12-6麦克斯韦气体分子速率分布律
大学物理第十二章气体动理论第6节 麦克斯韦气体分子速率分布律
解
m(H 2 ) m(O2 ) v p ( H 2 ) v p (O 2 )
vp (H2 ) 2 000m.s-1
2kT vp m
o
2 000
v/ ms
1
vp ( H 2 )
m( O 2 ) 32 4 v p (O 2 ) m( H 2 ) 2
vp (O2 ) 500m.s
f ( v)
dS
dN f ( v)dv dS N
v
第十二章 气体动理论
o
v v dv
概率密度
3
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f (v)dv物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
第十二章 气体动理论
4
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
dN Nf ( v)dv 速率在 v v dv 内分子数： 速率位于 v1 v2区间的分子数： v2 N v N f (v)dv 1 速率位于 v1 v2 区间的分 f ( v)
-1
第十二章 气体动理论
17
f (v )
vp v v
2
第十二章 气体动理论
vp v 2 v
v
15
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 . 解 （ 1）
麦克斯韦速率分布定律
麦克斯韦速率分布定律的说明说明：1> 条件：理想气体、平衡态2> 下式意义：对于曲线1，dv v v N dN dv v f +→=~)(这个区间内分子数dN 占总分子数N 的百分比。
对上式两端求积分v v f NN dv Ndv dN dv v f v v v v ∆≈∆==⎰⎰)()(2121，其物理意义是v 1到v 2这个速率区间内所含的分子数。
若取速率0~∞的积分归一化条件→===⎰⎰∞1)(0NN N dN dv v f N （曲线下的面积为1） 通过归一化条件可知，分布曲线并不一定是只有曲线1这一种分布，还可以有类似于曲线2这种分布，通过对比可知曲线峰值高的，速率区间宽度肯定会较窄，其原因就是两个曲线下的总面积都为1 。
三种特征速率1. 最可几速率p υ：由0)(=dv v df 、)(v f 最大值对应的v ，MRT M RT m kT v p 41.122≈==，其中m 为分子质量，M 为摩尔质量。
其物理意义：若把速率区间分成许多相等的区间，p υ所在的区间内分子数占总数的百分比最大。
需要注意：p υ不是最大速率，而是与分布曲线峰值对应的速率。
2. 平均速率v ：M RT M RT dv v vf N dN v N N v N N v N v v Niii 60.18)(02211≈===∆=+∆+∆=⎰⎰∑∞π ， 物理意义：在平衡状态下，气体分子速率的算术平均值，注意：平均速率不是平均速度。
因为分子都是作物规则的运动，所以其平均速度0=v 。
3. 方均根速率2v ：MRT M RT v 73.132≈=，物理意义：在平衡状态下，气体分子热运动速率的另一种统计平均值。
注意：22v v v v =∙≠，方均根速率是每个分子的速率平方后再累加求平均值。
4. 说明：1> 三种速率均由麦氏速率 分布率求得（理想气体 平衡态），2> 具有统计意义——属于大量分子整体，均正比与MRT ，且2v v v p <<。
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
气体分子速率分布
教案适用对象批准人<附讲稿：页）教研室教员年月日课目：第十八讲气体分子速率分布目的：理解速率分布函数及麦克斯韦速率分布律的意义。
了解三种速率，了解自由程的概念。
重点：一、麦克斯韦气体分子速率分布率1、测定气体分子速率分布的实验2、麦克斯韦气体分子速率分布定律3、三种统计定律二、分子平均碰撞次数和平均自由程三、气体迁移现象1、粘滞现象2、热传导现象3、扩散现象难点：理解速率分布函数及麦克斯韦速率分布律的意义，了解三种速率，了解自由程的概念。
主要方法：讲授讨论练习基本要求：理解速率分布函数及麦克斯韦速率分布律的意义。
了解3中速率，了解验证速率分布律的实验依据。
了解玻耳兹曼能量分布律的意义及在重力场中粒子数密度公式。
了解分子平均碰撞频率及平均自由程的概念。
b5E2RGbCAP教案内容：6.6 麦克斯韦速率分布律6.6.1实验小孔充分小，改变w，测D上的沉积厚度，图6-7 测定分子速率的实验装置示意图就可测气体速率分布。
给定w。
粒子速率分布实验曲线如图6-8所示。
6.6.2气体分子速率分布律<函数）由于分子数目巨大且碰撞频繁，故单个分子速率取值任意偶然。
但又由分子平均平动动能公式知：温度T一定时，大量分子的方均根速率却又是确定的。
p1EanqFDPw 说明：平衡态时，虽然单个分子的速率取值偶然，但大量分子的速率满足一定的统计规律。
麦克斯韦从理论上得出如下规律：DXDiTa9E3d图6－8 分子速率分布实验曲线满足归一化条件：1. 速率分布的概念分子可能的速率值：速率区间：使得：内的分子数为，表示第i个速图6-9 不同温度下的速率分布曲线率间隔中的分子数占总分子数的百分比或表示单个分子速率值落在区间内的概率。
