2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训(二)文

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2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷答案解析(10页)

2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷数学试题1.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，外接球的表面积为40π，四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，则直线MN 与1CD 所成的角的余弦值是（） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】D【解析】设该四棱柱的外接球的半径为R ，高为h ，由2440S R ππ==，得=R ，由==R h =所以112,6,3=====CD CC C D DE EC .因为四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，所以M ，N 分别为BD 和1BC 的中点，所以1//MN DC ，所以DEC ∠为直线MN 与1CD 所成的角或其补角，又9947cos 2339+-∠==⨯⨯DEC ，所以直线MN 与1CD 所成的角的余弦值为79，故选：D.2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为（）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182y x -=D ．22184x y -=【答案】C【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260F MF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒，21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅， 22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=，12F MF ∴△的面积为2121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182y x -=.故选：C3.在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A．5 B ．C D ．【答案】C【解析】∵向量AB u u u v在AC u u u v 上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．② 由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ== u u u r在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．4.函数()sin()8cos22xf x xπ=--的最小值为_______．【答案】7-【解析】由()sin()8cos22xf x xπ=--所以2()cos8cos2cos18cos222x x xf x x=-=--即2()2cos8cos122x xf x=--，由1cos12x-≤≤令cos2xt=，[]1,1t∈-则2281y t t=--，对称轴为2t=所以2281y t t=--在[]1,1-递减当1t=，即cos12x=时，有min()7f x=-故答案为：7-5.函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数.当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =，则满足()5272xf -<-<的x 的取值范围是___________. 【答案】()2log 3,3【解析】根据题意，因为当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =()()22113f f ∴=-=，所以()12f =．又()()42215f f =-=，所以()()445f f -=-=-，5(27)2x f -<-<Q()()()4271x f f f ∴-<-<．因为()f x 在[0，)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以()()()4271xf f f ∴-<-<，4271x ∴-<-<，328x ∴<<，2log 33x ∴<<即()2log 3,3x ∈，故答案为：()2log 3,3．6.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =I ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r，则0PE n EC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =r .cos ,||||n DA n DA n DA ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ，故DA 与平面PCE7.已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<. 【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--，所以21'(2)233f m =-=-，即12m =. 则3()ln (21)2f x x x =--+，2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >，令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x . ∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值. （2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >，∴210x ->，∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，)'(0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=，∴1m e>，即实数m 的取值范围是1(,)e+∞.②由①可知，25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立. 令21()k x k *=-∈N ，则2ln 5kk <，2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ，即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ， ∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<. 8.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y kx m =+与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足DA DB DA DB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意2422a c =⎧⎨=⎩，即21a c =⎧⎨=⎩，∴b ==∴椭圆E 的方程是22143x y +=.（2）由（1）可知()2,0D -，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()()22222(8)4344121612390mk k m k m ∆=-+-=-+>，即22340k m +->，∴122834mk x x k -+=+，()21224334m x x k-=+，又()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++22231234m k k -=+，∵DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴DA DB ⊥u u u r u u u r，即0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y +⋅+=++++=，∴2222224128312240343434m mk m k k k k---+⨯++=+++，∴2271640m mk k -+=，解得12m k =，227m k =，且均满足即22340k m +->，当12m k =时，l 的方程为()22y kx k k x =+=+，直线恒过()2,0-，与已知矛盾；当22 7m k=，l的方程为2277y kx k k x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，直线恒过2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训

中难提分突破特训(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c －b a ＝cos Bcos A .(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边上一点，且CD ＝2DB ，b ＝3，AD ＝21，求a . 解 (1)由已知，得(2c －b )cos A ＝a cos B ，由正弦定理，得(2sin C －sin B )cos A ＝sin A cos B ，整理，得2sin C cos A －sin B cos A ＝sin A cos B ，即2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C .又sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)如图，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，又CD ＝2DB ，∠BAC ＝π3，所以ED ＝13AC ＝1，∠DEA ＝2π3.由余弦定理可知，AD 2＝AE 2＋ED 2－2AE ·ED cos2π3，解得AE ＝4，则AB ＝6. 又AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以在△ABC 中，由余弦定理，得a ＝BC ＝3 3.2．2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点．某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”，利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”．(1)若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关；(2)支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人”“支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人．若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率．附：参考公式与参考数据如下K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解 (1)由频率分布直方图得，“支付宝达人”共有600×(0.3＋0.2)×0.5＝150人，故“支付宝达人”中男性为150－120＝30人，2×2列联表如下：由表格数据，代入公式可得K 2＝－2150×450×300×300＝72>10.828.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关． (2)由题意及分层抽样的特点可知，抽取的比例为8600＝175.所以抽取的8人中，“支付宝达人”有150×175＝2人，分别记为A ，B ；“非支付宝达人”有6人，分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，从这8人中随机选取2人，不同的取法有{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{A ，e }，{A ，f }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，{B ，e }，{B ，f }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{a ，f }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{b ，f }，{c ，d }，{c ，e }，{c ，f }，{d ，e }，{d ，f }，{e ，f }，共28种．其中至少有1人是“支付宝达人”的取法有{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{A ，e }，{A ，f }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，{B ，e }，{B ，f }，共13种．故所求事件的概率P ＝1328.3．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，E ，F 分别为AB ，B 1C 1的中点．(1)求证：B 1E ∥平面ACF ； (2)求三棱锥B 1－ACF 的体积．解 (1)证明：取AC 的中点M ，连接EM ，FM ，在△ABC 中，∵E ，M 分别为AB ，AC 的中点， ∴EM ∥BC 且EM ＝12BC ，又F 为B 1C 1的中点，B 1C 1∥BC ，∴B 1F ∥BC 且B 1F ＝12BC ，即EM ∥B 1F 且EM ＝B 1F ，故四边形EMFB 1为平行四边形，∴B 1E ∥FM ，又MF ⊂平面ACF ，B 1E ⊄平面ACF ， ∴B 1E ∥平面ACF . (2)设O 为BC 的中点，∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又AB ＝2，∴AO ＝ 3.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AO ⊥平面BCC 1B 1，即三棱锥A －B 1CF 的高为3， ∴V 三棱锥B 1－ACF ＝V 三棱锥A －B 1CF ＝13×S △B 1CF ×AO ＝13×12×1×2×3＝33. 4.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，直线C 2的普通方程为y ＝33x .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 1的极坐标方程为(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－3)2＝4，即ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0. 因为直线C 2过原点，且倾斜角为π6，所以直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设点A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，θ＝π6，得ρ2－(33＋3)ρ＋14＝0，所以ρ1＋ρ2＝33＋3，ρ1ρ2＝14，又ρ1>0，ρ2>0，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝33＋314.5．设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|，当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．中难提分突破特训(二)1．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时，y 的值．参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^ x －.解 (1)散点图如图所示．(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1， ∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^＝23.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N *)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2，因为k ∈N *，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9，故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]，得a n ＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)，所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n －7)＋(－1)2n ＋1·[2(2n ＋1)－7]＝5－＝5－2n .3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置．(1)若A 1C ＝6，求证：平面A 1BD ⊥平面ABCD ； (2)若A 1C ＝22，求三棱锥A 1－BCD 的体积．解 (1)证明：因为∠BCD ＝60°，四边形ABCD 为菱形，所以△BCD 为正三角形，BD ⊥OA ，BD ⊥OA 1，OC ＝OA ＝OA 1＝3，因为OC 2＋OA 21＝6＝A 1C 2，所以OA 1⊥OC ，所以OA 1⊥平面ABCD ，OA 1⊂平面A 1BD ，所以，平面A 1BD ⊥平面ABCD .(2)由于BD ⊥OC ，BD ⊥OA 1，所以BD ⊥平面A 1OC ，在△A 1OC 中，OA 1＝OC ＝3，A 1C ＝22，所以，S △A 1OC ＝12×22×32－22＝2， V 三棱锥A 1－BCD ＝13×S △A 1OC ×BD ＝13×2×2＝223.4．在直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝θ－2＋4sin 2θ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意；当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3，∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ，∴a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号. ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值是1.中难提分突破特训(三)1．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？参考公式和数据：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，n＝a＋b＋c＋d.临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． (2)列联表如下：K 2＝－250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z .又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2，由正弦定理，得212＝2sin B ，∴sin B ＝22.∴B ＝π4. ∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12.∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin60°＝2sin45°，∴BC ＝a ＝ 6.3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝3MC ，O ，N ，Q 分别为BD，AD ，PA 的中点．(1)求证：OQ ∥平面PBC ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P －NBM 的体积．解(1)证明：如图，连接AC ，则AC 与BD 交于点O ，易知OQ 为△APC 的中位线，所以OQ ∥PC ，又OQ ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以OQ ∥平面PBC . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ＝PD ，N 为AD 的中点，所以PN ⊥AD ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥NB .又四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，所以PN ＝NB ＝3，所以S △PNB ＝12×3×3＝32，又BN ⊥AD ，PN ⊥AD ，BN ∩PN ＝N ，所以AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PNB ，又PM ＝3MC ，所以V 三棱锥P －NBM ＝V 三棱锥M －PBN ＝ 34V 三棱锥C －PBN ＝34×13×2×32＝34，即三棱锥P －NBM 的体积为34.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3.5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12；③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23.综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12. (2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn ＝4.当且仅当m n ＝n m 且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立， ∴－a ≤(2x ＋6)min ＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立， ∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，103.中难提分突破特训(四)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A . (1)求c b的值；(2)设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解 (1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376 实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?(2)实验过程中测得时间t (分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y (Hz)的9组对应数据(t ，y )为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y 关于时间t 的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800；参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 t i －t y i －y －∑ni ＝1t i －t 2，a ^＝y －－b ^t . 解 (1)根据题意得到茎叶图如下图所示，由图中数据可得x －1＝110×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，x －2＝110×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴x －1－x －2＝363－333＝30(N)， ∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.(2)由题意得t ＝19×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，y －＝19×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，∑9i ＝1(t i －t )2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800， ∴b ^＝∑9i ＝1t i －t y i －y －∑9i ＝1t i －t 2＝－180024000＝－0.075， ∴a ^＝y －－b ^t ＝80－(－0.075)×80＝86，∴y 关于时间t 的线性回归方程为y ^＝－0.075t ＋86.(3)9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．3．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2CD ＝2，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，点M 是AB 1的中点．(1)证明：CM ∥平面ADD 1A 1；(2)求点M到平面ADD1A1的距离．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．解 (1)∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2.∵x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0. (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0，表示直线2x ＋y ＋4＝0.∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．不妨设M 2(r 2－1,2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510，中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，b n ＝a nn. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1， ∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ， ② ①－②，得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点．(1)求证：AE ⊥平面A 1BD ； (2)求三棱锥B 1－A 1BD 的体积．解 (1)证明：因为AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC .因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C ，又AE ⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AE .在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，易证得A 1D ⊥AE ，又A 1D ∩BD ＝D ，A 1D ⊂平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以AE ⊥平面A 1BD .(2)如图，连接AB 1交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点，所以点B 1到平面A 1BD 的距离等于点A 到平面A 1BD 的距离，易知BD ＝3，所以V 三棱锥B 1－A 1BD ＝V 三棱锥A －A 1BD ＝V 三棱锥B －AA 1D ＝13×S △AA 1D ×BD ＝13×12×2×1×3＝33，所以三棱锥B 1－A 1BD 的体积为33. 3．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：(1)在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体，比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件．②记3件优等品为A，B，C,2件合格品分别为a，b，从中随机抽2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M，则事件M发生的情况有6种，所以P (M )＝610＝35.(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T 1元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T 2元，可得T 1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T 2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T 1<T 2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村脱贫较好．4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标； (2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3. (2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β， ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]． 5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， ∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－－2x①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－－2x ②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－x－③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32，综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max .∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4， ∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g(x)min＝|a＋1|，∴|a＋1|≥4，∴a＋1≥4或a＋1≤－4，解得a≥3或a≤－5，故a的取值范围为{a|a≥3或a≤－5}．中难提分突破特训(六)1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，连接CG，EF，BG.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．解(1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，∵G为AD的中点，∴AD⊥CG，BG⊥AD，CG∩BG＝G，∴AD⊥平面BCG，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG1.(2)过E作EO⊥BC于点O，连接GE，∵△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直， ∴OE ⊥平面BCD ，∵EG ∥CD ， ∴EG ∥平面BCD ，∴G 到平面BCD 的距离即为OE ，易得OE ＝32， ∴V 三棱锥D －BCG ＝V 三棱锥G －BCD ＝13×S △BCD ×OE＝13×12×2×2×sin120°×32＝12. 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且3(b 2＋c 2－a 2)＝4S .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，当b ＋2c 取得最大值时，求cos B . 解 (1)由已知3(b 2＋c 2－a 2)＝4S ＝2bc sin A ，由余弦定理得23bc cos A ＝2bc sin A ，所以tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.(2)由正弦定理得3sinπ3＝b sin B ＝csin C ，即b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因此b ＋2c ＝2sin B ＋4sin C ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝4sin B ＋23cos B ＝27sin(B ＋φ)，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan φ＝32，则sin φ＝37＝217，故b ＋2c ≤27，当且仅当B ＋φ＝π2，即B ＝π2－φ时取等号，故此时cos B ＝sin φ＝217.3．为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下(单位：厘米)：男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172(1)根据测量结果完成身高的茎叶图(单位：厘米)，并分别求出男、女生身高的平均值；(2)请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h(单位：厘米)，将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？参照公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，n＝a＋b＋c＋d.(3)若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，现用分层抽样的方法从这10名男生中选出5人，再从这5名男生中任意选出2人，求恰有1人身高属于正常的概率．解(1)茎叶图为：平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式，得到平均身高：男生168.8，女生163.6.(2)根据中位数的概念得到h ＝165.K 2＝2099≈0.202<2.706.所以没有90%的把握认为男、女生身高有差异．(3)由测量结果可知，身高属于偏矮的男生频率为0.4，身高属于正常的男生频率为0.4，身高属于偏高的男生频率为0.2，故用分层抽样的方法选出的5人中，身高偏矮的有2人，记为A ，B ，身高正常的有2人，记为c ，d ，身高偏高的有1人，记为E ，则从这5人中任意选出2人，所有情况为AB ，Ac ，Ad ，AE ，Bc ，Bd ，BE ，cd ，cE ，dE ，共10种，恰有1人身高属于正常的有Ac ，Ad ，Bc ，Bd ，cE ，dE ，共6种，故恰有1人身高属于正常的概率为35.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解 (1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x－y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 1，22t 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 2，22t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5. 5．已知函数f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |.(1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f (x )≥3|x |＋1的解集； (2)若a >0，b >0，且函数f (x )的最小值为2，求3a ＋b 的值．解 (1)当a ＝1，b ＝0时，由f (x )≥3|x |＋1，得2|x ＋1|≥1，所以|x ＋1|≥12，解得x ≤－32或x ≥－12，所以所求不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)解法一：因为f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －2a ＋b ，x <－a ，－x ＋2a ＋b ，－a ≤x ≤b 3，5x ＋2a －b ，x >b3，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b3上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，＋∞上为增函数，所以当x ＝b3时，函数f (x )取得最小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3＋a ＝2. 因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.解法二：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3，等号在－a ≤x ≤b3时成立，因为当x ＝b3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3的最小值为0，所以f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，等号在x ＝b3时成立，所以f (x )的最小值为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，从而2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＝2.因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训全集理

