00y y x x y z ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x . 偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0. 类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.求xf ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数. 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？00),(),(00y y x x x x y x f y x f ===, 00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===. 0]),([),(000x x x y x f dxd y x f ==, 0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==. 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0, 其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题. 例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数.解 y x x z 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x y z .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂. 例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z yz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂. 证 1-=∂∂y yx x z , x x y z y ln =∂∂.z x x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例4 求222z y x r ++=的偏导数.解 r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222. 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证: 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pT T V V p . 证 因为V RT p =, 2V RT V p -=∂∂; p RT V =, pR T V =∂∂; R pV T =, R V p T =∂∂; 所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT RV p R V RT p T T V V p . 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y .当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此,),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0. 二. 高阶偏导数 设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂, 那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f xz x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂. 其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数.22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂. 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2. 解 y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392; 2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂; 196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .由例6观察到的问题: yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数. 例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以22y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂,222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u , 其中222z y x r ++=.证:32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232231r y r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222rz r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=rr r r z y x r . 提示: 6236333223)()(rx r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.§8. 3全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分;f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分.全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之.定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有 f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim0, 从而x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小.这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02). 取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224Tl g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224Tl g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为||||||T Tg l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l Tg l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤|||| )21(4322T l T l T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为 )004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为y x z yz x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为 yx z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.§8. 4 多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？ 设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和y z ∂∂？ 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dt dt du du =, dt dtdv dv =, 代入上式得 dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, t o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dt dz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y w w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, x f ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(z y xe z y xf u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和y u ∂∂. 解 xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++y x y xe y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=. yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++yx y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=. 例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dt dz . 解 tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t=e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及zx w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, z f yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: (1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xyarctan =θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=, y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得 22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u . 再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u ])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .§8. 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ). y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22x z ∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y xv =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x y u +=, 2222yx x y x y y x v +=+⋅=. 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定. 例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, y u ∂∂和yv ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和xv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂.两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和yv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy y x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=, dy y x yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22y x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂,22y x xv yu x v +-=∂∂, 22y x yv xu y v ++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式。
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
王导数应用 江苏省高等数学竞赛辅导
[a, b]上单调减少.
(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是(a , b )内 的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的
任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
4、泰勒中值定理
Taylor 中值定理 1 若函数 f ( x) 在点 x0 的某邻域 U(x0 ) 内 有 n 1 阶的导数，且 f ( n ) ( x 0 ) 存在，则当 x U ( x0 ) 时，有:
f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x x0 )2 2! f (n) ( x0 ) ( x x 0 ) n o (( x x 0 ) n ) n! n 称为 Piano 型余项。 R ( x ) o ( x x ) 其中 n 0
导, f ( a ) f (b) 0,
f ( x)dx 0 .求证:
a
b
(1) 在 ( a , b) 内至少有两点 1 和 2 满足 f ' ( x ) f ( x ) ; (2) 在 ( a , b) 内至少有一点 ,使得 f " ( ) f ( ) .
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第九章 多元函数微分法及其应用例题课件.ppt.-文档资料
例13．证明函数
f
x,
y
x2y2
若x2y20
0
若x2y20
分别对每个自变量 x 或 y （另一
个看作常数）都连续，但作为二元
函数在原点 0 ，0 不连续。
例14．求函数
f
x,ysinx2
1 y2
1
的间断点。
例15． 求
lim x y x, y 1,2 xy
例16．求
xy 11
lim
则方程 F x ,y ,z= 0 在 点 x 0 ,y 0 ,z 0 的某
一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有
连续偏导数的函数 z f x, y,它满足条
件 z0 f x0,y0,并有 z Fx , z Fy
x Fz y Fz
例2．设
x2+y2+z24z0
2z
求 x2
。
例3．设 Z zx, y 为由
x, y0,0
xy
§9-2偏导数
例1．求函数
x2y2 当x0 或y0
f
x,
y
1
当xy0
例2．求
Z x2sin2y
的偏导数。
例3．设
Zxyx0,x1
求证
x z 1 z 2z y x lnx y
例4．求
r x2 y2 z2
的偏导数。
例5．求
Zx23xyy2
在点 1 , 2 处的偏导数。
x,y 0,0
例10．求
x2y2
xyl im
xy x2 y2
例11．设 f x,ysinx ，
证明 f x, y 是 R 2 上的连续
函数。
例12．为了使函数在原点 0 , 0
专升本辅导-第10讲多元函数微分学
这是多元函数与一元函数的
一个本质区别.
