专题14 数列解答题-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题01集合理20171102354
专题01 集合1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|3x 1}，则（）A．A B {x|x 0}B．A B RC．A B {x|x 1}D．A B【答案】A【解析】由3x 1可得3x 30，则x 0，即B {x|x 0}，所以A B {x|x 1}{x|x 0}{x|x 0}，A B {x|x 1}{x|x 0}{x|x 1}，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II，理】设集合A1,2,4，.若A1，则x x24x m0（）A.1,3B.1,0 C.1,3 D.1,5【答案】C【解析】由A 1得1B，即x 1是方程x24x m 0的根，所以14m 0,m 3，B1,3，故选C.【考点】交集运算，元素与集合的关系3．【2017课标3，理1】已知集合A =(x,y│)x y 1，B =(x,y│)y x，则A B中22元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以0,0为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线y x上所有的点组成的集合，圆x2y21与直线y x11,1，1,1，则A B中有两个元素.故选B.相交于两点【考点】交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A B=（）（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【答案】A【解析】利用数轴可知A B x2x1，故选A.【考点】集合的运算5.【2017浙江，1】已知P{x|1x1}，Q{0x2}，则P Q（）A．(1,2)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,2)【答案】A【解析】利用数轴，取P,Q所有元素，得P Q(1,2)．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合A{1,2,6},B{2,4},C{x R|1x5}，则(A B)C（）（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{x R|1x5}【答案】B【解析】(A B)C{1，2，4，6}[1，5]{1，2，4},选B.【考点】集合的运算2【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进 行处理.7.【 2016课 标 1,理 1】 设 集 合 Ax xx,x 2x 30,则 AB24 3 0（ ）3（A ）3,2 3（B ） 3, 23（C ） 1,23 （D ）,3 2【答案】D 【解析】因为{ | 2 -4 3 0}={ |1 3}, ={ | 3}, A x x xx xB x x所以23 3A B ={x |1 x 3}{x |x }={x | x 3}, 故选 D.2 2考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要 把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集 之间的运算,常借助数轴进行运算. 8.【2016新课标 3理数】设集合 Sx | (x 2)(x 3)0,Tx | x，则 S T（ ）(A) 2，3] (B)（-，2]U 3,+ ） (C) 3,+） (D)（0，2]U 3,+ ）【答案】D 【解析】由 (x 2)(x 3)0解得 x 3或 x 2 ，所以 S {x | x 2│ x 3}，所以 ST {x | 0 x 2│ x 3}，故选 D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．9.【2016新课标 2理数】已知集合 A {1,2, 3}， B{x | (x 1)(x 2) 0, xZ }，则A B （ ）（A ）{1}（B ）{1，2}（C ）{0，1，2，3}（D ）{1，0，1，2，3}【答案】C【解析】3试题分析：集合B{x|1x2,x Z}{0,1}，而A{1,2,3}，所以A B{0,1,2,3}，故选C.考点：集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.10. 【2016山东理数】设集合A{y|y2x,x R},B{x|x210},则A B=（）（A）(1,1)（B）(0,1)（C）(1,)（D）(0,)【答案】C【解析】试题分析：A{y|y0}，B{x|1x1}，则A B（-1，+），选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.【2016浙江理数】已知集合P x R x Q x R x2则P(Q)13,4,ðR（）A．2,3] B．( -2,3 ] C．1,2) D．(,2][1,)【答案】B【解析】试题分析：根据补集的运算得ðR Q x x24(2,2),P(ðR Q)(2,2)1,32,3．故选B．考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，x2的系数一定要保证为正数，若x2的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．12.【2016年北京理数】已知集合A{x||x|2}，B{1,0,1,2,3}，则A B4（）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}D.{1,0,1,2}【答案】C【解析】试题分析：由A{x|2x2}，得A B{1,0,1}，故选C.考点：集合交集.13.【2016年四川理数】设集合A{x|2x2}，Z为整数集，则A Z中元素的个数是（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由题意，A Z{2,1,0,1,2}，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.14.【2015重庆，理1】已知集合A=1,2,3,B=2,3，则（）A、A=BB、A B=C、AØBD、BØA 【答案】D【解析】由于2A,2B,3A,3B,1A,1B，故A、B、C均错，D是正确的，选D.【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【名师点晴】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.515.【2015天津，理1】已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B ，则集合1,3,4,6,7AðB ( )U（A ）2,5（B ）3,6（C ）2,5,6（D ）2,3,5,6,8【答案】A【解析】ð{2,5,8},所以{2,5}U BAðB，故选A.U【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.16.【2015四川，理1】设集合A {x|(x 1)(x 2)0}，集合B {x |1x 3}，则A B=（）(A){x|1x 3}(B){x|1x 1}(C){x |1x 2} (D){x|2x 3}【答案】A【解析】A {x|1x 2},B {x |1x 3},A B {x|1x 3}，选A.【考点定位】集合的基本运算.17.【2015广东，理1】若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，N={x|(x-4)(x-1)=0}，则M N=（）A．B ．1,4C．0D ．1,4【答案】A．【解析】因为Mx|x4x 104,1，Nx|x4x101,4，所以M N，故选A．【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题．618.【2015浙江，理1】已知集合P{x x22x0}，Q{x1x2}，则(ð)R P Q（）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【解析】由题意得，C P(0,2)R，∴(ðR P)Q(1,2)，故选C.27. 【2016天津理数】已知集合A{1,2,3,4},B{y|y3x2，x A},则A B=（）（A）{1}（B）{4}（C）{1,3}（D）{1,4}【答案】D【解析】试题分析：B{1,4,7,10},A B{1,4}.选D.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.28. 【2015陕西，理1】设集合M{x|x2x}，N{x|lg x0}，则M N（）A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1)D．(,1]【答案】A【解析】，x lg x0x0x1，所以0,1，x x2x0,1故选A．【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误．729.【2015新课标2，理1】已知集合A ｛2，1,0，1,2｝，Bx(x 1)(x 20,则A B （）A．A1,0B ．0,1C ．1,0,1D ．0,1,2【答案】A【解析】由已知得Bx 2x 1，故A B1,0，故选A．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题．综上所述，“存在集合C使得A C,B C C是“A B”的充要条件.U30.【2015福建，理1】若集合Ai i2i3i 4（是虚数单位），B1,1，则A B等,,,于( )A ．1B ．1C ．1,1D．【答案】C【解析】由已知得Ai ,1,i,1，故A B1,1，故选C．【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用i21和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度．31.【2017江苏，1】已知集合A {1,2}，B {a,a23}，若A B {1}则实数的值为▲.【答案】1【解析】由题意1B，显然a233，所以a 1，此时a234，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性8满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A B,A B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.32.【2016江苏卷】已知集合A{1,2,3,6},B{x|2x3},则A B=________▲________.1,2【答案】【解析】试题分析：A B{1,2,3,6}{x|2x3}{1,2}考点：集合运算33.【2015江苏，1】已知集合A1,2,3，B2,4,5，则集合A B中元素的个数为_______.【答案】5【解析】A B{1，2，3}{2，4，5}{1，2，3，4，5}，,，则集合A B中元素的个数为5个.【考点定位】集合运算【名师点晴】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．9。
三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析+Word版含解析-专题01 集合
1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以 {|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=< ，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B = ，则B =（ ） A.{}1,3- B.{}1,0 C.{}1,3 D.{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B = 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C.【考点】 交集运算，元素与集合的关系3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以()0,0 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x = 上所有的点组成的集合，圆221x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1 ，()1,1-- ，则A B 中有两个元素.故选B .【考点】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B =（ ）（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3}（C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】利用数轴可知{}21A B x x =-<<- ，故选A.【考点】集合的运算5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2016课标1,理1】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】因为23{|-430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><< 故选D. 考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.8.【2016新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）(A) 2，3] (B)（-∞ ，2]U 3,+∞） (C) 3,+∞） (D)（0，2]U 3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥ 或，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．9.【2016新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}= ，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.10. 【2016山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞ （-1，+），选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.