中难提分突破特训(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c －b a ＝cos Bcos A .(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边上一点，且CD ＝2DB ，b ＝3，AD ＝21，求a . 解 (1)由已知，得(2c －b )cos A ＝a cos B ，由正弦定理，得(2sin C －sin B )cos A ＝sin A cos B ，整理，得2sin C cos A －sin B cos A ＝sin A cos B ，即2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C . 又sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)如图，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，又CD ＝2DB ，∠BAC ＝π3，所以ED ＝13AC ＝1，∠DEA ＝2π3.由余弦定理可知，AD 2＝AE 2＋ED 2－2AE ·ED cos2π3，解得AE ＝4，则AB ＝6. 又AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以在△ABC 中，由余弦定理，得a ＝BC ＝3 3.2．已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由；(2)当四面体A －BCD 的体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．解 (1)若AB ⊥CD ，由AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，得AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC .所以AB 2＋a 2＝BC 2，即12＋a 2＝(2)2，所以a ＝1. 若AD ⊥BC ，由AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，得AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC ，所以AD 2＋a 2＝CD 2，即(2)2＋a 2＝12，所以a 2＝－1，无解，故AD ⊥BC 不成立． (2)要使四面体A －BCD 的体积最大，因为△BCD 的面积为定值22，所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时平面ABD ⊥平面BCD ，过点A 作AO ⊥BD 于点O ，则AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，则易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，33，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，显然，平面BCD 的一个法向量为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63.设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，63，所以⎩⎨⎧6x ＝3y ，23y ＝6z ，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)．观察可知二面角A －CD －B 为锐二面角，故二面角A －CD －B 的余弦值为|cos 〈OA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪26363×1＋2＋4＝277.3．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (－2,1)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最小值； (3)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意，设P (x ，y )，则|AP |＝2|OP |，即|AP |2＝4|OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知轨迹C 是以C (－1,0)为圆心，以2为半径的圆．又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B 在圆内，所以当线段MN 的长度最小时，BC ⊥MN ，所以圆心C 到直线MN 的距离为 |BC |＝(－2＋1)2＋(1－0)2＝2，此时，线段MN 的长为|MN |＝2|CM |2－|BC |2＝2×4－2＝22，所以，线段MN 长度的最小值为2 2.(3)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2. 因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距离为|CQ |＝(t ＋1)2＋(t －0)2＝2t 2＋2t ＋1，所以|2－t |≤|CQ |≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3. 所以实数t 的取值范围是[－3＋23，3]．4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，直线C 2的普通方程为y ＝33x .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 1的极坐标方程为(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－3)2＝4，即ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0. 因为直线C 2过原点，且倾斜角为π6，所以直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设点A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，θ＝π6，得ρ2－(33＋3)ρ＋14＝0，所以ρ1＋ρ2＝33＋3，ρ1ρ2＝14，又ρ1>0，ρ2>0，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝33＋314.5．设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|，当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．中难提分突破特训(二)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N *)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2，因为k ∈N *，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9，故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]，得a n ＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)，所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n －7)＋2．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时，y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x －y －4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)散点图如图所示．(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1，∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^＝23.(3)可以判断，落在直线2x －y －4＝0右下方的点满足2x －y －4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3， P (ξ＝1)＝C 22C 13C 35＝310，P (ξ＝2)＝C 12C 23C 35＝610＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 35＝110，故ξ的分布列为故E (ξ)＝1×310＋2×35＋3×110＝1810＝95.3．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AD ⊥AB ，DC ＝2AD ＝2AB ＝2，AA 1＝4，点M 为C 1D 1的中点．(1)求证：平面AB 1D 1∥平面BDM ；(2)求直线CD 1与平面AB 1D 1所成角的正弦值．解 (1)证明：由题意得，DD 1∥BB 1，DD 1＝BB 1，故四边形DD 1B 1B 为平行四边形，所以D 1B 1∥DB ，由D 1B 1⊂平面AB 1D 1，DB ⊄平面AB 1D 1，故DB ∥平面AB 1D 1，由题意可知AB ∥DC ，D 1C 1∥DC ，所以，AB ∥D 1C 1. 因为M 为D 1C 1的中点，所以D 1M ＝AB ＝1，所以四边形ABMD 1为平行四边形，所以BM ∥AD 1，由AD 1⊂平面AB 1D 1，BM ⊄平面AB 1D 1，所以BM ∥平面AB 1D 1，又由于BM ，BD 相交于点B ，BM ，BD ⊂平面BDM ，所以平面BDM ∥平面AB 1D 1.(2)由题意，以D 为坐标原点，分别以D A →，D C →，DD 1→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点D 1(0,0,4)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B 1(1,1,4)，AD 1→＝(－1,0,4)，AB 1→＝(0,1,4)，设平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，有⎩⎪⎨⎪⎧AD 1→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4z ＝0，y ＋4z ＝0，令z ＝1，则n ＝(4，－4,1)，CD 1→＝(0，－2,4)，令θ为直线CD 1与平面AB 1D 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈CD 1→，n 〉|＝|CD 1→·n ||CD 1→||n |＝216555.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝(3cos θ－1)2＋4sin 2θ ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意；当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3，∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ，∴a 2＋b2＋c 2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号. ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值是1.中难提分突破特训(三)1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∠B 1BC ＝60°，B 1C 1⊥AB 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)若AB ⊥AC ，且AB 1＝BB 1，求二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值．解 (1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO ，OB 1.因为BC ＝BB 1，∠B 1BC ＝60°，所以△BCB 1是等边三角形，所以B 1O ⊥BC ，又BC ∥B 1C 1，B 1C 1⊥AB 1，所以BC ⊥AB 1，所以BC ⊥平面AOB 1，所以BC ⊥AO ，由三线合一可知△ABC 为等腰三角形，所以AB ＝AC .(2)设AB 1＝BB 1＝2，则BC ＝BB 1＝2. 因为AB ⊥AC ，所以AO ＝1. 又因为OB 1＝3，所以OB 21＋AO 2＝AB 21，所以AO ⊥OB 1.以O 为坐标原点，向量OB →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，C (－1,0,0)，A 1(－1，3，1)，B 1(0，3，0)，CA 1→＝(0，3，1)，CB 1→＝(1，3，0)，设平面A 1B 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CA 1→·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＋z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，－1，3)，由(1)可知，平面CB 1C 1的法向量可取OA →＝(0,0,1)，所以cos 〈OA →，n 〉＝OA →·n |OA →||n |＝217，由图示可知，二面角A 1－CB 1－C 1为锐二面角，所以二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值为217. 2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z .又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2，由正弦定理，得212＝2sin B ， ∴sin B ＝22.∴B ＝π4. ∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12.∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin60°＝2sin45°，∴BC ＝a ＝ 6.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．(2)列联表如下：K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． (3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X 元，则X 的可能取值为84,96,108,120.P (X ＝84)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝96)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝108)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝120)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以E (X )＝84×18＋96×38＋108×38＋120×18＝102.因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3.5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12；③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23.综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12. (2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn ＝4.当且仅当m n ＝nm且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立，∴－a ≤(2x ＋6)min＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立，∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.中难提分突破特训(四)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A . (1)求c b的值；(2)设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解 (1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376 实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?(2)实验过程中测得时间t (分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y (Hz)的9组对应数据(t ，y )为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y 关于时间t 的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800；参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t . 解 (1)根据题意得到茎叶图如下图所示，由图中数据可得x －1＝110×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，x －2＝110×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴x －1－x －2＝363－333＝30(N)， ∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.(2)由题意得t ＝19×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，y －＝19×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，∑9i ＝1(t i －t )2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800， ∴b ^＝∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)∑9i ＝1(t i －t )2＝－180024000＝－0.075， ∴a ^＝y －－b ^t ＝80－(－0.075)×80＝86，∴y 关于时间t 的线性回归方程为y ^＝－0.075t ＋86.(3)9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．3．