北师大版指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.4-5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(带答案)
§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型． 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52， 所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。
3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 ppt课件高中数学必修一北师大版
5
6.1
6.61
6.95
7.2
7.4
其中,x呈对数型函数变化的变量是 化的变量是
;呈指数型函数变 .
;呈幂函数型变化的变量是
(3)下列说法中,正确的有
.
①幂函数增长比直线型函数增长得快; ②对任意x>0,xn>logax; ③对任意x>0,ax>logax; ④不一定存在x0,使x>x0时,总有ax>xn>logax.
增长速度越快.
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1,又因为它们的图像
关于y=x对称,从而可知,当a越大,y=ax增长越快,当a越小,
y=logax增长越快,一般来说ax>logax(x>0,a>1).
Байду номын сангаас
(3)指数函数与幂函数：当x>0,n>0,a>1时,可能开始有一段,
xn>ax.但指数函数是爆炸型函数,当x大于某一个确定值x0后,就
2.做一做：(请把正确的答案写在横线上) (1)0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小关系是 (2)三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表
x
y1 y2
.
1
5 5
3
135 29
5
625 245
7
1 715 2 189
9
3 645 19 685
11
6 655 177 149
y3
提示：不是.但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax<xn<ax
成立.
【即时练】 已知幂函数y=x1.4、指数函数y=2x和对数函数y=lnx的图像,如 图,则A表示函数 表示函数 的图像,B表示函数 的图像. 的图像,C
北师大版第三章 指数函数和对数函数3-6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(1)(一次函数模拟) 设模拟函数为 y＝ax＋b，以 B，C 两点的坐标代入函数式，有
2a＋b＝1.2， 3a＋b＝1.3， a＝0.1， 解得 b＝1，
所以得 y＝0.1x＋1.
评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会 月月上升 1 000 双，这是不太可能的．(4 分)
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自学导引 三种函数的增长比较 ①当 a＞1 时，指数函数 y＝ax 是 增函数 ，并且当 a 越大时， 其函数值增长越 快 ． ②当 a＞1 时，对数函数 y＝logax(x＞0)是 增函数 ，并且当 a 越 小时，其函数值 增长越快 ． ③当 x＞0，n＞1 时，幂函数 y＝xn 是 增函数 ，并且当 x＞1 时， n 越大，其函数值 增长越快 ．
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想一想：函数 y＝2x，y＝x2，y＝log2x 的增长有何差异？ 提示 在同一平面直角坐标系内画出函数
y＝2x，y＝x2，y＝log2x 的函数图像如图所示， 由图可知，当 x∈(0,2)时，2x＞x2，x∈(2,4)时， 2x＜x2，x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即当自变量 x 越来越大时，2x 的增长速度远远大于 x2.
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解
∵1－a2＜1，loga(1－a2)＞0，
∴0＜a＜1.∴函数 f(x)＝ax 与 h(x)＝logax 在(1，＋∞)上均为减 函数， ∴当 x∈(1，＋∞)时，0＜ax＜1，logax＜0. 1 又∵3＞0， ∴g(x)＝ 在(1，＋∞)上是增函数．∴对任意 x∈(1，＋∞)均
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(3)(幂函数模拟) 设 y＝a x＋b，将 A，B 两点的坐标代入，
北师大版高中数学必修1第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》参考课件
思考3:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如 何变化的？
思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?
x 0123 4 56 7 8 y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？
思考3:设函数f(x)=2x -x2(x>0)，你能用二分法求出 函数f(x)的零点吗？
思考4:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置
思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何 变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁的增长速 度相对较快？
y y=xn
y=logax
o1
x
思考7:一般地，对数函数y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如 何是如何变化的？
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
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13
谢谢欣赏！
08-第四节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修一北师大版
= 2 ,则 = 2
3 ≈ 3.464,所以排除D,故选B．
4.（多选）[2024广东深圳期末]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出
发，向同一方向运动，其路程 = 1,2,3,4 关于时间 ≥ 0 的函数
1
3
5
7
9
11
1
5
135
625
1 715
3 645
6 633
2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
3
2
其中符合对数函数模型的变量是___，符合指数函数模型的变量是___，符
1
合幂函数模型的变量是___.
