理论力学 第一章
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理论力学第一章静力学公理与受力分析
F
D
D
F
C
C
C
C
D
D
D
D
14
第一章
静力学基本公理和物体的受力分析
公理 3、 加减平衡力系公理 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 F '' 推论1：力的可传性
F
C
A
B F ' F ' F ' '
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点， 而不改变该力对刚体的效应。
自由体：位移不受限制的物体叫自由体。在空间飞着的鸟、飞机。 非自由体：位移受到某种限制的物体叫非自由体。 约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体，称为 此非自由体的约束。 例：图中园轮。
研究对象： 园轮
G
受到地面与墙壁的作用。
所以，地面与墙壁就构成了园轮的约束。
19
第一章
静力学基本公理和物体的受力分析
A2 A1
Fi
Ai An
11
Fn
第一章
静力学基本公理和物体的受力分析
§1-2 静力学公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实践 所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
F1
A
FR
公理 1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
上海工程技术大学工程力学部 简琦薇
1
静力学引言
力系：是指作用于物体上的一群力。 ( F1 , F2 , , Fi , , Fn )
惯性参考体：在这门课中指地面。 惯性参考系：惯性参考体上所建的坐标系。F2 平衡：物体相对惯性参考系静止或 作匀速的直线运动。 静力学主要研究：物体的受力分析； 各力系的简化与合成； 各力系的平衡条件及其应用。
理论力学第一章冯维明主编
第一篇 运动学 一、运动学的研究任务
引 言
1. 研究物体的机械运动及运动的几何性质。
2. 研究机构传动规律。 二、学习运动学的目的 1. 学习动力学的基础:
受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。
2. 学习机械原理和设计传动机构的基础。 3. 解决工程问题。
Theoretical Mechanics
自然轴系的特点
s+ 跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
s
-
b n
(切线)
M
自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。
固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
弧坐标中的速度表示
点的速度在切线轴上的投影等 于弧坐标对时间的一阶导数。
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标 对时间的二阶导数。
Theoretical Mechanics
1.2 点的运动的直角坐标表示法
加速度
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标 对时间的二阶导数。
所以：a an 4R
Theoretical Mechanics
2
方向如图
第一章 点的运动学 解法2：直角坐标法
2
例 题
建立图示坐标系
x OM cost 2R cos t R R cos2t y OM sin t 2R cost sin t R sin 2t
1 .3 点的运动的自然表示法
引 言
1. 研究物体的机械运动及运动的几何性质。
2. 研究机构传动规律。 二、学习运动学的目的 1. 学习动力学的基础:
受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。
2. 学习机械原理和设计传动机构的基础。 3. 解决工程问题。
Theoretical Mechanics
自然轴系的特点
s+ 跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
s
-
b n
(切线)
M
自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。
固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
弧坐标中的速度表示
点的速度在切线轴上的投影等 于弧坐标对时间的一阶导数。
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标 对时间的二阶导数。
Theoretical Mechanics
1.2 点的运动的直角坐标表示法
加速度
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标 对时间的二阶导数。
所以：a an 4R
Theoretical Mechanics
2
方向如图
第一章 点的运动学 解法2：直角坐标法
2
例 题
建立图示坐标系
x OM cost 2R cos t R R cos2t y OM sin t 2R cost sin t R sin 2t
1 .3 点的运动的自然表示法
理论力学(第一章 静力学基础)
Table of Contents 26.
Chinese
§1–2
Static justice
Inferred (On the edge of the rigid nature of mass ) Role in the body, its role could be done along the lines of the role of the body just before and after any movement, without altering its effect on the body
x
FAB
FBC
FCy
目录 18.
英文
§1–4
思考题
受力分析和受力图
Q B NAx NAy NB NBy P
Q
P
A
B A C
P
NA
P
NB
NC
目录 19.
英文
小结
1、理解力、刚体、平衡和约束等重要概念 2、理解静力学公理及力的基本性质 3、明确各类约束对应的约束力的特征 4、能正确对物体进行受力分析
Table of Contents 25.
Chinese
§1–2
Static justice
Axiom 1 (Axiom two power balance ) Make rigid role of the two forces maintain a state of equilibrium, it must also only two of the same size, direction contrary, along the same line role .
Chinese
理论力学第一章
解： 取 CD 杆，其为二力构件，简称 二力杆，其受力图如图(b)
取AB 梁，其受力图如图 (c)
CD 杆的受力图能否画
为图（d）所示？ 若这样画，梁 AB的受力 图又如何改动?
