2017年春季新版北师大版九年级数学下学期2.5、二次函数与一元二次方程教案7
九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)新版北师大版
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解最大面积或最小成本的问题？”（如篮球投篮的角度问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与一元二次方程的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：强调二次函数y=ax²+bx+c的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系，通过图像理解方程的解。
-二次函数图像的绘制：掌握二次函数标准形式图像的绘制方法，理解开口方向、顶点、对称轴等关键特征。
-二次函数最值的求解：理解二次函数的顶点公式，能够求解二次函数的最大值和最小值问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次函数与一元二次方程的关系，以及它们在实际问题中的应用。通过这节课的教学，我发现有几个地方值得深思。
首先，学生们在理解二次函数与一元二次方程之间的联系时，普遍感到有些吃力。尽管我通过图像和实际案例进行了讲解，但部分学生仍然难以把握这种抽象关系。在今后的教学中，我需要寻找更多形象直观的教学方法，如使用动态图像或实物模型，帮助学生更好地理解这一难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像与方程解的关系，以及求解二次函数最值的方法。对于难点部分，我会通过图形示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如最优化问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如绘制不同参数下的二次函数图像，观察顶点和开口的变化。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。
接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。
2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
北师大版九年级数学下册 第2章 2.5 二次函数与一元二次方程 教案
5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程的关系课标要求1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法．2．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征．【教学重点】经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系．教学过程一、情景导入，初步认识我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx ＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．二、思考探究，获取新知探究：画出y＝x2＋2x、y＝x2－2x＋1、y＝x2－2x＋2的图象，观察并解答：1．每个图象与x轴有几个交点？2．一元二次方程x2＋2x＝0、x2－2x＋1＝0、x2－2x＋2＝0有几个根？用判别式验证．3．函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？【归纳结论】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．三、运用新知，深化理解1．知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(B)A．ac＞0B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3C．2a－b＝0D．当x＞0时，y随x的增大而减小分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．解析：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B．∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于(3，0)，∴抛物线与x轴另一交点为(－1，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；C．∵抛物线对称轴为x＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；D．∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B.2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝(C)A．－1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x＝3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2.3．根据下列表格的对应值：(C)A．8＜x＜9B．9＜x＜10C．10＜x＜11 D．11＜x＜12分析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而－0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充．课后作业1．布置作业：教材“习题2.10”中第2、3、4题．2．完成练习册中本课时的练习．第2课时利用二次函数解一元二次方程课标要求能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学难点】探索方程与函数之间关系的过程．一、情景导入，初步认识上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．二、思考探究，获取新知探究：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．上图是函数y＝x2＋2x－10的图象．从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．从上表可知有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．还有其他的方法吗？可以把－5与－4之间的线段十等分，再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：三、运用新知，深化理解利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．解：画出函数y＝x2＋2x－13的图象．由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．另一个根可以类似地求出：因此x＝2.7是方程的另一个近似根．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业1．布置作业：教材“习题2.11”中第1题．2．完成练习册中本课时的练习．。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
教材通过引入二次函数的图像，让学生理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
