具有免疫接种且总人口规模变化的SIR传染病模型的稳定性

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一类SIR传染病模型的全局稳定性分析

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６．１因此本文研究系统（）３在下面的可行区域里（吸引域）：
ｆ＝（Ｒｍ ∈ ３；Ｏ＞．尺 Ⅳ Ｓ（一）￣ｌ，Ｒ＋三，Ｏ＋＜ｄｄ６｝Ｌ：Ｒ，．
收稿日期：０１ｏ — ｌ２１－３２
作者简介：春娟（９２）女，朱１８一。江苏南通人，韶关学院数学与信息科学学院助教，硕士，主要从事生物数学方面的研究
第８期
朱春娟：一类ＳＲ传染病模型的全局稳定性分析Ｉ
・５・１
１平衡点的存在
Ｓ一－（ｄ１ｍＳ）３总，６，ｏ）ＮＲ＆￣Ｒ＞ｍｏＳ定理１＋ＲｆＳ（ｂ（）ｏ则系统（）存在无病平衡点０￣ｌｄ，。１时，系
入者和因病死亡率，传染率取３ＮＳＩ（）Ｏ卢（），ＪＪＮ］＞０（）Ｉ３＞，ｖｓ０［（『．Ｎ，８７、）－
本文研究以下的传染病模型：
ｉ）（，ｓｂ１ｍ（Ｒｐ）ＳＺⅣＳ，Ｏ１，０（）＋＋１ｄ－（），ｓ＝一＋－Ｓ一｛（：（）＋ｂ－十＋），￡ＮＳｑＩ（Ｊ）Ｉｄ『，

具有饱和发生率的SIRS传染病模型的稳定性_崔倩倩

ＳＩＲＳ型传染病模型如下：
烄ｄＳｄｔ（ｔ）＝ａＡ－１β＋ＳαＩＩ＋δＲ－ｄＳ，烅ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｂＡ＋１β＋ＳαＩＩ－（μ＋γ＋ｄ）Ｉ，烆ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｃＡ＋γＩ－（δ＋ｄ）Ｒ，
（２）
式（２）中：１β＋ＳαＩＩ为染病者的饱和发生率，ｄ为自然死
亡率系数，μ 为因病死亡率系数，γ 为恢复率系数，δ 为失去免疫率系数，且这里假设参数ｄ、μ、δ、Ａ、β、γ 都是正整数，分别具有一定的生态意义。
地方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊）在βＡ／［ｄ（１＋αＩ＊）（μ＋ γ＋ｄ）］≤１条件下是全局渐近稳定的。
定理２得证。
４结语
１）本文研究了一类各类都具有常数输入且具有饱和发生率的ＳＩＲＳ传染病模型，由于各类都具有常数输入，因此模型（２）总存在地方病平衡点，不存在无病平衡点，即当感染者具有人口输入时，此类疾病在本地区一直存在，成为流行病，无法消除，且当
衡点，只存在相应于疾病流行的地方病平衡点，可记
为Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊）。
定理１：模型（２）不存在无病平衡点，总存在地
方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊），其中
Ｓ＊
＝
（１＋ａＩ＊
）（（μ＋γ＋ｄ）Ｉ＊ βＩ＊
－ｂＡ），
Ｒ＊＝ｃＡδ＋＋γｄＩ＊，且Ｉ＊是方程［－δ（μ＋ｄ）－
证明：由于地方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊）满足方程（４），则模型（２）等价于下面模型

一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇

一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。

传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。

其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。

本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。

首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。

该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。

我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。

在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。

因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。

其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。

我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。

当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。

对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。

其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。

在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。

最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。

本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。

我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。

具有预防接种的非线性传染率传染病模型的稳定性

虑因病死亡的因素的情况下，当＞１时１０全局渐近稳定；当＜１时Ｅ＋全局渐近稳定。关键词：非线性传染率；阈值；平衡点；全局稳定性
分类号：ＡＭＳ２０）４２；２３（００３Ｄ３９Ｄ０
中图分类号：７．Ｏ１５１
文献标识码：Ａ
１引言
文￣
：０—０５２０）６１４—７１５３８（０７０—０２００
具有预防接种的非线性传染率传染病模型的稳定性冰
李大治，郭晓君，张晖
（大学理学院，南通２６０）南通２０７
摘要：文讨论了一个采取预防接种措施的非线性传染率传染病模型，得到了决定疾病流行与否的阈本
从上世纪开始兴起的传染病动力学的研究，为对人类健康的杀手——传染病的防治决策提
供了有益的理论基础。而在传染病动力学研究的初期，通常把单位时间内，平均被一个感染者感染的新病人数，即疾病的传染率取作和易感者的总数成正比［３。这种线性的传染率，在易１］－
感者和感染者人数相比很大时，显然很不合理。因此近２多年来，人们又根据疾病流行的不０同情况，采用了多种形式的传染率和发生率［８。４】－本文讨论一个采取了预防接种措施，人口有常数输入，疾病的传染率为易感者总数Ｓ的函
数ｆＳ（１的传染病模型，得到了决定疾病流行与否的阈值，找出了平衡点，讨论了它们的稳定
（＋Ｒ）ｓＪＲ鲁＝一Ｉ＜０Ｓ＋＋＋：ｆａ
即得结论。
引理２记
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则当

SIRS传染病模型的稳定性分析_王茜_王婷婷

摘
要
本文讨论了具有垂直传染、预防接种和饱和发病率的 SIRS 传染病模型．得到了该模型的基本再生数，无病平 LaSalle 不变原理及 Hurwitz 引理利用 Liapunov 函数方法、衡点和地方病平衡点．通过对基本再生数的讨论和分析，证明了连续预防接种下无病平衡点和地方病平衡点的稳定性．如果 R0 ≤ 1 ，无病平衡点全局渐近稳定，此时疾病将被根除；如果 R o ＞ 1 ，地方病平衡点局部渐近稳定，此时疾病将发展为地方病．最后，通过数值模拟验证了所得结论的可靠性．
关键词：传染病，饱和发病率，连续接种，平衡点，稳定性．中图分类号： O175. 13 病率对疾病的影响，将线性的 βSI（染病周期所具传 βSI 代替，使模型考虑的因素染率）用非线性的 1 + αI 更加全面，建立的更加完善．还有些模型中，作者考此类模型可参考虑到了阶段结构对传染病的影响， 46］．文献［ 1， 7］的建模思想，本文根据［考虑了暂时免疫情况下具有连续预防接种的 SIRS 传染病模型．文中 βSI ，引用了饱和发病率 β 为有效接触常数，即传 1 + αI βI 染率系数． I 变大时，接近饱和水平；当疾病在 1 + αI 人群中扩散时， βI 衡量着疾病的侵染能力；当被感染人数增加时，疾病将会受到抑制的作用，其抑制力 1 度由体现，其中 α 非负．该模型考虑到了染病 1 + αI 人群的行为变化和拥挤效应，并且通过选择合适的因此使得模型更加合参数来防止接触率的无界性，理．另外，随着国际医疗水平的不断提高，完全可以实现对易感者及恢复着新生儿均进行预防接种，因此在本文中假设对易感者及恢复者的新生儿均进行且获得的免疫是暂时的．该模型可适用于预防接种，乙肝等传染疾病的传播．通过模型分别定义了模型研究了模型的渐近性态，得到了的基本再生数 δR ，模型的无病平衡点和地方病平衡点，利用 Liapunov 、 LaSalle Hurwitz 方法不变原理及引理证明了无病 5

一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定

一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定性信息与计算科学专业学生：肖宪伟指导教师：宫兆刚摘要：利用微分方程理论研究了具有免疫控制的数学模型，考虑总人口数是常数输入的影响，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用特征值方法和Jacobi矩阵得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。

构造Dulac函数的方法，得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性充分条件，利用Matlab软件进行了数值模拟。

关键词：免疫控制; Jacobi；Dulac；平衡点；全局稳定性1 引言面对传染病长期严峻的威胁和日益出现的新的疫情，其严重的危害着人类健康与社会经济的发展。

又由于人们不能在人群中进行传染病的试验，因此，对各类传染病的流行趋势、发病规律的预测以及防治策略的重要性日益突出。

根据疾病的发生、发展以及与之有关的阐述流行过程的特征，利用动力学的方法来研究传染病模型是十分重要的，目前对传染病的研究方法主要有描述性方面的研究、理论性方面的研究、分析性方面的研究和实验性方面的研究。