如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝12CD ＝2，PD ＝PB ＝6，PD⊥BC .(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为π3？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，∠ADC ＝π2，所以BD ＝22，又因为CD ＝4，∠BDC ＝π4.根据余弦定理得BC ＝22，所以CD 2＝BD 2＋BC 2，故BC ⊥BD .又因为BC ⊥PD ，PD ∩BD ＝D ，且BD ，PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . (2)由(1)得平面ABCD ⊥平面PBD ，设E 为BD 的中点，连接PE ，因为PB ＝PD ＝6，所以PE ⊥BD ，PE ＝2，又因为平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD ∩平面PBD ＝BD ，所以PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为坐标原点，分别以AD →，AB →，E P →的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,4,0)，D (2，0,0)，P (1,1,2)，假设存在M (a ，b ，c )满足要求，设CM CP＝λ(0≤λ≤1)，即CM →＝λCP →， (a －2，b －4，c )＝λ(－1，－3,2)，得a ＝2－λ，b ＝4－3λ，c ＝2λ，则M (2－λ，4－3λ，2λ)，易得平面PBD 的一个法向量为BC →＝(2,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABM 的一个法向量， AB →＝(0,2,0)，AM →＝(2－λ，4－3λ，2λ)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，(2－λ)x ＋(4－3λ)y ＋2λz ＝0，不妨取n ＝(2λ，0，λ－2)．因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为π3，所以|cos 〈B C →，n 〉|＝|4λ|22×4λ2＋(λ－2)2＝12，解得λ＝23，λ＝－2(不符合题意，舍去)．故存在点M 满足条件，且CM CP ＝23.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．解 (1)∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2. ∵x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0，表示直线2x ＋y ＋4＝0. ∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．不妨设M 2(r 2－1,2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．∴|M 1M 2|的最小值为3510.5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (2x )－f (x ＋1)≥2的解集；(2)若a >0，b >0且a ＋b ＝f (3)，求证：a ＋1＋b ＋1≤2 2. 解 (1)因为f (x )＝|x －1|，所以f (2x )－f (x ＋1)＝|2x －1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，1－3x ，0<x <12，x －1，x ≥12，由f (2x )－f (x ＋1)≥2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－3x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －1≥2.解得x ≤－1或x ∈∅或x ≥3，所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)证明：a ＋b ＝f (3)＝2，又a >0，b >0，所以要证a ＋1＋b ＋1≤22成立，只需证(a ＋1＋b ＋1)2≤(22)2成立，即证a ＋b ＋2＋2(a ＋1)(b ＋1)≤8，只需证(a ＋1)(b ＋1)≤2成立，因为a >0，b >0，所以根据基本不等式 (a ＋1)(b ＋1)≤(a ＋1)＋(b ＋1)2＝2成立，故命题得证．中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，b n ＝a nn. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1， ∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ， ② ①－②，得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.2．如图，在直角梯形ABED 中，AB ∥DE ，AB ⊥BE ，且AB ＝2DE ＝2BE ，点C 是AB 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置．(1)求证：平面PBC ⊥平面PEB ；(2)若PE 与平面PBC 所成的角为45°，求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．解 (1)证明：∵AB ∥DE ，AB ＝2DE ，点C 是AB 的中点， ∴CB ∥ED ，CB ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴CD ∥EB ，又EB ⊥AB ，∴CD ⊥AB ，∴CD ⊥PC ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面PBC ， ∴EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面PEB ，∴平面PBC ⊥平面PEB . (2)由(1)知EB ⊥平面PBC ，∴∠EPB 即为PE 与平面PBC 所成的角， ∴∠EPB ＝45°，∵EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ， ∴△PBE 为等腰直角三角形， ∴EB ＝PB ＝BC ＝PC ，故△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥BC ， ∵EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面EBCD ， ∴平面EBCD ⊥平面PBC ，又PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，设BC ＝2，则B (0,1,0)，E (2,1,0)，D (2，－1,0)，P (0,0，3)，从而DE →＝(0,2,0)，PE →＝(2,1，－3)，设平面PDE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝0，m ·PE →＝0，得⎩⎨⎧2y ＝0，2x ＋y －3z ＝0，令z ＝2得m ＝(3，0,2)，又平面PBC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝37＝217，所以，平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为217. 3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y 元，求Y 的分布列和数学期望．附：若ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.解 (1)x －＝1100×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，由正态分布知，P (5.5<X <9.5)＝P (μ<ξ<μ＋2σ)＝12P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝12×0.9544＝0.4772.该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为47.72%.(2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4，Y 的取值为6,8,10,12.则P (Y ＝6)＝C 11C 13C 28＝328；P (Y ＝8)＝C 23＋C 11C 14C 28＝728＝14； P (Y ＝10)＝C 13C 14C 28＝1228＝37；P (Y ＝12)＝C 24C 28＝628＝314.所以Y 的分布列为E (Y )＝6×328＋8×14＋10×37＋12×314＝192＝9.5.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β， ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]． 5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， ∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1 ①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32，综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4， ∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|，∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4，解得a ≥3或a ≤－5，故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．中难提分突破特训(六)1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且3(b 2＋c 2－a 2)＝4S .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，当b ＋2c 取得最大值时，求cos B .解 (1)由已知3(b 2＋c 2－a 2)＝4S ＝2bc sin A ，由余弦定理得23bc cos A ＝2bc sin A ，所以tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.(2)由正弦定理得3sinπ3＝b sin B ＝csin C ，即b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因此b ＋2c ＝2sin B ＋4sin C ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝4sin B ＋23cos B ＝27sin(B ＋φ)，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan φ＝32，则sin φ＝37＝217，故b ＋2c ≤27，当且仅当B ＋φ＝π2，即B ＝π2－φ时取等号，故此时cos B ＝sin φ＝217. 2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB，D 为BB 1的中点．(1)若E 为AB 1上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求EB 1AB 1的值； (2)在(1)的条件下，设异面直线AB 1与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面AB 1C 1所成角的正弦值．解 (1)如图，取AB 的中点M ，连接CM ，MD，有MD ∥AB 1，因为AC ＝BC ，所以CM ⊥AB ，又因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又因为平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1，又因为DE ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥DE ，又因为DE ⊥CD ，CD ∩CM ＝C ，CD ⊂平面CMD ，CM ⊂平面CMD ，所以DE ⊥平面CMD ，又因为MD ⊂平面CMD ，所以DE ⊥MD ，因为MD ∥AB 1，所以DE ⊥AB 1，连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝O ，因为ABB 1A 1为正方形，所以A 1B ⊥AB 1，又因为DE ⊂平面AA 1B 1B ，A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，所以DE ∥A 1B ，又因为D 为BB 1的中点，所以E 为OB 1的中点，所以EB 1AB 1＝14. (2)如图，以M 为坐标原点，分别以MA ，MO ，MC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2a ，由题意可知∠CDM ＝45°，所以AB 1＝22a ，所以DM ＝CM ＝2a ，所以A (a,0,0)，B 1(－a,2a,0)，C 1(0,2a ，2a )，D (－a ，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，0，所以AB 1→＝(－2a,2a,0)，B 1C 1→＝(a,0，2a )， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，0，设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，得平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(2，2，－1)．所以cos 〈DE →，n 〉＝DE →·n |DE →||n |＝222×5＝255.所以直线DE 与平面AB 1C 1所成角的正弦值为255.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2与椭圆E 的另外两个交点分别为M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1. (2)证明：不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)．P (x 0,4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线PA 1的方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2的方程为y ＝6x 0x －2.点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x3＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x27＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x 03＋x 20，2x 20－63＋x 20，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 027＋x 20，－2x 20＋5427＋x 20. 直线MN 的方程为y －2x 20－63＋x 20＝－x 20－96x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6x 03＋x 20，即y ＝－x 20－96x 0x ＋1.故直线MN 恒过定点B (0,1)．又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 的周长＝|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解 (1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去t ，得直线l ：x－y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t 代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 1，22t 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 2，22t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5. 5．已知函数f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |.(1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f (x )≥3|x |＋1的解集； (2)若a >0，b >0，且函数f (x )的最小值为2，求3a ＋b 的值．解 (1)当a ＝1，b ＝0时，由f (x )≥3|x |＋1，得2|x ＋1|≥1，所以|x ＋1|≥12，解得x ≤－32或x ≥－12，所以所求不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)解法一：因为f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －2a ＋b ，x <－a ，－x ＋2a ＋b ，－a ≤x ≤b 3，5x ＋2a －b ，x >b3，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b3上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，＋∞上为增函数，所以当x ＝b3时，函数f (x )取得最小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3＋a ＝2. 因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.解法二：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3，等号在－a ≤x ≤b3时成立，因为当x ＝b3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3的最小值为0，所以f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，等号在x ＝b3时成立，所以f (x )的最小值为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，从而2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＝2.因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.- 31 -。