教材从实际问题出发，引导学生用数学的眼光去发现问题、解决问题，培养学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学素养，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决问题。
同时，运用小组合作学习的方式，让学生在讨论中理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识。
2.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商品打8折后仍然比原价高200元，求商品的原价。
引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的性质。
同时，引导学生思考一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识去解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中遇到的问题。
北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：抛物线形状的物体运动轨迹问题，通过建立二次函数模型，利用顶点式确定物体的最高点或最低点。
2.教学难点
-理解二次函数图像与一元二次方程根的对应关系：对于初学者来说，图像与方程之间的抽象关系较难理解。
-突破方法：通过图形演示和实际操作，如绘制函数图像，让学生观察和总结图像与方程根的关系。
-二次函数顶点式的推导和运用：顶点式的推导涉及代数变换，学生可能会在此过程中感到困惑。
5.激发数学探究精神：引导学生主动探究二次函数与一元二次方程的内在联系，培养学生勇于探索、积极创新的数学精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数与一元二次方程之间的关系：重点讲解二次函数图像上点的坐标特征与一元二次方程根之间的联系，强调图像的几何意义。
-举例：通过具体函数y = ax^2 + bx + c的图像，说明当y = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0的解即为图像与x轴交点的横坐标。
-掌握二次函数顶点式的形式及其推导过程：让学生掌握二次函数y = a(x - h)^2 + k的顶点坐标(h, k)和开口方向与系数a的关系。
-举例：通过变换一般式y = ax^2 + bx + c到顶点式，展示顶点的求解方法，并解释顶点在图像上的位置和意义。
北师版九年级数学下册2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程2教案与反思
2.5 二次函数与一元二次方程原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修
第1课时二次函数与一元二次方程
说明由．
； 322++=x x y ； 432
1
2-+-=x x y
2、证明：抛物线y=x2-（2p-1）x+p2-p 与x 轴必有两个不同的交点。
3.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象抛物线交于B 、C 两点．⑴求一次函数与二次函数的解析式
(2)根据图象:当自变量x 时，一次函数值大于二次函数值．
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这个世界不符合所有人的梦想、只是有人学会遗忘，有人却一直坚持。
如果你盼望明天，那必须先脚踏现实；如
1 －1 －3 3
x
y
O A
B
C
果你希望辉煌，那么你须脚不停步。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版九年级数学下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何将二次函数与一元二次方程联系起来，以及如何运用二次函数的性质来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.通过例题和练习题，让学生在实践中掌握利用二次函数的性质解决一元二次方程的方法。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备相关的练习题和答案。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“某商品的原价为200元，商家进行打折促销，折扣率为x（0≤x≤1），求打折后的价格。
”让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），并引导学生回顾二次函数的图像和性质。
3.操练（10分钟）让学生尝试将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质来解决问题。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.5《二次函数与一元二次方程》是学生在学习了函数和方程的基础上，进一步深化对二次函数和一元二次方程的理解和应用。
本节课的主要内容是一元二次方程的解法，通过二次函数的图象和性质，引导学生理解一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数和方程的基础知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象和性质来解决一元二次方程，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和分析，自主探索一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
2.通过对二次函数的图象和性质的分析，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、分析能力和创新能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.难点：如何引导学生通过观察和分析，自主探索一元二次方程的解法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的例题和练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
2.引导发现法：引导学生通过观察和分析，自主探索一元二次方程的解法。
3.合作学习法：鼓励学生相互讨论、交流，提高解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.练习题：准备一定数量的一元二次方程题目，用于巩固知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生运用已学的函数和方程知识解决问题。
通过问题的解决，引出一元二次方程的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一组一元二次方程，引导学生观察方程的特点，并尝试运用已学的二次函数知识解决问题。
通过观察和分析，引导学生发现一元二次方程的解法。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些一元二次方程题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版九年级数学2.5 二次函数与一元二次方程(1)教案
“二次函数与一元二次方程”教学设计一、教学目标1．知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴交点的个数、掌握方程与函数间的转化.2．过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图像与x轴的交点情况。
