2.13导数的综合应用
导数在实际问题中的应用
导数在实际问题中的应用山东 马连东 许美文近几年来导数的实际应用题在高考试卷中已经出现，并且新教材中导数的实际应用体的比重也有所增加，因此应更加重是这方面的学习。
现在，我们研究几个导数在经济生活中的实际问题。
1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的的两侧，乙厂位于离河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元和5a 元，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？分析：根据题设建立数学模型，借助图像寻找个条件间的联系，适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导和其他方法求出最值，可确定C 点的位置。
解法一：据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能能使总运费最省，设C 点距D 点xkm ，如图所示，则BD=40，AC=50-x,BC ∴== 又设总的水管费用为y元，由题意得())3505050,y a x x =-+<<3y a '=-令0,30.y x '==解得在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50-x=20(km)，所以供水站建立在A 、D 之间距甲厂20间距甲厂20km 处，可是水管费用最省。
解法二：设,BCD θ∠=则40,40cot 0sin 2BC CD πθθθ⎛⎫==⋅<< ⎪⎝⎭， 5040cot AC θ∴=-。
设总的水管费用为()f θ，依题意，有()()35040cot fa θθ=-+405sin a θ=53cos 15040sin a a θθ-+⋅()()()253cos sin 53cos cos ()40sin f a θθθθθθ''-⋅--⋅'∴=⋅=235cos 40sin a θθ-⋅ 令()30,cos 5f θθ'==得。
专题6：导数的综合应用
了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值，最值，切线，方程的根,参数的范围等问题，这类题难度并不大，但综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.5. 导数与其他方面的知识的综合1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;【分析及解】（I ）对函数()f x 求导数，得22()(2)(22)[2(1)2].x x x f x x ax e x a e x a x a e '=-+-=+--令0)(='x f ，得2[2(1)2]0x x a x a e +--=，从而22(1)20x a x a +--=，解得11x a =-21x a =-12x x <当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：当)(x f 在1x x =处取到极大值，在2x x =处取到极小值。
《2.13导数的应用(Ⅱ)》 教案
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 用导数处理恒成立问题 利用导数解决生活中的优化问题 1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题． 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 用导数处理恒成立问题 用导数处理恒成立问题 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
)
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x＋ 3 3 解析：选 B 2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋x ，设 h(x)＝2ln x＋x＋x (x>0)，则 h′(x)＝
x－ x
2
.当 x∈
(0,1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.所以 a≤h(x)min ＝4.
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【解析】 (1)依题意，知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 1 1 当 a＝b＝2时，f(x)＝ln x－4x2－2x， 1 1 1 －x＋2x－1 f′(x)＝x－2x－2＝ ， 2x 令 f′(x)＝0，解得 x＝1(x＝－2 舍去)． 当 0<x<1 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减． 3 所以 f(x)的极大值为 f(1)＝－4. 3 又因为 f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有唯一解，所以 f(x)的最大值为－4. a (2)由题意得 F(x)＝ln x＋ x，x∈(0,3]，则 x0 － a 1 k＝F′(x0)＝ x2 ≤2在 x0∈(0,3]上恒成立， 0 1 所以 a≥－2x2 0＋x0max，x0∈(0,3]． 1 1 1 当 x0＝1 时，－2x2 0＋x0 取得最大值 ，所以 a≥ . 2 2
导数的综合应用
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，
对于任意实
若 方 程 f ( x ) ＝即m的最大值为－34.
数x，
0有且仅有一
f′(x)≥m恒
个实根，求a
成立，求m 的取值范围．
的最1大．值；设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
1．求参数的取值范围
与导数相关的参数范围问题是高考中 考查的一个重点，大多
给出函数的单调性，属运用导数研究 函数单调性的逆向问题，解
题关键在于灵活运用等价转化、分类 讨论、数形结合等思想方法，
建立关于字母参数的不等关系．
2．用导数方法证不等式
用导数证不等式的一般步骤是：构造可 导函数→研究单调性
数单调递增，∴当 x＝20 时，y 取得最小值，∴此轮船以 20 公里/ 小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
思想与方法
例题：(2011 年“江南十校” 联考)已知函数 f(x)＝ax3＋ bx2＋
cx 在 x＝±1 处取得极 值，且在 x＝0 处的切 线的斜率为－3.
