第十章 定积分的应用
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
第十章定积分的应用§1平面图形的面积
y
y f (x)
0 a
bx
2 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
y
b
的 面 积 为 A f (x) dx.
a
c
d
f (x)dx f (x)dx
o
a
c
a c od
e
b
f (x)dx f (x)dx.
a
4、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、 右曲线 x2 g2 ( y) 、下 直线 y a 、上直线 y b
所围成, 则其面积公式为：
y b
xg1(y) g1( y) dy. 如
o
a
图所示。
xg2(y) x
5、如果平面区域既不是x—型区域，也 不是y—型区域，则用一组平行于坐标 轴的直线，把平面区域分成尽可能少的 若干个x—型区域与y—型区域，然后计 算每一区域的面积，则平面区域总的面 积等于各区域面积之和。如右下图：
A
B
D
C
a
o
F E
b x
G
显然：由图可以知道上部分曲线由三
条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下 部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构 成。为计算其面积，可分别过点B、C与 F作平行于 y轴的直线，这样则把平面区 域分成4个x—型区域，然后利用前面的X ——型区域的公式就可以计算了。
下面看几个计算的例子我们就清楚利
计算公式得面积
A
3
2
1
y
3
y 2 d y
10
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
第十章定积分的应用(一)
π
= abπ .
a x
1 1 2 = x 、y 例2 与直线 x = 3 、 2 2 1+ x x = 3 所围成的图形的面积。 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 2 1 3 x 1 x2 1 S =2[ ∫ ( )dx + ∫ ( )dx ] 2 2 0 1+ x 1 2 2 1+ x 求曲线 y=
例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底 半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 r 解：过原点 O 及点 P(h，r)的直线方程为 y = x 。 h P ( r , h) r y 所求圆锥体的体积为 y= x h h r 2 r V= ∫ π ( x ) dx 0 h O 2 x h h πr 1 = 2 ∫ x2dx = πhr 2 。 0 3 h
y
Vx = ∫
2π a
0
0
π y dx
2
2 2
y
o
= π ∫ a (1 cos t) a(1 cost) dt
3 π = 2π a (1 cos t)3 dt 0
2π
πa
2πa x
利用对称性
∫
3 2 6 3 5 = 32π a sin u du= 32π a 0 6 2 3
∫
π
3 π 6t =16π a sin dt 0 2
方法2 方法 利用椭圆参数方程
则
V = 2∫ π y2 dx = 2π ∫ ab2 sin3t dt
0
a
2 = 2π ab 3 4 = π ab2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十章
第十章 定积分的应用一、填空题1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A = 2． 曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5． 曲线 ⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t ty tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是7． 曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是10．设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h = 11．由曲线,2,1=+=x xx y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln （B ）⎰ba e ex dx e（C ）⎰baydy e ln ln （D ）⎰ba e exdx ln2．曲线x y xy ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ）（A ）dx x x )1(21-⎰（B ）dx xx )1(21-⎰（C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dy y dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dx x dx x3．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ） （A ）dx ex e x )(10-⎰ （B ）dy y y y e)ln (ln 1-⎰（C ）dx xe e exx )(1⎰- （D ）dy y y y )ln (ln 1-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ）（A ）()θθπd a 220cos 221⎰ （B ）θθππd a ⎰-2cos 221 （C ）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰ 5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A ）⎰πθθ02221d e a （B ）⎰πθθ20222d e a （C ）⎰-ππθθd ea 22 （D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+462602cos sin 2πππθθθθd d（C ）()()⎰⎰+46262cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln xy -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ）（A ）dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+212111 （B ）⎰-+2102211dx x x （C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dx x ⎰-+21022])1[ln(1 8．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ）（A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a （B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a （D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dt t t a t（D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdt t t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积=V （ ）（A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V =（ ）（A ）⎰-adx x a 022)(4（B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-adx x a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰hahdh 0 （B ）⎰aahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+hdy y h H S 0)( （B ）⎰-+Hdy y h H S 0)(（C ）⎰-hdy y H S 0)( （D ）⎰+-+Hh dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰h dy y dh d 02π （B ）⎰--h dy a y a dh d 022])([π （C ）⎰hdy y dh db2π （D ）⎰-hdy y ay dh d b2)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m 为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ） （A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
数学《定积分的应用》讲义
第十章 定积分的应用1 平面图形的面积一、直角坐标系下平面图形连续曲线()(0)y f x =≥直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形面积为S=()bbaaf x dx ydx =⎰⎰；若()y f x =在[,]a b 上不是非负的, 则上述围成图形的面积为S=|()|||bbaaf x dx y dx =⎰⎰.一般地，1) 由上下两根连续曲线2()y f x =和1()y f x =以及直线,x a x b ==所围成平面图形面积为 21S=()()ba f x f x dx -⎰.2) 由两条曲线1()y f x =，2()y f x =围成的平面图形面积为21S=()()ba f x f x dx -⎰,其中,x a x b ==与曲线1()y f x =与2()y f x =所有交点中横坐标最小值和最大值.例 1 求曲线1, 0, 2xy x y x =-==围成的平面图形面积.例 2 求由抛物线2y x =直线230x y --=所围成的平面图形面积.设[,]a b 上的曲边梯形的曲边由方程()x t χ=，()y y t =，t αβ≤≤，()a χα=，()b χβ=. 又设()0t χ'>(())t χ↑，于是存在反函数1t=()x χ-, 则曲边方程为[]1()(()),,y y t y x x a b χ-==∈.从而,曲边梯形面积为1(())ba S y x dx χ-=⎰()'()y t t dt βαχ=⎰y dx βα=⎰例 3 求由摆线(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t a =-=->的一拱与x 轴所围成的平面图形面积.例 4 求椭圆22221x y a b+=所围成图形面积.二、极坐标下平面图形的面积设曲线C 由极坐标方程() [,]r r θθαβ=∈给出，其中()r θ在[,]αβ上连续，2βαπ-≤下求由曲线C 与两射线,θαθβ==所围成的平面图形（称之为扇形)面积.221121()21()21()2i i i n ni i i i i A r A A r A r d βαξθξθθθ==∆≈∆=∆≈⋅∆⇒=∑∑⎰例 5 求由双纽线22cos 2r a θ=所围成平面图形的面积.(35cos 20,[,][,]4444ππππθθ≥∈-或)[ 简单介绍微元法:x 的范围a≤x≤b微元 dx, ds=f(x)dx (△s ≈f(x)△x )⇒()ba S f x dx =⎰ 微元 d θ 21()2dA r d θθ=21()2A r d βαθθ=⎰ ]“化曲为直”，“以直代曲”.三、微元法若令()()xa x f t dt Φ=⎰，则当f 为连续函数时，()()x f x 'Φ=或()()d x f x dx Φ=，且()0, ()()baa b f x dx Φ=Φ=⎰.（现在把问题倒过来) 如求的量Φ是分布在某区间[,]a x 上的, 或说其是x 的函数()x Φ=Φ,[,]x a b ∈,且当x=b 时，()b Φ就是最终所求值.任取小区间[,][,]x x x a b +∆⊂，若能把Φ的微小增量∆Φ近似表示为x ∆的线性形式 ()f x x ∆Φ≈∆其中f 为某一连续函数，且0x ∆→时，()()f x x o x ∆Φ-∆=∆， 即 ()d f x dx Φ=从而只要把()ba f x dx ⎰积分出来就是所求结果.上述方法称为微元法. 使用微元法时要求：i)所求量Φ关于分布区间是代数可加的 ()f x x ∆Φ≈∆ii)微元法的关键是正确给出∆Φ的近似表达式，在一般情形下，要严格检验()f x x ∆Φ-∆是否为x ∆的高阶无穷小.2211() ()22A y x dA y dxA r dA r d θθθθ∆≈∆=∆≈∆=2. 