1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 备课素材

第一章直角三角形的边角关系230°，45°，60°角的三角函数值情景导入归纳导入复习导入类比导入图1－2－1如图1－2－1，为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．你能利用上述测量工具测出这棵大树的高度吗？(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[说明与建议] 说明：以生活中的实例入手，激发学生的学习热情．给学生时间，让学生去充分思考交流讨论，并由此引出新课．建议：给学生充足的时间寻求解决问题的方法，在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．悬念激趣在刚刚过去的双十一(11月11日)活动中，中国人创造了网购的奇迹，书写了世界的传奇．今天是双十二(12月12日)，网上称之为“年末促销全民疯抢购物节”，必将续写网购的传奇．本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信心抢到呢？很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！(利用多媒体投影)商铺：图1－2－2[说明与建议] 说明：以进行网购，积极抢购订单的形式引入新课，大大调动了学生学习的积极性，既复习了上节课的重点知识，又为本课的学习铺平了道路．建议：把知识的回顾放到“网购”中，让学生独立思考，解决问题．——教材第9页例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m)．图1－2－3【模型建立】首先从题目情境中抽象出“数学模型”，然后根据问题，从中构造出合适的直角三角形再求解．这里一定要准确记忆特殊角的三角函数值.【变式变形】 1．如图1－2－4，小阳发现电线杆AB 在太阳光下的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝8米，BC ＝20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米长的木杆的影长为2米，则电线杆的高度为(D)图1－2－4A ．9米B ．28米C ．(7＋3)米D ．(14＋23)米[解析] 延长BC ，AD 交于点E ，过点D 作DF 垂直BC 的延长线于点F.如果没有土坡的遮挡，电线杆AB 的影长应为BE.根据相同时刻物体的高度与影长成正比可得：AB BE ＝DF EF ＝12，因此要求AB 的长，需先求BE 的长，而BE ＝BC ＋CF ＋EF ，故需求CF 与EF 的长．在Rt △DCF 中，DF ＝CD ·sin30°＝4米，CF ＝CD·cos30°＝43米．由DF EF ＝12，得EF ＝8米，所以BE ＝(28＋43)米，AB ＝12BE ＝(14＋23)米．2．如图1－2－5，为了求出湖两岸A ，B 两点之间的距离，观测者从测点A ，B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A ，B 两点之间的距离为__m(结果保留根号)．[解析] 在Rt △ABC 中，AB ＝BC·cos ∠ABC ＝160×32＝803(m)．图1－2－5 图1－2－63. 如图1－2－6，身高1.6 m 的小美用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m ，那么这棵树高大约为多少？(结果精确到0.1 m ，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)[解析] 树高相当于CE ，问题也就转化为求CD 与DE 的和，而DE 相当于小美的身高，在Rt △ACD 中利用三角函数的知识求CD 就成了解题的关键．解：在Rt △ACD 中，∵tan30°＝CD AD ，∴33＝CD6.∴CD ＝2 3 m.∴树高CE ＝CD ＋DE ＝23＋1.6≈5.1(m)．4.如图1－2－7，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米的速度收绳．问8秒后船向岸边移动了多少米？(结果精确到0.1米)[解析] 斜边缩短，直角边AC 不变，导致直角边AB 的变化，所以需要先求出斜边变化后的值，再由勾股定理即可求解．解：设8秒后，点B 移至点B′，此时B′C ＝10－0.5×8＝6(米)， ∴AB ′＝B ′C 2－AC 2＝36－25＝11(米)，船向岸边移动的距离为53－11≈5.3(米)．答：8秒后船向岸边移动了5.3米．图1－2－7 图1－2－85．如图1－2－8，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C 处测得对岸一棵树A 在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B 处，测得这棵树在南偏西60°的方向上，求河的宽度(结果保留根号)．解：由题意，知∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，CB ＝180米，所以AC ＝CB·tan30°＝180×33＝603(米)．[命题角度1] 30°，60°角的三角函数值考查含30°，60°角的直角三角形的性质——sin30°＝12，cos30°＝32，sin60°＝32，cos60°＝12；等腰三角形的性质——等腰三角形三线合一，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．例 [扬州中考] 如图1－2－9，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)图1－2－9A.3 B ．