8．利用数形结 合思想讨论函 数的图象及性
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)， 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
导数的实际应用及综合应用
导数的实际应用及综合应用1．掌握利用导数解析实际问题的基本思路，能利用导数解决简单的实际问题中的优化问题．2．能利用导数进行综合应用，解决有关函数、方程、不等式的综合问题．知识梳理1．优化问题(1)社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的基本思路上述解决问题的过程是一个典型的数学建模过程． 2．导数的综合问题在高考的解答题中，每年都要设计一道函数的综合题，问题常常含有指数式、对数式、三角函数式等超越式，除了与切线、单调性、极值、最值等内容进行综合外，还常与方程、不等式等进行综合，解答这样的综合问题，只依据函数的知识无法求解，需要运用导数的方法进行解决．运用导数的方法研究方程、不等式的基本思路是构造函数，通过导数研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式的成立情况及方程实根的个数．热身练习1．已知某商品生产成本C 与产量q 的关系为C ＝100＋4q ，单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q.(1)利润L 与产量q 的函数关系为 L ＝－18q 2＋21q －100(0<q<200) ；(2)产量q ＝ 84 时，利润L 最大． (1)因为收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q 2.所以利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q)＝－18q 2＋21q －100(0<q<200)．(2)L′＝－14q ＋21.令L′＝0，即－14q ＋21＝0，q ＝84.当q ∈(0，84)时，L′>0；当q ∈(84，200)时，L′<0.因此，q ＝84是函数L 的极大值点，也是最大值点．所以产量为84时，利润L 最大． 2．关于函数f(x)＝2x＋ln x ，下列说法错误的是( C )A ．x ＝2是f(x)的极小值点B ．函数y ＝f(x)－x 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得f(x)>kx 恒成立D ．对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2>x 1，若f(x 1)＝f(x 2)，则x 1＋x 2>4 f′(x)＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x>0，f′(2)＝0，且当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，因此，x ＝2是f(x)的极小值点．A 正确．设g(x)＝f(x)－x ＝2x ＋ln x －x ，则g′(x)＝－2x 2＋1x －1＝－（x －12）2＋74x 2. 当x>0时，g′(x)<0恒成立，即g(x)单调递减， 又g(1e )＝2e －1－1e >0，g(e 2)＝2e 2＋2－e 2<0，所以g(x)有且只有一个零点，B 正确． 设h(x)＝f （x ）x ＝2x 2＋ln x x ，则h′(x)＝－4＋x －xln xx 3，令F(x)＝－4＋x －xln x ，则F′(x)＝－ln x ，所以F(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以F(x)≤F(1)<0，所以h′(x)<0，即h(x)＝2x 2＋ln xx 在(0，＋∞)上递减，无最小值．所以不存在正实数k ，使得f(x)>kx 恒成立，C 错误．(作为选择题这时可得结论，选C.) 对于D ，因为f′(x)＝x －2x 2，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 又因为f(x 1)＝f(x 2)，x 1<x 2，所以0<x 1<2，x 2>2， 构造函数g(x)＝f(x)－f(4－x)， 因为f(x)＝2x＋ln x ，所以g′(x)＝－8（x －2）2x 2（4－x ）2≤0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又因为0<x 1<2，所以g(x 1)>g(2)＝0， 所以f(x 1)>f(4－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)， 所以f(x 2)>f(4－x 1)，因为x 2>2，4－x 1>2，且f(x)在(2，＋∞)上单调递增， 所以x 2>4－x 1，即x 1＋x 2>4.实际应用问题(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)该公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．(1)根据M ，N 两点坐标求得a ，b 的值；(2)根据导数先求切线方程，再求f(t)，最后利用导数求最值．(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为(t ，1000t2)．设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点，y′＝－2000x 3，则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t3(x －t)， 由此得A(3t 2，0)，B(0，3000t 2)．故f(t)＝ （3t 2）2＋（3000t 2）2 ＝32 t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20]． ②设g(t)＝t 2＋4×106t 4，则g′(t)＝2t －16×106t 5. 令g′(t)＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数； 当t ∈(102，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t ＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值， 所以g(t)min ＝300，此时f(t)min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米． 利用导数解决生活中的实际应用题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．1．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． (1)因为蓄水池的侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元， 底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V(r)＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．又由r>0，h>0，可得r<53， 故函数V(r)的定义域为(0，53)． (2)因为V(r)＝π5(300r －4r 3)，所以V′(r)＝π5(300－12r 2)．令V ′(r)＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数． 由此可知，V(r)在r ＝5处取得最大值，此时，h ＝8， 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．导数的综合问题(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x －ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明： (1)f′(x)在区间(－1，π2)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点． (1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x －11＋x ，g′(x)＝－sin x ＋1（1＋x ）2.