平行线典型例题

平行线典型例题例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．例、如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37°，求∠D的度数．例、如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由。

(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论。

本题可分为AB，CD之间或之外。

结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ） A 、80 B 、50 C 、30 D 、20例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60°例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ． （1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证：BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°；（3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2．试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BDP 5∠+的度数（不必写出过程）．例、如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1、l 2分别交于A 、B 两点，点P 在AB 上．（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由； （2）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不重合）A MBC ND PAM B CND 图PP A M B C ND图例、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．例、如图，AB∥CD，则∠2+∠4﹣（∠1+∠3+∠5）= _________ ．例、如图，直线a ∥b ，那么∠x 的度数是 _________ ．例、如图，AB ∥CD ，∠ABF=∠DCE 。

试说明：∠BFE=∠FEC 。

ABCDFE例、如图，直线AB 、CD 与EF 相交于点G 、H ，且∠EGB=∠EHD. （1）说明： AB ∥CD（2）若GM 是∠EGB 的平分线，FN 是∠EHD 的平分线，则GM 与HN 平行吗？说明理由例、如图，已知AB//CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD=70O，(1)求∠EDC 的度数；(2)若∠BCD=40O，试求∠BED 的度数．例、如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ACE=36°，AP 平分∠BAC ，∠PAG=12°，则∠ABD= _________ 度．例、如图，已知,DA AB DE ⊥平分,ADC CE ∠平分,1290,BCD ∠∠+∠=求证：BC AB ⊥.例、如图，AB ∥EF ，AB ∥CD ，∠1=∠B ，∠2=∠D ，那么BE ⊥DE ，为什么？例、两个角有一边在同一条直线上，而另一条边互相平行，则这两个角 （ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互ED CBA 21补 D ．都是直角变式：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角是A. 42138 、B. 都是10C. 42138 、或1010、D. 以上都不对例、如图，若∠1=∠2，AB ∥CD ，试说明∠E=∠F 的理由。