例1-4 不计三铰拱桥的自重与摩擦， 画出左、右拱 AB, CB 的受力图 与系统整体受力图．
解： 右拱 CB 为二力构件，其受力 图如图（b）所示
力是矢量．
平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动．
第一章 静力学公理和物体的受力分析
§1-1
公理1
静力学公理
力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
合力(合力的大小与方向) FR F1 F2 (矢量和)
2.由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
柔索只能受拉力，又称张力.用 FT表示．
柔绳构成的约束
柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体． 胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力．
工程实例
链条构成的约束
柔索对物体的约束力作用点在接触处，方向沿着柔索背 向被约束物体。
3.光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支 座等） （1） 径向轴承（向心轴承）
2、画受力图应注意的问题
2.1 不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对 2.2 不要多画力 于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出 它是哪一个施力体施加的。
理论力学第一章
三、自然坐标系：——内禀方程（研究质点的平面曲线运动 ）
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方向等)来描述质点 的运动. 这种方法称为自然坐标法. 1、弧长方程 质点位置可由原点 O到质点间的一段弧长 在轨道上取一点 O 作原点, 规定沿轨道的某一方向为弧长的正方向,
s 来确定, s
称为弧坐标.
.
r dr v lim r t 0 t dt
速度
速度的方向沿轨道切线指向运动的前 方, 它的大小称为速率。
v v
dr
ds s dt dt
加速度
v r a lim v t 0 t
§2、速度、加速度的分量表达式 一、直角坐标系
vx dx x; dt vy dy y; dt
2
速度分量 速度大小
速度方向
vz
dz z dt
2 2 v v vx vy vz
vx vy vz cos(v , i ) ; cos(v , j ) ; cos(v , k ) v v v
径向加速度a r 横向加速度a
2 a ( r )i (r 2r ) j r
径向速度v r
r r 则径向加速度就等于极径的二次微商 ar ？
这项是由径向速度大小的变化所引起的，我们除了要考虑这一项之 2 外，还得考虑由横向速度的方向的改变所引起的另一项 r 矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加！
r ri
2、速度
dr dr d v ( ri ) ? i dt dt dt
dr di di dr d v ( ri ) i r ri r dt dt dt dt dt
理论力学第1章
即受力图是针对研究对象画的，一般在图上不再 画出原约束，但整体受力图例外。
理论力学
33
5.受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。
6.同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束力的方向一旦设定，在整体、局部 或单个物体的受力图上要与之保持一致。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对 于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出 它是哪一个施力体施加的。
理论力学
32
3.不要画错力的方向 约束力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能 单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两 物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的 方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不 要把箭头方向画错。 4.受力图上一般不能再画约束。
理论力学
4
二、刚体
刚体就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 绝对刚体不存在，但研究力的外效应时可将变形体
看成刚体。研究力的内效应前也将物体看成刚体。
刚体内部任意两点间的距离始终不变。
刚体
不同
物体
一些基本公里和定理只对刚体成立，对可变形的物体不成立。
理论力学
5
§1-2 静力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的 实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
27
O
C
E
D
Q
A
B
理论力学
28
[例3] 画出下列各构件的受力图
理论力学
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
理论力学
33
5.受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。
6.同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束力的方向一旦设定，在整体、局部 或单个物体的受力图上要与之保持一致。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对 于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出 它是哪一个施力体施加的。
理论力学
32
3.不要画错力的方向 约束力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能 单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两 物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的 方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不 要把箭头方向画错。 4.受力图上一般不能再画约束。
理论力学
4
二、刚体
刚体就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 绝对刚体不存在，但研究力的外效应时可将变形体
看成刚体。研究力的内效应前也将物体看成刚体。
刚体内部任意两点间的距离始终不变。
刚体
不同
物体
一些基本公里和定理只对刚体成立，对可变形的物体不成立。
理论力学
5
§1-2 静力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的 实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
27
O
C
E
D
Q
A
B
理论力学
28
[例3] 画出下列各构件的受力图
理论力学
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
精品文档-理论力学(张功学)-第1章
第1章 静力学的基本概念与物体的受力分析
推论1(力的可传性定理) 作用于刚体某点上的力，其作用 点可以沿其作用线移动到刚体内任意一点，不改变原力对刚体 的作用效果。
证明：设一力F作用于刚体上的A点，如图1-4(a)所示。根 据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，加上两个 相互平衡的力F1和F2，使F=F1=F2，如图1-4(b)所示。由于F和F1 构成一个新的平衡力系，故可减去，这样只剩下一个力F2，如 图1-4(c)所示。于是原来的力F与力系(F，F1，F2)以及力F2互为 等效力系。这样，F2可看成是原力F的作用点沿其 作用线由A移到了B。