传染病动力学[1]是对传染病进行理论性定量分析的一种非常重要的方法，通过对动力学性态的定性分析和模拟实验[2]，来显示疾病的发展过程，揭示起流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，预测其变化发展趋势，为预防和控制的最优策略提供了有力的理论依据。

在早期的传染病动力学中大多数传染病模型都是假设种群的总是常数状态而保持人口数不变，而没有考虑到其它方面的因素，但这种假设仅存在于一些环境状态封闭，人口的生育率和自然死亡率相平衡，且不考虑其它各方面等因素的理想状态下成立。

随着传染病模型的不断发展和研究的不断深入，对各方面因素做了大量的研究，极大地丰富了传染病动力学理论。

程晓云，胡志兴等在2007年考虑了具有阶段结构因素研究了一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性[3]；徐为坚研究了一类具有种群Logistic增长饱和传染率的SIS模型的稳定性和Hopf；杜艳可，徐瑞，段立江在经典的传染病模型上考虑了标准发生率[4-5]的因素，研究了一类具有标准发生率的传染病模型的全局稳定性；李健全，马知恩研究了一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析；付景超等在2008年研究了一类具有垂直传染和连续预防接种的SIRS 传染病模型[6-8]，得出了垂直传染和连续预防接种的稳定性分析；徐文雄，张仲华等研究了一类具有预防接种免疫力的双线性传染率SIR流行病模型全局稳定性；高淑京，滕志懂在2008年研究了一类具有饱和传染力和常数输入的SIRS 脉冲接种模型研究[9-11]。

SIRS传染病模型的稳定性分析

收稿日期：2009-09-28基金项目：沈阳农业大学青年教师科研基金资助项目（20081021）；辽宁省博士启动基金项目（20081064）作者简介：宋贽（1982-）,女,沈阳农业大学助教,硕士,从事微分方程定性和分支理论的研究。

*通讯作者Corresponding author:惠淑荣（1963-）,女,沈阳农业大学教授,硕士,从事数学分析和应用数学研究。

沈阳农业大学学报，2010－02，41(1)：122-124Journal of Shenyang Agricultural University ，2010－02，41(1)：122-124SI n RS 传染病模型的稳定性分析宋贽，惠淑荣*，陶桂洪（沈阳农业大学理学院，沈阳110866）摘要：根据染病者不同个体病毒水平差异很大，把传统的染病者类I 分成n 个子类I k (k =1,2,…,n )，建立了SI n RS 传染病模型来研究传染力不同对疾病的影响，应用现代数学中的微分方程理论和非线性动力学的方法，得到了基本再生数的数学表达式及无病平衡点全局稳定性的阈值条件，讨论了影响疾病传播的主要因素，给出了仿真图。

关键词：SI n RS 传染病模型；全局稳定性；基本再生数；阈值中图分类号：O175.14文献标识码：A 文章编号：1000-1700（2010）01-0122-03Stability Analysis for an Epidemic ModelSONG Zhi,HUI Shu-rong*,TAO Gui-hong(College of Science,Shenyang Agricultural University,Shenyang 110866,China)Abstract ：An epidemic model was formulated by means of dividing classical infected population into n subgroups according to viral levels widely between infected individuals,the impact of variations in infectiousness was studied,and ordinary equation theory and nonlinear dynamics methods were used,the reproductive number and the threshold condition of global stability of the infection-free equilibrium were derived,discuss the main factors affecting the spread of disease were discussed and numerical simulations were corriedout.Key words ：SI n RS epidemic model;global stability;reproductive number;threshold传统的流行病模型大多假设所有易感者、染病者是等同的，事实上，这种假设仅当时间较短、环境封闭时成立，近期所研究的模型更加向实际靠拢，主要分为两个方面：（1）考虑易感类个体与染病者接触被传染上疾病的可能性不同把易感者按其易感性不同划分为n 个子群体，记作S i ,(i =1,2,…,n )，即S n IR 模型；（2）考虑染病类个体传染他人疾病的能力不同进一步分成n 个子群体，记作I i ,(i =1,2,…,n )，即SI n R 模型。

