7-1 课后·演练·提升
8-1 课后·演练·提升
一、填空题1．(2011·苏北四市联考)直线l过A(2,1)、B(5，－2)两点，直线l的倾斜角为________．2．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的________条件．3．若直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．4．已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________．5．(2011·南京模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．6．(2011·宿迁模拟)已知直线ax＋my－2a＝0(m≠0)过(1,1)，那么该直线的倾斜角为________．7．若A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)不能构成一个三角形，则a＝________.8．设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．图8－1－19．(2011·南通模拟)如图8－1－1所示，点A、B在函数y＝tan(π4x－π2)的图象上，则直线AB的方程为________．二、解答题10．已知过点P(－3，1)及点Q(0，b)的直线的倾斜角介于120°与150°之间(不含边界)，求b的取值范围．11．求下列直线l的方程：(1)过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是3 5；(2)过点A(2,1)，它的倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半．12．(2011·镇江模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈[－33－1，3－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．答案及解析1.【解析】 ∵k AB ＝－2－15－2＝－1，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－1，又α∈[0°，180°)，∴α＝135°.【答案】 135°2.【解析】 主要考虑直线l 在x 、y 轴上的截距都为0时，满足条件p 但不能推出q .【答案】 必要不充分3.【解析】 依题意，在l 1方程中以－x 代替y ，－y 代替x ，则得直线l 1关于直线y ＝－x 对称直线l 2方程为x －2y ＋3＝0，所以直线l 2的斜率为12.【答案】 124.【解析】 由题意可知A 、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k ＝tan 120°＝－ 3∴直线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0. 【答案】 3x ＋y －2－3＝05．【解析】 由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如图． 若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ， ∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12. 【答案】 [－2，12]6.【解析】 ∵点(1,1)在直线ax ＋my －2a ＝0上， ∴a ＋m －2a ＝0，即m ＝a ， 又直线的斜率k ＝－am ＝－1， ∴该直线的倾斜角为34π.【答案】 34π7.【解析】 当A ，B ，C 三点共线时，不能构成三角形． ∴k AB ＝k BC ，即1－25－a ＝2a －1－4－5，解得a ＝2或72.【答案】 2或728.【解析】 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点B (－1,0) 和点A (1,0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 【答案】 [－2,2]9.【解析】 由图象可知A (2,0)，B (3,1)， 由两点式得直线的方程为 y －10－1＝x －32－3. 整理得x －y －2＝0. 【答案】 x －y －2＝010.【解】 设直线PQ 的倾斜角为α， 由120°＜α＜150°， ∴－3＜tan α＜－33， 由斜率公式tan α＝k PQ ＝b －10－(－3)＝b －13.∴－3＜b －13＜－33， 解得－2＜b ＜0.11.【解】 (1)设直线l 的倾斜角为α， 则sin α＝35，tan α＝±34，由斜截式得y ＝±34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0. (2)设直线l 和l 1的倾斜角分别为α、β， 则α＝β2∈[0，π2)，又tan β＝－34， 则－34＝2tan α1－tan 2α，解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)． 由点斜式得y －1＝3(x －2)， 即3x －y －5＝0.12.【解】 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时， 直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)， ∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]．。
2-11 课后·演练·提升
一、填空题1．函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2的单调增区间是________．2．函数y ＝x 3＋ax ＋b 在区间[－1,1]上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则a 等于________．3．(2011·扬州调研)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．5．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.7．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的最小值是________．8．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为(－33， 3 3)，则a 的范围是________． 9．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题10．设函数f (x )＝ax 3＋32(2a －1)·x 2－6x (a ∈R )．(1)当a ＝13时，求f (x )的极大值和极小值；(2)当a ＞0时，函数f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求实数a 的取值范围．11．(2011·常州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．12．(2010·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．答案及解析1．【解析】易知f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(x＋1)(e x－1)，令f′(x)＞0，得x＞0或x＜－1.【答案】(－∞，－1)和(0，＋∞)2.【解析】y′＝3x2＋a，由题意知，当x＝1时，y′＝0，∴a＝－3. 【答案】－33.【解析】f′(x)＝3x2－6b，且f(x)在(0,1)内有极小值．∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，易知b＞0且0＜2b＜1，解之得0＜b＜1 2.【答案】(0，1 2)4.【解析】f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x＞0.令f′(x)＝x2－1x＞0，且x＞0，得x＞1；令f′(x)＝x2－1x＜0，且x＞0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝12－ln 1＝12.【答案】1 25.【解析】令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，由图可知－2<a<2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)6．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意⎩⎨⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0， 消去b ，得a ＝4或a ＝－3.但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值．∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18.【答案】 187.【解析】 f ′(x )＝12e x (cos x －sin x )＋12e x (sin x ＋cos x )＝e x cos x ，∵0≤x ≤π2，∴f ′(x )≥0，且f ′(x )不恒为0.因此f (x )在[0，π2]上是增函数．∴f (x )最小值为f (0)＝12.【答案】 128.【解析】 ∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， ∴当－33<x <33时，(x ＋33)(x －33)<0.∴要使y ′<0，必须取a >0.【答案】 a >09.【解析】 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.【答案】 m ≥3210.【解】 (1)当a ＝13时，f (x )＝13x 3－12x 2－6x ，f ′(x )＝x 2－x －6，令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝3，∴f (x )在(－∞，－2)递增，在(－2,3)递减，在(3，＋∞)递增，∴f (x )的极大值为f (－2)＝223，f (x )的极小值为f (3)＝－272，(2)f ′(x )＝3ax 2＋3(2a －1)x －6＝3(ax －1)(x ＋2)，由a ≠0，则令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝1a ，∵f (x )在区间(－2,3)上是减函数，x ∈(－2,3)时f ′(x )＜0恒成立，又a ＞0，∴ax －1＜0，即x ＜1a 恒成立．因此1a ≥3.∴0＜a ≤13.故实数a 的取值范围是(0，13]．11.【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x .又f (x )在x ＝1处有极值12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12.解之得a ＝12，且b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．12.【解】(1)由f′(x)＝3ax2＋2x＋b.得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.又g(x)是奇函数，则g(－x)＝－g(x)，∴－ax3＋(3a＋1)x2－(b＋2)x＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0且b＝0，∴b＝0，a＝－1 3，因此f(x)＝－13x3＋x2.(2)由(1)知，g(x)＝－13x3＋2x，∴g′(x)＝2－x2＝(2＋x)(2－x)，当x∈[1,2]时，令g′(x)＝0，x＝2是极值点．又g(2)＝423，g(1)＝53，g(2)＝43.因此g(x)在[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值g(2)＝43.。
7-4 课后·演练·提升