第1章 静力学的基本概念与物体的受力分析
图 1-4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第1章 静力学的基本概念与物体的受力分析
由此可见，对于刚体来说，力的作用点已不是决定力的作 用效果的要素，它已为作用线所替代。因此，作用于刚体上力 的三要素是力的大小、方向和作用线。
公理二及其推论1只适用于刚体，不适用于变形体。对于变 形体来说，作用力将产生内效应，当力沿其作用线移动时，内 效应将发生改变。
如果一个力与一个力系等效，则该力称为力系的合力，力 系中的各个力称为合力的分力。将分力替换成合力的过程称为 力系的合成；将合力替换成分力的过程称为力系的分解。
第1章 静力学的基本概念与物体的受力分析
推论2(三力平衡汇交定理) 作用于刚体上三个相互平衡 的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一 平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
第1章 静力学的基本概念与物体的受力分析
图 1-1
第1章 静力学的基本概念与物体的受力分析
依据力的作用范围可将力分为集中力和分布力。 (1) 集中力(集中载荷)：当力的作用面面积相对于结构或 构件尺寸很小时，可视为作用于结构或构件上某一点的力，称 其为集中力。 (2) 分布力(分布载荷)：分布于物体上某一范围内的力称 为分布力。分布力用载荷集度q来表示。在一定体积范围内分布 的力称为体分布力，其单位为牛/米3(N/m3)；在一定面积范围内 分布的力称为面分布力，其单位为牛/米2(N/m2)。工程设计中， 常将体、面分布力简化为连续分布在某一段长度范围内的力， 称为线分布力，其单位为牛/米(N/m)。
理论力学第一章静力学基本概念与受力
第一章 静力学基本概念与受力图
F1
F2
F1 ˊ
F2ˊ
§1-3约束和约束反力
第一章 静力学基本概念与受力图
二、光滑面约束
FN
FN
FN1
FN2
FN
光滑面的约束反力过接触点，沿公法线方向，指向物体。
结论：
§1-3约束和约束反力
第一章 静力学基本概念与受力图
§1-3约束和约束反力
FN2
FN1
FN3
二力构件一般当作约束处理。
§1-3约束和约束反力
第一章 静力学基本概念与受力图
五、二力构件
B
C
F'
F
F
B
C
F'
附：小链杆约束
兼备辊轴支座与二力杆的特点， 约束反力沿铅垂方向，指向或离开物体。
FN
FN
双面约束
§1-3约束和约束反力
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第一章 静力学基本概念与受力图
刚化原理
某力系使变形体保持平衡，若将该变形体刚化为刚体，其平衡状态不变。
（简单力系的平衡条件）
1-2基本公理与定理
公理三、加减平衡力系公理
在作用于刚体的任一力系上，加上或者减去任意一个平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效果。
该公理对变形体只是必要条件，而非充分条件。
（力系的等效代换条件）
1-2基本公理与定理
03
02
01
04
05
第一章 静力学基本概念与受力图
第一章 静力学基本概念与受力图
绪论
理论力学是研究物体机械运动规律的一门科学
机械运动
物体在空间的位置随时间而变化
理论力学内容
静力学 运动学 动力学
理论力学第一章
静力学基础静力学是研究物体平衡一般规律的科学。
这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。
物体的静止状态是物体运动的特殊形式。
根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。
那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。
本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。
这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。
一、力学模型在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。
理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。
质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。
质点系：由若干个质点组成的系统。
刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。
刚体系：由若干个刚体组成的系统。
对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。
例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。
当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。
二、基本定义力是物体间相互的机械作用，从物体的运动状态和物体的形状上看，力对物体的作用效应可分为下面两种。
外效应：力使物体的运动状态发生改变。
内效应：力使物体的形状发生变化（变形）。
对于刚体来说，力的作用效应不涉及内效应。
刚体上某个力的作用，可能使刚体的运动状态发生变化，也可能引起刚体上其它力的变化。
理论力学
第一篇 理论力学
第一章 力学基础
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
首都机场候机楼顶棚拱架支座
铰 (Hinge)
固定铰支座
构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起 来，支座固定在地基或者其他结构上。这种连接方式称为固定铰链 支座，简称为固定铰支(smooth cylindrical pin support)。桥梁上的 固定支座就是固定铰链支座。
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
同时作用于物体的一群力-------力系
汇交力系 平行力系 一般力系
空间力系 平衡力系
平面力系
等效力系
四、静力学的基本公理
二力平衡公理 加减平衡力系公理 力的平形四边形法则 作用与反作用定律
公理1 二力平衡公理 －最简单的平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体平 衡的必要和充分条件是：两个力的大小 相等，方向相反，作用线沿同一直线。
第一章 力学基础
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
首都机场候机楼顶棚拱架支座
铰 (Hinge)
固定铰支座
构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起 来，支座固定在地基或者其他结构上。这种连接方式称为固定铰链 支座，简称为固定铰支(smooth cylindrical pin support)。桥梁上的 固定支座就是固定铰链支座。
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
同时作用于物体的一群力-------力系
汇交力系 平行力系 一般力系
空间力系 平衡力系
平面力系
等效力系
四、静力学的基本公理
二力平衡公理 加减平衡力系公理 力的平形四边形法则 作用与反作用定律
公理1 二力平衡公理 －最简单的平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体平 衡的必要和充分条件是：两个力的大小 相等，方向相反，作用线沿同一直线。
[工学]《理论力学》第一章 静力学公理和物体的受力分析
![[工学]《理论力学》第一章 静力学公理和物体的受力分析](https://img.taocdn.com/s3/m/46385e5331b765ce05081456.png)
4. 刚体: 一级定义: 不变的物体.