2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题高难拉分攻坚特训

高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 答案 D解析由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a n ≠0，(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)，设b n ＝a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 100＝________.答案 9901解析由(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)整理得a n ＋1·(S n ＋1－S n －1)＝2n (S n ＋1－S n )⇔a n ＋1·(a n ＋1＋a n )＝2na n ＋1，即a n ＋1＋a n ＝2n (n ≥2)，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，两式相减得a n ＋2－a n ＝2(n ≥2)，故{b n }从第二项起是以2为公差的等差数列，b 1＝a 1＝1，由于a 3＋a 2＝4，则a 3＝2，∴b 2＝a 3＝2，故T 100＝1＋2×99＋99×982×2＝9901. 3．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (－2,1)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最小值； (3)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意，设P (x ，y )，则|AP |＝2|OP |，即|AP |2＝4|OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4. 所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知轨迹C 是以C (－1,0)为圆心，以2为半径的圆．又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B 在圆内，所以当线段MN 的长度最小时，BC ⊥MN ，所以圆心C 到直线MN 的距离为 |BC |＝－2＋2＋－2＝2，此时，线段MN 的长为|MN |＝2|CM |2－|BC |2＝2×4－2＝22，所以，线段MN 长度的最小值为2 2.(3)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2. 因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距离为 |CQ |＝t ＋2＋t －2＝2t 2＋2t ＋1，所以|2－t |≤|CQ |≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3.所以实数t 的取值范围是[－3＋23，3]．4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x e x－2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln (2a )或x >0，由f ′(x )<0得ln (2a )<x <0，∴f (x )在(－∞，ln (2a ))上单调递增，在(ln (2a )，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln (2a )，由f ′(x )<0得0<x <ln (2a )，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0，即a ≤e x－x 2－1x对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝x －x－x －x2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x－1.∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x>x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．高难拉分攻坚特训(二)1．已知数列{a n }满足a 1>0，a 11＝4，a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，数列{b n }满足b n >0，b 1＝a 12，b n ＝b n ＋1＋12b 2n ＋1，n ∈N *.若存在正整数m ，n (m ≤n )，使得b m ＋b n ＝14，则( ) A ．m ＝10，n ＝12 B ．m ＝9，n ＝11 C ．m ＝4，n ＝6 D ．m ＝1，n ＝3答案 D解析因为a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，b n ＝b n ＋1＋12b 2n ＋1，则有a n ＋1>a n >…>a 1>0，b 1>b 2>…>b n >0，且函数y ＝12x 2＋x 在(0，＋∞)上单调递增，故有b 1＝a 12＝b 2＋12b 22＝a 11＋12a 211，得b 2＝a 11＝4，同理有b 3＝a 10＝2，…，b m ＝a 13－m ，又因为a 12＝a 11＋12a 211＝12，故b m ＋b n ＝a 10＋a 12，所以m ＝1，n ＝3.故选D.2．已知f (x )＝axx 2＋c＋b ，g (x )＝[f (x )]2－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称； ②f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③存在M >0，使|f (x )|≤M ； ④若g (x )有零点，则b ＝0；⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}．答案 ①③⑤ 解析令y ＝axx 2＋c(a ≠0)，则该函数的定义域为R ，且函数为奇函数，故其图象关于原点(0,0)对称．又函数y ＝f (x )的图象是由y ＝axx 2＋c(a ≠0)的图象向上或向下平移|b |个单位而得到的，所以函数y ＝f (x )图象的对称中心为(0，b )，故①正确．当x >0时，y ＝axx 2＋c＝ax ＋cx，若a >0，c >0，则函数y ＝x ＋c x在(0, c )上单调递减，所以函数y ＝f (x )单调递增；函数y ＝x ＋c x在(c ，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f (x )单调递减，故②不正确．令y ＝axx 2＋c(a ≠0)，则当x ＝0时，y ＝0，f (x )＝b ，|f (x )|＝|b |，令M ＝|b |＋1>0，则|f (x )|≤M 成立；当x ≠0时，y ＝axx 2＋c ＝ax ＋c x，则|y |＝|a ||x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c x ≤|a |2|c |＝|a |2c .所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax x 2＋c ＋b ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax x 2＋c ＋|b |≤|a |2c ＋|b |，令M ＝|a |2c＋|b |，则|f (x )|≤M 成立，故③正确．若g (x )有零点，则g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝±1，从而得axx 2＋c＋b ＝±1，故axx 2＋c＝－b ±1，结合③可得当g (x )有零点时，只需|－b ±1|≤|a |2c 即可，而b 不一定为零，故④不正确．由g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝axx 2＋c＋b ＝±1.取b ＝0，axx 2＋c＝1，整理得x 2－ax＋c ＝0.当a ＝3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0的两根为x ＝1或x ＝2.又函数y ＝axx 2＋c为奇函数，故方程的解集为{1，－1,2，－2}，故⑤正确．综上可得①③⑤正确．3．在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0外切，同时与圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值．解 (1)∵圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0，∴圆心O 1(－1,0)，半径为1. ∵圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0，∴圆心O 2(1,0)，半径为5. 设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ， ∵圆M 与圆O 1外切，∴|MO 1|＝R ＋1， ∵圆M 与圆O 2内切，∴|MO 2|＝5－R ，两式相加得：|MO 1|＋|MO 2|＝6>|O 1O 2|，由椭圆定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝6，∴a ＝3，∵c ＝1，∴b ＝2 2. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，S (x S,0)，T (x T,0)， ∴B (x 2，－y 2)且x 1≠±x 2. ∵k AP ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴l AP ：y －y 1＝k AP (x －x 1)， y －y 1＝y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得x S ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1；同理得，x T ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1.∵|OS |·|OT |＝|x S ·x T |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21，又∵P ，A 在椭圆上，∴y 21＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219，y 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 229， ∴y 22－y 21＝89()x 21－x 22，∴x 21y 22－x 22y 21＝8x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 229－8x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝8(x 21－x 22)，∴|OS |·|OT |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21－x 2289x 21－x 22＝9.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x－12ax 2＋1，a ∈R .(1)当a ≤1时，讨论f (x )的单调性； (2)当a ＝1时，证明不等式1f＋1f＋…＋1f n<4(n ∈N *)．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝x e x－ax ＝x (e x－a )．当a ≤0时，e x－a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，若x <0，则e x－a <0，f ′(x )>0；若x >0，则e x－a >0，f ′(x )>0. 所以f (x )在R 上单调递增．当0<a <1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1时，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减． (2)证明：由题意知，当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－12x 2＋1.当n ＝1时，1f＝2<4，显然成立．当n ≥2时，由(1)知，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (0)＝0在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1，可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以g (x )≥g (0)＝0，即e x≥x ＋1.所以当n ≥2时，f (n )≥(n －1)(n ＋1)－12n 2＋1＝12n 2，1f n ≤2n 2，所以1f n <2n －n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .于是1f＋1f＋…＋1fn <2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝4－2n <4. 综上可知，1f ＋1f＋…＋1f n<4(n ∈N *)．高难拉分攻坚特训(六)1．已知函数f (x )＝x ＋1ex－ax 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e答案 A 解析 f (x )＝x ＋1ex－ax ，令f (x )＝0，可得ax ＝x ＋1ex，当x ＝0时，上式显然不成立；可得a ＝x ＋1x e x (x ≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g (x )＝x ＋1x e x的图象和直线y ＝a 有且只有两个交点．由g ′(x )＝ex－x 2－x －x e x 2<0恒成立，可得当x ＞0时，g (x )单调递减；当x＜0时，g (x )单调递减．且g (x )＝x ＋1x e x>0在x >0或x <－1时恒成立，作出函数g (x )的大致图象，如图，由图象可得a >0时，直线y ＝a 和y ＝g (x )的图象有两个交点．故选A.2．已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．答案25π4解析因为六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P －ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h ，则13×⎝ ⎛⎭⎪⎫6×12×1×1×sin60°h ＝3，解得h ＝2.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得(2－R )2＋12＝R 2，解得R ＝54，所以球O 的表面积为4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4. 3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2与椭圆E 的另外两个交点分别为M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1. (2)证明：不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)．P (x 0,4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线PA 1的方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2的方程为y ＝6x 0x －2. 点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－6x 03＋x 20，y 1＝2x 2－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x 027＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x 03＋x 20，2x 20－63＋x 20，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 027＋x 20，－2x 20＋5427＋x 20.直线MN 的方程为y －2x 20－63＋x 20＝－x 20－96x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6x 03＋x 20，即y ＝－x 20－96x 0x ＋1.故直线MN 恒过定点B (0,1)．又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 的周长＝|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8. 4．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，直线l ：y ＝2kx －1.(1)设P (x ，y )是y ＝f (x )图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率k ＝g (x )，若g (x )在x ∈(m ，m ＋1)(m >0)上存在极值，求m 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得直线l 是曲线y ＝f (x )的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(3)试确定曲线y ＝f (x )与直线l 的交点个数，并说明理由．解 (1)∵g (x )＝y x ＝ln x ＋xx(x >0)，∴g ′(x )＝1－ln xx2＝0，解得x ＝e. 由题意得，0<m <e<m ＋1，解得e －1<m <e.(2)假设存在实数k ，使得直线l 是曲线y ＝f (x )的切线，令切点Q (x 0，y 0)，∴切线的斜率2k ＝f ′(x 0)＝1x 0＋1.∴切线的方程为y －(ln x 0＋x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1(x －x 0)，又∵切线过点(0，－1)，∴－1－(ln x 0＋x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1(0－x 0)．解得x 0＝1，∴2k ＝2， ∴k ＝1.(3)由题意，令ln x ＋x ＝2kx －1，得k ＝ln x ＋x ＋12x .令h (x )＝ln x ＋x ＋12x (x >0)，∴h ′(x )＝－ln x2x 2，由h ′(x )＝0，解得x ＝1.∴h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h (1)＝1，又x →0时，h (x )→－∞；x →＋∞时，h (x )＝12＋ln x ＋12x →12，∴k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪{1}时，只有一个交点；k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，有两个交点；k ∈(1，＋∞)时，没有交点．