【2016浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ）A ．2,3]B ．( -2,3 ]C ．1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧．故选B ． 考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．12.【2016年北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B = （ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.考点：集合交集.13.【2016年四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =-- ，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.14.【2015重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【名师点晴】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.15.【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B = ð，故选A. 【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.16.【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）(){|13}A x x -<<(){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【解析】 {|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<< ，选A.【考点定位】集合的基本运算.17.【2015广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = （ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．【解析】因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅ ，故选A ．【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题． 18.【2015浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q = ð，故选C.27. 【2016天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4}【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B == 选D .考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.28. 【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N = ，故选A ．【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误．29.【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题． 综上所述，“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的充要条件.30.【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B = {}1,1-，故选C ．【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用21i =-和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度．31.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数的值为 ▲ .【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.32.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________.【答案】{}1,2-【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算33.【2015江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5A 中元素的个数为5个.【解析】{123}{245}{12345}A B==，，，，，，，，，,，则集合B【考点定位】集合运算【名师点晴】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．。
三年高考(2015_2017)高考数学试题分项版解析专题03基本初等函数理
专题03 基本初等函数1.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：()()113333x xxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【考点】函数的性质2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033（B ）1053 （C ）1073（D ）1093 【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a MM N N-=，log log n a a M n M =. 3.【2016课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．4. 【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞【答案】C【解析】当1a ≥时，()21af a =>，所以，()()()2f aff a =，即1a >符合题意.当1a <时，()31f a a =-,若()()()2f aff a =，则()1f a ≥，即：2311,3a a -≥≥，所以213a ≤<适合题意综上，的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C. 【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题. 5.【2015高考新课标2，理5】设函数211l o g (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2l o g 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．【考点定位】分段函数．【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．6.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.7.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8. 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是．【答案】，3-22.【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-.【考点定位】分段函数9.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是. 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 10.【2016高考江苏卷】函数y. 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，考点：函数定义域 【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.11.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是________. 【答案】，(,1)-∞-. 【解析】考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．12.【2015高考福建，理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数的取值范围是．【答案】(1,2]【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(1,2]． 【考点定位】分段函数求值域．13. 【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=.【答案】32-【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩ ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩ ，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，所以32a b +=-. 【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.14.【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当，满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b a b a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为..【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题1理
专题11 解三角形1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b =（B ）2b a =（C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】试题分析：sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A B （C ）-（D ）-【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 考点：余弦定理．3.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的． 4.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．【解析】试题分析：取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 【考点】解三角形5.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.6.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A BC 的最小值是. 【答案】8.【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识7.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是.【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF AB ）.【考点定位】正余弦定理；数形结合思想8.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =．【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=， 所以sin 21sin 13a Bb A ==. 考点：三角函数和差公式，正弦定理.9.【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o ，AB =A 的角平分线AD 则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，=解得sin ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以18012030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．10.【2015高考天津，理13】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为12,cos ,4b c A -==-则的值为. 【答案】【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 242ABCS bc A bc ∆====，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.11.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【答案】610012.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为5,8AB AC ==，则BC 等于________． 【答案】【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin2AB AC A A ⋅==，所以sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理．【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．13.【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设1cos cos 6B C =及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +故ABC △的周长为3. 【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.14.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2s i n 8s i n 2BA C +=，（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题27统计理20171102328
0.6826 2
68.26% ，
（D）31.74%
0.1359 , 故选 B.