一、填空题1．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则________是a⊥b的一个充分条件．(填出序号即可)①a⊥α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α∥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊂α，b∥β，α⊥β.2．在四面体的所有面中直角三角形的个数最多可有________个．3．设α、β表示两个平面，m、n表示不在α内也不在β内的两条直线，给出下列论断：①如果m∥n，α∥β，n⊥α，则m⊥β；②如果n⊥α，m⊥β，α∥β，则m∥n；③如果m∥n，n⊥β，m⊥α，则α∥β.写出你认为正确的命题为________．4．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影，(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________；(2)若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的________；(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________；(4)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________；(5)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．5．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．图7－4－117．如图7－4－11所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为________．8．如果一直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．9．如图7－4－12所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图7－4－12二、解答题图7－4－1310．(2011·南京调研)如图7－4－13，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径，A1A⊥平面PAB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．图7－4－1411．如图7－4－14所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.图7－4－1512．如图7－4－15，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系．并说明理由；(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；答案及解析1.【解析】 观察③， }α∥βb ⊥β⇒ }b ⊥α a ⊂α⇒b ⊥a . 【答案】 ③2.【解析】 如图所示，在四面体P －ABC 中，若PA ⊥平面ABC ，且∠ABC ＝90°，可以证明其四个面都是直角三角形．【答案】 43.【解析】 由线面平行、垂直的判定及性质可知①②③都正确．【答案】 ①②③4.【答案】 (1)外心 (2)外心 (3)内心 (4)内心 (5)垂心5.【解析】 若直线l ⊥平面α，由定义l 垂直α内任意直线，所以l 与α内无数条直线都垂直．若l 与α内无数条相互平行的直线垂直，则不能得出l 与平面α垂直．所以“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分6.【解析】 ∵BD 1⊥面AB 1C ，当P 点在线段B 1C 上时，AP ⊂平面AB 1C ，∴AP ⊥BD 1.【答案】 线段B 1C7.【解析】 ∵AB 为圆O 的直径，∴BC ⊥AC .又∵PA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥PA .∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，点B 到平面PAC 的距离为线段BC 的长，∴①和③正确．又∵O 、M 分别是AB 、PB 的中点，∴OM ∥PA ，PA ⊂平面PAC ，∴OM ∥平面PAC ，故②正确．故真命题的个数为3.【答案】 38.【解析】 问题等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形平面垂直的对数共有多少个．正方体共有6个面，每个面上有四条垂线，则共有6×4＝24对线面垂直，正方体的对角面共有6个，每个对角面上均有两条面上的对角线与对角面垂直，则共有6×2＝12对线面垂直，所以正交面对共有24＋12＝36个．【答案】 369.【解析】 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN ，NP ，MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP .【答案】 ①④⑤10.【解】 (1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面PAB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面PAA 1，故BP ⊥A 1P .(2)由题意V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △PAB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △PAB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 11.【证明】 (1)在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BG ⊥平面PAD .(2)连结PG ，因为△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，得PG ⊥AD ，由(1)知BG ⊥AD ，PG ∩BG ＝G ，PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，所以AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ，所以AD ⊥PB .12..【解】 (1)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)证明∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE. 又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB.又∵PB∩BE＝B，PB、BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE.∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE.。
人教七年级数学同步训练第七章 7-1 7-1-1 有序数对
第七章平面直角坐标系7.1平面直角坐标系7.1.1有序数对知能演练提升能力提升1.小李、小王、小张、小谢原有位置如图(横为排、竖为列),小李在第2排第4列,小王在第3排第3列,小张在第4排第2列,小谢在第5排第4列.撤走第一排,仍按照原有确定位置的方法确定新的位置,下列说法正确的是()A.小李现在位置为第1排第2列B.小张现在位置为第3排第2列C.小王现在位置为第2排第2列D.小谢现在位置为第4排第2列2.下列数据不能确定物体位置的是()A.A栋4楼B.6楼8号C.和平路125号D.东经110°,北纬114°3.雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标如图所示,其中对目标A的位置表述正确的是()A.在南偏东75°方向处B.在5 km处C.在南偏东15°方向5 km处D.在南偏东75°方向5 km处4.小红利用Excel电子表格计算(B,2)到(F,2)的和,电子表格示意图如图所示.计算结果是()A.25B.27C.30D.395.如图,若用(0,0)表示点A的位置,(2,4)表示点B的位置,试在方格纸中标出C(3,0),D(4,4),E(6,0),并顺次把A,B,C,D,E连接起来,连线组成图形是英文字母中的.6.某人在车间里工作的时间t与工作总量y组成有序数对(t,y),若他的工作效率是不变的,其中两组数对分别为(4,80),(7,y),则y=.★7.如图①,某广场地面是用A,B,C三种类型地砖平铺而成的.三种类型地砖上表面图案如图②所示.现用有序数对表示每一块地砖的位置:第一行的第一块(A型)地砖记作(1,1),第二块(B型)地砖记作(2,1)…若(m,n)位置恰好为A型地砖,则正整数m,n需满足的条件是.图①图②:三种类型地砖图案8.我们规定:沿正北方向顺时针旋转θ角前进a个单位,记作(θ,a),则分别作出下列有序数对所表示的图形:(1)(45°,6);(2)(120°,8).9.如图,小海龟位于图中点A(2,1)处,按下述路线移动:(2,1)→(2,4)→(7,4)→(7,7)→(1,7)→(1,1)→(2,1).用粗线将小海龟经过的路线描出来,看一看是什么图形.10.某阶梯教室共有12排座位,第一排有16个座位,后面每排都比前一排多1个座位,若每排座位数为m,排数为n.(1)根据题意,填写下表:(2)根据上表写出每一组有序数对(n,m).(3)用含有n的式子表示m.创新应用★11.某市部分路段示意图如图所示.(1)若汽车站的位置用(2,0)表示,请表示出电影院、体育场与少年宫的位置.(2)小颖家在东王小区,她家的位置可以用数对表示.(3)李红家的位置在(5,5)处,请在图中标出她家的位置.(4)周末李红想去少年宫玩,请你帮她写出一条从家到少年宫的行走路线.答案：能力提升1.B2.A3.D4.A5.M(画图略)6.140根据“工作总量=工作效率×工作时间”计算.7.m,n同为奇数或m,n同为偶数8.解如图.9.解如图,像一面小旗.10.解(1)161718192021222324252627(2)(1,16),(2,17),(3,18),(4,19),(5,20),(6,21),(7,22),(8,23),(9,24),(10,25),(11,26),(12,27).(3)m=n+15.创新应用11.解(1)电影院的位置是(0,0),体育场的位置是(1,4),少年宫的位置是(3,4).(2)小颖家的位置可表示为(4,0).(3)略.(4)从李红家到少年宫的行走路线较多,如(5,5)→(4,5)→(3,5)→(3,4)等.。
3-2 课后·演练·提升
一、填空题1．sin 585°的值为________． 2．(2011·无锡模拟)已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－31π3)的值为________．3．已知cos (α－π)＝－513，且α是第四象限的角，则sin (－2π＋α)＝________.4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________. 5．已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝________.6．(tan x ＋1tan x)cos 2x 化简的结果是________． 7．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________. 8．已知cos (π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos (56π＋θ)＋sin (23π－θ)的值是________．9．(2011·南京调研)“θ＝23π”是“tan θ＝2cos (π2＋θ)”的________条件．二、解答题10．已知sin (3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin (θ－3π2)cos (θ－π)－sin (3π2＋θ)的值．11．(2011·苏州模拟)已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．12．(2011·南通模拟)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(2,1)满足a ∥b ，其中θ∈(0，π2)．(1)求tan θ的值；(2)求2sin (θ＋π4)(sin θ＋2cos θ)cos 2θ的值．答案及解析1．【解析】 sin 585°＝sin (360°＋225°) ＝sin (180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 【答案】 －222．【解析】 ∵f (α)＝sin α·cos α－cos α(－tan α)＝cos α，∴f (－31π3＝cos (－31π3)＝cos π312. 【答案】123．【解析】 由cos (α－π)＝－513得，cos α＝513， 而α为第四象限角，∴sin (－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 －12134．【解析】将①代入②得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55.∴tan α＝2. 【答案】 25．【解析】 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.【答案】 －2 6．【解析】 (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x cos xsin x)cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 【答案】1tan x7．【解析】 ∵tan A ＝sin A cos A ＝－5120，∴A ∈(π2，π)，∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A cos 2A ＋1＝1cos 2A，∴cos 2A ＝144169，∴cos A ＝－1213【答案】 －12138．【解析】 cos (5π6＋θ)＝cos [π－(π6－θ )] ＝－cos (π6－θ)＝－a .sin (2π3－θ)＝sin [π2＋(π6－θ)]＝cos (π6－θ)＝a ，∴cos (5π6＋θ)＋sin (2π3－θ)＝0. 【答案】 09．【解析】 ∵tan θ＝2cos (π2＋θ)＝－2sin θ，即sin θcos θ＝－2sin θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12显然θ＝2π3时，cos θ＝－12， 但sin θ＝0时，θ≠23π.故“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos (π2＋θ)”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要10．【解】 ∵sin (3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin (3π2－θ)cos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2(－13)2＝18.11．【解】∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin α·cos α＝15，∴2sin α·cos α＝4 5∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcoa α＝1＋4595∵0<α<π2sin α＋cos α＝355，与cos α－sin α＝－55联立解得：cos α＝55，sin α＝255.∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝cos α(2sin αcos α－cos α＋1)cos α－sin α＝55×(45－55＋1)－55＝55－95.12．【解】(1)∵a∥b，∴sin θ2＝cos θ1，所以tan θ＝2.(2)2sin (θ＋π4)(sin θ＋2cos θ)cos 2θ＝2(22sin θ＋22cos θ)(sin θ＋2cos θ)cos θ－sin θ＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋2cos θ) (cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝sin θ＋2cos θcos θ－sin θ＝tan θ＋21－tan θ＝2＋21－2＝－4.。