高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，选C.2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233解析如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，即λOA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2，3μ2，∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2，又∵C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，设点C 坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，32≤y ≤1，∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2＝(x ，y )，∴32≤y ＝3λ＋μ2≤1，解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233.3．已知函数f (x )＝x (a ＋ln x )有极小值－e －2. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k <f xx －1对任意的x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，令f ′(x )>0⇒x >e －a －1，令f ′(x )<0⇒0<x <e－a －1，故f (x )的极小值为f (e－a －1)＝－e－a －1＝－e －2，得a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln xx －1，则g ′(x )＝x －2－ln x x －2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x＝x －1x>0，故h (x )在(1，＋∞)上是增函数．由于h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，故存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0. 则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．∵h (x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2，∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0，∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，∴k max ＝3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值？若存在，求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)，半径r ＝1.设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝x ，R ＋1＝|PC |，所以|PC |＝x ＋1，即x －2＋y 2＝x ＋1，整理得y 2＝4x .所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1k，则直线l 的方程为y ＝1t(x －2)，即x ＝ty ＋2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋2，消去x ，得y 2－4ty －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－8.因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)，故k 1＝y 1x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4y 1，同理，得1k 2＝t ＋4y 2，所以1k 21＋1k 22－m k2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 22－m k2＝2t 2＋8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×4t－8＋16×t2－－－2－mt 2＝2t 2＋4－mt 2＝(2－m )t 2＋4，要使该式为定值，则需2－m ＝0，即m ＝2，此时定值为4. 所以存在常数m ＝2，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值，且定值为4.高难拉分攻坚特训(四)1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，且S n ＝1350.若a 2<2，则n 的最大值为( )A ．51B ．52C ．53D ．54 答案 A解析因为a n ＋1＋a n ＝2n ＋1 ①，所以a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3 ②，②－①得a n ＋2－a n ＝2，且a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＝4n －1，所以数列{a n }的奇数项构成以a 1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项，2为公差的等差数列，数列{a 2n －1＋a 2n }是以4为公差的等差数列，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2＋a 1－，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.当n 为偶数时，n n ＋2＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n 为奇数时，n n ＋2＋(a 1－1)＝1350，a 1＝1351－n n ＋2，因为a 2<2，所以3－a 1<2，所以a 1>1，所以1351－n n ＋2>1，所以n (n ＋1)<2700，又n ∈N *,51×52＝2652，所以n ≤51，故选A.2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．答案51281解析因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E 点，设BC ＝a ，则BO ＝22a ，在Rt △EOB 中，则有EO 2＋OB 2＝EB 2，故EO ＝4－a 22，正四棱锥的高为2＋4－a 22，正四棱锥的体积为V ＝13×a 2×⎝⎛⎭⎪⎫2＋4－a 22，令x ＝4－a 22，x ∈(0,2)，则V (x )＝13×(8－2x 2)×(2＋x )，即V (x )＝13×(－2x 3－4x 2＋8x ＋16)，对V (x )求导得，V ′(x )＝13×(－6x 2－8x ＋8)，令V ′(x )＝0，即－6x 2－8x ＋8＝0，解得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，V ′(x )<0，V (x )单调递减，故当x ＝23时，V (x )max ＝51281.3．已知F 是抛物线C ：x 2＝2py ，p >0的焦点，G ，H 是抛物线C 上不同的两点，且|GF |＋|HF |＝3，线段GH 的中点到x 轴的距离为54.点P (0,4)，Q (0,8)，曲线D 上的点M 满足MP →·MQ→＝0.(1)求抛物线C 和曲线D 的方程；(2)是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 分别与抛物线C 相交于点A ，B (A 在B 的左侧)、与曲线D 相交于点S ，T (S 在T 的左侧)，使得△OAT 与△OBS 的面积相等？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)由抛物线定义知54＋p 2＝32，得p ＝12，故抛物线的方程为x 2＝y .由MP →·MQ →＝0得点M 的轨迹D 是以PQ 为直径的圆，其方程为x 2＋(y －6)2＝4.(2)由△OAT 与△OBS 的面积相等得|AT |＝|BS |，则|AS |＝|BT |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，S (x 3，y 3)，T (x 4，y 4)，由AS →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，TB →＝(x 2－x 4，y 2－y 4)，且AS →＝TB →得x 3－x 1＝x 2－x 4，即x 1＋x 2＝x 4＋x 3.(ⅰ)当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝m ，此时只需点(0，m )在圆D 内即可，此时4<m <8.(ⅱ)当直线l 的斜率不为0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝y 得x 2－kx －m ＝0，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，所以Δ＝k 2＋4m >0，① 且x 1＋x 2＝k .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y －2＝4得(1＋k 2)x 2＋2k (m －6)x ＋(m －6)2－4＝0，直线l 与圆D 交于S ，T 两点，所以圆心D (0,6)到直线l 的距离d ＝|m －6|1＋k2<r ＝2，即(m －6)2<4(1＋k 2)，②且x 3＋x 4＝－2km －1＋k2.因为x 1＋x 2＝x 4＋x 3，所以k ＝－2k m －1＋k 2，k ≠0，化简得k 2＝11－2m .代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧11＋2m >0，m －2－m ，解得－2<m <6.又k 2＝11－2m >0，∴－2<m <112. 综上所述，实数m 的取值范围为(－2,8)．4．已知函数f (x )＝ln x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1，a ∈R .(1)若f (x )≥0，求实数a 取值的集合；(2)当a ＝0时，对任意x ∈(0，＋∞)，x 1<x 2，令x 3＝x 2－x 1f x 2－f x 1，证明：x 1<x 3<x 2.解 (1)由已知，有f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.当a ≤0时，若取x ＝12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2＋a <0，与条件f (x )≥0矛盾；当a >0时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )<0，f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )在(0，＋∞)上有最小值f (a )＝ln a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝ln a ＋1－a .由题意f (x )≥0，∴ln a ＋1－a ≥0.令g (x )＝ln x －x ＋1，∴g ′(x )＝1x －1＝1－xx.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．∴g (x )在(0，＋∞)上有最大值g (1)＝0. ∴g (x )＝ln x －x ＋1≤0.∴ln a －a ＋1≤0. ∴ln a －a ＋1＝0，∴a ＝1，综上，当f (x )≥0时，实数a 的取值的集合为{1}．(2)证明：当a ＝0时，f (x )＝ln x ，则1x 3＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝lnx 2x 1x 2－x 1.由(1)，可知ln x ＋1x－1≥0.∴ln x ≥1－1x(当且仅当x ＝1时取等号)． ①∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴ln x 2x 1>1－x 1x 2＝x 2－x 1x 2，∴1x 3>1x 2.∵当x >1时，有ln x <x －1，x 2x 1>1， ∴ln x 2x 1<x 2x 1－1＝x 2－x 1x 1.∴1x 3<1x 1. 综上所述，有1x 1>1x 3>1x 2>0，∴x 1<x 3<x 2.高难拉分攻坚特训(五)1．已知函数f (x )＝sin2x 的图象与直线2kx －2y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 答案 B解析记直线2kx －2y －k π＝0为l ，则l 必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.又l 与f (x )的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，所以由题意可知，x 1＋x 3＝2x 2＝π，且l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，(x 3，f (x 3))是其中一个切点．因为f (x )＝sin2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ，所以切线l 的斜率k ＝2cos2x 3＝sin2x 3x 3－π2，即x 3－πx 3sin2x 3＝1，所以(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝(π－2x 3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 3＝π－2x 3x 3sin2x 3＝－1.故选B.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n＋2S n (n ≥2)，若λ(S n－a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *都成立，则实数λ的最小值为________．答案332解析数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n＋2S n (n ≥2)，所以S n ＋1－S n ＝2n＋S n －S n －1，故a n ＋1－a n ＝2n(n ≥2)，因为a 2－a 1＝21，所以a n ＋1－a n ＝2n(n ≥1)，所以a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －2，…，a 2－a 1＝21，则a n －a 1＝21＋22＋…＋2n －1，故a n ＝1＋21＋…＋2n －1＝2n－12－1＝2n －1，所以S n ＝21＋22＋23＋ (2)－n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－n －2，所以S n －a n ＝2n－n －1，因为λ(S n －a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *都成立，所以λ≥⎝⎛⎭⎪⎫2n －72n max . 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1，当n ≤4时，c n ＋1>c n ，当n ≥5时，c n ＋1<c n ，因此c 1<c 2<c 3<c 4<c 5＞c 6＞c 7＞… 即λ≥c 5＝332，故λ的最小值为332.3．已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)若a ＝1，f (x )>x －k xx －1＋x －1在(1，＋∞)上恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由题可知f ′(x )＝1x －a x 2＋1＝x 2＋x －ax2(x >0)， ①当a ≤0时，此时f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >－1＋4a ＋12；令f ′(x )<0，解得0<x <－1＋4a ＋12.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋4a ＋12上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋4a ＋12，＋∞上单调递增．(2)原不等式等价变形为(k －1)ln x ＋x －1x>0恒成立．令g (x )＝(k －1)ln x ＋x －1x(x >1)，则g ′(x )＝k －1x ＋1＋1x 2＝x 2＋k －x ＋1x 2.令h (x )＝x 2＋(k －1)x ＋1，①当k ≥－1时，此时h (x )的对称轴：x ＝－k －12＝1－k2≤1，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．又∵h (1)＝k ＋1≥0，∴h (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．∴g ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (1)＝0. ∴k ≥－1符合要求．②当k <－1时，此时h (1)＝k ＋1<0，∴h (x )＝0在(1，＋∞)上有一根，设为x 0，当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减．∴g (x )<g (1)＝0.这与g (x )>0在(1，＋∞)上恒成立矛盾．综合①②可得，k 的取值范围为[－1，＋∞)．4．已知点A 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝32上任意一点，点C (2，0)，线段AC 的中垂线交线段AB 于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，且与动点M 的轨迹交于点E ，F ，求△OEF 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题知|MA |＝|MC |，∵|MA |＋|MB |＝42， ∴|MB |＋|MC |＝42>4＝|BC |，∴M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，其方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当l 的斜率存在时．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1，可得|EF |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝22·1＋k 2·8k 2－m 2＋42k 2＋1， ∵l 与圆O 相切，∴3m 2＝8(1＋k 2)，从而|EF |＝463·＋k2k 2＋k 2＋2，令2k 2＋1＝t ，得k 2＝t －12(t ≥1)，∴|EF |＝433·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t＋2 ＝433·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≤433×32＝2 3. 当且仅当t ＝2，即k ＝±22时取等号． ∴(S △OEF )max ＝12×23×83＝2 2. ②当l 的斜率不存在时．易得l 的方程为x ＝263或x ＝－263.此时|EF |＝463，∴S △OEF ＝12×463×83＝83<2 2. 由①②可得，S △OEF 的最大值为2 2.。

