必修四三角函数的图象与性质讲义
人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.4.3 三角函数的图象与性质(共50张PPT)
当一个女人喜欢一个男人时，她最喜欢听他说谎言；当一个女人厌恶一个男人时，她最希望听他讲真话。 竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。 忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马善被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 理想的书籍是智慧的铜匙。 一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。 积极向上的人总是把苦难化为积极向上的动力。 稗子享受着禾苗一样的待遇，结出的却不是谷穗。 世界上20%的人是吃小亏而占大便宜，而80%的人是占小一便宜吃大亏，大多数成功人士都源于那20%。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 一份耕耘，份收获，努力越大，收获越多。 路，是自己走出来的；机会是自己创造出来的。 命运之神关上一道门，必定会打开另一扇窗。 穿着饮食可以因陋就简，而搞学问是不能因陋就简的。 信念是一把无坚不摧的利刃。 相信你行，你就活力无穷。 青春如此华美，却在烟火在散场。 人的一生，可以有所作为的时机只有一次，那就是现在。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
必修四 三角函数复习(图像和性质)讲义
三角函数的图象及性质复习考纲要求三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用重难点归纳1考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用2三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用♦ ()k x ASin y Sinx y ++==ϕω变化为怎样由 ？振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化：x ASin y ω= 左右平移变化 )(ϕω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(ϕω 周期问题◆ ()()()(), 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , >>+==>>+==>>+==>>+=ωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωx ACos y x ASin y x ACos y x ASin y❖()()ωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+=T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , tan x A y x A y 典型题例示范讲解（一）对三角函数性质的考查：题型一：最值问题 例1.（全国理15）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
练习：1（2011汕头模拟）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值.2（2011佛一模）．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3.（本小题满分12分）（2011广一模）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.题型二：对称性问题 例1．（本小题满分12分）（2010广一模）已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．2．（2011佛一模）定义运算a bc d,ad bc =-则函数()f x =2sin 12cos x x -图像的一条对称轴方程是( )A ．2x π=B ．4x π=C ．x π=D ．0x =练习1.（2010深圳）已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos(2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。
·注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.α与2α的终边关系：/任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos yx r rαα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )”同角三角函数的基本关系式： ！1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：1.角α的任意性。
高中数学必修4三角函数的图像与性质
三角函数的图像和性质课题学情剖析教课目的与考点剖析三角函数的图像和性质三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚才刚学到，对很多观点还不很清楚，理解也不够透辟，需要实时增强稳固。
1．掌握三角函数的图象及其性质在图象互换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单一区间等问题中的应用．教课要点三角函数图象与性质的应用是本节课的要点。
教课方法导入法、讲解法、概括总结法基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝ sin x 的图象在 [0,2 π]上的五个要点点的坐标为(0,0)，(,1) ，(π，0)，(3,1)， (2 π， 0)．22(2)y＝ cos x 的图象在 [0,2π]上的五个要点点的坐标为(0,1)，(,0) ，(π，－1)， (3,0) ，(2π，1)．222．三角函数的图象和性质函数y＝sin x y＝ cos x y＝tan x 性质定义域πR R{ x|x≠kπ＋2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性周期π对称轴： x＝kπ＋2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)2π单一增区间对称轴： x＝kπ(k∈ Z)无对称轴对称中心：对称中心：k(k,0)k Z(,0)k Z222ππ单一增区间[ 2k,2k]k Z ；单一增区间单一性22[2kπ－π，2kπ ](k∈Z)；单一减区间单一减区间(k, k) k Z 3[2kπ， 2kπ＋π ](k∈Z)22 [ 2k,2k]k Z22奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性2π函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周π期为|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或 y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b 的形式．三种方法求三角函数值域 (最值 )的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐渐剖析ωx＋φ的范围，依据正弦函数单一性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值 )问题．双基自测1．函数 ycos(x) ，x ∈R( )．3A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数．函数 y tan( x) 的定义域为 ()．2 4A ． { x | x k4 , k Z}B ． { x | x 2k, k Z}4 C ． { x | x k, k Z} D ． { x | x 2k, k Z}443． y sin( x ) 的图象的一个对称中心是 ( )．