6-1 课后·演练·提升
一、填空题1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额的最大值是________．2．(2011·苏州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为________．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是________． 4．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集为________． 5．设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于________．6．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．8．(2011·苏北四市联考)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (x <0)，－x －1 (x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x－1)≤3的解集是________．9．(2011·盐城模拟)若关于x 的不等式x 2＋12x －(12) n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．二、解答题10．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．11．若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(5＋2k )x ＋5k <0的整数解只有－2，则k 应取怎样的值？12．解关于x 的不等式3x 2＋2ax ＋1>0(a ∈R )．答案及解析1．【解析】 设这种商品日销售金额为y 元，由题意知 y ＝f (t )g (t )＝(t ＋10)(－t ＋35) ＝－t 2＋25t ＋350(0<t ≤30)， 当t ＝12或t ＝13时，y 取最大值506. 【答案】 5062．【解析】 由已知对x ≤0时f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－4)＝f (0)知其对称轴为x ＝－2，故－b2＝－2⇒b ＝4，又f (－2)＝0代入得c ＝4，故f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x >0)，x 2＋4x ＋4(x ≤0)，因此f (x )≤1⇔⎩⎨⎧ －2≤1，x >0或⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1，解得x >0或－3≤x ≤－1.【答案】 [－3，－1]∪(0，＋∞)3．【解析】 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.【答案】 {a |0≤a ≤4}4．【解析】 由ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)得a >0， 且b ＝－a ，故ax －b x －2>0⇔⎩⎨⎧ax －b >0，x －2>0，或⎩⎨⎧ax －b <0，x －2<0，解得：x >2或x <－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．【解析】 A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]． ∵－1,4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7. 【答案】 －76．【解析】 由已知得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 【答案】 (－π6，π)7．【解析】 f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4， x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4， x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.【答案】 (－2,1)8．【解析】 ∵f (x －1)＝⎩⎨⎧x ， x <1，－x ， x ≥1，∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于⎩⎨⎧ x <1x ＋(x ＋1)x ≤3或⎩⎨⎧x ≥1，x ＋(x ＋1)(－x )≤3， 解得－3≤x <1或x ≥1， 即x ≥－3.【答案】 {x |x ≥－3}9．【解析】 由已知得x 2＋12x ≥(12)n 对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立． ∵(12)n ≤12，n ∈N *；∴x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]上恒成立． 解不等式x 2＋12x ≥12得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]恒成立． 【答案】 (－∞，－1]10．【解】 原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)<0， 记f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．根据题意得⎩⎨⎧f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0， 即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0，解得x 的取值范围为－1＋72<x <1＋32.11．【解】 由x 2－x －2>0得x <－1或x >2.① 由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k <0得 (x ＋k )(2x ＋5)<0.②∵①与②的交集只有一个整数解－2， ∴－k >－52.即②的解为－52<x <－k . 结合数轴知－2<－k ≤3.∴－3≤k <2. 12．【解】 Δ＝4a 2－12.(1)当Δ＝4a 2－12>0即a >3或a <－3时， 方程3x 2＋2ax ＋1＝0的两根为 x 1＝－a －a 2－33，x 2＝－a ＋a 2－33，∴x <－a －a 2－33或x >－ a ＋a 2－33，(2)当Δ＝4a 2－12＝0即a ＝±3时，方程3x 2＋2ax ＋1＝0有两个相等的根x 1＝x 2＝－a3.当a ＝3时，原不等式的解为x ≠－33， 当a ＝－3时，原不等式的解为x ≠33，(3)当Δ＝4a2－12<0即－3<a<3时，方程3x2＋2ax＋1＝0无解，原不等式的解集为R.综上知：当－3<a<3时，原不等式的解集为R，当a＝－3时，原不等式的解集为{x|x≠3 3}，当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－3 3}，当a>3或a<－3时，原不等式的解集为{x|x<－a－a2－33或x>－a＋a2－33}．。
2024初中同步测控优化设计物理八年级下册配人教版第7章 第1节 力含答案
2024初中同步测控优化设计物理八年级下册配人教版第7章第1节力第1节力知能演练提升一、能力提升1.我们常用“鸡蛋碰石头”来形容对立双方的实力悬殊,鸡蛋(弱者)很容易被碰得“头破血流”,而石头(强者)却完好无损,对此现象的正确解释是()A.鸡蛋受到力的作用,而石头没有受到力的作用B.鸡蛋受到较大的力的作用,石头受到较小的力的作用C.它们所受作用力大小一样,只是石头比鸡蛋硬D.以上说法都不对2.下列四个选项中表示力能使物体的运动状态发生改变的是()3.墙壁上的壁虎(如图所示)缓慢向上爬行,将壁虎看成一个整体,根据力的相互作用原理,使壁虎向上爬行的力的施力物体是()A.壁虎B.墙壁C.地球D.空气4.航母阻拦索位于航母飞行甲板后部,在战机着舰与尾钩完全咬合后,阻拦索要在短短数秒内使战机迅速减速至零。
航母的战机着舰时在阻拦索作用下停下来,这个过程中下列说法正确的是()A.阻拦索对战机的作用力使阻拦索发生形变B.阻拦索对战机的作用力使战机运动状态改变C.战机对阻拦索的作用力与阻拦索对战机的作用力的受力物体相同D.战机对阻拦索的作用力与阻拦索对战机的作用力的作用效果相同5.如图甲、乙所示,“跳橡皮筋”和“打陀螺”是深受学生喜爱的游戏,其中图主要表示了力可以使物体发生形变,图主要表示了力可以使物体的运动状态发生改变。
(均选填“甲”或“乙”)6.人踢球时,对球施力的物体是,同时也受到球的作用力,这一事例说明。
7.如图所示,一只小船上的人用力推开另一只小船,结果发现两只小船同时向相反方向运动,该现象说明:力可以改变物体的;力的作用是的。
8.在O点用向右上方与水平面成30°角的1 000 N的力拉一个小车,请在图中作出这个拉力的示意图。
9.如图所示,某人用12 N的力沿水平方向向右拉一根轻质弹簧,弹簧对手的拉力(选填“大于”“小于”或“等于”)12 N,手受到的拉力的施力物体是。
★10.如图所示,把一薄钢条的下端固定,分别利用不同的力去推它,其产生的形变分别如图甲、乙、丙、丁所示,其中F1=F3=F4>F2。
1-3 课后·演练·提升
一、填空题1．命题“∃x ∈R ，sin x ≤1”的否定是________．2．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则实数m 的取值范围为________．3．(2011·南京质检)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧綈q ”是假命题③命题“綈p ∨q ”是真命题 ④命题“綈p ∨綈q ”是假命题其中正确的是________．(填正确命题的序号)4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．5．已知命题p ：“∃x ∈(0，＋∞)，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q是“______”；q 的真假为______．(填“真”或“假”)6．已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋ax ＋9≤0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．7．用“充分、必要、充要”填空：(1)p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的________条件；(2)綈p 为假命题是p ∨q 为真命题的________条件．8．(2011·苏州模拟)下列命题：①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”②命题“sin x ≥1”是一个p ∨q 形式的命题，而且是真命题③若(綈p )∨(綈q )为真命题，则命题p 、q 至少有一个为真命题④对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0.则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0其中正确的是________(填正确命题的序号)．9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．二、解答题10．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.若∃x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围．11．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3≥0，如果命题綈p是真命题，求实数a的取值范围．12．