最新-【数学】重庆市巴蜀中学2018学年高二下学期期中考试(文) 精品
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1 2
B．1
e
C．
D． e
2．
æ çè
x
+
2 x
ö5 ÷ø
的二项展开式中
x
的系数为（
）
A． -40
B．40
C． -80
D．80
3．已知公比为正数的等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 1 ， S4 = 5 ，则 a1 = （ ）
A． -1 或 1 3
B． -1
C． 1 3
D．
-
1 3
所以当
-
3 2
<
x
<
-1或1 <
x
<Байду номын сангаас
3 2
时
f
¢( x)
<
0
，
当 -1 < x < 1时 f ¢(x) > 0 ，
所以
f
(
x)
在
æ çè
-
3 2
,
-1ö÷ø
， æçè1,
3 2
ö ÷ø
上单调递减，在
( -1,1)
上单调递增，
所以
f
(
x)
在
x=-
1
处取得极小值，又
f
( -1)
=
-1 ，
f
æ çè
3 2
ì
( ) ï
a1
1- q2
( ) 所以
ï í ï
a1
1- q 1- q4
ï î
1- q
=1
ìïía1
=
1 3
，解得 ïî q = 2 ，
=5
所以
重庆市巴蜀中学高二数学下学期期中试题 文
高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题所给的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．命题“2,230x R x x ∀∈--≤”的否定是( )A ．2,230x R x x ∀∈-->B ．2,230x R x x ∃∈--≤C ．2,230x R x x ∃∈--≥D ．2,230x R x x ∃∈-->2．“2x >”是“240x ->”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，那么甲被选中的概率为( )A ．12B ．13C ．23D ．1 4．函数2(22)x y x e x =-≤≤的最大、最小值别离为( )A ．24,0eB ．2244,e eC ．24,0eD ．22,0e 5．函数()y f x =的导函数'()f x 图象如下图，那么下面判定正确的选项是( )A ．在(3,1)-上()f x 是增函数B ．在2x =处()f x 取极大值C ．1x =处()f x 有极大值D ．(1,3)上()f x 为减函数 6．已知命题:p 若0m >，那么关于x 的方程2x x m +-有实根，q 是p 的逆命题，下面结论正确的选项是( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 假q 真7．概念集合运算{|(),,}A B z z xy x y x A y B ⊗==+∈∈，设集合{0,1},{2,3}A B ==，那么集合A B ⊗的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．188．已知函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递减：那么知足2(23)(6)f x x f ++<的实数x 的取值范围为( ) A ．(,3)(1,)-∞+∞ B ．(3,1)- C ．(,3)-∞- D ．(1,)+∞9．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在1x =处的切线方程为21y x =+，则(1)'(1)f f +=( )A ．6B ．7C ．8D ．910．已知()f x ，()g x 都是概念在R 上的函数，并知足以下条件：(1)()3(),(0,1)x f x a g x a a =>≠；(2)()0g x ≠；(3)()'()'()()f x g x f x g x <。
2018-2019学年重庆市巴蜀中学校高二上学期期中数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年重庆市巴蜀中学校高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知复数20181izi=+，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】将20181izi=+进行化简，可得其在复平面所对应的点位于第几象限.【详解】解：由题意得：201821009()1(1)111=111(1)(1)222i i i iz ii i i i i----+=====-+ ++++-，可得z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及几何意义，需注意运算的准确性.2．双曲线221416y x-=的渐近线方程为（）A．12y x=±B．2y x=±C．14y x=±D．4y x=±【答案】A【解析】令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程. 【详解】解：令双曲线方程得右边为0，可得22416y x-=，可得12y x=±，即：双曲线221416y x-=的渐近线方程为12y x=±，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法.3．命题“R,x ∃∈使得210x x ++<”的否定是 ( ) A ．R,x ∀∈均有210x x ++< B ．R,x ∀∈均有210x x ++≥ C ．R,x ∃∈使得210x x ++≥ D ．R,x ∀∈均有210x x ++>【答案】B【解析】试题分析：存在性命题的否定是全称命题. 命题“R,x ∃∈使得210x x ++<”的否定是R,x ∀∈均有210x x ++≥，故选B . 【考点】导数的几何意义，直线方程.4．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．6D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的方程求出a ，再利用双曲线定义转化求解即可. 【详解】解：由双曲线22:1916x y E -=，可得3a =，由双曲线的性质可得：126PF PF -=，可得29PF =或23PF =-(舍去)，故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单性质，相对简单. 5．下列命题为真命题的是（ ） A ．命题“若a b >，则11a b<” B ．“若21x ≤，则1x ≤”的逆命题C ．“若12x x =，则12sin sin x x =”的逆否命题D ．“若1x =，则21x =”的否命题【答案】C【解析】当0a b >>时可判断A,写出B 选项的逆命题可得B 选项是否为真命题，易得C 选项为真命题，故其逆否命题也为真命题，写出D 选项的否命题可得D 选项是否为真命题. 