一类SIRS传染病模型的稳定性

一类SIRS传染病模型的稳定性吴长青;黄勇庆;朱长荣【摘要】在总人口非常数条件下,研究了一类SIRS传染病模型的所有非负平衡点,以及平衡点的存在性、局部稳定性.运用微分方程定性理论证明了三维系统在不同条件下地方病平衡点分别是稳定平衡点、不稳定平衡点或退化平衡点.使用数学软件Matlab进行数值模拟,模拟结果很好地说明了本文结论的正确性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)005【总页数】6页(P596-601)【关键词】局部稳定性;稳定平衡点;不稳定平衡点;退化平衡点【作者】吴长青;黄勇庆;朱长荣【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆育才中学,重庆400050;重庆第一中学,重庆400030;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O193传染病常常严重地影响着人们正常的日常生活,比如，流行感冒、天花，以及令人印象深刻的2008年的非典和现在依然流行的艾滋病,它们都是典型的可传播疾病.由于可传播疾病的厉害性，促使人们不断去研究传染病的传播规律.于是这就涉及到包括医学、数学、人文、地理等学科在内的传染病.而在数学上建立正确的传染病动力系统模型又是有效地研究传染病的重要一环.人们期待着从传染病动力系统模型的研究中去找到传染病的流行规律，进而有效地预防和阻止传染病的产生与传播；减少对人类生命的威胁和财产的损失.从Kermack等[1]研究1665-1666伦敦瘟疫开始，从数学的角度去研究传染病的传播规律就成为了研究和控制传染病的重要工具.之后，研究传染病模型的动力行为就成为了一个热门课题.经典的Kermack-Mckendrick模型是以仓室为单位，把人群分为3个仓室建立起的仓室模型，这3个仓室分别是带有传染病人群中的易感染者S、感染者I、移出者R.根据不同的仓室，又可以建立起相应的模型，其中主要包括了SIR[2]、SIS[3]、SIRS[4]和SEIRS[5]等模型.在这些动力系统模型当中有一个非常重要的因素是感染率.对于感染率，文献[6]曾在模型中引入饱和发生率g(I)S[7]，其中g(I)是感染者个体的增加量，g(I)=kI/(1+αI).Liu等[8]研究过更一般的发生率KSIi/(1+αIj)，参数i,j>0和α≥0.Song等[4]研究了发生率为kSI2/(1+βI+αI2)的传染病模型R′(t)=μI-(d+δ)R,(1)其中S(t)、I(t)和R(t)分别对应着t时刻的易感染者、感染者和移出者；b是人口出生率或迁入率；d是人口的自然死亡率；k是一个比例常数；μ是感染类中的自然恢复率；δ是移出类中由于失去免疫能力再次成为易感染者的比率；α是一个正参数；β是一个满足使得对于∀I≥0都有1+βI+αI2>0的正参数.在考虑传染病模型的时候，人们总要假定在总人口数不变的情况下，来考虑模型发生的动力性态.这将把三维的模型限制在三维空间上的一个超曲面去定性研究系统平衡点的稳定性和分岔.Song等[4]也以此做了类似的研究，它假设S+I+R=N，其中N为常数，在I-R平面内，研究了系统的稳定性和分岔情况.但是在现实生活当中又很难满足总人口不变的理想假设.所以一般而言，N不一定是常数，它总会随着时间的推移而改变.基于此，本文将在总人口为变量的假设下，以Ruan等[9]研究的方法为基础，研究模型(1)的动力性态.1 平衡点及其动力性态为了使计算简便，在系统(1)中需要引入一些同胚变换.令则系统(1)转化为下面等价的系统z′=qy-z,(2)其中,结合实际，取参数α≥0,β≥0,0<b<1,0<d<1,0<δ<1,0<μ<1，从而系统(2)中的对应参数范围为B>0,0<r<1,0<u<1,m≥0,n≥0,p>0,q>0.1.1 方程(2)的平衡点下面考察系统(2)的平衡点.系统(2)的平衡点是下面代数方程的解：(3)从方程组(3)中可以看到无论参数取何值，都存在唯一无病平衡点除此之外，(3)式还有地方病平衡点.如果y≠0，由(3)式的第2、3个方程可得(4)然后再把方程(4)代入方程组(3)中的第一个方程有(prn+p-uq)y2-(B-prm)y+rp=0.(5)根据同胚变换中的参数关系有进而prn+p-uq>0.注意到(5)式是一个一元二次方程，其判别式为Δ=(B-prm)2-4rp(prn+p-uq).定理 1 对于系统(2)中的平衡点，利用根与系数的关系可能出现以下几种情况：(i) 当Δ<0时，系统(2)只存在平衡点E0；(ii) 当且仅当Δ=0和B-prm>0时，系统(2)有平衡点E0和唯一正平衡点E*=(x*,y*,z*),其中(iii) 当且仅当Δ>0和B-prm>0时，系统(2)有平衡点E0和2个正平衡点Ei=(xi,yi,zi)，i=1，2，其中yi=i=1，2.关于正平衡点又称之为地方病平衡点.从系统(1)和(2)当中可以看到，随着出生率、死亡率和移除率的改变会影响到Δ和B-prm的符号，这就可能会造成系统平衡点的个数发生变化.为此，本文将针对这一变化情况加以讨论.1.2 无病平衡点的动力性态首先讨论无病平衡点E0的稳定性，系统(2)在无病平衡点E0处的Jacob矩阵为直接计算可知,矩阵J0对应的3个负特征根分别为：λ1=-r,λ2=-p,λ3=-1.于是可得下面的结论.定理 2 系统(2)的无病平衡点E0是局部渐进稳定的.如图1,当系统(2)只存在无病平衡点E0=(6.74,0,0)，即参数值为：B=6.2，r=0.92，m=1.6，n=0.4，u=0.08，p=3.2，q=2.28时，图1(a)～(d)分别是系统(2)在此平衡点附近的S(t)、I(t)、R(t)和SIR图像，它是局部渐进稳定的.1.3 地方病平衡点E*的动力性态系统(2)在平衡点E(x,y,z)处所对应的线性化矩阵为(a) 易感染人群的变化趋势 (b) 感染人群的变化趋势(c) 移除人群的变化趋势 (d) 系统的SIR相图图 1 无病平衡点的渐进稳定性Fig. 1 The asymptotic stability of free-equilibrium(6)其中矩阵M(E)所对应的行列式为其符号与下式相反(7)矩阵M(E)的迹为tr(M(E))=其符号与下式相反T(y)=(prn+nr+n+1)y2+m(1+r)y+1+r-p.(8)定理 3 系统(2)的平衡点E*是退化平衡点.证明当Δ=0时，系统(2)存在平衡点E*.由(7)式计算可知：det(M(E*))=0，所以系统(2)在E*处是退化的.注1 Δ=0，在E*处矩阵(6)对应的行列式det(M(E*))=0，可能出现以下2种情况：1) 若(B-prm)2(pn+nr+uq+1)+2mr(B-prm)(prn+p-uq)+4(r-p)(prn+p-uq)2≠0,则系统(2)有一个零特征根.2) 若(B-prm)2(pn+nr+uq+1)+2mr(B-prm)(prn+p-uq)+4(r-p)(prn+p-uq)2=0,则系统(2)有2个零特征根.这时系统一般会根据参数的变化发生不同的分岔现象.如图2,当Δ=0时，系统(2)存在平衡点E0=(2.4,0,0)和E*=(1.20,0.833,0.367)，参数取值为：B=1.334，r=0.56，m=0，n=0，u=0.44，p=1，q=0.44.图2显示的是系统(2)在平衡点E0是局部渐进稳定的，E*的稳定情况将会随着参数的变化而变化.如果Δ<0，相图将转化为图1，如果Δ>0，相图转化为图3.图2 Δ=0时系统的SIR相图Fig. 2 The phase diagram of SIR at Δ=01.4 地方病平衡点E1的动力性态平衡点E1的稳定性较复杂，它可以是稳定的，也可以是不稳定的，这依赖于不同参数的选取.定理 4 当Δ>0时，如果q>1，且有不等式(pn+nr+n+1)<m(1+r)](prn+p-uq)成立，则点E1是系统(2)的不稳定平衡点.证明由(7)式可得det(M(E1))>0.同时tr(M(E1))>0.所以E1为系统(2)的不稳定平衡点.为了判定平衡点E1的稳定性，先引入一个式子定理 5 当Δ>0时，如果q≤1，或(pn+nr+n+1)>m(1+r)](prn+p-uq)成立，且存在Ψ(M(E1))·tr(M(E1))-det(M(E1))<0，则系统(2)在平衡点E1处是稳定的.证明根据定理4，平衡点E1处的线性化矩阵对应的行列式det(M(E1))<0.在定理5中的条件成立下，结合(8)式有tr(M(E1))<0.在平衡点E1处计算得(H+Rn+m2r+2p)y2+m(r+R)y+R,图3 Δ>0时系统的SIR相图Fig. 3 The phase diagram of SIR at Δ>0其中，H=1+prn+p+pn+nr-uq,R=r-p-pr.由Routh-Hurwitz[10]判定准则，如果满足条件Ψ(M(E1))tr(M(E1))-det(M(E1))<0，则平衡点E1是局部渐进稳定的.如图3,当Δ>0时，系统(2)此时存在无病平衡点E0=(11.4,0,0)，正平衡点E1=(8.14,2.30,0.97)和正平衡点E2=(3.40,5.64,2.37),并且E0和E1是局部稳定的，E2是不稳定的.该图展示的是系统(2)在此种参数情况下的SIR图像；这种情况下的参数取值为：B=8.9，r=0.78，m=1.6，n=0.3，u=0.22，p=1.2，q=0.42.1.5 地方病平衡点E2的动力性态定理6 当Δ>0时，如果系统(2)满足下列条件之一，则地方病平衡点E2是其鞍点：1) μ≤d+δ;2) μ>d+δ，并且(pn+nr+n+1)>m(1+r)](prn+p-uq).证明由(7)式有不难证明(B-prm)2+所以D(y2)<0，则det(M(E2))>0，进而E2是系统的不稳定平衡点.如果1)成立，则T(y2)>0，即tr(M(E2))<0.如果2)成立，由于μ>d+δ，则方程T(y)=0有正根注意到T(y)是单调增函数，当条件2)满足时有则tr(M(E2))<0.综上所述，如果定理中有一个条件成立，则有tr(M(E2))<0,det(M(E2))>0，所以平衡点E2是其鞍点.2 数值模拟下面运用Matlab进行数值模拟，其目的一是通过数值模拟可以进一步验证本文理论的科学性；其二在于，通过图像能更加清晰地表达出系统(2)的解在随其参数变化情况下所反映出的不同情况.下面把本文在数值模拟中所使用到的参数值归类如下：1) B=6.2，r=0.92，m=1.6，n=0.4，u=0.08，p=3.2，q=2.28.系统(2)只存在无病平衡点E0=(6.74,0,0)，并且局部渐进稳定(图1).2) B=1.334，r=0.56，m=0，n=0，u=0.44，p=1，q=0.44.系统(2)存在平衡点E0=(2.4,0,0)和平衡点E*=(1.20,0.833,0.367)，并且E0是局部渐进稳定的，E*是不稳定的(图2).3) B=8.9，r=0.78，m=1.6，n=0.3，u=0.22，p=1.2，q=0.42.系统(2)存在3个平衡点E0=(11.4,0,0)，E1=(8.14,2.30,0.97)和E2=(3.40,5.64,2.37)，其中E0和E1是局部渐进稳定的，而E2则是不稳定的(图3).3 结束语本文主要是在带有非线性发生率的传染病模型(1)的基础之上，分析了一个SIRS三维模型的稳定性.对于整个过程，主要分为三步：第一步讨论无病平衡点的局部稳定性；第二步是讨论地方病的局部稳定性；最后是数值模拟验证了本文所有结论的正确性.相比其他文献，本文最大的优点是在没有降低模型维数情况下，讨论了模型的稳定性态，不仅还原了模型本身，也使得结果更加准确.同时也用数学软件很好地验证本篇论文结论的科学性.这是回归模型，回归系统本身，也体现了模型具体的价值.参考文献【相关文献】[1] KERMACK W O, MCKENDRICK A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics[J]. Bull Math Biol,1991,53(1):57-87.[2] WANG W D. Backward bifurcation of an epidemic model with treatment[J]. Math Biosci,2006,201(1/2):58-71.[3] XIAO Y J, ZHANG W P, DENG G F, et al. Stability and Bogdanv-Takens bifurcation of an SIS epidemic model with saturated treatment function[J]. Math ProblemEngine,2015,2015:1-14.[4] SONG Z G, XU J, LI Q H. Local and Global Bifurcations in an SIRS Epidemic Model[J]. Appl Math Comput,2009,214(2):534-547.[5] ZHANG J H, JIA J W, SONG X Y. Analysis of an SEIR epidemic model with saturated incidence and saturated treatment function[J]. Sci World J,2014,2014:910421.[6] BRAUER F, CARLOS C C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology[M]. New York:Springer-Verlag,2012.[7] 马知恩,周义昌,王稳地. 传染病动力学的数学建模与研究[M]. 北京:科学出版社,2004.[8] LIU W M, HETHCOTE H W, LEVIN S A. Dynamical behavior of epidemiological models with nonlinear incidence rates[J]. J Math Biol,1987,25(4):359-380.[9] RUAN S G, WANG W D. Dynamical behavior of an epidemic model with a nonlinear incidence rate[J]. J Diff Eqns,2003,188(1):135-163.[10] ZHU H, CAMPELL S A, WOLKOWICZ G S K. Bifurcation analysis of a predator-prey system with nonmonotonic functional response[J]. SIAM J Appl Math,2002,63(2):636-682.。