(2011·杭州质检)已知a＞0，命题p：∀x＞0，x＋ax≥2恒成立；命题q：∀k∈R，直线kx－y＋2＝0与椭圆x2＋y2a2＝1恒有交点，是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．答案及解析1. 【答案】∀x∈R，sin x>12．【解析】易知命题p：∃m∈R，m＋1≤0为真命题，∵p∧q为假命题，∴命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立必为假命题．∴m2－4×1≥0⇒m≤－2或m≥2，由题意可知，当m≤－2时符合题意．【答案】m≤－23.【解析】∵p假q真，∴綈q假，綈p真，∴p∧綈q假，綈p∨q真．【答案】②③4.【解析】命题p：a≤12x2－ln x在[1,2]上恒成立，令f(x)＝12x2－ln x，f′(x)＝x－1x＝(x－1)(x＋1)x，当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝12，∴a≤12.【答案】(－∞，1 2]5.【解析】x>1时x≤1x假．【答案】∀x∈(0，＋∞)，x≤1x，假．6.【解析】若p为真命题，则a≥x2对x∈[1,2]恒成立，∴a≥4，若q为真命题，则Δ＝a2－36≥0，∴a≥6或a≤－6.又p且q为真命题，∴.∴4≤a≤6.【答案】4≤a≤67.【解析】(1)p∨q为真命题⇒/p∧q为真命题，反之成立．(2)綈p为假命题⇒p为真命题⇒p∨q为真命题，反之，p∨q为真命题⇒/ 綈p为假命题．【答案】必要充分8.【解析】若(綈p)∨(綈q)为真命题，则命题p、q中至少有一个为假命题，故③错，易知①②④正确．【答案】①②④9.【解析】∵命题p是假命题，命题q是真命题．∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．【答案】 ①④10.【解】 ∵∃x ∈R ，f (x )＜bg (x )，∴∃x ∈R ，x 2－bx ＋b ＜0，∴Δ＝(－b )2－4b ＞0，解得b ＜0或b ＞4. 因此实数b 的取值范围是b ＜0或b ＞4.11.【解】 ∵綈p 是真命题，∴p 是假命题， 又当p 是真命题，即ax 2＋2x ＋3≥0恒成立时， 应有，∴a ≥13，∴当p 为假命题时，a <13.∴实数a 的取值范围是(－∞，13)．12.【解】 对∀x ＞0，∵x ＋a x ≥2a ，所以要使x ＋a x ≥2恒成立，应有2a≥2，所以a ≥1；∀k ∈R ，直线kx －y ＋2＝0恒过定点(0,2)，要使直线kx －y ＋2＝0与椭圆x 2＋y 2a 2＝1恒有交点， 应有22a 2＋02≤1，解得a ≥2.若p ∧q 为真命题，则p 与q 都为真命题， 因此，所以a ≥2.综上存在a ≥2，使得p ∧q 为真命题．。
1-1 课后·演练·提升
一、填空题1．(2010·江西高考改编)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________.2．(2011·无锡模拟)已知集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，C＝{(x，y)|x∈A，y ∈B，且log x y∈N*}，则C中元素的个数是________．3．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x＜1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.4．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．5．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，A∩B≠∅，设集合∁U(A∪B)中有x个元素，则x的取值范围是________．图1－1－16．(2011·镇江模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<0}，B＝{x|x<－1}，则图1－1－1中阴影部分表示的集合为________．7．(2010·天津高考改编)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．8．设集合A＝{x|2x≥4}＝[a，＋∞)，则a＝________.9．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．二、解答题10．定义运算x*y＝(x－2)(y＋2)，集合A＝{a|(a－1)*(a＋1)＜0}，B＝{y|y ＝|x＋2|，x∈A}．求A∩B与A∪B.11．已知向量p＝(2，x－1)，q＝(x，－3)，且p⊥q.若由x的值构成的集合A满足A⊇{x|ax＝2}，求实数a的取值集合．12．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．答案及解析1.【解析】∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}．∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．【答案】{x|0≤x≤1}2.【解析】∵log x y∈N*，∴x＝2时，y＝2，或4，或8；x＝4时，y＝4，∴共有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)四个点．即C中元素个数是4.【答案】 43.【解析】∵A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，作出Venn图可知B＝{2,4,6,8}．【答案】{2,4,6,8}4.【解析】设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，如图所示．则8＋(15－x)＋x＋(10－x)＝30，∴x＝3，∴喜爱篮球运动，不喜欢乒乓球运动的有15－3＝12人．【答案】125.【解析】由题意知A∩B中元素最多有6个，最少有1个，当A∩B中有6个元素时，∁U(A∪B)中有8个元素，当A∩B中有1个元素时，∁U(A∪B)中有3个元素，∴3≤x≤8且x∈N.【答案】{x|3≤x≤8，x∈N}6.【解析】阴影部分表示的集合为A∩∁U B＝{x|－1≤x<0}．【答案】{x|－1≤x<0}7.【解析】易知A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，B＝(1,5)，又A∩B＝∅∴a＋1≤1或a－1≥5，解之得a≤0或a≥6.【答案】a≤0或a≥68.【解析】A＝{x|x≥2}＝[a，＋∞)．∴a＝2.【答案】 29.【解析】结合数轴可知a≤1.【答案】a≤110.【解】由题意，得A＝{a|(a－3)(a＋3)＜0}，∴A＝(－3,3)．当x∈A时，－1＜x＋2＜5,0≤|x＋2|＜5.∴B＝[0,5)．因此A∩B＝{x|0≤x＜3}，A∪B＝{x|－3＜x＜5}．11.【解】∵p⊥q，∴(2，x－1)·(x，－3)＝0，则x＝3，∴A＝{3}．又{x|ax＝2}⊆A.若a＝0，则{x|ax＝2}＝∅，满足条件；若a ≠0，则{x |ax ＝2}＝{x |x ＝2a }．∴2a ＝3，a ＝23.因此，a 的取值集合是{0，23}．12.【解】 (1)∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x <2，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >3， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A .①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，须－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.。
7-3 课后·演练·提升
一、填空题1．(2011·扬州模拟)下列命题中，正确命题的个数是________．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．2．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是△ABC的重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.图7－3－83．如图7－3－8，四棱锥P—ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．4．(2011·南京模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是________．图7－3－95．如图7－3－9，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为点________．6．(2011·聊城模拟)在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．图7－3－107．如图7－3－10所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图7－3－118．如图7－3－11所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是________． ①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A －BEF 的体积为定值；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等．图7－3－129．如图7－3－12，在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．二、解答题图7－3－1310．如图7－3－13所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是DD1、DB的中点．求证：EF∥平面ABC1D1.图7－3－1411．(2011·镇江模拟)如图7－3－14所示，正三棱柱ABC—A1B1C1，AA1＝3，AB＝2，若N为棱AB的中点．(1)求证：AC1∥平面NB1C；(2)求四棱锥C1－ANB1A1的体积．图7－3－1512．如图7－3－15所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.(1)求证：直线MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长．答案及解析1.【解析】 ①错误，l 上有无数个点不在平面α内，不等于所有点都不在平面α内，直线l 与平面α相交时就是这样的情形；②错误，l ∥α只是说线面无公共点，α内的线与直线l 有平行和异面两种关系；③错误，有线面平行、线在面内两种位置关系；④符合直线与平面平行的定义．只有④对．【答案】 12.【解析】 如图，BC ∥平面α，MN ∥BC ，连结AG 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 中点，从而MN BC ＝AG AD ＝23， ∴MN ＝23BC ， 在△ABC 中，BC 2＝55＋72－2×5×7×cos 60°＝39，∴BC ＝39，∴MN ＝2393. 【答案】 2393 3.【解析】 取PD 的中点F ，连结EF ，在△PCD 中，EF ∥12CD ， 又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF ，又∵EB ⊄面PAD ，AF ⊂面PAD ，∴BE ∥平面PAD .【答案】 平行4.【解析】 l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等，l ⊂α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0，l ⊥α，直线l 上有两个点到α距离相等，l 与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．【答案】 l ∥α或l ⊂α5.【解析】 显然EF ∥AB ，A ′B ′∥EF ，故再选P 点时，面PEF 内不能再有直线与棱平行，而选B ′时只有AB 一条棱与平面PEF 平行．故为点G .【答案】 G6.【解析】 在平面ABC 内，∵AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，∴AC ∥EF .可以证明AC ⊄平面DEF .若AC ⊂平面DEF ，则AD ⊂平面DEF ，CD ⊂平面DEF ，AB ⊂平面DEF ，BC ⊂平面DEF .由此可知ABCD 为平面图形，这与ABCD 是空间四边形矛盾，故AC ⊄平面DEF .∵AC ∥EF ，EF ⊂平面DEF ，∴AC ∥平面DEF .【答案】 平行7.【解析】 由题意，HN ∥面B 1BDD 1，FH ∥面B 1BDD 1，∴面NHF ∥面B 1BDD 1，∴当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥面B 1BDD 1.【答案】 M ∈线段HF8.【解析】 可证AC ⊥平面D 1DBB 1，从而AC ⊥BE ，故①正确，由B 1D 1∥平面ABCD ，可知EF ∥平面ABCD ，②也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A －BEF 的高，S △BEF ＝12×12×1＝14，三棱锥A －BEF 的体积为13×14×22＝224为定值，③正确；故④错误．【答案】 ④9.【解析】 连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC ，且MN ∥平面ABD .【答案】 平面ABC 、平面ABD10.【证明】 连结BD 1，在△BDD 1中，E 、F 分别是D 1D 、DB 中点，则EF ∥D 1B .