由平行截面面积求体积一、已知平行截面面积() () ()ba a xb v A x xdv A x dx v A x dx≤≤∆≈∆=⇒=⎰祖暅原理：夫幂势相同，则积不容异.[亦可通过分割，求和取极限方法得到]例 1 由两个圆柱面222x y a +=和222x z a +=所围成立体体积.例 2 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围成立体（椭球)的体积.二、旋转体设f 为[,]a b 上的连续函数(f(x)≥0),则曲线y=f(x)绕x 轴旋转一周得到的旋转体V ，易证V 的体积为2()ba V f x dx π=⎰例 3 求圆锥体的体积公式.例 4 求圆222(),(0)x y R r r R +-≤<<绕x 轴旋转一周所得到的环状立体体积.1) 22[[rrrrV R dx R dx ππ--=--⎰⎰222) ()2rrV A x dx r R π-==⎰例 5 sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴（y 轴)旋转所得立体体积.220sin 2V xdx πππ==⎰1()V A y dy =⎰22()[(arcsin )(arcsin )]A y y y ππ=--3 平面曲线的弧长1、弧长的定义设平面曲线c AB =，在A,B 上取点011,,,n n A P P P P B -==构成AB 的一个分割，记作T ，11i i i i P P P P --≈，11ni i i s PP -=≈∑，11||||max i i i nT P P -≤≤=，11()ni i i s T P P -==∑.定义 1 对于曲线c 上无论怎样的分割T ，如果存在有限数s ，使0lim ()T s T s →=，那么称曲线c 是可求长的，并把极限s 定义为曲线c 的弧长.2、弧长的计算设曲线方程(),y f x a x b =≤≤, 由微元法, ds ==as ⇒=⎰进一步, 若曲线c 的方程为[](),(),,x x t y y t t αβ==∈，则ds ==s βα=⎰（提出光滑曲线概念) ,x y ''连续定义 2 设平面曲线c 由参数方程 [](),(),,x x t y y t t αβ==∈ (*)给出.若()x t ,()y t 在[],αβ上有连续导数,22()()0x t y t ''+≠,则称c 为一条光滑曲线.定理 设曲线c 由参数方程(*)给出，若c 为一条光滑曲线，则c 是可求长的，且 弧长为s βα=⎰.例 1 求摆线一拱(sin ),(1cos ),(0)x a t t y a t a =-=->一拱的弧长.（202sin 2ts a dt π=⎰）例 2 求悬链线2x xe e y -+=，从x a =-到x a =一段的弧长.若曲线c 由极坐标方程[](),,r r θθαβ=∈给出，则[]()cos ,()sin ,,x r y r θθθθθαβ==∈从而 ()()cos ()sin ,x r r θθθθθ''=- ()()sin ()cos y r r θθθθθ''=+. 故 2222()()()()x y r r θθθθ'''+=+则当()r θ'在[],αβ上连续，且()r θ与()r θ'不同时为0时，此极坐标曲线为一光滑曲线. 此时弧长公式为s βαθ=⎰.例 3 求心形线(1cos ),(0)r a a θ=+⋅>的弧长.弧长01lim ni T i s s →==∆∑, ()()()222i i i s x y ∆=∆+∆ ，1i i i x x x -∆=-，1()()()i i i i i y f x f x f x ξ-'∆=-=∆, 11n ni i i i s x ==⇒∆=∑as ⇒=⎰（f '连续)下面反过来求弧长微分dS . 考察从A 到AB 上一点(,)M x y 的弧长()s x ，则()as x =⎰()ds S x dx'⇒==ds ⇒=几何意义 ds 为s ∆的线性主要部分直线段MP 之长就和曲线MM '之长很接近（相差一个高阶无穷小). 若[](),,r r θθαβ=∈, 则s βαθ=⎰.4 旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为()y f x =，[],x a b ∈，(()0)f x ≥此段曲线绕x 轴旋转一周得到一旋转曲面.下面求其面积.[]()()S f x f x x π∆≈++∆[]2()f x y x π=+∆由于0y ∆→→(0)x ∆→(2()2(()f x y x f x x o x ππ⇒+∆-=∆2(dS f x π⇒=2(ba S f x π⇒=⎰若曲线C 由参数方程(),()x x t y y t ==，[],t αβ∈，且()0y t ≥，则曲线C 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰.例 1 求圆222x y R +=在[][]12,,x x R R ⊂-上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.例2求内摆线33==绕x轴旋转所得旋转曲面的面积.x a t y a tcos,sin5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1如图所示为一管道的圆形闸门，半径为3米. 问水面齐及直径时, 闸门所受到的水的静压力有多大？二、引力例2一根长为l的均匀细杆，质量为M, 在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点，试求细杆对质点的万有引力.三、功与平均功率例3一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满水，试求将全部池水抽出池外所作的功.例 4 在地面上将质量为m 的物体沿着轨线((),(),())t x t y t z t →举起，()a t b ≤≤，（t 为时间，,,x y z 为空间笛卡尔坐标) 要求在时间段[],a b 内克服重力做的功.这样所做的功只依赖于(),()r a r b ，即只依赖于物体在初始时刻和结束时刻离地球中心的距离.令()GMU r r =，从而将质量为m 的物体从半径为0r 的球面上任一点移动到半径为1r 的球面上任一点，克服重力所做的功01,01(()())r r W m U r U r =-，称()U r 为牛顿位势. 设R 为地球半径，则2()gR U r r =，2()GMg R=.现将质量为m 的物体从地球表面飞到距地心无限远的地方, 所需的功为,lim R r r W →+∞，即22,lim ()R r gR gR W W m mgR R r∞→+∞==-=. 由能量守恒定律，要求初速度0v 至少为2012mv mgR =.0v =. ——第二宇宙速度264()P。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率)
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念，设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…，P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割，记为T ，然后用线段连接T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=，即任给ε>0,恒存在δ>0，使得对于C 的任何分割T ，只要||T||<δ，就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的，并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…，P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T'：α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠，则存在ε0>0，对于任何δ>0，都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q''，使得|Q''Q'|<δ，而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理，存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β]，使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==，显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
第十章定积分应用习题课
第⼗章定积分应⽤习题课第⼗章定积分应⽤习题课⼀⾯积1．求平⾯图形的⾯积1）若曲线()0y f x =≥，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx ==??．2）由连续曲线()0y f x =≤，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx =-=-??．3）如果连续曲线()y f x =在[],a b 上可正可负，则所围图形的⾯积为()b baaA f x dx y dx ==??．4）由上、下两条连续曲线()2yf x =与()1y f x =以及两条直线,x a x b ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()21baA f x f x dx =-．5）由左右两条连续曲线1()x g y =，2()x g y =，及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A [()]d d cg y g y y =-?．6) 由上下两条连续曲线()y f x =与()y g x =（它们可能相交）以及两条直线,x a xb ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()baA f x g x dx =-?．7）由左右两条连续曲线1()xg y =，2()x g y =（它们可能相交），及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A ()d d cg y g y y =-?．如果所求平⾯图形是属于上述情形之⼀，就不需画图，直接⽤上述公式，否则就需画图选⽤相应公式．求平⾯图形的步骤：（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点．（2）确定积分变量与积分区间．例1．求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平⾯图形的⾯积A ．解法⼀（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点()1,1P-，()9,3Q ．⽤1x =把图形分为左、右两部分，应⽤公式分别求得它们的⾯积为(11042,3A dx ?=-==92132823x A dx -?=-=．所以12323A A A =+=．法⼆(左右曲线)．把抛物线和直线⽅程改写成()21x y g y ==，()223x y g y =+=，[]1,3y ∈-．则()()()332211132233A g y g y dy y y dy --=-=+-=．例2 计算椭圆12222=+by a x 所围成的平⾯图形⾯积．解由于椭圆关于x 轴及y 轴对称，所以只需计算位于第⼀象限部分的⾯积，然后乘以4就得到所求平⾯图形⾯积．由12222=+by a x ，解得22x a a by -±=，故第⼀象限的椭圆的⽅程是22x a aby -=从⽽04A =?，()2220041sin cos sin 4cos 422b x a t a td a t ab tdt ab ab a ππππ===??=??令．特别地，当R b a ==时，得圆的⾯积2A R π=．注：计算平⾯图形⾯积时，尽可能利⽤图形的对称性，以简化计算．2．参数⽅程的⾯积若所给的曲线⽅程为参数形式：()()x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =??=?，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的⾯积A 的公式为||()|()()|A y dx t y t x t dt ββαα'==??．（αβ<）．如果由参数⽅程所表⽰的曲线是封闭的，即有()()x x αβ=，()()y y αβ=且在(),αβ内曲线⾃⾝不再相交，那么由曲线⾃⾝所围图形的⾯积为()()A y t x t dt βα'=(或()()?'βαdt t y t x )．例2另解1：化椭圆为参数⽅程cos ,sin ,x a t y b t =??=?02t π≤≤ 则所求⾯积为20A sin (cos )πb t a t dt πab '==?．另解2：第⼀象限参数⽅程为cos ,0sin ,2x a t t y b t π=?≤≤?=?