当x ∈(－1，π2)时，g′(x)单调递减，而g′(0)＞0，g′(π2)＜0，可得g′(x)在(－1，π2)有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x ∈(α，π2)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在(α，π2)上单调递减，故g(x)在(－1，π2)存在唯一极大值点，即f′(x)在(－1，π2)存在唯一极大值点．(2)证明：f(x)的定义域为(－1，＋∞)． ①当x ∈(－1，0]时，由(1)知，f′(x)在(－1，0)上单调递增，而f′(0)＝0，所以当x ∈(－1，0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1，0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x ＝0是f(x)在(－1，0]的唯一零点．②当x ∈(0，π2]时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在(α，π2)上单调递减，而f′(0)＝0，f′(π2)＜0，所以存在β∈(α，π2)，使得f′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f′(x)＞0；当x ∈(β，π2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在(β，π2)上单调递减．又f(0)＝0，f(π2)＝1－ln(1＋π2)＞0，所以当x ∈(0，π2]时，f(x)＞0.从而f(x)在(0，π2]没有零点． ③当x ∈(π2，π]时，f′(x)＜0，所以f(x)在(π2，π)上单调递减．而f(π2)＞0，f(π)＜0，所以f(x)在(π2，π]有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点． 综上，f(x)有且仅有2个零点．高考导数综合问题常用如下特点：①背景常规，常由指数函数、对数函数、三角函数与一次、二次等常见函数组合而成； ②设问常规，考查主干知识和通性通法； ③重视数学本质和知识内在联系的考查； ④重视核心素养和能力的考查，注意数学思想方法和分析问题、解决问题的能力的综合考查．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝1x －x ＋aln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<a －2.(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①若a ≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a ＞2，令f′(x)＝0，得 x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈(0，a －a 2－42)∪(a ＋a 2－42，＋∞)时，f′(x)＜0；当x ∈(a －a 2－42，a ＋a 2－42)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递减，在(a －a 2－42，a ＋a 2－42)上单调递增．(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a ＞2. 由于f(x)的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0， 所以x 1x 2＝1，不妨设x 1＜x 2，则x 2＞1.由于f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2＜0.设函数g(x)＝1x －x ＋2ln x ，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又g(1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g(x)＜0. 所以1x 2－x 2＋2ln x 2＜0，即f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜a －2.1．利用导数解决优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)根据得出的数学结果，检验是否符合问题的实际意义并作答．2．导数综合问题的求解往往是全卷最难的问题，具体求解时，第一要认真审题，审清题目的条件是什么，求解或求证的结论是什么，明确解题目标；第二要合理联想，根据所求，联想相应的处理方法，如证明不等式，常常可以考虑构造函数，恒成立问题，可以考虑将参数分离出来，再进行转化等；第三要细心验算，准确作答，在解答过程中，要注意化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用．1．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．(1)根据题意，有S ＝4×2x ×22(60－2x) ＝－8(x －15)2＋1800(0<x<30)．所以x ＝15时，包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意，有 V ＝(2x)2×22(60－2x)＝22x 2(30－x)(0<x<30)． 所以V′＝62x(20－x)．当0<x<20时，V′>0，V 单调递增； 当20<x<30时，V′<0，V 单调递减．所以当x ＝20时，V 取极大值，也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x＝12，即x ＝20时，包装盒容积V(cm 3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.2．(2020·广州天河一模)已知函数f(x)＝ln x ＋ax－x ＋1－a(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若存在x >1，使f (x )＋x <1－xx 成立，求整数a 的最小值．(1)由题意可知，x >0， f ′(x )＝1x －ax 2－1＝－x 2＋x －a x 2，方程－x 2＋x －a ＝0对应的Δ＝1－4a ，当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <14时，方程－x 2＋x －a ＝0的两根为1±1－4a 2，且0<1－1－4a 2<1＋1－4a2，此时，f (x )在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a2，＋∞)上f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当a ≤0时，1－1－4a 2<0，1＋1－4a2>0，此时当x ∈(0，1＋1－4a2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1＋1－4a2，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；综上：当a ≤0时，x ∈(0，1＋1－4a2)，f (x )单调递增， 当x ∈(1＋1－4a2，＋∞)时，f (x )单调递减；当0<a <14时，f (x )在(1－1－4a 2，1＋1－4a 2)上单调递增，在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a2，＋∞)上单调递减；当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于(x －1)a >x ln x ＋2x －1， 即存在x >1，使a >x ln x ＋2x －1x －1成立．