∵D 1B ⊂平面ABC 1D 1，EF ⊄平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.11.【解】 (1)证明 法一 如图所示连结BC 1和CB 1交于O 点，连结ON . ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴O 为BC 1的中点．又N 为棱AB 中点，∴在△ABC 1中，NO ∥AC 1，又NO ⊂平面NB 1C ，AC 1⊄平面NB 1C ，∴AC 1∥平面NB 1C .法二 如图所示：取A 1B 1中点M ，连结AM ，C 1M ，∵N 是AB 中点，∴AN 綊B 1M ，∴四边形ANB 1M 是平行四边形，∴AM ∥B 1N ，∴AM ∥平面CNB 1，同理可证C 1M ∥平面CNB 1.∵AM ∩C 1M ＝M ，∴平面AMC 1∥平面CB 1N .∴AC 1∥平面NB 1C .(2)∵ANB 1A 1是直角梯形，AN ＝1，A 1B 1＝2，AA 1＝3，∴四边形ANB 1A 1面积为S ＝12(1＋2)×3＝92， ∵CN ⊥平面ANB 1A 1，∴CN 的长度等于四棱锥C 1－ANB 1A 1的高，∴四棱锥C 1－ANB 1A 1的体积为V ＝13923＝332. 12.【解】 (1)证明 连结AN 并延长交BC 于Q ，连结PQ ，如图所示．∵AD ∥BQ ，△AND ∽△QNB ，AN NQ ＝DN NB ＝85， ∴AM MP ＝AN NQ ＝85，∴MN ∥PQ ， 又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，∴MN ∥平面PBC .(2)在等边△PBC 中，∠PBC ＝60°，在△PBQ 中由余弦定理知，PQ 2＝PB 2＋BQ 2－2PB ·BQ cos ∠PBQ＝132＋(658)2－2×13×658×12＝8 28164， ∴PQ ＝918， ∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ ＝8∶13，∴MN ＝918×813＝7.。
2-5 课后·演练·提升
一、填空题1．给出下列结论：①当a ＜0时，(a 2)32＝a 3； ②n a n ＝|a |(n ＞1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是________．2．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．3．(2011·徐州模拟)若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________.5．若函数f (x )＝则不等式|f (x )|≥13的解集为________．6．(2011·常州质检)设函数f (x )＝若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________．7．设f (x )＝则f (x )≥12的解集是_______．8．设y ＝f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)为偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x －1，则f (23)，f (32)，f (13)的大小关系为________(用“<”)．9．已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．二、解答题10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．11．(2011·福州三检)函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A .(1)写出定点A 的坐标；(2)若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，求1m ＋1n 的最小值．12．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．答案及解析1.【解析】 ∵a ＜0时，(a 2)32＞0，a 3＜0，∴①错；②显然正确；解得x ≥2且x ≠73，∴③正确；④中，x ＝4，y ＝－3，∴x ＋y ＝1≠7，④错．【答案】 ②③2.【解析】 ∵f (1)＝a ＋1a ＝3，f (0)＝2，f (2)＝a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7，∴f (1)＋f (0)＋f (2)＝12.【答案】 123.【解析】 依题意，0＜a 2－1＜1，∴1＜a ＜2或－2＜a ＜－1.【答案】 (－2，－1)∪(1，2)4.【答案】 －15.【解析】 (1)由|f (x )|≥13⇒⇒－3≤x <0.(2)由|f (x )|≥13⇒⇒0≤x ≤1.∴不等式|f (x )|≥13的解集为{x |－3≤x ≤1}．【答案】 [－3,1]6.【解析】 当x <0时，f (x )＝2x，∴f (－2)＝14， 又f (x )是奇函数．∴f (－2)＝－f (2)＝14，∴f (2)＝－14.又g (2)＝f (2)，∴g (2)＝－14.【答案】 －147.【解析】 当x ＜0时，2x ＋32≥12，x ≥－12，∴－12≤x ＜0.当x ≥0时，2－x ≥12，即x ≤1，∴0≤x ≤1.因此f (x )≥12的解集是[－12，1]．【答案】 [－12，1]8.【解析】 由y ＝f (x ＋1)为偶函数知f (x )的图象关于x ＝1对称，x ≥1时，f (x )单调递增，x ≤1时，f (x )单调递减，又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23，∴f (23)<f (32)<f (13)． 【答案】 f (23)<f (32)<f (13)9.【解析】 设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.【答案】 g (x )＝3x －210.【解】 (1)∵f (x )的图象过点(2，12)．∴a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0，知x －1≥－1.于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2，∴所求函数的值域为(0,2]．11.【解】(1)令x－1＝0，x＝1，此时y＝1，∴函数y＝a x－1的图象恒过定点A(1,1)．(2)∵点A(1,1)在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，∴m＋n＝1，∴m＞0，n＞0.∴1m＋1n＝(1m＋1n)(m＋n)＝nm＋mn＋2≥2＋2＝4.当且仅当mn＝nm，即m＝n＝12时取“＝”．∴1m＋1n的最小值为4.12.【解】(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－1 2x.由条件可知2x－12x＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±2. ∵2x＞0，∴x＝log2(1＋2)．(2)当t∈[1,2]时，2t(22t－122t)＋m(2t－12t)≥0，∴m(22t－1)≥－(24t－1)．(*)∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
2024初中同步测控优化设计物理八年级上册配人教版第1章 机械运动含答案
2024初中同步测控优化设计物理八年级上册配人教版第1章机械运动第一章机械运动第1节长度和时间的测量知能演练提升能力提升1.使用刻度尺测长度时,下列说法不正确的是()A.放置刻度尺时,刻度尺应沿所测长度放置,并且必须从零刻度线量起B.刻度尺读数时,视线要与尺面垂直,并要正对刻度线C.读数时,要估读到分度值的下一位D.记录时,要记下测量的数字和单位2.为了检验人躺着和站立时身体长度是否有差异,选用下列哪种刻度尺最合适()A.量程3 m,分度值1 mmB.量程10 m,分度值1 dmC.量程30 cm,分度值1 mmD.量程15 cm,分度值0.5 mm3.如图所示,下列关于刻度尺的使用或读数正确的是()4.下列数值中,单位应该是厘米的是()A.课桌的高度约为0.8B.一支铅笔的长度约为18C.一张试卷的厚度约为70D.中学生的身高约为1.685.要测量一元硬币的厚度,为使测量结果的误差较小,下列方法最佳的是()A.用刻度尺仔细地测量硬币的厚度B.用刻度尺多次测量硬币的厚度,求平均值C.用刻度尺分别测出10个一元硬币的厚度,求平均值D.用刻度尺测出10个一元硬币叠加起来的总厚度,再除以10,求得一元硬币的厚度6.如图所示,用刻度尺和三角板测量一个圆柱体的直径,其中最佳的测量方法是()7.使用被拉长了的软塑料尺测物体的长度,测量的结果将()A.比真实值偏小B.比真实值偏大C.不受影响D.和真实值完全一样8.小刚是一位八年级的学生,他平时走路的步幅约为50。
上体育课时他跑100 m所需时间约为16。
(填上合适的物理量单位)9.如图所示,用两种不同规格的刻度尺测量同一支铅笔的长度,图甲中铅笔的长度是 cm,图乙中铅笔的长度是 cm。
10.1908年第四届奥运会是最后一次使用机械停表计时的奥运会。
如图甲所示,当时运动员在参加长跑比赛,某一运动员在到达终点时停表指针如图乙所示,停表所表示的时间为min s,合s。
7-5 课后·演练·提升
一、填空题1．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直线，则有下列命题，不正确的序号是________．2．设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是________(填序号)．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α.3．P为△ABC所在平面外一点，AC＝2a，△P AB，△PBC都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC和平面P AC的位置关系为________．4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．则下列命题中正确的是________(填序号)．①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β；②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n；③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n；④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β.5．设α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当S在α、β之间时，CS＝________.图7－5－106．(2011·南京模拟)如图7－5－10所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图7－5－117．如图7－5－11所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC ＝EF＝1，则该多面体的体积为__________．8．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．图7－5－129．(2011·苏州模拟)如图7－5－12所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O 的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题图7－5－1310．(2011·镇江模拟)如图7－5－13所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，M ，N 分别是P A ，BC 的中点，且PD ＝AD ＝1.(1)求证：MN ∥平面PCD ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PBD ； (3)求三棱锥P —ABC 的体积．图7－5－1411．如图7－5－14所示，ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，且EF ＝12BD .(1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：平面AFC ⊥平面EFC .图7－5－1512．如图7－5－15所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABCD ； (2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1DAD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ，并说明理由．答案及解析1.【解析】由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．【答案】②③⑤⑥2.【解析】若α∥β，m⊂β，n⊂β，可知m∥α，n∥α，但m与n可以相交，所以①不对；若m∥n，即使有m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，α与β也可以相交，所以②不对；若a⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故③不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m⊄α，所以m∥α，故④正确．