，()()()2222014||4|sin sin |4sin 422A y t x t dt b t a t dt ab tdt abab πππππ'==-===．例3 求内摆线323232a y x =+所围成的⾯积．解令33cos ,sin ,x a t y a t ?=?=?由曲线既关于轴x 对称，也关于y 轴对称，只须计算第⼀象限内的⾯积1A ，再乘以4即可，于是()()()()332422220242246222006224||4sin cos 12sin cos 12sin 1sin 12sin sin 31531312.42264228A y t x t dt a t a t dt a t tdta t t dt a tdt tdt a a πππππππππ''===??=-=-??=-?=3．极坐标⽅程1）曲线()θr r =与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()?=βαθθd r S 2212）曲线()1r r θ=，()2r r θ=与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()()222112S r r d βαθθθ??=-．例4 由下列极坐标⽅程式所表曲线围成的⾯积A ，⽅程中的0a >．（1）θ2cos 2 2a r =（双纽线）；（2）()θcos 1+=a r （⼼脏形线）；（3）θ3sin a r =（三叶线）．解（1）由图形关于x 轴与y 轴对称，只需计算第⼀象限⾯积1A ，再乘以4即可，由在第⼀象限20π≤时，02cos 22≥=θa r ，知40πθ≤≤，即1A 看成θ2cos a r =与4,0πθθ==所围成，故2224410144cos 2sin 22A A a d a a ππθθθ==?==?．（2）由图形关于x 轴对称，在第⼀，⼆象限，当πθ≤≤0时，需求()0cos 1≥+=θa r ，知πθ≤≤0，故所求⾯积为()2221013221cos 22A A a d a πθθπ==?+=?．（3）由图形知，所求⾯积A 为第⼀象限内⾯积1A 的3倍，由20πθ≤≤时，要求03sin ≥=θa r ，知πθ≤≤30，即30πθ≤≤时，0≥r ，于是()223102330133sin 323311cos 6sin 6.4464A A a d a a a d πππθθπθθθθ===-=-=⼆体积1）设⼀⼏何体夹在a x =和b x =这两个平⾏平⾯之间，⽤垂直于x 轴的平⾯去截此⼏何体，设截⾯与x 轴交点为(),0x ，可得的截⾯⾯积为()A x ，如果()A x 是],[b a 上的可连续函数，此时，取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ．相应于],[b a 上的任⼀⼩区间[,]x x x +?的⽴体薄⽚的体积近似于底⾯积为()A x 、⾼为x d 的圆柱体的体积即体积微元d ()d VA x x =，因此所求⽴体的体积为()d baV A x x =?．2）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x ⼀周⽽成的旋转体的体积()2bx aV f x dx π=?．3）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕绕y 轴旋转⼀周的体积()dx x xf V b ay ?=π2．4）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕y 轴旋转⼀周的体积()?=dcy dy y g V 2π，5）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕x 轴旋转⼀周的体积()?=dcx dy y yg V π2．6）平⾯区域?>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为 ?-=badx x g x f V .)]()([22π7）平⾯区域>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕y 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为-=badx x g x f x V .)]()([2π例5 ⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼，并与底⾯交成⾓α，求此平⾯截圆柱体所得⽴体的体积．解取此平⾯与圆柱体的底⾯的交线为x 轴，底⾯上过圆⼼且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么底圆的⽅程为2 22R y x =+．⽴体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截⾯是⼀个直⾓三⾓形，它的两条直⾓边的长分别为y 和αtan y ，即22x R -及αtan 22x R -，因⽽截⾯⾯积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为x x R V RR d tan )(2122?--=αααtan 32tan )31(21332R x x R RR =-=-．例6 求椭球球体体积：2222221x y z a b c++=．解：⽤垂直于x 轴的平⾯截椭球得截⾯为⼀椭圆，它在平⾯yoz 上的投影为222222221(1)(1)y z x x b c aa+=--，从⽽得截⾯⾯积为22()(1)x s x bc aπ=-，于是所求的椭球体积为224()(1)3aaa a x V s x dx bc dx abc a ππ--==-=??．注当a b c R ===得球2222x y z R ++=的体积为343R π．例7 求下列平⾯图形绕坐标轴旋转⼀周所得的体积()π≤≤==x y x y 00,sin ．（1）绕x 轴；（2）绕y 轴．解（1）221cos 2sin 22x x V xdx dx πππππ-===?；（2）()()??--=12102arcsin arcsin dy y dy y V y πππ()-=-=123102arcsin 2arcsin 2ydy dy y πππππ．()()().212112211arcsin 2210 2122210212231021023πππππππ=??--=?--+-=??-?--=??-y y d y dy y y y y另⼀解法02sin 2cos y V x xdx xd x ππππ==-?2002cos cos 2ππππ=??--=xdx x x ．注：从上⾯的两种解法中可看出，知道的公式越多，解决问题越⽅便，但要理解公式，记住公式．例8 过点()0,1P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成⼀平⾯图形，求此图形绕x 轴旋转⼀周所成旋转体的体积．解设所作切线与抛物线相切于点()2,00-x x ，因,22100-='=x y x x故切线⽅程为().2212000x x x x y --=--⼜因该切线过点()0,1P ，所以(),12212000x x x --=--即30=x ．从⽽切线⽅程为().121-=x y 因此所求旋转体的体积 ()()33212112.46V x dx x dx πππ=---=??三平⾯曲线的弧长1）若曲线⽅程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为?'+=b adx x f s .)]([122）若曲线⽅程为??∈==],[,)()(βαt t y y t x x ，则曲线弧长为?'+'=βadt t y t x s .)]([)]([223）若曲线⽅程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为?'+=βαθθθd r r s 22)]([)]([．例9 计算圆222R y x =+的周长．解将圆的⽅程化成参数⽅程.20,sin ,cos πθθθ≤≤??==R y R x则()().2cos sin 202022R d R d R R s πθθθθππ==+-=例10 计算内摆线323232ay x =+()0a >的周长．解法1 由于曲线关于x 轴及y 轴对称，所以，只需计算第⼀象限内曲线的长，再乘以4即得所求．13a y x ??'== ，得.6403a dx x a s a =??=法2 把曲线化为参数⽅程??==,sin ,cos 33θθa y a x 在第⼀象限的参数20πθ≤≤，于是 ,cos sin 3,sin cos 322θθθθa y a x ='-='因此4s θ=.62cos 32sin 6cos sin 12202020a a d a d a =-===??πππθθθθθθ四旋转体的侧⾯积及表⾯积1）设平⾯光滑曲线C 的⽅程为(),[.]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转⼀周得到旋转曲⾯得旋转曲⾯的⾯积公式(2.baS f x π=?2）如果光滑曲线C 由参数⽅程()x x t =，()y y t =，[],t a b ∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲⾯的⾯积为2(.S y t βπ=?例11 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转体的表⾯积．解设切点为()1,00-x x ，则过原点的切线⽅程为.1210x x y -=再以点()1,00-x x 代⼊，解得11,2000=-==x y x ，则上述切线⽅程为.21x y =由曲线()211≤≤-=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积().15563412212121-=-='+=??πππdxx dx y y S由直线段()2021≤≤=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积.525212202ππ?=?=dx x S因此，所求旋转体的表⾯积为().1511621-=+=πS S S ．例12 计算半径为R 的球⾯的⾯积．解半径为R 的球⾯可以看成圆222R y x =+所围成的平⾯图形绕R 轴旋转所形成旋转体的侧⾯积．由于y xy -='，于是 2222242212R dx R dx yy x y dx y x y S R R R R R Rππππ==+=???? ?-+=---．。
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
定积分的应用(13
定积分的应用(13定积分是高中数学中十分重要的概念之一，其应用范围很广。
在这篇文章中，我们将会介绍一些定积分的应用。
1. 计算曲线下的面积对于一个平面上的曲线，我们可以通过计算它与 $x$ 轴之间的定积分来计算它所占的面积。
如果我们已知一个函数 $f(x)$，并且想要计算它的图像和 $x$ 轴之间的面积，可以使用下面的公式：$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。
这个公式是一个重要的几何概念，可以用于计算圆的面积、三角形的面积等。
2. 计算速度和位移可以使用定积分来计算物体的速度和位移。
当物体的速度是一个连续函数时，我们可以用定积分来计算它的位移。
例如，一个物体的速度曲线可以表示为 $v(t)$，则物体的位移可以通过下面的公式计算：这个公式表示的是从时间 $a$ 到时间 $b$ 的总位移。
如果我们知道物体的位移曲线，并且想要计算它的速度，可以通过求导来得到速度曲线。
3. 动量和力的计算在物理学中，动量是一个十分重要的概念。
如果我们知道一个系统中各个物体的质量和速度，可以使用下面的公式计算它的总动量：$$p = \sum_{i=1}^{n}m_iv_i$$其中，$m_i$ 表示物体 $i$ 的质量，$v_i$ 表示它的速度。
如果我们需要计算某个时间段内系统的总动量，可以使用在这个时间段内速度的平均值。
其中，$F_i$ 表示物体 $i$ 受到的力。
4. 发现未知函数的性质定积分可以帮助我们发现一个未知函数的性质。
例如，我们可以通过计算一个函数在所有可能的 $x$ 值上的定积分，来探究函数的奇偶性、增减性等。
同时，如果我们已知一个函数的一些性质（如连续性、单调性等），可以使用定积分来证明这些性质。
总的来说，定积分在科学和工程领域中有着广泛的应用。
无论是求解面积、计算速度和位移、计算动量和力、还是探究未知函数的性质，所有这些应用都用到了定积分的概念。
定积分是数学中一个极为重要的工具，掌握定积分的应用是我们进行科学研究和实践工作的必备技能。
数学分析(华东师大)第十章定积分的应用