实验证明：平衡态时,分布在不同区间的不同,但却是确定的。
2. 气体分子速率分布律由实验知：与速率区间有关。
当时，与无关，仅是的连续函数，即速率分布函数物理意义：速率在v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比,或某分子速率出现在v 附近的单位速率间隔内的概率。
12-6麦克斯韦气体分子速率分布律
一、分布的概念
在平衡态下，0 ℃空气分子数按速率的分布
25% 20%
N 15% N 10%
5%
0
100
200
300
400
500
600
700
m/s
每一速率区间内分子数取决于速率和速率 区间间隔大小。
二、气体速率分布的实验测定 L
蒸气源 检测器
R
抽 气
抽 气
l v
理想气体在平衡态下，气体中速率在 v~v + dv 区间内的分子数与总分子数的比率为
dN f ( v)dv N 2 2 kT 4 π v e dv 2 πkT 2. v1~v2 区间内的分子数N占总分子数N的比率
v2 32
v2
v1
N f ( v)dv N
3. 曲线下面的总面积等于1
0
N f ( v)dv 1 N
O
f (v )
v2
v1
f ( v)dv
(归一化条件) 4. 最概然速率vp f (v ) 极大值对应的速率。
2kT f ( v) 0 vp dv
v1 vp f (v ) v2 v
O
vp
v
对一定量的理想气体
T 和 对速率分布的影响
dN 2 4 π ve N 2πkT
32
v 2
2 kT
dv
例3 已试用速率分布函数推出气体分子热运动算 术平均速率。 解：根据平均速率的定义，有
v
vdN
N
0
vNf ( v)dv N
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律是一种有用的概念，其可以帮助我们对问题的复杂性进行评估，
包括对问题的解决方案的可行性进行评估。
通常，当我们正在设计一个程序，并面临着复
杂和不可预测的问题时，麦克斯韦速率分布律就可以派上用场了。
麦克斯韦速率分布律是由美国数学家麦可·斯韦尔博士提出的。
斯韦尔提出了一套基
于序列分析法的分析工具，以对 inerconnected events 的速率进行统计分析。
他认为，
复杂系统中的事件有若干 nested stages：这些阶段之前的事件可能会影响后续的事件，
产生一种 cascade effect。
因此，他提出了一种分布式的统计模型，来描述这种指数级
跌落的现象，即 ------------->
麦克斯韦速率分布律。
该模型指出，问题的复杂性在问题维度上是以指数方式递增的，这一模型可以以下形式表达： problem complexity = C * z ^ n , 其中C 为一个常数，
z 为问题的附加复杂维度， n 为问题的基础复杂度等级。
这种模型可以帮助我们评估问题的复杂性是否可控、可维护，以及是否满足事件驱动
的应用通用性要求。
例如，如果一个系统的维度太多，其复杂程度就会指数级增长，那么
就需要对这一系统进行重构，以简化其复杂性并可持续维护。
此外，它也可以帮助我们推
断出某些系统是否有效解决会议解决方案。
总而言之，麦克斯韦速率分布律有助于识别可能会遇到的问题，并给出比较有效的解
决方案。
这种概念可以为我们设计可持续高性能系统提供一定的指导作用，进而有助于实
现系统的稳定和可靠性。
大学物理B2_第12章_2
(2)由分子平均平动动能公式
3 k k (T2 T1 ) 2 3 1.38 1023 (450 300) 3.11 1021 J 2
2014年10月15日星期三
3 k kT 2
4
第十二章 气体动理论2
12-5 能量均分定理 理想气体的内能
一、自由度 力学概念 1.自由度的定义: 决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目
三、麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦在1859年导出，在温度为
T的平衡态下气体速率分布函数为
f ( v) 4 ( m ) e 2 kT
3 2 mv 2 2 kT
f ( v)
dS
v2
mv dN m 3 4 ( ) 2 e 2 kT v 2 d v N 2 kT
2
f (v)
dN Nd v
分子能量自 由度的数目
或是分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目 z 2.各类(刚性)分子的自由度： z （1）单原子：
3个平动自由度，i =3 （2）双原子： （3）多原子： 刚性多原子3平动+3转动，i=6
2014年10月15日星期三
x
o
y
3个平动自由度+2个转动自由度，i=5
cos2 cos2 cos2 1
N Nf ( v)d v
0 vp
1 2 1 2 2) Ek v ( mv ) Nf (v)d v mv v Nf (v)d v p p 2 2 1 2 2 2 2 Ek m(v2 dN v dN v dN ... v dN ... v p 1 2 2 3 3 i i dN n ) 2 1 2 1 m vi dNi m v 2 Nf ( v)d v 2 vvp 2 vp