由特殊到一般，提高学生的分析、探索归纳能力，进一步培养学生的数形结合思想.3．情感态度：通过二次函数图像与一元二次方程之间关系的探究活动，体会二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生大胆探索数学知识间联系的好习惯.二、教学重点探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.三、教学难点函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.四、教学过程（一）情境引入我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度h (m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么（1）h 与t 的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？（二）合作探究1.二次函数y =x 2+2x 的图象如图①图像与x 轴有_____个交点;②交点坐标为_____________;2.二次函数y =x 2-2x +1的图象如图(s )∙①方程有___个________的实数根;②方程的根是_____________;一元二次方程x 2-2x +1=0根的情况一元二次方程x 2+2x =0根的情况①图像与x 轴有_____个交点; ②交点坐标为_____________;3.二次函数y =x 2-2x +2的图象如图（三）探索发现①方程有___个________的实数根; ②方程的根是_____________;一元二次方程x 2-2x +2=0根的情况结论：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴__________________就是一元二次方程_________________. （四）学以致用1.小明画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 2的解是( ). A ．无解 B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42. 求下列二次函数的图象与x 轴的交点. (1)y ＝x 2＋4x -5 (2)y ＝-x 2＋x +23.二次函数y ＝x 2＋bx -1的图象与x 轴相交，如果相交，有几个交点？()∙∙∙（五）拓展提升本节开始时小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m 呢？归纳：一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h 交点的横坐标. （六）课堂小结二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应一元二次方程ax 2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.（七）课后作业 1. 课本P52页习题2.102. 预习：二次函数与一元二次方程（2）(s )∙∙∙。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，以及如何将一元二次方程转化为二次函数的问题。
教材通过具体的例子和练习题，帮助学生掌握这一知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基本概念，对函数的图像和解法有一定的了解。
然而，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，他们可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，我需要通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握这一知识点。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够将一元二次方程转化为二次函数的问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析和解决实际问题，学生能够培养自己的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂讨论，培养自己的合作意识和团队精神，增强对数学学习的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够将一元二次方程转化为二次函数的问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.教学难点：学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的联系，能够运用二次函数的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、讨论法和练习法等教学方法。
同时，我还将利用多媒体课件和黑板等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数与一元二次方程之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。
2.讲解：通过讲解和示例，引导学生理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何将一元二次方程转化为二次函数的问题。
3.练习：通过课堂练习和小组讨论，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程教案1 (新版)北师大版
二次函数与一元二次方程【教学内容】二次函数与一元二次方程（一）【教学目标】知识与技能理解二次函数与一元二次方程的关系，会用△值判断二次函数与x轴交点个数过程与方法经历用二次函数图象探索一元二次方程根的过程，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。
情感、态度与价值观通过对二次函数与一元二次方程关系的探讨，培养学生勇于探索的好习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重难点】重点：理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标难点：利用二次函数的与x轴交点与一元二次方程根的关系【导学过程】【知识回顾】一元二次方程的一般形式是什么？二次函数的一般形式是什么？【情景导入】二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同。
其实，二次函数中的y值为零时，那么就会变成一元二次方程。
那么它们之间到底有怎样的关系，本节课将给以解答。
【新知探究】探究一、我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.探究二、在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？探究三、【例1】已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ． 【例2】抛物线y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－3，0），对称轴为x=－1，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．【知识梳理】本节课我们学习二次函数与一元二次方程的关系，能够领会二次函数与x 轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.投影仪和白板。