一类具有接种和饱和发生率的SIR—SVS传染病模型的全局稳定性

Ｋｅｒｓｖｃｉａｉｎ；ａｕａｉｎｉｃｄｎｅ；ｔｂｉｉｙｙｗｏｄ：ａｃｎｔｏｓｔｒｔｏｎｉｅｃｓａｌｔ
１准备工作
传染病的防治是一件关系国计民生的大事，受
在文献Ｅ３，ｉＹａｇ究了如下具有接种３中Ｌ和ｎ研
生数＜１时，病平衡点是全局渐近稳定的；无当基本再生数＞１时，出了地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件．给关键词：接种；饱和发生率；稳定性中图分类号：Ｏ１５１７．文献标识码：Ａ文章编号：１０～９６（０２０—０５００８２５２１）２０７ —４
一
ｄＩ
Ａ —Ｗ（￡，｝＋一＋（ｓ）１）
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使易感者具有暂时的免疫能力，提高人体免疫水是
平，制疾病发生和流行的重要措施，天花、控对流感、
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田晓红，徐瑞，马成军
（．军械工程学院基础部１２光学与电要：研究一类具有接种和饱和发生率的ＳＲＳＳ传染病模型．过构造适当的ＬａｕｏＩ—Ｖ通ｙｐｎｖ函数证明了当基本再
的传染病模型
ｄＳ
到了越来越多的关注，而对传染病最直接的控制措施是对易感者人群进行预防接种或对染病者人群进行隔离，以减少疾病的发生率．中，防接种可以其预

一类带接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析

一类带接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析摘要众所周知，传染病严重影响人类的健康，并在一定程度上会阻碍社会经济的发展。

因此，寻求疾病的最优预防与控制策略是当今社会重要的研究课题。

而传染病动力学则是对传染病进行定量研究的一门重要学科。

早在1927年，Kermack与McKendrick利用动力学的方法建立了SIR仓室模型。

当考虑易感者（S）在感染病菌后不会立即发病，例如：HIV病毒，这样即可建立SEIR模型。

本文主要研究了一类带有接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析。

首先，通过研究模型本身的等价系统，给出了基本再生数的显式表达式；其次，应用常微分方程的平衡点局部稳定性及全局稳定性的判断依据，讨论了无病平衡点以及地方病平衡点的存在性和稳定性。

关键词：SEIR传染病模型，基本再生数.无病平衡点，地方病平衡点引言传染病是由细菌、貞•菌或病毒等病原体或蠕虫等寄生虫感染人或者其他生物后所产生的能在种群中相互传播的疾病。

历史上一次又一次的大规模传染病盛行给人类生存和国民生计带来了巨大的灾难。

长期以来，人类都在与传染病进行不屈不挠的斗争。

20世纪以来，人类在征服传染病的路上取得了辉煌的成就。

肆虐千年的天花病毒被消火了：麻风、脊髓灰质炎消失的日子也不远了；百日咳、白喉等疾病已经在许多国家得到了遏制；众多抗生素的问世，也使得一度令人闻风丧胆的瘟疫不能再危害社会。

然而世界卫生组织发表的报告中表明，传染病依旧是危害人类健康的第一杀手。

以95年的数据为例，全世界5200万死亡人口中，丧命于传染病的有1700 万，将近三分之一。

近20年来，AIDS、霍乱、疯牛病、SARS和甲型Hl\l流感等恶性突发疾病给人类社会带来了巨大危害，其至一些老的传染病如鼠疫等也死灰复燃，这种悄况已经引起了全球的高度重视，如何对这类传染病发展做出科学预测，并实施有效手段的问题已经得到业界工作者的普遍关注。

数学作为一门基础学科，到如今已经渗透到了科学研究领域的各个方面。

一类带时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析

４地方病平衡态的稳定性及Ｈｏｆ岔分析ｐ分
与无病平衡态中稳定性讨论方法类似，可得地方病平衡态Ｅ附近的线性近似系统为：
ｆ尘一ｓ￡一（一）一（￡）
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Ｖｏ．０Ｎ．１１ｏ２Ｊｎ２１ｕ．０１
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类带时滞的ＳＲ传染病模型的Ｉ稳定性与Ｈｏｆｐ分岔分析
高彩琳
（津大学理学院，津３０７）天天００２
［要］研究了一类带有时滞且具有预防接种免疫力的ＳＲ传染病模型．助特征值理论分摘Ｉ借
』＋十ｓ一０＿ｎｆＡｉ（ｃ，
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第２期
高彩琳：类带时滞的ＳＲ传染病模型的稳定性与Ｈｏｆ岔分析一Ｉｐ分
１３
进一步得０Ｄ ≠Ｔ整理９ “ ２
定理２假设。１立，＞成则存在ｒ（一０１２，一ｎ，， …）无病平衡点Ｅ在的两侧稳定性发生了变化，０
即产生了Ｈｏｆ岔，ｒｐ分且一（＝０１２为系统的分岔值．ｎ＝，， …）：证明由于在特征方程（），一ｚ－／４中Ｙ＝，一－２一，影响系统稳定性及分岔的讨论，可将其简化不故

具有种群Logistic增长及饱和增长率SIR传染病模型的稳定性

：（１一）。源自 ’ ： “ 一
典传染病模型大多数都采用双线性发生率（３ｓｓ）和
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收稿日期：２０１２－０７－１３；修改日期：２０１３ — ０１ — １０基金项目：街阳市科技局计划项目（２０１２ＫＳ１５）Ｉ湖南省自然科学基金项目（１２ＪＪ９００１）；湖南省科技计划项目（２０１２ＳＫ３１１７）湖南省“ 十二五” 重点建设学科资助项目作者简介：・宫兆刚（１９７８一），男。吉林集安人，讲师，硕士。主要从事生物数学研杨柳（１９７１一），男，安徽淮北人，副教授，博士，主要从事分数阶微分方程的研究：蛐ｉ！：幽皿４ｇｉ）ｖａｈｏｏ．ｃｏｎ．ｒ
ＧＯＮＧＺｈａｏ．ｇａｎｇＹＡＮＧｌｉｕ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｍｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＨｅｎｇｙａｎｇＨｕｎｎａ４２１００８，Ｃｌａｉｍ）
文章编号：１６７４－８０８５（２０１３）０３ — ００１３ — ０５
具有种群Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长及饱和增长率ＳＩＲ传染病模型的稳定性
’ 宫兆刚，杨柳

具有年龄结构的传染病模型的稳定性分析

第39卷第3期注為科修Vol.39No.3 2021年6月JIANGXI SCIENCE Jun.2021 doi：10.13990/j.ianlOOl-3679.2021.03.008具有年龄结构的传染病模型的稳定性分析豆中丽(重庆财经学院,401320,重庆)摘要:针对具有年龄结构的MSIR传染病模型问题的研究，通过计算得出基本再生数的表达式，证明了当坨,< 1时，无病平衡点是局部渐近稳定的。