2
【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质. 【名师点睛】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如 何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力. 8.【2014 山东.理 7】 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者 的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为 12,13),13,14),14,15),15,16),16,17],将其按从 左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率 分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗 效的人数为（ ）
（A）56
（B）60
（C）120
（D）140
【答案】D 【解析】 试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有
200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140 （人），选 D.
考点：频率分布直方图
7.【2015 高考山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
（B）163
【答案】C
225
10 y
，
i
i1
（C）166
1600 ， bˆ
4 ．该班某学生的脚
（D）
3.【2014 高考广东卷.理.6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，
为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查，则样
本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
专题13数列小题-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析+Word版含解析
1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.2.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A 【解析】故选A .【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3.【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B 【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：()71238112x ⨯-=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B 。
高考数学专题14 数列中的最值问题
一、选择题1．已知等差数列 的前 项和是 ,若,,则 最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：故则,故在数列 中,当时,,当,所以 时, 达到最大值.2．若等差数列 的前 项和,则的最小值为A．B.8C.6D.7【答案】D3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且,则为 A. 10 B. 15 【答案】CC. 20D. 25【解析】由题意可得：,由可得由等比数列的性质可得： 可得：成等比数列,则的最小值, ,综上,当且仅当时等号成立.综上可得,则的最小值为 20.4.已知数列 的通项公式为最大值为 A．4 【答案】CB．5C．6【解析】,记数列 的前 项和为,则使 D．8成立的 的 ,,,…,所以使成立的 的最大值为 ,故选 C.5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若,,,则 的最大值为A. 3 B. 4 C.D.【答案】B【解析】∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.6. 等比数列 的前 项和（ 为常数）,若恒成立,则实数的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】CC. 5D. 67. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】BC. 7D. 8）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +【解析】∵,∴∴,又,∴,,∴,即,,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值为 6,故选 B．8. 等差数列 的公差为 ,关于 的不等式的解集为 ,则使数列的前 项和 最大的正整数 的值是 A． B． C． D． 【答案】B9. 已知等差数列 的公差,且 , , 成等比数列,若, 为数列 的前 项和,则的最小值为A． 4B．3【答案】A【解析】由已知有公式C． ,所以有D．2,数列 通项,所以,当且仅当,即时等号成立.故选A.10. 已知三个数 ,,成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项,则能使不等式成立的自然数 的最大值为A．9 【答案】CB．8【解析】因为三个数C．7D．5等比数列,所以,倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项,为,公比为 ,数列是以 为首项, 为公比的等比数列,则不等式等价为,整理,得,故选 C．11. 设等差数列 满足:,公差, 若当且仅当是A．B．【答案】A时, 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围C．D.12. 设 数 列首项 ,当 取最大值时,,为的前 项和,若A． 4 【答案】DB．2C． 6D． 3【解析】由题意得,所以当且仅当时取等号,故选 D. 二、填空题 13.将 10 个数 1,2,3,…,9,10 按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的 3 数之和为 , 则 的最大值不小于__________． 【答案】1814.已知 是等比数列,且,【答案】【解析,则 的最大值为__________． 】,即 的最大值为 .15．设等差数列 满足 __________． 【答案】-12 【解析】因为数列,,且是等差数列,且有最小值,则这个最小值为,所以,是一元二次方程,或,的二根,由 ,当,当得 时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时 ,,当 ,当时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时, 故答案为 .16．设等差数列 的前 项和为 ,且又,数列 的前 项和为 ,若最大值是__________. 【答案】2（ 是常数,）,,对恒成立,则正整数 的17.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2（n∈N*）,设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若,则当 Sn 取得最大值时 n 的值等于_____．【答案】【解析】设 的公差为 ,由得,,即,所以,从而可知时,,,,,因为,所以中 最大,故答案为 16.,时,,,,所以,从而 ,故,所以 ,故18.已知等比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则的最大值与最小值之和为__________． 【答案】【解析】由等比数列前 n 项和公式可得,令,当 为奇数时,单调递减,,当 为偶数时,单调递增,,则,即,令,函数单调递减,则：,最大值与最小值之和为. 19.等差数列 满足,则的取值范围是________.【答案】.三、解答题20．已知数列 的各项为正数,其前 项和为 满足,设. （1）求证：数列 是等差数列,并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 的最大值.（3）设数列 的通项公式为,问: 是否存在正整数 t,使得成等差数列？若存在,求出 t 和 m 的值；若不存在,请说明理由.21．已知数列 是首项等于 且公比不为 1 的等比数列, 是它的前 项和,满足．（1）求数列 的通项公式；（2）设且,求数列 的前 项和 的最值．【解析】（1）,,.整理得,解得或（舍去）..（2）.1）当 时,有增的等差数列.由,得 .所以数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为负的递 . 的没有最大值.2）当时,有递减的等差数列.,得 ,,数列 是以为公差的等差数列,此数列是首项为正的. 的没有最小值.。
备考2018-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析：专题30推理与证明(解析版)
B.丁可以知道四人的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
故选 D。
【考点】合情推理
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，
合情推理能帮助猜测和发现结论， 在证明一个数学结论之前， 合情推理常常能为证明提供思
路与方向。合情推理仅是 “合乎情理 ”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的
C．甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 【答案】 D
80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解析】 “燃油效率 ”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程， A 中乙车消耗 1 升汽油，最
多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，
1
3
对③ 1 x 3dx 1
1 (
x4)
|1 1
0 ，则 f ( x) 、 g( x) 为区间 [
1,1] 上的正交函数 .
4
所以满足条件的正交函数有 2 组，故选 C.
考点：新定义题型，微积分基本定理的运用，容易题
.