例
在热力学中, 已知压强 P 、体积 V 和
温度 T 之间满足关系 PV = k T ,其中, k P V T 1 . 为常数, 证明： V T P
T 由关系 PV k T 得 P k V
一元函数 f ( x) sin a x 的导数
f ( x, a) sin a x
将函数表示为 含参数的形式
f ( x) a cosa x
f x( x , a) a cosa x
用下标显示 是对 x 求导
一元函数 f ( x) sin a x 的导数
f ( x, a) sin a x y y
空间 R 中邻域的定义
2
设 X 0 R ， 0 为实数，则称集合
2
U( X 0 , ) { X | d( X , X 0 ) }
为 R n 中点 X 0 的 邻域，记为 X 0 , ) 。 U(
想想:二维空间中点的邻域是什么样子 ?
在 R 2 中：
U( X 0 , ) {( x, y ) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
2
U( X 0 , ) {( x, y ) | 0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
开区域、闭区域
有界区域 无界区域
第二节 多元函数的极限与连续性
极限 极限的运算法则 连续性 连续函数的运算法则 有界闭区域上连续函数的性质
推广的思路
第二节 多元函数的极限与连续性
或
x X ( x0 x, y0 ) ( x0 , y0 )
为变量 X 在点 ( x0 , y0 ) 处关于 x 的偏增量.
多元函数微分法及其应用常见题型攻略
多元函数微分法及其应用常见题型攻略以心同学整理1.多元函数连续性、可导性、可微性的判断（1）判断极限不存在常用方法①找两种不同的趋近方式，若极限不相等，则极限不存在；②沿直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x 时，极限值与k 有关，则极限不存在。
注：②中沿直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x ，目的是用特殊路径趋于),(00y x 时，极限值如果与k 有关，则极限不存在。
所以并不一定就是用沿直线直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x 。
如后面的例3。
例1设)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f ，判断极限),(lim )0,0(),(y x f y x 是否存在。
解：当点),(y x 沿直线kx y 趋于)0,0(时，有),(lim)0,0(),(y x f y x 22)0,0(),(limy x xy y x 222)0,0(),(1)(lim k kkx x kx x y x，极限值与k 有关，故极限),(lim)0,0(),(y x f y x 不存在。
若函数改为 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(242y x y x y x y x y x f ，那又怎么操作？（2）偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ),(),(lim),(0000000★函数在不连续点、分断函数在分界点的偏导数，用偏导数定义。
（3）函数),(y x f z 在点),(00y x 可微的定义)( o y B x A z ，22)()(y x ★判断函数在点),(00y x 是否可微的方法(常用于分断函数的分界点)①若),(00y x f x 或),(00y x f y 不存在，则不可微②若),(00y x f x 或),(00y x f y 存在，则考虑极限)(limy B x A z ，即]),(),([)],(),([lim000000000y y x f x y x f y x f y y x x f y x 是否存在，若存在，则可微；若不存在，则不可微。
10112 5 高数B(2-2)多元微分复习题解演示
5．设 z = e xy + x2 y − sin (π x ) ，则 zx (1,2) = [ C ]． ． ．
(A) e + 4 + π (C) 2e2 + 4 + π (B) e2 + 4 + π (D) 2e + 4 + π
解： z x = ye xy + 2 xy − π cos (π x ) ，
lim lim
f ( x, y ) 和 f ( x0 , y0 ) 都存在 f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
x ∂z ∂2 z 4．已知 z = x 2 y + 2 + z − 2 ln ( e x + e y ) + π 2 ，求 和 ． ． y ∂x ∂x∂y
∂z 1 2e x ∂2 z 2 2e x e y ．▌ = 2x − 3 + 解： = 2 xy + 2 − x y ， x y 2 ∂x y e +e ∂x∂y y (e + e )
∂z 19．由方程 e − z + 2 xy = 9 所确定的隐函数为 z ( x, y ) ，求 ． 所确定的隐函数为 ． ∂x z z 解：∵ F = e − z + 2 xy − 9 ， Fx = 2 y ， Fz = e − 1 ， Fx ∂z 2y ．▌ ∴ =− = z ∂x Fz 1 − e
dz = z x dx + z y dy = 2e x + 2 y dx + 4e x + 2 y dy = 2e x + 2 y ( dx + 2dy ) ．▌
9．设 z = 4sin xy ，求 dz ． ． ( ydx + xdy )
多元微积分
2 2 2
2013-12-23
高等数学实验之多元极值
例:求 f 100( x2 极值并画图。 程序:
x1 ) (1 x1 )
2 2
2
在[0.2,0.3]内的
f ='100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2' x=fmins(f,[0.2,0.3]) minf=eval(f) 结果： [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5); x = 1.0000 1.0000 f=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2; minf = 2.8199e-010 surf(x,y,f)
解：先将对坐标的曲线积分化为定积分：
2013-12-23
高等数学实验之曲线积分2
3t
0 1 2
3 3t 2t 2 3t 2t dt 87t 3 dt
2 2 1
0
程序： syms x y f=int(‘87*t^3’,1,0) 结果： f=-87/4
2013-12-23
高等数学实验之多元极值
2013-12-23
高等数学实验之重积分
1. 解法： 先将二重积分化二次积分：
f x, y d dx f x, y dy
三重积分化三次积分：
D a
b
b
y 2( x )
y1( x )
y 2( x ) z 2( x, y )
f x, y, z dV dx
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大学数学实验
第五篇 多元微积分
作者 王小才
第五篇 多元微积分
第五篇多元微积分
多元函数定义 多元函数偏导数 多元函数极值 多元函数重积分
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多元微分学题型归类一、多元函数的极限多元函数极限分为两种类型，求极限值和证明极限不存在．求极限值时主要通过变量替换、缩放、分解等方法，使问题转化为一元函数极限．证明极限不存在的基本方法是找到两条不同的路径，使其有的极限值．注: 极限式作为已知条件时公选结论: (1) 设),(),(lim0y x g y x f y y x x →→存在, 且0),(lim 00=→→y x g yy x x , 则必有0),(lim 0=→→y x f y y x x进一步, 若),(y x f 连续, 则必有0),(00=y x f(2) 若A y x f y y xx =→→),(lim 0, 则)0(),(→αα+=A y x f二、多元函数偏导数、全微分（一）多元函数偏导数、微分定义的正确运用 1. 偏导数 (1) 定义:00000),(),(lim),(0x x y x f y x f y x f x x x --='→(2) 公式: []0),(),(000x x x y x f y x f ='='2. 全微分 (1) 定义:))()((22y x o y B x A u ∆+∆+∆+∆=∆(2) 已知可偏导证明可微:0)()(),(),(),(),(lim2200=+⋅'-⋅'--++→→y x yy x f x y x f y x f y y x x f y x y x ∆∆∆∆∆∆∆∆特别地, 若))()((),(),(220000y x o y x f y y x x f ∆+∆=-∆+∆+,则必有0;0),(),(),(000000=='='y xy x du y x f y x f(3) 偏导函数连续则可微注: 在求证某特定点可微的题型中常可推知:0),(),(,0),(000000='='=y x f y x f y x f y x从而问题转化为证明0)()(),(lim220=+++→→y x y y x x f y x ∆∆∆∆∆∆（二）偏导数计算 1. 直接套用公式计算考查对公式的熟练程度、正确使用符号的能力.2. 中间变量与自变量交混的复合函数偏导数计算需分清各级函数中因变量、中间变量、自变量及个数, 并使用正确的表示式3. 偏导等式(方程)转化为常微分方程若已知关于偏导数的等式, 通常首先求出相关偏导数，代入可得微分方程，再通过求解微分方程，可求出函数表达式．（三）讨论偏导函数与原函数的关系 1．已知偏导函数求原函数 常用结论：（１）)(y C dx xz z +∂∂=⎰ )(x C dy yz z +∂∂=⎰ （２）)(22y C dx x z x z +∂∂=∂∂⎰ )(2x C dy yx z x z +∂∂∂=∂∂⎰（３）若dz z y x R dy z y x Q dx z y x P du ),,(),,(),,(++=，则),,(),,(),,(321z y x u z y x u z y x u u ++=其中⎰=dx z y x P z y x u ),,(),,(1，),,(2z y x u 为函数⎰dy z y x Q ),,(中剔除与⎰dx z y x P ),,(相同的项；),,(3z y x u 为函数⎰dz z y x R ),,(中剔除与⎰dx z y x P ),,(、⎰dy z y x Q ),,(相同的项．2. 证明函数与某变量有关或无关要证明函数与某变量无关, 需证明函数对该变量的偏导为0; 要证明函数只与某变量有关, 需证明函数对其他变量的偏导为0. 特别地，设),(y x z z=在区域Ｄ可微，则（１）若0=∂∂xz，则)(y f z =（２）若0=∂∂xz 且0=∂∂y z ，则C z ≡（３）若022=∂∂∂=∂∂∂xy z y x z ，则)()(y g x f z +=三、极值、最值（一）极值、最值的计算 １．极值的判定判定极值有两类题型:(1) 极值的充分条件, 偏重于偏导数的计算 (2) 极值的定义(∆=0, 或无法计算∆)通常特定点的函数值为0, 结论大多为非极值.需寻找过该点的特定直线(或曲线), 转化为一元函数, 说明其正负值均可取到.２．