例、已知：如图，BE∥DF，∠B=∠D。

求证：AD∥BC。

例、如图，已知DF ∥AC ，∠C=∠D ，你能否判断CE ∥BD ？试说明你的理由．例、已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB ．D CBAF E 12例、如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．例、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．例、如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由．（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么？例、如图，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且满足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．（1）求∠EOC的度数；（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．例、实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= _________ °，∠3= _________ °；（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= _________°，若∠1=40°，则∠3= _________ °；（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= _________ °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．例、四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF 分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．例、探索与发现：（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是_________，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是_________（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2011条直线a 1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．例、如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，试说明AD平分∠BAC．例、已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB 于H．问CD与AB有什么关系？例、已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．例、如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．例、如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．例、如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．例、如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；（2）试求∠AFE的度数．例、如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB与∠NFB是否相等？请说明理由．例、如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？例、已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE 平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．例、如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并对结论进行说明．例、如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH和DF 的位置关系并说明理由．例、如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．例、如图，已知：点A在射线BG上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD．求证：EF∥CD．例、如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE交CD于N．试判断CM与FN的位置关系，并说明理由．例、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B 和∠ACD的度数．例、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=225S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．2013年2月蓬蒿人的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义），∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E=∠1（已知），∴∠2=∠3（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线．专题：推理填空题．分析：先利用同位角相等，两直线平行求出AD∥EG，再利用平行线的性质求出∠1=∠2，∠E=∠3和已知条件等量代换求出∠2=∠3即可证明．解答：解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义）∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E=∠1（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．点评：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．2．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB 于H．问CD与AB有什么关系？考点：平行线的判定与性质；垂线．专题：探究型．分析：由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．解答：解：CD⊥AB；理由如下：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∠2=∠DCB，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，∵FH⊥AB∴CD⊥AB．点评：本题是考查平行线的判定和性质的基础题，比较容易，稍作转化即可．3．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．解证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，答：∴∠AMB=∠GNM=90°，∴AE∥FG，∴∠A=∠1；又∵∠2=∠1，∴∠A=∠2，∴AB∥CD．点评：本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．4．如图，已知BE∥DF，∠B=∠D，则AD与BC 平行吗？试说明理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：利用两直线平行，同旁内角互补可得∠B+∠C=180°，即∠C+∠D=180°；根据同旁内角互补，两直线平行可证得AD∥BC．解答：解：AD与BC平行；理由如下：∵BE∥DF，∴∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=∠D，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．点评：此题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行．5．如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．考点：平行线的判定与性质．专题：计算题．