南洋模范中学数学自主招生试题
2023-2024学年上海南模中学高二上学期数学月考试卷及答案(2023.12)
1南模中学2023学年第一学期高二年级数学阶段考2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．在空间四边形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上依次取E 、F 、G 、H 四个中点，当对角线AC BD =时，四边形EFGH 是______形．2．课本必修第三册80页上介绍了“多面体的欧拉定理”：简单多面体的顶点数V 、棱数E 与面数F 之间具有关系：______3．在边长为3的正方体1111ABCD A B C D −中平面1AB C 与平面11A DC 之间的距离为 ． 4．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取______人．（第4题） （第7题）5．正三棱锥的底面边长为2 cm ，高为1 cm ，则此正三棱锥的侧面积为______cm 2． 6．某医院计划从甲、乙、丙3位男医生和A ，B ，C ，D 4位女医生中随机选派2位到某乡镇义诊，则这2位医生包括甲的概率为______．7．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点C ，D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．8．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，A （B 极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠2穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为______m 3．（第8题） （第9题）9．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D −中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是______． 10．已知三棱锥P ABC −的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，PB 与平面PAC 所成的角为30°，则球O 的表面积为______．11．设函数()(1)1xf x ax x x =+>−，a 是从1，2，3三个数中任意取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则()f x b >恒成立的概率是______．12．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=°，CH xCB = ，()101,01C yCB x y P =<≤≤≤．记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(),f x y③满足(),3f x y =的点P 有无数个；④当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下面说法正确的是（）A．调查方式是普查B．样本是200个球根C．这批花只有196个球根发芽D．这批花约有2%的球根不发芽14．已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的体积为（）AB．3227πC．169πD15．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c（a，b，c∈（0，1）），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（）A．方案一B．方案二C．相等D．无法比较16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是（）A．54 B．108−C．162−D．81−34三、解答题17．面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：15，14，13． （1）求这种疫苗能被研制出的概率；（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率．18．如图所示，正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ′′=． （1）画出原图形并求原图形的面积；（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，说明该几何体是由我们学过的哪些简单几何体构成，并求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O A B C ′′′′的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O B ′′）519．如图，已知长方体1111ABCD A B C D −，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 的中点，求点A 到平面BDF 的距离．6参考答案一、填空题1.菱;2.2V F E +−=50; 5.278.2530π; 9.92; 10.12π； 11.5612.①②③④ 11．设函数()(1)1xf x ax x x =+>−，a 是从1，2，3三个数中任意取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则()f x b >恒成立的概率是______． 【答案】56【解析】当1a =时，()111124111x f x x x x x x x =+=++=−++≥−−−， 当且仅当2x =时等号成立，则2,3b =满足题意； 当2a =时，()112212233111x f x x x x x x x =+=++=−++≥+−−−，当且仅当1x=+时等号成立，则2,3,4,5b =满足题意； 当3a =时，()113313344111x f x x x x x x x =+=++=−++≥−−−当且仅当1x =+时等号成立，则2,3,4,5b =满足题意； 由古典概型的概率公式得:105126P ==. 12．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=°，CH xCB = ，()101,01C yCB x y P =<≤≤≤．记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(),f x y③满足(),3f x y =的点P 有无数个；④当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P．其中所有正7确结论的序号是______．【答案】①②③④【解析】 直三棱柱111ABC A B C −中,11,90AB BB BC ABC ==∠= , 1,(01,01)剟?CH xCB CP yCB x y ==< ,1BB ∴⊥平面111A B C ,又11A B ⊂平面111111,A B C BB A B ∴⊥,11190,90ABC A B C ∠=∴∠= , 1111A B B C ∴⊥,1111111,BB B C B BB B C ∩=⊂、平面1111,BB C C A B ∴⊥平面11BB C C , 对于任意点H ,都存在点P ,使得平面AHP ⊥平面11A B P ,故命题①正确;将ABC ∆绕BC 翻折到平面1BB C 内,则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离,又11,AB BB BC ===190,90ABC B BC ∠=∠= ,112,AC CB AB ∴===∴点A 到直线1B C,()f x,y ∴,故②正确;当()f x,y 取最小值时,P 为1B C 的中点,1AB C ∆ 为等边三角形,点B 为线段1AB 的中点, H ∴为1AB C ∆的重心,13BH BC ∴=,在平面11BCC B 中,延长HP 11,,B C M 交于8111112,,,,3PC PB PB M PCH B PM HPC PB M PCH B M CH =∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴== 取1B M 的中点为,Q N 为11A C 的中点,则MN 1A Q ,11//,,BH B Q BH B Q =∴ 四边形1BB QH 是平行四边形,11//,,HQ BB HQ BB ∴=11111/,,//,//,,,AA BB AA BB A Q AH MN AH A H P =∴∴∴ 过点的三棱柱的截面//,MN AH ∴∴过点,,A H P 的三棱柱的截面为梯形AHMN,AH112MN A Q ==MH =AN ==,过点M 作MG AH ⊥,设,HG x AG y ==,222MH HG AG =+ ,()222AN AG MN NG =−+,22243x y MH ∴+==,222x y =++,x y ∴=,∴四边形AHNM 的面积2MN AH S +=,AG ==∴过点,,A H P,故④正确;当HB 时,32…AH ,则12剟AH HP AH HB AH ++,过H 作HR BC ⊥,垂足为R , 则…AH HP AH HR ++,2,23…AH HR AH HC AH +<+<∴又对于任意的点H ,当HB 时,都存在对应的点P ,满足3AH HP +=,故满足()3f x,y =的点P 有无数个,故③正确. 故答案为:①②③④ 二、选择题13. D 14.A 15. A 16.C15．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c （a ，b ，c ∈（0，1）），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（ ） A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较9【答案】A【解析】设三门考试课程考试通过的事件为A B C 、、,相应的概率为a b c 、、, 则考试三门课程,至少有两门及格的事件为,ABC ABC ABC ABC +++ 其概率()()()11112P ab c a b c a bc abc ab ac bc abc =−+−+−+=++− 设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为2P ,则2131313P ab ac bc =++, 结合121112333P P ab ac bc abc ab ac bc −=++−−++()()()()2222233333211103ab ac bc abc ab ac bc abc ab c ac b bc a =++−=++− =−+−+−>可得12P P >,即用方案一的概率大于用方案二的概率. 故选:A.16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是（ ） A ．54B．108−C．162−D．81−【答案】C【解析】根据题意,如图,把魔方的中间一层转动了45 ,俯视图如图,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,由图形的对称性可知，A CD ∆′为等腰直角三角形, 设直角边为A C x ′=,则斜边为CD =,故(23AB x =+=,可得3x =−.10由几何关系得:2127324A CDS ′∆ =×−=−故所求面积27633161624S =××+×−′−故选C 三．解答题17.（1）35（2）5618．如图所示，正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ′′=． （1）画出原图形并求原图形的面积；（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，说明该几何体是由我们学过的哪些简单几何体构成，并求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O A B C ′′′′的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O B ′′）【答案】（1）1S =×（2）(218.V =π××=π【解析】(1)由正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图,其中1O A ′′=, 得到平面图形OABC ,四边形OABC 是平行四边形,1,OA OB ==如图, ∴原图形的面积1S =×(2)得到的几何体是一个组合体,其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥,另一侧又多出一个相同的圆锥,∴该几何体的表面积为:212S =π×+π×该几何体的体积为:(218.V =π××=π19．如图，已知长方体1111ABCD A B C D −，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所11成角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面1BC F ，并说明理由；（2）若F 为棱11A B 的中点，求点A 到平面BDF 的距离．【答案】（1）当11113B F B A =时,//AE 平面1AC F （2【解析】(1)当11113B F B A =时,//AE 平面1AC F ,证明如下: 延长AE 交CD 于点M ,因为AD ⊥平面11ABB A所以DBA ∠就是直线BD 与平面11ABB A 所成的角,即30DBA ∠= ,所以30AD ABtan == 由AE BD ⊥,所以30DAE ∠= ,2303DM ADtan ==, 在11C D 上取点N ,使得123D N =,连结MN ,1A N , 因为11113B F B A =,则11124,33B F A FC N ===,又11//A F C N ,所以11A FC N 是平行四边形, 则1111//,,//A N FCD N DM D N DM =,则1D NMD 是平行四边形, 所以1111////,MN DD AA MN DD AA ==所以1A AMN 是平行四边形,所以1//AM A N , 所以1//AM C F ,又AM ⊄平面11,BC F C F ⊂平面1BC F ,所以//AM 平面1BC F , 即//AE 平面1BC F;12 (2)因为122ABD S ==,所以113F ABD V −=×=,由长方体的性质可得，BF BD DF =,所以222BF FD BD +=, 所以BF DF ⊥,所以12BDF S ∆=设点A 到平面BDF 的距离为h ,则由A BDF F ABD V V −−=可得,13×所以h =,故点A 到平面BDF;。
上海市南洋模范中学2024-2025学年七年级上学期9月月考数学试题
上海市南洋模范中学2024-2025学年七年级上学期9月月考数学试题一、单选题1．下列各式中，是单项式的有（ ）①23xy ；②5；③2πS r =；④b ；⑤512+>； ⑥2a b +． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个2．某种品牌的彩电降价30%以后，每台售价为元，则该品牌彩电每台原价应为（ ） A ．0.7a 元 B ．0.3a 元 C ．0.3a 元 D ．0.7a 元 3．代数式32x -，4x y -，x y +，22x π+，98中是整式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列各式次数是5次的是（ ）A ．5x yB ．45xy -C ．32xyD ．32x x + 5．下列说法中，正确的是（ ）A ．22x y - 的系数是−2 B ．22x y -的系数是12 C ．2342x y x +-的常数项为2- D ．22422x y x -+-是四次三项式6．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-；…已知按一定规律排列的一组数：1001011021992002,2,2,,2,2L ，若1002S =，用含S 的式子表示这组数据的和是( )A ．22S S -B ．22S S +C ．222S S -D ．2222S S --二、填空题7．单项式3247x y 的系数是． 8．如果单项式14n x y +与23m x y 是同类项，那么n m -的值是．9．将多项式3223232y x y xy x +--按x 降幂排列为．10．计算：﹣x 2y •2xy 3＝．11．用代数式表示：“a 、b 两数平方差的倒数”是．12．当3a =时，代数式22a a -+的值是．13．计算：222234m m m +-=．14．计算：()32a -=．15．若32m =，则23m =．16．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为． 17．按规律排列一组单项式2342,4,8,16a a a a --，…其中第n 个单项式是．18．长方形ABCD 内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的方式放置，S 始终不变，则a ，b 应满足．三、解答题19．计算：2222132832a b ab a b ab +--． 20．化简：3523(32)(23)x y y x ⎡⎤⎡⎤-⋅-⎣⎦⎣⎦． 21．计算：()()23332482a b a a b -+⋅-． 22．运用公式简便计算：2021202013(3)()310-⋅-． 23．已知一个关于x 的整式不含一次项，这个整式与26x x -的和是231x mx -+，求m 的大小并写出这个整式．24．已知3m a =，3n b =，分别求值：(用a 、b 表示)(1)3m n +；(2)233m n +．25．已知22321A x xy x =++-，232B x xy x =++-．(1)先化简2A B -，且当2x y ==时，求2A B -的值；(2)若2A B -的值与x 无关，求y 的值．26．为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）：(1)当a =2时，芳芳家5月份用水量为314m ，则该月需交水费________元；6月份芳芳家交了水费36元，则6月份用水量为________3m （直接写出答案）；(2)当a =2时，亮亮家一个月用了328m 的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费；(3)设某用户月用水量为3m n （20n ＞），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含a ，n 的式子表示）27．阅读理解下列材料：“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：()2222a b a ab b +=++（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为a b +的正方形，其面积为()2a b +．从局部看由四部分组成，即：一个边长为a 的正方形，一个边长为b 的正方形，两个长、宽分别为a ，b 的长方形．这四部分的面积和为222a ab b ++．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即()2222a b a ab b +=++．同理，图2可以得到一个等式：()()22223a b a b a ab b ++=++．根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图3可得等式：___________；(2)由图4可得等式：____________；(3)若0a >，0b >，0c >，且9a b c ++=，26ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有a ，b ，c 的等式．②根据你画的图形可得等式：______________；③利用①的结论，求222a b c ++的值．。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，那么\( f(2) \)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A3. 圆的面积公式是？A. \( \pi r^2 \)B. \( 2\pi r \)C. \( \pi d \)D. \( \pi r \)答案：A4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)答案：A5. 以下哪个数是无理数？A. \( \sqrt{2} \)B. 1.5C. 0.333...D. 1答案：A6. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 17答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。