4A ． (－π，0)B ． (3,0)4C ． (3,0)D ． ( ,0)224．函数 f(x)＝cos (2x) 的最小正周期为 ________． 6考向一 三角函数的周期【例 1】?求以下函数的周期：(1) y sin(3 2x)；(2) y tan(3x)6考向二三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域其实是解简单的三角不等式， 常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域 (最值 )常有到以下几种种类的题目：①形如 y＝asin2x＋bsin x＋ c 的三角函数，可先设 sin x＝ t，化为对于 t 的二次函数求值域 (最值 )；②形如 y＝asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋ c 的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 )．【例 2】?(1)求函数 y＝ lg sin 2x＋9－x2的定义域．(2)求函数 y＝cos2x＋sin x (| x |) 的最大值与最小值．4【训练 2】 (1)求函数 y＝sin x－ cos x的定义域；tan(x) sin x4y(2)lg( 2 cos x 1)的定义域(3)已知 f (x) 的定义域为 [ 0,1] ，求 f (cos x) 的定义域.考向三三角函数的单一性求形如 y＝ Asin(ωx＋φ)＋ k 的单一区间时，只要把ωx＋φ看作一个整体代入 y＝ sin x 的相应单一区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．【例 3】?求以下函数的单一递加区间．(1) y cos(2x) ，(2) y 1 s in( 4 2 x) ，(3) y tan(3x ) .3 2 3 3【训练 3】 函数 f(x)＝ sin ( 2x) 的单一减区间为 ______．3考向四 三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象不过中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形联合思想的应用．【例 4】?(1)函数 y ＝cos (2x) 图象的对称轴方程可能是 ()．3π ππ πA ． x ＝－ 6B ．x ＝－ 12C ．x ＝6D ．x ＝ 12(2)若 0＜α＜ π ) 是偶函数，则 α的值为________．， g( x) sin(2x 2 4π【训练 4】 (1)函数 y ＝ 2sin(3x ＋ φ) (| | 2) 的一条对称轴为 x ＝12，则 φ＝ ________.(2)函数 y ＝ cos(3x ＋φ)的图象对于原点成中心对称图形．则 φ＝________.难点打破 —— 利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思想问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题， 是以娴熟掌握三角函数的各条性质为前提的， 解答时往常将方程的思想与待定系数法相联合．【示例】? 已知函数 f(x)＝sin ( x) (ω＞0)的单一递加区间为 [ k 5, k ] (k ∈3 1212Z)，单一递减区间为 [ k,k 7] (k ∈ Z)，则 ω的值为 ________．1212练一练：1、已知函数 f (x) sin(3x)3（ 1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2 、 设函数 f ( x)sin(2x )( 0) 的图 象的 一条对称 轴是直线 x，则8______．课后练习：三角函数的图象与性质·练习题一、选择题(1) 以下各命题中正确的 是[](2)以下四个命题中，正确的是[] A．函数 y=ctgx 在整个定义域内是减函数B．y=sinx 和 y=cosx 在第二象限都是增函数C．函数 y=cos(-x) 的单一递减区间是 (2k π- π， 2kπ)(k ∈ Z)(3)以下命题中，不正确的是[ ]D．函数 y=sin|x|是周期函数(4)以下函数中，非奇非偶的函数是[](5) 给出以下命题：①函数 y=-1-4sinx-sin 2 x的最大值是2②函数 f(x)=a+bcosx(a∈ R且b∈R-)的最大值是a-b以上命题中正确命题的个数是[]A．1B ． 2C．3D． 4[] A．sin α＜ cosα＜ tg αB．cosα＞ tg α＞ sin αC．sin α＞ tg α＞ cosαD．tg α＞ sin α＞ cosα(7)设 x 为第二象限角，则必有[][]二、填空题(9) 函数 y=sinx+sin|x|的值域是______．的值是 ______．(11)设函数 f(x)=arctgx 的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位，所获得的图象为 C，又设图象 C1与 C 对于原点对称，那么 C1所对应的函数是 ______．(12)给出以下命题：①存在实数α，使sin αcosα=1⑤若α，β是第一象限角，α>β则 tg α＞ tg β此中正确命题的序号是 ______．三、解答题(14) 已知函数 y=cos2 x+asinx-a 2+2a+5有最大值 2，试务实数 a 的值．９答案与提示一、(1)B (2)D(3)D(4)B(5)D(6)D(7)A(8)D提示(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈ Z)内是单一递减函数．y=cos(-x)=cosx 在 [2k π- π， 2kπ](k ∈Z) 上是增函数，而在 [2k π， 2kπ+π] 上是减函数．(3) 可画出 y=sin |x|图象考证它不是周期函数或利用定义证之．１０(5) ①=-y(sinx+2)2+3sinx=-1时，y max=2②当 cosx=-1 时， f(x) max=a-b∴c osα＜ sin α＜ tg α二、 (9)[-2，2](10)2或3(11)y=arctg(x+2)(12) ③④提示(11)C ： y＝ arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴ y=arctg(x+2)由 390°＞ 45°，但 tg390 °=tg30 °＜ tg45 °，故⑤不正确．综上，③④正确．三、。
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.α与2α的终边关系：任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )”同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：1.角α的任意性。
人教版高中数学必修四三角函数的图像和性质优质课件
3
3
1
01
21-
2o
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- 1-
3
3
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3 2
2
7
10x
3
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3
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3. 由y = sinx 到y = Asin(ωx +)的图象变换步骤
步骤1 步骤2
画出y = sinx在0，2π上的简图
横坐标沿向x轴左 (>0平) 或行向移右动(<0) 平移 || 个单位 得到y = sin(x +)在某周期内的简图
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心:
对称轴：
(k , 0)(k z) 对称中心:
x k , k Z 对称轴：
2
(k , 0)(k z)对称中心:
2
( k , 0)(k z)
2
x k ,k Z
无对称轴 返回目录
三、解三角不等式（数形结合）
经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解: (1)y= 12cos2x+ 23sinxcosx+1= 14cos2x+
43sin2x+
5 4
=
1 2
sin(2x+
6)+
54.