七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。
以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
九年级数学下册2.5.1二次函数与一元二次方程教案1新版北师大版20170802223
课题：2.5.1 二次函数与一元二次方程教学目标:1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点与难点：重点：体会一元二次方程与二次函数之间的联系．结合二次函数图象与x轴的交点个数，理解何时一元二次方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．难点：探索一元二次方程与二次函数之间的联系的过程．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．课前准备：多媒体课件．教学过程：一．创设情境，导入新课[师]我们学习了一元一次方程kx b0(k0) 和一次函数y kx b(k0) 后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？问题1：一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）,一元一次方程x＋2＝0的根为________．问题2：一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）,一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．[师]现在我们学习了一元二次方程ax2 bx c0(a0) 和二次函数y0)ax2 bx c(a，它们之间是否也存在一定的关系呢？本课我们就来学习§2.5二次函数与一元二次方程第一课时．§2.5二次函数与一元二次方程（1）（板书课题）处理方式：让学生独立解决3个问题，学生口答，教师对应课件展示答案.借此引导学生回顾总结元一次方程kx b0(k0) 和一次函数y kx b(k0) 之间的关系.设计意图：首先利用所学习过的一元一次方程kx b0(k0) 和一次函数y kx b(k0)的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程ax2 bx c0(a0) 和二次函数y ax2 bx c(a0) ，1它们之间是否也存在一定的关系呢？”自然引入新课.二、合作探究，展示交流探究一：二次函数y ax2 bx c(a0) 的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax0( 0)2 bx c a的解的关系问题:画函数y x2 2x3的图象,根据图象回答下列问题(1)你的图象与x轴的交点坐标是什么？(2) 当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2 2x3=0有什么关系?(3) 你能从中得到什么启发？处理方式:1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y x2 2x3的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并课件出示函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1，0)和(3，0)．5．让学生完成(2)的解答。
2017年春季新版北师大版九年级数学下学期2.5、二次函数与一元二次方程导学案7
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
因此，x=是方程的一个近似根。
（2）另一个根可以类似地求出 ：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
因此，x=是方程的一个近似根。
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果？
【合作探究】————升华学科能力，透析重难点
【使用说明与学法指导】
阅读课本P73---P75,独立完成导学案自主学习部分，使用双色笔勾画有问题的地方。
【自主学习】——建立自信，克服畏惧，尝试新 知
1．你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(1)由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,
1利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根
温馨提示
将方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0，你 会了吗？
【当堂训练】———技能拓展应用，搭建晋级平台
1.利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根。
二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.巩固理解二次函数图象与0的根。
2.经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
【重点难点】
教学重点：利用二次函数图像求一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值。
教学难点：理解一元二次 方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计2
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版九年级数学下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过这部分内容的学习，使学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图象与性质有一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
3.提高学生的数学思维能力，培养学生的解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究、交流等方式，发现二次函数与一元二次方程之间的关系，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的图象与性质，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）展示一些实际问题，让学生尝试用二次函数的知识解决。
通过学生的尝试，引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题的方式，巩固二次函数与一元二次方程之间的关系，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
4.巩固（10分钟）通过课堂提问的方式，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，以及运用二次函数性质解决实际问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些更深入的问题，如：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
引导学生通过观察、思考、探究等方式，发现更深层次的数学规律。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。
北师大版九年级下册数学教案设计：2.5二次函数与一元二次方程