【详解】解：A 、若0a b >>，则11a b>，故A 为假命题； B 、“若21x ≤，则1x ≤”的逆命题为“若1x ≤，，则21x ≤”，当1x <-时，命题不成立，故原命题的逆命题为假命题；C 、易得“若12x x =，则12sin sin x x =”为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C 正确；D 、“若1x =，则21x =”的否命题为“若1x ≠，则21x ≠”可得当1x =-时，21x =， 故原命题的否命题为假命题，D 不正确； 故选：C. 【点睛】本题主要考查四种命题真假性的判断，需对各个命题进行一一判断.6．以抛物线2y x =的焦点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的标准方程为（ ）A ．221144x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．22114x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．221144x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭D ．22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】求出抛物线的顶点坐标和焦点到准线的距离，确定圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】解：由题意：2y x =，可得12p =，焦点坐标为1(0,)4，焦点到准线的距离为12， 可得圆的标准方程为：221144x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题主要考查抛物线的性质及求圆的标准方程的求法，相对不难.7．设命题:p 直线:0l x y m -+=与圆22:(1)2C x y ++=有公共点；命题1:03m q m +<-，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由命题q p 、可得m 的取值范围，根据充分必要条件的知识进行判断，可得答案. 【详解】解：由题意：命题:p 直线:0l x y m -+=与圆22:(1)2C x y ++=有公共点，可得圆心到直线的距离≤13m -≤≤；命题1:03m q m +<-，可得13m -<<， 可得命题p 是命题q 的必要不充分条件， 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及充要条件的知识，需注意运算的准确性.8．已知命题:p 若方程22126x y m m+=-表示椭圆，则(0,6)m ∈；命题:q 函数2()24ln f x x x x =--在(0,2)上单调递减，则下列命题中是真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】A【解析】分别判断出命题p q 、的真假，一一判断各个选项可得答案, 【详解】解：由命题:p 若方程22126x ym m +=-表示椭圆，可得2m 06-m 02m 6-m⎧⎪⎨⎪≠⎩＞＞，可得(0,2)(2,6)m ∈⋃，故命题p 为假命题；由命题:q 函数2()24ln f x x x x =--，可得'1()22,()04f x x x x=--＞，令'()0f x =，可得121,2x x =-=，当(0,2)x ∈时，'()0f x ＜，故()f x 在(0,2)上单调递减，故命题q 为真命题，可得A:p q ∨ 为真命题；B 、C 、D 均为假命题， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、利用导数求函数的单调性及复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9．已知抛物线C ： 26y x =的焦点为F P ，为抛物线C 上任意一点，若132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则PM PF +的最小值是( )A ．112B ．6C ．72D ．92【答案】D【解析】Q 抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，PM PF PM P ∴+=+到准线的距离M ≤到准线的距离39322=+=． PM PF ∴+的最小值是92，故选D ．10．直线y =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，F为右焦点，O 为坐标原点，若BOC FOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B CD【答案】B【解析】由题意BOC FOC ∠=∠，可得o =60BOC FOC ∠=∠，可得C 点坐标()b ，代入双曲线方程可得ba得值，可得双曲线的离心率. 【详解】解：由题意得：Q BOC FOC ∠=∠，可得o =60BOC FOC ∠=∠，可得C 点坐标()b ，代入双曲线方程可得：222213b b a b -=，可得2b a =，故e == 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质及离心率的相关知识，相对不难.11．已知过抛物线28y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，以AF 为直径的圆过点(0,4)Q ，则|BF |的值为（ ）A ．52B ．92C ．109D ．10【答案】A【解析】设(,)A A A x y ,由题意可得AQ QF ⊥,1AQ QF k k ⋅=-，可得4(2)1A Ay x -⋅-=-，与抛物线联立可得A 点坐标，同时求出B 点坐标，可得|BF |的值. 【详解】解：由抛物线方程为：28y x =，可得28p =，4p =，可得焦点(2,0)F ，设(,)A A A x y ,由以AF 为直径的圆过点(0,4)Q ，可得AQ QF ⊥,1AQ QF k k ⋅=-可得4(2)1A Ay x -⋅-=-,同时由28A A y x =，可得(8,8)A ， 同时由24A B p x x ⋅=，2A B y y p ⋅=-，可得B 点坐标1(,2)2B -,可得5|BF |2==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及焦点弦的相关知识，属于中档题，注意其性质的灵活运用.12．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点()1212,x x x x <，则下列说法错误的是（ ） A ．10a e<< B ．122x x e +<C ．有极大值点0x ，且1202x x x +>D ．212x x e >【答案】B【解析】对()f x 求导，可得()f x 的极大值点，可得a 的取值范围，可判断A 选项，同时构造函数2()()()g x f x f x a =--，其中1(0,]x a ∈，可得1()0g a=，可得()g x 的单调性，可判断B 、C 选项，利用C 的结论，可得11ax x e=，22ax x e=，2112()12ax ax a x x x x e e e +==，可判断D 选项，可得答案.