当且仅当 2x+ 6=2k+ 2(kZ), 即 x=k+ 6(kZ) 时,
函数 y 取得最大值.
故当 y 取得最大值时, 自变量 x 的集合是:
y=sinx
y=sin2x
O
2π
x
y=sin
1 2
x图象由y=sinx图象（纵标不变），
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
解析：设 f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图象，
如图所示．
由图知 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点，则方程 x＋sin x＝0 仅有一个根． 答案：B
3．已知 cos x≥12且 x∈[0,2π]，求 x 的取值范围． 解析：函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示，
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
考纲定位
重难突破
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的 重点：1.利用“五点法”画
方法．
正、余弦函数的图象．
2.掌握、余函数图象之间
步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、
的区别与联系．
余弦曲线．
[双基自测] 1．正弦曲线在(0,2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________． 解析：由正弦曲线知，正弦曲线在(0,2π]内最高点为π2，1，最低点为32π，－1. 答案：π2，1 32π，－1
2．用五点作图法作 y＝1－cos x，x∈(0,2π]的图象时，其中第二个关键点的坐标 为________． 解析：由五点作图法的规则知第二个关键点坐标为π2，1. 答案：π2，1
人教A版必修四：《三角函数的图像与性质》PPT优选课件
ymax=1
x 2 k (k Z )时
ymin= 1
xk(kZ)
2
6
图象
周期性 奇偶性
f(x)=sinx
y
1
-2 - o
-1
2 3
4 x
2 奇函数
f(x)= cosx
y
1
-2 - o 2 3 4 x
-1
2 偶函数
单调性
单调增区间:
单调增区间:
[ 2 k , 2 k ]k( Z ) [ 2 k,2 2 k]k (Z )
22
单调减区间:
单调减区间:
[ 2 k ,3 2 k ]k ( Z ) [2 k , 2 k ]k ( Z )
22
2020/10/18
7
【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时x的集合： (1)y=cos x ,xR ； (2) y=2-sin2x,xR
3
解：(1)当cos x =1,即x=6k (kZ)时，ymax=1
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
2 x
x
-
-
-1 -
l
作业： 课本 3２页 练习 2 、３
预习：正弦、余弦函数的性质
（二）
2020/10/18
4
1.3.2 正正弦弦、函余数弦.余函弦数函的数图的象图象和性质 （二）
复习 正弦曲线、余弦曲线
几何描点法
代数描点法(五点作图)
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
-1
3
2
x
人教版高一数学必修四第一章三角函数的图象与性质
第2课时 三角函数的图象与性质三角函数的图象设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解】 (1)周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(2)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 列表如下： 2x －π3－π3 0 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x ) 121－112用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤第一步：列表；由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x ，再由ωx ＋φ的值求出y 的值．x－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx ＋φ0 π2 π 32π 2π yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4解析：选D.由题图知函数的最大值为A ＋2＝3，则A ＝1，函数的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π6＝4π3＝2πω，则ω＝32，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ＋2， 则当x ＝5π6时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×32＋φ＋2＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝1，即5π4＋φ＝π2＋2k π，则φ＝－3π4＋2k π， 因为|φ|<π，所以当k ＝0时，φ＝－3π4，故A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4.三角函数的图象变换(2019·合肥市第一次教学质量检测)将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12【解】 y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移φ的单位长度得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π4的图象，该图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4的图象，所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4，则a ＝12，φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又φ>0，所以结合选项知选D.【答案】 D函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的两种方法1．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以只需把函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选B. 2．将函数f (x )＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝－π6解：选C.将f (x )＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可以得到y ＝sin 2x 的图象，再向右平移π6个单位得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1知，x ＝－π12是g (x )图象的一条对称轴，故选C.三角函数的性质已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋B 的形式．(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用sin x ，cos x 的有界性．