∫ ∫ ∫∫∫第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线y = f ( x) (≥0) , 以及直线x = a, x = b( a <b) 和 x 轴所围曲边梯形的面积为b bA =∫ f ( x ) d x =∫y d x .aa如果 f ( x)在[ a , b]上不都是非负的, 则所围图形的面积为b b A=f (x)d x =aay d x .一般地,由上、下两条连续曲线y = f 2 ( x )与y = f 1 ( x )以及两条直线x = a与 x = b( a <b) 所围的平面图形 ( 图 10 - 1) , 它的面积计算公式为bA=[ f 2( x) - f 1 ( x) ] d x. (1)a图 10 -1图 10 - 2例 1 求由抛物线 y 2= x 与直线 x - 2 y - 3 = 0 所围平面图形的面积 A . 解 该平面图形如图 10 - 2 所示 .先求出抛物线与直线的交点 P(1 , - 1 ) 与Q(9 , 3 ) .用 x = 1 把图形分为左、右两部分, 应用公式(1 ) 分别求得它们的面积 为1A 1 =x -- xd x =∫2x d x = 4 , 39 A 2 =1x - x - 32d x = 28 .31 01 ∫ ∫ ∫ ∫∫3240第十章 定积分的应用所以 A = A 1 + A 2 = 32.3本题也可把抛物线方程和直线方程改写成x = y 2= g ( y) , x = 2 y + 3 = g 2 ( y) , y ∈ [ - 1 , 3].并改取积分变量为y , 便得3A=[ g 2(y)-g 1 ( y)] d y - 1=(2 y +3 -y 2) d y = 32.-13设曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β] (2)给出,在[α,β]上y(t)连续,x(t)连续可微且x ′(t)≠0(对于y(t)连续可微且 y ′( t )≠0的情形可类似地讨论) .记a = x(α), b = x(β)(a <b 或b <a),则由 曲线 C 及直线 x = a , x = b 和 x 轴所围的图形 ,其面积计算公式为βA=y( t) x ′( t )d t. (3)α例 2 求由摆线 x = a( t - sin t ) , y = a( 1 - cos t ) ( a > 0 ) 的一 拱与 x 轴所 围平面图形( 图10 - 3 ) 的面积 .图 10 - 3解 摆线的一拱可取 t ∈[ 0 , 2π] .所求面积为2πA=a(1 - co s t )[a( t - s in t)]′d t 0 = a∫22π( 1 - cos t ) 2d t = 3πa2.如果由参数方程(2 ) 所表示的曲线是封闭的, 即有x(α) = x (β) , y(α) = y(β),且在(α, β) 内曲线自身不再相交, 那么由曲线自身所围图形的面积为βA=y( t ) x ′( t ) d t α●∫∫∫§1 平面图形的面积241β或x ( t ) y ′( t)d t . (4)α此公式可由公式(1)和(3)推出,绝对值内的积分,其正、负由曲线(2)的旋转方向 所确定.2 2 例3 求椭圆 x+ y = 1 所围的面积 .a 2b 2解 化椭圆为参数方程x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0 , 2π] .由公式(4 ) , 求得椭圆所围面积为2πA=b s in t (a co s t)′d t 0 = a ∫b2πsin2t d t = πab .显然, 当 a =b = r 时, 这就等于圆面积πr 2.设曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]给出, 其中 r(θ) 在[α, β] 上连续, β- α≤2π.由曲线 C 与两条射线θ= α, θ= β所围成的平面图形, 通常也称为扇形( 图 10 -4).此扇形的面积计算公式为βA = 1 2 αr 2 (θ)d θ. (5)图 10 -4图 10 - 5这仍可由定积分的基本思想而得 .如图 10- 5 所示, 对区间[α, β] 作任意分 割T :α= θ0 <θ1 <<θn-1 <θn = β,射线θ=θi (i =1,2, , n -1)把扇形分成n 个小扇形.由于r (θ)是连续的,因 此当‖T ‖很小时,在每一个Δi =[θi - 1 ,θi ]上r (θ)的值变化也很小.任取ξi ∈ Δi ,便有r(θ) ≈r (ξi ),θ∈Δi , i = 1,2,, n .这时, 第 i 个小扇形的面积242第十章 定积分的应用Δ A i ≈12于是r 2 (ξi )Δθi ,nA ≈ ∑1 r 2(ξ)Δθ .i ii = 1由定积分的定义和连续函数的可积性, 当‖T ‖→0 时, 上式右边的极限即为公 式(5 ) 中的定积分 .例 4 求双纽线 r 2= a 2cos 2θ所围平面图形的面积. 解 如图10 - 6所示,因为r 2≥0,所以θ的取值范围是 -π,π与 4 43π 5π 4,4 .由图形的对称性及公式(5),得 到π A =4·1 4 a 2cos2θd θ 2∫π = a 2 sin 2θ 4 0= a 2 .图 10 - 6习 题1 . 求由抛物线 y = x 2与 y = 2 - x 2所围图形的面积 .2 . 求由曲线 y = | ln x | 与直线 x = 1, x = 10 , y = 0 所围图形的面积.10 3 . 抛物线 y 2= 2 x 把圆 x 2+ y 2≤8 分成两部分 , 求这两部分面积之比. 4 . 求内摆线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a > 0 ) 所 围图 形的 面积( 图 10 - 7).5 . 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0) 所围图形的面积 .6 . 求三叶形曲线 r = a sin 3θ( a >0) 所围图形的面积.7.求由曲线x a+ y b= 1 ( a 、b > 0 ) 与坐标轴所围 图形的面积 .8 . 求由曲线 x = t - t 3, y = 1 - t 4所围图形的面积.9 . 求二曲线 r = sin θ与 r = 3 cos θ所围公共部分的面图 10 - 7积 .2 2 2 2 10 . 求两椭圆x + y = 1 与 x+ y = 1( a > 0 , b > 0 )所围公共部分的面积.a2b 2b2a 22§2 由平行截面面积求体积243§2 由平行截面面积求体积设Ω为三维空间中的一立体,它夹在垂直于x 轴的两平面x =a 与x =b 之间(a <b).为方便起见称Ω为位于[a,b]上的立体.若在任意一点x ∈[a,b] 处作垂直于x 轴的平面,它截得Ω的截面面积显然是x 的函数,记为A(x),x∈[a,b] ,并称之为Ω的截面面积函数(见图10-8).本节将导出由截面面积函 数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式.图 10 - 8设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数.对[a,b]作分割 T :a=x 0 < x 1 << x n = b.过各个分点作垂直于 x 轴的平面 x = x i , i = 1 , 2 ,, n , 它们把 Ω 切割成 n 个薄 片.设A( x )在每个小区间Δi =[x i - 1 , x i ]上的最大、小值分别为M i 与m i ,那么 每一薄片的体积ΔV i 满足m i Δx i ≤ΔV i ≤M i Δx i ①.n于是, Ω的体积 V = ∑ΔV i 满足i = 1n∑ i = 1nm iΔ xi≤ V ≤ ∑M i Δx i .i = 1因为 A ( x)为连续函数, 从而在[ a, b] 上可积, 所以当‖T ‖足够小时, 能使nn∑ωiΔx i=∑(Mi- m i )Δ x i <ε,i=1i =1其中ε为任意小的正数 .由此知道① 严格地说, 这里对 Ω的形状需作如下假设: 把 Ω的上述平行截面正投影到某一垂直于 x 轴的平 面上, 它们永远是一个含在另一个的里面( 这时能保证此处的不等式成立) .一般还可推广到 Ω由满足这 种假设的若干个立体相加或相减而得的情形.∫0 2 2 a2 244第十章 定积分的应用nnV=lim ∑M i Δx i或 lim ∑ m i Δx i‖ T ‖ →0 i =1‖ T ‖ →0 i = 1n= lim ∑A(ξi )Δx i ,‖ T ‖ →0 i = 1其中A(ξi )= M i (或m i ),所以有bV=A ( x )d x. (1)a 例 1 求由两个圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 与 z 2 + x 2= a 2所围立体的体积 .解图10-9所示为该立体在第一卦限部 分的图象(占整体的八分之一).对任一x 0∈ [0 , a] , 平面 x = x 0 与这部分立体的截面是一个 边长为 a 2- x 2的正方形,所以A(x)= a 2- x 2,x ∈[0 , a].由公式( 1) 便得aV =∫8 (a 2 - x 2) d x = 16 a 3 . 0 3例2 求由椭球面 x a 2 y 2+ 2 b + z c 2= 1 所围立图 10 - 9体( 椭球) 的体积 .解 以平面 x =x 0 ( |x 0 | ≤a) 截椭球面, 得椭圆( 它在 yOz 平面上的正投影):y2z22+ 2= 1 .b 21 - x 0a 2所以截面面积函数为(根据§1例3): c 2 1 - x 0a22于是求得椭球体积A( x ) = πbc 1 - xa2 , x ∈[-a , a] .V =∫πbc 1- x d x = 4πabc.- a a 23 显然, 当 a =b =c = r 时, 这就等于球的体积4πr 3 .3设ΩA ,ΩB 为位于同一区间[a,b]上的两个立体,其体积分别为V A , V B .若 在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续,且A(x)=B(x),则由 公式(1)推知V A = V B .这个关于截面面积相等则体积也相等的原理,早已为我国齐梁时代的数学家祖¹3(祖冲之(429—500)之子,生卒年代约在公元5世纪末∫§2 由平行截面面积求体积245至6 世纪初) 在计算球的体积时所发现 .在 《九章算术》一书中所记载的祖¹3原理是“: 夫 叠絔成立积,缘幂势既同则积不容异”,其中 幂就是截面面积,势就是高.这就是说,等高 处的截面面积既然相等,则两立体的体积不 可能不等(图10-10).17世纪意大利数学家 卡伐列利(Cavalieri)也提出了类似的原理,但 要比祖¹3晚一千一百多年.下面讨论旋转体的体积 .设 f 是[ a,b] 上的连续函数, Ω是由平 面图形图 10 - 100≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤b绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 .那么易知截面面积函数为 A ( x ) = π[ f ( x ) ] 2, x ∈ [ a , b] .由公式(1 ) , 得到旋转体Ω的体积公式为bV =∫π [ f ( x) ]2d x. (2)a例3 试用公式( 2) 导出圆锥体的体积公式 .解 设正圆锥的高为 h , 底圆半径为 r .如图 10- 11 所示, 这圆锥体可由平面图形0≤| y | ≤ rx ,x ∈[ 0 , h]绕 x 轴旋转一周而得 .所以其体积为 hV = π0 r x h d x = 1πr 2 h, 3这个结果读者在中学课程里便已熟知了 .又因同底同高的两个圆锥, 在相同高程 处的截面为相同的圆, 即截面面积函数相同, 所以任一高为 h , 底半径为 r 的圆锥( 正或斜) , 其体积恒为1 πr 2h .3例 4 求由圆 x 2+ ( y - R) 2≤ r 2(0 <r <R ) 绕 x 轴旋转一周所得环状立体 的体积 .解如图10- 12所示,圆x 2+(y - R )2= r 2 的上、下半圆分别为y= f 2 ( x ) = R+ r 2- x 2, x ≤ r.y= f 1 ( x ) = R -r 2- x 2,故圆环体的截面面积函数是A ( x) =π[ f 2 ( x ) ] 2 - π[ f 1 ( x ) ] 2=4πRr 2- x 2, x ∈ [ - r , R].h 22∫∫246第十章 定积分的应用图 10 -11 图 10 - 12由此得到圆环体的体积为V = 8πRr 2 - x 2d x = 2π2 r 2 R .如果把上述结果改写成 V = 2πR ·πr 2, 读者不难看出这相当于一个圆柱体 的体积 .习 题1. 如图10 - 13 所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的 体积 .2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体 积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;(2 ) x = a ( t - sin t ) , y = a ( 1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴;( 3) r = a(1 + cos θ) ( a > 0 ) , 绕极轴;2 2( 4) x + y= 1 , 绕 y 轴.ab2图 10 - 13 3 . 