答案：52. 函数\( g(x) = 2x - 1 \)的反函数是______。
答案：\( g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \)3. 一个数的平方根是4，这个数是______。
答案：164. 已知\( \tan(\theta) = 3 \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)5. 一个等比数列的首项是2，公比是3，第5项是多少？答案：162三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 5| < 4 \)。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷(含解析)
南洋模范中学高三开学考数学试卷2024.09一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知a ，b 均为实数，，则__________.2.的展开式中，常数项为__________.3.已知平面向量，的夹角为，且，，则__________.4.不等式的解集为__________.5.设，，若，则实数a 的取值集合为__________.6.圆的半径的最大值为__________.7.已知__________.8.已知点P 为双曲线（，）右支上的一点，点、分别为双曲线的左、右焦点，若M 为的内心，且，则双曲线的离心率为__________.9.在一座尖塔的正南方向地面某点A ，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点B ，测得塔顶的仰角为，且A ，B 两点距离为7，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为__________.10.已知函数是定义在R 上的奇函数，且任意，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为__________.11.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为__________.12.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前n 项和为，则数列的最小值为__________.(2i)(1i)i(i)a b ++=+ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b π32a = 1b = 2a b += 2146xx x ≥-+{}2540A x x x =-+=∣{10}B xax =-=∣A B A = 2222210x y ax ay a a +++++-=πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 12PF F △121212PMF PMF MF F S S S =+△△△30︒30︒45︒()y f x =x ∈R ()(2)f x f x =-10x -≤<2()log ()f x x =-()()2g x f x =+(1,8)-3,01()ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩1x 2x 120x x ≤<()()12f x f x =216x x -()y f x ={}n x ()()()10n n n n x x f x f x +-'+={}n x ()f x ()y f x =(0,4)-(1)()21f x f x x +=++{}n x ()f x {}n a ()()ln 2ln 2n n n a x x =+--{}n a n S 52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、单选题（本大题共4题，满分20分）13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）A.93B.93.5C.94D.94.514.已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面，，则（ ）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则15.已知函数.若存在，，使得，则的最大值为（ ）A.B. C.D.16.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P 与直线l 上任意一点Q ，称的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列四个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）A.命题①成立，命题②不成立B.命题①不成立，命题②成立C.命题①②都成立D.命题①②都不成立三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D 是AB 的中点.（1）求证：平面；75%αβ//αβm α⊂n β⊂//m n m α⊂n β⊂m n ⊥a β⊥m α⊥n m ⊥//n αn αβ= m α⊂//m β//m n ()2cos 2f x x x =+1t 2[π,2π]t ∈-()()124f t f t =12t t -π2π3π22π{}1212(,)max ,d A B x x y y =--()11,A x y ()22,B x y (,)d P Q (,)d P l (3,1)P :210l x y --=4(,)3d P l =1(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>y k =111ABC A B C -1//BC 1A DC（2）求异面直线与所成角的正弦值.18.已知函数是定义在R 上的奇函数（，）.（1）求的解析式；（2）求当时，函数的值域.19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A 、B 两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A 同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立.（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X ，求X 的分布列及数学期望.20.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.（1）若椭圆上点P 满足，求的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点且法向量为的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R 满足（、），求的最大值.21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有.（1）已知，求曲线在处的切线方程；（2）若且，研究函数的单调性；（3）已知m ，n ，s ，t 均大于0，且，讨论和的大小关系.1A D 1BC 13()3x x a f x b+-=+0a >0b >()f x [0,1]x ∈()()()3191x x g x f x =⋅++-2322:12x C y +=1F 2F 212PF F F ⊥1PF (,0)T t ST 2F (1,)m -OR OM ON λμ=+λμ∈R λμ()[()](()0)v x y u x u x =>xy x =()()ln e xx xy x ⎡⎤'='='⎢⎥⎣⎦()ln ln e e (ln 1)x x x x x ='=+1()(0)x xf x xx +=>()y f x =1x =0a >1a ≠11()(0)4xxa g x x ⎛⎫+=>⎪⎝⎭m n ≠3ts s m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3st t m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答 案一、填空题1.【答案】21【解析】根据可得到，故，，求得，，所以.2.【答案】3【解析】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：.3.【答案】【解析】由题意，可得，所以.4.【答案】【解析】因为，所以恒成立，所以，所以，，所以.5.【答案】【解析】由可得，由于，故，，，因此，，，，，，故实数a 的取值集合为.6.【解析】由可得，当表示圆，即解得a 的取值范围是，半径为(2i)(1i)i(i)a b ++=+22i i 1i a a b ++-=-+21a -=-21a b +=3a =7b =21ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()32631331C C kkkk kk T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭630k -=2k =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2033C 3T x ==222π244444cos 123a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=2a b += []2,32246(2)20x x x -+=-+>2460x x -+>2214646x x x x x x ≥⇔≥-+-+2560x x -+≤(2)(3)0x x --≤23x ≤≤10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2540A x x x =-+=∣{1,4}A =A B A = {1}B ={4}∅{1}B =101a a ∴-=⇒={4}B =14104a a ∴-=⇒=B =∅0a ∴=10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭2222210x y ax ay a a +++++-=2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭23104a a --+>22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是开口向下对称轴为的抛物线，在严格递增，在严格递减，所以7.【答案】【解析】，，故，.8.【答案】2【解析】设内切圆半径为R ，由题意知，所以，即，由点P 为双曲线右支上的一点，则，故双曲线的离心率.9.【解析】设塔高为OP ，如下图所示，由题意知：，，，平面AOB ，，若在C 处的仰角最大，即最大，则取得最大值，，当OC 取得最小值时，最大，=2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭23a =-22,3⎛⎫--⎪⎝⎭22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭23a =-78-π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭ 1cos 2αα+=11cos 24αα+=π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212PMF PMF MF F S S S =+△△△121211112222PF R PF R F F R ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅12PF PF c -=122PF PF a c -==2ce a==()909030150AOB ∠=︒+︒-︒=︒30PAO ∠=︒45POB ∠=︒PO ⊥7AB =PCO ∠tan PCO ∠tan OPPCO OC∠=∴tan PCO ∠设，则，，，解得：，，，，当时，OC 最小，即若在C 处的仰角最大，则C 点到塔底O.10.【答案】【解析】奇函数，对于都有，，则，即，则函数是周期为4的周期函数.且关于直线对称，作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，，所以，，，，则，故在内所有的零点之.OP h =tan OP OA PAO ==∠tan OPOB h PBO==∠2222222cos 4749AB OA OB OA OB AOB h h ⎛∴=+-⋅∠=-⨯== ⎝h =OA ∴=OB =111sin 222AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠=⨯=△OC AB ⊥min()1722AOB S OC AB ∴===△794()y f x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-()(2)(2)f x f x f x ∴=-=--(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 12()x k k Z =+∈()y f x =2y =-1x 2x 3x 4x 5x ()21log 2x -=-114x =-2332x x +=4572x x +=123451792044x x x x x ++++=-+=(1,8)-79411.【答案】【解析】结合解析式可知当时，；当时，.因为，所以.令，得，则，故.令，则，令得；令得，所以函数在上严格递减，在上严格递增，所以，当时，，因为，所以.所以的取值范围为.12.【答案】【解析】由二次函数最低点为可知：，又，所以，则.由题意得，又由，得，因为，所以，即，又，，所以，则，即，322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦01x ≤≤()[0,3]f x ∈1x >()(0,)f x ∈+∞()()12f x f x =123ln x x =ln 3x =3e x =321e x <≤212262ln x x x x -=-()3()2ln 1e g t t t t =-<≤22()1t g t t t-'=-=()0g t '<12x <<()0g t '>32e x <≤()2ln g t t t =-(1,2)(32,e ⎤⎦min ()(2)22ln 2g t g ==-1t →()1g t →()33e e 61g =->3max ()e 6g t =-216x x -322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦5112-(0,4)-2()4(0)f x ax a =->22(1)()(1)44(21)21f x f x a x ax a x x +-=+--+=+=+1a =2()4f x x =-()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-()()()10n n n n x x f x f x +-'+=()21240n n n n x x x x +-+-=20n x ->0n x ≠2214422n n n n n n x x x x x x +-+=-=()21222n n n x x x +++=()21222n n nx x x +--=()()21212222n n n n x x x x ++++=--1122ln 2ln 22n n n n x x x x ++++=--12n n a a +=故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，.令，则，故当时，，当时，，故.二、单选题13.【答案】A【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数是第8个数93，故选：A.14.【答案】D【解析】对于A ，若，，，则m ，n 可能平行，也可能异面，A 错误；对于B ，若，，，则可能有，也可能有，也可能平面，相交，B 错误；对于C ，若，，则有可能是，也可能，C 错误，对于D ，根据线面平行的性质定理可知若，，，则，正确，故选：D.15.【答案】D 【解析】由，因，必有，或者，，由，，分别得到，.于是，，或者，，得的最大值为，故选：D.16.【答案】D【解析】对于①，设点Q 是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，{}n a 12n n a -=21n n S =-()552122n n n n n c S ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(8)22n n n c c n -+-=-⋅-8n ≤1n n c c +<9n ≥1n n c c +>()9min 5112n c c ==-75%107.5⨯=75%//αβm α⊂n β⊂a α⊂b β⊂a b ⊥a β⊥//a βαβm α⊥n m ⊥//n αn α⊂n αβ= m α⊂//m β//m n π()2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()()124f t f t =()12f t =()22f t =()12f t =-()22f t =-ππ22π62x k +=+ππ22π62x k +=-ππ6x k =+ππ3x k =-1t 25ππ7π,,666t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭1t 2π2π5π,,333t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭12t t -2π21y x =-(,21)Q x x -(,)max{|3|,|22|}d P Q x x =--|3||22|x x -≥-513x -≤≤(,)|3|d P Q x =-53x =43|3||22|x x -<-53x >1x <-(,)|22|d P Q x =-(,)d P Q 44(3,),,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上可得，P ，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；对于②，定点、，动点，满足，可得P 不y 轴上，P 在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点.故②正确；综上可得，故选：C.三、解答题17.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接交于O ，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以O 是的中点，而D 是AB 的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以在直三棱柱中，所有棱长均为4，431(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>12F F ()2x c c x a +--=x a =x a =-()()12,,2d P F d P F a -=2x c y a +-=y k =1AC 1AC 111ABC A B C -11AAC C 1AC 1//OD BC OD ⊂1A DC 1BC ⊂/1A DC 1//BC 1A DC 1//OD BC 1A D 1BC 1A DO ∠11AAC C 1112A O A C ===111ABC A B C -因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数是R 上的奇函数，则有，解得，即，，，即，，解得，经验证得，时，是奇函数，所以.（2）由（1）知，，当时，，因此当时，，当时，，所以所求值域为.19.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，A 同学连胜2场或连败2场，则其概率.（2）由题可知，X 的取值可能是2，4，6，由（1）知，，当时，前2场打平，后两场A 连胜或连败，11BB C C 112OD BC ===111ABC A B C -1A D ===1cos A DO ∠==1sin A DO ∠===()313()13x xf x -=+1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13()3x x a f x b+-=+3(0)01a fb -==+3a =133()3x x f x b +-=+x ∀∈R 111333333()()3313x x x xx x f x f x b b b-+++-----===-=-+⋅++x ∀∈R 313xxb b ⋅+=+1b =3a =1b =()f x ()313()13x xf x -=+()()22131()()319133913332324x x x x x x x g x f x +⎛⎫=⋅++-=-+-=-⨯+=-- ⎪⎝⎭[0,1]x ∈133x≤≤332x =min 1()4g x =-1x =max ()2g x =1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦59266812211533339P =⨯+⨯=5(2)9P X ==4X =则，，所以分布列为：，所以数学期望.20.