分已知∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，从而析：可得到∠HFD=∠AEF，根据同位角相等两直线平行可得到DC∥AB，根据平行线的性质可得到∠HDC=∠DAB，已知∠HDC与∠ABC互补，则∠DAB也与∠ABC互补，根据同旁内角互补即可得到AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠G的度数．解答：解：∵∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，∴∠HFD=∠AEF，∴DC∥AB，∴∠HDC=∠DAB，∵∠HDC+∠ABC=180°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠H=∠G=20°．点评：此题主要考查学生对平行线的判定及性质的综合运用能力．6．推理填空：如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠1+∠CAF（等量代换）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换）即∠4=∠DAC∴∠3=∠∠DAC（等量代换）∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：首先由平行线的性质可得∠4=∠BAE，然后结合已知，通过等量代换推出∠3=∠DAC，最后由内错角相等，两直线平行可得AD∥BE．解答：解：∵AB∥CD（已知），∴∠4=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）；∵∠3=∠4（已知），∴∠3=∠1+∠CAF（等量代换）；∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换），即∠4=∠DAC，∴∠3=∠DAC（等量代换），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．点评：本题难度一般，考查的是平行线的性质及判定定理．7．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；（2）试求∠AFE的度数．考点：平行线的判定与性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：（1）先延长AF、DE相交于点G，根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°．又已知∠CDE=∠BAF，等量代换可得∠BAF+∠G=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥DE；（2）先延长BC、ED相交于点H，由垂直的定义得∠B=90°，再由两直线平行，同旁内角互补可得∠H+∠B=180°，所以∠H=90°，最后可结合图形，根据邻补角的定义求得∠AFE的度数．解答：解：（1）AB∥DE．理由如下：延长AF、DE相交于点G，∵CD∥AF，∴∠CDE+∠G=180°．∵∠CDE=∠BAF，∴∠BAF+∠G=180°，∴AB∥DE；（2）延长BC、ED相交于点H．∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AB∥DE，∴∠H+∠B=180°，∴∠H=90°．∵∠BCD=124°，∴∠DCH=56°，∴∠CDH=34°，∴∠G=∠CDH=34°．∵∠DEF=80°，∴∠EFG=80°﹣34°=46°，∴∠AFE=180°﹣∠EFG=180°﹣46°=134°．点评：两直线的位置关系是平行和相交．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．8．如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：此题由∠1=∠2可得DG∥AE，由此平行关系又可得到角的等量关系，易证得∠2=∠3．解答：解：∠2=∠3，理由如下：∵∠1=∠2（已知）∴DG∥AE（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠G（两直线平行，同位角相等）∵∠2=∠G（已知）∴∠2=∠3（等量代换）．点评：主要考查了平行线的判定、性质及等量代换的知识，较容易．9．如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB与∠NFB是否相等？请说明理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：要判断两角相等，通过两直线平行，同位角或内错角相等证明．解答：解：答：∠CEB=∠NFB．（2分）理由：∵∠3=∠B，∴ME∥BC，∴∠1=∠ECB，∵∠1+∠2=180°，∴∠ECB+∠2=180°∴EC∥FN，∴∠CEB=∠NFB．（8分）点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．10．如图所示，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于O，CE平分∠DCG．若∠ACE=90°，请判断BD与AC的位置关系，并说明理由．考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义．专题：探究型．分析：根据图示，不难发现BD与AC垂直．根据平行线的性质，等式的性质，角平分线的概念，平行线的判定作答．解答：解：BD⊥AC．理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCG，∵BD平分∠ABC交AC于O，CE平分∠DCG，∴∠ABD=∠ABC，∠DCE=∠BCG，∴∠ABD=∠DCE；∵AB∥CD，∴∠ABD=∠D，∴∠D=∠DCE，∴BD∥CE，又∠ACE=90°，∴BD⊥AC．点评：注意平行线的性质和判定、角平分线的概念的综合运用，仔细观察图象找出各角各线间的关系是正确解题的关键．11．如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？考点：平行线的判定与性质；垂线．专题：探究型．分析：猜想到DE⊥CD，只须证明∠6=90°即可．利用平行线的性质、角平分线的性质以及等量代换可以证得∠2=∠5；然后根据外角定理可以求得∠6=∠2+∠3=90°，即DE⊥CD．解答：解：DE⊥CD，理由如下：∵OA∥BE（已知），∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）；又∵OB平分∠AOE，∴∠1=∠2；又∵∠4=∠5，∴∠2=∠5（等量代换）；∴DE∥OB（已知），∴∠6=∠2+∠3（外角定理）；又∵∠2+∠3=90°，∴∠6=90°，∴DE⊥CD．点评：本题考查了垂线、平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．12．已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE 平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据平行线性质得出∠ABC=∠DCF，根据角平分线定义求出∠2=∠4，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线性质得出∠DGC+∠ACE=180°，根据∠ACE=90°，求出∠DGC=90°，根据垂直定义推出即可．解答：解：（1）BD∥CE．理由：∵AD∥CD，∴∠ABC=∠DCF，∴BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2=∠ABC，∠4=∠DCF，∴∠2=∠4，∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）；（2）AC⊥BD，理由：∵BD∥CE，∴∠DGC+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，∴∠DGC=180°﹣90°=90°，即AC⊥BD．点评：本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．13．如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并对结论进行说明．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：∠ACB与∠DEB的大小关系是相等，理由为：根据邻补角定义得到∠1与∠DFE互补，又∠1与∠2互补，根据同角的补角相等可得出∠2与∠DFE相等，根据内错角相等两直线平行，得到AB与EF平行，再根据两直线平行内错角相等可得出∠BDE与∠DEF相等，等量代换可得出∠A与∠DEF相等，根据同位角相等两直线平行，得到DE与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得证．