已知球半径为 r , 验证高为 h 的球缺体积V =πh 2r - h3( h ≤ r ) .4 . 求曲线 x = a cos 3 t , y = a sin 3t 所围平面图形 ( 图 10 - 7 )绕 x 轴旋转所得立体的体积 . 5. 导出曲边梯形0≤y ≤ f ( x) , a ≤x ≤b 绕 y 轴旋转所得立体的体积公式为bV =2πx f ( x) d x. a6 . 求 0≤ y ≤sin x , 0≤ x ≤π所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体的体积.r∫§3 平面曲线的弧长与曲率247§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长 先建立曲线弧长的概念 .设平面曲线 C = AB .如图 10 - 14 所 示 , 在 C 上从 A 到 B 依次取分点:A = P 0 , P 1 ,P 2,, P n - 1 , P n = B,它们成为对曲线 C 的一个分割, 记为 T .然后用线 段联结 T 中每相邻两点, 得到 C 的 n 条弦P i - 1 P i ( i = 1 , 2 , ,n) , 这 n 条弦又成为 C 的一条内接折 线 .记n图 10 - 14‖ T ‖ = max 1 ≤ i ≤ nP i -1 P i, s T =∑ i = 1P i -1 P i,分别表示最长弦的长度和折线的总长度 .定义 1 对于曲线 C 的无论怎样的分割T , 如果存在有限极限lim ‖ T ‖→ 0s T = s ,则称曲线 C 是可求长的, 并把极限 s 定义作为曲线C 的弧长 .定义 2 设平面曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β](1)给出.如果x (t)与y (t)在[α,β]上连续可微,且x ′( t)与y ′( t)不同时为零(即 x ′2( t)+ y ′2(t)≠0, t ∈[α,β]),则称C 为一条光滑曲线.定理10.1 设曲线 C 由参数方程( 1 ) 给出 .若 C 为一光滑曲线① , 则 C 是 可求长的, 且弧长为βs =x ′2 (t) + y ′2 (t)d t .(2)α证 如前所述 , 对 C 作任意分割 T = { P 0 ,P 1 , , P n } , 并设 P 0 与 P n 分别对应 t = α与t = β, 且P i ( x i , y i ) = ( x( t i ) , y( t i ) ) , i = 1 ,2,, n - 1. 于是, 与 T 对应地得到区间[α, β] 的一个分割T ′:α= t 0 <t 1 <t 2 < < t n-1 <t n = β.在T ′所属的每个小区间Δi =[t i - 1 , t i ]上,由微分中值定理得①这是曲线可求长的一个充分条件,而连续曲线不一定是可求长的.i i i248第十章 定积分的应用Δx i = x(t i ) -x(t i-1 ) = x ′(ξi )Δt i ,ξi ∈Δi ;Δy i = y (t i ) - y ( t i-1 ) = y ′(ηi )Δt i ,ηi ∈Δi .从而曲线 C 的内接折线总长为n2 2s T =∑ i = 1 Δx i + Δy in= ∑x ′2(ξ) + y ′2(η)Δt .iiii = 1又因 C 为光滑曲线, 当 x ′( t ) ≠0 时, 在 t 的某邻域内 x =x ( t ) 有连续的反 函数, 故当Δx →0 时Δt →0; 类似地, 当 y ′( t ) ≠0 时, 亦能由Δy →0 推知Δt → 0 .所以当 | P i - 1 P i |=Δx 2 +Δy 2→0时,必有Δt i→0.反之, 当Δt i →0 时, 显然有|P i - 1 P i |→0 .由此知道:当C 为光滑曲线时,‖T ‖→0与‖T ′‖→0是等价 的.由于 x ′2( t ) + y ′2(t)在[α,β]上连续从而可积,因此根据定义1,只需证明:nlim s T =lim∑x ′(ξi ) + y ′(ξi )Δt i ,(3)‖ T ‖ →022‖T ′‖→0 i= 1而后者即为(2 ) 式右边的定积分 .为此记2 22 2ζi =x ′(ξi ) + y ′(ηi ) -x ′(ξi ) + y ′(ξi ),则有ns T = ∑i = 1x ′2 (ξi ) + y ′2(ξi ) +ζi Δt i .利用三角形不等式易证ζi ≤ | y ′(ηi ) |-| y ′(ξi ) |≤ y ′(ηi ) -y ′(ξi ) ,i = 1 ,2, , n.由y ′(t)在[α,β]上连续,从而一致连续,故对任给的ε>0,存在δ>0,当‖T ′‖<δ时,只要ξi 、ηi ∈Δi ,就有ζ <ε , i = 1 , 2, , n. β - α因此有n22ii in∑ζΔti = 1n≤∑ i = 1ζi Δt i <ε.iii = 1即(3 ) 式得证, 亦即公式(2 ) 成立 .∫2∫∫∫2π ∫π ∫§3 平面曲线的弧长与曲率249若曲线 C 由直角坐标方程y= f ( x ) , x ∈ [ a ,b]表示, 把它看作参数方程时, 即为x = x ,y= f ( x ) , x ∈ [ a , b].所以当 f ( x)在[ a , b]上连续可微时, 此曲线即为一光滑曲线 .这时弧长公式为bs=1 + f ′( x ) d x.(4)a又若曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]表示, 把它化为参数方程, 则为 x = r (θ) cos θ,y= r(θ) sin θ, θ∈ [α, β].由于x ′(θ) = r ′(θ)co s θ- r (θ)s in θ, y ′(θ)= r ′(θ)s in θ+ r (θ)co s θ, x ′2(θ) + y ′2 (θ) = r 2 (θ) + r ′2 (θ),因此当r ′(θ)在[α,β]上连续,且r (θ)与r ′(θ)不同时为零时,此极坐标曲线为 一光滑曲线.这时弧长公式为βs =r 2 (θ) + r ′2(θ)d θ.(5)α例1 求摆线 x = a(t - sin t ) ,y = a(1- cos t ) ( a > 0 ) 一拱的弧长( 见图 10 - 3) .解x ′(t)= a(1- co s t),y ′(t)= a s in t,由公式(2)得2π2πs =x ′2 (t) + y ′2( t )d t=2 a 2( 1 - cos t ) d t = 2∫as in td t = 8a .2x - x例 2 求悬链线 y =e+e从 x = 0 到 x = a > 0 那一段的弧长.2x- x x- x 2解y ′=e- e ,1+ y ′2 =(e +e ),由公式(4)得24 aax- xa - as =∫ 1+ y ′2d x =∫e +ed x =e-e .22例 3 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0 ) 的周长 .解 由公式 (5 ) 得2ππs =r 2 + r ′2d θ= 2 02 a 2 ( 1 + cos θ) d θ= 4∫a co s θθ= 8a . 0 2d∫250第十章 定积分的应用注意 若把公式(2)中的积分上限改为t,就得到曲线(1)由端点P 0 到动点 P( x ( t ) ,y( t ) ) 的弧长, 即ts( t )=αx ′2(η) + y ′2(η)d η.由于被积函数是连续的, 因此d sd t =d x 2d t+d y 2d t ,d s= d x 2+ d y 2. (6)特别称 s( t ) 的微分 d s 为弧微分 .如图 10-15 所示, PR 为曲线在点 P 处的切 线, 在直角三角形 PQR 中, PQ 为d x ,QR 为d y , PR 则为 d s .这个三角形称为 微分三角形 .图 10 -15图 10 - 16二 曲率曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志 .考察图10-16中由参数方程(1)给出的光滑曲线 C.我们看到弧段PQ 与QR 的长度相差 不多而其弯曲程度却很不一样.这反映为当动点沿曲线C 从点P 移至Q 时,切线转过的角度 Δα比动点从Q 移至R 时切线转过的角度Δβ要大得多.设α( t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角,Δα=α( t +Δt) -α( t)表示动点由 P 沿曲线移至 Q( x( t + Δx) , y( t + Δt) ) 时切线倾角的增量 .若PQ 之长为Δs, 则称珡K =为弧段PQ 的平均曲率 .如果存在有限极限 K= lim ΔΔt →0 Δ则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 处的曲率.由于假设 C 为光滑曲线, 故总有y ′( t )=lim ΔαΔs →0 Δsα( t) = arctanx ′(t) 或 α(t) = a r ccot x ′(t) . y ′(t )又若 x ( t) 与 y( t )二阶可导, 则由弧微分(6) 可得=§3 平面曲线的弧长与曲率251所以曲率计算公式为d α d s = α′(t ) s ′(t) = x ′( t )y ″( t ) - x ″( t )y ′( t ) [x ′2 (t) + y ′2 (t)]362/ .K=(x ′2+ y ′2 )362/. (7)若曲线由 y = f ( x) 表示, 则相应的曲率公式为K=(1+ y ′2 )362/ . (8)例 4 求椭圆 x = a cos t , y = b sin t , 0≤ t ≤2π上曲率最大和最小的点 .解 由于 x ′= - a sin t , x ″= - a cos t , y ′= b cos t , y ″= - b sin t , 因此按 公式 (7 ) 得椭圆 上任意点处的曲率为K= ab =( a 2sin 2t + b 2cos 2 t )362/ ab[ ( a 2 - b 2 ) sin 2 t + b 2 ]362/ .3π 当 a >b >0 时,在t =0,π(长轴端点)处曲率最大,而在t =π、 ( 短轴端点) 处曲率最小, 且K max = a b2 , K min = 2 2 ba 2. 若在例 4 中 a = b = R , 椭圆成为圆时, 显然有K = 1 ,R即在圆上各点处的曲率相同, 其值为半径的倒数 .容易知道, 直线上处处曲率为零 .设曲线 C 在其上一点P 处的曲率 K ≠0 .若过点 P 作一个半径为ρ=1的圆, 使它在点 KP 处与曲线C 有相同的切线, 并在点 P 近旁与曲线位于切线的同侧(图 10 - 17).我们把这个圆称为曲线 C 在点 P 处的曲率圆或密切圆 .曲率圆的半径 ρ= 1 K和圆心( P 0) 称为曲线 C在点 P 处的曲率半径和曲率中心 .由曲率圆的定义可以知道, 曲线在点 P 与曲率圆既有相同 的切线, 又有相同的曲率和凸性 .例5 (铁路弯道分析) 如图10 - 18 所示, 火车轨道从直道进入到半径为 R 的圆弧形 弯道时, 为了行车安全, 必须经过一段缓冲轨道(用虚线表示者) , 使得曲率由零连续地增加到 1 R,以保证火车的向心加速度 a =v 2ρ 不发生跳跃性的突变.图 10 -17 图 10 - 18y ″3 0 0 252第十章 定积分的应用图中 x 轴( x ≤0) 表示直线轨道, AB 是半径为 R 的圆弧形轨道( 点 Q 为其圆心) , OA 为 缓冲轨道 .我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线其中 l 是OA 的弧长 .对曲线(9)应用曲率公式(8),求得y = x,(9)6 R l2 2K= 8 R l x .(4 R 2 l 2 + x 4 )362/ 当 x 从 0 变为 x 0 时 , 曲率 K 从0 连续地变为K 0 = 8 R 2 l 2 x 0 (4 R 2 l 2 + x 4 )362/1 = R· 8 l 2 x 0 x 44 l 2362/ . R2x 0 1 1当 x 0 ≈l , 且 缓冲作用 .R 很小时, K 0 ≈ R .因此曲线段OA 的曲率从0 逐渐增加到接近于 R, 从而起了习 题1 . 求下列曲线的弧长: (1) y = x 362/,0≤x ≤4; (2)x +y =1;( 3) x = a cos 3t , y = a sin 3t ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 4) x = a( cos t + t sin t ) , y = a( sin t - t cos t ) ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 5) r = a sin 3 θ( a > 0) , 0≤θ≤3π;3( 6) r = a θ( a >0) , 0≤θ≤2π.2 . 