从一道课本习题探究切线问题

设切点为（ ｍ， （ｆ ｍ） ） 、（ ｎ， （ｆ ｎ） ） ，
因为直线过原点，
所以 ｋ＝ （ｆ ｍ） ＝（ ｍ－ ａ）（ ｍ－ ｂ） ； ｍ
同时 ｋ＝ｆ（′ｍ） ＝３ｍ２－ ２（ ａ＋ｂ） ｍ＋ａｂ，
所以（ ｍ－ ａ）（ ｍ－ ｂ） ＝３ｍ２－ ２（ ａ＋ｂ） ｍ＋ａｂ，
２ｍ２－（ ａ＋ｂ） ｍ＝０，
所以
ｘ０＝－
１
或
ｘ０＝３
或
ｘ０＝
１ ２
，
当 ｘ０＝－ １ 时， ｋ＝３ｘ０２＋２ｘ０＝３×（ － １） ２＋２×（ － １） ＝１，
故所求切线方程为 ｙ＝ｘ；
当 ｘ０＝３ 时， ｋ＝３ｘ０２＋２ｘ０＝３×３２＋２×３＝３３，
故所求切线方程为 ｙ＝３３ｘ－ ６４；
当
ｘ０＝
１ ２
时，
ｋ＝３ｘ０２＋２ｘ０＝３×（
名师点金
习题转化
从一道课本习题
探究切线问题
原题再现（ 人教大纲第三册选修Ⅱ）
Ｐ１２１ 求 曲 线 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 在 点 Ｐ（ － １， － １） 处 的 切 线方程．
分析 我们知道， 若 Ｐ 和 Ｑ 是曲线 Ｃ 上邻近的
人
教 两点， Ｐ 为定点， 当 Ｑ 点沿着曲线 Ｃ 无限地接近 Ｐ点
大
纲
所以（ ａ＋ｂ） ２＝４ａｂ＋ ４ ≥８， ａｂ
因为 ０＜ａ＋ｂ＜２ ! ２ ， 所以（ ａ＋ｂ） ２＜８， 矛盾． 所 以 过 原 点 且 与 曲 线 ｙ＝（ｆ ｘ） 相 切 的 两 条 直 线 不可能垂直． 点评 与曲线切线有关的参数问题的解决， 仍 然要充分利用切点、切线斜率以及函数导数 几 何 意
用导数几何意义求出点 Ｐ 的坐标后需要验证 Ｐ 是
否在曲线上， 很多同学常忽略这个而导致错误．
变式二 已知曲线外的点求切线
例 ２ 求过点 Ｐ（ ２， ２） 且与曲线 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 相 切
的直线方程．
分析 本题也是求切线方程， 其基本思路也是
运用导数的几何意义与切线斜率的关系解题， 但要
注意此题并未说明点 Ｐ 是切点， 而是曲线外的一
另设切点坐标为 Ｑ（ ｘ０， ｋｘ０－ ２ｋ＋２） ， 由 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 可得 ｙ′＝３ｘ２＋２ｘ，
由导数的几何意义知道， ｋ＝３ｘ０２＋２ｘ０，
①
又点 Ｑ 在曲线上，
所以有 ｋｘ０－ ２ｋ＋２＝ｘ０３＋ｘ０２－ １，
②
把①代入②消去 ｋ 并化简得 ２ｘ０３－ ５ｘ０２－ ４ｘ０＋３＝０，
分解因式得（ ｘ０＋１）（ ｘ０－ ３）（ ２ｘ０－ １） ＝０，
３
当 Ｐ 为（ － １， － １） 时 ， 显 然 在 曲 线 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 上 ，
符合题意，
当 Ｐ 为（ １ ， １ ） 时 ， 把（ １ ， １ ） 代 入 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－
３３
３３
１， 不成立， 不合题意，
所以所求切点 Ｐ 为（ － １， － １） ．
点评 由于切点是切线和曲线的公共点， 在利
解
得
ｍ＝０
或
ｍ＝
ａ＋ｂ ２
ห้องสมุดไป่ตู้
，
人 教 大 纲
专 业Ｓ
精心策划
所以 ｋ１＝ａｂ， ｋ２＝－ （
ａ－ ｂ） ２ ４
，
高 二
若两直线垂直， 则 ｋ１·ｋ２＝－ １， 则 ａｂ·（
ａ－ ｂ） ２ ４
＝１，
所以（ ａ－ ｂ） ２＝ ４ ， 所以（ ａ＋ｂ） ２－ ４ａｂ＝ ４ ，
ａｂ
ａｂ
因为 ０＜ａ＜ｂ， 所以 ａｂ＞０，
通 过 计 算 机 画 图 软 件 画 出 图 形 观 察） ， 但 它 们 都 是
符合条件的曲线的切线．
变式三 与切线相关的参数问题
例 ３ （ １） 已知函数 （ｆ ｘ） ＝ｘ３－ １ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 若 （ｆ ｘ） ２
