高考数学二轮总复习专题四数列十递推数列及数列求和的综合问题课时练习文

所以{an}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，即an＝6n－5.
(2)因为f(x)＝2x，所以f(n＋1)－f(n)＝2n＋1－2n＝2n，
所以an＋1－an＝2·2n＝2n＋1.
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1.
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn.
由题意得bn＝ ×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝ ＋ －(2n＋1)×2n－1，
所以Tn＝ .
18．已知数列{an}满足an＋1－an＝2[f(n＋1)－f(n)](n∈N*)．
当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2.
由λan>2n＋n＋2λ，得λ> ＝ ＋ ，而 － ＝ ≤0，所以当n＝1或n＝2时， 取得最大值 ，
故λ的取值范围为 .
解析：由点(a ，a )在直线x－9y＝0上，得a －9a ＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即 ＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝ ＝ ＝3n－1，故选A.
答案：55
15．(2017·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为Tn，求证：Tn≤ .
解析：(1)由a1＝9，a2为整数可知，等差数列{an}的公差d为整数．
又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，
∴an＝ .
(2)当n＝1时，b1＝ ＋1＝ ，
∴T1＝ ，
当n≥2时，bn＝ ＋n＝ ＋n＝ － ＋n
∴Tn＝ ＋
＋(2＋3＋4＋…＋n)＝ － ＋ .
上式对于n＝1也成立，∴Tn＝ － ＋ .
17．(2017·山东卷)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
解析：由Sn≤S5得 ，即 ，得－ ≤d≤－ ，又a2为整数，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)×d＝11－2n， ＝ ，
∴数列 的前n项和Tn＝
＝
，∴T9＝－ × ＝－ .
答案：－
12．(2017·兰州市诊断考试)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有 ＝1成立，则S2 017＝________.
(1)若a1＝1，f(x)＝3x＋5，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1＝6，f(x)＝2x且λan>2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
解析：(1)因为an＋1－an＝2[f(n＋1)－f(n)](n∈N*)，f(n)＝3n＋5，
所以an＋1－an＝2(3n＋8－3n－5)＝6，
答案：C
8．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则 2k＝()
A. B.
C. D.
解析：当n＝1时，3S1＝a1a2,3a1＝a1a2，所以a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝an＋1，可得3Sn－1＝an－1an，
两式相减得：3an＝an(an＋1－an－1)，
又因为an≠0，所以an＋1－an－1＝3，
所以{a2n}是一个以3为首项，3为公差的等差数列．
所以 2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋ ×3＝ .
答案：C
9．(2017·湖北省七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a ，a )在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于()
A．3n－1 B.
C. D.
A．440 B．330
C．220 D．110
解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为 .
由题意知，N＞100，令 ＞100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．
第n组的各项和为 ＝2n－1，前n组所有项的和为 －n＝2n＋1－2－n.
于是9＋4d≥0,9＋5d≤0，
解得－ ≤d≤－ .
∵d为整数，∴d＝－2.
故{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)，得 ＝ ＝ ，
∴Tn＝
＝ .
令bn＝ ，由函数f(x)＝ 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b1<b2<b3<b4，b5<b6<b7<…<0，∴bn≤b4＝1.
课时作业(十)递推数列及数列求和的综合问题
1．(2017·信阳二模)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝ 则数列{an}的前20项和为()
A．1 121B．1 122
C．1 123 D．1 124
解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为 ＋10×1＋ ×2＝1 123.选C.
设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－ 项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝ ＋5＝440.
故选A.
答案：A
11．(2017·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列 的前9项和为________．
解析：当n≥2时，由 ＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S ＝－SnSn－1，∴ － ＝1，又 ＝2，∴ 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴ ＝n＋1，故Sn＝ ，则S2 017＝ .
答案：
13．(2017·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则
由 得 ∴an＝n.
∴Sn＝n×1＋ ×1＝ ，
＝ ＝2 .
∴ ＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝2
＝2 ＝ .
答案：
14．(2017·兰州市高考实战模拟)对于正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与平面直角坐标系的y轴交点的纵坐标为an，则数列 的前10项和等于________．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
解析：(1)设数列{xn}的公比为q.
由题意得 所以3q2－5q－2＝0.
由已知得q＞0，所以q＝2，x1＝1.
∴Tn≤ × ＝ .
16．设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，数列{bn}满足bn＝ ＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝4，
由Sn＝2n＋1，得Sn－1＝2n(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n(n≥2)，
法二 由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝ ＝ ＝92.
答案：C
3．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前40项和S40等于()
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：由an＋1＝ (n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4＝1，a5＝ ，a6＝ ，a7＝1，a8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为 ，又40＝6×6＋4，所以S40＝6× ＋1＋3＋3＋1＝60.
答案：B
6．(2017·太原市模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos ＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝()
A．－30 B．－60
C．90 D．120
解析：由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.
＝2 ＝ ，选A.
答案：A
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5.令bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前2n项和T2n为()
A．－nB．－2n
C．nD．2n
解析：设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a5，得3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝2n－1，∴bn＝(－1)n－1(2n－1)，∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝－2n，选B.
答案：C
2．(2017·湖南省五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝()
A．72 B．88
C．92 D．98