2015年上海市春季高考模拟试卷三

2015年上海市春季高考模拟试卷三一、填空题：（本大题共 小题，每小题 分，共 分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）、计算2Im 12i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭．、已知函数()f x =的定义域为M ，函数()2x g x =的值域为N ，则M N =∩ ．、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是 ，点M 、N 分别是棱AB 、1AA 的中点，则异面直线MN 与1BC 所成角的大小等于 ．、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p = ．、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前 项和是n S ，若232a a += 341a a +=，则lim n n S →∞= ．、圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为2π ，，则该圆锥的体积等于 3cm ．、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 ，则 处应填的自然数为 ． 、已知函数2()sin cos 2x f x x a =+ a 为常数 a R ∈ ，且2x π=是方程()0f x =的解．当[]0,x π∈时，函数()f x 值域为 ．、若二项式(n x +的展开式中，第 项与第 项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．（用数字作答）、已知,a b 为正实数，函数3()2x f x ax bx =++在[]0,1上的最大值为4，则()f x在束（第 题图）[]1,0-上的最小值为．、设函数22()log x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩ (0)(0)x x ≤>，函数[]()1y f f x =-的零点个数为 个．、已知O 为ABC ∆的外心，4AB = 2AC = BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值等于 ．二、选择题：（本大题共 小题，每小题 分，共 分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）、已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为（ ） ．2425- 247± 247- 247、函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）．3)y x =≤<3)y x =>．3)y x =≤<3)y x =>、下列命题： 102a <≤ 是 存在n N *∈，使得1()2n a =成立 的充分条件； 0a >是 存在n N *∈，使得1()2n a <成立 的必要条件； 12a >是 不等式1()2n a <对 一切n N *∈恒成立 的充要条件 其中所以真命题的序号是（ ）．、如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）．[1,1)- {}1,0- (,1][0,1)-∞- [1,0](1,)-+∞、直线⎩⎨⎧+=+=t y tx 121的倾斜角等于（ ）.A 6π.B 3π.C 21arctan.D 2arctan、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ， （ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13、若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B .C 21.D、正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为（ ）.A .B .C .D、下列命题中正确的是（ ）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数、数列{}n a 前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为（ ）14 34 43、直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP += O R b a ,,∈为坐标原点 ，则下列不等式恒成立的是（ ）222a b +≥ 2122≥+b a222a b +≤ 2212a b +≤、已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是 Ω集合 给出下列 个集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( {}2),(-==xe y y x M {}x y y x M cos ),(== {}x y y x M ln ),(== 其中所有 Ω集合 的序号是（ ）．三、解答题、（本题满分 分）三阶行列式xb x x D 31302502-=，元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ，(){}0≤=x H x P ， 函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围、（本题满分 分）如图，⊥PA 平面ABCD ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． 若2=PA ，求异面直线AE 与PD 所成的角的大小． PAB CDE、（本题满分 分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，，向量)cos 2,sin 2(B B =，)cos ,cos 3(B B -=，且1=⋅．（ ）求角B ；（ ）若2=b ，求ABC ∆的面积的最大值．、（本题满分 分）已知数列 中， ，前 项和为 ，且1()2n n n a a S -=． （ ）求 ， ；（ ）求证：数列 为等差数列，并写出其通项公式；（ ）设1lg 3n n n a b +=，试问是否存在正整数 ， 其中 ，使 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ， ；若不存在，说明理由．、（本题满分 分）已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >，其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点．（ ）求该椭圆的标准方程；（ ）设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-，求证：22002x y +为定值； （ ）在（ ）的条件下探究：是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．附加题、（本题满分 分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（ ）当直线过点)0,(p M 时，证明21y y ⋅为定值；（ ）如果直线过点)0,(p M ，过点M 再作一条与直线垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．、（本题满分 分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11．（ ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （）求和：13221++++n n a a a a a a ；1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b ．、（本题满分 分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是 凸函数 ． （ ）判断函数x x f lg )(=在+R 上是否是 凸函数 ，并证明你的结论；（ ）如果函数xax x f +=2)(在]2,1[上是 凸函数 ，求实数a 的取值范围； （ ）对于区间],[d c 上的 凸函数 )(x f ，在],[d c 上任取1x ，2x ，3x ， ，n x ．证明：当k n 2=（*∈N k ）时，12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≥+++成立；请再选一个与 不同的且大于 的整数n ， 证明：12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≥+++也成立．