求下列各曲线在指定点处的曲率: (1) xy = 4 , 在点( 2 , 2) ; (2) y = ln x , 在点( 1 , 0 ) ;(3) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a >0) , 在 t = π的点; 2(4) x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a >0) , 在 t =π 的点.43 . 求 a 、b 的值 , 使椭圆 x = a cos t , y = b sin t 的周长等 于正弦曲线 y = sin x 在 0≤x ≤ 2π上一段的长 .4 . 设曲线由极坐标方程 r = r(θ) 给出, 且二阶可导, 证明它在点( r, θ)处的曲率为22K =r + 2 r ′ - rr ″.(r 2 + r ′2)362/ *5.用上题公式,求心形线r = a(1+co s θ)(a >0)在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆.**∫∫∫§4 旋转曲面的面积253* 6 . 证明抛物线 y = ax 2 + bx + c 在顶点处的曲率为最大 . *7 . 求曲线 y = e x 上曲率最大的点 .§4 旋转曲面的面积定积分的所有应用问题,一般总可按“分割,近似求和,取极限”三个步骤导 出所求量的积分形式.但为简便实用起见,也常采用下面介绍的“微元法”.本节 和下一节将采用此法来处理.一 微元法x在上一章我们已经熟知,若令Φ(x) =f(t)d t,则当f 为连续函数时, aΦ′( x ) = f ( x) , 或d Φ= f ( x) d x ,且bΦ( a) = 0 , Φ(b)=f ( x) d x. a现在恰好要把问题倒过来:如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的,或 者说它是该区间端点x 的函数,即 Φ=Φ(x),x ∈[a,b],而且当x =b 时, Φ( b) 适为最终所求的值.在任意小区间[ x ,x + Δx ] Ì[ a , b]上, 若能把 Φ的微小增量ΔΦ近似表示 为Δx 的线性形式ΔΦ≈f(x)Δx,(1) 其中 f 为某一连续函数, 而且当Δx →0 时,ΔΦ- f ( x )Δx =o(Δx) , 亦即d Φ= f ( x) d x, (2)b那么只要把定积分 f(x)d x 计算出来,就是该问题所求的结果.a上述方法通常称为微元法 .在采用微元法时, 必须注意如下两点: 1) 所求量 Φ 关于分布区间必须是代数可加的.2)微元法的关键是正确给出ΔΦ的近似表达式(1 ) .在一般情况下, 要严格 检验ΔΦ-f ( x)Δx 是否为Δx 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事 .因此对 (1 ) 式的合理性需特别小心.对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长, 改用微元法来处 理, 所求量的微元表达式分别为ΔA ≈ y Δx , 并有 d A=y d x; Δ V ≈ A( x )Δx , 并有 d V = A ( x) d x ;Δs ≈1 + y ′2Δx,并有d s =1+ y ′2d x .§2 导出体积公式(1) 和 §3 导出弧长公式(2) 的过程, 实际上就是在验证 ΔΦ-∫222 1 2 2∫254第十章 定积分的应用bf(x)Δx= o(Δx).如果把弧长增量的近似表达式改取为Δs ≈Δx,将导致s=d x a= b - a 的明显错误 .其根本原因就在于Δs - Δx 并非是Δx 的高阶无穷小量 .二 旋转曲面的面积①设平面光滑曲线 C 的方程为y= f ( x ) , x ∈ [ a , b] ( 不妨设 f ( x) ≥ 0 ).这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面( 图10 - 19).下面用微元法导出它的面 积公式 .通过 x 轴上点 x 与 x + Δx 分别作垂直于 x 轴的平面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带 .当 Δx 很小时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面 积, 即 ΔS ≈π[ f(x)+ f(x+Δx)]Δx 2 + Δy 2= π[ 2 f ( x )+Δy]1+Δy 2 Δx, Δx图 10 - 19其中 Δy = f ( x + Δx ) - f ( x ) .由于lim Δy = 0,lim1+Δy 2= 1 + f ′( x),Δx →0Δx →0Δx因此由 f ′( x )的连续性可以保证π[2 f ( x)+Δy]1+所以得到Δy 2ΔxΔx - 2πf(x)1 + f ′( x)Δx = o(Δx ).d S = 2πf(x) 1 + f ′( x ) d x, bS =2π af(x)1 + f ′( x ) d x .(3)如果光滑曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [ α,β]给出, 且 y( t ) ≥0 , 那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的 面积为S = 2∫π βy ( t) x ′2(t) + y ′2( t)d t .(4)α例 1 计算圆 x 2+ y 2= R 2在 [ x , x ] Ì [ - R , R] 上的弧段 绕 x 轴旋转所①关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在下册重积分章节里给出.2 ∫ ∫§5 定积分在物理中的某些应用255得球带的面积 .解 对曲线y =R 2 - x 2 在区间 [ x 1 , x 2 ] 上应用公式(3 ) , 得到S=2π2 x1R 2 - x21+xd xR 2 - x2= 2π∫Rx 2d x = 2πR ( x2- x 1 ) .x1特别当 x 1 = - R , x 2 = R 时 , 则得球的表面积 S 球 = 4πR .例 2 计算由内摆线 x = a cos 3t , y = a sin 3t ( 见 图 10 - 7 ) 绕 x 轴旋 转所得 旋转曲面的面积 .解 由曲线关于 y 轴的对称性及公式(4 ) , 得π S = 4π 2 0a sin 3 t( - 3 a cos 2 t sin t )2 + (3 a sin 2 t cos t ) 2d t = 12πa ∫2π sin4t cos t d t=12 a 2.π 05习 题1 . 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;( 2) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴 ;2 2 ( 3) x + y= 1 , 绕 y 轴;a 2 b2( 4) x 2 + ( y - a) 2 = r 2 ( r <a) , 绕 x 轴.2 . 设平面光滑曲线由极坐标方程r = r(θ) ,α≤ θ≤ β ( [α, β] Ì [0 ,π] , r(θ) ≥0)给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式 .3 . 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) 心形线 r = a(1 + cos θ) ( a >0) ; ( 2) 双纽线 r 2 = 2 a 2 cos 2θ( a > 0) .§5 定积分在物理中的某些应用定积分在物理中有着广泛的应用, 这里介绍几个较有代表性的例子 . 一 液体静压力例1 如图10 - 20所示为一管道的圆形闸门( 半径为 3 米).问水平面齐及x 2∫2 = ∫ ∫ 256第十章 定积分的应用直径时, 闸门所受到的水的静压力为多大?解 为方便起见, 取 x 轴和y 轴如图, 此时圆的方 程为x 2+ y 2= 9 .由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水 的比重(ν)与深度(x)的乘积,故当Δx 很小时,闸门上 从深度 x到 x + Δx 这一狭条ΔA 上所受的静压力为 ΔP ≈ d P=2νx9 - x 2d x .从而闸门上所受的总压力为图 10 - 203P=2νx9 - x 2 d x= 18ν.二 引力例2 一根长为 l 的均匀细杆, 质量为 M , 在其中垂线上相距细杆为 a 处 有一质量为 m 的质点 .试求细杆对质点的万有引力. 解 如图10 - 21 所示, 细杆位于 x 轴上的 l l 2,2,质点位于y 轴上的点a.任取[x, x +Δx ]Ì - l2 , l 2 , 当Δx 很小时可把这一小段细杆看作一质点 , 其质量为 d M = Md x .于l是它对质点 m 的引力为图 10 - 21d F = km d M r km a 2 + x 2 · Ml d x.由于细杆上各点对质点 m 的引力方向各不相同, 因此不能直接对 d F 进行积分 ( 不符合代数可加的条件) .为此, 将d F 分解到x 轴和y 轴两个方向上, 得d F x = d F · sin θ, d F y = - d F ·cos θ.由于质点 m 位于细杆的中垂线上, 必使水平合力为零, 即l 62/F x =- 6l 2/ d Fx= 0.又由cos θ=a ,得垂直方向合力为a 2+ x 2l 62/F y =- 6l 2/d Fy= -∫2l 2 km Ma ( a 2+ x 2 ) - 362/d x 0l-∫§5 定积分在物理中的某些应用257= -2kmMa 1 6l 2/xl·a2 · =- 2kmM,a 4 a 2+ l2负号表示合力方向与 y 轴方向相反 .a 2 + x 2例3设有一半径为 r 的圆弧形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心正 上方距圆弧所在平面为 a 的地方有一电量为q 的点电荷 .试求圆弧形导线与点 电荷之间作用力( 引力或斥力) 的大小 .解 如图10 - 22 所示, 把点电荷置于原点,z 轴 垂直向下 , 圆弧形导线置于水平平面 z = a 上.根据库仑定律, 电量为 q 1 , q 2 的两个点电荷之间 的作用力( 引力或斥力) 的大小为kq 1 q 2F = ρ2, 其中ρ是两点电荷之间的距离,k 是库仑常数.图 10 - 22 把中心角为d θ的一小段导线圆弧看作一点电荷, 其电量为 d Q = δd s = δr d θ .它对点电荷 q 的作用力为d F = k · q d Q = ρ2k δrq a2 +r 2 d θ.把 d F 分解为 z 轴方向的垂直分力d F z 和水平方向的分力d F t .由于点电荷 位于圆弧导线的对称轴 Oz 上, 且导线上的电荷密度恒为常数, 因此水平分力 d F t 各向抵消.而d F z = d F ·cos θ =d F ·aa 2 + r 2= k δraq(a 2 + r 2 ) - 362/ d θ,于是垂直方向的合力为2πF z =d F z= 02πk δraq.( a 2+ r 2)362/这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小 .三 功与平均功率例4一圆锥形水池, 池口直径30 米, 深10 米, 池中盛满了水 .试求将全部 池水抽出池外需作的功 .解 为方便起见, 取坐标轴如图 10-23 所示 .由于抽出相同深度处单位体 积的水需作相同的功( 等于水的比重×深度) , 因此首先考虑将池中深度为 x 到V2V ∫2258第十章 定积分的应用x + Δx 的一薄层水ΔΩ抽至池口需作的功ΔW.当Δx 很小时, 把这一薄层水的 深度都看作 x , 并取ΔΩ的体积这时有Δ V ≈π 15 1 - x102Δx ,2Δ W ≈d W =πνx 15 1 - x10d x .从而将全部池水抽出池外需作的功为1 0 W = 225πν 0x 1 -x d x 10= 1 875πν.例5 在纯电阻电路( 图10 - 24) 中, 已知交流电压为V = V m sin ωt.图 10 -23图 10 - 24求在一个周期[0,T] T =2πω内消耗在电阻 R 上的能量W , 并求与之相当的直 流电压 .解 在直流电压 ( V = V 0 ) 下 , 功率 P =0 T2R, 那么在时间 T 内所作的功为W= PT = R.现在 V 为交流电压, 瞬时功率为V 2m 2P( t) = Rsin ωt .这相当于: 在任意一小段时间区间[ t ,t +Δt]Ì[ 0 ,T ] 上, 当Δt 很小时, 可把 V 近似看作恒为 V m sin ωt 的情形 .于是取功的微元为d W = P( t ) d t .并由此求得T 2π 22 W =∫ P (t)d t =∫ωVmπVmsin 2ωt d t =.0 RR ω而平均功率则为πV V m∫m *§6 定积分的近似计算259P = 1 2P( t )d t= ω· mT 0 2π R ω2( V 6/2)2= 2R = R. 上述结果的最末形式 , 表示交流电压 V = V m sin ωt 在一个周期上的平均功率与V m 直流电压珡V =的功率是相等的.