2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)讲义：高考解答题突破(二) 数列的综合应

姓名，年级：时间：高考解答题突破（二）数列的综合应用突破“两归”——化归、归纳1．由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法．2．对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发,从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．考向一等差、等比数列的证明证明数列是等差(比）数列的两种基本方法（1）定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*）⇒｛a n}是等差数列；错误!＝q（q是非零常数)⇒｛a n｝是等比数列．（2）等差（比）中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＊)⇒{a n}是等差数列；a2，n＋1＝a n·a n＋2(n∈N＊，a n≠0)⇒｛a n}是等比数列．[解] （1)由题意知,2S n＝（n＋1）2a n－n2a n＋1，2S n＋1＝（n＋2）2a n＋1－（n＋1)2a n＋2，(2）由题意知，b n b n＋1＝λ·2a n＝λ·22n，b n＋1b n＋2＝λ·2a n＋1＝λ·22(n＋1)，两式相除,可得b n＋2＝4b n,即｛b2n｝和{b2n－1｝都是以4为公比的等比数列．∵b1b2＝λ·2a1＝4λ，b1＝1,∴b2＝4λ，b3＝4b1＝4,∴b2n＝2·4n－1＝22n－1,b2n－1＝22n－2,即b n＝2n－1，则b n＋1＝2b n，因此存在λ＝错误!，使得数列｛b n}是等比数列．巧造等差或等比判定方法（1)判断一个数列是等差(等比）数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2）若要判断一个数列不是等差（等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比）数列即可；（3）a错误!＝a n－1a n＋1（n≥2,n∈N*)是｛a n｝为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0。

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训三2

解 (1)由参数方程Error!(θ 为参数)，
得普通方程为 x2＋(y－2)2＝4，
所以 C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，
即 ρ＝4sinθ.
π
(2)不妨设直线 l1：θ＝ 6 (ρ∈R)与曲线 C 的交点为 O，M， π
则 ρM＝|OM|＝4sin 6 ＝2， 2π
合计
nad－bc2 参考公式和数据：K2＝a＋bc＋da＋cb＋d， n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0) k0
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
－x 解 (1) ＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005) ×20＝62. 估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额为 62 元． (2)列联表如下：
中难提分突破特训(三)
1．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？
男女合计
水果达人 10
非水果达人 30