已知函数求最值(1)有界闭区域上函数的最值 内点极值+条件极值(2)无界区域或开区域上函数的最值 先讨论内点—极值判定再讨论边界点：),(lim y x f ∞→ρ ),(lim ),(y x f Cy x →３．条件极值 拉格朗日乘数法∑=ϕλ+=λλmk n k k n m n x x x x f x x F 11111),,(),,(),,;,,(求F 的驻点. 注意解方程组的技巧性（二）极值的、最值的综合应用若证明多元函数不等式或题中含有“最”的文字描述，一般为极值应用问题，需要解决两个问题：目标函数和条件．通过对实际问题的解析，设取恰当的变量，建立目标函数；通过确定变量与已知量间的等量关系，得到条件．两种表现形式： (1)根据条件求最值(通常有唯一驻点)(2)最值作为条件(一阶偏导为0),推导所需结论四、多元函数介值定理、最值定理、中值定理、泰勒公式、牛顿－莱布尼茨公式二元函数在闭区域内的任一条简单曲线上满足闭区间上连续的一元函数的所有性质．通过将二元函数限定在一条曲线上，可以得到一元函数，从而许多一元函数的重要定理、结论：保号性、零点定理、介值定理、最值定理、中值定理、泰勒公式、牛顿—莱布尼茨公式都可推广应用到二元函数．例题解析例１． 222300lim y xy x xy x y x +-+→→解析: 0lim 222300=+-+=→y xy x xy x y x , 0lim 22230=+-+=→y xy x xy x xy x22222222243232x y xy x xyy x xy y xy x xy xyy x ≥+-≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+-≤≥+22222322230y xy x xy y xy x x y xy x xy x +-++-≤+-+<y x xy xy x x +=+≤3443223例2．求y x y x xy y x y x +++→→24300lim (0≠+y x )解析: 0lim 2430=+++=→y x yx xy y x y xy x y x xy y x xy x +++=→2430lim 02lim 3540=++=→x x x x x 0≠+y x , 但可限趋近于0y x y x xy y x kxx y x +++-=→2430lim )()()()(lim 2430x x x x x x x x x x x x k k k k x -+-+-+-=→ kk x x x x x x )(0lim 3540+-+-=→ 取k =3, 则极限为1, k >3, 则极限为无穷大, 故y x yx xy y x y x +++→→24300lim 不存在．例3．y x x y x 23lim+∞→∞→解析: 023lim=+=∞→yx x xy x讨论: 极限有没有可能为非0值? 若x 与y x 23+同阶, 则极限不为0.令x y x =+23，123lim )3(21=+-=∞→yx x x x y x于是y x xy x 23lim +∞→∞→不存在．更简单的方式: 令023→+y x注：(1) 讨论多元极限时, 先沿特殊路径猜测极限.(2) 若极限为0, 通常考虑取绝对值, 便于缩放. (3) 若猜测极限不存在, 通常取特殊路径: ① 使分母趋向于0 ② 使分子、分母同阶.例4．设243),(lim2200=+-+→→yx yx y x f y x ，且f (x, y )在(0, 0)点连续, 则 ='+')0,0()0,0(2y xf f ______． 解析:)0,0(243),(),(1=-+=F y x y x f y x F222222)0,0(),()0,0(),(3yx y x F y x F yx F y x F ++-=+-0)0,0(),(lim220=+-⇒→→yx F y x F y x04)0,0()0,0(,03)0,0()0,0(4=-'='=+'='y y x xf F f F 例5. 设),(||),(y x y x y x f ϕ-=, 其中ϕ(x , y )在点(0, 0)的一个邻域内连续, 证明: f (x , y )在(0, 0)点可微的充分必要条件是: .0),(lim 00=ϕ→→y x y x解析: 明显结论: 1º),(y x f 在点(0, 0)的一个邻域内连续且0)0,0(=f .2º)0,0()0,(||lim )0,0()0,(lim )0,0(00ϕ±=ϕ=-='→→xx x x f x f f x x x)0,0()0,(||lim )0,0(0ϕ±=ϕ='→yx y f y y3º可微则偏导存在证明：必要性: 若f 可微则偏导存在)0,0()0,(||lim )0,0()0,(||lim 00ϕ-=ϕ=ϕ=ϕ-+→→xx x x x x x x 充分性:.0)0,0(,0)0,0(0)0,0(='='⇒=y x f f ϕ.),(||)0,0()0,0()0,0(),(2222yx y x y x yx yf x f f y x f y x +-=+'-'--ϕ讨论：已知.0),(lim 00=ϕ→→y x y x 问题转化为22||yx y x +-是否有界？,2||||||222222≤+++≤+-yx y yx x yx y x注：“可微”易守难攻—做条件好用, 成结论难证, 在证明充要性时一般先将其作为条件(先证必要性).例6．已知函数),(v u f 具有二阶连续偏导数，2)1,1(=f 是),(v u f 的极值，)),(,(y x f y x f z +=．求)1,1(2y x z ∂∂∂ 评注: (直接计算, 注意不可省略f 后的变量符号,答案: )2,2()1,1()2,2(21211f f f '''+''例7 设z =z (x , y )是由0)1,1(=-+yz x z F 确定的隐函数, F 具有连续的二阶偏导数, 且0),(),(≠=v u F v u F v u . 