【详解】解：由()ln f x x ax =-，可得'10(),()f x a x x=-＞， 当0a ≤时，'()0f x ＞，∴()f x 在0x ＞上单调递增，与题意不符； 当0a ＞时，可得当'1()0,f x a x=-=解得：1x a =，可得当1(0,)x a∈时，'()0f x ＞，当1(,)x a ∈+∞时，'()0f x ＜，可得当1x a=时，()f x 取得极大值点，且由函数()ln f x x ax =-有两个零点()1212,x x x x <，可得11()ln10f a a =-＞，可得1a e＜，综合可得：10a e <<，故A 正确；由A 可得得()f x 的极大值为1()f a，设1210x x a＜＜＜，设2()()()g x f x f x a =--，其中1(0,]x a ∈，可得1()0g a=，可得221()()(),(0,]g x In x a x Inx ax x a a a=----+∈，可得'21121()(1)222,(0,]222a a g x a a a x ax x ax x ax x a=⨯--+=-+=+∈---， 易得当1x a =时候，'()0g x =，当1(0,]x a∈，'()0g x ≤， 故1(0,]x a∈，1(0)()g In g ax =＞，故112()()0f x f x a --＞，1122()()()f x f x f x a-=＞，由1(0,]x a ∈，易得121x a a -＞，且1210x x a＜＜＜， 且1(,)x a ∈+∞时，'()0f x ＜，()f x 单调递减，故由1122()()()f x f x f x a-=＞，可得122x x a -＜，即122x x a +＜，即：有极大值点01x a =，且12022x x x a+>=，故C 正确，B 不正确；由函数()ln f x x ax =-有两个零点()1212,x x x x <，可得11ln x ax =，22ln x ax =， 可得11ax x e=，22ax x e=，可得2112()12ax ax a x x x x ee e +==，由前面可得，12022x x x a+>=，可得12()2122a x x a a x e e e x ⨯+=>=，故D 正确， 故选:C. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性及极值的问题，也考查了极值点偏移的相关知识，属于难题.二、填空题13．抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为2，则点M 的横坐标为__________. 【答案】74【解析】根据抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标. 【详解】解：易得抛物线2y x =的准线方程为14x =-，由抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为2，且抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得点M 的横坐标为：17244-=， 故答案为：74. 【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质，即抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，相对简单.14．若复数()()22223z m m m m i =--+--为纯虚数，则|4|z +=________. 【答案】5【解析】根据复数()()22223z m m m m i =--+--为纯虚数，可得m 的值，代入可得|4|z +的值. 【详解】解：由题意：复数()()22223z m m m m i =--+--为纯虚数，可得2220230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得：2m =，可得3z i =-，则|4||43|5z i +=+==， 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查纯虚数的概念及复数的模，相对简单.15．设12,F F 是椭圆221259x y +=的焦点，P 是椭圆上的一点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则12PF F △的内切圆面积为__________. 【答案】π【解析】由120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，可得1PF 与2PF 得夹角为2π，由椭圆焦点三角形面积公式可得12PF F S V 得大小，设12PF F △的内切圆得半径为r ，可得1212121()2PF F PF PF F F r =++⨯△S ，可得r 的值，可得答案.【详解】解：由椭圆方程为221259x y +=，可得5,3,4a b c ===，12F F =8,设1PF 与2PF 得夹角为θ，由120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，可得2πθ=，24θπ=，由椭圆焦点三角形面积公式可得：122tan 92PF F b θ=⨯=△S ，设12PF F △的内切圆得半径为r ， 可得12121211()(108)922PF F PF PF F F r r =++⨯=⨯+⨯=△S ，可得1r =， 故12PF F △的内切圆面积为π， 故答案为：π. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，及椭圆焦点三角形的面积公式，属于中档题.16．已知12,F F 是双曲线22221(,0)x ya b a b-=>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点,A B .若2ABF V 是以2AF 为底边的等腰三角形，且21cos 9ABF ∠=，则双曲线的离心率为________.【答案】3【解析】设2BF x =，在2ABF ∆中，由题意及余弦定理可得3x a =，再在12BF F ∆中，利用余弦定理可得离心率的值. 【详解】解：由题意得：2ABF V 是以2AF 为底边的等腰三角形，设2BF x =，则2AB BF x ==,由双曲线定义可知，12BF a x =+，则12AF a =,212AF AF a -=24AF a =,在2ABF ∆中，AB x =，2BF x =，21cos 9ABF ∠=，24AF a =， 由余弦定理可得：222222cos 2AF AB BF A A B BF BF =+-∠⨯⨯⨯, 可得：22211629a x x x x =+-⋅⋅⋅，可得3x a =， 在12BF F ∆中，125BF a x a =+=，23BF x a ==，122F F c =，21cos 9ABF ∠=， 由余弦定理可得：2221(2)(5)(3)2539c a a a a =+-⨯⨯⨯，化简可得：229243c a =，可得3c a =，. 【点睛】本题主要考查双曲线基本性质及离心率的相关知识，属于中档题，需注意余弦定理的灵活运用.