2013年高中数学解题思维一点通：一类应用题的统一解法

一类应用题的统一解法
有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。

例1 某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A ，它的左右两边都要留宽为a 的空白，上下两边都要留有宽为b 的空白，且印刷品左右长度不超过定值l 。

问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。

图1
解：设版面左、右长为x ，上、下宽为y
则有A xy =（x>0，y>0）
设每张印刷品所用纸张面积为S 则S x a y b A ab bx a A x
x l a =++=+++⋅<≤-()()()()2242202（） （1）当2a aA b
l +≤时， 224bx a A x
abA +⋅≥， 当且仅当22bx a A x =⋅时取“=”号，解得x aA b y bA a
==， 即此时左右长为2a aA b +，上下宽为2b bA a
+ （2）当2a aA b
l +>时
因为02<≤-<
x l a aA b 所以()l a x --≥20 且bx l a b aA b aA b
aA ⋅-<⋅⋅=()2 所以[()]()b l a A l a bx aA x
-+--+222 =--⋅---≤[()]()()l a x b l a x aA l a x
2220 当x l a =-2时取等号，即选择左、右尺寸为l ，上、下尺寸为22b A l a +
-用纸量最小。

综上所述，当2a aA b l +≤时，选择左右尺寸为2a aA b +时，上、下尺寸为2b+bA a ; 当2a aA b l +>时，选择左、右尺寸为l ，上、下尺寸为22b A l a
+-所用纸量最小。

例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s （千米），水速为常量p （千米/时），船在静水中的最大速度为q （千米/时）（q>p ）。

已知船每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为k 。

（I ）把全程燃料费用y （元）表示为静水中速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II ）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
解：（I ）依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为s v p
-，全程燃料费用为：y kv s v p
=⋅-2，故所求函数及其定义域为： y kv s v p ks v v p v p q =⋅-=⋅-∈2
2
，，(] （II ）由题意知k 、s 、v 、p 、q 均为正数，且v>p ，故有
y ks v p p v p
p ks p p ksp
=-+-+≥+=[()]()2
2224 当且仅当v p p v p
-=-2
，即v p =2时上式取等号 若2p q ≤，则当v p =2时，全程燃料费用y 最小。

若2p>q ，当v p q ∈(]，时，有
ks v v p ks q q p ks q v pq pv qv v p q p ⋅--⋅-=⋅-+---22
()()()()
因p v q p v p q p q v <≤<->->-≥2000，故，，
又pq pv qv pv pv qv p q v +-≥+-=->()20 所以ks v v p ks q q p
⋅-≥⋅-22
当且仅当v=q 时等号成立，即当v=q 时，全程燃料费用最小。

综上知，为使全程燃料费用最小，当2p q ≤时，船的实际前进速度为p ；当2p>q 时，船的实际前进速度应为q p -。

例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时。

已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元。

（I ）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（I ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v
，全程运输成本为 y a s v bv s v s a v
bv =⋅+⋅=+2() 故所求函数及其定义域为：
y s a v
bv v v =⋅+∈()(]，，0 （II ）依题意知s ，a ，b ，v 都为正数，故有s a v
bv s ab ()+≥2 当且仅当a v bv v a b
==，即时上式中等号成立 若a b c v a b
≤=，则当时上式中等号成立 若a b
c v c >∈，当，(]0时，有 s a v bv s a c
bc ()()+-+ =-+-=--s a v a c bv bc s vc
c v a bcv [()()]()() 因为c v a bc -≥>02，且，故有a bcv a bc -≥->20 所以s a v bv s a c
bc (
)()+≥+，且仅当v=c 时等号成立。

也即当v=c 时，全程运输成本y 最小。

综上知，为使全程运输成本y 最小，当
ab b c ≤时行驶速度应为v ab b =；当ab b
c >时行驶速度应为v=c 。