4 C ．5 D ．6[解析] 过点P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D. 在Rt △OPD 中，cos60°＝OD OP ＝12，OP ＝12，∴OD ＝6. ∵PM ＝PN ，PD ⊥MN ，MN ＝2，∴MD ＝ND ＝12MN ＝1，∴OM ＝OD －MD ＝6－1＝5.故选C. [命题角度2] 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值常与绝对值以及完全平方的非负性、三角形内角和定理综合考查． 例 [邵阳中考] 在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sinA －12＋⎝⎛⎭⎫cosB －122＝0，则∠C 的度数是(D) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [解析] ∵⎪⎪⎪⎪sinA －12＋⎝⎛⎭⎫cosB －122＝0，∴sinA ＝12，cosB ＝12， ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，则∠C ＝180°－30°－60°＝90°.故选D.[命题角度3] 利用特殊角的三角函数值计算在考查实数的运算时，往往会加入零指数幂的运算法则、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值等，因此熟知零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此类题的关键．再根据实数混合运算的法则进行计算即可．例 [桂林中考] 计算：(1－3)0－12＋2sin60°－|－3|.－2 3.P9随堂练习 1．计算：(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60°； (3)22sin45°＋sin60°－2cos45°. 解：(1)原式＝32－1＝3－22. (2)原式＝ 12＋3＝1＋232.(3)原式＝22×22＋32－2×22＝12＋32－2＝1＋3－222. 2．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7 m ．扶梯的长度是多少？ 解：设扶梯的长度为x m ，则sin30°＝7x ，∴12＝7x ，解得x ＝14.答：扶梯的长度为14 m.P10习题1.31. 计算：(1)tan45°－sin30°；(2)cos60°＋sin45°－tan30°； (3)6tan 230°－3sin60°－2cos45°. 解：(1) 原式＝1－12＝12.(2)原式＝12＋22－33＝3＋32－236.(3)原式＝6×⎝⎛⎭⎫332－3×32－2×22＝2－32－2＝12－ 2. 2．如图，河岸AD ，BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，桥长12 m ，在C 处看桥两端A ，B ，夹角∠BCA ＝60°，求B ，C 间的距离(结果精确到1 m)．解：在Rt △ABC 中， tanC ＝AB BC ，AB ＝12, ∠C ＝60°，∴tan60° ＝12BC ，∴3＝12BC，解得BC ＝43≈7(m)．答：B ，C 间的距离约为7 m.3．如图，SO 是等腰三角形SAB 的高，已知∠ASB ＝120°，AB ＝54，求SO 的长．解：∵△ASB 是等腰三角形，∠ASB ＝120°，AB ＝54，∴∠OSB ＝60°，OB ＝27. 在Rt △SOB 中，tan ∠OSB ＝OBSO＝3， ∴SO ＝9 3.4．如图，身高1.75 m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A ＝30°)，已知她与树之间的距离为5 m ，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1 m)解：在Rt △ADC 中， tanA ＝CDAD ，AD ＝5, ∠A ＝30°，∴tan30° ＝CD 5，∴33＝CD5，解得CD ＝533，∴CE ＝DE ＋CD ＝AB ＋CD ＝1.75＋533≈4.6(m)．答：这棵树的高度约为4.6 m.5．如图，一段长1500 m 的水渠，其截面为四边形ABCD ，其中AB ∥CD ，BC ＝AD ，渠深AE ＝0.8 m ，底AB ＝1.2 m ，坡角为45°，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米？解：由题意，得DE ＝CF ＝AE ＝0.8 m ．故S 四边形ABCD ＝12(AB ＋CD)·AE ＝1.6(m 2). 故水渠最多能蓄水1.6×1500＝2400(m 3)．6．某阶梯的形状如图所示，其中线段AB ＝BC ，AB 部分的坡角为45°，BC 部分的坡角为30°，AD ＝1.5 m ．如果每个台阶的高不超过20 cm ，那么这一阶梯至少有多少个台阶？(最后一个台阶的高不足20 cm 时，按一个台阶计算)解：14个．素材五 图书增值练习专题 特殊角的三角函数值1．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是（ ）. A ．32sin30°＜x ＜sin60° B．cos30°＜x ＜32cos45° C ．32tan30°＜x ＜tan45° D．32tan45°＜x ＜tan60° 2．如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是（ ）. A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sinA ＜cos A3．