求证:(1) 022=∂∂+∂∂yz y x z x(2) 0)(2232223=∂∂+∂∂∂++∂∂y z y y x z y x xy x z x评注: (1) 直接计算, 标准的隐函数求偏导; (2) 若再直接计算, 量大(1)式两边分别对x , y 求偏导. 例8. 设函数(,)f x y μ=具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250x x y yμμμ∂∂∂++=∂∂∂∂，确定a ，b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20μξη∂=∂∂. 解析: 简单公式, 大量计算u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂ u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂22222222222222u u u x x u u u u x x x x u u u ξηξηηηξξηηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂222222222222()u u u x y y u u u u y y y y u u u a b a b ξηξηηηξξηηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂22u u u a b y y ξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭222222()()u u u u a a b b a a ξξηηξη∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂22222222u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂η∂ξ∂∂++++η∂∂+++ξ∂∂++=u ab b a u b b u a a 2222222)8101212()4125()4125(225124051240(2)12()1080(3)a a b b a b ab ⎧++= (1)⎪++= ⎨⎪+++≠ ⎩由(1), (2) 得:25a =-或2-，25b =-或2-注意: (,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程（3）不满足，所以当(,)a b 为22(,2),(2,)55-- --满足题意.例9．设),(y x u 具有二阶连续偏导数，满足方程02222=∂∂-∂∂yu x u , 且x x x u =)2,(，2)2,(x x x u x =',求)2,(x x u xx''． 解析: 分清各种求导(导数, 偏导数)符号: ,,,,,yy xy y xx x u u u u u ''''''''中的下标：x , y 是中间变量．[][][]xx x x u x x u x x x u x x x u x x u x x x u x x u x x u x x x u x x u x x u x x u xx x u x x u x x u xx xx yy yx xy yy yxxyy y x x xy xx x x 22)2,(3)2,()2,(2)2,()2,()2,(2)2,()2,(1)2,(21)2,(2)2,()2,(2)2,(2)2,()2,(2=-''-''--=''--=''=''-=''+''=''-='='+'='=''+''=''例10. 若可微函数f (x, y )对任意的x, y 满足),(),(2y x f t ty tx f =, P 0(1, -2, 2)是曲面z =f (x, y )上一点, 且4)2,1(=-'xf , 求曲面在P 0处的切平面方程. 解析: 关键问题是求)2,1(-'yf . 要将)2,1(-'y f 与已知条件4)2,1(=-'xf 联系起来, 需要借助中间变量tx , ty , 通过对t 的适当赋值, 将x, y 结合在一起, 产生中间变量, 使y xf f '',间产生等量关系. 问题: 如何取t ?法一: 尽可能靠近已知(所求)点x =1, y = -2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--⇒==-=)2(),(1),1()1(),(4)2,2(),(),(22122y x f x x y f y x f y y xf y x f t ty tx f x t yt若使用(1), 则需对y 求导, 否则, 所得等式将与所求无关 (1)式对y 求导或(2)式对x 求导),(4),(8)2,2(22312y x f yy x f y y x f y x y '+-=--' (3) 直接将x =1, y = -2代入上式可得:)2,1()2,1()2,1(211-'+-=-'y f f f (5) 注:),(),(y x f v u f x yv xu u '='==; ),(),(y x f v u f yyv x u v '='== (*) 从而有:)2,1()2,1();2,1()2,1(21-'=-'-'=-'y xf f f f 故:0)2,1()2,1(21)2,1(=---'=-'f f f x y 若不能直接注意到(*)式, 也可通过计算的方式得到更广泛的结果. 法二: 对已知等式求偏导⎩⎨⎧'=''='⇒=)8(),(),()7(),(),(),(),(212y x f t ty tx f y x f t ty tx f y x f t ty tx f y x y x 求偏导对求偏导对 分析: (7)已连接了x f '与),(1ty tx f ', 需连接y f '与),(1ty tx f '.故需要),(ty tx f 的第一个中间变量tx与y 有关.