在力的作用下, 其内部任意两点之间的距离 始 终保持
二级定义:
刚体是这样的一种点的集合, 即其上任意
两点的距离始终保持不变.
§1－2 静力学公理
公理一: 力的平行四边形法则( 合力矢等于二力矢的几何和)
F1
A
FR
FR F1 F2
F2
公理二: 二力平衡公理
注意: 不平行三力 共面汇交仅
是平衡的必要条件.
F3
C
FR
F3
公理四: 作用与反作用定律 作用力与反作用力总是同时存在, 两力等值、反向、共线, 且 分别作用在两个相互作用的物体上.( 牛顿第三定律) 公理五: 刚化公理 变形体在某一力系作用下处于平衡, 若将此变形体硬化为刚 体, 则平衡的状态保持不变.
( 2 ) 诸物体若以光滑铰链连接, 则每一个物体在铰链处 受到的约束反力应理解为铰链对此物体的力, 而不要笼 统理解为物体之间的‘ 相互作用力’. 这一点, 在铰链 连接三个和三个以上的物体时, 以及铰链本身承受外载 荷的情况下尤其要注意.
F F ' F1
A B
加一对平 衡力
F
A
减一对平 衡力
F1
F 减一对平
衡力 加一对平 衡力
'
F
A
B
'
B
F
推论二： 三力平衡汇交定理
设处于平衡的刚体受三个力的作用， 若其中两个力的作 用线汇交于一点， 则此三力必在同一平面内且第三力也 汇交于同一点.
B
F2
F1
A
O C
F3
F2 F2 F1
A O B
2019/2/16
理论力学 第一部分 总结
第三章 空间力系
小结
1.力在空间直角坐标轴上的投影 (1)直接投影法
Fx F cos F,i , Fy F cos F, j , Fz F cos F, k
(2)间接投影法(即二次投影法)
Fx F sin cos, Fy F sin sin , Fz F cos
2
第二章 平面力系
小结
1.平面汇交力系的合力
(1)几何法:根据力多边形法则，合力矢为 FR Fi
合力作用线通过汇交点。
(2)解析法:合力的解析表达式为
FR Fxii Fyi j
FR
2
Fxi
2
Fyi
cos FR,i
Fxi , cos FR
物体滚动时，滚动摩阻力偶矩近似等于M max 。
21
5.空间任意力系平衡方程的基本形式
Fx 0 Fy 0 Fz 0
MxF0 My F0 Mz F0
6.几种特殊力系的平衡方程 (1)空间汇交力系
Fx 0 Fy 0 Fz 0
(2)空间力偶系
MxF0 My F0 Mz F0
10
12.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力 的两种方法:
(1)节点法: 逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的 平衡方程求出各杆的内力。 (2)截面法: 截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的 一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被 截割各杆件的内力。
11
点O的主矩，即
n
n
MO MO Fi xi Fyi yi Fxi
i 1
i 1
7
理论力学第一章
将上式代入式（b） 得一次近似的微分方程
( gt 2 20 ) cos ， 0 ， g x y z
（f）
在式（d）的初始条件下 上式积分一次 得一次近似的速度
( gt 2 20t ) cos ，y 0 ，z gt 0 x
1 2 1 2 2 l2 r ( x ) 2 2 4
2 dx l r x 2 dt 4
（b）
上式再分离变量并积分 即 l t dx dt 1 0 2 l 2 x 2 4
求得套筒到达点A的时间t为
2 l l l2 1 4 1 ln(2 3 ) t ln 1 2 解出 将 2 rad/s 代入上式
将上式投影到轨迹的切向轴t上 得
d2s m 2 ( P FIe ) sin m( g a0 ) sin dt
当摆作微振动时 角很小 有 sin 且 s l 上式成为 d 2 m l 2 m( g a0 ) dt 令
2 0
g a0 l
将式（a）投影到
y 轴上得
t=0.2096s
F2 FIC 2m x （c） 由式（b）可得 当套筒到达端点A时 x l
2 l 2 l r x 3l 4 2
代入式（c）得
F2 3 2lm 3(2 rad/s) 2 0.5m 0.1kg 3.419N 又 对于惯性参考系 套筒运动的基本方程为