②从y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析：选A.因为函数的周期为π， 所以排除C ，D.因为函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，所以排除B ，故选A.2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R )，下列说法错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数解析：选D.因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝cos 2x ，所以函数f (x )是偶函数，且最小正周期T ＝2πω＝π，故A ，B 正确；由2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，当k＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，故D 不正确．故选D.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤π8，π2 C.⎣⎡⎦⎤0，3π8D.⎣⎡⎦⎤3π8，π2解析：选C.令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .又0≤x ≤π2，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8.2．(2019·南昌市摸底调研)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x 2的图象( )A ．向右平移π3个单位长度得到B ．向右平移2π3个单位长度得到C ．向左平移π3个单位长度得到D ．向左平移2π3个单位长度得到解析：选B.由y ＝cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象可以由y ＝cos x2的图象向右平移2π3个单位长度得到．3．(2018·高考江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案：－π64．如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为____________．解析：由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π35．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 解：(1)由图象知 A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6.所以所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．。
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点 角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
象限角的概念:在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z πα=∈． 角度与弧度的互换关系：360°=2π 18０°＝π 1°=0．0１７４5 1=５7．30°＝57°18′注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零．α与2α的终边关系：任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点）,它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos yx r rαα==,()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点Ｐ的位置无关。
三角函数线的特征:正弦线M Ｐ“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线O Ｍ“躺在x 轴上(起点是原点）”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A ）”同角三角函数的基本关系式:１. 平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=２． 倒数关系：s ｉn αc ｓｃα=1，cos αｓe ｃα=1,ｔａn αcot α=１,3. 商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：１.角α的任意性。
第13讲 必修4第一章三角函数的图像与性质(教师版)
11．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝()A.45 B.35C．－45D．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝()A．0 B.95 C.43 D.53解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝()A.32B．－32 C.12D．－12解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－3 2.4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B．2 C．－12D．－2解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α＝－255，cos α＝－55，∵tan α＝2.5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：01．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∵[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∵Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∵Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∵Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∵Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∵Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∵Z ，∵y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∵Z . 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∵当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∵ω＝32. 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π， ∵ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∵Z )，∵φ＝2k π－11π6(k ∵Z )，又φ>0，∵φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∵f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 答案 5 3π4＋2k π(k ∵Z )解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5， 此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∵Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∵Z )．