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训五2

中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋，b n ＝.n ＋1n n ＋12n an n (1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解　(1)由a n ＋1＝a n ＋，得＝＋，n ＋1n n ＋12n an ＋1n ＋1an n 12n 又b n ＝，∴b n ＋1－b n ＝，an n 12n 由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝＋＋…＋，即b n －b 1＝＝1－12112212n －112(1－12n －1)1－12，12n －1∴b n ＝2－.12n －1(2)由(1)可知a n ＝2n －，设数列的前n 项和为T n ，则n2n －1{n 2n －1}T n ＝＋＋＋…＋， ①120221322n2n －1T n ＝＋＋＋…＋， ②12121222323n2n ①－②，得T n ＝＋＋＋…＋－1212012112212n －1n2n＝－＝2－，1－12n1－12n 2n n ＋22n ∴T n ＝4－.n ＋22n －1易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)－4＋.n ＋22n －12．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点．(1)求证：AE ⊥平面A 1BD ；(2)求三棱锥B 1－A 1BD 的体积．解　(1)证明：因为AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC .因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C ，又AE ⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AE .在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，易证得A 1D ⊥AE ，又A 1D ∩BD ＝D ，A 1D ⊂平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以AE ⊥平面A 1BD .(2)如图，连接AB 1交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点，所以点B 1到平面A 1BD 的距离等于点A 到平面A 1BD 的距离，易知BD ＝，3所以V 三棱锥B 1－A 1BD ＝V 三棱锥A －A 1BD ＝V 三棱锥B －AA 1D ＝×S △AA 1D ×BD ＝×131312×2×1×＝，333所以三棱锥B 1－A 1BD 的体积为.333．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：(1)在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体，比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解　(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件．②记3件优等品为A ，B ，C,2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，抽取方式有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M ，则事件M 发生的情况有6种，所以P (M )＝＝.61035(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T 1元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T 2元，可得T 1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T 2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T 1<T 2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村脱贫较好．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求的取值(π6≤β≤π3)|OA ||OB |范围．解　(1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得Error!得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝，当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，1412π33(23，π3)当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，所以C 1与C 2交点的极坐标122π33(23，2π3)为(0,0)，，.(23，π3)(23，2π3)(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝，sin βcos2β∴＝＝4cos 2β，|OA ||OB |4sin βsin βcos2β∵≤β≤，∴1≤4cos 2β≤3，π6π3∴的取值范围为[1,3]．|OA ||OB |5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |.(1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解　(1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于Error!　①或Error! ②或Error! ③①无解，解②得≤x ≤，解③得x >，343232综上可得，不等式的解集为Error!.(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max .∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|，∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4，解得a ≥3或a ≤－5，故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(经典版)文档：基础保分强化训练(二)+Word版含解析

基础保分强化训练(二)1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4 答案 C解析由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m－2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则cos2α＝________.答案－35解析设点P到原点的距离是r，由三角函数的定义，得r＝5，sinα＝2r＝25，可得cos2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案91解析由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1项，且最后一项为n2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成△BCD和△ACD，且S△BCD∶S△ACD＝4∶3，则cos A＝________.答案38解析在△ADC中，由正弦定理，得ACsin∠ADC＝37ABsin∠ACD⇒AC37AB＝sin∠ADCsin∠ACD.同理，在△BCD中，得BCsin∠BDC＝47ABsin∠BCD⇒BC47AB＝sin∠BDCsin∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：第一部分第2讲一、函数与方程思想

��6 4 -��
2
=
��2�� 4-1.
令 g(q)=��2��4-1(q>1),g'(q)=2��(��32(��-��12)-22).
分析可得:当 1<q< 2时,g'(q)<0,g(q)在(0, 2)内为减函数,
当 q> 2时,g'(q)>0,g(q)在( 2,+∞)内为增函数,
2a≤1A+.e(-时∞,f1(-xe))>g(x)在(1,+∞)上恒B成. 立1+2.当e,+2∞a>1+e 时,f(x)<g(x)在
(1,+∞C).上(-∞有,1解-e,)符∪合1题+2 e意,+.综∞上,a 的D取. 值1+2范e,围+∞是(-∞,1-e)∪ 1+2e,+∞ .
故选 C.
关闭
C
-3-
应用一函数思想与方程思想的转换
例1设函数f(x)=
1 ��
,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与
关闭
在y=同g(一x)坐的标图系象中有分且别仅画有出两两个个不函同数的的公图共象点,A当(xa1,<y10),时B(,x要2,y想2),满则足下条列件判,
1 2
��12
=
2ln
��2-
1 2
��22.
消去
x2
得,2ln��212
+
2
��
2 1
−

2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第三编讲应试特训样题练习文(最新整理)

第三编讲应试先易后难．就是先做简单题，再做综合题．应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题,力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪．可采取缺步解答、跳步解答、退步解答、辅助解答等多种方式，力争多得分．先熟后生．通览全卷,可以得到许多有利的积极因素,也会看到一些不利之处．对后者,不要惊慌失措,应想到试题偏难对所有考生也难．通过这种暗示，确保情绪稳定．对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略,即先做那些内容掌握比较完整、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目．这样，在拿下熟题的同时,可以使思维流畅、心情愉悦,超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的．先同后异．就是说，可考虑先做同学科同类型的题目．这样思考比较集中，知识或方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益．一般说来，考试解题必须进行“兴奋灶”转移，思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位，必须进行从这一章节到那一章节的跳跃，但“先同后异”可以避免“兴奋灶”过急、过频和过陡的跳跃,从而减轻大脑负担,保持有效精力．先小后大．小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过,应争取在大题之前尽快解决,从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理气氛．先点后面．近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题"，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面．先局部后整体．对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分,即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数．如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数,设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等,都能得分．还有像完成分类讨论,反证法的简单情形等,都能得分．而且可以在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体,产生顿悟，形成思路，从而获得解题成功．先面后点．解决应用性问题，首先要全面审查题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长叙述，抓住重点词句,提出重点数据，此为“点”;综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型,此为“线”．如此将应用性问题转化为纯数学问题．当然，求解过程和结果都不能离开实际背景．先高(分)后低（分）．这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，以使时间不足时少失分;到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分"，以增加在时间不足前提下的得分．建议教师组织专门特训,向学生说明特训的目的，在考试时应使用的思想方法、解题方法、应试技巧等，进行有针对性使用!在讲评时,教师也应重点讲评应试技巧在每一题中是怎样使用的!为方便您理解,我们特意命制了一套样题供您参考．本套试卷知识点覆盖全面，试题常规，难度中等，着重考查基础知识、基本方法与基本技能,着重考查数学的四大思想和选、填题的特殊技法，着重考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．特训样题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，M∩N＝N，则集合N不可能是( )A．∅B．MC.错误!D．｛－1,2｝命题意图本题考查集合的概念和运算，考查转化与化归的数学思想．答案D解析M＝｛y｜y＞1｝，因为M∩N＝N,所以N⊆M，所以集合N有可能是∅或M.所以选项A，B均可能；因为｛x|x错误!＞1｝＝（1，＋∞），所以选项C也可能，而选项D不可能．2．设复数z满足z＋|错误!｜＝2＋i,则z＝( )A．－34＋i B。

2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题二数列第1讲等差数列与等比数列

专题二数列
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(2)(2022·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝
S20，则下列结论错误的是
(D )
A．d<0
B．a16<0
C．Sn≤S15
D．当且仅当n≥32时，Sn<0
专题二数列
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【解析】(1)∵a1>1，a7·a8>1，aa78－－11<0，∴a7>1，a8<1，∴0<q<1，故 A 错误；a7a9＝a28 <1，故 B 错误；∵a1>1，0<q<1，∴数列为递减数列，∴Sn 无最大值，故 C 错误；又 a7>1，a8<1，∴T7 是数列{Tn}中的最大项，故 D 正确．故选 D.
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专题二数列
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方法二：设等比数列{an}的公比为 q，
则aa34qq22－－aa34＝＝1224，，
① ②
② ①得aa43＝q＝2.
将 q＝2 代入①，解得 a3＝4.
所以 a1＝aq32＝1，下同方法一．
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3．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：
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【解析】∵点(n，an)在函数 f(x)＝2x-1 的图象上， ∴an＝2n-1(n∈N*)， ∴{an}是首项为 a1＝1，公比 q＝2 的等比数列， ∴Sn＝1×1(－1－2 2n)＝2n－1，则 bn＝log 2624n＝2n－12(n∈N*)，

2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件文

∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°， ∴c＝ 3a，∴b＝ c2－a2＝ 2a. ∴ba＝ 2，∴双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A．
(2)已知 F1，F2 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以 F1F2 为直
第二编讲专题专题五解析几何
第2讲椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).
1
PART ONE
核心知识回顾
1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线方程)．
A．y＝± 2x
B．y＝±
2 2x
C．y＝±2x D．y＝±2 2x
答案 A
解析由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝ 2a，
由于 P，M 关于原点对称，F1，F2 关于原点对称，∴线段 PM，F1F2 互相平分，四边形 PF1MF2 为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，
D． 10
答案 B
解析设双曲线的右焦点为 F′，取 MN 的中点 P，连接 F′P，F′M， F′N，如图所示，由F→N＝3F→M，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又 O 为 FF′的中点，可知 OM∥PF′.∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN.∴PF′为线段 MN 的垂直平分线．

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(创新版)课件：题型2 第1讲解答题的解法研究

典例 3 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ex－ax2. (1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1； (2)若 f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a.
【方法点睛】本题第(1)问是个不等式问题，我们将其转化为函数问题解决．通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最大值为 0，从而证明了原不等式，充分体现了函数思想的应用．第(2)问是函数零点个数问题，通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值，从而讨论出不同 a 的值得到不同的零点个数．
【方法点睛】本题(1)(2)问都涉及到绝对值不等式，要把绝对值去掉，解答才得以继续进行，在第(1)问中，通过对变量 x 进行分类讨论，绝对值不等式转化为一次不等式，原不等式从而得到解答；(2)问中对参数 a 进行讨论，去掉绝对值，求出参数范围．
典例 2 设 b∈R，数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋b，试判断{an}是否是等比数列？并说明理由．
典例 5 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝3cosθ， y＝sinθ
(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为xy＝＝a1＋－4t t，
(t 为参数)．
(1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
二转化与化归思想数学思想中的一条重要原则是转化与化归，不断地变更数学问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把某一数学分支中的问题转化为另外一个数学分支中的问题，最终求出原题的解．总体目标：化难为易，化生为熟，化繁为简．解题途径：函数、方程、不等式间的转化；数与形间的转化；一般与特殊的转化；整体与局部的转化；正面与反面的转化等等．常见的方法：换元法、数形结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等．

