第3章非参量检测与稳健检测

可由下式确定:
α2 ≈ ∫
∞ th2
⎡ 1 ⎛ G − N 2 ⎞2 ⎤ ⎛ 2th2 − N 2 ⎞ 1 2 2 exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ dG2 = 1 − Φ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎢ 2⎝ 2π N 2 4 N2 4 ⎠ N2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
在 H1 为真时，其概率密度函数为：
⎛ N2 ⎞ k f ( G2 = k | H1 ) = ⎜ ⎟ pH1 1 − pH1 ⎝k ⎠
G ' ( x ) ≷ th '
H0 H1
G ( x ) = ∑ U ( xi ) = n+ 表示大于零观测样本的个数，其概
i =1
N
率分布为：
⎧ ⎛N⎞ k H 0 : f ( n+ = k ) = ⎜ ⎟ pH 0 1 − pH 0 ⎪ ⎪ ⎝k ⎠ ⎨ ⎪ H : f n = k = ⎛ N ⎞ pk 1 − p ) ⎜ ⎟ H1 H1 ⎪ 1 ( + ⎝k ⎠ ⎩
(
)
N2 −k
根据中心极限定理，当 N 2 很大时
PD2 ≈ ∫
∞
1 2π N 2 pH1 1 − pH1
th2
(
)
⎡ ⎛ ⎢ 1 ⎜ G2 − N 2 pH1 exp ⎢ − 2 ⎜ N p 1− p ⎢ ⎜ 2 H1 H1 ⎣ ⎝
(
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ dG2 ⎥ ⎦
⎛ N 2 p − 1 − Φ −1 1 − α ⎞ ( 2)⎟ 2 H1 ⎜ =Φ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 pH1 1 − pH1 ⎝ ⎠
T
设 Ri 表示观测样本 xi 的排列序号，定义检验统计 量为：
G (x) = ∑ RU ( xi ) i
i =1 N
判决规则和相应的秩检测器分别为：
G ( x ) ≷ th
H0 H1
不失一般性，设各个样本之间有如下关系：
x1 < x2 <
则检验统计量可写为：
N
< xNLeabharlann G = ∑ iU ( xi )
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 − Φ (1 − α1 ) ⎟ PD1 = Φ ⎜ ⎟ = Φ⎜ ⎜ σ ⎟ ⎜ ⎟ N1σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ N μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ PD1 = Φ ⎜ 1 − Φ −1 (1 − α1 ) ⎟ ⎟ = Φ⎜ ⎜ σ ⎟ ⎜ ⎟ N1σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.2 非参量检测
二元假设检验问题：
⎧ H 0 : xi = ni ⎨ ⎩ H1 : xi = Asi + ni i = 1, 2, ,N
1）若只知道噪声的密度函数是对称的，非参量假设检测 可表示成：
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
非随机检验函数（连续型）：
⎧1 G ( x ) > th φ ( x) = ⎨ ⎩0 G ( x ) ≤ th
在 H 0 和 H1 为真时，φ ( x )的数学期望分别定义为：
βφ ( 0 f ) = E {φ ( x ) H 0 , f } βφ ( A f ) = E {φ ( x ) H1 , f }
信号检测与估计
第3章 非参量检测 与稳健检测
本章内容
3.1 引言 3.2 非参量检测 3.2.1 检测器渐进相对效率与检测效验 3.2.2 符号检测 3.2.3 秩检测 3.2.4 双输入检测 3.2.4 自适应检测 3.3 稳健检测 3.3.1 稳健假设检验 3.3.2 确定信号的有限样本稳健检测 3.3.3 确知信号的渐进稳健检测
N1 N2
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标.