关键词：年龄结构;基本再生数;稳定性中图分类号：0175.1文献标识码:A文章编号:1001-3679(2021)03-433-03Analysis on the Stability of Age-Structured Epidemic ModelD0U Zhongli(Chongqing College of Finance and Economics,401320,Chongqing,PRC) Abstract:Study the problem of an age-structured MSIR epidemic model and obtain the expression of the basic oeeeneration numbeo.The result that the diseese一free equilibrium is locclly asymptoti-ccll e stable while R Q<1,is proved.Key worUs:age一stnctured;basic reeeneration number；stdbidty0引言传染病历来就是危害人类的大敌，利用动力学方法建立传染病模型，分析并预测疾病的流行还是灭绝已成为数学界的重要研究领域⑴。

关于传染病模型已经有很多学者进行研究,不同年龄阶段的人群对同一种传染病的感染能力及传播能力一般是不同，所以研究不同年龄结构的传染病模型具有重要理论和实际意义。

具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型的全局稳定性

具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型的全局稳定性虞秀丽【摘要】SIRS epidemic model with standard incidence rate,vertical transmission,continuous vaccination and continuous treatment are established and analyzed. By using Routh-Hurwitz criterion, LaSalle invariant set principle and generalized Bendixson-Dulac theorem, the threshold conditions which guarantee the global asymptotic stable disease-free equilibrium and endemic equilibrium of the SIRS epidemic model is obtained. By comparing the effectiveness of two control strategies,using vaccination and treatment concurrently is superior to only one for eradicating the disease.%建立并分析了一类具有标准发生率、垂直传染、连续接种和治疗的 SIRS 传染病模型。

综合运用 Routh-Hurwitz判据、LaSalle不变集原理和广义Bendixson-Dulac定理，获得了保证SIRS传染病模型的无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性的阀值条件。

通过比较两种控制策略的有效性，说明同时使用接种和治疗两种策略比单独应用一种更有效。

【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P287-290)【关键词】SIRS传染病模型;连续接种和治疗;无病平衡点;地方病平衡点;全局稳定性【作者】虞秀丽【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132033【正文语种】中文【中图分类】O175.11 引言最近10年来，关于传染病模型已有不少研究成果(参见文献[1-6]).文献[7]讨论了指数输入的SISV预防接种模型，利用常微分方程定性与稳定性方法，获得了无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性的充分性条件;文献[8]考虑了具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型，应用常微分方程和脉冲微分方程理论，证明了无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性以及无病周期解的存在性与全局渐近稳定性，但考虑垂直传染和比较分析的较少.据此，本文考虑标准发生率和垂直传染情况，研究具有连续预防接种和治疗的SIRS传染病模型:其中:S是易感者类;I是染病者类;R是接种者类;A是自然出生率系数;β表示传染率系数;γ表示染病者的治愈率且治愈后不具有免疫能力;ν表示易感者被接种率;0≤q≤1是垂直传染率;qαI和(1－q)αI分别为转移到染病者和易感者的那部分新生儿的数量;δ表示被接种者的免疫失去率;α为因病死亡率;μ为自然死亡率;总人口N=S+I+R.将模型(1)各式相加得N'=(A－μ)N.作归一化变换:相应地，x，y，z分别表示易感者类、染病者类和接种者类在总人口中所占的比例，则有系统由变换知x+y+z=1，易见域Ω ={(x，y，z)∈ℝ3:x＞ 0，y≥0，z＞ 0，x+y+z=1}为系统(2)的正向不变集和最终有界区域.2 预备引理定义基本再生数引理1 系统(2)存在一个无病平衡点E0=E0(x0，0，z0)∈Ω;当R0＞1时，还存在唯一的地方病平衡点 Ee=Ee(xe，ye，ze)∈ Ω，其中:由系统(2)的右端函数 fi(x，y，z)=0(i=1，2，3)，易于获得引理1的结论，从略. 为着以下证明，现引入广义Bendixson-Dulac定理作为本文引理.引理2[9] 设f:ℝ3→ℝ3是一个Lipschitz连续的向量场，Γ(t)是有向光滑曲面S⊂ℝ3的边界曲线，它是闭的、分段光滑的.若g:ℝ3→ℝ3在S的某邻域光滑，且对一切t满足g(Γ(t))·f(Γ(t))≤0(≥0)，(Curl g)·n≥0(≤0)(在S上)，而且在S上有一些点满足(Curl g)·n＞0(＜0)，这里n是曲面S上的单位法向量，则Γ(t)不可能由系统x'=f(x)的轨线组成，Γ(t)的方向与n成右手系.利用引理2可以证明如下的结论:引理3 系统(2)在域Ω内不存在周期解、同宿闭轨和异宿闭轨.证明:记 f={f1，f2，f3}，r={x，y，z}，曲面 x+y+z=1 的法向量 n={1，1，1}，以及其中易知在Ω0=Ω\∂Ω内有g·f=0.直接计算可知，在Ω0内有由引理2知，在Ω0内系统(2)不存在周期解.又因为域Ω是系统(2)的正向不变集，且x'(0，y，z)=A+(γ+α－αq)y+δz＞0，所以Ω的边界线∂Ω不是闭轨.因此，在Ω0内系统(2)不存在周期解、包含平衡点的同宿闭轨和边界线∂Ω的异宿闭轨.证毕.3 全局稳定性定理1 当R0≤1时，系统(2)的无病平衡点E0在域Ω上为全局渐近稳定的;当R0＞1时，无病平衡点E0为不稳定的.证明:系统(2)在无病平衡点E0(x0，0，z0)处Jacobian矩阵的特征方程为由于判别式Δ=(δ+ν+2A)2－4A(δ+ν+A)=(δ+ν)2，所以特征根为当R0＞1时，由λ3＞0知无病平衡点E0是不稳定的;当R0＜1时，由λi＜0(i=1，2，3)知无病平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0=1时，由λ3=0知无病平衡点E0是高阶奇点.为讨论当R0=1时无病平衡点E0的稳定性，由x+y+z=1，将系统(2)改写为等价系统:可见，域D={(x，y)∈ℝ2:x＞0，y≥0，x+y＜1}为系统(3)的正向不变集.相应地，系统(2)的无病平衡点E0化为系统(3)的无病平衡点¯E0(x0，0).对系统(3)作平移变换:u=y，v=x－x0，将其化为系统:对系统(4)作自变数变换:dt=(A+δ+ν)dτ，将系统(3)化为如下等价系统:为了从方程－v+Ψ(u，v)=0中解出v=v(u)，令代入方程－v+Ψ(u，v)=0得对式(6)和(7)进行比较，得其中ο(u)表示u的次数高于一次的和.将式(8)代入系统(5)的第1个方程，得其中ο(u2)表示u的次数高于二次的和.由文献[10]中定理4.10知，系统(5)的相轨线在区域D内逼近于(x0，0).于是，当R0=1时，系统(2)在域Ω内的无病平衡点E0是局部渐近稳定的.综上讨论，当R0≤1时，系统(2)在域Ω内存在唯一的无病平衡点E0且为局部渐近稳定的.由于Ω是紧的正向不变集，又由引理3知系统(2)在Ω内不存在周期闭轨和包含平衡点的同宿闭轨，所以系统(2)从Ω内出发的轨线的ω极限集只能是唯一的无病平衡点E0.因此，当R0≤1时，系统(2)的无病平衡点E0在域Ω内为全局渐近稳定的.证毕.定理2 当R0＞1时，系统(2)的地方病平衡点Ee在域Ω内为全局渐近稳定的.证明:系统(2)在地方病平衡点Ee(xe，ye，ze)(R0＞1)处Jacobian矩阵的特征方程为其中:皆为正数，并且根据Routh-Hurwitz判据[10]知，特征方程所有根均具有负实部，故Ee是局部渐近稳定的.由于Ω为紧的正向不变集，当R0＞1时，系统(2)在域Ω内仅存在无病平衡点E0和地方病平衡点Ee，由定理1知E0是不稳定的，所以由引理3知不存在包含无病平衡点E0的同宿闭轨，从E0的邻域出发的轨线最终都要离开该邻域;又由Ee 的局部渐近稳定性和引理3知，系统(2)在Ω内不存在周期轨和包含Ee的同宿闭轨以及包含E0，Ee的异宿闭轨.因此，当R0＞1时，系统(2)的地方病平衡点Ee 在域Ω内部Ω0为全局渐近稳定的.证毕.4 结论本文所考虑的具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型具有一般性.由系统(2)知R0=1是疾病消除与否的阀值条件.记垂直传染率q的临界值为若q≤qc，则R0≤1，由定理1知系统(2)的无病平衡点E0是全局渐近稳定的.在下面的两种情况下，记基本再生数分别为于是，由定理1可获得如下结论:ⅰ)考虑只有治疗(γ ＞0，ν=0)，如果γ ＞β－(A+α －αq) γc，那么R01＜1，相应地系统的无病平衡点为全局渐近稳定的.ⅱ)考虑只有预防接种(γ=0，ν＞0)，如果相应地系统的无病平衡点为全局渐近稳定的.由可知，当免疫失去率δ大于因病死亡率α时，即ν＞γ，要使疾病根除，需要治疗的cc比例小于接种的比例，说明采用预防接种要优于治疗的效果;当免疫失去率δ远小于因病死亡率α时，即νc＜γc，要使疾病灭绝，需要接种的比例小于治疗的比例，说明此时治疗策略对控制疾病比接种策略更为有效.当治疗和接种两种策略同时存在时，由R0＜R01，R0＜R02知，同时采用预防接种和治疗两种策略要比单独应用一种策略更能有效控制疾病.总之，在有垂直传染和因病死亡率的情况下，如果没有治疗措施，则必须加大预防接种率，同时使用两种控制策略比单独应用一种策略更为有效. 参考文献:【相关文献】[1]WangWendi.Backward Bifurcation of an Epidemic ModelwithTreatment[J].Mathematical Biosciences，2006，201:58-71.[2]Naoki Yoshida，Tadayuki Hara.Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Density Dependent Birth and Death Rates[J].Computational and Applied Mathematics，2007，201:339-347.[3]Cui Jingam，Mu Xiaoxia，Wan Hui.Saturation Recovery Leads to Multiple Endemic Equilibria and Backward Bifurcation[J].Journal of Theoretical Biology，2008，254:275-283.[4]Zhang Xu，Liu Xianning.Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Saturated Treatment Function[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，348:433-443.[5]唐晓明，薛亚奎.具有饱和治疗函数与密度制约的SIS传染病模型的后向分支[J].数学的实践与认识，2010，40(24):241-246.[6]朱玑，李维德，朱凌峰.基于SIR传染病模型的不同控制策略比较[J].北华大学学报:自然科学版，2011，12(3):265-269.[7]Jianquan Li，Zhien Ma.Qualitative Analyses of Sisepidemic Model with Vaccination and Varying Total Population Size[J].Math Computer Modelling，2002，35:1235-1243.[8]靳桢，马知恩.具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型[J].华北工学院学报，2003，24(4):235-243.[9]马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社，2004.[10]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京:科学出版社，2001.。