解答：解：∠ACB与∠DEB相等，理由如下：证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠DFE=180°（邻补角定义），∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等两直线平行），∴∠BDE=∠DEF（两直线平行，内错角相等），∵∠DEF=∠A（已知），∴∠BDE=∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等两直线平行），∴∠ACB=∠DEB（两直线平行，同位角相等）．点评：此题考查了平行线的判定与性质，以及邻补角定义，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用平行线的判定与性质是解本题的关键．14．如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH和DF的位置关系并说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：根据平行线的判定推出BF∥CD，根据平行线性质推出∠5+∠BED=180°，求出∠B+∠BED=180°，推出BC∥HD，推出∠2=∠H，求出∠1=∠H，根据平行线的判定推出CH∥DF即可．解答：解：CH∥DF ，理由是：∵∠3=∠4，∴CD∥BF，∴∠5+∠BED=180°，∵∠B=∠5，∴∠B+∠BED=180°，∴BC∥HD，∴∠2=∠H，∵∠1=∠2，∴∠1=∠H，∴CH∥DF．点本题考查了平行线的性质和判定，主要考查学评： 生运用性质进行推理的能力．15．如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．考点：平行线的判定与性质；三角形的外角性质． 专题：证明题．分析： 过G 作GH ∥EB ，根据已知条件即可得出BE ∥CF ，再由两直线平行，同旁内角互补即可证明．解答： 证明：过G 作GH ∥EB ，∵∠3=∠1+∠2=∠EGK+∠FGK ，∴∠1=∠EGK ，∴∠2=∠FGK ，∴GH ∥CF ，∴BE ∥CF ，∵∠A+∠B=∠BMD ，∠C+∠D=∠ANC ，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC ，∵BE ∥CF ，∴∠BMD+∠ANC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC=180°．点评： 本题考查了平行线的性质与判定及三角形的外角性质，难度一般，关键是巧妙作出辅助线．16．如图，已知：点A 在射线BG 上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD ．求证：EF ∥CD ．考点： 平行线的判定与性质；平行公理及推论． 专证明题．题：分析：根据平行线的性质推出BG∥EF，AE∥BC，推出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判定推出BG∥CD即可．解答：证明：∵∠1+∠3=180°，∴BG∥EF，∵∠1=∠2，∴AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵∠EAB=∠BCD，∴∠BAC=∠ACD，∴BG∥CD，∴EF∥CD．点评：本题综合考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理等知识点，解此题关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，是一道很好的题目，难度也适中．17．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE交CD于N．试判断CM与FN的位置关系，并说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：设∠A=∠D=α，∠B=∠E=β，∠BCM为∠1，∠AMC为∠3，∠AFN为∠2，由六边形的内角和为720°得，2∠1+2∠2+2α+2β=720°由此得到∠1+∠2=360°﹣α﹣β，又在四边形ABCM 中，∠1+∠3=360°﹣α﹣β故得：∠2=∠3，然后利用平行线的判定即可证明题目结论．解答：解：CM∥FN．设∠A=∠D=α，∠B=∠E=β，∠BCM为∠1，∠AMC为∠3，∠AFN为∠2，∵六边形的内角和为720°，∴2∠1+2∠2+2α+2β=720°，∴∠1+∠2=360°﹣α﹣β，又在四边形ABCM中，∠1+∠3=360°﹣α﹣β，∴∠2=∠3，∴CM∥FN．点评：此题主要考查了平行线的性质与判定，也考查了多边形的内角和定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．18．结合图形填空：如图：（1）因为EF∥AB，（已知）所以∠1=∠E（两直线平行，内错角相等）（2）因为∠3=∠F（已知）所以AB∥EF内错角相等，两直线平行（3）因为∠A=∠3（已知）所以AC∥DF（4）因为∠2+∠CQD=180°（已知）所以DE∥BC同旁内角互补，两直线平行（5）因为AC∥DF（已知）所以∠2=∠APD（两直线平行，内错角相等）（6）因为EF∥AB（已知）所以∠FCA+∠A=180°两直线平行，同旁内角互补（两直线平行，同旁内角互补）考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：根据平行线的判定与性质，即可求得答案．解答：解：（1）因为EF∥AB，（已知）所以∠1=∠E（两直线平行，内错角相等）（2）因为∠3=∠F（已知）所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）（3）因为∠A=∠3（已知）所以AC∥DF（4）因为∠2+∠CQD=180°（已知）所以DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（5）因为AC∥DF（已知）所以∠2=∠APD（两直线平行，内错角相等）（6）因为EF∥AB（已知）所以∠FCA+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：（1）∠E，两直线平行，内错角相等；（2）∠F，内错角相等，两直线平行；（3）∠3；（4）∠CQD，同旁内角互补，两直线平行；（5）∠APD，两直线平行，内错角相等；（6）∠A，两直线平行，同旁内角互补．点评：此题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟记平行线的判定与性质定理与数形结合思想的应用．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B 和∠ACD的度数．考点：平行线的判定与性质；三角形的外角性质．专题：证明题．分析：（1）根据∠1=∠BAC，易得AB∥EF，而AB∥CD，根据平行公理的推论可得EF∥CD；（2）由（1）知EF∥CD，那么∠B+∠BFE=180°，据图易求∠BFE，进而可求∠B，又由于∠1是△AGF的外角，可求∠1，而EF∥CD，那么有∠ACD=∠1=35°．解答：证明：（1）如右图，∵∠1=∠BAC，∴AB∥EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠B+∠BFE=180°，∵∠BFE=∠2+∠3=65°，∴∠B=115°，∵∠1是△AGF的外角，∴∠1=∠3+∠GAF=35°，∵EF∥CD，∴∠ACD=∠1=35°．点评：本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、三角形外角性质，解题的关键是证明EF∥CD．20．如图，AB∥EF，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D，那么BE⊥DE，为什么？考点：平行线的判定与性质．分析：首先根据平行线的传递性得到EF∥CD，再根据平行线的性质可得∠D=∠3，∠B=∠4，再根据∠1=∠B，∠2=∠D可得到∠1=∠4，∠3=∠2，然后即可算出∠4+∠3=90°，进而得到BE⊥DE．解答：解：BE⊥DE，理由如下：∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠3，∵∠2=∠D，∴∠3=∠2，∵AB∥EF，∴∠B=∠4，∵∠1=∠B，∴∠1=∠4，∵∠1+∠4+∠3+∠2=180°，∴∠4+∠3=90°，∴BE⊥DE．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及垂直定义，关键是证明∠1=∠4，∠3=∠2．21．已知，如图，BE∥FG，∠1=∠2．求证：DE∥BC．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：由BE∥FG，推出∠2=∠EBC，然后根据∠1=∠2，通过等量代换即可推出∠1=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行这一判定定理，即可推出结论．解答：证明：∵BE∥FG，∴∠2=∠EBC，∵∠1=∠2，∴∠1=∠EBC，∴DE∥BC．点评：本题主要考查平行线的性质和平行线的判定定理，等量代换等知识点，关键在于推出∠1=∠EBC．。