【解析】 由题中表格,可知三个变量1 ,2 ,3 随着的增大都是越来越大的,
9 = 93 = 729, 9 < 9 , 10 = 210 = 1 024, 10 = 103 = 1 000,
10 > 10 ,
所以2 ∈ [9,10],即 = 9.
其中2 的增长速度最快,符合指数函数模型,3 的增长速度最慢,符合对数函
数模型,1 符合幂函数模型.
6.已知函数 = 2 和 = 3 的大致图象如图所示，
设这两个函数的图象相交于点 1 , 1 和 2 , 2 ，
且1 < 2 .
（1）请指出图中曲线1 ，2 分别对应哪一个函数；
（单位：万元）对年销售量（单位：t）的影响，对近6年的年宣传费
北师大版高中数学必修1课件3 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件
2．利用上表中的数据完成下表 函数值 自变量 （1,10） （10,100） （100,300） （300,500） （500,700）
y 2x
y x100 ( x 0)
y log 2 x
（700,900） （900,1000）
（1000,1100 ） （1100,1200 ）
[互动过程 3] 谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会。
x
为常数） 。已知 4 月份的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并 说明理由。
设 y1 f ( x) px2 qx r ( p, q, r 为常数，且 p 0) ， y2 g ( x) a b x c ，
p q r 1, ab c 1, 2 根据已知，得 4 p 2q r 1.2, 及 ab c 1.2, 9 p 3q r 1.3, ab3 c 1.3,
1785．2 55 1．4295
y2 关于 x 呈指数型函数变化的变量是＿＿＿＿＿
方法小结：
通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢,我们要了解这三种函数增速的差别。
作业：
作业:习题 3-6
结论: 在这三个函数中，指数函数增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”。
例题解析
例 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件， 为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模型拟该产品的月产 量 y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y a b c （其中 a、b、c
… 2
… 1
… 0
1．0070044 2．0097338 2．0097258 0．0100700 10 100 300 500 1024 1．27×1030 10100 10200
数学必修ⅰ北师大版3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.
60 6.907
y4 2 4.322
5.32
2
关于x呈指数型函数变化的变量是________． 解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表
格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，
变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其 中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关 于x呈指数型函数变化．故填y2. 答案：y2
问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当 log2x<2x<x2时，x的范围是什么？ 提示：2<x<4.
问题3：当log2x<x2<2x时，x的
取值范围是什么？ 提示：0<x<2或x>4. 问题4：从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时， 它们的增长速度怎样？
提示：2x的值迅速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数， 描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系； Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a· bt；Q＝a· logbt. (2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低
时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与 上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而 用函数Q＝at＋b，Q＝a· bt，Q＝a· logbt中的任意一个 进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单 调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取
[一点通]
底数大于1的指数函数模型比一次项系数
为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比
底数大于1的对数函数模型增长要快， 从这个实例我们
可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
北师大版高中数学必修一学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较讲解与例题
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．A．一次函数B．二次函数C．指数函数 D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．A．0 B．1C．2 D． 3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x=-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
高中数学北师大版精品教案《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。
重点2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
难点【教学过程】一、基础铺垫1三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数＝og a是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当>0，n>1时，幂函数＝n也是增函数，并且当>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2三种函数的增长对比对数函数＝og a a>1增长最慢，幂函数＝n n>0，指数函数＝aa>1增长的快慢交替出现，当足够大时，一定有a>n>og a。
思考2：在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有og a1，n>0，>0时，og a g1，f2g10。
∴12时，f>g，且g在0，＋∞上是增函数。
∴f2 016>g2 016>g8>f8。
【教师小结】函数＝aa>1＝og a a>1＝n n>0性质在0，＋∞上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随的增大越来越陡随的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小1常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差商法。
2当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。
3比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。
北师大版高中数学必修一课件第三章6指数函数幂函数对数函数增长的比较
对于模型 y＝0.25x，它在区间[10，1 000]上单调递增，当 x∈(20，1 000)时，y>5.