【答案】（1（2）（3）【解析】（1）因为，所以设点，则，所以，即，所以；（2）设，则，，则，所以，，要时取最小值，则必有，所以；（3）设过点且法向量为的直线l的方程为，，，22112221212120(4)C C33333381P X⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16(6)1(2)(4)81P X P XP X==-=-==2465201698181⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭52016266[]2469818181E X=⨯+⨯+⨯=t≥224m+212PF F F⊥(1,)P t2112t+=||t=2PF=122PF a PF=-==(,)S m n2212mn+=m⎡∈⎣22222222||()212122m mST m t n m tm t tm t=-+=-++-=-++2221||(2)12ST m t t=--+m⎡∈⎣m=2||ST2t≥t≥2F(1,)m-10x my--=()11,M x y()22,N x y联立，消去x 得，则，，则，，又，又点R 在椭圆C 上，则，所以，即，所以，所以，所以，即的最大值为.21.【答案】（1）略；（2）在上单调递增；（3）略.【解析】（1）略（2）依题意，，，221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210m y my ++-=12222m y y m -+=+12212y y m -=+()2121222242222m x x m y y m m -+=++=+=++()222212121222222211222m m m x x m y y m y y m m m ---+=+++=++=+++()1212,OR OM ON x x y y λμλμλμ=+=++ ()()22121212x x y y λμλμ+++=()22222222112211222222x x x x y y y y λλμμλλμμ+++++=()()()2222221112122222222x y x x y y x y λλμμ+++++=22222222222222m m m λλμμ⎛⎫-+-+++= ⎪++⎝⎭2222222212222222m m m m m λλμμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭224m λμ+≤λμ224m +(0,)+∞()1ln 1ln 41()e 4x a x x x a g x +-⎛⎫+== ⎪⎝⎭0x >求导得，，设，，求导得，由，得，由，得，则函数在上严格递减，在上严格递增，因此，从而，所以在上严格递增.（3）略()()ln 1ln 42ln ln 1ln 41()e x x x a x x a a x a a g x x +--+++'=⋅()()()()()ln 1ln 42ln 1ln 11ln 4e 1x a x x x x x x x a a a a a x a +--++++=⋅+0x v a =>()ln (1)ln(1)(1)ln 4h v v v v v v =-++++4()ln ln(1)ln 4ln1v h v v v v '=-++=+()0h v '>13v >()0h v '<103v <<()h v 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭111444()ln ln ln 4ln 30333333h v h ⎛⎫≥=-+=> ⎪⎝⎭()0g x '>()g x (0,)+∞。
2015上海南洋模范中学自主招生各科试题分析
南模的这套自招真题是该校2015年第一批自招考试原题，涵盖语、数、英、物、化五门学科，五科具体分值为：数学60分、英语和物理各30分、语文和化学各15分。
当然每年各科分值都会有变化，比如2016年就提高了语文与英语的分值。
但总体来说，南模中学的数学是其传统强势学科，难度大、分值高、范围广是其不变的特点；而这一届外语又考得特别难，基本都是高中的知识点。
当然，语文学科近几年要求同样越来越高，这与上海未来高考改革方向是吻合的。
语文部分：解析：名句默写基本是很多学校自招语文的必备版块。
但同学必须认清一点：课内名句积累不能缺，课外名句更要拓展。
而且，自招里面非常喜欢以“理解题”的形式来考名句默写，因此光背出来是不够的，还必须吃透、读懂。
上述的第3题、第5题、第6题其实都是中考的考纲篇目，对于优秀的学生而言这3分不难拿。
但第1题、第2题、第4题都是课外的，《虞美人》和《琵琶行》考的都是其中的千古名句。
《一代人》里的这一句“黑夜给了我黑色的眼睛，我却用它寻找光明”很多同学都知道，但却未必了解它的出处。
解析：古诗阅读版块一共4分。
这首李白的《送友人》其实很多同学都学过，而且读来朗朗上口，但是下面两道考题却很有难度。
第6题考察文学常识，问“萧箫斑马鸣”的出处。
据我了解，这题在考场上的得分率仅为18%，远低于一般选择题连蒙带猜的准确率，那就很值得深思了。
这题答案是A。
我曾把这道题拿给初三自招班的同学来做，很多孩子首先排除的就是A，他们记得我在课堂上说过五言诗成熟的标志是《古诗十九首》，而魏晋南北朝均以五言诗居多。
《诗经》呢？属于四言诗，似乎应该排除掉。
但其实这个思考角度不成立，因为古体诗与近体诗完全是不同门类，这首五律与魏晋南北朝时期的五言古诗并无关联。
更何况，古代作家一般都忌讳照搬前人的“原句”。
深度拓展：其实这道题就是在比大家平时的积累。
《诗经》是自招里面作为先秦文学最重要的考点之一，那么《诗经》里有哪些自招必考知识点？——比如“六义”分别指什么？哪部分是其精华？何谓“思无邪”？何谓“风骚”？《诗经》的历史价值？以及核心名句积累。
上海南模中学自招题目
上海南模中学自招题目
南洋模范中学的自招题目一般包括语文、数学、英语、物理、化学等多个科目，难度较高，注重考察学生的综合素质和学科能力。
以2022年南洋模范中学自招题目为例，语文科目可能包括填空题、选择题、阅读理解题、作文等题型，注重考察学生的语言表达能力、阅读理解能力和写作能力。
数学科目可能包括选择题、填空题、解答题等题型，注重考察学生的数学基础知识和数学思维能力。
英语科目可能包括听力理解题、阅读理解题、写作题等题型，注重考察学生的英语语言运用能力。
物理和化学科目可能包括实验题、计算题等题型，注重考察学生的实验操作能力和分析解决问题的能力。
由于每年南洋模范中学自招题目可能会有所不同，建议您通过学校官网或相关网站获取最新的自招题目信息。
同时，也可以通过平时的学习和积累，提高自己的学科能力和综合素质，为将来的自招考试做好充分的准备。
2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案
—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．空间两直线所成的角大小的取值范围是.2．如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，则平面11A B C 与平面ABC 所成的锐二面角的大小为.3．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则l r =.4．以下四个命题中，所有真命题的序号为.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形.5．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为11A B 的中点，则异面直线AM ，1BD 所成的角的大小为.6．已知在圆锥SO 中，底面圆O 的直径2AB =，SAB △的面积为，点M 在母线SB 上，且13SM SB =，一只蚂蚁若从A 点出发，沿圆锥侧面爬行到达M 点，则它爬行的最短距离为.7．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12BB =，1AB AD ==，E 为1AA 的中点，则1A 点到平面DCE 的距离为.8．已知αβ､是两个相交平面，空间两条直线12l l ､在α上的射影是直线1212,,S S l l ､在β上的射影是直线12t t ､.用1S 与2S ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件：.9．已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为34R 和R ，高为2R ，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为.10．已知正四面体ABCD 中，2AB =，1P ，2P ，L ，n P 在线段AB 上，且112AP PP ==1n n n PP P B -⋅⋅⋅==，过点()1,2,,k P k n =⋅⋅⋅作平行于直线AC ，BD 的平面，截面面积为k a ，则所有截面积之和为.（公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）11．在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M 是棱1CC 的中点，N 是侧面11B BCC 内的动点，且满足直线1//A N 平面1AD M ，当直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小时，记过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S =．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,F P 分别为线段1AC 和平面1111D C B A 上的动点，点G 为线段1B C 的中点，则PGF 周长的最小值为.二、单选题13．如图、用斜二测画法作△ABC 的直观图得△111A B C ，其中1111A B B C =，11A D 是11B C 边上的中线，由图形可知，在△ABC （D 是BC 的中点）中，下列结论中正确的是（）A ．AB BC AC ==B ．AD BC⊥C ．AC AD AB BC>>>D ．AC AD AB BC>>=14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B15．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为1V ､2V ､3V ，则（）A ．123V V V =+B ．222123V V V =+C ．222123111V V V =+D ．123111V V V=+16．已知P 是正方体1111ABCD A B C D -的中心，过点P 的直线l 与该正方体的表面交于E 、F 两点，现有如下命题：①线段EF 在正方体6个表面的投影长度为()1,2,,6i t i =⋅⋅⋅，则61i i t =∑为定值；②直线l 与正方体12条棱所成的夹角的()1,2,,12i i α=⋅⋅⋅，则1212cos i i α=∑为定值.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AD AB ==，12AA =，E ，F 分别是AB ，11A D 的中点.（1）求证：直线//EF 平面11BB D D ；（2）求直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值.18．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，N ，M分别为AB ，1CC 的中点，且AB AC =，12AA AB =.(1)求异面直线CN 和1B M 所成角；(2)求二面角11A MB C --的正切值.19．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数()21xf x x =+，()0x >的图像上，设C 、D 的纵坐标为t .(1)求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积()V t 和表面积()S t 关于t 的表达式；(2)求()V t 、()S t 的取值范围.20．对于函数()y F x =和数列、，若()n a F n =，()n F b n =，则称为函数=的“影数列”，为函数=的一个“镜数列”.已知()2f x x =，()2log g x x =，()2x h x x =+.(1)若为=的“影数列”，为=的“镜数列”，求24a b +的值；(2)在（1）的条件下，当5n ≥，n ∈N 时，比较n a 和n b 的大小，并说明理由；(3)若{}n c 为函数()y h x =的“影数列”，{}n d 为函数()y h x =的“镜数列”，现将{}n c 与{}n d 的公共项按从小到大的顺序重新构成数列{}n e ，试问在数列{}n e 中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.21．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AD =，2CD =，1A D ⊥平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为θ，设直线1AC 与平面11AA D D ､平面ABCD ､平面11AA B B 所成角的大小分别为α，β，γ.(1)若2ADC θ∠=，求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积V 的取值范围；(2)若2ADC θ∠=且4πθ=，求α，β，γ中的最大值；(3)若2ADC π∠=，()(){g max θαθ=，()βθ，()}γθ，（其中{max a ，}b 是指a ，b 中的最大的数），求()g θ的最小值.。
南模自招试题
I.Choose the best answer.(每题1分，共6分)1.Generally, we never enjoy visiting cities because we know one city is much like ______.A. the otherB. anotherC. the othersD. others2.The girl as well as her classmates dislikes that horrible and bleeding story, ______?A. does sheB. doesn’t sheC. do theyD. don’t they3.Although a young kid, Johnson could resist ______ what to do and what not to do.A. to be toldB. having been toldC. being toldD. to have been told4.Although a young kid, Johnson could resist ______ what to do and what not to do.A. to be toldB. having been toldC. being toldD. to have been told5.The newly - married young couple have bought an apartment in a downtown street ______.A. the same size with yoursB. the same size of youC. as large as yoursD. as large as your size6.At the scene of the accident,people should leave things ______they are until the police arrive.A.asB.whichC.whenD.whatII. Complete the sentences with the given words in their suitable forms(每天1分，共6分)1.The management and unions have reached a ____over new working conditions. (settle)2.We were brought up to be _____of authority. (respect）3.She went to a lawyer for some _____advice.(depend)4.It was a great ______to have the school so neat.(convenient)5.The amount of money you have to spend will ______your choice. (limited)6._______has a debate attracted so much media attention. (rare)Ⅲ.Choose the words and complete the passage:(每题1分，共8分)I played a racquetball game against my cousin Ed last week. It was one of the most __1__ and tiring games I’ve ever had. When Ed first phoned and ___2___ we play, I laughed quietly, figuring on an easy victory. After all, Ed’s idea of exercise has always been nothing more effort-making than lifting a fork to his mouth. ___3___ I can remember, Ed’s been the least physically fit member in the family, and ___4___ proud of himself. His big stomach has always ballooned out between his T-shirt and trousers. Although the family often joked about that, Ed refused to buy a larger T-shirt or to lose weight. So when Ed arrived for our game not only with the bottom of his shirt gathered inside his trousers but also with a stomach you could hardly ___5___, I was so surprised that I was ___6___. My cousin must have made an effort to get himself into shape.As a result, at the point in our game when I’d have predicted(预计) the score to be about 9 to1 in my favor, it was instead 7 to 9 — and Ed was ___7___. The sudden realization waspainful. We continued to play like two mad men. When the score was 16 up, I was having serious ___8___ about staying alive until 21 years old, let alone scoring that many points. When the game finally ended, both of us were lying flat on our backs, too tired to move. In a way, I think we both won: I the game, but cousin Ed my respect.1. A. encouraging B. hopeless C. surprising D. regular2. A. declared B. mentioned C. persuaded D. suggested3. A. As soon as B. As long as C. When D. Since4. A. strangely B. personally C. reasonably D. eagerly5. A. notice B. admire C. believe D. Measure6.A. nervous B. curious C. careless D. speechless7. A. leading B. coming C. waiting D. counting8. A. thoughts B. doubts C. situations D. ProblemsⅢ.Read the passage and fill in the blanks with proper words.