北师大版九年级下册第二章第八节5节第一课时《二次函数与一元二次方程》一、背景分析（一）、学习任务分析函数是一种重要的数学思想，函数和方程是初中数学学习的重点和难点，在学习中具有举足轻重的作用和地位。
本节课是北师大版九年级（下）第二章《二次函数》第5节。
在这之前，学生已经学习了一次函数与一元一次方程、二元一次方程组之间的关系；本课时的核心是探索二次函数的图像和横轴交点与与一元二次方程的根之间的关系，数形结合是学生掌握知识的较好方法。
本课时也将为高中学习打好基础，作好铺垫，在教学中有着承上启下的作用。
（二）、学生情况分析学生已经学习了二次函数一般式、顶点式及其图象和性质，一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经学习了一次函数和一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的关系，因此，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。
（三）、教学重点，难点根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制定本节课的学习重、难点如下学习重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解其实质就是把函数值换成常数求一元二次方程的解。
学习难点：利用函数的性质，用逐步逼近去试探求出近似解，较难理解，培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。
二、学习目标根据新课标的要求及九年级学生的认知水平特制定本节课的教学目标如下：知识与技能：1、掌握二次函数与一元二次方程的联系。
2、掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
过程与方法：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、经历用二次函数图象求一元二次方程近似解的过程，获得用图象法求方程近似解的体验。
情感、态度与价值观：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。
九年级数学下册2.5.1二次函数与一元二次方程教案2新版北师大版20170802224
课题二次函数与一元二次方程教课目的:经历研究二次函数与一元二次方程的关系的过程，领会方程与函数之间的联系，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.2.经历研究二次函数与一元二次方程的关系的过程，培育学生的探索能力和创新精神，通过察看二次函数与x轴交点的个数，议论一元二次方程的根的状况，进一步培育学生的数形联合思想.经过学生共同察看和议论，培育合作交流意识 .3.经历研究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着研究与创建，感觉数学的谨慎性以及数学结论的确定性，拥有初步的创新精神和实践能力 .教课要点：理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数与y h交点的横坐标.教课难点：研究方程与函数之间的联系的过程；理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教法与学法指导：在教课中，为了更好地表达在讲堂教课中“教师为主导，学生为主体〞的教课关系和“以人为本，以学定教〞的教课理念，在本节课的教课过程中，我将牢牢环绕教师组织——启迪引导，学生研究——交流发现，组织展开教课活动.教课准备：多媒体课件教课过程：一、设问题情境，引入新课【师】我们已学过一元一次方程kxb0(k0)和一次函数y kx b(k0)的关系，你还记得吗？办理方式：学生交流后回复.【师】此刻我们学习了一元二次方程ax2bxc0(a0)和二次函数yax2bxc(a0)，它们之间能否也存在必定的关系呢？〔学生可进行猜想〕今日这节课我们就来研究他们之间的关系.〔教师板书课题〕设计企图：这一环节主假如激发学生的求知欲念，使学生经过解决问题，让学生有种成就感.同时也可使学生养成一个主动思虑平和于思虑的学习习惯.二、活动研究研究一：二次函数与一元二次方程的内在联系〔多媒体展现〕我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系能够近似地用公式h5t2v0t h0表示，此中h0(m)是抛出时的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么〔1〕h与t的关系是什么？〔2〕小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与伙伴进行交流.h100806040202468t办理方式：让学生以小组为单位进行议论交流，教师能够读题，可要点重申：h0和v0不是变量，你能确立它们吗？而后选代表回复.设计企图：经过竖直上抛小球的问题情境，使学生初步感觉二次函数与一元二次方程之间的联系，为下一步商讨二次函数的图像和横轴交点的个数与一元二次方程的个数之间的关系作铺垫.研究二：抛物线与〔多媒体展现〕x轴的交点和一元二次方程的根的关系二次函数y x22x，y x22x 1，y x22x2的图象以下列图.每个图象与x轴有几个交点？〔2〕一元二次方程x22x0，x22x10有几个实数根？用鉴别式考证一下.一元二次方程x22x20有实数根吗？〔3〕二次函数y ax2bx c的图象与x轴交点坐标和一元二次方程ax2bx c0的根有什么关系？办理方式：学生以小组为单位进行察看图象议论交流.教师巡回指导，参加到学生的议论中，实时掌握学生的信息，实时点拨指正.而后各组选出一个代表来解说自己的结论.(教师利用多媒体展现学生获得的结论)二次函数yax2bx c的图象与x轴的交点有三种状况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2bxc0的根也有三种状况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数yax2bx c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2bx c0的根.【师】一元二次方程ax2bx c0的根的状况能够由b24ac来判断，二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点状况能否是也能够由b24ac来判断？办理方式：学生思虑，交流所得结论，并议论，以获得正确的判断方法.而后选代表回复.〔教师利用多媒体展现所得结论〕当b24ac0时，ax2bx c0有两个不相等的实数根，即二次函数y ax2bx c的图象与x轴有两个交点.当b24ac0时，ax2bx c0有两个相等的实数根，即二次函数y ax2bx c的图象与x轴只有一个交点.当b24ac0时，ax2bx c0没有实数根，即二次函数y ax2bxc的图象与x轴没有交点.【师】假如将上边的条件和结论反过来，成立吗？办理方式：学生在小组中进行交流.设计企图：经过学生独立思虑，自主研究二次函数的图象和x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系，鼓舞学生归纳总结，培育学生语言表达能力.研究三：研究二次函数y ax2bxc与一元二次方程ax2bx c d的联系〔多媒体展现想想〕在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是怎样知道的？办理方式：学生在小组中议论交流，教师能够对有疑问的小组进行合适点播，而后小组选代表进行回复.说明：在教课中，应鼓舞学生借助图象和方程解决问题.设计企图：经过此问题的解决，让学生进一步交流“数〞与“形〞的联系，进而进一步感受二次函数与一元二次方程的联系.三、知识运用〔多媒体展现〕1.