设g (x )＝x ln x ＋2x －1x －1，x >1，则g ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2，设h (x )＝x －ln x －2， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．又h (3)＝3－ln 3－2＝1－ln 3<0，h (4)＝4－ln 4－2＝2－2ln 2>0， 根据零点存在性定理，可知h (x )在(1，＋∞)上有唯一零点，设该零点为x 0，则x 0∈(3，4)，且h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，即x 0－2＝ln x 0， 所以g (x )min ＝x 0ln x 0＋2x 0－1x 0－1＝x 0＋1.由题意可知a >x 0＋1，又x 0∈(3，4)，a ∈Z ， 所以a 的最小值为5.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax 2－ax －xln x ，且f(x)≥0. (1)求a ；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f(x 0)<2－2. (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 设g(x)＝ax －a －ln x ，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0. 因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0， 而g′(x)＝a －1x ，g′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g′(x)＝1－1x.当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以x ＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0. 综上，a ＝1.(2)由(1)知f(x)＝x 2－x －xln x ，f′(x)＝2x －2－ln x. 设h(x)＝2x －2－ln x ，则h′(x)＝2－1x .当x ∈(0，12)时，h′(x)<0；当x ∈(12，＋∞)时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，12)上单调递减，在(12，＋∞)上单调递增．又h(e －2)>0，h(12)<0，h(1)＝0，所以h(x)在(0，12)上有唯一零点x 0，在[12，＋∞)上有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h(x)>0；当x ∈(x 0，1)时，h(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x)>0.因为f′(x)＝h(x)，所以x ＝x 0是f(x)的唯一极大值点． 由f′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f(x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈(0，12)得f(x 0)<14.因为x ＝x 0是f(x)在(0，1)上的最大值点，由e －1∈(0，1)，f′(e －1)≠0得f(x 0)>f(e －1)＝e －2.所以e －2<f(x 0)<2－2.4．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0 )处的切线也是曲线y ＝e x的切线．(1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝1x ＋2（x －1）2>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增． 因为f(e)＝1－e ＋1e －1＝－2e －1<0，f(e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0， 所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)， 即f(x 1)＝0.又0<1x 1<1，f(1x 1)＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f(x 1)＝0，故f(x)在(0，1)有唯一零点1x 1.综上，f(x)有且仅有两个零点． (2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B(－ln x 0，1x 0)在曲线y ＝e x 上．由题设知f(x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1， 故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x 在点B(－ln x 0，1x 0)处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。
导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。
而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。
接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。
1．导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。
函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。
最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。
函数最值在极值点处或区间的断点处取得。
2．导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：()2()2(0)2a V x x a x x =-<< 答案：6a x =。
2.13导数的综合应用教学设计(正式版)
导数的综合应用一、教材分析我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。
因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用：确定单调性、求极值、求最值、求切线的斜率从而解决恒成立与不等式问题应用。
二、学情分析根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标知识与技能：通过高考中涉及到导数的常见题型，在学生掌握求曲线斜率，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出两种常见题型。
过程与方法：通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
通过问题的探究体会数形结合，分离变量，构造函数的数学思想。
情感、态度与价值观：通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。
四、教学重点、难点教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值。
教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。
教学过程本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，考点测评，高考赏析五个板块【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。
有利于构建知识网络，回归教材而高于教材）1.导数定义，判断函数单调性，求极值，最值的方法。
【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。
2.课前热身： （1）已知直线 ax-by-2=0 与曲线 在点（1，1）处的切线互相垂直，则 = ， （2）函数 ， 在 上的最大值和最小值分别为【注】（1）学生阅读并回顾知识要点，巩固基础。