mar F FIe
mar F
（2）动参考系相对于定参考系作匀速直线平移 得 因 aC 0 和 ae 0 所以 FIe FIC 0 所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象 都无助于发觉该参考系本身的运动情况 以上称为相对性原理
理论力学第一章静力学
理论力学第一章静力学
静力学是理论力学的第一章，它研究物体处于平衡状态下的力学性质。通过 静力学的学习，我们可以了解到物体处于平衡状态的条件和示例。
静力学的定义
静力学是研究物体在不发生运动的条件下，所受力的平衡性质和平衡状态的 学科。它探讨了物体如何保持静止，并且不受到任何未平衡力的作用。
静力平衡条件
力的合成与平衡条件
1
力的合成
当物体受到多个力的作用时，可以使用向量的力的合成法则将这些平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0。
3
平衡条件的应用
通过合力和平衡条件的计算，可以确定物体是否受力平衡，从而分析物体的稳定 性。
这座桥梁经过精心设计和计算， 确保在各种条件下保持平衡和 稳定。
这张照片展示了一台天平，在 物体的质量均衡分布时保持平 衡。
静矩与平衡条件
1 静矩介绍
静矩是在物体上的作用力产生的力矩，通过静矩的计算，可以判断物体是否处于平衡状 态。
2 静矩的计算方法
静矩=力的大小 × 力臂的长度。
3 静矩的应用
通过计算静矩可以确定物体是否受力平衡，从而分析物体的稳定性和平衡条件是否成立。
力的平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
力矩的平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
稳定的平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
其它平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
刚体的平衡条件
平衡条件1
物体受力平衡需要力的合力 等于零，即ΣF=0。
静力学是理论力学的第一章，它研究物体处于平衡状态下的力学性质。通过 静力学的学习，我们可以了解到物体处于平衡状态的条件和示例。
静力学的定义
静力学是研究物体在不发生运动的条件下，所受力的平衡性质和平衡状态的 学科。它探讨了物体如何保持静止，并且不受到任何未平衡力的作用。
静力平衡条件
力的合成与平衡条件
1
力的合成
当物体受到多个力的作用时，可以使用向量的力的合成法则将这些平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0。
3
平衡条件的应用
通过合力和平衡条件的计算，可以确定物体是否受力平衡，从而分析物体的稳定 性。
这座桥梁经过精心设计和计算， 确保在各种条件下保持平衡和 稳定。
这张照片展示了一台天平，在 物体的质量均衡分布时保持平 衡。
静矩与平衡条件
1 静矩介绍
静矩是在物体上的作用力产生的力矩，通过静矩的计算，可以判断物体是否处于平衡状 态。
2 静矩的计算方法
静矩=力的大小 × 力臂的长度。
3 静矩的应用
通过计算静矩可以确定物体是否受力平衡，从而分析物体的稳定性和平衡条件是否成立。
力的平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
力矩的平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
稳定的平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
其它平衡条件
物体受力平衡需要力的合力等于零，即ΣF=0； 力的合力矩等于零，即ΣM=0。
刚体的平衡条件
平衡条件1
物体受力平衡需要力的合力 等于零，即ΣF=0。
理论力学 第一章
x y z
x y z
a a
即对于一个相对于惯性系做匀速直线运动 的参照系， 不能借助任何力学实验判断参 考系是静止的或匀速 这叫做力学相对性原 理（伽利略相对性原理）
结论:
（1）相对惯性系作匀速直线运动的参考系是惯性系；
§1. 3 平动参考系
例7：
质量为m的小三棱柱体，放在质量为m0的大三棱柱体上端． 两柱体的横截面都是直角三角形，其接触面是倾角为 的光滑斜 面．大柱体放在光滑水平面上．两柱体从静止开始滑动，求它们