以下抛物线与x轴只有一个公共点的是〔〕A.y4x22x1B.y3x21C.y 1(x2)2D.y1(x3)23222bx(ca0)与x轴交点的个数，只需判断方程点拨：要想判断抛物线yaxy2bx的根的状况，即b24ac与0的大小关系. ax(ca0)2.二次函数y ax2bx c的图象以下列图,那么一元二次方程ax2bxc0的解是.点拨：一元二次方程ax2bx c0的解就是二次函数yax2bx c的图象与x轴交点的横坐标.3.假定抛物线y kx23x2的图象与x轴有2个交点，那么k的取值范围是.点拨：抛物线与x轴有2个交点，即b24ac0，而且k0.4.二次函数y kx26x7的图像与x轴有两个不一样的交点.〔1〕求k的取值范围〔2〕当k为什么值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.点拨：抛物线与x轴有两个不一样的交点，即b24ac0；这两个交点横坐标的平方和即为x12x2250.设计企图：让学生理解学习数学知识就是为了灵巧运用知识解决问题，进一步拓展知识，提高思想能力四、收获与感悟【师】“悟〞出真理,悟在有“心〞.经过今日的研究学习，你有哪些收获？依据你的收获达成表格.〔一元二次方程的实数根记为〕二次函数y ax2bx c 与一元二次方程ax2bxc0yb24ac0，方程有的实数(,)(,)与x轴有个交点O x根是.y ( , )x与x轴有个交点b24ac这个交点是点根是yx与x轴有个交点b24ac办理方式：学生在小组中各抒己见，达成表格.0，方程有的实数.0，方程实数根.设计企图：鼓舞学生联合本节课的学习，谈自己的收获与感想〔学生各抒己见，教师赐予鼓舞〕，培育学生的归纳归纳能力和语言表达能力.五、达标检测〔多媒体展现〕判断以下各抛物线能否与x轴订交，假如订交，求出交点的坐标。
【北师大版】九年级数学下册：2.5第1课时二次函数与一元二次方程1教案
2.5二次函数与一元二次方程第 1 课时二次函数与一元二次方程已知二次函数 y＝ 2x2－ 4x－ 6，它的图象与 x 轴交点的坐标是1．经历研究二次函数与一元二次方程________________ ．的关系的过程，领会方程与函数之间的联分析： y＝ 2x2－ 4x－ 6＝ 2(x2－ 2x－ 3)＝系； (要点 )2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与2(x－ 3)(x＋ 1)，设 2(x－ 3)(x＋ 1) ＝ 0，解得一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实x1＝ 3，x2＝－ 1，∴它的图象与 x 轴交点的坐根； (要点 )3．经过察看二次函数与x 轴交点的个标是 (3，0)，(－1，0)．故答案为 (3，0)，(－数，议论一元二次方程的根的状况，进一步培育学生的数形联合思想．(难点 )1， 0)．方法总结：抛物线与x 轴的交点的横坐一、情境导入一个涵洞成抛物线形，它的截面如下图．现测得，当水面宽 AB＝ 1.6m 时，涵洞极点与水面的距离 OC ＝ 2.4m. 当水位上涨必定高度抵达点 F 时，这时，离水面距离 CF ＝1.5m，则涵洞宽 ED 是多少？能否会超过 1m?依据已知条件，要求ED 宽，只需求出FD 的长度．在如下图的直角坐标系中，只需求出点 D 的横坐标即可．由已知条件可获得点 D 的纵坐标，又因为点 D 在涵洞所成的抛物线上，因此利用抛物线的函数关系式能够进一步算出点 D 的横坐标．你会求吗？二、合作研究研究点一：二次函数与一元二次方程【种类一】求抛物线与x 轴的交点坐标标，就是二次函数为0 时，一元二次方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 6 题【种类二】判断抛物线与x 轴交点的个数已知对于x 的二次函数y＝ mx2－(m＋ 2)x＋2(m≠ 0)．(1) 求证：此抛物线与x 轴总有两个交点；(2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m 的值．解析： (1) 只需证明＝(m＋2)2－4m× 2≥ 0 即可； (2)利用因式分解法求得抛物线与 x 轴交点的横坐标，而后依据x 的值来求正整数m 的值．(1)证明：∵m≠0 ，∴Δ＝(m＋2)2－4m× 2＝ m2＋ 4m＋ 4－ 8m＝ (m－ 2)2.∵ (m－2)2≥ 0，∴Δ≥ 0，∴此抛物线与 x 轴总有两1个交点；(2)解：令 y＝0，则 (x－ 1)(mx－ 2)＝ 0，因此 x－ 1＝ 0 或 mx－ 2＝0，解得 x1＝ 1，2x2＝m.当 m 为正整数 1 或 2 时， x2为整数，即抛物线与x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．因此正整数m 的值为 1 或2.方法总结：解答此题的要点是明确当根的鉴别式≥0 抛物线与x 轴有两个交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 8 题【种类三】已知抛物线与 x 轴的交点个数，求字母系数的取值范围已知函数 y＝ ( k－3)x2＋ 2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．分析：应分 k－ 3＝ 0 和 k－ 3≠ 0 两种情况进行议论，(1)当 k－ 3＝0 即 k＝3 时，此函数是一次函数；(2) 当 k－ 3≠ 0，即k≠3时，此函数是二次函数，依据函数图象与x轴有交点可知＝b2－4ac≥ 0，求出k 的取值范围即可．解：当 k＝3 时，函数 y＝ 2x＋ 1 是一次函数．∵一次函数 y＝ 2x＋ 1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝ 3；当 k≠3 时，y＝ (k－3)x2＋ 2x＋ 1 是二次函数．∵二次函数 y＝ (k－ 3)x2＋ 2x＋ 1 的图象与 x 轴有交点，∴Δ＝ b2－ 4ac≥ 0.∵b2－4ac ＝ 22－ 4(k－ 3) ＝－ 4k＋ 16 ，∴－ 4k＋16≥ 0.∴ k≤ 4 且 k≠ 3.综上所述， k 的取值范围是k≤ 4.方法总结：因为k 的取值范围不可以确立，因此解决此题的要点是要注意分类议论，不要漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 5 题【种类四】二次函数与一元二次方程的鉴别式、根与系数的关系的综合已知：抛物线y＝ x2＋ ax＋ a－2.(1)求证：无论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ ax＋ a－2 与 x 轴都有两个不一样的交点；(2)设这个二次函数的图象与x 轴订交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求 a 的值．分析： (1) 利用对于x 的一元二次方程x2＋ ax＋ a－ 2＝0 的根的鉴别式的符号进行证明； (2) 利用根与系数的关系写出x1、 x2的平方和是222－ 2x x2－x ＋ x＝ (x ＋ x )＝ a1212122a＋ 4＝ 3，由此能够求得 a 的值．(1)证明：∵Δ＝ a2－ 4(a － 2) ＝ (a－ 2)2＋4＞ 0，∴无论 a 取何值时，抛物线 y＝ x2＋ax＋a－ 2 与 x 轴都有两个不一样的交点；(2)解：∵x1＋ x2＝－ a， x1· x2＝ a－ 2，∴ x2＋ x2＝ ( x ＋ x )2－ 2x · x ＝ a2－ 2a＋ 4＝1212123，∴ a＝ 1.方法总结：判断一元二次方程与x 轴的交点，只需看根的鉴别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的状况，要利用根与系数关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 6 题研究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面 1米的 A 处飞出 (A 在 y 轴上 )，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距2地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与本来的抛物线形状同样，最大高度减少到本来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地址 C 距守门员多少米(取 4 3＝7)?