（2）导数的几何意义，考察函数的单调区间、极值、最值等性质。
这是导数运用过程中最常用的。
（3）注意极值不一定是最值，要考虑函数区间的开闭及单调性。
【典例示范】例一：已知函数 （1）求f(x)的最小值。
（2）若对所有x 1都有 ，求实数a 的取值范围。
导数的综合应用
练习：已知函数f (x) x ln x (1)求f (x)的最小值 (2)若对所有的x 1,都有f (x) ax 1, 求实数a的取值范围
课堂小结
题型一：导数的基本应用
（1）几何意义：f ' (x0 )是曲线在x x0处的切线斜率 （2）求单调区间注意： 先求定义域，单调区间不能用 连接
例：设f (x) x3 3ax2 2bx在x 1处的切线为y 1 (1)求a，b的值，以及f (x)的单调区间，极值
规律方法 题型一：导数的基本应用
1、f ' (x0 )是曲线在x x0处的切线斜率
2、求单调区间的主要步骤： （1）求定义域 （2）令f '(x) 0(或 0)求出相应的递增（或递减区间） 或者列表法
注意：单调区间不能用 连接
例：设f (x) x3 3ax2 2bx在x 1处的切线为y 1 (1)求a，b的值，以及f (x)的单调区间，极值 (2)若方程f (x) c有3个实根，求c的取值范围。
规律方法
题型二：方程根个数问题 这类问题求解的通法是 (1)构造函数 (2)求导数，得单调区间和极值点(求其定义域) (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象交点情况 进而求解．
示 2．多以解答题的形式出现，属中、高档题目.
1.如图，函数y f (x)的图像在 点P处的切线方程是y x 8
则f '(5) __-_1__, f (5) _3____
知识回顾
导数的几何意义： f ' (x0 )是曲线在x x0处的切线斜率
2.已知y f '(x)的图像如右图所示， 则f (x)的增区间是 _(___,_0)_和__（_2_，_+__）_ 减区间是 _(_0_,_2)__
导数的综合应用的教案
导数的综合应用的教案【篇一：《导数的综合应用》说课稿及教学设计】《导数的综合应用》说课稿一、教材分析“导数的综合应用”是高中数学人教b版教材选修2-2第一章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。
导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标1、知识与技能：(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值； (4)解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。
(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。
3、情感、态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。
四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3的处理）。
（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。
（如问题1、2的处理）。
（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如问题1、2的发散和直击高考的处理）。
教学用具：多媒体。
教法：变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；【篇二：导数的应用教学设计】导数的应用一、教学目标1、知识与技能：（1）利用导数的几何意义。
（2）利用导数求函数的单调区间，进一步结合函数图像求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；（4）解决函数零点个数问题及恒成立问题。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.13
讲案2.13函数的应用课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.常见的几种函数模型(1)一次函数型______________；(2)反比例函数型______________；(3)二次函数型______________；(4)指数函数型y＝N(1＋p)x(增长率问题)(x＞0)；(5)分段函数型．2．解应用问题的一般程序是：读题⇒建模⇒求解⇒反馈．(1)读题：深刻理解题意，正确审题，弄清已知什么，求取什么，需要什么．(2)建模：通过设元，将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型．(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出．(4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正确作答．导读校对：1.(1)y＝kx＋b(k≠0)(2)y＝kx(x≠0，k≠0)(3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)基础热身1.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.323cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2解析：设一个正三角形的边长为x cn，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32(x－2)2＋23≥23(cm2)．答案：D2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是如图中的()解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在先进过程中s随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在先进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.答案：A3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析：产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必满足总售价≥总成本，即25x≥(3000＋20x－0.1x2)，0.1x2＋5x－3000≥0，x2＋50x－30000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．答案：C4．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y万元，每年下调率平均为x%，那么y和x的函数关系式为()A．y＝30(1－x%)6B．y＝30(1＋x%)6C．y＝30(1－x%)5D．y＝30(1＋x%)5解析：每年价格为上一年的(1－x%)倍，所以五年后的价格为y＝30(1－x%)5.答案：C5．(2010·陕西卷)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋510 解析：由题意，可用特殊值法求解，当x ＝17时，A 选项错误，当x ＝16时，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋410＝2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋510＝2，所以C ，D 选项错误，故选B.答案：B6．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是__________元．解析：设每台彩电原价为x 元，依题意有80%·x(1＋40%)－x＝270.解得x ＝2 250.答案：2 250思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.解数学应用问题的基本思想2．