因此该模型不符合要求； 对于模型 y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区 间(805，806)内有一个点 x0 满足 1.002x0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增， 因此当 x>x0 时，y>5，因此该模型也不符合要求；
对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而 且当 x＝1 000 时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总 数不超过 5 万元的要求．
再计算按模型 y＝log7x＋1 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 x∈[10，1 000]时，是否有yx＝log7xx＋1≤0.25 成立．
若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个不同的交点，求 a 的取值范围．
解：函数 y＝|ax－1|的图像可看作由 y＝ax 的图像向下平移 1 个单位，再把 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方而得到的．
当 0＜a＜1 时，y＝|ax－1|的图像如图(1)所示．要使 y＝2a 与 y＝|ax－1|有两个不同交点，则需 0＜2a＜1，即 0＜a＜12.
当 a＞1 时，y＝|ax－1|的图像如图(2)所示．要使 y＝2a 与 y＝ |ax－1|有两个不同交点，则需 0＜2a＜1，即 0＜a＜12(舍去)．
1
已知 a2＞a3，求实数 a 的取值范围．
【错解】 设 f(x)＝ax，则 f(2)＝a2，f13＝a13，由于 2＞13，∴
f(2)＞f13，则 f(x)在 R 上是增函数，∴a＞1. 【错因分析】错解中构造指数函数，缩小了 a 的取值范围．对
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-课件 高一数学(北师大版2019必修第一册)
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
4.4指数函数幂函数对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考:这3种增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
10 y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
y 5x y 3x
y 2x
–2 –1 O 1 2 x
(1) 指数函数:
3y
y log2 x
2
y log3 x
1
y log5 x
O
12 3 4 5 6 7 8 x
1
2
(2) 对数函数:
比较xln2与100lnx的大小
实际上,当a>1,c>0时,即使a 很接近于1,c很大,当x的值充 分大,都有y=ax比y=xc增长快.
学习目标
新课讲授
归纳总结
课堂总结
y=ax(a>;0)
y=logbx(b>1)
增长 特点
随着自变量的增大,函数 值增长的速度越来越快,
称之为“指数爆炸”
直线上升 增长速度不变
对数增长 增长速度越来越慢
y=ax的函数增长值远远大于y=kx的函数增长值, y=kx的函数增长值大于y=logax的函数增长值.
学习目标
新课讲授
课堂总结
指数增长带来的困扰:
兔子繁殖
病毒传播
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.下列函数中随x的增大而增大且增长速度最快的是( A )
随着自变量的增大,函数 值增长的速度越来越快
随着自变量的增大,函数值 增长的速度越来越慢,即增
长速度平缓
增长速 度比较
随着自变量x的增大, y=ax的函数值增长远远大于y=xc的函数值增长, y=xc的函数值增长又远远大于y=logbx的函数值增长.
北师大版高中数学高一3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
626
901
32
1 024
32 768
1.05×10
63.Biblioteka 6×1071.07×10
9
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 关于x呈指数函数变化的变量是________．
60 6.907
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来 越大时，函数 y＝2ex 增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始 变化，变量 y1，y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不 同，其中变量 y2 的增长速度最快，可知变量 y2 关于 x 呈指 数函数变化．
【预习评价】 1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是
________． 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长 差异可判断出y＝3x的增长速度最快． 答案 y＝3x
2 ． 如 图 所 示 曲 线 反 映 的 是 ____________ 函 数 模 型 的 增 长 趋 势．
(2)构造指数函数模型 g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得aabb＋ 2＋cc＝＝81，8， ab3＋c＝30，
解得 a＝1235，b＝65，c＝－42． 则 g(x)＝1235·65x－42， 故 g(4)＝1235·654－42＝44.4，与计划误差为 1.4.由(1)(2)可得， f(x)＝x2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的 关系.