(每格2分，共20分)A German taxi-driver, Franz Bussman, recently found his brother who was thought to have been killed twenty years before. While on a walking tour with his wife, he stopped to 1.t_____ to a workman. After they had gone on, Mrs. Bussman said that the workman was 2.c______ like her husband and even suggested that he might be his brother. Franz laughed at the idea, pointing out that his brother had been killed in action during the war. Though Mrs. Bussman knew this story quite well, she thought that there was a 4.c_______ in a million that she might be right. A few days later, she sent a boy to the workman to ask him if his name was Hans Bussman. Needless to say, the man's name was Hans Bussman. And he really was Franz's long-lost brother. When the brothers were 5.r________, Hans explained how it was that he was still 6.a______. After having being wounded towards the end of the war, he had been sent to hospital and was 7.s________from his unit. The hospital had been bombed and Hans had made his 8.w______ back into Western Germany on foot. 9.M_________, his unit was lost and all records of him had been destroyed. Hans returned to his family house, but the house had been bombed. Guessing that his family hadbeen killed during an air-raid(空袭), Hans settled down in a village fifty miles away where he hadremained ever since.(三)I.Choose the best answer.(每题1分，共6分)1. _____ you lose your key, please keep a spare one in your office.A. As long asB. ThoughC. UnlessD. In caseWas it when you were talking with a friend under the tree ______ your bike was gone?A.thatB. whereC. whichD. While2.Teachers always remind us of some reading skills _____ we should pay attention.A. about whichB. to whichC. with whichD. on which3.Exercise 3 is _____ difficult in this book, so all the students finish it successfully.A. leastB. the leastC. moreD. the most4.A number of art works are believed _____ during World War II.A.being stolenB.having been stolenC.to be stolenD.to have been stolen5.I've tried very hard to improve my English .But by no means ________ with my progress.A.the teacher is not satisfiedB.is the teacher not satisfiedC.the teacher is satisfiedD.is the teacher satisfiedII. Complete the sentences with the given words in their suitable forms(每天1分，共6分)1.Training is ________unless there is proof that it works.(worth)2.How many members have _______registered in the club?(office)3.He was rewarded by the government for his scientific ________.(achieve)4.H e studied his map, trying to _______the way to Rose’s street.(memory)5.Mail order is a ________for buyers who are too busy to shop.(convenient)6.She is a ________person whose professional skills are known and respected.(knowledge)Ⅲ.Choose the words and complete the passage:(每题1分，共8分)Scientists have known for years that loud noises can ha rm people’s hearing. They believe the ears ___1___sound by sensing energy waves called sound waves that travel through the air from vibrating (振动)objects. Ears amplify （放大）the sound and ___2___it into electrical signals that the interprets as sounds people are listening to.Ears are very ____3__to sound; they can turn up the faint sound of a needle dropping. But because of that sensitivity, ears can’t stand strong bursts of sound like ___4___from an exploding firecracker.Scientists think explosions of sound energy ___5___sensory cells called hair cells that line the inside of a hearing framework called the cochlea(耳蜗).the hair cells help turn sound energy moving through the outer parts of the ear ____6__the electrical signals that the brain interprets as sound.Experts think that big ___7___of sound energy can break hair cells into pieces like tornado tearing apart a building. The broken hair cells ___8___die. The result is gradual, permanent(永久的)hearing loss.( ) 1.A discover 2.B find 3.C measure 4.D realize( ) 2.A guide 2.B lead 3.C decide 4.D translate( ) 3.A accustomed 2.B keen 3.C sensitive 4.D sharp( ) 4.A one 2.B that 3.C these 4.D those( ) 5.A change 2.B damage 3.C impress 4.D train( ) 6.A out of 2.B into 3.C onto 4.D towards( ) 7.A radiation 2.B flow 3.C waves 4.D rays( ) 8.A eventually 2.B possibly 3.C terribly 4.D worthlesslyⅢ.Read the passage and fill in the blanks with proper words.(每格2分，共20分)Mrs Brown had just finished cooking when she heard a knock at the door. She was surprised because the postman and the milkman had already been there, and she wasn't g 1 any visitors. She went into the front room,and, pulled curtain back a little, and looked out of the window to see who it was. A man was standing on the s 2 leading to the front door.He was a tall man wearing an old army coat and a big black hat ,which was fulled forward over his eyes,so it was h 3 to see his face clearly. His shoes, Mrs Brown noticed, were old and dirty and there was a large h 4 in his trousers. He carried a small black bag in his hand.As she looked at him, Mrs Brown remembered stories she had read in the newspapers about old ladies who opened the door to s 5 , and were hit on the head and had their things s 6 . She felt rather frightened. “I'm not going to open the door.” she said to herself. “If I don’t, p7 he'll think there's no one in and go away.” She let the curtain fall back into place and w8 . The man looked round him q9 , but his hand in his pocket, drew out his keys, and began to t10 them one by one in the front door. Seeing this, Mrs. Brown immediately ran to telephone the police.。
上海南洋模范中学数学中考第一次模拟真题 2023
上海南洋模范中学数学中考第一次模拟真题2023本文为上海南洋模范中学数学中考第一次模拟真题 2023 的解析。
第一题：填空题（共10小题，每小题2分）1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，若数列的第n项是20，则n等于______。
解析：将an = 3n + 2 代入，得到 3n + 2 = 20，解方程得 n = 6。
2. 在平面直角坐标系中，已知图中四个顶点坐标分别为A(-3, 4)，B(3, 0)，C(-3, -4)，D(-9, 0)。
四边形ABCD的面积为______。
解析：计算向量AB和向量AD的模长，AB = √[(-3 - 3)^2 + (4 -0)^2] = √40，AD = √[(-9 + 3)^2 + (0 - 0)^2] = 6。
则四边形ABCD的面积为1/2 * AB * AD = 1/2 * √40 * 6 = 3√10。
3. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) = 7，则x = ______。
解析：将f(x) = 7代入，得到2x - 3 = 7，解方程得x = 5。
4. 在直角坐标系中，曲线y = x^2 - 4x的图象与x轴的交点为______。
解析：将y = x^2 - 4x = 0，解方程得到x = 0和x = 4，所以曲线与x 轴的交点为(0, 0)和(4, 0)。
5. 几何图形中，如果三角形的内角和为180°，则外角和为______。
解析：外角等于其对应内角的补角，所以外角和为360°。
6. 直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，那么斜边长为______。
解析：根据勾股定理，斜边长等于√(3^2 + 4^2) = 5cm。
7. 某商场原价为100元的商品，打了8折，再打5折，最终售价为______元。
解析：打8折相当于原价乘以0.8，再打5折相当于原价乘以0.5，所以最终售价为100 * 0.8 * 0.5 = 40元。
南洋模范中学数学自主招生试题
南洋模范中学自主招生试题（一）填空题1.不等式322->-x x 的解集是 2.函数f(x)=的定义域是11+-x x 3.方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-yx xy x y x 214222的解是 4.如果函数y=(m-2)x+m 的图像不经过第三象限，那么m 的取值范围是5.若a,b 是关于x 的方程03)2(2=+-+x m x 的两个根，则)3)(3(22++++mb b ma a 的值是6.如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，过点C 作圆O 的切线交AB 的延长线于点D,若=∠︒=∠D ABC ，则707.已知9=∆AB ABC 中，,AC=5，那么中线AD 的取值范围是8.如图，，︒=∠30ABC BC=4，D 是线段BC 的中点，E 是射线BA 上一动点，则CE+ED 的最小值是DAC B第6题图 第8题图（二）解答题1.某商场为解决我市停车难的问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，期中，︒=∠⊥18,BAD BD AB C 在BD 上，BC=0.5m,根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾驶车辆能否安全驶入，小明认为CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE 的长作为限制的高度，请问谁说的对？请判断并算出正确的结果(精确到0.1m)（参考数据：32.018tan ,95.018cos ,31.018sin ≈︒≈︒≈︒)2.直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA,与反比例函数的图像交于点B(6，m)，与y轴交于点C(1)求经过A,B,C三点的二次函数解析式(2)设经过A,B,C三点的二次函数图像的顶点为D,对称轴与x轴的交点为E,问：在二次函数相似？若存在，求出点P的的对称轴上是否存在一点P,使O,E,P为顶点的三角形与BCD坐标，若不存在，说明理由！。
2020-2021学年上海市南洋模范中学高二下学期开学考试数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市南洋模范中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．“列向量12a a ⎫⎛⎪ ⎝⎭和12b b ⎫⎛⎪ ⎝⎭不平行”是“二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由二元一次方程组的解得唯一性及两向量平行的充要条件可得解．【详解】解：二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解充要条件为1221a b a b ⇔≠，⇔向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行， 即列向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的充要条件，故选：C ．2．已知m ， n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行与垂直的性质定理与判定定理一一判断即可； 【详解】解：由m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若//m α，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故B 错误． 在C 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故C 错误；在D 中，若m α⊥，//n α，则由线面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确； 故选：D ．3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.【详解】对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得()()1122220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故②不正确； 对于③：当0z =时，满足22z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知直线20l y ++=与椭圆2212516x y Γ+=：交于,A B 两点，直线1l 与椭圆T 交于,M N两点，有下列直线1:l 20y --=；②20x +-=20y +-=；20y -+=，其中满足OAB 与OMN 的面积相等的直线1l 可以是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②③④【答案】B【分析】根据椭圆的轴对称性和中心对称性的性质，将直线l 进行平移和旋转使之到原点的距离不变，则由对称性可得对应弦长相等，从而可得面积相等，得出答案.【详解】原点()0,0到直线20l y ++=的距离为1d ==将直线直线l 向右平移到1l 的位置（如图1），使得原点()0,0到直线1l 的距离为1.设10l y c ++=，由1d ==，解得2c =-此时120l y +-=，由椭圆的对称性可得直线1,l l 截椭圆的弦满足AB MN = 所以此时OAB 与OMN 的面积相等，所以③正确.选项②中，原点()0,0到直线20x -=1=又直线20x +-=与直线20l y ++=关于直线y x =-对称 而椭圆Γ不关于直线y x =-对称，则两直线截椭圆的弦长不等. 所以OAB 与OMN 的面积不相等，所以②不正确.将直线1:320l x y +-=绕原点旋转180︒，作出直线l 关于原点对称的直线1l '（如图2）此时直线'1l ：320x y --=由对称性可知原点()0,0到直线1l '的距离为1.