函数的综合应用函数把数学的各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角等彼此渗透、相互融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性，解这类综合问题应注意以下几点：(1)在解题时，有些函数的性质并不明显的，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法．(2)应坚持“定义域优先”的原则，即先弄清自变量的取值范围．(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题．互动探究题型1二次函数型应用题例 1.某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0＜x＜100)，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元．在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？【解析】设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足(100－x)·a·(1＋2x%)≥100a.因为a＞0，x＞0，可解得0＜x≤50.设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元，则f(x)＝(100－x)·a·(1＋2x%)＋1.2ax －100a，∴f(x)＝－0.02a(x2－110x)＝－0.02a(x－55)2＋60.5a，∵x∈(0,50]，且f(x)在(0,50]上单调递增，∴当x＝50时，f(x)max＝60a，因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．题型2分段函数型应用题例 2.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降价0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0＜x ≤100时，P ＝60.当100＜x ＜550时，P ＝60－0.02(x－100)＝62－x 50. 当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧60 (0＜x ≤100)，62－x 50 (100＜x ＜550)(x ∈N )51 (x ≥550)， (3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 20x (0＜x ≤100)，22x －x 250 (100＜x ＜550)11x (x ≥550)，(x ∈N )当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．题型3指数函数型应用题例3.假设A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%.2001年A型进口车每辆价格为64万元(其中含32万元关税税款)．(1)已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元，若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？(2)某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%(五年内不变)，且每年按复利计算(例如，第一年的利息计入第二年的本金)，那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按(1)中所述降价后的B型汽车？【解析】(1)设B型车平均每年下降x万元，那么46－5x≤(32＋32×25%)×90%，解得x＝2.∴B型车平均每年至少下降2万元．(2)5年后，B型车价格不高于46－5×2＝36(万元)．5年后存款本息合计为33(1＋1.8%)5＝33(1＋0.018)5＞33(1＋5×0.018＋10×0.0182)≈36.077，36．077＞36.∴能够买到降价后的B 型车.错解辨析例4.方程2x2－3x＝k，在－1≤x≤1的范围内有实数根，求实数k的范围．【错解】2x2－3x－k＝0，Δ＝9＋8k≥0⇒k≥－9 8.【错因】忽略了x的取值范围【正解】设f(x)＝2x2－3x－k①在－1≤x≤1的范围内有两实根．所以有以下不等式组：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ Δ≥0f (－1)≥0f (1)≥0－1＜34＜1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＋8k ≥02＋3－k ≥02－3－k ≥0 ⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ k ≥－98k ≤5k ≤－1⇔－98≤k ≤－1②方程f (x )＝0在－1≤x ≤1的范围内仅有一个实根时，Δ＞0，且当x ＝1时与x ＝－1时y 值的乘积不能是正数．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞－98(5－k )(k ＋1)≥0故－1≤k ≤5. 综上可知：当－98≤k ≤－1时，原方程有二实根．当－1≤k ≤5时，原方程有一实根．9∴k范围为－8≤k≤5.。
导数综合运算知识点总结
导数综合运算知识点总结一、导数的定义及意义：1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为极限$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
2. 导数的几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的切线斜率。
也即在点x=a处，函数f(x)的变化率。
3. 导数的物理意义：如果函数f(x)表示某一物理量y关于另一物理量x的变化规律，那么函数f'(x)表示物理量y关于物理量x的变化率。
4. 导数的符号：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的符号表示函数f(x)在点x=a处的增减情况。
当f'(a)>0时，函数f(x)在点x=a处是增加的；当f'(a)<0时，函数f(x)在点x=a处是减小的；当f'(a)=0时，函数f(x)在点x=a处是不变的。
二、导数的运算法则：1. 基本导数法则：(常数函数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则、反三角函数规则、双曲函数规则)。
2. 复合函数的导数法则：函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))g'(x)。
链式法则。
3. 反函数的导数法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调、可导，并且在区间I上f'(x)≠0，则有反函数x=f^(-1)(y)在区间J上也可导，并且在区间J上f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。
4. 参数方程的导数：如果x=f(t)、y=g(t)是参数方程，且函数f(t)、g(t)在t处可导，则参数方程x=f(t)、y=g(t)的导数dx/dt=f'(t)、dy/dt=g'(t)。
5. 隐函数的导数：若函数F(x，y)=0表示隐函数，且F(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内具有连续偏导数，则隐函数y=f(x)的导数dy/dx可用偏导数表示：dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y。
高中数学 导数及其应用导数的综合应用
第9课时
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导数的综合应用
• 练一练:设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图 象可能是( ).