故称珡V 为该交流电压的有效值.通常所说的2220 伏交流电 , 其实是V =220 2 sin ωt 的有效值.习 题1 .有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长为10米和6米,高为20米.计算当水面 与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.2 .边长为 a 和b 的矩形薄板,与液面成α(0<α<90°)角斜沉于液体中.设 a >b,长边平 行于液面,上沿位于深h 处,液体的比重为ν.试求薄板每侧所受的静压力.3. 直径为 6 米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10 米处, 求球面上所受静压力 .4. 设在坐标轴的原点有一质量为 m 的质点, 在区间[ a , a +l] ( a > 0 ) 上有一质量为 M 的均匀细杆 .试求质点与细杆之间的万有引力 .5. 设有两条各长为 l 的均匀细杆在同一直线上, 中间离开距离 c, 每根细杆的质量为 M .试求它们之间的万有引力 .( 提示: 在第4 题的基础上再作一次积分 .)6. 设有半径为 r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心处有一单位正电荷 .试 求它们之间作用力的大小 .7. 一个半球形( 直径为 20 米) 的容器内盛满了水 .试问把水抽尽需作多少功?8. 长10 米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为 8 千克, 问将此铁索提出地面 需作多少功?9. 一物体在某介质中按 x =ct 3作直线运动, 介质的阻力与速度d x的平方成正比 .计算d t物体由 x = 0 移至 x = a 时克服介质阻力所作的功 .10 . 半径为 r 的球体沉入水中, 其比重与水相同 .试问将球体从水中捞出需作多少功?*§6 定积分的近似计算利用牛顿—莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于 被积函数的原函数能够求得的情形 .如果这点办不到或者不容易办到, 这就要考 虑近似计算的方法 .在定积分的很多应用问题中, 被积函数甚至没有解析表达式 (只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值),这时只能采用近似方法去Tb260第十章 定积分的应用计算相应的定积分 .其实, 根据定积分的定义, 每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值, 例如bnn∫f(x)d x ≈∑f(x i)Δxi或∑ f ( x i - 1)Δx i. (1)ai = 1i = 1在几何意义上,这是用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果.所以把这个近似算法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细很细时,矩形法 才有一定的精确度.如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数, 那么可以期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物 线法就是这一想法的产物.一 梯形法将积分区间[ a , b] 作 n 等分, 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x n = b,Δ x i =b - a.n相应的被积函数值记为y 0 , y 1 ,y 2, , y n (y i = f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2, , n ). 并记曲线 y = f ( x ) 上相应的点为P 0 , P 1 ,P 2 ,, P n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n ).将曲线上每一段弧 P i - 1 P i 用弦 P i - 1 P i 来替代, 这使得每个小区间[ x i - 1 , x i ] 上的曲边梯形换成了真正的梯形( 图 10 - 25) , 其面积为y i - 1 + y i2Δ x i , i = 1 ,2, , n. 于是, 各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值, 即bn∫f ( x) d x ≈∑ y i - 1 + y i Δx i , a i=12 亦即∫f ( x) d x ≈b- a y 0 + y + y + + y y n+ . (2)a n 2 1 2 n-1 2称此近似式为定积分的梯形法公式 .二 抛物线法由梯形法求定积分的近似值, 当 y = f (x) 为凸曲线时偏大, 为凹曲线时偏 小 .如果每段曲线改用与它的凸性相接近的抛物线来近似时, 就可减少上述缺●2∫∫( x ) d x =∫(α 122 ∫∫1 *§6 定积分的近似计算261点 .下面介绍抛物线法 .图 10 -25图 10 - 26将积分区间[ a , b] 作2 n 等分( 图10- 26 ) , 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x 2 n = b,Δ x i =b- a.2 n对应的被积函数值为y 0 , y 1 ,y 2,, y 2 n (y i =f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2,, 2 n ). 曲线 y = f ( x ) 上的相应点为P 0 , P 1 ,P 2, , P 2 n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n).现把区间[ x 0 , x 2 ] 上的曲线 y = f ( x ) 用通过三点P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 )的抛物线p 1( x ) =α1 x +β1 x +γ1 来近似替代,便有xx x2f ( x)d x ≈2p2xxx0 0x 2+ β x+γ1 )d x α1 33β122= 3 (x 2 - x 0 ) + 2 (x 2 - x 0 ) + γ1 (x 2 -x 0)x 2 - x 0 22=6[(α1 x 0 +β1 x 0 +γ1) + (α1 x 2 +β1 x 2 +γ1 ) +α1( x 0 + x 2) +2β1( x 0 + x 2) +4γ1 ] x 2 -x 0= 6 ( y 0 + y 2 + 4 y 1 ) = b - a 6n( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) .最末第二步的得来是利用了 x 0 + x 2 = 2 x 1 .同样地,在[x 2i - 2 , x 2i ]上用p i ( x)=αi x +βi x +γi 替代曲线y = f( x),将得到x2 ix2 i - 2xf ( x ) d x ≈ 2ix 2 i - 2p i ( x ) d x = b - a( y 2 i -2 6 n + 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) . 最后,按i =1,2,, n 把这些近似式相加 ,得到 b n x n∫f( x )d x = ∑∫2i f(x)d x ≈b - a ∑(y 2 i - 2+ 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) ,a i =1 即x 2 i -26n i =1 1b1111262第十章 定积分的应用∫f ( x ) d x ≈b- a[ y 0 + y 2 n + 4( y 1 + y 3 ++ y 2 n - 1 ) + a6n2( y 2 + y 4 ++ y 2 n - 2 )].(3)这就是抛物线法公式, 也称为辛普森( Simpson) 公式 .1 作为例子,我们计算定积分∫d x的近似值.0 1 + x 2将区间[0 , 1 ] 十等分, 各分点上被积函数的值列表如下( 取七位小数) :1)用矩形法公式(1 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x11 + x2≈ 10 ( y 0 + y 1 + + y 9 ) = 0 .809 9( 或110 ( y 1 + y 2 ++ y 1 0 ) = 0 .760 0).2)用梯形法公式(2 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x1 y 0y 1 01 + x2≈10 2 + y 1 +y 2 + + y 9 + 2= 0 .785 0.3)用抛物线法公式(3 ) 去计算: ( 取七位小数)∫d x11 + x2≈ 30 [ y 0 + y 1 0 + 4( y 1 + y 3 ++ y 9 ) + 2 ( y 2 + y 4 ++ y 8 )]= 0 .785 398 2 .用准确值①∫d xπ1 + x2= arctg 1= 4 = 0 .785 39816与上述近似值相比较,矩形法的结果只有一位有效数字是准确的,梯形法的结果 有三位有效数字是准确的,抛物线法的结果则有六位有效数字是准确的.可见公式(3)明显地优于公式(2),更优于公式(1).关于定积分近似计算的误差估计, 在《数值分析》一类课程中必有详述, 这里 不再讨论 .①这里用一个很容易求得准确值的定积分作为近似计算的例子,主要的理由就是有准确值可以与近似值相比较.实际使用中不会有这样的事.212∑12∑i* §6 定积分的近似计算263 习题1 .分别用梯形法和抛物线法近似计算∫d x(将积分区间十等分) .1 xπ2 .用抛物线法近似计算∫s in x d x(分别将积分区间二等分、四等分、六等分) .0x3 . 图10 - 27 所示为河道某一截面图.试由测得数据用抛物线法求截面面积.图10 - 274 . 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温:(1) 按积分平均1b f ( t ) d t 求这一天的平均气温, 其中定积分值由三种近似法分别计算; b -∫a a12 12( 2) 若按算术平均1i= 1 C i - 1 或1 Ci= 1求得平均气温, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系?简述理由.。
第十章 定积分的应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0 a x -10 2 x a 0 b x -10 2 x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
体的体积公式：
由连续曲线 y f (x) 0 、直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周
而成的立体，体积为
b
证
明
：
如
V
图
y，体2积a
x f (x
元素
)dx
y
f (x)
dV ( x dx)2 f ( x) x2 f ( x)
2f ( x)dx
b
Vy 2
x f ( x)dx
地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
2）设想把区间[a, b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表 示为[a, b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x) 与dx 的乘积，就把 f ( x)dx 称为量 U 的元素且 记作 dU ，即dU f ( x)dx ；
围成的曲边梯形，绕y 轴旋转一周而成的旋转
第十章定积分的应用
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积如果一块图形是由连续曲线()1y f x =，()2y f x =以及x a =，())x b a b =<所围成，那么这块图形的面积的计算公式为()()[()()]b b baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰。
例：求2y x =，2x y =所围的面积S 。
例：求sin 1y x =+，cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。
若所给的曲线方程为参数形式：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的面积S的公式为||()S y dx t βα=⎰（αβ<）。
例：求旋轮线：()(sin )0(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩一个拱与x 轴所围的图形的面积。