(3)运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑多少米 (取 2 6＝ 5)?分析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要依据已知条件确立点 A 和极点 M 的坐标，因为OA＝ 1，OB＝ 6，BM＝ 4，因此点 A 的坐标为 (0，1)，极点 M 的坐标是 (6，4)．依据极点式可求得抛物线关系式．因为点 C 在 x 轴上，因此要求 OC 的长，只需把点 C 的纵坐标 y＝ 0 代入函数关系式，经过解方程求得 OC 的长．要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实质就是求 DB 的长．求解的方法有多种．解：(1) 设第一次落地时，抛物线的表达式为 y＝ a(x－6) 2＋ 4，由已知：当 x＝ 0时， y＝ 1，即 1＝ 36a1＋ 4，因此 a＝－12.因此函数表达式为y＝－1(x－ 6) 2＋ 412或 y＝－1212x ＋ x＋ 1；(2) 令 y＝ 0，则－1(x－6) 2＋ 4＝ 0，12因此 (x－ 6)2＝ 48，因此x1＝ 43＋6≈13， x2＝－ 4 3＋ 6<0( 舍去 )．因此足球第一次落地距守门员约13米；(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD ，依据题意： CD＝ EF(即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位 )．因此 2＝－121(x－ 6)2＋ 4，解得 x1＝6－2 6， x2＝ 6＋ 2 6，因此 CD ＝ |x1－ x2|＝ 4 6≈ 10. 因此 BD ＝ 13－6＋ 10＝17(米 )．方法总结：解决此类问题的要点是先进行数学建模，将实质问题中的条件转变为数学识题中的条件．常有两个步骤：(1)依据题意得出二次函数的关系式，将实质问题转变为纯数学识题；(2)应用相关函数的性质作答．三、板书设计二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主研究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，经过这样的教课实践获得必定的教课成效，再次认识到教师不单要教给学生知识，更要培育学生优秀的数学修养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思虑与合作学习沟通中解决学习中的问题 .3。
北师大版数学九年级下册 第二章《二次函数》2.5二次函数与一元二次方程的关系教学设计
北师大版数学九年级下册第二章《二次函数》2.5二次函数与一元二次方程的关系教学设计教学设计模板聚焦教学重难点的信息化教学设计课题名称：二次函数与一元二次方程姓名：何立军工作单位：会宁县韩家集乡初级中学学科年级：九年级数学教材版本：北师大版一、教学内容分析本课的具体学习任务：进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系；通过观察二次函数图象与x轴的交点，估计对应的一元二次方程的根的取值，进一步培养学生运用“数形结合”的思想解决问题的能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，学生在知识准备上，他们已经有了较充分的准备。
本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。
教师在课堂上只需要通过新课前的热身练习题，由易到难的设问，让学生回顾上节课的学习内容，再通过挑战性的语言，让学生对本节新课充满期待和探索的欲望。
在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中，让他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的理论学习最终要落实到实践应用上。
二、教学目标六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）一、从学生原有的认知结构提出问题1.什么叫二次函数?什么叫一元二次方程方程? (请学生举例说明) 什么叫一元二次方程的解?2.解下列方程：x2+2x=0,x2-2x+1=0 ,x2-2x+2=0＜设计意图：比较二次函数与一元二次方程的异同中渗透着类比思想．＞二、探索新知（一）导学提纲1.现实生活中的二次函数.我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个花炮从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,花炮的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么.(1).h 和t 的关系式是什么？(2).花炮经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.分析：找到点的坐标，利用何种求表达式的方法。
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课题：2.5.1 二次函数与一元二次方程教学目标:1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．具有初步的创新精神和实践能力． 教学重点与难点：重点：体会一元二次方程与二次函数之间的联系．结合二次函数图象与x 轴的交点个数，理解何时一元二次方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．难点：探索一元二次方程与二次函数之间的联系的过程．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．课前准备：多媒体课件．教学过程：一．创设情境，导入新课[师]我们学习了一元一次方程)0(0≠=+k b kx 和一次函数)0(≠+=k b kx y 后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？问题1：一次函数y ＝x ＋2的图象与x 轴的交点为（ ， ）,一元一次方程x ＋2＝0的根为________．问题2： 一次函数y ＝－3x ＋6的图象与x 轴的交点为（ ， ）,一元一次方程－3x ＋6＝0的根为________．问题3：一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点与一元一次方程kx ＋b ＝0的根有什么关系？ 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx ＋b ＝0的根．[师]现在我们学习了一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，它们之间是否也存在一定的关系呢？本课我们就来学习§2.5二次函数与一元二次方程第一课时．§2.5二次函数与一元二次方程（1）（板书课题）处理方式：让学生独立解决3个问题，学生口答，教师对应课件展示答案.借此引导学生回顾总结元一次方程)0(0≠=+k b kx 和一次函数)0(≠+=k b kx y 之间的关系.设计意图：首先利用所学习过的一元一次方程)0(0≠=+k b kx 和一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，它们之间是否也存在一定的关系呢？”自然引入新课.二、合作探究，展示交流探究一：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的关系问题:画函数223y x x =--的图象,根据图象回答下列问题(1)你的图象与x 轴的交点坐标是什么？(2) 当x 取何值时，y ＝0?这里x 的取值与方程223=0x x --有什么关系?(3) 你能从中得到什么启发？处理方式: 1．先让学生回顾函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数223y x x =--的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并课件出示函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x 轴交点的坐标分别是(－1，0)和(3，0)．5．让学生完成(2)的解答。