根据直线l 和1l '关于原点对称，椭圆也关于原点对称，所以直线1,l l '截椭圆的弦满足AB MN =.所以此时OAB 与OMN 的面积相等，所以①正确.将直线1l '：320x y --=向左平移，使得原点()0,0到直线1l '的距离为1.同理可得此时直线的方程为：320x y -+=由椭圆的对称性可得OAB 与OMN 的面积相等，所以④满足 故选：B【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的对称性的应用，解答本题的关键是根据椭圆的对称性将直线l 进行平移和旋转使得到原点的距离不变和截椭圆的弦长不变着手思考，得出答案，属于中档题. 二、填空题5．与(3,4)a =平行的单位向量0a =__________； 【答案】34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【分析】根据单位向量的求法即可得出与(3,4)a =平行的单位向量的坐标． 【详解】解：(3,4)a =，∴与a 平行的单位向量0134(3,4)(,)||555a a a =±=±=±． 故答案为：34(,)55±．6．已知复数()()312a i i ++是纯虚数，则实数a 的值为__________． 【答案】6【分析】先对复数()()312a i i ++进行化简，结合纯虚数可求实数a 的值. 【详解】因为()()3126(23)i a i i a a ++=-++为纯虚数， 所以60a -=且230a +≠，即6a =. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及纯虚数的概念，侧重考查数学运算的核心素养. 7．直线10x y ++=与直线210x y -+=的夹角的大小等于__________； 【答案】arctan3【分析】由题得直线10x y ++=的倾斜角为34π，设直线210x y -+=的倾斜角为α，且1tan 2α=，设直线10x y ++=与直线210x y -+=的夹角为β，解方程3|tan ||tan()|4βπα=-即得解.【详解】由题得直线10x y ++=的倾斜角为34π，设直线210x y -+=的倾斜角为α，且1tan 2α=， 设直线10x y ++=与直线210x y -+=的夹角为β，所以11331tan 2,|tan ||tan()|||||31441tan 12ααβπβπαα----+=∴=-===--， 所以tan 3,arctan3.ββ=∴= 故答案为：arctan38．焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____. 【答案】22144x y -= 【分析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x y a a a -=>，=2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y -=. 故答案为：22144x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.9．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为．【答案】2．【详解】画出约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如图，由可行域可知，目标条件z x y =+经过点(2,0)A 时取得最小值2. 故答案为：2.10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b a c abb--=，则角C 的大小是______. 【答案】3π 【分析】根据行列式列出三边满足的关系式,再利用余弦定理求解即可. 【详解】由题有222222a c b ab c a b ab -=-+⇒=+-.由余弦定理有2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈,故3C π=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查了行列式的运算以及余弦定理的运用,属于基础题型. 11．若圆锥曲线22125x y k k +=-+的焦距与实数 k 无关 ，则它的焦点坐标是______ .【答案】(0,【详解】因为()()527k k +--=为定值，所以，它表示焦点在y 轴上的椭圆，且c =故它的焦点坐标应该是(0,.12．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点，则11||||AF BF +的取值范围为________. 【答案】4[1,]3【分析】利用椭圆的定义设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，构造函数()[]11134f x x x x=+∈-，，，利用导数求其范围即可． 【详解】取椭圆左焦点F ′，连接AF ，BF ，AF ′，BF ′，易知四边形AFBF ′为平行四边形，即有|AF |+|BF |＝|AF |+|AF ′|＝2a ＝4， 设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，故11114AF BF x x+=+-， 令()[]11134f x x x x=+∈-，，，则()()222222228211(4)'(4)(4)(4)x x x f x x x x x x x ---=-==---，易知函数f （x ）在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增， ∴()()()4()13()213max min f x f f f x f =====，，即11AF BF +的取值范围为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 故答案为：413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．13．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅= ⎝⎭()θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan 4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()maxOP OQ⋅=..【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.14．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1a ，2a ，…，2021a 的方差为1 λ，数据11S ，22S ，33S ，…，20212021S 的方差为2λ，则12λλ=__________；【答案】4【分析】先由题设得到nS n与n a 的关系式，再利用具有线性关系的变量之间的方差公式求得结果即可．【详解】解：由题设可得：11()1222n n n n a a S a a n n +==+，又数据1a ，2a ，⋯，2021a 的方差为1λ，数据11S ，22S ，33S ，⋯，20212021S 的方差为2λ，∴122141()2λλ==， 故答案为：4．15．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条. 【答案】4【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数．【详解】解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A1=AC 4是满足条件的直线． 故答案为4．【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题． 16．若实数x 、y满足x -=x 的取值范围是______. 【答案】{}0[4,20]⋃【详解】()0a b a b =≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=.于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集.{}0⎡⋃⎣.从而，{}[]2204,20x a b =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设()()22log 3i log 3z x x =++⋅-，其中i 为虚数单位，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限；（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上． 【答案】（1）(3,2)--；（2）x =【分析】（1）根据题意得到点()22log (3),log (3)x x +-在第二象限，列出不等式组，结合对数的运算性质，即可求解；（2）根据题意得到点()22log (3),log (3)x x +-在直线20x y +-=上，代入直线方程，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】（1）由题意，复数()()22log 3i log 3z x x =++⋅-对应的点在第二象限， 即点()22log (3),log (3)x x +-在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，即03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-，综上所述，实数x 的取值范围为(3,2)--．（2）由复数z 在复平面内对应的点在直线20x y +-=上， 即点()22log (3),log (3)x x +-在直线20x y +-=上，可得22log (3)log (3)20x x ++--=，即2log (3)(3)2x x +-=，即(3)(3)4x x +-=，解得x =x = 所以实数x的值为x =18．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上一点． （1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D 成45角；（2）当点E 在棱AB 上移动时，求证：异面直线1C E 与1A D 所成角的大小为定值．【答案】（1）AE =（2）证明见解析．【分析】（1）方法一：由线面角点的定义可知1ED A ∠即为1D E 与平面11AA D D 所成角，在1Rt ED A 中，根据145ED A ∠=可求得结果；方法二：以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可构造方程求得结果；（2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，由异面直线所成角的向量求法可求得异面直线1C E 与1A D 垂直，由此可得结论.【详解】（1）方法一：长方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱AB 上移动，∴EA ⊥平面11AA D D ，∴1ED A ∠即为直线1D E 与平面11AA D D 所成的角，则在1Rt ED A 中，145ED A ∠=，1AE AD ∴=方法二：以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则点()10,0,1D ，平面11AA D D 的法向量为()0,2,0DC =，设()1,,0E y ，则()11,,1D E y =-，由11sin4D E DC D E DCπ⋅=⋅得：y =AE =（2）以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,2,1C ，设点()1,,0E y ，()11,2,1C E y ∴=--，()11,0,1A D =--，111111cos ,0C E A D C E A D C E A D⋅∴<>==⋅，11C E A D ∴⊥，∴异面直线1C E 与1A D 所成角的大小为定值90.19．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点(3,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.（1）若军营所在区域为222x y Ω+≤：，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为22x y Ω+≤’：，求“将军饮马”的最短总路程.【答案】（1（2【分析】（1）根据利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出A 关于河岸线的对称点'A ，根据对称性质和圆的性质即可求得；（2）先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到'A 最近，即可求得.【详解】（1）若军营所在区域为22:2Ωx y +，圆：222x y +=， 作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，'A 为A 关于直线4x y +=的对称点， 因为()3,0A ,所以()'4,1A .则总路程||||||||PB PA PB PA '+=+， 要使得路程最短，只需要||||PB PA '+最短， 即点A '到军营的距离最短，即点A '到222x y +的最短距离，为OA ' （2）若军营所在区域为:||2||2Ωx y +，对于||2||2x y =+，在x ≥0，y ≥0时为22,x y +=令0x =,得1y =,令0y =,则2x =,图象为连接点()0,1和()2,0的线段，根据对称性得到||2||2x y =+的图象如图所示的菱形，Ω':22x y +为这个菱形的内部(包括边界).作图如下：由图可知，最短路径为连接()2,0点和'A 的连线，交直线4x y +=于点P ,饮马最佳点为P ，所以点A '到区域Ω最短距离A B ='即“将军饮马”【点睛】本题考查圆的性质，点关于直线的对称点，和对称的性质，考查路程最值问题，属应用题，关键在于利用数形结合思想，利用对称性解决问题.20．已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O . （1）求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用,m n 表示）；（2）设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q .问：在x 轴上是否存在定点T ，使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程.【答案】（1）2214y x -=；(0,).1n P m -（2）存在定点T ，其坐标为(2,0)或(2,0)-（3）2.y =+【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得2b a =，由题意可得1a =，2b =，可得双曲线的方程，求出直线AM 的方程，可令0x =，求得P 的坐标；（2）求得对称点N 的坐标，直线AN 方程，令0x =，可得N 的坐标，假设存在T ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，结合M 在双曲线上，化简整理，即可得到定点T ；（3）设出直线l 的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR ，OS 的数量积为0，化简整理，解方程可得k 的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l 的方程．【详解】解：（1）由已知，得1122a a b b a=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩,故双曲线C 的方程为22 1.4y x -= (1,)AM m n =-为直线AM 的一个方向向量，∴直线AM 的方程为1,1x ym n -=-它与y 轴的交点为(0,).1n P m- （2）由条件，得(,),N m n -且(1,)AN m n =--为直线AN 的一个方向向量， 故直线AN 的方程为1,1x ym n -=--它与y 轴的交点为(0,).1n Q m+ 假设在x 轴上存在定点0(,0)T x ，使得TP TQ ⊥,则 由0(,),1n TP x m =--0(,),1n TQ x m =--+及221,4n m -=得 故02,x =±即存在定点T ，其坐标为(2,0)或(2,0),-满足题设条件.（3）由OR OS RS +=知，以OR OS 、为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而.OR OS ⊥由已知，可设直线l 的方程为2,y kx =+并设1122(,),(,),R x y S x y则由22244y kx x y =+⎧⎨-=⎩得22(4)480.k x kx -++= 由2221632(4)16(8)0,k k k ∆=--=->及240,k -≠得28k <且24k ≠（）由121212122248,,(2)(2),44k x x x x y y k x k x k k +=-==++-- 得2222121212122228(1)84(2)(1)2()440444k k k OR OS x x y y k x x k x x k k k +-⋅=+=++++=-+==---故22,k =符合约束条件（）.因此，所求直线l的方程为 2.y =+【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查对称思想的运用，以及两直线垂直的条件，联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点(1,0)F -的距离与P 到定直线4x =-的距离之比为12（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点(,0)(02)M m m <<的距离的最小值为1，求m 的值； （3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于34-，问四边形11ABA B 的面积S 是否为定值？请说明理由【答案】（1）22143x y +=；（2）1m =；（3）是定值，面积S =【分析】（1）由两点间距离公式和点到直线距离公式即可求出动点P 的轨迹C 的方程; （2）利用两点间距离公式能求出||MN .讨论在102m <≤和122m <<,||MN 取得最小值为1时,其对应的x 是否在22x -≤≤,即可得出答案.（3）设()11,A x y ,()22,B x y ,由34OA OB k k ⋅=,得121234y y x x =-,由点()11,A x y ,()22,B x y 在椭圆C 上,得22124x x +=,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条件能即可求出出四边形11ABA B 面积的定值. 【详解】（1）设(,)P x y∵动点(,)P x y 到定点(1,0)F -的距离与(,)P x y 到定直线4x =-的距离之比为1212=化简得:223412x y +=∴ 动点P 的轨迹C 的方程为:22143x y +=（2）设(,)N x y由两点间距离公式得:22222221||()()312344x MN x m y x m x mx m ⎛⎫=-+=-+-=-++ ⎪⎝⎭①当042m <≤,即102m <≤时, 4x m =时,2||MN 取得最小值()2311m-= 解得:223m=即m此时2x > ,故舍去. ②当42m > 即:122m <<时2x =时, 2||MN 取得最小值2441m m -+= 解得:1m =,3m =(舍去)综上所述: 1m =.（3）设()11,A x y ,()22,B x y34OA OB k k ⋅=整理可得:121234y y x x =-点A ,B 在椭圆C 上∴2211314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,2222314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()()222222121212916944x x y y x x ==-- 化简可得:22124xx +=直线OA 的直线方程为110y x x y -= 点B 到直线OA的距离d 1ABA △的面积:11122112ABA SAA d x y x y =⋅⋅=- ∴ 四边形11ABA B的面积为定值【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、圆锥曲线上的动点问题.通过所给条件列出点A 、B 坐标的关系式和四边形11ABA B 的面积表达式,通过化简变形寻找二者之间的联系这是解本题的关键.。