3．当a>1时，有下列结论： ①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快． 其中正确的结论是________． 答案 ①④
北师大版必修1 第3章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标 1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？答案23－22＝4,103－102＝900，即同样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标分别增加了4和900. 梳理当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lgx的纵坐标增长了多少？答案210－21＝1024－2＝1022,102－12＝99，lg10－lg1＝1，即同样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y ＝lgx的纵坐标分别增加了1022,99和1.梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1)、幂函数y＝x n(n>0)与对数函数y＝log a x(a>1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n(n>0)的增长速度，而对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x(a>1，n>0)．1．先有实际问题，后有模型．( √)2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( √)3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．( ×)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>x2(a>1)．( ×)类型一根据图像判断函数的增长速度例1 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2017)，g(2017)的大小．考点题点解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<6<x2,2017>x2.从图像上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2017)>g(2017)．又g(2017)>g(6)，∴f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6)．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快．跟踪训练1 函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．考点题点解(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．类型二函数增长模型的应用例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？考点题点解设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x ∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图像，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：天数回报/元方案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440二10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660三0.4 1.2 2.8 612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．反思与感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)．解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律．跟踪训练2 某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？考点题点解作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求.1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3D．y＝3x考点题点答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2．当a>1时，有下列结论：①指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是( )A．①③B．①④C．②③D．②④考点题点答案 B3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是( )考点题点答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图像大致为D中图像．4．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x考点题点答案 B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B. 5．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·q x(q>0，q≠1)；②f(x)＝log p x＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝____________.考点题点答案③x2－8x＋17三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y ＝x n(n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1．下列函数中，增长速度最慢的是( ) A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x考点 题点 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2．下面对函数f(x)＝log 12x 与g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A ．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B ．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C ．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D ．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 考点 题点 答案 C解析 在区间(0，＋∞)上，指数函数y ＝a x(0<a<1)和对数函数y ＝log a x(0<a<1)都是减函数，它们的衰减速度都是先快后慢．3．今年小王用7200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A ．7200×⎝ ⎛⎭⎪⎫133B ．7200×⎝ ⎛⎭⎪⎫233C ．7200×⎝ ⎛⎭⎪⎫132D ．7200×⎝ ⎛⎭⎪⎫232考点题点 答案 B解析 由于小王用7200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7200－7200×13＝7200×23，两年后，价格为7200×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝7200×⎝ ⎛⎭⎪⎫232，三年后这种笔记本电脑的价格为7200×⎝ ⎛⎭⎪⎫233.4．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2 考点 题点 答案 A解析 由题中图像可知，该函数模型为指数函数．5．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y ＝alog 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A ．300只 B ．400只 C ．500只 D ．600只考点 题点 答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100. 将a ＝100，x ＝7代入y ＝alog 2(x ＋1)， 得y ＝300.6.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )考点 题点 答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半．易知B 符合题意．二、填空题7．三个变量y 1，y 2，y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1715 3645 6655 y 2 5 29 245 2189 19685 177149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________． 考点 题点答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化． 8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s 和燃料质量Mkg ，火箭(除燃料外)质量mkg 的关系是v ＝2000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.考点 题点答案 e 6－1解析 由题意得2000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12000， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，从而M m ＝e 6－1.9．若a>1，n>0，那么当x 足够大时，a x，x n，log a x 中最大的是________． 考点 题点 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x>x n>log a x.10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t(月)的近似函数关系：y ＝a t(t ≥0，a>0且a ≠1)的图像．有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________． 考点 题点 答案 ①③解析 根据题意，函数的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，49， 故函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t.易知①③正确．三、解答题11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1. (1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s 时耗氧量的单位数． 考点 题点解 (1)设v ＝k·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1， ∴1＝k·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2700，∴当一条鲑鱼的游速是1.5m/s 时耗氧量为2700个单位．12．国庆黄金周及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q 与这20天中的第t 天(t ∈N ＋)的部分数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q 与t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝－t 2＋at ＋b ，Q ＝a·b t，Q ＝a·log b t ，并求出该函数的解析式；(2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天，并求出最高日经济收入． 考点 题点解 (1)由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q 与天数的变化关系的函数不可能为单调函数，而Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t ，Q ＝a·log b t 三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以选取二次函数进行描述最恰当．将(1,218)，(8,288)代入Q ＝－t 2＋at ＋b ， 可解得a ＝19，b ＝200.所以Q ＝－t 2＋19t ＋200(1≤t ≤20，t ∈N ＋)． (2)Q ＝－t 2＋19t ＋200，因为1≤t ≤20，t ∈N ＋， 所以t ＝9或10时，Q 取得最大值290万元． 四、探究与拓展13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12W/m 2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？考点题点解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg104＝40(分贝)． (2)由题意知0≤L 1<50，即0≤10lg I I 0<50， 所以1≤I I 0<105， 即1×10－12≤I<1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12,1×10－7)．。
北师大版高中数学必修一课件指数函数,幂函数,对数函数增长比较
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第三章 指数函数与对数函数
第6节 指数函数，幂函数，对数函数增长比较
安徽黄口中学 陈华武
一：复习
（1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是的函数称为幂函数.