教师巡视指导并讲评．6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数223y x x =--的图象与x 轴交点的横坐标，即为方程223=0x x --的解；从“数”的方面看，当二次函数223y x x =--的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程223=0x x --的解．更一般地，函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程)0(02≠=++a c bx ax 的解；当二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程)0(02≠=++a c bx ax 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系． 探究二：二次函数与x 轴的交点个数与一元二次方程的解的关系[师]请同学们观察下列三个二次函数的图象，①x x y 22+=，②122+-=x x y ，③222+-=x x y .（多媒体展示三个函数图象）.并回答下列问题：(1)每个图象与x 轴有几个交点？(2)一元二次方程22=0x x +，0122=+-x x 有几个实数根？用判别式验证一下。
一元二次方程0222=+-x x 有实数根吗？(3)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根有什么关系？处理方式：让学生以小组为单位进行讨论，充分发表自己的见解,寻求最合理的答案. 教师进行巡视，参与到学生的讨论之中，解答学生的疑难问题，获取信息，为讲解做准备.最后得出结论二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根．设计意图：让学生通过自己动手去画二次函数图象，一方面可以使其进一步复习掌握二次函数图象的画法，巩固已学知识；另一方面使其直观感受到二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交点的三种情况，为探讨二次函数与一元二次方程之间的关系做铺垫，学生很容易发现二者之间的联系，进而降低了课本难度，利于学生理解和掌握新知.三、应用新知，解决问题【问题一】[师]（多媒体展示）我们已经知道，竖直上抛物体的高度)(m h 与运动时间)(s t 的关系可以用公式0025h t v t h ++-=表示，其中)(0m h 是抛出时的高度，)/(0s m v 是抛出时的速度．一个小球从地面被以s m /40的速度竖直向上抛起，小球的高度)(m h 与运动时间)(s t 的关系如下图所示，那么(1)h 与t 的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．处理方式：请大家先进行讨论，发表自己的看法，然后再解答,并找学生板演解题过程．(1) h 与t 的关系式为0025h t v t h ++-=，其中的0v 为s m /40，小球从地面被抛起，所以00=h ．把0v ，0h 代入上式即可求出h 与t 的关系式．(2)小球落地时h 为0，所以只要令0025h t v t h ++-=中的h 为0，，求出t 即可．还可以通过观察图象得到．【问题二】[师]在上面问题一小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m ？你是如何知道的？ 处理方式：先请大家先进行讨论，发表自己的看法，然后再展示学生解题过程． 设计意图：通过这两个实际问题使学生进一步的理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系和联系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想，也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.四、拓展训练, 能力提升1. 二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）2. 若关于x 的函数y =kx 2+2x ﹣1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 .3.一个足球被从地上向上踢出，它距地面的高度)(m h 可以用公式t t h 6.199.42+-=来表示，其中)(s t 表示足球被踢出后经过的时间.⑴作出函数t t h 6.199.42+-=的图像；⑵当1=t ，2=t 时，足球距地面的高度分别是多少？⑶方程06.199.42=+-t t ，7.146.199.42=+-t t 的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？设计意图：对本节课知识进行巩固练习，同时也提升题目的难度，使学生能够综合应用本课所学习的二次函数与一元二次方程之间的关系进行解决问题.提升其解决问题的能力和应用能力.五、归纳总结，深化目标师:同学们经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看. 处理方式： 同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳.设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.六、当堂检测，评价反馈1．对于二次函数y =（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）2．抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．03．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）4．若函数y =mx 2+（m +2）x +m +1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ）A ．0B ． 0或2C ． 2或﹣2D ． 0，2或﹣2 处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本53页，习题2.10第1题（2）、第2题．选做题：关于x 的函数y =（m 2﹣1）x 2﹣（2m +2）x +2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．设计意图：关注学生的个体差异，设置必做题和选做题,使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与发展，体现课标的“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨． 板书设计：。