最简单形式:)(),,(常数C ty y x u tx ==, 并对y 求偏导),(1)1,(),(),(212y x f yy x f y x f t ty tx f yt =⇒==)9(),(1),(2)1,(2312y x f y y x f y y x f y x y'+-='-将yt1=代入(7)得:)10(),(1)1,(1y x f yy x f x '='),(2),(),(),(1),(2),(233y x f y x f x y x f y y x f y y x f y y x f y x x y y x +'-=''+-='-注: 针对此题, 使用方法一更易想到且更简单, 原因在于某一变量已成为所求值. 而方法二得到了y xf f '',的函数关系, 适用范围更广.例11．设),(,),(y x v y x u 在第一象限有二阶连续偏导数，且xvy u y vxu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． (1) 证明：02222=∂∂+∂∂yux u ； (2) 如果)(22y x f u +=，其中f具有连续二阶导数，且11)(lim1=-→x x f x ，求函数)(t f 的表达式．解析: (1) 由二阶偏导数连续可得混合偏导相等.(2) 通过(1)得到关于)(t f 的等式(方程),()()()00)()()()(2)()()()()()()(32222222222223222222222222223222222222222222222='+''=++'+-+''+++'=''+''++'-++''+++'=''++'-++''+++'=''++'='tf f y x y x f y x y x f yx y x f u u yx y x f y y x y x f y y x y x f u yx y x f x y x y x f x y x y x f u y x y x f x u yy xx yyxx x211ln ln ln C t C f tC f C t f +=⇒='⇒+-='⇒ 初始条件: ⎩⎨⎧='=⇒=-→1)1(0)1(11)(lim1f f x x f x例12．设),(y x f z =满足：y x yx z+=∂∂∂2，且2)0,(x x f =，y y f =),0(，则=),(y x f __________．解:)()(22),()(202222y h dx x g xyy x y x f z x g y xy x z y x y x z x+++==++=∂∂⇒+=∂∂∂⎰注: 积分下标取任意值上式均成立, 但取0才可进一步求解.)0()(),0()0()()0,(22=⇒=⇒==+⇒=⎰h y y h y y f x h dx x g x x f x例13． 设),(y x f 可微，且满足条件y y f y f y cot ),0(),0(=，),(y x f x f-=∂∂，1)2,0(=πf ，求),(y x f ． 评注:1),(),(),(-=⇒-=∂∂y x f y x f y x f x fx []x x y x f y x f y x f '=),(ln ),(),(x e y C y x f -=)(),(答案: y e x sin -例14. 已知函数u =u (x , y , z )可微, 且z y x z y z x y x z y x u d )2(d )2(d )2(d 222-+-+-=,则u (x , y , z )=___________答案:C xyz z y x z y x u +-++=33),,(333 注: 相同函数只取其一.例15．试证：可微函数是)0(≠+ab by ax 的函数的充分必要条件是yz a x z b∂∂=∂∂． 证明: 必要性: 若)(),(by ax y x f z +==ϕ, 则)(),(by ax b yzby ax a x z +'=∂∂+'=∂∂ϕϕ 故有: yzax z b∂∂=∂∂ 充分性: 首先要将),(y x f z =变形为)0(≠+ab by ax 的函数.⎪⎭⎫⎝⎛-+==y a by by ax f y x f z ,),(, 令⎩⎨⎧=+=y s by ax t 则 0,,,,),(21=⎪⎭⎫⎝⎛-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛-==s a bs t f s a bs t f a b s s a bs t f g s a bs t f s t g z s 故有: z 是t 的一元函数, 即:)()(by ax g t g z +==例16. ),,(z y x f u =可微, 且zf y f x f z y x '='=', 证明u 仅为222z y x r ++=的函数.解析: 法一: 将222z y x r ++=作为自变量的坐标为球坐标.法二:00),,(3122221222222222222='+'-='+'--±='='+'-='+'--±='--±=--±=→++=z x z y x y f f xzf f z y r z u f f xyf f z y r y u z y z y r f u z y r x z y x r 例17．),(y x f 满足yy x f x y x f y x y x f y x f ∂∂⋅∂∂=∂∂∂),(),(),(),(2，证明：)()(),(y h x g y x f =． 讨论: (1) 如何证明)()(),(y h x g y x f +=? 需证明:0),(=''y x f xy(2) 如何将乘法变为加法? 取对数{})()(e xp ),()()()(0),(),(),(),();,(ln ),(02y H dx x G y x f y H dx x G F x G F y x f f f f f y x F y x f f y x F y x f y x F xxx y x xyxyx x +=+=⇒='⇒='⋅'-''⋅='''='=⎰⎰例18．