【答案】①②③3.【解析】如图所示，∵P A＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，取AC中点D，连结PD、BD，则PD⊥AC，BD⊥AC.又AC＝2a，∴PD＝BD＝22a，在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BD，∴PD⊥平面ABC.又PD⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC.【答案】垂直4.【解析】①m⊥α，m⊥n，n⊂β，当m⊥β时，α∥β，故④错．②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n成立．③、④显然不正确．【答案】②5.【解析】如图，∵α∥β且AB与CD相交，∴AC∥BD.∴△ASC ∽△BSD ， ∴AS BS ＝CS DS ， ∴AS AS ＋BS ＝CSCS ＋DS ，∴88＋9＝CS34，∴CS ＝16. 【答案】 166.【解析】 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 【答案】 DM ⊥PC (或BM ⊥PC )7.【解析】 如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于点H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .于是所求几何体的体积为V ＝S △DEH ×AD ＋S △BEF ×DE ＝(12×2×1)×2＋(12×2×1)×2＝4. 【答案】 48.【解析】 设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为32a .由PM ⊥BC ， ∴PM ＝(32a )2－(a 2)2＝22a .连结PG并延长与AD相交于N点，则PN＝22a，MN＝AB＝a，∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN，又PM⊥AD，∴PM⊥面P AD，∴在平面P AD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．【答案】无数9.【解析】由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确，④错．【答案】①②③10.【解】(1)证明取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是P A，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)证明因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，又因为AC⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBD.(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P—ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，所以三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝16.11.【证明】 (1)记AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连结EO ，∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF 綊BO ，则四边形EFBO 是平行四边形．则BF ∥EO ，又EO ⊂平面ACE ，BF ⊄平面ACE ，故BF ∥平面ACE . (2)连结FO ，∵EF ∥BD ，且EF ＝12BD ， ∴EF 綊DO ，则四边形EFOD 是平行四边形， ∴ED ∥FO .∵ED ⊥平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，由BD ⊂平面ABCD ，得BD ⊥FO ，又BD ⊥AC ，AC ∩FO ＝O ，∴BD ⊥平面AFC .∵EF ∥BD ，∴EF ⊥平面AFC ，EF ⊂平面EFC . ∴平面AFC ⊥平面EFC .12.【解】 (1)证明 ∵E 、F 分别是AD 1和BD 1的中点， ∴EF ∥AB ，又EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .(2)设D 1DAD ＝λ(λ＞0)，AD ＝a ，则DD 1＝λa ，连结MF .若DF ⊥平面D 1MB ，则有DF ⊥D 1B ，DF ⊥FM .在Rt △BDD 1中，DF ＝DD 1·DB BD 1＝2λa 22＋λ2a ＝2λa 2＋λ2. 又F 、M 分别是BD 1，CC 1的中点，易证FM ＝22a ， 又DM ＝a 2＋λ24a 2＝4＋λ22a ，∴在Rt △DFM 中，DF 2＋FM 2＝DM 2，即2λ2a 22＋λ2＋12a 2＝4＋λ24a 2，解得λ2＝2，∴λ＝2， 即当D 1DAD ＝2时，DF ⊥平面D 1MB .。
5-3 课后·演练·提升
一、填空题1．(2010·辽宁高考改编)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.4．(2010·全国卷Ⅰ改编)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________.5．(2011·南京模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝log 2x ，等比数列{a n }的首项a 1＞0，公比q ＝2，若f (a 2a 4a 6a 8a 10)＝25，则2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 009)＝________.7．(2010·浙江高考改编)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S2＝________.8．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.9．(2010·天津高考)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.二、解答题10．(2010·福建高考)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值． 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{a n}中是否存在连续的三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．12．已知数列{a n}，{b n}满足：a1＝1，a2＝p(p为常数)，b n＝a n a n＋1，其中n＝1,2,3，….(1)若{a n}是等比数列，求数列{b n}的前n项和S n；(2)若{b n}是等比数列，甲同学说{a n}一定是等比数列，乙同学说{a n}一定不是等比数列，你认为他们的说法是否正确？为什么？答案及解析1．【解析】 显然公比q ≠1，由题意得解得∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314. 【答案】 3142．【解析】 由已知可设公比为q ， 则(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)， ∴(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)． ∴2q 2－4q ＋2＝0.∴q ＝1，∴a n ＝2.∴S n ＝2n . 【答案】 2n3．【解析】 由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.【答案】 734．【解析】 ∵(a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)＝a 65＝50，∴a 35＝52， ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5 2. 【答案】 5 25．【解析】 设公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12，a 1＝4，故数列{a n ·a n ＋1}是首项为8，公比为14的等比数列，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323[1－(14)n]， ∵34≤1－(14)n ＜1， ∴8≤323[1－(14)n ]＜323. 【答案】 [8，323)6．【解析】 ∵a 2a 4a 6a 8a 10＝a 56，∴f (a 56)＝25，即log 2a 56＝25， ∴a 56＝225，∴a 6＝25，又∵q ＝2， ∴a 1＝1，a n ＝2n －1，∴2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 009)＝2log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 009 ＝a 1·a 2·…·a 2 009＝20＋1＋2＋…＋2 008＝21 004×2 009. 【答案】 21 004×2 0097．【解析】 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.【答案】 －118．【解析】 ∵b n ＝a n ＋1，∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1. ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32， ∴6q ＝－9. 【答案】 －99．【解析】 ∵S n ＝a 1[1－(2)n ]1－2，S 2n ＝a 1[1－(2)2n ]1－2，a n ＋1＝a 1(2)n ，∴T n ＝17×a 1[1－(2)n ]1－2－a 1[1－(2)2n ]1－2a 1(2)n＝11－2×[16(2)n ＋(2)n－17]， ∵16(2)n ＋(2)n ≥8，当且仅当(2)2n ＝16即2n＝16时取“＝”． ∴当n ＝4，即n 0＝4时，T 4最大． 【答案】 410．【解】 (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝13， 故a n ＝(13)n (n ∈N *)， 从而S n ＝12[1－(13)n ](n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2.11．【解】 (1)由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)⇒a n ＋1＝2a n ＋3⇒a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∵S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，∴{a n ＋3}是以6为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝6×2n －1，∴a n ＝3×2n －3，n ∈N *. (2)设存在k ∈N *，使得a k ，a k ＋1，a k ＋2成等差数列， 则2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2，即2(3×2k ＋1－3)＝(3×2k －3)＋(3×2k ＋2－3)， 得12×2k ＝15×2k . ∴2k ＝0这是不可能的．∴{a n }中不存在连续的三项可以构成等差数列． 12．【解】 (1)∵{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2＝p ， ∴a n ＝p n －1(p 为常数，p ≠0)．又b n ＝a n a n ＋1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝p n ＋1p n －1＝p 2，而b 1＝a 1a 2＝p .∴{b n }是以p 为首项，p 2为公比的等比数列．(2)法一 甲、乙两个同学的说法都不正确．理由如下： 设{b n }的公比为q ，则b n ＋1b n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，且q ≠0.又a 1＝1，a 2＝p ，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以p 为首项，q 为公比的等比数列．即数列{a n }为1，p ，q ，pq ，q 2，pq 2，…，当q ＝p 2时，{a n }是等比数列；当q ≠p 2时，{a n }不是等比数列．法二 甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }为等比数列，公比为q .①取p ＝q ＝1，此时a n ＝1，b n ＝1，{a n }，{b n }都是等比数列；比数列，{a n }不是等比数列．。
10-7 课后·演练·提升