年春季高考模拟试卷三参考答案、 ； 、（ ）； 、3π； 、 ； 、163； 、3π； 、 ； 、1⎡⎤--⎣⎦；、 ；、32-； 、 个； 、 ；、解： ()x x x x H 1252-+= 2522+-x x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=221x x P若,PQ ≠∅则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值，使不等式2220ax x -+>成立，即在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值，使222a x x >-成立，令222,u x x =-则只需min u a >即可又22221112.22u x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11,2,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,21,4min -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈u u 从而4min -=u由 知， min 4,u =- 4.a ∴>-、解：（ ）连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，∴2224AD DE AE ==+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴AE DE ⊥．由⊥PA 平面ABCD ，得DE PA ⊥ 由AE DE ⊥，DE PA ⊥A AE PA =⋂，得⊥DE 平面PAE ．∴DE PE ⊥． 取PA 的中点M ，AD 的中点N ，连MC 、NC 、MN 、AC ． AE NC //，PD MN // ，∴MNC ∠的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小．由2=PA ，1=AB ，2=BC ，得2==MN NC ，6=MC ，∴21222622cos -=⋅⋅-+=∠MNC ，32π=∠MNC ．∴异面直线PD 与AE 所成的角的大小为3π．、解：（ ） 1=⋅n m ，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B（ ） 2=b ，B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224 ∴ac ac ac ac c a =-≥-+=2422，即4≤ac ，当且仅当2==c a 时等号成立．343sin 21≤=⋅=∆ac B ac S ，当2===c b a 时，3)(max =∆ABC S ． 、解： 令 ，则111()2a a - ． ； （ ）由1()2n n n a a S -=，即2n n na S =， 得 11(1)2n n n a S +++=．－ ，得 1(1)n n n a na +-=． 于是，21(1)n n na n a ++=+．，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． 又 ， ， － ，所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．所以， － ． 假设存在正整数数组 ， ，使 ， ， 成等比数列，则 ， ， 成等差数列， 于是，21333p q p q=+．所以，213()33q p pq =- ．易知 ， ， 为方程 的一组解．当 ，且 时，112(1)224333p p p p p p+++--= ，故数列 23p p 为递减数列 于是2133p p - 323133⨯- ，所以此时方程 无正整数解．综上，存在唯一正整数数对 ， ， ，使 ， ， 成等比数列．、（）因为点Q 为椭圆上一点，所以187212=+a， 得24a = ，椭圆方程为12422=+y x（ ）设),(),,(2211y x N y x M 又121212OM ON y y k k x x ⋅=⋅=-，化简得022121=+y y x x 分则1242121=+y x ，1242222=+yx ，,2+=⎩⎨⎧+=+=⇒21021022y y y x x x所以2212212020)2(2)2(2y y x x y x +++=+21212222212184)2(4)2(y y x x y x y x +++++=)2(4202121y y x x ++=20=（定值）（ ）因为动点 （ ， ）满足2022020=+y x ，即110202020=+yx ，所以点 的轨迹为焦点()0,10±的椭圆存在点 0,10 、 （0,10-），使得||||PB PA + 54（定值）、解：（ ）过点)0,(p M 与抛物线有两个交点，设p my x l +=:，由⎩⎨⎧=+=pxy pmy x 22得02222=--p pmy y ，∴2212p y y -=⋅．（ ）依题意直线的斜率存在且不为零，由（ ）得点P 的纵坐标为pm y y y P =+=)(2121，代入p my x l +=:得p pm x P +=2，即),(2pm p pm P +．由于l '与互相垂直，将点P 中的m 用m 1-代，得),(2m pp mp Q -+．设),(y x N ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=)(21)(2122m p pm y p pm p mp x 消m 得)2(22p x p y -= 由抛物线的定义知存在直线815p x =，点)0,817(p，点N 到它们的距离相等． 、解：（ ） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由iz z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a∴数列{}n a 是以 为首项公比为 的等比数列，数列{}n b 是以 为首项公差为 的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．（ ） 由（ ）知13-=n n a ， 2113=-+kk k k a a a a ∴数列{}1+n n a a 是以为首项，公比为23的等比数列． 221122313(13)331988n n n n a a a a a a ++-+++==--．当k n 2=，*∈N k 时，112233445112233445212221(1)()()()n n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ++-+-+-++-=-+-++-2222242242()4444()484222k k k k b b b b b b b b k k n n +=----=-+++=-⋅=--=-- 当12+=k n ，*∈N k 时，1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b122)34)(14(48)()()(22221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k又1=n 也满足上式∴⎪⎩⎪⎨⎧---+=-++-+-++为偶数时当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)1(221154433221 、解：（ ）设1x ，2x 是+R 上的任意两个数，则01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(2)()(2212121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f ∴)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+．∴函数x x f lg )(=在+R 上是 凸函数 ． （ ）对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．（ ） 当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当m k =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．比如证明3=n 不等式成立．由 知d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x c ≤≤4， 有)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立．d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x x x c ≤++≤)(31321，∴)43()3(321321321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3([41421321x f x f x f x x x f +++++≥， 从而得)]()()([31)3(321321x f x f x f x x x f ++≥++．。