含有接种和非线性传染力的流行病模型的稳定性研究

含有接种和非线性传染力的流行病模型的稳定性研究童姗姗;张振宇【摘要】研究一类含有接种和非线性传染力的SEIR流行病模型,通过分析得到了各类平衡点存在的阈值条件.利用Liapunove函数、Lasalle不变集原理、Hurwith 判据证明了当基本再生数R0≤1时,无病平衡点是全局渐近稳定的;当时,此模型存在两个平衡点,其中无病平衡点是不稳定的,利用Hurwitz判别法证明了地方病平衡点的局部渐近稳定性.最后对模型进行数据模拟,分析了接种对疾病流行的影响,并对文中的主要结论进行了验证.【期刊名称】《吉林化工学院学报》【年(卷),期】2019(036)001【总页数】4页(P83-86)【关键词】非线性传染力;接种;平衡点;全局渐近稳定【作者】童姗姗;张振宇【作者单位】南阳理工学院数学与统计学院,河南南阳473003;南阳理工学院数学与统计学院,河南南阳473003【正文语种】中文【中图分类】O175.1长久以来，人类一直致力于与各种流行病作斗争.预防和控制传染病传播的手段有很多[1-6]，其中预防接种是非常有效的一种办法，它在人类同疾病的斗争中发挥了重要作用.例如，直到发现牛痘用作免疫接种能够预防有很强传染性的天花，曾经对人类的生存健康造成巨大威胁的天花病毒才能被彻底消灭，因此考虑疫苗接种对于研究传统传染病模型十分重要.对于接种作用下的传染病模型，许多学者都进行了研究[7-19].近几年，辛京奇等对一类带有接种的SIR传染病模型进行了全局分析[13].王娟等在假定传染率是标准传染率情况下，对具有接种疫苗和重复感染的SEIR传染病模型进行了分析[16].廖书等针对霍乱研究了一类含有预防接种的时滞传染病模型[17].文中考虑了一类含有接种和一般非线性传染率βIF(S)的SEIR模型，并对其进行局部和全局稳定性分析，探讨接种对疾病传播的影响，最后对模型进行数据模拟，为相关卫生部门提供可靠的理论根据和有效的疾病防范措施[20].1 模型的建立乙肝，水痘，麻疹等传染病的流行特征是易感染者在感染疾病后不会立刻出现症状，而是进入潜伏期，然后进入感染期，这些感染者在自然恢复或者医治恢复后均获得永久的免疫力.基于以上疾病的传播特征，假定易感染者经过接种后获得永久的免疫力，非线性发生率具有形式βIF(S)，且非线性函数F(S)满足F(S)≥0且F(0)=0,F′(S)>0，建立如下SEIR传染病模型:(1)其中S(t)，E(t)，I(t)，R(t)分别表示在t时刻和免疫者在某地区的人数；Λ为人口输入率；β为接触率；δ表示为各类人群的自然死亡率；v表示从潜伏者到染病者的转化率；α为染病者的因病死亡率；γ表示从染病者转化到免疫者的恢复率；ρ为有效接种率.并且假设Λ，β，δ，v，α，γ，ρ 都是正常数.从系统(1)可以看到前三个方程不含R，所以系统(1)等价于系统(2)且从模型的实际意义考虑，系统可行域为(2)且从模型的实际意义考虑，系统可行域为≥0,E}≥0,I≥0,S+E+I≤N≤则区域D是系统(1)的正向不变集.2 平衡点的存在性系统的平衡点满足下列方程组(2.1)系统(1.2)存在无病平衡点由方程组(2.1)的第一个和第三个方程可以求得定义基本再生数则易得当R0>1时，存在唯一的使得存在唯一的P1=(S1,E1,I1)，当R0≤0，由F′(S)>0可知F(0)=0在区间内无实根，由此，则有如下定理1.定理1 当R0>1时，系统(1.2)不仅有无病平衡点P0，还存在唯一的地方平衡点P1；当R0≤1时，仅存在无病平衡点P0.3 无病平衡点的稳定性系统的Jacobian矩阵为(3.1)定理2 当R0≤1时，系统(1.2)的无病平衡点是全局渐近稳定的；当R0>1时，系统(1.2)无病平衡点P0是不稳定的.证明：构造Liapunove函数V=vE+(δ+v)I，则V′+vE′+(δ+v)I′=[vβF(S)-(δ+v)(δ+α+γ)]I由于所以当R0≤0时，有V′≤0；仅当I=0或且R0=1时，V′=0.令M={(S,E,I,R)|V′=0},则M的最大正向紧不变集是单点集{P0}，所以由Lasalle不变集原理，当R0≤1时，P0是全局渐近稳定的.将P0代入(3.1)可知，矩阵J(P0)对应的特征方程为(λ+δ+ρ)[λ2+(v+2δ+α+γ)λ+(δ+v)(δ+α+γ)(1-R0),(3.2)易知，当R0>0时，式(3.2)必有一正特征根，从而无病平衡点P0不稳定.4 地方病平衡点的稳定性定理3 若R0>1，则系统(1.2)的地方病平衡点P1=(S1,E1,I1)是局部渐近稳定的.证明：将P1=(S1,E1,I1)代入(3.1)可知，矩阵J(P1)对应的特征方程为λ3+a1λ2+a2λ+a3=0,其中a1=β+3δ+ρ+v+α+γ>0，a2=(β+δ+ρ)(2δ+v+α+γ)>0，a3=β(δ+v)(δ+α+γ)>0.易知a1a2-a3>0，因此，由Routh-Hurwitz判别法知地方病平衡点P1是局部渐近稳定的.5 接种的影响及数值模拟对于系统(1.2)，基本再生数R0的取值与疾病的流行趋势紧密相关.由定理2可知，当R0≤0时，传染病在持续一段时间后会最终消亡；由定理5可知，当R0>1时，传染病将会在某区域内一直存在下去.又基本再生数因此控制R0的取值，找到有效接种率ρ非常关键.设ρc为疾病消除的理想有效接种率，由R0易得其中F-1为F的反函数.由此，当ρ≥ρc时，则R0≤1，传染病在持续一段时间后会最终消亡，当ρ<ρc时，则R0>1，此时传染病将会在某区域内一直存在下去.现取F(S)为S的具体函数对于系统(1.2)，选取Λ=0.6，β=0.3，δ=0.01，v=0.2，α=0.08，γ=0.75.此时理想有效接种率为下面分别讨论ρ的不同取值范围对传染病的流行趋势的影响，即用数据模拟ρ≥ρc 时和ρ<ρc时两种不同的情形.(1)取ρ=0.1<ρc，并且取初值S(0)=2，E(0)=1.5，I(0)=1，传染病模型经过一段时间后将会趋向于无病平衡点P1.计算此时的R0≈0.72<1，由此验证了定理2的结论.(2)取ρ=0.1<ρc，并且取初值S(0)=2，E(0)=1.5，I(0)=1，传染病经过一段时间将会趋向于地方病平衡点P1，计算此时的R≈1.57>1，由此验证了定理5的结论.6 结论基于一些疾病的传播特征(乙肝，水痘，麻疹等传染病)，考虑了一类含有接种和非线性传染率的SEIR模型，通过稳定性分析可知有效接种率ρ的取值范围与疾病的流行趋势紧密相关.对于消除疾病的理想有效接种率当ρ≥ρc时，R0≤1，传染病消亡；ρ<ρc时，则R0>1，传染病持续存在.所以通过对易感染者接种可以有效的减小R0，控制传染病的传播.【相关文献】[1] 马知恩,周义仓,王稳地,靳祯.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.[2] 王玉杰,奚晓军.HIV模型的稳定性与Hopf分支问题研究[J].吉林化工学院学报,2017(11):90-94.[3] Xu min,Hu liang jian.Global Asymptotical Stability of an SEIR Model with Random Perturbation[J].Journal of Dong hua University(English Edition),2014,31(2):152-154. [4] 童姗姗,牛玉俊.具有媒体效应和接种的传染病模型的稳定性分析[J].吉林化工学院学报,2015(11):77-79.[5] 王改霞,刘纪轩,李学志,等.年龄结构SIQRS传染病模型稳定性及接种决策[J].应用数学,2018,31(2):392-399.[6] 周艳丽,濮桂萍,沈新娣,等.带有接种的随机SIS传染病模型研究[J].上海理工大学学报,2017,39(6):528-531.[7] 霍海峰,邹明轩.一类具有接种和隔离治疗的结核病模型的稳定性[J].兰州理工大学学报,2016,42(3):150-154.[8] 单秀丽,刘会民.不同控制策略对一类SIQR传染病模型的影响[J].中北大学学报(自然科学版),2014(2):97-100.[9] 庞伟娟,胡志兴,王辉,等.一类具有饱和传染率且带有潜伏期和接种期的SVEIR模型的研究[J].工程数学学报,2014(5):664-674.[10] 吴梦媛,孙法国,陈瑶,等.一类具有接种和治疗的传染病模型动力学分析[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2017,33(6):738-743.[11] 侯新华,王菲.对接种条件下时滞双病毒感染模型的稳定性分析[J].湖南师范大学自然科学学报,2013,36(1):5-11.[12] 王烈,陈斯养.具有阶段结构、时滞和接种的幼年染病单种群模型的稳定性[J].陕西师范大学学报(自然科学版),2013,41(1):15-19.[13] 杨文川.基于斑块环境下SIS传染病模型局部稳定性分析[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2015,32(3):21-24.[14] Xu min,Hu liang jian.Persistence in a Stochastic SEIR Model with Constant Immigration in Incubation Period[J].Journal of Dong hua University(EnglishEdition),2016,33(4):649-651.[15] 辛京奇,王文娟.一类带有接种的SIR传染病模型的全局分析[J].数学的实践与认识,2007,37(20):71-76.[16] 朱慧,熊佐亮,王娓.预防接种下具有非线性传染率的SEIR传染病模型的全局分析[J].南昌大学学报:理学版,2009,33 (2):113-117.[17] 朱焕,李冬梅,刘伟华,等.一类具有连续接种的时滞SEIR传染病模型[J].哈尔滨理工大学学报,2013,18(5):123-128.[18] 王娟,王燕,李学志.具有接种疫苗和重复感染的SEIR传染病模型的分析[J].数学的实践与认识,2014,44(15):317-322.[19] 廖书,杨炜明.同时含有预防接种和水源处理的霍乱时滞模型分析[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2018(2):48-53.[20] 周艳丽,张卫国.具有非线性传染率的SIQS传染病模型定性分析和数值模拟[J].数学的实践与认识,2013,43(19):281-286.。