9. 【 2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 8】《算数书》 竹简于上世纪八十年代在
B. 命题①和命题②都不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
【解析】命题 ① 显然正确，通过如下文氏图亦可知 d ( A, C ) 表示的区域不大于
d ( A, B) d( B,C ) 的区域，故命题 ② 也正确，故选 A.
【考点定位】集合的性质 【名师点睛】 本题是集合的阅读材料题， 属于中档题， 在解题过程中需首先理解材料中相关 概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题13数列小题理20171102342
专题13数列小题1.【2017课标1，理4】记S为等差数列{a}的前项和．若a4a524，n n S648，则{a}n的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】试题分析：设公差为d，a4a5a13d a14d 2a1 7d 24，2a 7d 2465S6a d6a15d48,，联立161126a15d481解得d 4，故选C.6(a a)秒杀解析：因为S 163(a a)48，即6342a a ，则3416(a a)(a a)24168，即5328a a d ，解得d 4，故选C. 4534【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{a}为等差数列，n若m n p q，则a a a a.m n p q2.【2017课标3，理9】等差数列a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，n则a前6项的和为nA．24B．3C．3 D．8【答案】A【解析】故选A.【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式1在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：x 12712381，解得x 3，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。
专题03 基本初等函数—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.
14.【2015 高考浙江，理 18】已知函数 f (x) x2 ax b(a,b R) ，记 M (a,b) 是| f (x) |
在区间 [1,1] 上的最大值.
（1）证明：当| a | 2 时， M (a,b) 2 ；
1.【2017 北京，理 5】已知函数 f (x) 3x (1)x ，则 f (x) 3
（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】
试题分析：
f
x
3 x
1 3
x
1 x 3
数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否
属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一
些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将
大大缩短我们的判断过程．
12.【2015
高考福建，理
14】若函数
5.【2015
高考新课标
2，理
5】设函数
f
(x)
1 log2 (2 2x1, x 1,
x), x
1,
,
f
(2)
f
(log2 12)
()
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】C
【 解 析 】 由 已 知 得 f (2) 1 log2 4 3 ， 又 log2 12 1 ， 所 以
f (log2 12) 2log2121 2log2 6 6 ，故 f (2) f (log2 12) 9 ，故选 C．
2015-2017高考数学(理)真题汇编数列解答题含答案解析
1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.2.【2017北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +． 5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 7. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 8.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n kn n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.11. 【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .12. 【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑13.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 14. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.15．【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 16. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32n n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．17.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 18. 【2014课标Ⅰ，理17】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 19. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 20. 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）. 21. 【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 22. 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 23. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.24. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b 的前n 项和. 25. 【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）【解析】试题分析：(I)依题意布列1x 和公比q 的方程组.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+①又……+②①-②得=所以【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.2.【2017北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明. 试题解析：解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当时，nc M n>. 【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =.（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学归纳法证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++， 构造函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，由函数单调性可证； （Ⅲ）由1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，得1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得1211(N )22n n n x n *--≤≤∈ 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0>n x 当n =1时，x 1=1>0假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若01≤+k x ，则0)1ln(011≤++=<++k k k x x x ，矛盾，故01>+k x ．因此)(0*∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<<N n x x n n（Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥ 函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，112(N )2n n n n x x x x n *++-≤∈ （Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，所以112n n x -≥得1122n n n n x x x x ++≥-， 111112()022n n x x +-≥-〉，12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅-=， 故212n n x -≤，1211(N )22n n n x n *--≤≤∈ 【考点】不等式证明5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数； (4)前n 项和法：2n S An Bn =+6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ====== （Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。
三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版分析+Word版含分析-专题07导数应用求函数最值、单调性等
【2017年】1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a ex ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e-'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减所以()f x 极小值为()111(111)1f e -=--=-，故选A 。
【考点】函数的极值；函数的单调性2.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
【答案】(1)1a =；(2)证明略。
【解析】试题解析：（1）()f x 的定义域为()0，+∞。
设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥。
高三理科数学高考真题三年(2015-2017年)考点分类汇编：专题14数列解答题
专题14数列解答题一、非选择题1. 【等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算】【2016，新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.2. 【等差数列的通项公式，等差数列、等比数列的求和，“错位相减法”】【2016，山东理数】 已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .3. 【等比数列的通项公式、求和】【2016，江苏卷】记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥ .【答案】（1）13n n a -=（2）略（3）略4. 【等差数列，等比中项，分组求和，裂项相消求和】【2016，天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项. (Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设 ()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略5. 【数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，等比数列的定义与通项及前n 项和为S n 】【2016，新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ．【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 6. 【数列，“累加法”，证明不等式】【2016，浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ； （II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【答案】（I ）略；（II ）略．7. 【数列，对新定义的理解】【2016，北京理数】 设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）略；（3）略.8. 【数列的通项公式，双曲线的离心率，等比数列的求和公式】【2016，四川理数】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）略.9. 【前n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩】【2015，广东，理21】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈ ， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）略．10.【等差、等比数列的定义及性质，函数与方程】【2015，江苏，20】 设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n kn k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）略（2）不存在（3）不存在11. 