的加速度a和a0
例8：
有一光滑斜面固定在升降机内，其倾角为 ．当升降机以匀加
速度a0竖直上升时，质量为m的方块从斜面顶端静止开始滑下． （1）求方块m相对于斜面的加速度与a0的关系； （2）上述方块在斜面滑动l长度的时间为t．如果升降机静止， 则方块滑动l长度的时间为t1=1.2t，试求a0值．
（3）质量：引力质量＝惯性质量
相对性原理：
在运动学中，参考系可以任意选取，在动力 学中则不然！
1.惯性系与非惯性系
牛顿运动定律能否成立？
2.伽利略（力学）相对性原理
在v<<c时 ， F, m与 v0 无关， F F m m 若 F ma F ma 即 力学规律相同
（2）v<<c时，牛顿第二定律是伽利略变换下的不变 式（力学相对性原理是以伽利略变换为基础的）；
（3）判断一个参考系是否是惯性系的准则为在该参 考系中牛顿第二定律是否成立； （4）伽利略相对性原理可以推出 爱因斯坦相对性原 理（一切惯性参照系对所有的物理过程都是等价的）
m 平动的惯性质量不变
动力学的核心内容
x y z
a a
即对于一个相对于惯性系做匀速直线运动 的参照系， 不能借助任何力学实验判断参 考系是静止的或匀速 这叫做力学相对性原 理（伽利略相对性原理）
结论:
（1）相对惯性系作匀速直线运动的参考系是惯性系；
§1. 3 平动参考系
例7：
质量为m的小三棱柱体，放在质量为m0的大三棱柱体上端． 两柱体的横截面都是直角三角形，其接触面是倾角为 的光滑斜 面．大柱体放在光滑水平面上．两柱体从静止开始滑动，求它们
的加速度a和a0
例8：
有一光滑斜面固定在升降机内，其倾角为 ．当升降机以匀加
速度a0竖直上升时，质量为m的方块从斜面顶端静止开始滑下． （1）求方块m相对于斜面的加速度与a0的关系； （2）上述方块在斜面滑动l长度的时间为t．如果升降机静止， 则方块滑动l长度的时间为t1=1.2t，试求a0值．
（3）质量：引力质量＝惯性质量
相对性原理：
在运动学中，参考系可以任意选取，在动力 学中则不然！
1.惯性系与非惯性系
牛顿运动定律能否成立？
2.伽利略（力学）相对性原理
在v<<c时 ， F, m与 v0 无关， F F m m 若 F ma F ma 即 力学规律相同
（2）v<<c时，牛顿第二定律是伽利略变换下的不变 式（力学相对性原理是以伽利略变换为基础的）；
（3）判断一个参考系是否是惯性系的准则为在该参 考系中牛顿第二定律是否成立； （4）伽利略相对性原理可以推出 爱因斯坦相对性原 理（一切惯性参照系对所有的物理过程都是等价的）
m 平动的惯性质量不变
动力学的核心内容
理论力学第1章-力系的简化
第一篇 静力学
几何静力学: 刚体: 力: 力系: 等效力系: 平衡力系: 平衡条件: 基本任务:
用矢量方法研究物体的平衡规律。 不变形的物体、任意两点距离保持不变 相互作用、产生外或内效应、三要素（矢量） 平面 (一般、平行 、汇交) 一组力： 空间 具有相同的外效应（力系的等效、简化） 作用在平衡物体上的力系、与零力系等效 平衡力系满足的条件 力系的简化与力系的平衡
合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。 (2)对轴 上式在任意轴投影 M x (FR ) M x (Fi ) 上述证明是对汇交力系完成的，但是合力矩定理 适用于合力存在的任意力系！
1.2.3 力偶 1.力偶的概念 1)实例:
F
F
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 ( F , F )
a
z
M
n
a
o
a
y
x
3 Mx My Mz M 3
1.2.3 力偶 3.合力偶矩定理 1)对点:
z
z
M1
Mn
M
M2
Mn
M1 M2
o
M n-1
x y
o
M n-1
x
M3
M3
y
M Mi
合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
1.2.3 力偶 2)对轴:
上式投影
M x M ix M y M iy M z M iz
1.1 静力学公理 推论1 (力对刚体的可传性）
B A
加
F
B
F
减
B
F
A
A
F F 力对刚体为滑移矢量。作用点
作用线
适用:
同一刚体
1.如图，力F滑移，改变哪些受力与变形?