麦克斯韦速率分布定律
(4) 平均速率和方均根速率.
f ( )
解：（1）求 C :
C (0 ) (0 0 ) 0 ( 0 )
0
f ( )d 1 C
6
3 0
（2） N 0 ~ 0 / 4 N
0 / 4
0
5 f ( ) d N 32
0 df ( ) （3）最可几速率 0 p d p 2
6.5 麦克斯韦速率分布定律
气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的 , 但 平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 — — 麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向， 这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律.
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出. 1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
f (v )
av ， (0 v v 0 ) 0 ， (v v 0 )
2
f (v )
v0 v 求： （1）常量 a 和υ0 的关系 0 （2）平均速率 v v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2
解： （1）由归一化条件
0
2 0
0
f ( )d 1
3 得 a 3 v0
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
(24) 麦克斯韦气体分子速率分布定律 2
vv1 ~ v2 vf (v )dv
v2 v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
g(v )
0
g(v ) f (v )dv
0
f (v )dv
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率 思考题：解释下列表达式的含义 ① f (v )dv 表示分布在速率v 附近
气体动理论
v0 3 0 v0 3 0
vdN dN
v0 3 0
6 2 N 3 v (v 0 v )dv v0 3v 0 7 N 27 14
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率
气体动理论
讨 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 论
vv1 ~ v2
v2
v1 v2 v1
vf (v )dv f (v )dv
气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
l
2
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率 (3)速率介于0~v0/3之间的分子数
气体动理论
N dN Nf (v )dv
v0 3 0
v0 3 0
6 7N N 3 v (v 0 v )dv 27 v0
(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为
v 0 ~ v0
3
N /( Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率
气体动理论
N 1 N 1 dN 分布函数 f ( v) lim lim v0 Nv N v0 v N dv
麦克斯韦气体速率分布律
v Z
二、平均自由程和平均碰撞次数的计算
1、平均碰撞次数 假定 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均速率 其余分子都静止。
d d d
v
运动，
v
A
v
v
A
v
d
d d 球心在圆柱 体内的分子
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 2 2 d v n Z d v n 分子数
vf (v )dv
8kT 8 RT RT v 1.60 m M M
3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：
v2
2 v dN
N
2
2 v Nf (v )dv
N
v 2 f (v )dv
vrms
3kT 3 RT RT v 1.73 m M M
麦克斯韦 速率分布函数
3 2
mv 2
v
2
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
三、三种统计速率
1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的
小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。
速率分布函数
(2) 物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总