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题高难拉分攻坚特训二2

高难拉分攻坚特训(二)1．已知数列{a n }满足a 1>0，a 11＝4，a n ＋1＝a n ＋a ，数列{b n }满足b n >0，b 1＝a 12，b n ＝b n ＋1＋b 122n 12，n ∈N *.若存在正整数m ，n (m ≤n )，使得b m ＋b n ＝14，则( )2n ＋1A ．m ＝10，n ＝12B ．m ＝9，n ＝11C ．m ＝4，n ＝6D ．m ＝1，n ＝3答案　D解析　因为a n ＋1＝a n ＋a ，b n ＝b n ＋1＋b ，则有a n ＋1>a n >…>a 1>0，b 1>b 2>…>b n >0，且函数122n 122n ＋1y ＝x 2＋x 在(0，＋∞)上单调递增，故有b 1＝a 12＝b 2＋b ＝a 11＋a ，得b 2＝a 11＝4，同理有1212212211b 3＝a 10＝2，…，b m ＝a 13－m ，又因为a 12＝a 11＋a ＝12，故b m ＋b n ＝a 10＋a 12，所以m ＝1，n ＝3.故选D.122112．已知f (x )＝＋b ，g (x )＝[f (x )]2－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是axx 2＋c ________．(写出所有正确结论的序号)①f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称；②f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③存在M >0，使|f (x )|≤M ；④若g (x )有零点，则b ＝0；⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}．答案　①③⑤解析　令y ＝(a ≠0)，则该函数的定义域为R ，且函数为奇函数，故其图象关于原点(0,0)对axx 2＋c 称．又函数y ＝f (x )的图象是由y ＝(a ≠0)的图象向上或向下平移|b |个单位而得到的，所以函数axx 2＋c y ＝f (x )图象的对称中心为(0，b )，故①正确．当x >0时，y ＝＝，若a >0，c >0，则函数y ＝x ＋在(0, )上单调递减，所以函数ax x 2＋c ax ＋c x cx c y ＝f (x )单调递增；函数y ＝x ＋在(，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f (x )单调递减，故②不正确．cx c 令y ＝(a ≠0)，则当x ＝0时，y ＝0，f (x )＝b ，|f (x )|＝|b |，令M ＝|b |＋1>0，则|f (x )axx 2＋c |≤M 成立；当x ≠0时，y ＝＝，则|y |＝≤＝.所以|f (x )|＝≤ax x 2＋c a x ＋c x |a ||x |＋|c x ||a |2|c ||a |2c |ax x 2＋c ＋b |＋|b |≤＋|b |，令M ＝＋|b |，则|f (x )|≤M 成立，故③正确．|ax x 2＋c ||a |2c |a |2c 若g (x )有零点，则g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝±1，从而得＋b ＝±1，故axx 2＋c ＝－b ±1，结合③可得当g (x )有零点时，只需|－b ±1|≤即可，而b 不一定为零，故④不正axx 2＋c |a |2c 确．由g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝＋b ＝±1.取b ＝0，＝1，整理得x 2－ax ＋c ＝0.当ax x 2＋c axx 2＋c a ＝3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0的两根为x ＝1或x ＝2.又函数y ＝为奇函数，故方程的解集为ax x 2＋c {1，－1,2，－2}，故⑤正确．综上可得①③⑤正确．3．在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0外切，同时与圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值．解　(1)∵圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0，∴圆心O 1(－1,0)，半径为1.∵圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0，∴圆心O 2(1,0)，半径为5.设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ，∵圆M 与圆O 1外切，∴|MO 1|＝R ＋1，∵圆M 与圆O 2内切，∴|MO 2|＝5－R ，两式相加得：|MO 1|＋|MO 2|＝6>|O 1O 2|，由椭圆定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，∵2a ＝6，∴a ＝3，∵c ＝1，∴b ＝2.2∴动圆圆心M 的轨迹方程为＋＝1.x 29y 28(2)证明：设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，S (x S,0)，T (x T,0)，∴B (x 2，－y 2)且x 1≠±x 2.∵k AP ＝，∴l AP ：y －y 1＝k AP (x －x 1)，y 1－y 2x 1－x 2y －y 1＝(x －x 1)，y 1－y 2x 1－x 2令y ＝0得x S ＝；x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1同理得，x T ＝.x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1∵|OS |·|OT |＝|x S ·x T |＝，|x 21y 2－x 2y 21y 2－y 21|又∵P ，A 在椭圆上，∴y ＝8，y ＝8，21(1－x 219)2(1－x 29)∴y －y ＝，∴x y －x y ＝8x －8x ＝8(x －x )，22189(x 21－x 2)21222121(1－x 29)2(1－x 219)212∴|OS |·|OT |＝＝＝9.|x 21y 2－x 2y 21y 2－y 21||8 x 21－x 289 x 21－x 2 |4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2＋1，a ∈R .12(1)当a ≤1时，讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明不等式＋＋…＋<4(n ∈N *)．1f 1 1f 2 1f n 解　(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝x e x －ax ＝x (e x －a )．当a ≤0时，e x －a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，若x <0，则e x －a <0，f ′(x )>0；若x >0，则e x －a >0，f ′(x )>0.所以f (x )在R 上单调递增．当0<a <1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1时，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减．(2)证明：由题意知，当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2＋1.12当n ＝1时，＝2<4，显然成立．1f 1 当n ≥2时，由(1)知，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (0)＝0在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1，可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以g (x )≥g (0)＝0，即e x ≥x ＋1.所以当n ≥2时，f (n )≥(n －1)(n ＋1)－n 2＋1＝n 2，≤，12121f n 2n 2所以<＝2.1f n 2 n －1 n (1n －1－1n )于是＋＋…＋<2＋2＝4－<4.1f 1 1f 2 1f n [(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]2n 综上可知，＋＋…＋<4(n ∈N *)．1f 1 1f 2 1f n。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(经典版)文档：基础保分强化训练(二) Word版含解析

基础保分强化训练(二)A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i－2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种答案 A解析由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A. 9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0 答案 A解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎨⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA→＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA→＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案－35解析设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB⇒AC ＝34BC ，34sin A，又B＝2A，即sin B＝2sin A cos A，求得cos A＝3 8.由正弦定理，得sin B＝。

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中难提分突破特训(二)
1．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，并估计当x ＝20时，y 的值．
参考公式：b ^
＝∑n
i ＝1x i y i －n x －y －
∑n i ＝1
x 2
i －n x －2，a ^＝y －－b ^ x －
.
解 (1)散点图如图所示．
(2)依题意，x －＝1
5
×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
y －
＝15
×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
∑i ＝1
5
x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝1
5
x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x －y
－∑i ＝1
5
x 2
i －5x －
2
＝272－5×6×7.6220－5×62
＝44
40
＝1.1， ∴a ^
＝7.6－1.1×6＝1，
∴线性回归方程为y ^
＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^
＝23.
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－2kn (k ∈N *
)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)n
·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2
－2kn ＝(n －k )2
－k 2
，因为k ∈N *
，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2
＝－9，故k ＝3.所以S n ＝n 2
－6n .
因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，
所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2
－6n )－[(n －1)2
－6(n －1)]，得a n ＝2n －7(n ≥2)．
当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n
(2n －7)，
所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n
(4n －7)＋(－1)
2n ＋1
·[2(2n ＋1)－7]＝5
－
＝5－2n .
3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△
ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置．
(1)若A 1C ＝6，求证：平面A 1BD ⊥平面ABCD ； (2)若A 1C ＝22，求三棱锥A 1－BCD 的体积．
解 (1)证明：因为∠BCD ＝60°，四边形ABCD 为菱形，所以△BCD 为正三角形，
BD ⊥OA ，BD ⊥OA 1，OC ＝OA ＝OA 1＝3，
因为OC 2
＋OA 2
1＝6＝A 1C 2
，所以OA 1⊥OC ，所以OA 1⊥平面ABCD ，OA 1⊂平面A 1BD ，所以，平面A 1BD ⊥平面ABCD .
(2)由于BD ⊥OC ，BD ⊥OA 1，所以BD ⊥平面A 1OC ，在△A 1OC 中，OA 1＝OC ＝3，A 1C ＝22，所以，S △A 1OC ＝1
2
×22×
3
2
－2
2
＝2， V 三棱锥A 1－BCD ＝13
×S △A 1OC ×BD ＝13
×2×2＝
22
3
. 4．在直角坐标系xOy
中，曲线C 1：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2
－2ρcos θ＝0. ∵ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x ，∴x 2
＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝
θ－
2
＋4sin 2θ＝5cos 2
θ－6cos θ＋5，
∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝45
5，
∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝45
5
－1.
5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2
－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；
(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2
＋b 2
＋c 2
的最小值．解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意；当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2
－mx ＋n ＝0的两根，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝4，
n ＝3，∴m －n ＝1.
(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵
a 2＋
b 2
2
≥ab ，
b 2＋
c 2
2≥bc ，
a 2＋c 2
2≥ac ，
∴a 2
＋b 2
＋c 2
＝
a 2＋
b 22
＋
b 2＋
c 22
＋
a 2＋c 2
2
≥ab ＋bc ＋ac ＝
1⎝
⎛
⎭
⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝
33时取等号. ∴a 2
＋b 2
＋c 2
的最小值是1.。