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为0x y -=；以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+. （1）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，求||AB .【答案】（1）1C ：()4R πθρ=∈，2C ：22(1)(2)5x y -+-=；（2）||AB =【解析】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y -=，可得曲线1C 极坐标方程， 同理将2cos 4sin ρθθ=+等式两边乘以ρ，可将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立1C 与2C 的直角坐标方程，可得,A B 两点的坐标，可得||AB 的值. 【详解】解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y -=，可得曲线1C 的方程变换为cos sin 0ρθρθ-=，化简为()4R πθρ=∈；同理：曲线2C 变换可得直角坐标方程为2224x y x y +=+， 化简可得：22(1)(2)5x y -+-=.（2）联立1C ：0x y -=与2C ：22(1)(2)5x y -+-=，可得：230x x -=，即：(0,0),(3,3)A B ，所以||AB =. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系，相对简单.18．在平面直角坐标系xOy 中，设直线1:x tl y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的坐标为(1,0)，且直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（1）l ：1y x =-，C ：2244x y +=；（2）65【解析】（1）直线l 与曲线C 消去参数可得直角坐标方程可得答案；（2）将直线l 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程由韦达定理得A B t t ⋅及A B t t +的值，可得||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（1）直线l 与直角坐标方程：1y x =-； 同理：由曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩消去参数2244x y +=；（2）将直线l 的参数方程代入1:x t l y t=+⎧⎨=⎩椭圆的直角坐标方程2244x y +=可得：25230t t +-=；由韦达定理得43,55A B A B t t t t +=-⋅=-，∵0P t =.∴36||||2255A B A B PA PB t t ⋅===⨯=【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，及直线的参数方程的应用，需灵活运用各性质解题，属于中档题.19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与斜率为2的直线l 相交于,A B 两点，且AB 中点Q 的纵坐标为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若Q 到抛物线C 的准线的距离为4，求AOB V 的面积.【答案】（1）28y x =；（2）【解析】（1）由点差法或联立直线与抛物线方程，可得p 的值，可得答案； （2）由（1）抛物线C 的准线方程及Q 坐标，联立直线与抛物线，由韦达定理可得1212,y y y y +的值，代入三角形面积计算公式可得答案.【详解】解：（1）设()()1122,,,A x y B x y .法一：由点差法可得：2211222,2y px y px ==，1212122y y y y p x x -+⨯=-,可得224p =⨯=∴抛物线C 的方程为28y x =.法二：设直线:2l y x b =+，与抛物线联立得20y py bp -+=.∴12224y y p +==⨯=.∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）由（1）知，抛物线C 的准线方程为2x =-，故Q 坐标为(2,2). ∴直线l 的方程为：22y x =-，与x 轴的交点为(1,0).与抛物线联立得2480y y --=，所以12124,8y y y y +==-.∴12112AOB S y y =⨯⨯-==△.【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质及直线与抛物线的位置关系，相对不难，注意其性质的灵活运用及运算准确.20．设O 为坐标原点，动点M 在圆：221x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满2NP NM =u u u r u u u u r.（1）求点P 所在曲线E 的方程；（2）设直线0y y =与曲线E 相交于不同的两点,A B ，当点P 为曲线E 的上顶点时，求PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）2214y x +=；（2）15- 【解析】（1）设点(,)P x y ，则(,0)N x ，(0,)NP y =u u u r ，根据2NP NM =u u u r u u u u r，可得M 的坐标，代入圆的方程可得点P 所在曲线E 的方程；（2）设()()0000,,,A x y B x y -，其中0(2,2)y ∈-，将PA PB u u u r u u u r与用00,x y 表示，可得PA PB ⋅u u u r u u u r 关于0y 的表达式，由0(2,2)y ∈-，可得PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值. 【详解】解：（1）设点(,)P x y ，则(,0)N x ，(0,)NP y =u u u r，10,22y NM NP ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，∴,2y M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆上，代入有2214y x +=，即为点P 所在曲线E 的方程.（2）由椭圆的对称性可知，设()()0000,,,A x y B x y -，其中0(2,2)y ∈-，∵(0,2)P ，∴()()0000,2,,2PA x y PB x y =-=--u u u r u u u r.∴()()222222000000055812124344455y PA PB x y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=--+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎭⎝u u u r u u u r . 当085y =时，PA PB ⋅u u u r u u u r 取得最小值15-. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，注意灵活运用各性质解题，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A -，,M N 为椭圆的左、右项点，且满足13AM AN k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点,M N 设MN 中点为B ，若AB MN ⊥，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2213x y +=；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意可得1b =，同时可得(,0),(,0)M a N a -，由13AM AN k k ⋅=-，代入可得a 的值，可得椭圆C 的方程；（2）联立椭圆C 与直线，可得0>V ，设()11,M x y ，()22,N x y ，可得12x x +，12x x ，的值，代入直线可得12y y +的值，由AB MN ⊥，1AB MN k k ⨯=-，列出关于m 的不等式，可得m 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意，得1b =，由(,0),(,0)M a N a -得，211113AM AN k k a a a ⋅=⋅=-=--，解得23a =， 所以所求椭圆的方程为2213x y +=.（2）联立椭圆C 与直线可得：22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 有()222316330k x kmx m +++-=，由0>V ，得2231k m >-.设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631km x x k -+=+，21223331m x x k -=+， ∴212226223131k m m y y m k k -+=+=++，得到223,3131km m B k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ∵AB MN ⊥，∴23113AB MNm k k k k km++⨯=⨯=--，得到2231m k =+，∵k ∈R ，且0k ≠，∴222131m k m -=>-，得02m <<， ∵22311m k =+>，∴12m >. ∴实数m 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，联立方程是解题的关键.22．已知函数()1,()ln ()x f x e x e g x a x a R =--+=∈，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数()f x 的单调区间和最值；（2）当[1,)x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，最小值(0)2f e =-，无最大值；（2）(,1]a e ∈-∞-【解析】（1）对函数()f x 求导，令()0f x '=及求出()0f x '>时x 的取值范围，可得()f x 的单调区间，及()f x 的最值；（2）设()()()h x f x g x =-，即证[1,)x ∈+∞时，()0h x ≥恒成立，对()h x 求导，分0a ≤与0a >进行讨论，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，()f x 的定义域为R ，()0100xf x e x '>⇒->⇒>，∴()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. ∴()f x 在0x =时取得最小值(0)2f e =-，无最大值.（2）设()()()ln 1xh x f x g x e a x x e =-=---+，即证[1,)x ∈+∞时，()0h x ≥恒成立.【法一】()1x a h x e x'=-- ①0a ≤时，()0h x '>恒成立，故()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增，∴()(1)0h x h ≥=恒成立，符合题意. ②0a >时，2()0xah x e x''=+>恒成立，故()h x '在[1,)x ∈+∞上单调递增，有()(1)1h x h e a ''≥=--.ⅰ.(1)0h '≥即01a e <≤-时，此时()0h x '≥恒成立，故()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增，∴()(1)0h x h ≥=恒成立，符合题意.ⅱ.(1)0h '<即1a e >-时，0(1,)x ∃∈+∞，使得()00h x '=，此时()h x 在()01,x 单调递减，()0,x +∞单调递增.∴()0(1)0h x h <=，不满足题意，舍去. 综上所述，(,1]a e ∈-∞-. 【法二】由()ln 1xh x e a x x e =---+，发现(1)0h =，故[1,)x ∈+∞时，()0h x ≥恒成立的必要条件是(1)0h '≥. 而()1x ah x e x'=--，(1)10h e a '=--≥，即1a e -≤ ①0a ≤时，(0)0h '>恒成立，故()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增，∴()(1)0h x h ≥=恒成立，符合题意.②01a e <≤-时，在1x ≥时，10ae a x-≤-≤-<，x e e ≥，知()(1)10h x e e '≥+--=.故()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增，()(1)0h x h ≥=恒成立，符合题意. 综上所述，(,1]a e ∈-∞-. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式恒成立等知识，考查学生综合分析能力各解决问题的能力及分类讨论思想、转化与划归的思想等.。
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高二数学上学期期中复习试题
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……巴中2018-2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 错误！未找到引用源。