分子数的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N v2 N ＝ f (v)dv N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律介绍麦克斯韦速率分布律是描述理想气体粒子速度分布的统计物理学定律。
它是由19世纪物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出的，通过分析气体分子的碰撞和运动，揭示了粒子速度的分布规律。
麦克斯韦速率分布律在理解和研究气体的性质和行为方面起着重要作用。
物理背景在理想气体状态下，气体分子间无相互作用力，分子之间碰撞时可以视为弹性碰撞，满足动量守恒和能量守恒。
根据统计物理学的理论，在给定温度下，气体粒子的速度具有一定范围的分布。
麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数是描述理想气体速度分布的函数，可以用来计算在给定温度下不同速度范围内气体分子的数量。
麦克斯韦速率分布函数的形式为：[f(v)=4()^{3/2} v^2 e^{-}]其中，[f(v)]为速度为[v]的气体分子的数量，[m]为分子的质量，[k]为玻尔兹曼常数，[T]为气体的温度。
速度分布特点根据麦克斯韦速率分布律，气体分子的速度分布具有以下特点：1. 最概然速度最概然速度是指在给定温度下，气体粒子速度分布函数的峰值对应的速度值[v_p]。
最概然速度与温度无关，只取决于粒子的质量。
最概然速度可以通过对速度分布函数求导并令导数等于零来求得。
2. 平均速度平均速度是指在给定温度下，所有速度可能取值的加权平均值。
根据麦克斯韦速率分布律，平均速度与温度成正比，与粒子质量无关。
3. 方均根速度方均根速度是指在给定温度下，速度平方的平均值的开平方。
方均根速度与温度成正比，与粒子质量无关。
麦克斯韦速率分布律的应用麦克斯韦速率分布律在研究气体性质和行为时具有广泛的应用。
以下是一些麦克斯韦速率分布律的应用：1. 气体的热容根据麦克斯韦速率分布律可以计算出给定温度下气体分子的平均动能和热容。
热容是指单位物质在温度变化下吸收或释放的热量。
通过麦克斯韦速率分布律，我们可以计算气体的平均动能，并根据统计物理学的理论将其与热容联系起来。
2. 气体的扩散速率扩散是指气体中各个分子在温度梯度下的运动。
麦克斯韦气体速率分布
麦克斯韦气体速率分布麦克斯韦气体速率分布是描述气体分子速度分布的统计学模型。
这个模型在热力学和统计力学的研究中起着重要的作用。
通过深入研究麦克斯韦气体速率分布，我们可以更好地理解气体分子的速度分布规律，同时也可以为相关领域的研究和应用提供有价值的参考。
1.麦克斯韦气体速率分布的基本概念在研究气体分子速度分布之前，我们首先需要了解气体分子的运动状态对于气体性质的影响。
麦克斯韦气体速率分布假设气体分子的速度服从高斯分布，也即正态分布。
这意味着在一定温度下，气体分子的速度会呈现出一定的分布特征。
2.麦克斯韦气体速率分布的深度理解为了更深入地理解麦克斯韦气体速率分布，我们需要从以下几个方面来展开讨论。
2.1 温度对于麦克斯韦气体速率分布的影响麦克斯韦气体速率分布的形状受到温度的影响。
当温度较高时，气体分子的平均速度会增大，速率分布曲线也会变得更为平坦。
相反，当温度较低时，气体分子的平均速度会减小，速率分布曲线则会呈现出更尖锐的峰值。
2.2 分子质量对于麦克斯韦气体速率分布的影响分子质量也是影响麦克斯韦气体速率分布的关键因素之一。
在相同的温度下，质量较大的分子具有较低的平均速度，而质量较小的分子则具有较高的平均速度。
这导致了速率分布曲线的形状发生了变化，质量较大的分子会导致峰值更加平缓，而质量较小的分子则会导致峰值更加尖锐。
2.3 麦克斯韦气体速率分布与分子碰撞的关系麦克斯韦气体速率分布还与分子碰撞的频率相关。
当分子之间发生碰撞时，速度会发生改变。
这种碰撞会导致速率分布的形态发生变化，使得峰值变得更加宽阔。
碰撞还会使高速分子减速，低速分子加速，从而影响整个速率分布。
3.麦克斯韦气体速率分布的应用麦克斯韦气体速率分布在很多领域都有重要的应用价值。
3.1 研究气体溶解度与温度的关系根据麦克斯韦气体速率分布的理论，可以推导出气体溶解度与温度的关系。
随着温度的升高，气体分子的速度增加，从而溶解度降低。
这个关系对于溶解热研究和工业生产中的气体吸收等方面有着重要的指导意义。
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T1 300 K
T2 1 200 K
f ( v)
O2 H2
o
vp1 vp2
v
o
vpo vp H
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不 同气体的速率分布
12
第十二章 气体动理论
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 . 解 （ 1）
8kT RT v 1.60 πm M
o
v
9
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第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