1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于2”，事件B：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于7”，求P(B|A)的值．2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，求市场上灯泡的合格率．3．某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：(1)吨和4吨的频率；(2)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求：①4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；②该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．4．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：(1)两种大树各成活1株的概率；(2)成活的株数ξ的分布列．5.某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？6．(2010·全国卷Ⅱ)如图10－7－1所示，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.图10－7－1(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率；(3)ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．答案及解析1．【解】 事件A 包含的基本事件有24个：(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，而在事件A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件有以下4个；(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，故所求概率为P (B |A )＝424＝16.2．【解】 记事件A 为“甲厂产品”，事件B 为“乙厂产品”，事件C 为“市场上的灯泡为合格品”，事件C 1为“甲厂生产的灯泡为合格品”，事件C 2为“乙厂生产的灯泡为合格品”，则C ＝AC 1＋BC 2，∴P (C )＝P (AC 1)＋P (BC 2) ＝P (A )·P (C 1|A )＋P (B )·P (C 2|B ) ＝70%×95%＋30%×80%＝90.5%.3．【解】 (1)周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3. (2)由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的概率分别为0.2,0.5和0.3，故所求的概率为①P 1＝1－0.74＝0.759 9.②P 2＝C 34×0.5×0.33＋0.34＝0.062 1.4．【解】 设A k 表示甲种大树成活k 株，k ＝0,1,2， B l 表示乙种大树成活l 株，l ＝0,1,2，则A k ，B l 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 P (A k )＝C k 2(23)k (13)2－k ，P (B l )＝C l 2(12)l (12)2－l . 据此算得P (A 0)＝19，P (A 1)＝49，P (A 2)＝49， P (B 0)＝14，P (B 1)＝12，P (B 2)＝14. (1)所求概率为P (A 1B 1)＝P (A 1)·P (B 1)＝49×12＝29.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝P (A 0)·P (B 0) ＝19×14＝136，P (ξ＝1)＝P (A 0B 1)＋P (A 1B 0) ＝19×12＋49×14＝16，P (ξ＝2)＝P (A 0B 2)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 0) ＝19×14＋49×12＋49×14＝1336， P (ξ＝3)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1) ＝49×14＋49×12＝13， P (ξ＝4)＝P (A 2B 2)＝49×14＝19. 综上知ξ的分布列为：5.【解】 (1)＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70，则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为12，设途经10个停靠站，乘车人数超过18人的个数为X ，则X ～B (10，12)，∴P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1) ＝1－C 010(1－12)10－C 110·12×(1－12)9 ＝1－(12)10－10×(12)10＝1 0131 024＞0.9， 故该线路需要增加班次．6．【解】 记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4. A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1)A＝A1·A2·A3，A1，A2，A3相互独立，P(A)＝P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－p)3，又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3，P(B)＝P(A4＋A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A4·A1·A3)＋P(A4·A1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，故ξ～B(4,0.9)，E(ξ)＝4×0.9＝3.6.。
2-10 课后·演练·提升
一、填空题1．(2010·江西高考改编)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.2．y＝x2cos x的导数是________．3．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为________．4．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝________，b＝________.5．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．6．设函数f(x)＝sin θ3x3＋3cos θ2x2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f′(1)的取值范围是________．7．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x ＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．8．(2011·扬州模拟)若函数f(x)＝－1b eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．9．(2011·无锡模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．二、解答题10．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，求实数a的值．11．已知函数f(x)＝x2＋b ln x和g(x)＝x－9x－3的图象在x＝4处的切线互相平行．(1)求b的值；(2)求f(x)的极值．12．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案及解析1.【解析】 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 是奇函数， 又f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 【答案】 －22.【解析】 y ′＝2x cos x －x 2sin x . 【答案】 y ′＝2x cos x －x 2sin x3．【解析】 ∵y ′＝(xx －2)′＝－2(x －2)2，∴k ＝y ′|x ＝1＝－2，因此切线的方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1. 4.【解析】 ∵y ′＝2x ＋a ，∴k ＝a ＝1，又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴0－b ＋1＝0，∴b ＝1. 【答案】 1,15.【解析】 因为f ′(x )＝－f ′(π4)·sin x ＋cos x 所以f ′(π4)＝－f ′(π4)·sin π4＋cos π4 ⇒f ′(π4)＝2－1，故f (π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4⇒f (π4)＝1. 【答案】 16.【解析】 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋ 3 x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin (θ＋π3)． 又θ∈[0，512π]，∴θ＋π3∈[π3，34π]． 因此sin (θ＋π3)∈[22，1]，即2≤f ′(1)≤2. 【答案】 [2，2]7.【解析】 ∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，所以f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.故y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率为4. 【答案】 48．【解析】 因为f (x )＝－1b e ax ，所以f ′(x )＝－ab e ax . 所以切线在x ＝0处的斜率k ＝f ′(x )|x ＝0＝－a b ， 所以x ＝0处的切线l 的方程为y －(－1b )＝－ab x ， 即ax ＋by ＋1＝0.又l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，所以1a 2＋b 2＞1， 即a 2＋b 2＜1.所以点P (a ，b )在圆C 内． 【答案】 点P (a ，b )在圆C 内9.【解析】 ∵f ′(0)＝b >0，f (x )≥0恒成立得∴0<b 2≤4ac 且a >0，c >0，∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋2 acb ≥1＋2b 24b ＝2. 【答案】 210.【解】 令过(1,0)的直线与y ＝x 3切于点(x 0，y 0)，切线斜率为k ＝3x 20.设切线方程为y ＝3x 20(x －1)，⇒x 30＝3x 30－3x 20⇒2x 30－3x 20＝0.∴x 0＝0或x 0＝32.故切线方程为y ＝0或y ＝274(x －1)．⇒ax 2＋154x －9＝0， ∵Δ＝0，∴a ＝－2564.⇒ax 2＋154x －9＝274(x －1) 又Δ＝0，∴a ＝－1，综上实数a 的取值为a ＝－1或a ＝－2564. 11．【解】 (1)对两个函数分别求导，得 f ′(x )＝2x ＋b x ，g ′(x )＝(x －3)－(x －9)(x －3)2＝6(x －3)2. 依题意，有f ′(4)＝g ′(4)， ∴8＋b4＝6，∴b ＝－8.(2)显然f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知b ＝－8，∴f ′(x )＝2x －8x ＝2x 2－8x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(0,2)上是单调递减函数，在(2，＋∞)上是单调递增函数． ∴f (x )在x ＝2时取得极小值f (2)＝4－8ln 2.12.【解】 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
6-4 课后·演练·提升