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图跟踪练习1 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为______________________________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∵Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∵Z ， ∵2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∵Z )，∵函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∵y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∵Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∵Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∵Z )得，踪练习3 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∵x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.(2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.1、 (2014陕西,2,5分,∵∵∵)函数f(x)=cos 的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π 思路点拨 根据公式T=计算.[答案] B [解析] T===π.故选B.2、(2013江苏,1,5分,∵∵∵)函数y=3sin的最小正周期为________.[答案]π[解析]由题意知ω=2,所以T==π.3、(2015山东烟台模拟,∵∵∵)求下列函数的最小正周期:(1)y=sin;(2)y=|sin x|.思路点拨(1)利用公式求最小正周期;(2)可利用图象法求最小正周期.[答案]答案见解析[解析](1)y=sin,其中ω=2,∵T==π.(2)函数y=|sin x|的图象如下图所示,可知其最小正周期为π.4、(2015四川,5,5分,∵∵∵)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sinB.y=cosC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x思路点拨利用函数的奇偶性逐项验证.[答案]B[解析]A中,y=cos 2x,最小正周期为π,为偶函数,不符合题意;B中,y=-sin 2x,最小正周期为π,且为奇函数,符合.C,D为非奇非偶的函数.5、(2014陕西西安模拟,∵∵∵)下列函数中是奇函数的是()A.y=-|sin x|B.y=sin(-|x|)C.y=sin |x|D.y=x·sin |x|思路点拨利用f(-x)=-f(x)进行判断.[答案]D[解析]四个函数的定义域都是R,设f(x)=x·sin|x|,则f(-x)=(-x)·sin|-x|=-x·sin|x|=-f(x),∵y=x·sin|x|是奇函数,故选D.6、(2014广东,5,5分,∵∵∵)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x思路点拨根据奇函数的定义判断.[答案]A[解析]由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函数,只有A中的函数为奇函数,故选A.7、(2012天津,6,5分,∵∵∵)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y=cos 2x,x∵RB.y=log2|x|,x∵R且x≠0C.y=,x∵RD.y=x3+1,x∵R思路点拨根据选项中各个函数的性质判断,有一定的综合性.[答案]B[解析]函数y=cos 2x在区间上单调递减,在区间上单调递增,不合题意,排除A;函数y=是奇函数,排除C;y=x3+1是非奇非偶函数,排除D;y=log2|x|=是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选B.8、(2012大纲全国,3,5分,∵∵∵)若函数f(x)=sin (φ∵[0,2π])是偶函数,则φ=()A. B. C. D.思路点拨根据特例来求解.[答案]C[解析]∵f(x)是偶函数,∵=+kπ(k∵Z).∵φ=π+3kπ(k∵Z),又φ∵[0,2π],∵φ=π.9、(2014安徽,14,5分,∵∵∵)若函数f(x)(x∵R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=________.思路点拨根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内,结合奇函数性质求解.[答案][解析]∵f(x)是以4为周期的奇函数,∵f=f=f,f=f=f.∵当0≤x≤1时, f(x)=x(1-x),∵f=×=.∵当1<x≤2时, f(x)=sin(πx),∵f=sin=-.又∵f(x)是奇函数,∵f=-f=-,f=-f=.∵f+f=-+=.10、(2012课标全国,9,5分,∵∵∵)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是()A. B. C. D.(0,2]思路点拨利用正弦函数的单调性及单调区间求解.[答案]A[解析]由<x<π得+<ωx+<ωπ+,又y=sin α在(k∵Z)上递减,∵解得由ω>0知+2k>0,∵k>-.若要不等式组有解,则+4k≤+2k,解得k≤,又k∵Z,∵k=0,∵≤ω≤,故选A.11、(2011安徽,9,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∵R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是()A. (k∵Z)B. (k∵Z)C. (k∵Z)D. (k∵Z)思路点拨恒成立问题可转化为最值问题,然后根据单调区间等知识求解.[答案]C[解析]∵f(x)≤恒成立,∵=1.∵+φ=+kπ,k∵Z.∵φ=+kπ,k∵Z.又∵f>f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∵-sin φ>sin φ,∵2sin φ<0,∵sin φ<0.∵当k=1时,φ=+π=,满足sin φ<0,∵f(x)=sin=-sin.∵要求f(x)的单调递增区间,只需2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∵Z,即kπ+≤x≤kπ+,k∵Z.∵f(x)的单调递增区间是(k∵Z).12、(2015上海长宁区一模,∵∵∵)设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是________.思路点拨∵ω>0,先求出f(x)=2sin ωx的单调递增区间,而是其中的一个子集,由集合关系,求出ω的取值范围.[答案][解析]三角函数f(x)=2sin ωx的图象如图.