上海市南洋模范中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
上海市南洋模范中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．12x -的倒数为（ ） A ．21x - B ．1 2x - C ．1 2x - D ．以上均不正确 2．计算：()223x 的结果为（ ）A ．24xB ．46xC ．29xD ．49x3．用6，7，8，9制作四道算式，积最小的是（ ）A ．9678⨯B ．7689⨯C ．6789⨯D ．8796⨯ 4．四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 5．有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；③连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；④三角形的三条高相交于一点；⑤各边都相等的多边形为正多边形；⑥所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ） A ．24 B ．28 C ．30 D ．32二、填空题7．0的相反数是．8．使用卡西欧计算器，依次按键，显示结果为．借助显示结果，可以将一元二次方程210x x +-=的正数解近似表示为（精确到0.001）． 9．在实数范围内因式分解：221x -=．10．计算：AB AC BC -+=u u u r u u u r u u u r ．11．某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能打开手机的概率是．12．已知()23A ，，()21B ，，则将点A 向上平移个单位可得到点B ． 13．如图所示的图形是中心对称图形，O 是它的对称中心，E ，F 是两个对称点，则点E ，F 到点O 的距离OE ，OF 的大小关系是：OE OF （填“<”、“=”或“>”）．14．五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了20%，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为x 千米每小时，则根据题意可列方程．15．已知ABC DEF MNQ V V V ∽∽，若ABC V 与DEF V 相似比为15，ABC V 与MNQ V 相似比为23，则DEF V 与MNQ V 相似比为．16．中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的15 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的43，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为 ．17．在平面直角坐标系中，已知()()()3,,5,,,3A m n B m n C m n -++，若线段AC 的垂直平分线与线段AB 交于点P ，线段BC 的垂直平分线与线段AB 交于点Q ，CAB ∠的外角平分线与CBA ∠的外角平分线所在直线交于点M ，连接CP CQ 、，请探究PCQ ∠与M ∠的数量关系． 18．对于一个二次函数2()y a x m k =-+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '-='-≠，则称2x m '-为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =-++“开口大小”为．三、解答题19．先化简，再求值： 22111111x x x x ++-+--，其中x = 20．如图，已知D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 上的点，DE BC ∥，32AD BD =．(1)求DE BC的值； (2)联结BE ，设AB a u u u r r =，BC b u u u r r =，试用向量a r 、b r 表示向量BE u u u r ．21．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB ．测量方案及示意图22．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE 、ED 、DB 组成，已知河底ED 是水平的，=16m ED ，8m AE =，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11m ，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40h 内，水面与河底ED 的距离h （单位：m ）随时间t （单位：h ）的变化满足函数关系()()21198040128h t t =--+≤≤且当水面到顶点C 的距离不大于5m 时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？23．如图，ABC V 中，D 、E 分别为AB AC ，上两点，满足90A ABD ACE ∠+∠+∠=︒，P 为BE 的中点，且OP AC ⊥．（1）求证：AE AB AD AC =g g ；（2）当ADE V 和BCD △相似的时候，求证：BC CE =24．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()25，，()11-，，()42，．(1)求过点A ，B ，C 的抛物线及其对称轴；(2)新定义：如果点P (x ，y )的坐标满足x y xy +=，那么称点P 为“和谐点”，若某个“和谐点”P 到x 轴的距离与C 点到x 轴的距离相同，求P 点的坐标；(3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求ABC V 的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a 和边上格点数量b 的等式．25．如备用图，已知在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．(1)若延长BA 至E ，使A E A B =，以AE 为边向右侧作正方形AEFG ，O 为正方形AEFG 的中心，若过点O 的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF 、BC 于点M 、N ，求线段MN 的长；(2)将矩形绕点A 旋转，得到四边形111A B C D ，使点D 落在直线11B C 上，求线段1BB 的长；(3)E 、F 分别是边BC 、AD 是若把矩形纸片，沿着直线EF 翻折，点A ，B 的对应点分别为A '，B '，交射线AD 于点G ，EB '交AD 于点P ，当CE EF =时，求EG CF的值．。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质摸底数学试卷
上海市南洋模范中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质摸底数学试卷一、填空题1．祖冲之，中国南北朝时期南朝的数学家、天文学家，他推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并提出了π的约率227和密率355113，密率值要比欧洲早1000多年．πR ．（填“∈”或“∉”）2．若集合{}2A x y x ==，{}10B y y x ==≥，则A B =U ．3．若集合{2}A x =∈Z ，{}23B x x =-≤≤，则A B =I4．若集合}R {,|11A x a x a a =-≤≤+∈中至少有2个整数元素，则实数a 的取值范围为5．已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=6．设全集R U =，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（用M ，N 的交，并，补的运算表示）7．已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围为8．若集合2{|0}A x x ax b =++=，2{|60}B x x cx =++=，{}2A B =I ，A B B =U ，则abc = 9．2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为10．设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的“差集”为{|M N x x M -=∈且}x N ∉，若{|M x y ==}，3[]1,N =，则集合M N -=11．对于任意两个正整数m 、n ，定义运算“*”：当m 、n 都是偶数或奇数时，m n m n *=+；当m 、n 中一个为偶数、另一个为奇数时，m n mn *=.在此定义下，集合(){},16M a b a b =*=中的元素个数是12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，选择M 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有种．二、单选题13．疫情封控期间，天山小区发放的物资构成集合A ={生菜，鸡蛋，面包，猪肉}，光华小区发放的物资构成集合B ={西兰花，卷心菜，土豆，鸡蛋}，集合C A B =I ，则C 的实际含义是（ ）A ．天山小区和光华小区发放的所有物资构成的集合B ．天山小区和光华小区发放的相同的物资构成的集合C ．天山小区发放而光华小区没有发放的物资构成的集合D ．光华小区发放而天山小区没有发放的物资构成的集合14．命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．5a ≤D ．5a ≥15．对任意a ，b ，R c ∈，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“4a <”是“3a <”的必要条件，④“a b >”是“22a b >”的充分条件．其中真命题的个数为．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．非空集合A 具有如下性质：①若,x y A ∈，则x A y∈；②若,x y A ∈，则x y A +∈下列判断中，错误的是（ ）A ．1A -∉B ．20222023A ∈C ．若,x y A ∈，则xy A ∈D ．若,x y A ∈，则x y A -∈三、解答题17．⑴当1x >时，求证：2211x x x x+>+； ⑵已知R x ∈，221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-．试证明,,a b c 至少有一个不小于1． 18．不等式220x x -->的解集为A ，关于x 的不等式22(52)50x a x a +++<的解集为B .(1)当4a =-时，用列举法表示A B Z I I ；(2)若集合A B Z I I 中有2021个元素，求实数a 的取值范围.19．对于四个正数x 、y 、z 、w ，如果wx yz <，那么称(),x y 是(),z w 的“下位序对”，(1)对于2、3、7、11，试求()2,7的“下位序对”；(2)设a 、b 、c 、d 均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序对”，试判断c d ，a b ，a c b d ++之间的大小关系．20．已知数集1212{,,,}(1,2)n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 具有性质P ；对任意的i ，(1)j i j n ≤≤≤，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A ．(1)请直接写出一个具有性质P 的数集(2)求证：1211112n n na a a a a a a ---+++=+++L L ． 21．已知A 是R 的非空真子集，如果对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 是封闭集．(1)判断集合{}{}0,1,0,1B C ==-是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；命题p ：若非空集合12,A A 是封闭集，则12A A ⋃也是封闭集；命题q ：非空集合12,A A 是封闭集，则12A A ⋂≠∅是12A A ⋂是封闭集的充要条件；(3)若非空集合A 是封闭集合，设全集为R ，求证：A 的补集不是封闭集。
上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下开学考数学试卷含详解
上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下开学考数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知集合{|21},{|13}A x x B x x =-<<=-<<，则A B = ．2.函数1()1xf x lgx-=+的定义域为．3.化简sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ---=---．4.设()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,0a b αβ≠，若(2021)1f =-，则(2022)f =．5.若8sin sin 52αα=，则cos α=．6.若不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．7.设a 为实数，函数(),0()2,01g x x f x a x x >⎧⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =．8.已知函数2log ,02()25,239x x x f x x <<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()g x f x k =-有两两不同的零点，则实数k 的取值范围是．9.对任意实数2211,(0),||x y y x x x y x y y y≠-+-++++的最小值为．10.将22tan cot 1,2k k Z πααα⎛⎫++≠∈ ⎪⎝⎭写成一个关于tan α的一元二次式和一个关于cot α的一元二次式的乘积，则可表示为．11.设函数()f x 满足22(2)21x f x ax a =-+-，且()f x 在2122,[22]a a a --+上的值域为[1,0]-，则实数a 的取值范围是．12.设曲线C 与函数()()23012f x x x m =≤≤的图像关于直线y =对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.若||,||a c h b c h -<-<，则下列不等式中一定成立的是()A ．||2a b h -<B ．||2a b h ->C ．||a b h -<D ．||a b h->14.“6x k ππ=+，k Z ∈”是“1sin 2x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面外环弧长为60cm ，内环弧长为15cm ，径长(外环半径与内环半径之差）为28cm ，则该扇形的面积为()A ．21050cm B ．2840cm C ．2630cm D ．2210cm 16.已知5cos 3sin cos()A αααϕ-=+，则()A ．34,tan 5A ϕ==-B ．35A ϕ==-C ．35A ϕ==D ．34,tan 5A ϕ==三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得sin α、cos α是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，若存在，求出实数m ，若不存在，请说明理由．18.已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<．（1）求tan 2α的值；（2）求β的值．19.已知函数22()log (23)f x x ax =--+．（1）当1a =-时，求该函数的定义域和值域；（2）如果()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立，求实数a 的取值范围．20.已知函数()y f x =，[,]x a b ∈的图象为曲线C ，两端点(,())A a f a 、(,())B b f b ，点00(),M x y 为线段AB 上一点，其中01a b x λλ+=+，0()()1f a f b y λλ+=+，0λ>，点P 、Q 均在曲线C 上，且点P 的横坐标等于0x ，点Q 的纵坐标为0y ．（1）设()sin f x x =，2[0,3x π∈，3λ=，求点P 、Q 的坐标；（2）设1()f x x =，1[,2]2x ∈，求MPQ ∆的面积的最大值及相应λ的值；（3）设2()2f x x x =-+，[,]x a b ∈，求证：点P 始终在M 点的上方．21.已知实数,,,a b c d 不全为0，给定函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．记方程()0f x =的解集为A ，方程(())0g f x =的解集为B ，若满足A B =≠∅，则称()f x ，()g x 为一对“升次函数”．问：（1）当1a c d ===，0b =时，验证(),()f x g x 是否为一对“升次函数”；（2）若(),()f x g x 为一对“升次函数”，求d 的值；（3）已知(),()f x g x 为一对“升次函数”，若1a =，0c >，方程()0f x =存在正根m ，求c 的取值范围（用含有m 的代数式表示）．答案解析一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知集合{|21},{|13}A x x B x x =-<<=-<<，则A B = ．【答案】(2,3)-2.函数1()1xf x lgx-=+的定义域为．【解析】函数1()1x f x lgx -=+，所以101xx->+，即1x -<<，故函数的定义域为(1,1)-．3.化简sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ---=---．【解析】sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ------(sin )sin cos cos (sin )θθθθθ-=-sin θ=．4.设()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,0a b αβ≠，若(2021)1f =-，则(2022)f =．【解析】(2021)sin(2021)cos(2021)sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=--=-，即sin cos 1a b αβ+=，则(2022)sin(2022)cos(2022)sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=+=．5.若8sin sin 52αα=，则cos α=．【解析】因为8sin sin 52αα=，所以82sin cos sin 2252ααα=，所以sin 02α=或4cos 25α=，所以2cos 12sin 12αα=-=或27cos 2cos 1225αα=-=．6.若不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．【解析】31,21|21||2|3,22131,2x x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-++=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，所以当12x =时，|21||2|x x -++的最小值为52，因为不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，所以215222a a ++≤，所以211022a a +-≤，所以112a -≤≤，所以实数a 的取值范围是1[1,]2-．7.设a 为实数，函数(),0()2,01g x x f x a x x >⎧⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =．【解析】因为()f x 是奇函数，所以(0)20f a =+=，所以2a =-，当0x >时，220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭．8.已知函数2log ,02()25,239x x x f x x <<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()g x f x k =-有两两不同的零点，则实数k 的取值范围是．【解析】数形结合，实数k 的取值范围是5,19⎛⎫ ⎪⎝⎭．9.对任意实数2211,(0),||x y y x x x y x y y y ≠-+-++++的最小值为．【解析】由三角不等式得2222112x x y x y x y y-++≥+-+≥，11||2x x y x y x y y-++≥+-+≥，得最小值为4．10.将22tan cot 1,2k Z πααα⎛⎫++≠∈ ⎪⎝⎭写成一个关于tan α的一元二次式和一个关于cot α的一元二次式的乘积，则可表示为．【解析】222tan cot 1(tan cot )1(tan cot 1)(tan cot 1)αααααααα++=+-=+++-()()2211tan 1cot 1tan tan 1cot cot 1tan cot αααααααα⎛⎫⎛⎫=+++-=++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．11.设函数()f x 满足22(2)21x f x ax a =-+-，且()f x 在2122,[22]a a a --+上的值域为[1,0]-，则实数a 的取值范围是．【解析】记()(2)x g x f =，则22222()(log )(log )2log 1f x g x x a x a ==-+-，所以()f x 在区间2122[2,2]a aa --+上的值域为[1,0]-等价于22()21g x x ax a =-+-在区间2[1,22]a a a --+上的值域为[1,0]-．因为()1[1,0]g a =-∈-，所以2[1,22]a a a a ∈--+，且()g x 在区间2[1,22]a a a --+上的最大值应在区间端点处达到．又(1)0g a -=恰为()g x 在该区间上的最大值，故a 必在区间右半部分，即22(1)(22)222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤，所以实数a的取值范围是⎤⎡⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ．12.设曲线C 与函数()()23012f x x x m =≤≤的图像关于直线y =对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为．【解析】法一：设函数()()23012f x x x m =≤≤上的点()00,P x y关于直线y =的对称点为(),P x y '，由000332y y x x y y ⎧-=⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩，解得2000031112282x y x x x =-=-，要使00x m ≤≤时，2001182x x x =-单调，则2m ≤.故实数m 的取值范围是(]0,2.法二：设l是函数2()(0)12f x x x m =≤≤在点2(,)12M m m 的切线，因为曲线C 与函数23()(0)12f x x x m =≤≤的图像关于直线y =对称，所以直线l关于y =对称后的直线方程必为x a =，曲线C 才是某函数的图像，如图所示，直线y =与x a =的夹角为30︒，所以直线l 的倾斜角为30︒，则直线l的方程为2:()312l y x m m =-+，由22)31212y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22440x x m m -+-=，则△2161640m m =-+=，解得2m =，由图像得02m <≤，所以实数m 的取值范围为(0,2]．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.若||,||a c h b c h -<-<，则下列不等式中一定成立的是()A ．||2a b h -<B ．||2a b h ->C ．||a b h-<D ．||a b h->【解析】|||()()|||||2a b a c b c a c b c h +=---≤-+-<，故选A ．14.“6x k ππ=+，k Z ∈”是“1sin 2x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若1sin 2x =，则26x k ππ=+或526x k ππ=+，k Z ∈，故选D ．15.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面外环弧长为60cm ，内环弧长为15cm ，径长(外环半径与内环半径之差）为28cm ，则该扇形的面积为()A ．21050cm B ．2840cm C ．2630cm D ．2210cm 【解析】设外环半径1r ，内环半径2r ，圆心角α，则121228,60,15r r r r αα-===，则()1275r r α+=，所以()()()222121212111050cm 22S r r r r r r =-=+-=，故选A ．16.已知5cos 3sin cos()A αααϕ-=+，则()A ．34,tan 5A ϕ==-B ．35A ϕ==-C ．35A ϕ==D ．34,tan 5A ϕ==【解析】5cos 3sinαααα⎫-=-⎪⎭，所以cosϕϕ==35A ϕ==，故选C ．三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得sin α、cos α是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，若存在，求出实数m ，若不存在，请说明理由．【解析】由题意得α为第三象限角，sin α、cos α的值都是负值，由于sin α、cos α是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，得3sin cos 04m αα+=-<①，21sin cos 08m αα+=>②，且23632(21)0m m -+>③，①2-②2⨯，得298200m m --=，解得102(9m =-舍去），检验2m =不满足判别式大于0，故不存在实数m ．18.已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<．（1）求tan 2α的值；（2）求β的值．【解析】（1）由1cos 7α=，02πα<<，得43sin 7α==，所以sin tan cos ααα==，22tan 83tan 2147tan ααα==--．（2）由02πβα<<<，13cos()014αβ-=>得02παβ<-<，所以33sin()14αβ-==，于是cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-113433317147142=⨯+⨯=，所以3πβ=．19.已知函数22()log (23)f x x ax =--+．（1）当1a =-时，求该函数的定义域和值域；（2）如果()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当1a =-时，22()log (23)f x x x =-++，令2230x x -++>，解得13x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-，令2223(1)4t x x x =-++=--+，则04t <≤，所以22()()log log 42f x g t t ==≤=，因此函数()f x 的值域为(,2]-∞；（2）如果()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立，即2232x ax --+≥在[2,3]上恒成立，即1()22xa x ≤-在[2,3]上恒成立，令1()22xh x x =-，([2,3])x ∈，显然()h x 在[2,3]严格减，4()(3)3min h x h ==-，故43a ≤-．20.已知函数()y f x =，[,]x a b ∈的图象为曲线C ，两端点(,())A a f a 、(,())B b f b ，点00(),M x y 为线段AB 上一点，其中01a b x λλ+=+，0()()1f a f b y λλ+=+，0λ>，点P 、Q 均在曲线C 上，且点P 的横坐标等于0x ，点Q 的纵坐标为0y ．（1）设()sin f x x =，2[0,3x π∈，3λ=，求点P 、Q 的坐标；（2）设1()f x x=，1[,2]2x ∈，求MPQ ∆的面积的最大值及相应λ的值；（3）设2()2f x x x =-+，[,]x a b ∈，求证：点P 始终在M 点的上方．【解析】（1）设()sin f x x =，2[0,]3x π∈，3λ=，则0a =，23b π=，02033132x ππ+⨯==+，02sin 03sin333138y π+==+，sin12π=，33sin 8x =，33arcsin 8x =，所以(,1)2P π，3333(arcsin 88Q ．（2）设1()f x x=，1[,2]2x ∈时，12a =，2b =，01221x λλ+=+，01221y λλ+=+，001||MP y x =-，001||MQ x y =-，Rt MPQ 00000000111111||||()()(2)222S MP MQ y x x y x y x y ∆=⨯⨯=⨯--=+-因为20021117922122441111212x y λλλλλλλλλλ++++=⨯==+++++++9254116≤+=（当且仅当1λ=时取等号），令0025(1,]16t x y =∈，所以Rt MPQ 11(2)2S t t∆=+-，因为11(2)2y t t =+-在25(1,]16上是严格增函数，所以当2516t =时，y 取最大值125181(2)2521680016+-=，所以当1λ=时，MPQ ∆的面积取最大值81800．（3）设2()2f x x x =-+，[,]x a b ∈，因为()f x 为[,]a b 上的凸函数，由凸函数的性质得00()f x y >，所以点P 始终在M 点的上方．21.已知实数,,,a b c d 不全为0，给定函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．记方程()0f x =的解集为A ，方程(())0g f x =的解集为B ，若满足A B =≠∅，则称()f x ，()g x 为一对“升次函数”．问：（1）当1a c d ===，0b =时，验证(),()f x g x 是否为一对“升次函数”；（2）若(),()f x g x 为一对“升次函数”，求d 的值；（3）已知(),()f x g x 为一对“升次函数”，若1a =，0c >，方程()0f x =存在正根m ，求c 的取值范围（用含有m 的代数式表示）．【解析】（1）由()10f x x =+=，得1x =-，所以((1))(0)1g f g -==，1x =-不是(())g f x 的零点，所以(),()f x g x 不是一对升次函救；（2）设r 为方程的一个根，即()0f r =，由题意得(())0g f r =，所以(0)(())0g g f r d ===；（3）因为0d =，由1a =，()0f m =得c b m=-，所以22()c f x bx cx x cx m =+=-+，2(())()[()()]cg f x f x f x f x c m=-+，由()0f x =得0x =或m ，易得(())0g f x =，由题意得(())g f x 的零点均为()f x 的零点，故2()()0cf x f x c m-+=无实数根，设2c t x cx m =-+，则20c t t c m -+=无实根，记2()ch t t t c m=-+，当0c >时，2(244c m mc mct x m =--+≤，2222()(24c c c h t t t c t c m m m =-+=-+-，当42mc c m ≤，即0m <≤222()(04164min mc m c c h t h c ==-+>，解得21604c m<<-，当42mc c m >，即m >22()()024min c c h t h c m m ==->，解得204c m <<，综上，当m ∈时，216(0,)4c m∈-；当)m ∈+∞时，2(0,4)c m ∈．。
上海市南洋模范学校2024-2025学年上学期七年级数学期中考试
上海市南洋模范学校2024-2025学年上学期七年级数学期中考试一、单选题1．有下列代数式：2322,3,2,,2n x x y m m m m--+-，其中单项式的个数是（）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．关于整式的概念，下列说法正确的是（）．A ．326π7x y -的系数是67-B ．233xy 的次数是6C ．0是单项式D ．27xy xy -+-是五次三项式3．下列各式能用平方差公式计算的是（）A ．()()a b b a ++B ．()()22a b b a -+C ．()()11a a +-D ．()()22x x +--4．下列计算中正确的是（）A ．()225x x =B ．32x x x-=C ．()222a b a b -=-D ．23x x x -⋅=-5．如图所示，两个正方形的边长分别为a 和b ，如果10a b +=，20ab =，那么阴影部分的面积是（）A ．10B ．20C ．30D ．406．利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a ，b ，c ，d ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为32102222a b c d ⨯+⨯+⨯+⨯.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为3210021202125⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．在代数式：213x ，2ab ，5x +，3yx ，4-，3a b a -中，整式有个．8．如果单项式225m a b +-与2n a b 的和仍然是一个单项式，则n m =．9．多项式23234265x xy y y +-+-中，其中三次项的系数是．10．计算：2202420232025-⨯=．11．计算：202220234._._5_0_(__2)___⨯-=12．计算，结果用幂的形式表示：34()()()b a a b b a ----=．13．若多项式()2321221n m x y xy xy π---++是四次三项式，则m n -=．14．已知2a b +=，则221122a ab ++=．15．已知()()2222337a b a b +++-=，则22a b +=．16．如果()2219214a k ab b --+是完全平方公式，则k =．17．已知222220x y x y ++-+=，那么x y -=．18．现有若干根长度相同的火柴棒，用a 根火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，用b 根火柴棒，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形．（m 、n 是正整数）．当若干根长度相同的火柴棒，既可以摆成图①的形状，也可以摆成图②的形状时，m 与n 之间的数量关系是．三、解答题19．（1）分解因式：()2221x x +-（2）分解因式：53336a a a +-20．（1）化简：23223141223ab c abc a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算：()()()2222y x y x y x -+--（3）计算：322225114322x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）化简：222211323222xy x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，并求当1,22x y ==时的代数式的值．21．已知13x x-=，求221x x +与441x x +的值．22．已知2n ＝a ，5n ＝b ，20n ＝c ，试探究a ，b ，c 之间有什么关系．23．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一．A ：计时制：0.05元/分，B ：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费0.02元/分(1)某用户某月上网时间为x 小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用．(2)用户选哪一种收费方式更合算？24．如图，有A 型、B 型、C 型三种不同的纸板，其中A 型：边长为a 厘米的正方形；B 型：长为a 厘米，为1厘米的长方形：C 型：边长为1厘米的正方形．(1)A 型2块，B 型4块，C 型4块．此时纸板的总面积为________；(2)从这10块纸板中拿掉1块A 型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________；(3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明）25．阅读材料：两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如4743⨯，它们的乘积的前两位是()44120⨯+=，它们乘积的后两位是7321⨯=，所以47432021⨯=；再如6268⨯，它们乘积的前两位是()66142⨯+=，它们乘积的后两位是2816⨯=，所以62684216⨯=；又如2129⨯，()2216⨯+=，不足两位，就将6写在百位；199⨯=，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以2129609⨯=．该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：设其中一个因数的十位数字为a ，个位数字是b ，（a ，b 表示1到9的整数）则该数可表示为10a b +，另一因数可表示为()1010a b +-．两数相乘可得：()()101010a b a b ⎡⎤++-⎣⎦()()210010101010a a b ab b b =+-++-()210010010a a b b =++-()()100110a a b b =++-．（注：其中()1a a +表示计算结果的前两位，()10b b -表示计算结果的后两位）问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如4473⨯、7728⨯、5564⨯等(1)探索该类乘法的速算方法，请以4473⨯为例写出你的计算步骤．(2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a ，则该数可以表示为________．设另一因数的十位数字是b ，则该数可以表示为________．（a ，b 表示1~9的正整数）(3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性．。
上海市南洋模范中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