• 【答案】C
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导数的综合应用
• 预学3:函数的最值的求法
• 将函数y＝f(x)在[a，b]上的各极值与端点处 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值.
在[1，e]上为减函数，f(x)min＝f(e)＝1－ 得a＝－������������(舍去).
������ ������
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导数的综合应用
• ③当－e＜a＜－1时，由f'(x)＝0，得x0＝－a， • 当1＜x＜x0时，f'(x)＜0，f(x)在(1，x0)上为
• (1)求实数a的值;
• (2)求函数f(x)的单调区间;
• (3)若函数y＝f(x)有3个不同的零点，求实数b 的取值范围.
• 【方法指导】先求出f'(x)，再根据极值点得 到a的值，进而求出f(x)的单调区间，最后结 合函数的单调区间及极值求解b的取值范围.
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• 得������������＋3b－2≤0，b≤������������. • 故实数b的取值范围为(－∞，������������].
第9课时
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导数的综合应用
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
【优选整合】人教B版高中数学选修2-2133导数的实际应用教案.doc
1.3.3导数的实际应用一、教学目标1.知识和技能目标(1)研究使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；(2)提高将实际问题转化为数学问题的能力.2.过程和方法目标通过学习使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用.3.情感态度和价值观目-标通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力.二、教学重点•难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用导数解决牛活中的一些优化问题.三、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，让学生体会导数的工具作用。
四、教学方法师牛互动探究式教学五、教学过程1.最优化问题生活中经常遇到求 _________ 、__________ 、_______ 等问题，这些问题通常称为最优化问题.2.用导数解决最优化问题的基本思路知识应用，深化理解题型一面积、体积的最值问题例1、请你设计一个包装盒，如图1-3-9, ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A, B, C, D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正 四棱柱形状的包装盒，E, F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，15 AE=FB=x(cm).图 1-3-9 (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cn?)最大，试问x 应取何值？(2) 某厂商耍求包装盒的容积V(cn?)最大，试问兀应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【自主解答】 设包装盒的高为h cm,底面边长为ci cm.由已知得 a=y[2x, 〃 = 6加2'=迄(30_兀),兀<30.(1) S=4ah = 8x(30 ~x) = 一 8(兀一 1+1 800, 所以当x=15时，S 取得最大值.(2) V= crh=2^2(-x 3 + 30?),6迈*(20~x).由W=0,得兀=0(舍去)或x=20.当 xe (0,20)时，V>0；当 xe (20,30)时，F<0.所以当兀=20时，V 取得极大值，也是最大值.总结：1. 解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将血积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. 2. 解决优化问题时应注意的问题(1) 列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2) —般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数人兀)在给定区间内只有一个极值点或函数/(%)在开 区间上只有一个点使/(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的 函数值进行比较.题型二用料最省、成本(费用)最低问题例2、位于A, B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-3-11所示，若两村用同型号线架设输电线路, 问变丿玉器设在输电干线何处时，所需电线总长最短.此时#=*, 即包装盒的高与底面边长的比值为*.D _____________ C3 km输电干线图 1-3-11【自主解答】 设CD=xkm,则CE= (3-x)km.则所需电线总长 l=AC+BC=p 1 +< + 3~x —(0<x<3),y3 - Y从而 r=-^=--====. 寸 l+H yjl.52+ 3-x 2x _________ 3—x yj 1 +x 2 yj ].5?+ 3—无解得兀=1.2或兀=—6（舍去）.因为在［0,3］上使『=0的点只有x=1.2, 所以根据实际意义，知x=1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE 之间离点D 的距离为1.2 km 处时，所需电线总长最短.总结：1. 用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及 最值问题所研究的对彖.止确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2. 利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f （x ）=0时，如果函数在这点有极大（小） 值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值.六、当堂检测1. 某箱子的体积与底面边长兀的关系为V （x ）=x 2（^^）（0<x<60）f 则当箱子的体积最大时，箱子底面边长 为（）A. 30B. 40C. 50D. 602. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量兀（单位：万件）的函数关系式为y=-|?+81x-234, 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A. 13万件B. 11万件令r=o,即 BD 变压器C. 9万件D. 7万件3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27兀，且用料最省，则水桶的底面半径为4.某产品的销售收入yi（万元）是产量兀（千台）的函数：>'I =17X2（X>0）,生产成本以万元）是产量兀（千台）的函数:^2=2?-^>0）,为使利润最大，应生产________________ 千台.5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的•商品件数与商品单价的降低值兀（单位：元，0三疋30）的平方成正比，已知商品单价降低2元吋，一星期多卖出24件.（1）将一个星期的商品销售利润表示成兀的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？设计意图：目的是让学牛学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