由图知f(x)在上是单调增函数,结合题意得解得0<ω≤.13、(2014福建,7,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)思路点拨分段函数问题可以考察各段函数的性质,或结合图象判断.[答案]D[解析]作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.14、(2014课标∵,6,5分,∵∵∵)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()思路点拨列出函数y=f(x)的表达式后判断函数的图象,或取x的几个特殊值来验证.[答案]C[解析]由题图可知:当x=时,OP∵OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∵时,OM=cos x,设点M到直线OP 的距离为d,则=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,∵f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.15、(2013江西改编,∵∵∵)设f(x)=2sin,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.思路点拨对已知条件“对任意实数x都有|f(x)|≤a”的理解是解答关键,把此条件转化为函数f(x)的最大值问题.[答案] [2,+∞) [解析] ∵≤1,∵≤2,即对任意实数x,有|f(x)|≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,只要a 不小于|f(x)|的最大值即可,∵a≥2.[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3 答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x ≤9，∵－π3≤π6x －π3≤7π6，∵sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∵⎣⎡⎦⎤－32，1.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∵Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∵Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∵－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∵ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∵T 2≥π2－π6， ∵T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∵f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∵f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∵14T ＝7π12－π3＝π4，∵T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.∵g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∵Z .。
高中数学第十一课时 三角函数的图象与性质名师课件 苏教版 必修4
问题： 一般情况下，给定象与性质
定义：
正弦函数y=sinx的图象叫做正弦曲线， 余弦函数y=cosx的图象叫做余弦曲线，
根据正弦曲线与余弦曲线的关系，请从代数理 论上给以解释。
三角函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数的性质：
1.定义域： R 2.值域：[1,1]
3.周期性：T 2
4.奇偶性：正弦函数是奇函数； 余弦函数是偶函数。
5.单调性：
三角函数的图象与性质
思考： 结合单位圆与三角函线，请说出正弦函数与
余弦函数的单调区间。
课本第33页 1,2,3,4,5,6
三角函数的图象与性质
小结与回顾：
1.如何作正弦函数、余弦函数的图象？ 2.根据正弦函数图象和余弦函数图象说明它们间 的关系； 3.正弦函数与余弦函数的性质。
必修四三角函数的图象与性质讲义
1.4—1.5 三角函数的图象与性质一、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线)自变量x 函数值sin x注意：（1）由于sin(2k π＋α)＝sin α，因此作正弦函数图象时，我们经常采用“五．．点法”：．．．．(0．．，．0)．．，．(．2π，．1)．．，．(．π，．0)．．，．(．23π，－．．1)．．，．(2．．π，．0)．．；．再通过向左、右平移(每次2π个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。
二、余弦函数的图象1、余弦函数的图象：y ＝cosx ＝sin(x ＋2π)可将正弦函数y ＝sinx 向左平移2π个单位得到。
2、“五点作图法”： (0．．，．1．)．，．(．2π，．0．)．，． (．π，－．．1．)．，． (．23π，．0．)．，． (2．．π，．1．)．三、正、余弦函数的性质f(x)＝sinx h(x)＝cosxf(x)＝sinxh(x)＝cosx定义域R R值域[－1，1]当x ＝2k π＋2π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π－2π时，f(x)min ＝－1[－1，1]当x ＝2k π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π＋π时，f(x)min ＝－1––例1：求下列函数的定义域。
（1）f(x)＝x sin （2）f(x)＝21cos -x 变式练习1：求下列函数的定义域（1）f(x)＝lg(sinx) （2）f(x)＝3cos 7cos 2-+x x （3）f(x)＝1sin sin 22++-x x变式练习2：已知cos x ＝－21，且x ∈[0，2π]，则角x 等于( ) A ：π32或π34 B ：π32或π31 C ： π65或π61 D ：π65或π611【解析】A变式练习3：当x ∈时[0，2π]，满足sin(2π－x)≥－21的x 的取值范围是( )A ： [0，π32] B ： [π34，2π] C ：[0，π32]∪[π34，2π] D ：[π32，π34]【解析】C例2：下列函数图象相同的是( )A ：y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ：y ＝cos x 与y ＝sin(2π－x) C ：y ＝sin x 与y ＝sin(－x) D ：y ＝－sin(2π＋x)与y ＝sin x 【解析】B变式练习1：y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( )A ：0B ：1C ：2D ：3解析 B变式练习2：函数y ＝sin(－x)，x ∈[0，2π] 的简图是( )【解析】B变式练习3：.函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 图象的交点________个。
数学人教版必修4(B)三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质知识网络三角函数的图象和性质结构简图画龙点晴 概念三角函数的图象:函数x y sin =的图象叫做正弦曲线, 如图1; 函数x y cos =的图象叫做余弦曲线, 如图2; 函数x y tan =的图象叫做正切曲线, 如图3; 函数x y cot =的图象叫做余切曲线, 如图4;周期函数: 对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