（3）方均根速率 v 2
v2
N
0
v dN N
2
0
v Nf ( v)dv N
2
v 3kT / m
2
3kT RT v 1.73 m M
2
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10
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
三 三种统计速率
（1）最概然速率 vp
df ( v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f max
f ( v)
o
vp
v
2kT kT vp 1.41 m m
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
M mNA , R NA k
N
N
v f (v)dv
1
5
v2
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
二 麦克斯韦气体分子速率分布定律
麦氏分布函数
m 32 f ( v) 4 π ( ) e 2 πkT
f ( v)
mv 2 2 kT
v
2
速率分布曲线图
o
v
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S
o
v v v v N 表示速率在 v v v 区间 S N 的分子数占总数的百分比 .
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2
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
分布函数
N 1 N 1 dN f ( v) lim lim v0 Nv N v0 v N dv
o
2 000
v / m s1
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
解
2kT vp m
m(H 2 ) m(O2 )
vp (H2 ) 2 000m.s
-1
v p ( H 2 ) v p (O 2 )
vp ( H 2 )
m( O 2 ) 32 4 v p (O 2 ) m( H 2 ) 2
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
dN Nf ( v)dv 速率在v v dv 内分子数：
f ( v)
速率位于 v1 v2 区间的 分子数：
S
N
o
v1 v2
v
速率位于 v1 v2 区间的 分子数占总数的百分比：
v2 v1
N f (v)dv
vபைடு நூலகம்
vp
Nf ( v)dv
1 2 m v Nf ( v)dv （2） vp 2
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
3 如图示两条 f ( v) ~ v 曲线分别表示氢 气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布 曲线， 从图上数据求出两气体最概然速率.
f ( v)
物理学
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
三种速率的比较
3RT vrms v M kT RT v 1.60 1.60 m M
2
3kT m
2kT 2 RT vp m M
vp v v
2
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f ( v)
2kT RT vp 1.41 m M
RT vp 1.41 M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速 率 vp 附近单位速率间隔内的相对分子数 最多.
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
（2）平均速率 v
v1dN1 v2dN 2 vi dN i vn dN n v N N vdN vNf ( v)dv v 0 0 N N 8kT f ( v) v vf ( v)dv 0 πm
f ( v)
dS
dN f ( v)dv dS N
v
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o
v v dv
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f (v)dv物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸气 狭 缝
v l
显 示 屏
1
l
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
分子速率分布图
N /( Nv)
N : 分子总数
N: v v v间的分子数.
vp (O2 ) 500m.s-1
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