具有接种免疫的SIR传染病模型

具有接种免疫的SIR传染病模型吴向群;柳小脉【摘要】在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型,利用数值分析的方法对其传播过程进行研究,通过理论分析证明其渐近稳定性.与传统的统计方法相比,利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2012(032)001【总页数】4页(P28-31)【关键词】接种免疫;传染病;无病平衡点;全局渐近稳定性【作者】吴向群;柳小脉【作者单位】泉州师范学院数学系,福建泉州362000;泉州师范学院数学系,福建泉州362000【正文语种】中文【中图分类】O175建立传染病流行过程的数学模型是人们研究传染病蔓延过程的重要手段，长期以来一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们已经建立了许多传染病模型，这些模型对研究疾病的传播和发展规律具有很重要的意义，其中经典的SIR模型是应用较为广泛的一种模型.大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统[1-2]，而且实际上对于很多流行病，对易感者是要进行预防接种，但经典的SIR模型并未考虑此种情况.对此，在经典SIR模型[3]的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型，通过理论分析证明其渐近稳定性.与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态.引理1[4]263 若特征方程det(A-λE)=0没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组的零解的稳定性态与其线性近似的方程组的零解的稳定性态一致.这就是说，当特征方程det(A-λE)=0的根均具有负实部时，方程组的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正实部的根时，其零解是不稳定的.引理2[4]266 给定常系数的n次代数方程，其中：a0＞0，作行列式∆1=，其中：（对一切i＞n）.那么方程的一切根均有负实部的充分必要条件是不等式同时成立. 在本文中，将人群分为易感染者（Susceptible）、感染者（Infective）和移出者（Removed）3类，分别简称健康者、病人和移出者.时刻t这3类人在总人数N 中占的比例分别记作s(t)，i(t)，r(t).假设易感者由于与染病者接触而染病，同时染病者恢复后，具有终身免疫.在经典的SIR传染病模型中，假设条件为：假设1 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移.假设2 每个病人每天有效接触的平均人数是常数α，α称为日接触率.当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人.假设3 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数µ，称为日治愈率.显然µ-1是传染病的平均传染期，传染期接触数为σ=αµ-1.经典的SIR传染病模型为模型（1）的结果是，当时，传染病蔓延；当时，传染病不会蔓延.具有接种免疫的SIR模型与经典的SIR模型（1）除满足假设条件1～3相同外，增加的条件为：假设4 健康人因预防接种而减少发病的人数与健康人数成为正比，比例系数为k，即为预防系数.由假设1～4可知，s(t )+i(t)+r(t)=1.根据假设条件，每个病人每天可使αs(t)个健康者变为病人，因为病人数为Ni(t)，所以每天共有αs(t)Ni(t )个健康者被感染.同时每天共有µNi(t)个病人被治愈，有kNs(t)个人接种预防.记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0＞0)和i0(i0＞0)（不妨设移出者的初始值r0=0），则SIR模型的方程可以写为不含有r(t)，所以仅需考虑由方程（2）难以求出s(t)，i(t)的解析解，可考虑数值计算.在方程（2）中设α=1，µ=0.3，k=0.2，i(0)=0.02，s(0)=0.98，用MATLAB软件编程，输出简明计算结果（见表1），得到i(t)，s(t)图形（见图1）和i-s相轨线（见图2）.由表1、图1可以看出，i(t)由初值增长至约t=5时达到最大值，然后减少，t→∞时，i→0；s(t)则单调减少，t→∞时，s→0.初值i(0)=0.02，s(0)=0.98相当于图2中的P0 点，由图2可以看出，随着t的增加，(s, i)沿轨线自右向左运动.显然(0, 0)为方程组（2）的平衡点，即无病平衡点.令yj=f j (s,i )（j=1，2），其表达式为方程组（3）在零点的Jacobi矩阵为其行列式为方程组（3）的线性近似方程组的特征方程为(k+µ)λ+kµ=0.由此得赫尔维茨行列式a0=1，∆1=a1=k+µ＞0，a2=kµ＞0.由引理2可知，特征方程λ2+(k+µ)λ+kµ=0所有根均有负实部，因此由引理1可知，零解s=0，i=0为渐近稳定的.由方程组（2）中的=-αsi-ks,s(0)=s 可以得到s(t)逐渐减0小，因此方程组（2）中的=αsi+us,i(0)=i ，总会达到＜0，0所以最终感染者都转为移出者，即(0, 0)为全局稳定点.由此可见，在生态极限条件下，无论传染率取何值，传染者都会最终消失（见图3，其中：α0=1；α1=2；α2=3；α3=4）.且初始条件s0，i0在一定范围内时，病人终将消失（见图4，其中：P0=(0.02, 0.98)；P1=(0.03,0.97)；P2=(0.04,0.96)；P3=(0.05,0.95)）.而接种率k取值不同时，其传染病模型也将趋于平衡点（见图5，其中：k0=0.2；k1=0.3；k2=0.4；k4=0.5）.本文给出了具有接种免疫的SIR传染病模型，分析了传染病的传播过程及感染人数的变化规律，对具有接种免疫的SIR传染病模型的渐近稳定性进行了分析.先采用数值计算、图形观察方法，产生感性认识（见表1，图1～2），再从理论角度证明了其稳定性.通过这种方式可以预测传染病高潮到来的时刻，度量传染病蔓延的程度并探索制止其蔓延的手段.【相关文献】[1] 吕运红.传染病模型的研究方法总结[J].邢台学院学报，2009，24（2）：96-98[2] 周天明，汪宏远，鲁立刚.传染病学的数学模型及其应用[J].黑龙江医药科学，2002，25（3）：20-22[3] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003[4] 王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1978：262-266。

