层次分析法例题
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依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排序如表6所示。
表6层次总排序
层次
层次
层次C
总排序权重
0.230
0.648
0.122
0.105
0.592
0.149
0.426
0.258
0.333
0.066
0.283
0.637
0.075
0.785
0.291
5、结论
由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为： ， ， ，且品牌1明显优于其他两种品牌的设备。
计算 <0.1， ，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知 ，（一般认为CI<0.1、CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比4
5
6
7
8
9
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11
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14
RI
0.58
0.89
1.12
1.26
1.36
1.41
1.46
1.49
1.52
1.54
1.56
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
3）求特征向量W对应的最大特征值：
(1)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
①计算矩阵 的特征向量。
计算判断矩阵 各行元素的乘积 ，并求其 次方根，如 ， ，类似地有， ， 。对向量 规范化，有
类似地有 ， 。所求得的特征向量即为：
②计算矩阵 的特征根
类似地可以得到 ， 。
按照公式计算判断矩阵最大特征根：
方案C1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426
方案C2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283
方案C3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291
某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中 表示功能， 表示价格， 表示可维护性。 ， ， 表示备选的3种品牌的设备。
1.58
(2)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验如下：
， ，
(3)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：
， ，
(4)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij（i=1，2，3….n）；
3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn）T，wi=ci/Σci，
W即为A的特征向量的近似值；
4）求特征向量W对应的最大特征值：
●求根法
1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根； （i =1, 2,…, n）
2）将 归一化，得到 ；W=（w1，w2，…wn）T即为A的特征向量的近似值；
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验如下：
， ，
4、层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
aij=1/aji；aii=1；i，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
●判断矩阵 (即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；
1
5
1/7
1/5
1
表4判断矩阵
1
3
l/7
l/3
1
1/9
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1
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。
●求和法
1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij=aij/Σaij；
③一致性检验。
实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。
根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。一致性指标：
●判断矩阵 (相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示；
●判断矩阵 (相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示；
●判断矩阵 (相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所
示。
表1判断矩阵
1
1/3
2
3
1
5
1/2
1/5
1
表2判断矩阵
1
l/3
1/5
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1
表3判断矩阵B2-C
1
2
7
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标度
定义（比较因素i与j）
1
因素i与j同样重要
3
因素i与j稍微重要
5
因素i与j较强重要
7
因素i与j强烈重要
9
因素i与j绝对重要
2、4、6、8
两个相邻判断因素的中间值
倒数
因素i与j比较得判断矩阵aij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：
表6层次总排序
层次
层次
层次C
总排序权重
0.230
0.648
0.122
0.105
0.592
0.149
0.426
0.258
0.333
0.066
0.283
0.637
0.075
0.785
0.291
5、结论
由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为： ， ， ，且品牌1明显优于其他两种品牌的设备。
计算 <0.1， ，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知 ，（一般认为CI<0.1、CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比4
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RI
0.58
0.89
1.12
1.26
1.36
1.41
1.46
1.49
1.52
1.54
1.56
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
3）求特征向量W对应的最大特征值：
(1)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
①计算矩阵 的特征向量。
计算判断矩阵 各行元素的乘积 ，并求其 次方根，如 ， ，类似地有， ， 。对向量 规范化，有
类似地有 ， 。所求得的特征向量即为：
②计算矩阵 的特征根
类似地可以得到 ， 。
按照公式计算判断矩阵最大特征根：
方案C1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426
方案C2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283
方案C3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291
某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中 表示功能， 表示价格， 表示可维护性。 ， ， 表示备选的3种品牌的设备。
1.58
(2)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验如下：
， ，
(3)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：
， ，
(4)判断矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验
2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij（i=1，2，3….n）；
3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn）T，wi=ci/Σci，
W即为A的特征向量的近似值；
4）求特征向量W对应的最大特征值：
●求根法
1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根； （i =1, 2,…, n）
2）将 归一化，得到 ；W=（w1，w2，…wn）T即为A的特征向量的近似值；
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵 的特征根、特征向量与一致性检验如下：
， ，
4、层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
aij=1/aji；aii=1；i，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
●判断矩阵 (即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；
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表4判断矩阵
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l/7
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3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。
●求和法
1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij=aij/Σaij；
③一致性检验。
实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。
根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。一致性指标：
●判断矩阵 (相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示；
●判断矩阵 (相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示；
●判断矩阵 (相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所
示。
表1判断矩阵
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表2判断矩阵
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表3判断矩阵B2-C
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标度
定义（比较因素i与j）
1
因素i与j同样重要
3
因素i与j稍微重要
5
因素i与j较强重要
7
因素i与j强烈重要
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因素i与j绝对重要
2、4、6、8
两个相邻判断因素的中间值
倒数
因素i与j比较得判断矩阵aij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：