那么，对于这三种增加的函数， 它们的函数值的增加快慢有何差别呢？
我们通过三个具体的函数 y=2x,y=x100,y=㏒2x 的函数值（取近似值）的比较， 来体会它们的增长的快慢。
动手实践
1.完成表3-12 2.完成表3-13
结论：在这三个函数中， 指数函数增长最 快，人们常称这种 现象为“指数爆
炸”。
幂函数 的图像
y=x y=x-1
y=x2
y=x3
1
y x2
指数函数图象和性质 对数函数图象和性质
抽象概括 y=logax(0<a≠1)在底数a>1及0<a<1 这两种情况下的图象和性质总结如表3-10
a>1
0<a<1
图 象 -1
3 2.5
2 1.5
11
0.5
0 - 0.5 -1 - 1.5 -2 - 2.5
在（0，+∞）上是 增 函数 在（0，+∞）上是 减 函数
二 问题提出
我们知道： 当a>1时,指数函数是增函数，
当a逐渐增大时， 函数值增大得越来越快； 当a>1时,对数函数是增函数， 当a逐渐 减小时， 函数值增大得越来越快；
当x>0时，幂函数y=xn 在（0，+∞） 上单调递增；且当x>1，n逐渐增大时， 函数值增大得越来越快。
数学北师大版高中必修1第 6 节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
第 6 节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标 ：1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
重点：对数的运算性质、换底公式及其应用。
认识指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长含义。
难点：比较指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异。
预 习 案使用说明&学法指导（紧扣教材）1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，从中了解…，通过自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”І.相关知识1.复习指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)x a y a =>、幂函数(0)n y x n =>的图像，并判断在区间()0,+∞上的单调性.II.教材助读见导与练35P 填一填.III.预习自测见导与练35P 练习及课本103P 的练习.我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决.─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————──————─————─————─————─————─————─————─.探 究 案I.学始于疑——我思考、我收获1.观察表格（教材表3-13中）三个函数的函数值变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现？II.质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点一 完成教材表3-13，3-14归纳总结─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————v ─————─————─————─————─————─————─————─.（二）知识综合应用探究探究点一见导与练35P 实例.1.画出函数22,2,log x y x y y x ===在同一坐标系中的图像，探究三种函数在(0,)+∞上的交点个数，且比较22,2,log x x x 的大小.规律方法总结─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————.III.我的知识网络图1.掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质.2.理解三种函数的增长快慢关系.IV.当堂检测1.若32232(),,log 3x x a b x c ===，当x>1时，a,b,c 的大小关系为（）A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b2.函数(1)()log x x a f x a +=+ 在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（） A.14 B. 12C. 2D.4 3.方程(4)3log 3x x +=的实数解的个数是（）A.0B.1C.2D.3我的收获（反思静悟、体验成功）─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─—.训 练 案一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单！见课本103P 习题3-6第2题二、综合应用题——挑战高手，我能行！见课本109110P - 复习题A 组14题，B 组第5题.三、拓展探究题——战胜自我，成就自我！(根据学生情况制定难度不等的思考、拓展、思考交流题)1.王先生从今天开始每天给你10万元，而你第一天给王先生1元，第二天给王先生2元，第三天给王先生4元，第四天给王先生8元，（1）王先生要和你签订15天的合同，你同意签订这个合同吗？（2）王先生要和你签订30天的合同，你同意签订这个合同吗？ （提示公式：012112222212nn --++++=-）2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问：你会选择哪种投资方案？。