具有接种疫苗年龄和暂时免疫的SEIVS流行病模型的稳定性

具有接种疫苗年龄和暂时免疫的SEIVS流行病模型的稳定性方彬;周会娟;李学志
【期刊名称】《平顶山学院学报》
【年(卷),期】2014(029)002
【摘要】接种策略对阻止和控制流行病传播起着重要作用,考虑接种疫苗年龄和暂时免疫力在现实中更为合理.讨论具有接种疫苗年龄和暂时免疫的SEIVS流行病模型的稳定性,给出阈值条件,证明模型平衡点存在性与稳定性.
【总页数】6页(P13-18)
【作者】方彬;周会娟;李学志
【作者单位】北京信息控制研究所,北京100037;信阳师范学院数学与信息科学学院,河南信阳464000;洛阳理工学院数理部,河南洛阳471000;信阳师范学院数学与信息科学学院,河南信阳464000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.人口有增长的具有暂时免疫的流行病模型(SIRS模型) [J], 沃松林;许波
2.一个具有暂时免疫和非线性接触率的SIS流行病模型的分析 [J], 胡志兴;成小伟;马万彪
3.具有接种疫苗年龄结构的SIS流行病模型的稳定性 [J], 王卓芝
4.一类具有饱和率与暂时免疫力的时滞的SIRS模型的局部稳定性 [J], 尹红云;黄
冉冉;张道祥
5.具有接种疫苗年龄结构的SIRS流行病模型分析 [J], 王世飞;王娟;王海霞
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被治愈的感染类．是总人数为Ｎ — Ｓ＋Ｉ＋Ｒ．设易感染类受传染的传染率是，赖于总于假依
人数 Ⅳ 的有效接触率（及易感染类在人群中的比例ＳＮ这三者的乘积，样传染率为 Ⅳ）／这
２Ｎ）ＩＮ．建立如下ＳＲ传染病动力学的数学模型（Ｓ／Ｉ
（ Ⅳ）的传染病模型，到了较为完整的结论．这种依赖于人群总数的传染率（在传染病得对 Ⅳ）模型中的研究显得特别重要，也更具有普遍意义．且在此基础上进一步讨论了具有双线性型和并
标准型传染率这两种特殊情况的传染病模型．文推广和改进了文Ｅ的工作，本ＶＩ是文Ｅ－究工作ｚＩ研的继续和深入，文Ｅ－而ｚ１只是本文的一种特殊情况．
为感染者的因病死亡率，为治愈率（或康复率）假设易感者和移出者中的个体无因病死亡且．
Ａ，＞０ｕａ，，，
足以下条件（）Ｈ：
０ Ⅳ）表示人群总数为 Ⅳ 时的有效接触率（，（即能引起传染的接触数）且满，
内外学者对传染病的传播模型作了大量的研究，得到了许多重要结果，极大地丰富了传染病动力
学理论．
借助数学模型研究各种传染病的传播过程和动力学行为最关键的是对传染率的刻划．常见的传染率形式有双线性型和标准型．文讨论了在预防接种情况下，本依赖于人群总数的传染率
具有免疫接种且总人口规模变化的
ＳＲ传染病模型的稳定性Ｉ
薛颖，熊佐亮
（昌大学数学系，南昌３０４）南３０７
摘要：讨论一类具有预防免疫接种且有效接触率依赖于总人口的ＳＲ传染病模型，出了决定疾病Ｉ给
（ Ⅳ）＞０（（（， Ⅳ） Ⅳ）的导数）０［（／０， Ⅳ）ＮＪ例如重要的一类函数： Ⅳ）一户（（户＞００ｇ１，）
（）Ｈ
本节先对一般的系统（）１作定性分析，下一节再对（一及（一 Ⅳ） Ⅳ） Ⅳ 两种特殊情形作
１接触率依赖于总人数ＳＲ模型及定性分析Ｉ
根据传染病动力学常用的仓室建模思想，我们把总人口分为三类；易感类（ｕｃｐｉｌ）感Ｓｓｅｔｅ，ｂ
染类（ｎｅｔｅ，出类（ｍｖｄ．ｆ，ｆ，ｆＩｆｃｉ）移ｖＲｅｏｅ）Ｓ（）（）Ｒ（）分别表示易感类，染类和移出类的数量．感其中移出类的数量Ｒ由两部分组成，一部分是通过预防接种而得到免疫力的易感类，一部分是另
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第９第２卷期２７６０年月０
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡＡＮＡＬＹＳＳＦＵＮＣＴＩＩＯＮＡＬＩＡＰＰＬＩＳＣＡＴＡ
Ｖ０１ＮＯ．２．９
Ｊｎｕｅ，
２０７０
文章编号：１０ — ３７（０７０ — １９００９１２２Байду номын сангаас ）２０６—７
中图分类号：Ｏ１５１７．
Ｏ引
言
在现实生活中，染病广泛存在．传利用数学模型分析和研究传染病的传播已是数学应用的一个重要领域．而传染病的传播规律和防治对策的研究是关系到国计民生的重大问题．近年来，国
进一步的全局分析．由系统（）得关于人的方程：１易ｒ
Ⅳ ￡（）＝Ａ — ｔ一口ｅＮ（）２
不难验证，Ｓ（）０００Ｒ（）０则系统（）若０，（），０，１的解存在唯一，且（）（）Ｒ（）ｆ，￡，ｆ
Ｓ（）一Ａ一（＋ｕＳ一 — Ｎ，￡）２）（ＳＩ
—
，
Ｉ（）一 — ）Ｉ，ｆ２Ｎ（Ｓ
一 —
（＋ａ＋ｐＩ），
（）１
收稿日期：２０ — １１０５１—０
基金项目：西省自然科学基金（６１８）江０１０４
灭绝和持续生存的基本再生数的表达式，在一定条件下证明了疾病消除平衡点的全局稳定性，到得
了唯一地方病平衡点的存在性和局部渐近稳定性条件．后研究了具有双线性传染率和标准传染率的最两个具体模型，证明了当＞１该模型地方病平衡点的全局渐近稳定性．并时关键词：数学模型；染病；防接种；本再生数；方病平衡点；局稳定性传预基地全
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１０７
应
用
泛
函
分
析
学
报
第９卷
Ｒｆ（）一ｕ＋』一Ｒ，Ｓ
Ⅳ （）一Ｓ（）＋（）＋Ｒ（）ｆｆｆｆ．
这里为该人群的常数输入率，假设新生儿都属于易感类，为预防接种率，为自然死亡率，并ｕ