一、填空题1．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的________条件．2．(2011·镇江模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的范围是________．3．(2011·南通模拟)设x ∈(0，π2)，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则ab 的值为________．5．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两列火车的间隔不得小于(v20)2 km.问这批物资全部运送到灾区最少需________h.6．已知当x ∈[0,1]时，不等式(2m －1)<x (m 2－1)恒成立，则m 的取值范围是________．7．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________． 8．(2011·常州模拟)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．9．(2010·江苏高考)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．二、解答题10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的一个零点是－1，且满足[f (x )－x ]·[f (x )－x 2＋12]≤0恒成立．(1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式．11．设计一幅宣传画，要求画面面积 4 840 cm 2，画面的宽和高的比为λ(λ<1)．画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？如果要使λ∈[23，34]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张最小？12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，且b 3＝11，前9项和为153.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．答案及解析1．【解析】 若a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥214＝1，当且仅当2x ＝18x 即x ＝14时取等号，充分性成立； 若2x ＋ax ≥1，则a ≥－2x 2＋x 恒成立， 解得a ≥18，故必要性不成立．、综上可知“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要2．【解析】 依题意得x －a －x 2＋a 2<1恒成立， 即(x －12)2＋(a ＋34－a 2)>0恒成立 ⇔a 2－a －34<0恒成立⇔－12<a <32. 【答案】 (－12，32)3．【解析】 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝32tan x ＋12tan x . ∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0， ∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·12tan x ＝3，当且仅当tan x ＝33时“＝”成立，故最小值为 3. 【答案】34．【解析】 ∵ax 2＋bx ＋1>0的解集是{x |－1<x <13}， ∴－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a －1×13＝1a⇒⎩⎨⎧b ＝－2，a ＝－3， ∴ab ＝－3×(－2)＝6. 【答案】 65．【解析】 最后一列火车等待出发的最短时间为16·(v 20)2v ＝16v 400＝v25，最后一列火车行驶全程用时为400v ，∴t ＝v 25＋400v ≥2·v 25·400v ＝8，当且仅当v 25＝400v ，即v ＝100时等号成立，t min ＝8. 【答案】 86．【解析】 令f (x )＝(m 2－1)x －(2m －1)，由f (x )在[0,1]上恒大于0得⎩⎨⎧f (0)>0，f (1)>0，得m <0. 【答案】 m <07．【解析】 因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ＝2(1ab ＋ab )≥4，当且仅当1a ＝1b ，且1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”． 【答案】 48．【解析】 ∵x >a ，∴2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，∴a ≥32.∴a 的最小值为32. 【答案】 329．【解析】∵3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13，又∵4≤x2y≤9，∴16≤x4y2≤81，∴18×16≤1xy2·x4y2≤13×81，即得2≤x3y4≤27，即得x3y4的最大值为27.【答案】2710．【解】(1)由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，若[f(x)－x]·[f(x)－x2＋12]≤0恒成立，即x≤f(x)≤x2＋12恒成立，令x＝1得1≤f(1)≤12＋12＝1，故f(1)＝1.(2)由函数零点为－1得f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，又由(1)知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝1 2.又f(x)－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，因为f(x)－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，因此ac≥1 16，①于是a>0，c>0.再由a＋c＝1 2得ac≤(c＋a2)2＝116，②由①②知ac＝116，且a＝c＝14，故f(x)的解析式是f(x)＝14x2＋12x＋14.11．【解】设画面高为x cm，则宽为λx cm，依题意有λx2＝4 840 cm2，则λx＝4 840 x，宣传画所用纸张的总面积为y＝(x＋16)·(λx＋10)＝λx2＋(16λ＋10)x＋160＝5 000＋4 840×16x＋10x≥5 000＋2 4 840×16x·10x ＝6 760， 当且仅当4 840×16x ＝10x ，即x ＝88 cm 时等号成立，此时λ＝4 840882＝58，所以宽为55 cm 时所用纸张最少．当λ∈[23，34]时，λx 2＝4 840 cm 2，则x ∈[44330，2215]，显然2215<88， 则上面解题过程中等号不可能成立，利用函数的单调性，设f (x )＝4 840×16x＋10x ，则f (x )在区间(0,88]上单调递减，在区间[88，＋∞)上单调递增，故当x ∈[44330，2215]时单调递减，即取v ＝2215时有最小值，此时λ＝23.12．【解】 (1)由题意，得S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ， 故当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(12n 2＋112n )－[12(n －1)2＋112(n －1)] ＝n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，n ＋5＝6， 所以a n ＝n ＋5(n ∈N *)；又b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，即b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n (n ∈N *)， ∴{b n }为等差数列，于是9(b 3＋b 7)2＝153. 而b 3＝11，故b 7＝23，d ＝23－117－3＝3.因此，b n ＝b 3＋3(n －3)＝3n ＋2，即b n ＝3n ＋2(n ∈N *)． (2)c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)＝3[2(n ＋5)－11][2(3n ＋2)－1]＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由于T n ＋1－T n ＝n ＋12n ＋3－n 2n ＋1＝1(2n ＋3)(2n ＋1)>0，因此T n 单调递增，故(T n )min ＝13.令13>k57，得k <19， 所以k max ＝18.。
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一、填空题
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是________．(填序号)
2．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为________．
3．已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是________．
图7－1－5
4．已知一个圆锥的展开图如图7－1－5所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．
5．如图7－1－6所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________．
图7－1－6
6．四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1、6，3，若四面体ABCD的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为________．
图7－1－7
7．(2011·连云港模拟)已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图7－1－7所示)，则三棱锥B′—ABC的体积为________．
图7－1－8
8．(2011·南京模拟)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图7－1－8所示)，则球的半径是________cm.
图7－1－9
9．(2011·泰州质检)如图7－1－9所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，下面的四个图象中能表示三棱锥N－AMC的体积V与x(x∈(0,3))的关系的是________．(填序号)
二、解答题
10．(2011·苏北四市联考)如图7－1－10所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积．
图7－1－10
11．如图7－1－11所示，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．
图7－1－11
图7－1－12
12．如图7－1－12，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.
将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥E—ABD的侧面积．
答案及解析
1.【解析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的．
【答案】②④
2.【解析】原正四面体的表面积为4×93
4＝93，每截去一个小正四面体，
表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×
3
4＝23，
故所得几何体的表面积为7 3.
【答案】7 3
3.【解析】S1＝4πR21，S1＝2 πR1，
同理：S2＝2πR2，S3＝2 πR3.
即R1＝S1
2 π，R2＝
S2
2π
，R3＝
S3
2 π
，
由R1＋2R2＝3R3得S1＋2S2＝3S3.
【答案】S1＋2S2＝3S3
4.【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体
积V＝1
3×π×1
2×22＝
22π
3.
【答案】22π3
5.【解析】四边形在面DCC1D1上的投影为②，B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．
【答案】②
6.【解析】此外接球的直径即为以1、6、3为长、宽、高的长方体的体
对角线，即2R ＝1＋6＋9＝4.
∴R ＝2.∴S 球＝4πR 2＝16π. 【答案】 16π
7.【解析】 由题设知三棱锥B ′—ABC 的高为B ′B ，底面为正△ABC ，∴体积V ＝13×S △ABC ·BB ′＝13·34×3＝3
4.
【答案】 3
4
8.【解析】 设球的半径为r cm ，由等体积法得πr 2·6r ＝4
3πr 3×3＋8πr 2，解
得r ＝4.
【答案】 4
9.【解析】 V N －AMC ＝13(8－2x )·1
2AC ·CM sin 30°
＝13(8－2x )·12·3x ·12＝－
12x 2＋2x ，x ∈(0,3)， 故图象为(0,3)上的一段抛物线． 【答案】 ①
10.【解】 设正四棱柱的底面边长为a ， 则V ＝Sh ＝a 2h ＝a 2·4＝16，∴a ＝2.
由题意知：2R ＝|A 1C |，|A 1C |＝26，∴R ＝6， S ＝4πR 2＝24π.
11.【解】 折叠起来后，B 、C 、D 三点重合为S 点， 则围成的三棱锥为S －AEF . 这时，SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，
SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图．所以此三棱锥的体积为 V ＝13×12×1×1×2＝1
3.
12.【解】(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠DAB＝2 3.
∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.
(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，
∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.
在Rt△DBE中，
∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，
∴S
△DBE ＝
1
2DB·DE＝2 3.
又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.
∵BE＝BC＝AD＝4，
∴S
△ABE ＝
1
2AB·BE＝4.
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.
而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，
∴S
△ADE ＝
1
2AD·DE＝4.
综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝8＋2 3.。