【数列前n 项和S n 与 通项a n 的关系，特殊数列的求和问题】【2015，山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩; （II ）13631243n n n T +=+⨯. 12．【等差数列与等比数列的概念，等比数列通项公式与前n 项和公式】【2015，四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.【答案】（1）2nn a =；（2）10.13. 【数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式，“拆项消去法”】【2015，新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 14. 【数列与不等式结合综合题】【2015，浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2na 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【答案】（1）略；（2）略.15. 【等比数列的通项公式，数列的递推公式，放缩法证明不等式】【2015，重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）略.16. 【曲线的切线方程，数列的通项公式，放缩法证明不等式】【2015，安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -= ，证明14n T n≥.【答案】（Ⅰ）1n n x n =+；（Ⅱ）14n T n≥. 17. 【等差数列定义，等比数列及前n 项和公式，错位相减法求和】【2015，天津，理18】 已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.18.【等差数列,等比数列通项公式，错位相减法求数列的前n 项和】 【2015，湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.1. 【等比数列的通项公式，等比数列的求和，“错位相减法”.】【2017，山东，理19】 已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T.【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】试题分析：(I)依题意布列1x 和公比q 的方程组.（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.nn n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ① 又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ② ①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=2. 【新定义，数列的综合应用，推理与证明】【2017，北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列， 记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅， 其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得 12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=- ，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明. 试题解析：解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++ 是等差数列. ②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列. ③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当时，nc M n>.3. 【等差数列，等比数列，数列求和】【2017，天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .【答案】 （1）32n a n =-.2nn b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确. 试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 4. 【数列与不等式综合题】【2017，浙江，22】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时，（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；（Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0>n x当n =1时，x 1=1>0假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若01≤+k x ，则0)1ln(011≤++=<++k k k x x x ，矛盾，故01>+k x ． 因此)(0*∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<<N n x x n n （Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，112(N )2n n n n x x x x n *++-≤∈ （Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，所以112n n x -≥得1122n n n n x x x x ++≥-， 111112()022n n x x +-≥-〉，12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅-=， 故212n n x -≤， 1211(N )22n n n x n *--≤≤∈5. 【等差数列定义及通项公式】【2017，江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足 1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④ 将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：(1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；(2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；(3)通项法： n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法：2n S An Bn =+。
备考2018-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析：专题25排列组合、二项式定理(原卷版)
x2 y7 的系数为 ________.（用数字填
写答案）
28.【2015 高考重庆，理 12】 x3
5
1
的展开式中 x8 的系数是 ________(用数字作答 ).
2x
29.【2015 高考安徽，理 11】 (x 3 1 )7 的展开式中 x5 的系数是 x
30.【2015 高考福建，理
11】 x
n
+1）
C
m n
=（
m
+1）
C m+2 n+2
.
5
2 的展开式中，
x2 的系数等于
.（用数字填写答案） ．（用数
字作答）
31.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）
（ 1）求
7C
3 6
–4
C47
的值；
（ 2）设 m ， n N*，n≥m，求证：
（
m
+1）
C
m m
+（
m
+2）
C
m m
+1
+（m +3）
C
m m+2
+…＋nCΒιβλιοθήκη m n–1+（
奇数项的二项式系数和为（
）
A. 212
B． 211
C． 210
D． 29
12. 【2014 辽宁理 6】把椅子摆成一排， 3 人随机就座， 任何两人不相邻的做法种数为 （ ）
A．144 B．120 C． 72
D． 24
13. 【 2015 湖南理 2】已知
x
a
5
3
的展开式中含 x2 的项的系数为 30，则 a
专题27 统计-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
1.【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳2.【2017某某，理5】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）1703.【2014高考某某卷.理.6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图1初中生4500名高中生2000名小学生3500名图2503010O近视率/%年级高中初中小学A .200，20B .100，20C .200，10D .100，104. 【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温 和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个5. 【 2014某某2】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（ ） A.321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p ==6. 【2016高考某某理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的X 围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A ）56（B ）60（C ）120（D ）1407.【2015高考某某，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
2015至2017理科数学真题及答案解析全国卷1
2015至2017理科数学真题及答案解析全国卷12015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
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用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足1+z1z -=i ，则|z|=(A ）1 （B （C （D ）2 2.sin20°cos10°-con160°sin10°=(A)-（B （C ）12- （D ）123.设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.3125.已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（C ）（3-3） （D ）（3-，3）（A ）5 （B ） 6 （C ）7 （D ）810.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 (A )10 (B )20 (C )30 (D )6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
高考数学专题14 结构不良题型(数列)(解析版)
专题14 结构不良题型〔数列〕结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。
数列局部主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。
一、题型选讲题型一 、数列中的求和问题例1、〔江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研〕数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，〔1〕在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；〔2〕设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第〔1〕问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：〔1〕选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1．此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项， 因此数列{a n }满足条件P ．〔2〕因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 那么2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1．例2、〔湖北黄冈地区高三联考〕函数()log k f x x =〔k 为常数，0k >且1k ≠〕． 〔1〕在以下条件中选择一个，使数列{}n a 是等比数列，说明理由；① 数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；② 数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③ 数列(){}nf a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．〔2〕在〔1〕的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】〔1〕①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， ………1分 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分〔2〕由〔1〕知2n 2n k a +=，所以当k =12n n a +=.………5分因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ………7分12111111...1...23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ . ……10分 例3、〔2021年辽宁锦州联考〕在①2n S n n =+，②3516a a +=，3542S S +=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a a b a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选②：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．选③： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+． 设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 例4、〔江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研〕在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．n S 为数列{}n a 的前n 项和，132n n S a a =+，(n N *∈)，10a ≠，且 ．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记22log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题型二、数列中的不等式问题例5、〔江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研〕在①}{b n 为等比数列，1122,3b a b a ==,②}{b n 为等差数列，22114,2a b a b ==,③}{b n 为等比数列，4,22211+=+=a b a b 。