说明：1︒周期函数x∈定义域M，那么必有x+T∈M, 且假设T>0那么定义域无上界；T<0那么定义域无下界；2︒“每一个值〞只要有一个反例，那么f (x)就不为周期函数〔如f (x0+t)≠f (x0)〕; 3︒T往往是多值的〔如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期〕周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期〔有些周期函数没有最小正周期〕.三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:[活用实例][例1] 求以下函数的最值：(1)y=sin(3x+4π)-1 ; (2) y=sin2x-4sinx+5 ; (3) y=x x cos 3cos 3+- ; (4))3cos(2π-=x y (6π≤x ≤32π). [题解] (1) 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时ymax=0; 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时ymin=-2. (2) y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时ymax=10; 当x=2k π-2πk ∈Z 时ymin=2.(3)y=-1+x cos 31+当x=2k π+π k ∈Z 时 ymax=2; 当x=2k π k ∈Z 时 ymin= 21.(4)∵x ∈[6π,32π] ∴x-3π∈[-6π,3π],∴当x-3π=0 即x=3π时 ymax=2; 当x-3π=3π即x=32π时 ymin=1.[例2] 求以下函数的定义域：(1)y=x x 2cos 21cos 3--; (2)y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x ; (3)y=)cos(sin x .[题解] (1)∵3cosx-1-2cos2x ≥0 ∴21≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3π](k ∈Z).(2))(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->ππππππππ )(3262Z k k x k ∈+≤<-⇒ππππ∴定义域为：)](32,62(Z k k k ∈+-ππππ.(3) ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-2π≤x ≤2k π+2π(k ∈Z)∵-1≤sinx ≤1 ,∴x ∈R ,1cos ≤y ≤1.[例3] 函数f(x)=2asin2x-23asinxcosx+b 的定义域为[0，2π]，值域为[-5，4]，求常数a,b 的值。
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1.4—1.5 三角函数的图象与性质一、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线)自变量x 2π- 32π-π- 2π- 02ππ 32π 2π函数值sin x 0 1 0 1- 0 11- 0注意：（1）由于sin(2k π＋α)＝sin α，因此作正弦函数图象时，我们经常采用“五点法”：．．．．．．(0．．，．0)．．，．(．2π，．1)．．，．(．π，．0)．．，．(．23π，－．．1)．．，．(2．．π，．0)．．；．再通过向左、右平移(每次2π个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。
二、余弦函数的图象1、余弦函数的图象：y ＝cosx ＝sin(x ＋2π)可将正弦函数y ＝sinx 向左平移2π个单位得到。
2、“五点作图法”： (0．．，．1．)．，．(．2π，．0．)．，． (．π，－．．1．)．，． (．23π，．0．)．，． (2．．π，．1．)．––π2π 2π-2π5ππ-2π-5π- O x y1 1-三、正、余弦函数的性质f(x)＝sinx h(x)＝cosxf(x)＝sinxh(x)＝cosx定义域R R值域[－1，1]当x ＝2k π＋2π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π－2π时，f(x)min ＝－1[－1，1]当x ＝2k π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π＋π时，f(x)min ＝－1单调区间[2 k π－2π，2 k π＋2π] 单增[2 k π＋2π，2 k π＋23π] 单减[2 k π，2 k π＋π] 单减 [2 k π＋π，2 k π＋2π] 单增对称轴 x ＝k π＋2πx ＝k π 对称中心 (k π，0)(k π＋2π，0) 周期性 sin(2 k π＋α)＝sin α cos(2 k π＋α)＝cos α 最小正周期为2π 奇偶性sin(－α)＝－sin α 奇函数cos(－α)＝cos α例1：求下列函数的定义域。
（1）f(x)＝x sin （2）f(x)＝21cos -x变式练习1：求下列函数的定义域（1）f(x)＝lg(sinx) （2）f(x)＝3cos 7cos 2-+x x （3）f(x)＝1sin sin 22++-x x变式练习2：已知cos x ＝－21，且x ∈[0，2π]，则角x 等于( )A ：π32或π34B ：π32或π31C ： π65或π61D ：π65或π611【解析】A变式练习3：当x ∈时[0，2π]，满足sin(2π－x)≥－21的x 的取值范围是( )A ： [0，π32] B ： [π34，2π] C ：[0，π32]∪[π34，2π] D ：[π32，π34]【解析】C例2：下列函数图象相同的是( )A ：y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ：y ＝cos x 与y ＝sin(2π－x) C ：y ＝sin x 与y ＝sin(－x) D ：y ＝－sin(2π＋x)与y ＝sin x 【解析】B 变式练习1：y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( )A ：0B ：1C ：2D ：3解析 B变式练习2：函数y ＝sin(－x)，x ∈[0，2π] 的简图是( )【解析】B变式练习3：.函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 图象的交点________个。
【解析】在同一坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图象可见有3个交点。
3个变式练习4：.若函数y ＝2cos x(0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________。
【解析】：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC 的面积。
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.故所求封闭图形的面积为4π.四、正切函数的图象与性质【三点两线】定义域：x ≠k π＋2πk ∈Z 值域：R 周期性：最小正周期T ＝ωπ 单调递增区间：(k π－2π，k π＋2π) 奇偶性：tan(－x)＝－tanx 奇函数 对称中心：(2πk ，0)例3：求函数f(x)＝tan(2x －3π)的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心。