例：求椭圆cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩（0a >，0b >）的面积S 。
设曲线的极坐标方程是：()r r θ=，αθβ≤≤，()[,]r C θαβ∈，则由曲线()r r θ=，射线θα=及θβ=所围的扇形面积S 等于21()2S r d βαθθ=⎰。
例：求双纽线222cos 2r a θ=所围图形面积S 。
例：求由2sin3r θ=，02θπ≤≤，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S 。
§2 曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。
设平面曲线l 由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤）给出，设01{,,,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线l 上所对应的点为000((),())M x t y t =，111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。
第十章 定积分的应用
第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）§1 平面图形的面积（ 2 时）一．直角坐标系下平面图形的面积：1 简单图形：型和型平面图形 .2简单图形的面积:给出型和型平面图形的面积公式. 对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例1 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积.3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出.又设,就有↗↗, 于是存在反函数 . 由此得曲边的显式方程.,亦即 .具体计算时常利用图形的几何特征 .例2 求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.例3 求椭圆所围平面图形的面积.二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为, 顶角为的扇形面积为 . ).例4求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变图形关于轴对称;以代, 方程不变, 图形关于轴对称. ( 参阅[1]P24 图 )因此 .Ex[1]P242 1—6.§2 由平行截面面积求体积（ 2 时 ）一 已知平行截面面积求体积求立体的体积:设截面面积为推导出该立体之体积: .祖暅原理: 夫叠棊成立积,缘幂势即同则积不容异.(祖暅系祖冲之之子,齐梁时人, 大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .[1]P244 E1 ( )例2计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P342 E2 ( )二 旋转体的体积:定义旋转体并推导出体积公式..例3推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.例5求由圆绕轴一周所得旋转体体积. ( 1000 )例6轴正半轴 . 绕轴旋转 . 求所得旋转体体积.Ex [1]P246 1，2，3.§3 平面曲线的弧长 ( 1 时 )一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线.二. 弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设，，又，和在区间上连续可导且. 则上以和为端点的弧段的弧长为.为证明这一公式,先证以下不等式:对,有, (Ch 1 §1 Ex 第5题(P4) .其几何意义是:在以点和为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.) 事实上，.为证求弧长公式,在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计.参阅 [1]P247.如果曲线方程为极坐标形式连续可导,则可写出其参数方程.于是.例1 — 3 [1] P249—250 E 1—3.Ex [1] P352 1.§4 旋转曲面的面积 ( 1 时 )用微元法推出旋转曲面的面积公式:曲线方程为时，；曲线方程为时，.例1—2 [1] P254—255 E 1—2.Ex [1] P255 1—3.§5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 )例1—4 [1] P255—259 E 1—2.Ex[1] P259 1—10.。
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O x
解：由公式
V = π ∫ [ y (t )]2 d x (t )
α π
β
得
V = 2π ∫ 2 ( a sin 3 t ) 2 ⋅ 3a cos2 t sin t d t
0
π ⎛ π ⎞ = 2π a 3 ⎜ ∫ 2 sin 7 t d t − ∫ 2 sin 9 t d t ⎟ 0 0 ⎝ ⎠ ⎛ 6!! 8!! ⎞ 32 = 6π a 3 ⎜ − ⎟= π a3 ⎝ 7!! 9!! ⎠ 105 ．
- 4 -
3
求下列平面曲线绕轴旋转所围成的立体的体积． (1) y = sin x, 0 ≤ x ≤ π ，绕 x 轴；
π
解：直接应用公式得
1 − cos 2 x π2 d x = V =π∫ 0 2 2 ． (2) x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t )(a > 0), 0 ≤ t ≤ 2π , 绕 x 轴；
．
(2) x + z = a ， y + z = a ； 解：用平行于 xOy 的平面截所求几何体的截口面面积为
2
2
2
A( z ) = a 2 − z 2 , z ∈ [− a, a ] ．
所以
V = 8∫ A( z )d z
0
a
a
z
= 8∫ (a 2 − z 2 )d z
0
a
O
a y
1 ⎞ ⎛ = 8 ⎜ a 2 z − z3 ⎟ 3 ⎠ ⎝
= 2π +
4 3．
又
S1 = 8π − S 2 = 6π −
4 3 ，所以
S1 9π − 2 = S2 3π + 2 为所求．
3 3 4 求内摆线 x = a cos t , y = a sin t (a > 0) 所围图形的面积．
- 1 -
解：
S = 4∫ ydx
0 0
a
y
= 4 ∫ π ( −3a cos2 t sin t ⋅ a sin 3 t )dx
如图 S1 + S 2 = 8π ， 2⎛ y2 ⎞ S 2 = 2 ∫ ⎜ 8 − y 2 − ⎟ dy 0 2 ⎠ ⎝ 而
y
2
S1 S2 y 2 = 2x
O −2
x2 + y 2 = 8
x
8 y 1 ⎞ ⎛4 = 2⎜ 8 − y 2 + arcsin − y3 ⎟ 2 2 2 6 ⎠ ⎝2
2
0
l=∫
1+
(
)
π
l = 4∫ 2 sin t cos t sin 4 t + cos 4 t d t
0
= 2∫
π 2 0
= 2π xf ( x ) d x +π f ( x)d x2 = 2π xf ( x) d x + o(d x) ，
所以
O
a
x x +dx y
b x
x
V = 2π ∫ xf ( x )dx
a
b
．
7 求 0 ≤ y ≤ sin x,0 ≤ x ≤ π 所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体 的体积． 解：
π π a3 (1 + cos θ ) 4| 0 6
8 = π a3 3 ．
x2 y 2 + 2 =1 2 b (4) a ，绕 y 轴．
解：直接应用公式得
b ⎛ y2 ⎞ V = 2π ∫ a 2 ⎜1 − 2 ⎟ d y 0 ⎝ b ⎠
b
y
a
O
x
⎛ y3 ⎞ V = 2π a 2 ⎜ y − 2 ⎟ 3b ⎠ ⎝
6
导出曲边梯形 0 ≤ y ≤ f ( x ), 0 ≤ a ≤ x ≤ b 绕 y 轴旋转所得立体的体积公式为
V = 2π ∫ xf ( x)dx
a
b
．
y
y = f ( x)
解：如图在区间 [ a, b] 上取小区 间 [ x, x + d x] ，则体积微元
d V = π [( x + d x)2 f ( x) − x 2 f ( x)]
0.1 1 1 10 1 0.1
1
= ( − x ln x + x)| + ( x ln x − x)| =
1 (99ln10 − 81) 10 ．
2 2 2 3 抛物线 y = 2 x 把圆 x + y ≤ 8 分成两部分，求这两部分面积之比．
⎧ y = 2 x2 ⎪ ⎨ 2 2 ⎪x + y = 8 解：解方程组 ⎩ 得圆与抛物线的交点为 (2, ±2) ．
−1 −1
1
1
3 ⎞ ⎛ 1 = ⎜ t − t5 − t3 + t 7 ⎟ 7 ⎠ ⎝ 5
1
=
−1
16 35
．
9 求二曲线 r = sin θ 与 r = 3 cosθ 所围公共部分的面积．
- 2 -
⎧ ⎪r = sin θ ⎨ ⎪r = 3 cosθ 解：解方程组 ⎩
⎛ 3 π⎞ ⎜ ⎜ 2 ,3⎟ ⎟ ⎠． 得两曲线的交点坐标 ⎝
于是
a 2 + b2
0
⎛ ⎞ x2 ⎜b 1 − 2 − x ⎟d x ⎜ ⎟ a ⎝ ⎠ 1−
ab a2 +b2
−b −a
b
a x
O
ab
= 8b ∫
a2 +b2
0 arcsin 0
x2 4a 2 b2 d x − a2 a 2 + b2
cos 2 θ d θ − 4a 2 b2 a 2 + b2
−a
于是
π 3 0 π 2 π 3
1
y r = sin θ r = 3 cosθ
x
O
3
1 1 S = ∫ sin 2 θ d θ + ∫ 3cos 2 θ dθ 2 2
1 ⎛ 2 − sin 2θ ⎞ = ⎜ ⎟ 2⎝ 4 ⎠
= 5π 3 − 24 4 ．
π 3
0
3 ⎛ 2 − sin 2θ ⎞ + ⎜ ⎟ 2⎝ 4 ⎠
π 2 π 3
x2 y 2 x2 y 2 + = 1 + 2 = 1 (a > 0, b > 0) 2 2 b2 a 10 求两椭圆 a 与b 所围公共部分的面积．
解：解方程组得两曲线在第一象限的交点坐标 ⎛ ab ab a y⎞ , ⎜ 2 ⎟ 2 2 a2 + bb ⎝ a +b ⎠．
ab
S = 8∫
π 4 0 π 4 0
y O x
= 2a 2 ∫ cos 2θ dθ = a 2 sin 2θ | = a 2
．
6 求三叶形曲线 r = a sin 3θ (a > 0) 所围图形的面积． 解：
S = 6⋅
1 π 6 2 r dθ 2 ∫0
π
0
θ=
5π 6
y
θ=
π 6
= 3a 2 ∫ 6 sin 2 3θ dθ
sin x d x = π ∫ 0
2
π
解：直接应用公式得
V =π∫
2π 0
a 2 (1 − cos t ) 2 a(1 − cos t ) d t
= π a3 ∫ = π a3 ∫
2π 0 2π 0
(1 − cos t )3 d t (1 − 3cos t + 3cos 2 t − cos3 t ) d t
2
O
a x
π
= 12a 2 ∫ 2 cos 2 t sin 4 tdx
0
π
0
π
0
= 12 a 2 ∫ 2 sin 4 td x − 12 a 2 ∫ 2 sin 6 td x =
3π a 2 8 ．
2 2 5 求双纽线 r = a cos 2θ 所围图形的面积．
解：
S = 4⋅
1 π 4 2 r dθ 2 ∫0
第 10 章 定积分的应用
§10.1 平面图形的面积
习题解答
1 求由抛物线 y = x 与 y = 2 − x 所围图形的面积．
2 2
⎧ y = x2 ⎪ ⎨ 2 ⎩ y = 2 − x 得两曲线 解：解方程组 ⎪ 的交点坐标 (±1, 1) ，于是所求图形面积
y = x2
y
S = ∫ (2 − x 2 − x 2 )dx
O
1
ห้องสมุดไป่ตู้
几何体的截口面面积为 1 A( z ) = (1 − z 2 ) 2 , z ∈ [−1,1] 2 ． 所以
1 y
x
−1
1
V = ∫ A( z ) d z = ∫ (1 − z 2 ) 2 d z
−1 0
1
1
2 1 ⎞ 8 ⎛ = ⎜ z − z3 + z5 ⎟ = 3 5 ⎠ 0 15 ⎝
2 2 2
a
= 4 b ∫ (a − x ) x d x
0
O a
= 4 b∫
a
0
(a − t 2 )t ⋅ 2t d t
a
x 2 + y 2 = ax
x
1 ⎞ ⎛1 = 8 b ⎜ at 3 − t 5 ⎟ 5 ⎠ ⎝3
5 2 5 2
0
⎛1 1 ⎞ = 8 b ⎜ a − a ⎟ = 16 aba 2 5 ⎠ 15 ⎝3 ．
- 3 -
25 2 (4 − y 2 ) 8 截口面的面积为 ， 4 25 4 2 V = ∫ A( y ) d y = ∫ (4 − y 2 ) d y −4 4 0 从而
A( y ) =