专题14 等差数列—(解析版)
专题14 等差数列【母题题文】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n -【试题解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为232n n -. 【命题意图】（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 【命题方向】从近三年高考情况来看，等差数列一直是高考的热点，尤其是等差数列的通项公式及其性质，等差数列的前n 项和等为考查重点，题型多为选择题、填空题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用. 常见的命题角度有：（1）等差数列基本量的计算；（2）等差数列的通项及前n 项和的求解； （3）等差数列的判定与证明； （4）等差数列性质的应用； （5）等差数列的文化背景问题. 【方法总结】（一）等差数列基本运算的解题思路：（1）设基本量a 1和公差d ．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． （二）求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解. （三）等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+； 若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“12132n n n a a a a a a --+=+=+=”的结合使用.（四）等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列； ②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列； ⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．（五）等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题. 应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,m n,p,)q ∈*N ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立.（六）等差数列的前n 项和的最值问题（3）不等式法：由11(2,)n n nn S S n n S S -+≥⎧≥∈⎨≥⎩*N ，解不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和n S 的最大值．1．（2020·河南洛阳·高三月考）已知数列{}n a 是等差数列，且2342a a a π++=，则3a =（ ） A ．3πB ．23π C ．πD ．43π 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可直接求解. 【详解】{}n a 是等差数列，∴234332πa a a a ++==，则32π3a =. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.2．（2020·河南新乡·高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且公差0d ≠，若743S a =，则（ ）A ．34S S =B ．35S S =C ．45S S =D ．46S S =，【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可得40a =，由此即可得到结果. 【详解】 由题意可知，()177447732a a S a a +===，所以40a = 所以33344+0+S S S a S ===. 故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 3．（2020·陕西高三零模）数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ）A ．35B ．35C ．5D ．5-【答案】B 【解析】 【分析】令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a . 【详解】令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ，故选：B【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项，以及利用通项求等差数列中的项，属于基础题.4．（2020·云南师大附中高三月考）我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （ ） A ．38 B ．35C ．32D ．29【答案】B 【解析】 【分析】由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果. 【详解】由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列， 所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =， 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n 项和公式的基本量运算，属于基础题型. 5．（2020·江西高三月考）在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．30 B ．35C ．40D ．45【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =， 同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，． （2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.6．（2020·沙坪坝·重庆八中高三月考）在等差数列{}n a 中，57a =，则3467a a a a +++=（ ） A ．21 B ．28C ．35D ．42【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质化简计算即得结果. 【详解】等差数列{}n a 中，374652a a a a a +=+=，故34675428a a a a a +++==. 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.7．（2020·黑龙江双鸭山一中高三月考）已知等差数列{}n a 中，1476a a +=，3656a a +=，则公差d =（ ） A ．16B ．112C ．16-D ．112-【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】等差数列{}n a 中，由1476a a +=，3656a a +=，得1172365276a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得d =112-. 故选：D【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.8．（2020·山西运城·高三月考）设{}n a 为等差数列，124a =，n S 为其前n 项和，若611S S =，则公差d =（ ）. A ．2 B ．2-C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据611S S =，结合等差数列的性质，得到90a =，进而利用等差数列的通项公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为611S S =，即1167891011950S S a a a a a a -=++++==，即90a =， 又由124a =，可得9182480a a d d =+=+=，解得3d =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理应用等差数列的性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．（2020·安徽省太和第一中学高三开学考试）已知数列{}n a 为等差数列，415222,21a a a a =+=-.若2020m a =，则m =（ ）A ．671B ．672C ．2013D ．2014【答案】B 【解析】 【分析】设公差为d ，利用等差数列的通项公式列出关于1,a d 的方程组，求解代入2020m a =，即可求出m . 【详解】设公差为d ，由5211411121422122322a a a d a d a a a d a =-+=+-⎧⎧⇒⎨⎨=++=+⎩⎩，得137d a =⎧⎨=⎩，则由13(1)73(1)2020m a a m m =+-=+-=， 解得672m =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式.属于较易题.10．（2020·安徽蚌埠·高三月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，且5n S S ≥，则下列结论一定正确的是（ ）. A ．560a a ⋅≥ B ．560a a ⋅≤C ．460a a ⋅>D ．460a a ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】根据5n S S ≥得到4565S S S S ≥⎧⎨≥⎩再逐项排除选项. 【详解】根据已知可得4565S S S S ≥⎧⎨≥⎩，得560a a ≤⎧⎨≥⎩，故B 正确，A 错误；若50a <,60a =，则C ，D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和与n a 的关系，要有很好的推理能力.11．（2020·湖南省沅陵县第一中学高三月考）已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，714S =，68a =，则（ ） A ．310na nB ．24n a n =-C ．2319n S n n =-D ．231344n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】根据}{n a 是等差数列结合已知条件列出关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1a 和d ，则通项公式和前n 项和公式可求. 【详解】由题意得117211458a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，所以()713310n a n n =-+-⨯=-，()2131773222n n n S n n n -=-+⨯=-． 故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的求解，难度较易.利用已知条件构造关于首项1a 和公差d 的方程组，是解决等差数列问题的一种常见方法.12．（2020·济南市历城第二中学高三月考）在等差数列{}n a 中，若124a a +=，566a a +=，则910a a +=_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得910a a +的值. 【详解】因为910a a ++()5162122a a a a +==+，故9108a a +=， 故答案为：8.【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.13．（2020·湖北高三月考）等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若52015S =，20155S =，则2020S =________．【答案】2020-【解析】 【分析】先利用等差数列{}n a 的求和公式证得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式()n m a a n m d =+-求解. 