设),(y x f z =具有二阶连续偏导，且0≠∂∂yf，证明：对任意常数C ，C y x f =),(为一直线的充分必要条件是：0)(2)(22=+-x yy xy y x xx y f f f f f f f ． 解析: 必要性: 关键问题如何表示C y x f =),(为一直线.C y x f =),(为一直线c by ax y x f ++=⇔),(故f 的所有二阶偏导数为0, 即必要性成立.充分性：显然不可能由0)(2)(22=+-x yy xy y x xx y f f f f f f f 解出二元函数c by ax y x f ++=),(.注意: C y x f =),(是隐函数, 确定一元函数. 关键问题: 一元函数何时表示直线?0=''⇔='⇔+=y C y b kx y证明:C y x f =),((0≠∂∂yf )确定了隐函数)(x y y =．由0)(='⋅+x y f f y x ，得:yxf f x y -=')(0)(='⋅+x y f f y x 的两边再对x 求导得：0)()]([)(22=''⋅+'⋅+'⋅+x y f x y f x y f f y yy xy xx将yxf f x y -=')(代入上式得： 0)()()(222=''⋅+⋅+⋅-x y f f f f f f f f y y x yy y x xy xx 即：0)()()(2)(322=''⋅++-x y f f f f f f f f y x yy xy y x xx y ．因为0)(2)(22=+-x yy xy y x xx y f f f f f f f ，所以0)(=''x y ．例19. 设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是 [ ]．(A) 0)0(,1)0(>''>f f (B) 0)0(,1)0(<''>f f (C)0)0(,1)0(>''<f f(D)0)0(,1)0(<''<f f解: )(ln )(y f x f x z'=∂∂，)()()(y f y f x f y z '=∂∂， 0)0(ln )0()0,0(='=∂∂f f x z，0)0()0,0(='=∂∂f y z ． )(ln )(22y f x f x z ''=∂∂， )0(ln )0()0,0(22f f x z A ''=∂∂=)()()(2y f y f x f y x z ''=∂∂∂， 0)0,0(2=∂∂∂=y x z B)()()()()(2222x f y f y f y f y f y z '-''=∂∂， )0()0,0(22f y zC ''=∂∂=．当0)0(,1)0(>''>f f 时，0,02>->B AC A ，故选 (A)． 例20．设),(y x f 具有二阶连续偏导数，),(),(22y x e f y x g xy +=，且 ))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=，证明：),(y x g 在点)0,0(处取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值． 解析: 明显结论: 1º ),(y x f 可微 2º 0)0,1()0,0(==f g .3º ))1(()1()0,1(),(22y x o y x f y x f +-+---=- 注意: 此写法源于对(x-x 0), (y-y 0)或者说对可微的敏感性. 4º1)0,1()0,1(-='='y xf f 多元微分的定义及与偏导间的关系 5º ),(y xg 的偏导函数带有因子x,y .()()xxxyxx xy y xyx f x f f ey y x g f y f xe y x g f x f yey x g ''+'+''⋅='''+'=''+'='221212122),(2),(,2),(()()y yxy yyf y f f e x y xg ''+'+''⋅=''22122),(C f g A f g y yyy xx =-='=''=-='=''2)0,1(2)0,0(2)0,1(2)0,0( ()()Bf eg f x f e y f e y x g y xy yyxy xy xy =-='=''''+''⋅+'=''1)0,1()0,0(2),(021102<-=∆AC B例21．已知函数),(y x f 在点)0,0(的某个邻域内连续，且1)(),(lim 222=+-→→y x xy y x f y x，问函数),(y x f 在点)0,0(处是否取到极值？解析: 抽象函数无法使用判定法则, 需用定义. f (0, 0)=0, 问题转化为讨论),(y x f 的正负号.⎩⎨⎧=αα+=⇔=0),(lim ),(),(),(lim y x y x A y x f A y x f ),()()(),(),(1)(),(222222222y x y x y x xy y x f y x y x xyy x f αα⋅++++=+=+-f 的后两项比第一项高阶, 且第一项在一、三象限为正，在二、四象限为负, 故f 亦可正可负.0)(04),()(14),(14),(lim )(),(lim 442424202220>++=⇒+=-=-=+-→→=x x x x x f x xx x x f x x x x f y x xy y x f x x x y α0)(04),()(14),(14),(lim )(),(lim 442424202220<++-=⇒+=+=+=+-→→-=x x x x x f x xx x x f x x x x f y x xy y x f x x x y α例22．计算函数y x xye z--=在第一象限（包括坐标原点和正坐标轴）的最大值．