上海市南洋模范中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．不等式1a b a b +≤+成立的充要条件是（ ）A ．0ab ≠B ．220a b +≠C ．0ab >D ．0ab < 【答案】B【解析】由于1a b a b +≤+，可得出0a b +≠，进而可得出220a b +≠，由此可得出+≤+a b a b ，在所得不等式两边平方化简后得出ab ab ≤，进而可得出结论.【详解】 由于1a b a b +≤+，则0a b +≠，即a 、b 不同时为零，即220a b +≠，则0a b +>. 由1a b a b +≤+可得+≤+a b a b ，不等式两边平方可得222222a ab b a ab b ++≤++， 即ab ab ≤，显然ab ab ≤恒成立， 因此，不等式1a b a b +≤+成立的充要条件是220a b +≠.故选：B.【点睛】 本题考查充要条件的寻找，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，则m 的取值范围是（ ）A ．1mB ．m 1≥C ．2m >D ．2m ≥【答案】C【解析】求出|x ﹣5|+|x ﹣3|的最小值，只需m 大于最小值即可满足题意．【详解】 53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解．故选C ．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．3．已知关于x 的不等式0ax b +>的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax b x ->-的解集是（ ） A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|12}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x > 【答案】A【解析】由题意可得0a >，且1b a -=，进而可得=-b a ，代入不等式解分式不等式即可求解. 【详解】因为不等式0ax b +>的解集是(1,)+∞，可得0a >，且1b a-=， 所以=-b a ， ()()0012022ax b ax a a x x x x -+>⇒>⇒+->-- ()()1202x x x ⇒+->⇒>或1x <-，所以不等式的解集为{|1x x <-或2}x >.故选：A【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4．不等式组03232x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩的解集是（ ） A ．{}02x x <<B ．{}0 2.5x x << C．{0x x <<D ．{}03x x << 【答案】C【解析】原不等式组等价于0303323323x x xx x x x x x⎧⎪>⎪-⎪>⎨+⎪---⎪<<⎪+++⎩，解出该不等式组可得出解集.【详解】 原不等式组等价于0303323323x x x x x x x x x ⎧⎪>⎪-⎪>⎨+⎪---⎪<<⎪+++⎩. 解不等式303x x->+，即()()330x x -+<，解得33x -<<，03x ∴<<； 解不等式2323x x x x--<++，即()()2023x x x >++，即()()230x x x ++>， 解得32x -<<-或0x >，此时，0x >； 解不等式3232x x x x --<++，即()()()226023x x x -<++，即()()()26230x x x -++<，解得3x -<<2x -<<0x <<综上所述，原不等式组的解集为{0x x <<，故选C. 【点睛】 本题考查分段不等式的解集，同时也考查了利用穿根法求解高次不等式，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题5．已知集合{|(4)0}M x x x =-<，{|(1)(6)0,}N x x x x =--<∈Z ，则MN =________【答案】{5}【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合,M N ，再根据集合的交运算即可求解.【详解】 {{|(4)0}4M x x x x x =-<=>或}0x <，{}{}{|(1)(6)0,}16,2,3,4,5N x x x x Z x x x Z =--<∈=<<∈=，所以{}5M N =.故答案为：{5}【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6．不等式112x <的解集是____________． 【答案】【解析】【详解】 解：111120,0,(2)0,0222x x x x x x x-<∴-<∴<∴->∴<，或2x > 7．不等式514x x -≥+的解集为________. 【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】利用分式不等式的解法，求得原不等式的解集.【详解】 55121100444x x x x x x ---≥⇒-≥⇒≥+++ ()()124040x x x ⎧-+≥⇒⎨+≠⎩142x ⇒-<≤， 所以原不等式的解集为14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦. 故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.8．不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________ 【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线法”求解出不等式的解集.【详解】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤， 所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--， 故答案为：(]{}[],211,2-∞--.【点睛】 本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.9．若不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是{|23}x x -<<，则不等式bx 2+ax +c ＜0的解集是______【答案】（-3，2）【解析】由题分析得b ＞0，且a b =1，c b=-6，再解一元二次不等式得解. 【详解】∵不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是（-2，3），∴a ＞0，且对应方程ax 2-bx +c =0的实数根是-2和3， 由根与系数的关系，得2323c a b a⎧=-⨯⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 即c a =-6，b a=1, ∴b ＞0，且a b =1，c b =-6， ∴不等式bx 2+ax +c ＜0可化为x 2+x -6＜0，解得-3＜x ＜2；∴该不等式的解集为（-3，2）．故答案为（-3，2）.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ，则实数a 的取值范围________【答案】(,17]-∞【解析】求出集合A 、B ，由A B ，讨论A =∅或A ≠∅，再由集合的包含关系即可求解.【详解】{||23|}A x x a =-<，{}{|10}1010B x x x x =≤=-≤≤，由A B ，当0a ≤时，A =∅满足题意；当0a >时，332322a a x a x -+-<⇒<<， 因为A B ， 所以310231001720a a a a -⎧≥-⎪⎪+⎪≤⇒<≤⎨⎪>⎪⎪⎩， 综上所述，实数a 的取值范围为(,17]-∞.【点睛】本题考查了集合的包含关系求参数的取值范围、绝对值不等式的解法，属于基础题.11．关于x 的方程2(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数，则m 的取值范围________ 【答案】3(,](0,1)(1,)2-∞-+∞【解析】讨论m 的取值，当0m =或1m =或0m ≠且1m ≠时，根据题意可得()()31321m x m m m--==-≤-，解分式不等式即可求解. 【详解】由2(3)3m x m x -+=可得：()233m m x m -=-+，若0m =，不成立；1m =，解得x ∈R ，不成立；若0m ≠且1m ≠时，则()()31321m x m m m--==-≤-， 即230m m +≥，可化为()2300m m m ⎧+≥⎨≠⎩， 解得0m >或32m ≤-， 综上，m 的取值范围为3(,](0,1)(1,)2-∞-+∞. 故答案为：3(,](0,1)(1,)2-∞-+∞【点睛】 本题考查了分式不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及基本运算求解能力，属于基础题.12．若不等式()2211x m x ->-对满足22m -≤≤的所有m 都成立，则x 的取值范围是_________.【答案】11,22⎛-++ ⎝⎭【解析】将不等式()2211x m x ->-化为含参数x 的m 的一次不等式()21(21)0m x x ---<，再令()2()1(21)f m m x x =---，只要(2)0,(2)0f f -<<即可． 【详解】不等式化为：()21(21)0m x x ---<，令()2()1(21)f m m x x =---，则22m -≤≤时，()0f m <恒成立， 所以只需(2)0(2)0f f -<⎧⎨<⎩，即()()2221(21)021(21)0x x x x ⎧----<⎪⎨---<⎪⎩， 所以x的范围是1122x ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：⎝⎭. 【点睛】本题主要考查将一元二次不等式转化为一元一次不等式进行求解的问题，是基础题.13．已知集合2{|540}A x x x =-+≤，2{|220}B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，则a 的取值范围________ 【答案】18(1,]7- 【解析】求出集合A 、B ，再由B A ⊆，讨论B =∅或B ≠∅，根据集合的包含关系即可求解.【详解】 由集合{}2{|540}14A x x x x x =-+≤=≤≤，2{|220}B x x ax a =-++≤， 若B A ⊆，若B =∅，可得()()222424480a a a a ∆=--+=--<，解得1a 2-<<，若B ≠∅，()()222424480a a a a ∆=--+=--≥，可得2a ≥或1a ≤-，{B x a x a =≤+，则42a a ⎧+⎪⎨-≥⎪⎩①②， 解不等式①可得187a ≤， 解不等式②可得13a ≤≤，取交集得1817a ≤≤， 又0∆≥，可得2a ≥或1a ≤-， 可得1827a ≤≤， 经验证，当187a =符合题意； 当2a =符合题意；1827a ∴≤≤， 综上所述，1817a -<≤， 故答案为：18(1,]7-. 【点睛】 本题考查了由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14．已知不等式222xy ax y ≤+对于[1,2]x ∈，[2,3]y ∈恒成立，则a 的取值范围________【答案】[1,)-+∞ 【解析】分离参数可得22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，令y t x =，则13t ≤≤，再利用二次函数配方求最值，只需2max2y y a x x ⎡⎤⎛⎫≥-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】由题意可知：不等式222xy ax y ≤+对于[1,2]x ∈，[2,3]y ∈恒成立， 即22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对于[1,2]x ∈，[2,3]y ∈恒成立， 令y t x=，则13t ≤≤， 22a t t ∴≥-在[]1,3上恒成立，2112248y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， max 1y ∴=-，1a ∴≥-，故答案为：[1,)-+∞【点睛】本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，考查了分离参数法，属于基础题.三、解答题15．已知()()2366f x x a a x =-+-+. (1)解关于a 的不等式()10f >；(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值．【答案】（1）{|33a a -<+；（2）33a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩【解析】(1)由f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，得a 2－6a －3<0，求解即可；（2）f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.【详解】(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－a <3＋∴原不等式的解集为{a |3－<a <3＋(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于()61+3=3613=3a a b ⎧--⎪⎪⎨-⎪-⨯-⎪⎩解得33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩16．已知a ∈R ，解关于x 的不等式1(1)x a x x-≥-. 【答案】当1a =，(,0)[1,)-∞⋃+∞；当1a <，1[,0)[1,)1a +∞-；当12a <≤，1(,0)[1,]1a -∞-；当2a >，1(,0)[,1]1a -∞-. 【解析】将不等式化为()()1110x a x x --+⎡⎤⎣⎦≥，讨论a 的取值范围，当1a =或1a <或12a <≤或2a >，解分式不等式即可求解.【详解】()()()2111111(1)00x a x a x ax x a x x x x--+⎡⎤-+-⎣⎦-≥-⇒≥⇒≥，（*） （1）当1a =时，（*）式为10x x-≥， 解得0x <或1≥x ， （2）当1a ≠时，（*）式为()()11110a x x a x⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭≥， ①若1a <，则10a -<，101a <-， 解得101x a ≤<-或1≥x ； ②若12a <≤，则10a -<，111a ≥-， 解得0x <，或111x a ≤≤-， ③若2a >，则11a ->，1011a <<-， 解得0x <，或111x a ≤≤-，， 综上所述，当1a =，(,0)[1,)-∞⋃+∞；当1a <，1[,0)[1,)1a +∞-；当12a <≤，1(,0)[1,]1a -∞-；当2a >，1(,0)[,1]1a -∞-. 【点睛】 本题考查了分式不等式的解法，注意高次不等式中“穿针引线”法的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.17．已知a 是实数, 关于x 的方程22230ax x a +--=在区间[]1,1-上有实根, 求a 的取值范围.【答案】[)37,1,2⎛⎫---∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】【详解】 （1）当0a =时,()23f x x =-, 令230x -=得[]31,12x =∉-, ()f x ∴在[]1,1-上无零点, 故0a ≠.（2）当0a >时,()2223f x ax x a =+--的对称轴为12x a=-. ① 当112a-≤-,即102a <≤时,须使()()10{10f f -≤≥,即5{,1a a a ≤∴≥的解集为∅. ②当1102a -<-<,即12a >时,须使,即130{21a a a ---≤≥,解得1a ≥, a ∴的取值范围是[)1,+∞. （3）当0a <时, ① 当1012a <-≤,即12a ≤-时,须有,即5{1302a a a≤---≥, 解得37a --≤375a -+≤≤,又1.2a a ≤-∴的取值范围是37,2⎡---∞⎢⎣⎭. ②当112a ->时,即102a -<<时,须有()()10{10f f -≤≥,即5{1a a ≤≥,a ∴的解集为∅. 综上所述 ,a 的取值范围是[)371,⎛---∞+∞ ⎝⎭.18．已知1S 、2S 、3S 为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i 、j 、k ，若i x S ∈，j y S ∈，则k x y S -∈.（1）证明：三个集合中至少有两个相等；（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）可能，如12{S S ==奇数}，3{S =偶数}【解析】（1）由题意三个集合中的元素都为零时，成立；不妨设1a S ∈，b 为2S 、3S 中最小的非负元素，若0b >，可得0b a -≥的取法矛盾，即证.（2）举特例比如12{S S ==奇数}，3{S =偶数}即可证出.【详解】（1）若i x S ∈，j y S ∈，则k x y S -∈，所以每个集合中均有非负元素，当三个集合中的元素都为零时， 命题显然成立，否则，设1S 、2S 、3S 中的最小正元素为a ， 不妨设1a S ∈，设b 为2S 、3S 中最小的非负元素，不妨设2b S ∈，则3b a S -∈，若0b >，则0b a -≥的取法矛盾，所以0b =，任取1x S ∈，因20S ∈，故30x x S -=∈，所以1S 包含3S ，同理3S 包含1S ，所以12S S .（2）可能，比如12{S S ==奇数}，3{S =偶数}，这时1S 与3S ，2S 与3S 都无公共元素.【点睛】本题考查了元素与集合的关系，考查了考生的分析能力，属于中档题.。
上海南洋模范初级中学小升初数学期末试卷综合测试(Word版 含答案)
上海南洋模范初级中学小升初数学期末试卷综合测试（Word版含答案）一、选择题1．钟面上5时整，时针与分针形成的角是（）。
A．钝角B．直角C．平角2．一块长方形绿地，长12 dm，宽是长的23，求这块长方形绿地的面积．正确的算式是( )．A．12×23B．12×（12×23）C．（12+23）×2 D．12×（1-23）3．一个三角形，三个内角度数的比是2∶5∶3，这个三角形是（）三角形。
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰4．用6千克棉花的17和1千克铁的67相比较，结果是（）。
A．6千克棉花的17重B．1千克铁的67C．一样重D．无法比较5．观察立体图形，从右面看到的形状是（）A．B．C．6．下列说法错误的是（）。
A．故事书的单价一定，买故事书的本数与总钱数成正比例B．用方砖铺教室地面（面积一定），每块方砖的面积与所用方砖的块数成反比例C．六（2）班总人数一定，男生和女生的人数成反比例D．圆锥的体积一定，底面积和高成反比例7．如图是甲乙两名同学对同一个圆柱的不同切法。
甲切开后表面积增加了（），乙切开后表面积增加了（）。
A．2rπ；4rh B．22rπ；4rh C．22rπ；2rhπD．2rπ；2rhπ8．小亮13岁，身高170厘米，体重84千克。
根据下边的体重分类标准，他的体重符合（）。
少年儿童（7～16岁）体重（千克）分类标准标准体重＝（身高－100）×0.9 轻度肥胖：超过标准体重13~510中度肥胖：超过标准体重31~102重度肥胖；超过标准体重12以上A ．轻度肥胖B ．中度肥胖C ．重度肥胖9．按如下规律摆放三角形：（1） （2） （3）则第（5）堆三角形的个数为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、填空题10．据统计，绿色出行为社会减少碳排放量超过二百一十六万吨，相当于节约六亿五千万升汽油。
横线上的数写作（________），省略“亿”位后面的尾数约是（________）亿。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南洋模范中学自主招生试题
（一）填空
1.函数的取值范围是的自变量x x x y 1
2-+= 2.若不等式组的取值范围是则的解集是a x x a x ,22<⎩
⎨⎧<< 3.方程
034=--x x ）（的解是 4.甲乙两人同时从M 地出发，前往N 地，甲的一半路程步行，一半路程跑步。
乙的一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度和跑步速度都相同，且跑步速度明显快于步行速度，请你推断甲乙两人谁先到达N 地
5.轴上同一点的图像交于与一次函数x nx y mx y 21-=+=，则m:n=
6. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm,如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C,F 两点之间的最小距离为
7.已知直角三角形ABC 中，︒=∠90C ,BC=6，CA=3，CD 为C ∠的角平分线，则CD 长为
8.如图，ABCD 为直角梯形，︒=∠90C ,且AB=BC,若在边BC 上存在一点M,使得AMD ∆为等边三角形，则
AB CD 的值为
A
A
第6题图 第8题图
（二）解答题
1.的值求已知551,31x
x x x +=+
2.如图，已知直线122+-=x y 分别交轴轴，x y 于A,B 两点，点M 在y 轴上，以点M 为圆心的圆M 与直线AB 相切与点D,联结MD.
(1)求证：AOB ADM ∆∆∽
(2)如果圆M 的半径为52，请求出点M 的坐标，并写出以）为顶点，，（2
2925-且过点M 的抛物线的解析式
(3)在（2）的条件下，试问此抛物线上是否存在点P,使得以P,A,M 三点为顶点的三角形与AOB ∆相似，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由!。