【详解】等差数列{}n a 中，记首项为1a ，公差为d ，利用等差数列求和公式1(1)2n n n S na d -=+，可得111222n S n d d a d n a n -=+=+-， 又111(1)()122222n n S S d d d d d n a n a n n +-=++--+-=+ 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 等差数列，由52015S =，20155S =，得5201555S =，2015201155205S = 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为201555201520155201552015520155S S --=-- 所以202055201520155(20205)12020520155S S ⎛⎫- ⎪=+-=- ⎪- ⎪⎝⎭所以20202020S =- 故答案为：2020-【点睛】本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.14．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和225n S =，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有______项. 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质，求得()1345n a a +=，得到115n a a +=，在结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由等差数列{}n a 的前三项和为6，后三项和为39，可得12312639n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩，根据等差数列的性质，可得()1345n a a +=，所以115n a a += 又由()11522522n n a a n n S +===，解得30n =.故答案为：30.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15．（2021·湖南湘潭·高三月考）在数列{}n a 中，1111,302n n n n a a a a a ++=-+=． （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若32nn a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）()232nn + 【解析】 【分析】（1）将条件中的等式变形为1113n na a +-=即可证明； （2）求出数列{}n a 的通项公式，代入32nn a b n =+，可得11133132n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法即可求和. 【详解】解：（1）由1130n n n n a a a a ++-+=得1113n na a +-=，故数列n a ⎨⎬⎩⎭是以3为公差的等差数列； （2）由（1）得()()111+123131n n d n a a n =-=+-=-， 则131n a n =-， ()()111323132311332n n a b n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+-+-+⎝⎭，()1113132111111111325588113223322n n nS n n n ⎛∴---++⎫⎛⎫=-+-+-++== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的证明，考查裂项相消法求和，是基础题.16．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考）在等差数列{}n a 中，169a a +=，2711a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 和n S . 【答案】（1）1n a n =+；（2）213222n n n nS ++=--. 【解析】 【分析】（1）由数列{}n a 是等差数列，且169a a +=，2711a a +=，利用“1,a d ”法求解.（2）根据数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，得到1222n nn n a b -+=⨯=，进而得到21n n b n =--，然后利用分组求和法求解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则1627911a a a a +=⎧⎨+=⎩，即112592711a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11d ⎨=⎩，所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn n a b -+=⨯=，又1n a n =+， ∴21nn b n =--，232223242(1)n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+()232222[234(1)]n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++()212[2(1)]122n n n-++=-- 213222n n n++=--. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及等比数列和分组求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．（2020·湖北葛洲坝中学高三月考）已知数列{}n a 满足13a =，()()212356n n n a n a n n ++=++++（*n ∈N ）. （1）证明：2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列； （2）设1n nb a =（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）()()3234212n n n +-++. 【解析】 【分析】（1）由()()212356n n n a n a n n ++=++++可得1132n n a a n n +-=++，根据等差数列的定义可知2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列；（2）求出n a 和n b 后，利用裂项求和公式11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=可求得结果. 【详解】（1）因为()()()()()212356323n n n n a n a n n n a n n ++=++++=++++，1132n n a an n +∴-=++是一个与n 无关的常数， 2n a n ⎧⎫∴⎨⎬+⎩⎭是以113a =为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得()112na n n n =+-=+，()2n a n n ∴=+（*n N ∈）， ()11111222n nb a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭（*n N ∈）， 121111111112324112n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++. 【点睛】本题考查了利用定义证明等差数列，考查了裂项求和法，属于中档题.18．（2020·深圳市高级中学高三月考）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解.（2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】 （1）611=a ，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得212d a d =，②又因为0d ≠且由①②可得，11a =，2d =.∴数列的通项公式是21n a n =-（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 12111111(1)23352121n n S b b b n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+--+11(1)221n =-+21nn =+ 所以21n nS n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，m N +∀∈，都有11m m a a +-=-，且225+=-a S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：122311111n n a a a a a a ++++<. 【答案】（1）n a n =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由11m m a a +-=-，根据等差数列的定义，得到数列{}n a 为等差数列，再结合等差数列的通项公式列出方程求得1,a d 的值，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）（1）知n a n =-，化简()1111111n n a a n n n n +==-++，结合“裂项法”，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，都有11m m a a +-=-，根据等差数列的定义，可得数列{}n a 为等差数列，且公差1d =-， 又由221325+=+=-a S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-， 所以()11=---=-n a n n ，即数列{}n a 的通项公式n a n =-. （2）（1）知n a n =-，所以()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1223111111111111122311n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中熟记等差数列的定义，求得得出数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．（2020·河南新乡·高三月考）设{}n a 是公差不为0的等差数列，47a =，1a 为2a ，3a 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）35n a n =-；（2）346nn-. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题中条件列出方程求出首项和公差，即可求出数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）求出13n n a a +，利用裂项相消法，即可求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 因为47a =，且1a 为2a ，3a 的等比中项，则()()12111372a d a d a d a +=⎧⎨++=⎩，解得123a d =-⎧⎨=⎩， 所以()23135n a n n =-+-=-，（2）由（1）可得()()1311353233532n n a a n n n n +==-----，所以数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111+11353212447n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎭⎝⎭⎝⎭31113123223246nn n n=-+-=--=---. 【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，属于常考题型. 21．（2020·河南高三月考）已知等差数列{}n a 中，35a =，公差大于0，且41a +是21a +与73a +的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()*11n n n b n N a a +=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）21nn +. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，先得到111(21)(21)n n n b a a n n +==-+，由裂项求和的方法，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d >），因为35a =，则45a d =+，25a d =-，754a d =+， 因为11a +是21a +与73a +的等比中项，所以()()()2427113a a a +=++， 即2(6)(6)(84)d d d +=-+， 化简得254120d d --=， 解得2d =或65d =-（舍） 所以21n a n =-.（2）由（1）知，21n a n =-， 所以111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以123n n T b b b b =++++11111111121335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型.22．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考）已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥，11S ===1∴=+2d =， 1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21nan ∴=-.（2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n n b n n n n +∴==-⋅++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂相求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 23．（2020·榆林市第十中学高三月考）设等差数列的前n 项和为n S ，2255,15a S S +=-=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231111n n a a a a a a ++++． 