的图象有与 ｘ 轴平行的切线， 求 ｂ 的取值范围； （ ２） 已 知 函 数 （ｆ ｘ） ＝ｘ（ ｘ－ ａ）（ ｘ－ ｂ） ， 其 中 ０＜ａ＜ｂ，
"# 数学爱好者
湖南 王 勇
点．利 用 切 点 、切 线 斜 率 、导 数 几 何 意 义 三 者 的 关 系
解决．
解 ｙ＝ｘ 是 曲 线 的 切 线 ， 所 以 可 设 切 点 Ｐ 的 坐
标 为（ ａ， ａ） ， 由 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 可 得 ｙ′＝３ｘ２＋２ｘ， 由 导 数 的
几何意义知道 ｙ′│ｘ＝ａ＝３×ａ２＋２ａ＝１， 即 ３ａ２＋２ａ－ １＝０， 解 得 ａ＝－ １ 或 ａ＝ １ ．
义这三者之间的关系．
数学爱好者 #$
般点．
解 把点 Ｐ（ ２， ２） 的坐标代入曲线 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 的
方程， 发现等式不成立，
所以点 Ｐ（ ２， ２） 不在曲线上， 故点 Ｐ 不是切点，
由于函数在（ ０， ＋∞） 单调递增，
所以直线 ｘ＝２ 一定不与曲线相切，
即所求切线斜率一定存在， 可令切线方程为：
ｙ－ ２＝ｋ（ ｘ－ ２） ， 即 ｙ＝ｋｘ－ ２ｋ＋２，
且 ａ＋ｂ＜２ ! ２ ， 求证过原点且与 曲 线 ｙ＝（ｆ ｘ） 相 切 的
名师点金
两条直线不可能垂直．
解析 （ １） 函数图象有与 ｘ 轴平行的切线即 ｆ（′ｘ） ＝
０ 有解， 转化为一元二次方程有解的判断问题．
由 （ｆ ｘ） ＝ｘ３－ １ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ 得 ｆ（′ｘ） ＝３ｘ２－ ｘ＋ｂ． ２
所以 ｙ′│ｘ＝－１＝３×（ － １） ２＋２×（ － １） ＝１， 即曲线在点 Ｐ（ － １， － １） 处的切线的斜率 ｋ＝１，
所以所求切线方程为： ｙ＋１＝ｘ＋１， 即 ｙ＝ｘ．
点评 已知切点求切线， 这是最为常见的求曲
线切线方程的题型， 利用导数不难解决．我们稍作
探究， 还可得到以下几类变式题型．
设 切 点 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） ， 则 （ｆ ｘ） 在 Ｐ 点 的 切 线 的 斜 率 ｋ＝ｆ（′ｘ０） ＝３ｘ０２－ ｘ０＋ｂ，
由 题 意 ， 有 切 线 与 ｘ 轴 平 行 ， 则 ３ｘ０２－ ｘ０＋ｂ＝０ 有 解， Δ＝１－ １２ｂ≥０， 所以 ｂ≤ １ ；
１２
（ ２） 先求出两切线， 再利用斜率间的关系解题．
变式一 已知切线求切点
例 １ 已知直线 ｙ＝ｘ 与曲线 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 相切， 求
切点的坐标．
分析 本题若用联立方程组的方法解决， 涉及
到三次方程， 比较复杂， 而且即使解出来， 所得的点
也不一定是切点， 实际上， 直线 ｙ＝ｘ 与曲线 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－
１ 虽然相切， 但公共点不止一个．我们可直接设出切
１ ２
） ２＋２×（ １ ２
）
＝
７ ４
，
所求切线方程为 ｙ＝ ７ ｘ－ ３ ． ４２
点评 过曲线外一点作曲线的切线， 关键是确
定切点的坐标， 所得切线可能不只一条， 这与过曲
线上的点的切线有且只有一条有所不同； 而且曲线
的切线和曲线也不再是只有一个公共点．事实上， 本
题所求得的几条直线均和曲线不止一个公共 点（ 可
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时 ， 割 线 ＰＱ 的 极 限 位 置 ＰＴ 叫 做 曲 线 Ｃ 在 点 Ｐ 的 切线， Ｐ 点叫做切点； 切点是切线和曲线的公共点， 且切线的斜率就是导函数在切点处的函数值．求曲
线的切线是函数导数的重要应用．这种类型题在课
高
二 本中反复出现， 其重要性不言而喻．
解 由 ｙ＝ｘ３＋ｘ２－ １ 可得 ｙ′＝３ｘ２＋２ｘ，