高中数学选修2-2 1.3.3导数的实际应用 学案2 含解析
课堂探究探究一 收益(利润)最大问题利用导数解决收益(利润)最大问题，关键是要建立收益(利润)的函数关系式，然后借助导数研究该函数的最大值，注意函数定义域的限制以及实际意义．【典型例题1】 某公司准备在两个项目上投资．已知在A 项目上投资的收益(万元)与投资额(万元)的平方根成正比，且当投资额为9万元时，投资收益为2万元；在B 项目上的投资收益g (t )(万元)与投资额t (万元)的关系式是g (t )＝3ln ⎝⎛⎭⎫x 10＋1.已知该公司现准备在两个项目上共投资350万元，试求该公司的最大总收益．思路分析：设在A 项目上的投资额为x (万元)，则在B 项目上的投资额为(350－x )万元，然后将收益表示为x 的函数再用导数求解．解：设该公司在A 项目上的投资额为x 万元，依题意，在A 项目上的收益为f (x )＝k x ，又当x ＝9时，f (9)＝2，即k 9＝2，所以k ＝23，于是f (x )＝23x . 这时在B 项目上的投资额为350－x 万元，则在B 项目上的收益为g (350－x )＝3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫350－x 10＋1. 于是该公司的总收益为h (x )＝f (x )＋g (350－x )＝23x ＋3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫360－x 10，其中0＜x ＜350. 于是h ′(x )＝23·12x ＋3·10360－x·⎝⎛⎭⎫－110 ＝13x －3360－x ＝360－x －9x 3x (360－x ) ＝－(x ＋24)(x －15)3x (360－x )， 令h ′(x )＝0，得x ＝15，即x ＝225，当0＜x ＜225时，h ′(x )＞0；当225＜x ＜350时，h ′(x )＜0，所以h (x )在x ＝225处取得极大值，即最大值，最大值为h (225)＝23225＋3ln 13510＝10＋3ln 272，故该公司最大总收益为⎝⎛⎭⎫10＋3ln 272万元． 探究二 费用最低(用料最省)问题将费用或用料表示为某个变量的函数，然后研究该函数的最值情况．多数情况下，用料最省问题会涉及几何体的表面积问题，这时要注意结合平面几何，立体几何中相关的公式求解．【典型例题2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．思路分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5. 又C (0)＝8，∴k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用C 1(x )＝6x ，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x ≤10)；(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0， 即 2 400(3x ＋5)2＝6，得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)． 当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0.故5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．探究三 面积、体积最大问题求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．【典型例题3】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．思路分析：可设容器的底面的短边长为x m ，那么长边的长以及高就可用x 表示出来，从而得到容积与x 的函数关系式，然后用导数求得最大值．解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x . 由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0，且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)，∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)． ∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数，x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数，∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8，这时容器的高为1.2 m ，∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3.探究四 易错辨析易错点 忽视实际问题中变量的取值范围而出错【典型例题4】 某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润y 表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)由题意知，成本函数C (x )＝0.5＋0.25x ，y ＝R (x )－C (x )＝⎝⎛⎭⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋194x －12(0≤x ≤5)． (2)y ′＝－x ＋194，令y ′＝0，得x ＝194＝4.75， ∴4.75必为最大值点．∴年产量为475台时，工厂利润最大．错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x ＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．正解：(1)利润y ＝R (x )－C (x )＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫5x －x 22－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，⎝⎛⎭⎫5×5－522－(0.5＋0.25x )(x ＞5)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x ＞5).(2)0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5， ∴当x ＝4.75时，y max ≈10.78(万元)；当x ＞5时，y ＝12－0.25x ＜12－0.25×5＝10.75(万元)．∴年产量是475台时，工厂所得利润最大．。
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