【答案】（1）n a n =- （2）1nn + 【解析】 【分析】（1）由条件可得21112325545152a a a d a d +=+=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解出即可. (2)由()1111111n n a a n n n n +==-++，用裂项相消法求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件有21112325545152a a a d a d +=+=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩解得11a d ==- 所以n a n =- （2）()1111111n n a a n n n n +==-++ 所以1223111111111111223341n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++ 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和利用裂项相消法求和，属于基础题.24．（2020·江西新余四中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，3514a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，若{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式； （2）求得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求得n T ，进而可证得12n T <成立.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由9358114S a a =⎧⎨+=⎩，可得11936812614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，由等差数列的通项公式可得()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-； （2）由（1）可得()121121n a n n +=+-=+.由()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 得11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题. 25．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，525S =. （1）求n S 的表达式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n S n =；（2）21n n T n =+. 【解析】【分析】（1）根据条件表示为首项和公差的方程组，再写出通项公式；（2）由（1）可知111(21)(21)n n n b a a n n +==-+，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由题意得：1137545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得：112a d =⎧⎨=⎩ 1(1)21n a a n d n ∴=+-=-21()(121)22n n n a a n n S n ++-∴===. （2）由（1）可知21n a n =-111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴12n n T b b b ∴=+++1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 21n n =+ n T ∴的表达式为21n n T n =+. 【点睛】本题考查等差数列，裂项相消法求和，重点考查计算能力，属于基础题型.26．（2020·安徽合肥·高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，21a =-．若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对*n N ∀∈都有n T m >成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）25n a n =-；（2）23m <-． 【解析】【分析】（1）由已知求得131S =-，222S =-，根据已知求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，借助n a 与n S 的关系即可得出结果；（2）利用裂项相消求得n T ，求出n T 的最小值，只需n m T <的最小值，即可得出结果.【详解】（1）由13a =-，21a =-得13S =-，24S =-，131S =-，222S =-．∵数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，3(1)14n S n n n =-+-⋅=-， ∴(4)n S n n =-．当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-．当1n =时，25n a n =-也成立．∴25n a n =-．（2）∵111111(25)(23)22523n n a a n n n n -⎛⎫==- ⎪⋅----⎝⎭， ∴1112323n T n ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭． ∴1111122321(23)(21)n n T T n n n n +⎛⎫-=-= ⎪----⎝⎭， ∴当1n =时，1n n T T +< ，即21T T <；当2n ≥时，1n n T T +> ，即2n T T ≥；∴*n N ∀∈，223n T T ≥=-， ∵*n N ∀∈，都有n T m >成立，∴23m <-． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,考查n a 与n S 的关系,及裂项相消求和,考查计算能力,属于中档题.27．（2020·贵州高三月考）已知数列{}n a 是递增的等差数列，2131813,,,a a a a a a =-+成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，求满足3625n S >的最小的n 的值． 【答案】（1）21n a n =-；（2）满足3625n S >的最小值的n 的值为13． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由条件列出方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得1331122121n n n b a a n n +⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，利用裂项法，即可求解数列的前n 项和，然后解不等式即可.【详解】 （1）设{}n a 的公差为()0d d >，由条件得()()121132720a d a a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪>⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩，∴()12121n a n n =+-=-． （2）()()133311212122121n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴311111312335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭． 由3362125n n >+得12n >． ∴满足3625n S >的最小值的n 的值为13． 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和“裂项法”求数列的前n 项和，其中解答中根据题意，列出方程组求得1,a d 的值，求得数列的通项公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.28．（2020·广东佛山·高三月考）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n n n S a a =++，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对*n N ∀∈，()21nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）32n a n =-，*1,n n N ≥∈；（2）22183n T n n =-，*1,n n N ≥∈.【解析】（1）根据,n n a S 的递推关系，结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列{}n a 的通项公式； （2）根据（1）有2(1)(32)n n b n =--，将212{}n n b b -+作为数列得到其通项公式，求数列{}n b 的前2n 项和2n T 即求212{}n n b b -+的前n 项和；【详解】（1）由12a <，211116632S a a a ==++，解得11a =或12a =（舍去）；由2632n n n S a a =++①，2111623n n n S a a ---+=+②，则①-②得：2211633n n n n n a a a a a --=-+-，整理有()()()1113n n n n n n a a a a a a ---+=+-；∵0n a >，知：10n n a a ->+，∴13n n a a --=，*2,n n N ≥∈，即24a =，故21413a a -=-=；∴数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列.∴()1132n a a n d n =+-=-，*1,n n N ≥∈.（2）∵()221(1)(32)nn n n b a n =-=--，∴()()22222122123212623621n n n n b b a a n n n --+=-+=---+-=-⎡⎤⎣⎦ ∴()()221361232136211832n n n T n n n n n +=⨯++++-=⨯-=- ∴数列{}n b 的前2n 项和22183n T n n =-，*1,n n N ≥∈.【点睛】本题考查了利用递推关系求通项公式，及根据新数列通项公式求前n 项和；注意求通项时合并1n =、2n ≥的讨论；。
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1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .2.【2017北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +．5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n ka a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 7. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 8.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由. 11. 【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .12. 【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑13.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误!未找到引用源。
的前n 项和1n n S a λ=+错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
其中0λ≠．（I ）证明{}n a 错误!未找到引用源。
是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =错误!未找到引用源。
，求λ． 14. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.15．【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 16. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．17.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=错误!未找到引用源。
.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=错误!未找到引用源。
,求数列{n b }的前n 项和. 18. 【2014课标Ⅰ，理17】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 19. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .20. 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.21. 【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********k a k k ++<<+++22. 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14nT n≥.23. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.24. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b 的前n 项和.25. 【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；加微信群预约名师网络试听课（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．。