例4：若直线l 过点M(2，2)且与以点P(－2，－3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线l 的斜率的范围是_________。
【解析】：45≤k ≤2 变式练习：若直线l 过点M(0，2)且与以点P(－2，－3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线l 的斜率的范围是_________。
【解析】：k ≤－2，k ≥25五、函数y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象与性质（一）由y ＝sinx 的图象通过变换法作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象1、先平移后伸缩：y ＝sinx −−−−−−−−−−−−→−<>个单位得到时向右）平移时向左，（ϕϕϕ00y ＝sin(x ＋ϕ) −−−−−−−−−−−→−<<>倍得到伸长）到原来的时缩短（ωωω1101y ＝sin(ωx ＋ϕ)−−−−−−−−−−−→−<<>倍得到缩短）到原来的时伸长（A A A 101y ＝Asin(ωx ＋ϕ)2、先伸缩后平移：y ＝sinx−−−−−−−−−−−→−<<>倍得到伸长）到原来的时缩短（ωωω1101 y ＝sin ωx−−−−−−−−−−−−→−<>个单位得到时向右）平移时向左，（ωϕϕϕ00 y ＝sin[ω(x ＋ωϕ)] −−−−−−−−−−−→−<<>倍得到缩短）到原来的时伸长（A A A 101y ＝Asin(ωx ＋ϕ)例5：把函数y ＝sin(2x ＋4π)的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数解析式为（ ） A ：y ＝sin(4x ＋83π) B ：y ＝sin(4x ＋8π) C ：y ＝sin4x D ：y ＝21sin2x【解析】：D变式练习1：将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ：y ＝cos2x B ：y ＝sin(2x ＋4π) C ：y ＝sin(21x ＋8π)D ：y ＝sin(21x ＋4π) 【解析】：选D变式练习2：已知函数f(x)＝sin(ωx ＋3π)（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f(x)的图象可以由函数y ＝sin2x 的图象( )A ：向左平移6π个单位长度B ：向右平移6π个单位长度 C ：向左平移3π个单位长度 D ：向右平移3π个单位长度【解析】选A变式练习3：要得到函数y ＝2cos(2x －6π)的图象，只要将函数y ＝2cos2x 的图象( ) A ：向左平行移动6π个单位长度 B ：向右平行移动6π个单位长度C ：向左平行移动12π个单位长度D ：向右平行移动12π个单位长度【解析】选D变式练习4：要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只需将函数y ＝－cos(2x －π)的图象( ) A ：向左平移6π个单位长度 B ：向左平移125π个单位长度C.向右平移125π个单位长度 D ：向右平移3π个单位长度 【解析】选C.由于y ＝－cos(2x －π)＝cos2x ＝sin ＝sin2，y ＝sin＝sin2＝sin2.故只需将函数y ＝－cos(2x －π)的图象向右平移π个单位长度得到函数y ＝sin的图象.五、有关函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的性质1、定义域为R2、值域为[－A ，A]3、最小正周期T ＝ωπ2 4、当ϕ＝k π时，函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)为奇函数；当ϕ＝k π＋2π函数是偶函数。
5、对于函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间，把ωx ＋ϕ看成整体2k π－2π≤ωx ＋ϕ≤2k π＋2π，解出x 的范围为函数的单调递增区间 2k π＋2π≤ωx ＋ϕ≤2k π＋23π，解出x 的范围为函数的单调递减区间6、函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的对称轴ωx ＋ϕ＝k π＋2π，解出x 求得；对称中心ωx ＋ϕ＝k π，解出x 求得。
例6：指出函数y ＝3sin(2x －3π) 的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。
变式练习1：函数f(x)＝3sin(x ＋6π)在下列区间内递减的是( ) A ：[－π21，π21] B ：[0，π21] C ：[－π32，π32] D ：[π21，π32]【解析】:令2kπ＋≤x ＋≤2kπ＋，k ∈Z 可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k ∈Z ，∴函数f(x)的递减区间为，k ∈Z.从而可判断， 答案:D变式练习2：设函数f(x)＝sin(2x －π21)，x ∈R ，则f(x)是( )A ：最小正周期为π的奇函数B ：最小正周期为π的偶函数C ：最小正周期为π21的奇函数 D ：最小正周期为π21的偶函数 【解析】:因为f(x)＝sin ＝-cos 2x ，所以f(-x)＝-cos 2(-x)＝-cos 2x ＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B例7：若函数)2sin(3)(ϕ+=x x f 的图象关于直线π32=x 对称，那么︱ϕ︱的最小值为（ ） A ：12π B ：6π C ：4π D ：3π 【解析】：B例8：函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ) （A ＞0， ω＞0，︱ϕ︱＜2π）的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ） A ：f(x)＝2sin(x －6π) B ：f(x)＝2sin(2x －3π)C ：f(x)＝2sin(x ＋12π)D ：f(x)＝2sin(2x －6π)【解析】：B变式练习1：已知cos ϕ＝－54，且ϕ∈(2π，π)，函数f(x)＝sin(ωx ＋ϕ)（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则f(8π)的值为（ ）。
A ：102 B ：－102 C ：1027 D ：－1027 【解析】：B变式练习2：已知函数f(x)＝sin(ωx ＋ϕ) （ω＞0，︱ϕ︱＜2π）的部分图象如图，则ϕ＝_______。
【解析】：6π变式练习3：已知函数f(x)＝sin(ωx ＋ϕ)（ω＞0）的图象如右图如示，则f(4)＝______。
【解析】：22变式练习4：函数f(x)＝sin(ωx ＋ϕ)，（︱ϕ︱＜2π）的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为（ ） A ：（－1＋4k π，1＋4k π），k ∈Z B ：（－3＋8k π，1＋8k π），k ∈Z C ：（－1＋4k ，1＋4k ），k ∈Z D ：（－3＋8k ，1＋8k ），k ∈Z【解析】：【解答】解：根据函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ），（|φ|＜）的部分图象，可得＝3﹣1＝2，求得ω＝，再根据五点法作图可得•1＋φ＝，∴φ＝，∴f （x ）＝sin （x ＋）．令2kπ﹣≤x ＋≤2kπ＋，求得8k ﹣3≤x ≤8k ＋1， 故函数的增区间为[﹣3＋8k ，1＋8k]，k ∈Z ，故选：D ．例9：已知函数f(x)＝2sin(2x －4π) （1）求函数f(x)的最小正周期。