在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD ＝15°．根据图形计算tan15°＝ ．4．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，试求CD 的长．状元笔记：【知识要点】30°，45°，60°角的三角函数值 【温馨提示】熟记三角函数的特殊值是解题的关键.参考答案 1．D2．B ［解析］在锐角三角函数中仅当∠A ＝45°时，sin A ＝cos A ，所以A 选项错误；因为45°＜A ＜90°，所以∠B ＜45°，即∠A ＞∠B ，所以BC ＞AC ，所以AB BC＞ABAC ，即sin A ＞cos A ，B 选项正确，D 选项错误；tan A ＝ACBC＞1，sin A ＜1，所以C 选项错误. 3．2－ 3 ［解析］可设CD ＝x ，用含x 的代数式表示BD 即可． 4．［解析］过点B 作BM ⊥FD 于点M ．在△ACB 中，∠ACB ＝90°， ∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°， BC ＝AC ·tan60°＝10 3. ∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝30°．∴BM ＝BC ·sin30°＝103×12＝5 3.CM ＝BC ·cos30°＝103×32＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°， ∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°，∴MD ＝BM ＝53．∴CD ＝CM －MD ＝15-53．ABCFD E巧用特殊角解三角函数题一巧用“勾股数”“勾股数”就是满足勾股定理的一组数据，如最常见的有3、4、5或5、12、13等，熟记常见勾股数的能给我们解题带来便利．例1 ．图⑴四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=13，CD=12，求四边形ABCD的面积．分析：连结AC，由已知条件AB=3，BC=4，易知，而这时若对5、12、13这三个数不熟悉，问题就无法解决；若知道这是一组勾股数52+122=132即AC2+CD2=AD2，可得∠ACD=90°，于是就得到一个新的直角三角形ACD，∴S四边形ABCD = SΔABC+SΔACD=12AB·BC +12AC·CD=36．二巧用“ 30°”例2 ．如图⑵ΔABC中，∠ABC=90°，AC=10，∠ACB=75°，BD⊥AC，垂足为D，求BD的长．分析：由条件∠ACB=75°，可知它的余角15°，由15°可想到30°存在，因此可作直角三角形斜边上的中线BM，∵BM=AM，∴∠A=∠ABM，∴∠BMD=2∠A=30°，∴BD=12BM=14AC=52．例3．（2002年，福建福州）某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图⑶所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元分析：由已知中的150°想到它的补角30°，因此延长一边，找到30°，并构造30°所在的直角三角形，易找另一边上的高，∴S=12×10×30=150，∴答案C例4．（2002天津市）某片绿地的形状如案图⑷，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、CD的长（精确到1m，√3 ≈1.732）．分析：本题关键是充分利用∠A=60°，若连结AC，则破坏了∠A，因此不能连结AC，而延长AD和BC相交于E点，这样既构造出了RtΔAB E和RtΔCD E，同时又保全了∠A，易求得AD的长约为227m，BC的长约为146m，详解略．三巧用“ 45°”例5．如图⑸ΔABC中，∠ABC=135°，P为AC上一点，且∠PBA=90°，CP：P A=1：2，求t a n∠APB．分析：由∠ABC=135°，感觉到135°的补角45°的存在，而45°的出现，易联想出等腰三角形，实现等线段之间的转换，因此可作出辅助线，作CD⊥AB，垂足为D，得∠CBD=45°，CD=BD，∵PB∥CD，∴ABCD图⑴ABCDM图⑵30米20米150°30°10米图⑶A BCDABCDE图⑷A BCDP如图⑸AD BD = AC PC =3，∠APB =∠ACD ，∴t a n ∠APB =t a n ∠ACD = AD CD=ADBD =3． 例6．已知：如图⑹，ΔABC 中，∠ABC =90°， ∠A =22．5°，BC =3，求AB 的长． 分析：由∠A =22．5°，可想到45°，于是在三角形 内部构造45°，作CD =AD ，得∠CDB =45°， 再又BC =3易求BD =3，CD =AD =3AB ．四 巧用“ 60°”例7．如图⑺在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端 不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的 距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，这间房子的宽 AB 一定是（ ） A ． 米 B ． 米 C ．b 米 D ．a 米分析：由已知∠MCA =75°，∠NCB =45°，∴可知∠MCN =60°，由CM =CN ，可想到：连结MN 后得到等边三角形MCN ，再由∠MCN =60°，∠BNC =45°，可得到∠MND =75°，∵MC =MN ，故过M 点作MD ⊥BN ，垂足为D ，易证ΔMAC ≌ΔMDN ，∴AB =MD =a 米，答案为D ．ABCD图⑹A BC DMN 75° 45°图⑺。