几何静力学: 刚体: 力: 力系: 等效力系: 平衡力系: 平衡条件: 基本任务:
用矢量方法研究物体的平衡规律。 不变形的物体、任意两点距离保持不变 相互作用、产生外或内效应、三要素（矢量） 平面 (一般、平行 、汇交) 一组力： 空间 具有相同的外效应（力系的等效、简化） 作用在平衡物体上的力系、与零力系等效 平衡力系满足的条件 力系的简化与力系的平衡
合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。 (2)对轴 上式在任意轴投影 M x (FR ) M x (Fi ) 上述证明是对汇交力系完成的，但是合力矩定理 适用于合力存在的任意力系！
1.2.3 力偶 1.力偶的概念 1)实例:
F
F
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 ( F , F )
a
z
M
n
a
o
a
y
x
3 Mx My Mz M 3
1.2.3 力偶 3.合力偶矩定理 1)对点:
z
z
M1
Mn
M
M2
Mn
M1 M2
o
M n-1
x y
o
M n-1
x
M3
M3
y
M Mi
合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
1.2.3 力偶 2)对轴:
上式投影
M x M ix M y M iy M z M iz
1.1 静力学公理 推论1 (力对刚体的可传性）
B A
加
F
B
F
减
B
F
A
A
F F 力对刚体为滑移矢量。作用点
作用线
适用:
同一刚体
1.如图，力F滑移，改变哪些受力与变形?
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例1
接触，画出碾子的受力图．
F
P
B
碾子重为 P，拉力为 F， 、 处光滑 A B
A
解：
隔离研究对 象画出简图
画出主动力
画出约束力
F
A
P
B
FA
FB
例2
屋架受均布风力 q（N/m）， 屋架重为 P ，画出屋架的受 力图． 解：取屋架
画出主动力
FAy
q
FBy
画出约束力
FAx
P
例3
不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱的受力图与 系统整体受力图．
理论力学
一、理论力学的研究对象
理论力学：是研究宏观物体机械运动一般规律的一门学科。 属古典力学范畴 机械运动：是指物体在空间的位置随时间的变化。
理论力学的研究对象：
低速宏观物体，质点系和刚体。
二、理论力学的研究内容
静力学： 研究物体的平衡规律以及力的一般性合成法则。 运动学： 研究物体运动的几何性质，不涉及引起物体运动 的原因。 动力学：
例4
水平均质梁 AB 重为 P ，电动 1 机重为 P ，不计杆CD 的自重， 2
画出杆CD和梁AB的受力图．
解:(有二力杆么?) 取CD杆，其为二力构件(二力 杆)，画它的受力图
取AB梁，其受力图如图 若这样画，梁AB的受力图 又如何改动?
思考: CD杆的受力图能否画 为下图所示？
例 不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出绳子、 梯子左右两部分与整个系统受力图．
FN
练习
图示结构中各杆重力均 不计，所有接触处均为光滑 接触。
试画出AO、AB和CD构件 的受力图。
解：1、整体受力：O、B二处 为固定铰链约束，可以画出其约 束力；其余各处的约束力均为内 力，不必画出。D处作用有主动 力F 。
解：2、AO杆受力：其中O 处受力与整体受力图一致； C、A两处为中间活动铰链， 约束力可以分解为两个分力。
FCy
FCx
FBy
解：
隔离右拱
FBx
隔离左拱
F
FCx
FCy
注意作用力与反作用力的 方向要相反
FAy
FAx
整体受力图
F
FBy
FAy
FAx
FBx
思考:此时C处的约束力需要画么?
公理1
二力平衡公理
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是
这两个力 等值, 反向, 共线
解： 右拱BC满足这个条件 象BC拱这样的刚体,不论形状如 何,如果只在两个力作用下平衡( 只在两点受力),则称之为二力杆 或二力构件.它所受的两个力一 定等值,反向,共线.