2. 检测器的效验 检测器的效验定义为：
⎡ ∂ ⎤ ⎢ m E G ( x ) H1 ⎥ ∂A 1 ⎢ A= 0 ⎥ η = lim N →∞ N ⎢ ⎥ Var G ( x ) H 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(
) (
)
若检测器 D1 和 D2 具有同样的 α 和 PD ，可得：
⎛ N 2 p − 1 − Φ −1 1 − α ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ ( )⎟ 2 H1 −1 ⎜ Φ⎜ − Φ (1 − α ) ⎟ = Φ ⎜ ⎟ ⎜ σ ⎟ ⎜ ⎟ 2 pH1 1 − pH1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(
(
)
)
Φ
−1
1 fn ( 0) = 2πσ
ARE2,1 ≈ 2
以上结果表明： 当观测样本为独立同分布的高斯变量时，纽曼— 皮尔逊检测器的性能优于符号检测器。因为 D1 是与噪 声相匹配的参量检测器，而 D2 是非参量检测器，仅利 用了噪声分布的中值信息。 还可考虑中位数为0的其他分布，如拉普拉斯分布 （但假设为高斯分布），此时：
定义检验统计量为：
G ( x ) = ∑ U ( xi )
i =1
N
⎧1 U ( x) = ⎨ ⎩0
x≥0 x<0
判决规则为：
G ( x ) ≷ th
H0 H1
门限由虚警概率确定，相应的符号检测器如图：
符号检测器还可以采用正负样本之差作为统计检 验量，定义为 ⎧1 x>0 N ⎪ G ' ( x ) = ∑ sgn ( xi ) sgn ( x ) = ⎨ 0 x = 0 i =1 ⎪ ⎩−1 x < 0 相应的判决规则和检测器分别为：
(1 − α ) ⋅ 2
pH1 1 − pH1 −
(
)
N1 μ
= Φ −1 (1 − α ) − N 2 2 pH1 − 1
(
σ
⋅ 2 pH1 1 − pH1
(
)
)
写成样本数的比值，
⎡ N1 ⎢ σ = N2 ⎢ μ ⎢ ⎣ 1 σ Φ −1 (1 − α ) − μ N2 ⎤ 2 pH1 − 1 Φ −1 (1 − α ) 1 σ ⎥ + N 2 2 pH 2 pH − 1 μ 2 pH 2 pH − 1 ⎥ ⎥ 1 1 1 1 ⎦
i =1
基于各个样本之间的上述关系，在 H1为真时， N 个样本 共有 2 N 种符号组合。若用 p j ( xi ) 表示第j种符号组合出现 时 xi 取正号或负号的概率
m 1/ mv
{
}
{
}
对两个具有相同虚警概率及检测概率的检测器， 可以证明：当检验统计量满足一定条件时，检测器2的 效验相对于检测器1的效验之间存在以下关系：
η2 ARE2,1 = η1
3.2.2.符号检测
1. 符号检测器 利用观测样本的正负信息的非参量恒虚警检测器。 二元假设检验问题：
⎧ H 0 : xi = ni ⎨ ⎩ H1 : xi = Asi + ni i = 1, 2, ,N
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为：
1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 i ⎪ 1 2 ⎩
定义随机检验函数（离散型）：
⎧1 G ( x ) > th ⎪ φ ( x ) = ⎨a G ( x ) = th ⎪ 0 G ( x ) < th ⎩
2
(
)
(
)
则 D2 对于 D1 的渐近相对效率为：
2 pH1 − 1 N1 σ ARE2,1 = lim = lim H1 → H 0 N H1 → H 0 4 μ 2 pH1 2 pH1 − 1 2 N1 →∞
2 N 2 →∞
(
(
)
2
)
≈ 4σ 2 f n2 ( 0 )
当观测样本为独立同分布的高斯变量时
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
G2 = ∑ U ( xi )
i =1 N2
在 H 0为真时，其概率密度函数为：
⎛ N2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ f ( G2 = k | H 0 ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝k ⎠ ⎝ 2 ⎠
N2
k = 0,1,
, N2
α 根据中心极限定理，当 N 2 很大时，G2 趋近高斯分布， 2
噪声分布的中位数为零，且 Asi > 0 ；观测样本矢量为
x = ⎡ x1, x2 , ⎣ , xN ⎤ ,各样本彼此统计独立，则二元假设为： ⎦
T
1 ⎧ ⎪ H 0 : pH 0 = P ( x > 0 H 0 ) = 2 ⎪ ⎨ ⎪ H : p = P(x > 0 H ) > 1 1 ⎪ 1 H1 ⎩ 2
k = 1 ：拉氏概率密度函数； k = 2 ：高斯概率密度函数
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ 2 x ⎧ x2 ⎫ 1− ε ε ⎪ exp ⎨− 2 ⎬ + exp ⎨− f ( x) = 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ ⎩ σ2 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 检测器渐进相对效率与检测效验
因此门限 th1 由下式确定：
α1 = ∫
∞ th1
⎛ th1 ⎞ f ( G1 | H 0 )dG1 = 1 − Φ ⎜ ⎟ ⎜ Nσ⎟ 1 ⎝ ⎠
式中 α1 是给定的虚警概率。检测概率 PD1 为：
PD1 = ∫ f ( G1 | H1 )dG1
th1 2 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ∞ 1 1 G − N1μ ⎥ ⎟ dG1 exp ⎢ − ⎜ 1 =∫ 2 2 ⎟ ⎥ th1 ⎢ 2⎜ Nσ 2π N1σ 1 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ Nσ ⎟ 1 ⎝ ⎠ ∞
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相 同的虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 和