解: 先讨论内点：将y x xye z--=对y x ,求偏导，得唯一驻点1==y x ，此时2-=e z ．再讨论边界点：当0=x 或0=y 时，0=z ．最后讨论极限：y x xye --∞→ρlim (22y x +=ρ)因为0,0≥≥y x，故2)(y x xy +≤, 且当∞→ρ时，必有+∞→+y x ．)(0)()(2+∞→+→+≤+---y x e y x xye y x y x故y x xye z --=的最大值在内部取到, 从而在唯一驻点1==y x 取得最大值2-=e z ．例23. 求证:nn n n z y x z y x ⎪⎭⎫⎝⎛++≥++33, z y x ,,是正数, n 是自然数. 解析: 对于任意的z y x ,,,设a zy x =++3,则不等式变形为n n n n a z y x ≥++3即:当a z y x 3=++时,23a z y x u n n n ≥++=.若能说明n a 3为n n n z y x ++在条件a z y x 3=++下的最小值,此题得证.用代入消元法, 得nnny x a y x u )3(--++=, 求偏导数, 得唯一驻点a y x ==.求二阶偏导数可知:a y x ==是极小值点. 因此也是最小值点, 最小值等于n a 3.即nn n n z y x z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥++33.注: 证明不等式)],,([),,(z y x g z y x f ϕ≥等价于证明在条件az y x =ϕ),,(下,)(),,(a g z y x f ≥.例24．设函数),(y x f 在闭区域1:22≤+y x D 上有连续偏导数，且1),(≤y x f ，证明存在点),(00y x 满足12020<+y x ，使得16),(),(002002<+y x f y x f y x ．解析: 我们没有关于存在某点使其偏导数满足不等式的结论, 但有存在某点使其偏导数满足等式的结论: 极值点(内部最值点)的偏导数为0.需解决三个问题: 1. 将不等式变为等式2. 将等式转化为一阶偏导为0(确定函数)3. 说明极值点(内部最值点)的存在性1. 不等式变等式要找的点在12020<+y x 内, 若)(16),(),(2200200200y x y x f y x f y x +=+, 则不等式成立. 2. 等式变一阶偏导为0),(y x f 未知, 已知条件关于x, y 对称, 考虑说明等式2002016),(x y x f x =,2002016),(y y x f y =成立. 即:04),(000=±x y x f x ,04),(000=±y y x f y从而猜测辅助函数:y y x f y x F x y x f y x F y y x x 4),(),(,4),(),(±=±=)(2),(),(22y x y x f y x F +±=或)(2),(),(22y x y x f y x F -±=3. 说明极值点存在F 在D 上存在最大最小值, 需说明内部有最值.设)(2),(),(22y x y x f y x F ++=, 当122=+y x 时，12),(),(≥+=y x f y x F ，(已知1),(≤y x f )边界线上的点均不小于1, 若内部有一点不大于1, 则最小值在内部取得.1)0,0()0,0(≤≤f F故),(y x F 的最小值在区域D 的一个内点),(00y x 取到，从而),(00y x 为极小值点，有0),(),(0000==y x F y x F y x即：04),(4),(000000=+=+y y x f x y x f y x ．于是16)(16),(),(2020002002<+=+y x y x f y x f y x ．注:1、2为分析过程，3为证明过程例25．从ABC ∆内部一点Ｐ向三边作三条垂线，求使三垂线的乘积最大的点Ｐ的位置．评注: 此题的关键是确定z y x ,,应满足的条件，对于确定的三角形，其边长、周长、角、面积均为已知量．设P 为ABC ∆内一点，P 到BC ，AC ，AB 边上的距离分别为z y x ,,．则目标函数为xyzu =z y x ,,与谁(边长、周长、角、面积)的关系最简单?设面积为S ，则)(21cz by ax S ++= 问题转化为求xyz u=在条件S cz by ax 2=++下的条件极值*例26．设二元函数),(y x f 有一阶连续偏函数，且)1,0()0,1(f f =．证明：在单位圆122=+y x 上至少存在两个不同的点满足方程yf x x f y∂∂=∂∂．解析: 二元函数定义在某一特定曲线上则成为一元函数, 存在某点, 其导数满足某条件出于微分中值定理.法一: 任选一个变量为自变量, 另一变量则为中间变量．令)1(),()(22=+=y x y x f x F 其中，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂='y f x x f y y y f y x x f x F 1)( 由于)1()0,1()1,0()0(F f f F ===，由罗尔定理，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=ξ'F ．当)1,0(∈ξ=x时，012≠ξ-±=y ．故存在两个不同的点满足方程yfx x f y∂∂=∂∂法二：利用参数方程转化为一元函数．令)sin ,(cos )(θθ=θf F ，分别在区间]2,2[],2,0[πππ上分别应用罗尔定理． 由于)π2()2π()0(F F F ==，至少存在两个不同的点)π2,0(,∈ηξ，使0)()(=η'=ξ'F F ．)sin ,(cos cos )sin ,(cos sin )(21θθ'θ+θθ'θ-=θ'f f F yfxx f y ∂∂+∂∂-=故至少存在两个不同的点满足方程yfx x f y∂∂=∂∂．。