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到 刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。 证明
F
A B
F2
=
F
A
F1
B
=
B A
作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向 和作用线(作用点)．
公理3
力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这 两个力邻为边构成的平行四边形的对角线确定。
Fy
Fy
Fx
在固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成． 约束力： 构件受到垂直于光滑面的约束力．
(2) 球铰链
约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任 意转动，但构件与球心不能有任何移动．
约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题．
约束力通过接触点,并指向球心,是一个不能预先确定的空间 力.可用三个正交分力表示．
平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运 动．
刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不 变的物体. 永远不变形的物体。
第一章
公理1
静力学公理和物体的受力分析
§1-1 静力学公理
二力平衡公理
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分 条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直
一般不必分析销钉受力，当要分析时， 必须把销钉单独取出．
（3） 固定铰链支座
由构件,销钉与地面或固定支座连接而成． 约束力：与圆柱铰链相同 以上三种约束（经向轴承、光滑圆柱铰链、 固定铰链支座）其约束特性相同，均为轴与 孔的配合问题，都可称作光滑圆柱铰链．
简图
FCy
FCx
4、其它类型约束 （1）滚动铰链支座(滑移铰链支座)
图示结构中各杆重力均 不计，所有接触处均为光滑 接触。
试画出各构件的受力图。
解：1、整体受力：A处为固定铰链，约束 力方向未知，可用两个分力FAx ，FAy表示；K处为 辊轴支承，只有铅垂方向约束力FK ；H处为柔 索，约束力FT(拉力)。D、C、I、B 处未解除约 束，约束力无需画出。
解：2、CID杆受力：因CB 为二力杆，所以C处FCB方向 沿CB；I处为中间活动铰链， 故I处约束力可用两个分力 FIx ，FIy 表示；同理D处中间 活动铰链处的约束力也可用 两个分力FDx ，FDy 表示。
F1 A F2 FR
FR F1 F2
它是力系简化的基础。
推论2 三力平衡汇交定理
刚体受三个不平行的力作用而 保持平衡，则此三力必在同一平 面内，且作用线相交于一点。 证明 A
F1
C
F2
B
F3
O
平衡时 F3必与 F12共线则三力必汇交O点，且共面．
公理4 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、 反向、共线，作用在相互作用的两个物体上．
对力的认识还处于发展中. (导致科学的发展和社会的变革)
力的三要素：
大小、方向、作用点.
力是矢量
力的表示方法:
黑体
F
加矢量符号 大小用模表示 力的单位:
F
F
F
F
牛(N) 千牛(kN)
F
A
A
F
力系：一群力. 可分为：平面汇交（共点）力系，平面平行力系，平面力偶系， 平面任意力系；空间汇交（共点）力系，空间平行力系，空间 力偶系，空间任意力系．
（5）滑移铰链支座—— Fy ⊥光滑面
§1-3
画受力图步骤：
物体的受力分析和受力图
1、取所要研究物体为研究对象（隔离体）画出其简图. 2、画出所有主动力(重力,风力,拉力等),一般为已知力. 3、按约束性质画出所有被动力（约束反力）. 注意: 1.在受力图上应画出所有力，主动力和约束反力（被动力） 2.只画外力,不画内力. 3.研究对象要一个一个取.
解：3、CD杆受力： 其中C处受力与AO在C 处的受力，互为作用力 和反作用力；CD上所 带销钉E处受到AB杆中 斜槽光滑面约束力力 FR；D处作用有主动力 F。
解：4、AB杆受力：其中A处受力与 与AO在A处的受力互为作用力和反作 用力；E处受力与CD在E处的受力互 为作用力和反作用力；B处的约束力 分解为两个分量。
F
注意与平衡力的区别
F
思考:天花板上通过绳子悬挂一重物,其中哪些力为平衡 力,哪些力为作用力与反作用力? 在画物体受力图时要注意此公理的应用．
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚 化为刚体，其平衡状态保持不变。
柔性体（受拉力平衡）
刚化为刚体（仍平衡）
反之不一定成立，因对刚体平衡的充分必要条件，对 变形体是必要的但非充分的．
可用二个正交的分力 F , F 表示． x y
FBx
FBy
（2）光滑圆柱铰链
约束特点：由两个各穿孔的构件及圆 柱销钉组成，如剪刀．
光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题， 与轴承一样，可用两个正交分力表示．
其中有作用反作用关系 Fcx Fcx , Fcy Fcy
用 F 表示． T
胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力．
3、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）
（1） 径向轴承（向心轴承）
轴承 轴
约束特点： 轴在轴承孔内，只能一点接触.
光滑接触面约束
当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑接触约束为法向约 束力．约束力作用在接触处，沿径向指向轴心． 当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方 向均有改变．
2、力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一 个复杂力系．
3、建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡方程，并 应用这些条件解决静力学实际问题 ．
几个基本概念：
力：
力是使得物体运动的原因. 力是一个物体对另一个物体的作用. 物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运 动状态发生改变． 力的作用效果: 使物体运动状态发生变化(理论力学) 使物体形状发生变化(材料力学)
研究物体运动与受力之间的关系。
三、理论力学的学习目的与任务:
(1)学习质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续 课程打下坚实基础。
(2)能应用所学理论，解决一些较简单的实际问题。 (3)培养辨证唯物主义的世界观,提高分析问题解决问 题的能力。
静力学
研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立 各种力系的平衡条件的科学． 1、物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力，每 个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图．
左拱呢? 推论2 三力平衡汇交定理 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用 线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作 用线通过汇交点。 O
F
考虑到左拱在三个力作用下平 衡，可按三力平衡汇交定理画 出左拱的受力图.
FC
B
FA
整体受力图
思考：若左、右两拱都考 虑自重，如何画出各受力 图？此时上述定理画法不再适用