的取值范围是（ ）此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n -B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +11．[2018·江南十校]已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩，z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[],x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤12．[2018·盘锦市高级中学]已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若()2b a ac =+，则()2sin sin A B A -的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．12⎛ ⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．14．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 15．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．16．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．18．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．19．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若b =，4a c +=，求a ，c 的值．20．（12分）[2018·阳朔中学]若x，y满足1030350x yx yx y-+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y=+的最小值；（2）22z x y=+的范围；（3）y xzx+=的最大值．21．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABCBD=，△中，BC边上的中线AD长为3，且2sin B=．（1）求sin BAD∠的值；（2）求cos ADC△外接圆的面积．∠及ABC22．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a -=>=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意；当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos 13a c ==，故选B ．7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=， 解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．11．【答案】B【解析】作出02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩表示的平面区域（如图所示），显然z xy =的最小值为0，当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，231312222x z xy x x x ⎛⎫==-=-+≤ ⎪⎝⎭；当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，()2932238z xy x x x x ==-=-+≤； 即0a =，98b =；当0x =时，不等式2110x kx -+=≥恒成立，若210x kx -+≥对90,8x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则1k x x ≤+在90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，又1x x +在(]0,1单调递减，在91,8⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2k ≤．12．【答案】C【解析】因为()2b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=， 由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()πC A B =-+，所以()sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即()sin sin A B A =-， 因为三角形是锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π02B A <-<，所以A B A =-或πA B A +-=，所以2B A =或πB =（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以π02A <<，π022A <<，π0π32A <-<， 所以ππ64A <<，则()2sin 1sin sin 2A A B A ⎛=∈ -⎝⎭，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 14．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 15．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b = 16．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b -=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 19．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 20．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离d==33,22D⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB上，故22OD z OC≤≤，即9,252z⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）目标函数1yzx=+，记ykx=．则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即max2k=，即maxmax3y xzx+⎛⎫==⎪⎝⎭．21．【答案】（1（2）1cos4ADC∠=-，128π27S=．【解析】（1）在ABD△中，2BD=，sin B，3AD=，∴由正弦定理sin sinBD ADBAD B=∠，得2sin8sin3BD BBADAD∠==．（2）sin B=，cos B∴=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠=()1cos cos4ADC B BAD∴∠=∠+∠==-，D为BC中点，2DC BD∴==，∴在ACD△中，由余弦定理得：2222cos94316AC AD DC AD DC ADC=+-⋅∠=++=，4AC∴=．设ABC△外接圆的半径为R，2sinACRB∴==，R∴=ABC∴△外接圆的面积2128ππ27S=⋅=⎝⎭．22．【答案】（1）()12n na n=∈*N；（2）1nn+．【解析】（1）当2n=时，由121n nS S-=+及112a=，得2121S S=+，即121221a a a+=+，解得214a=．又由121n nS S-=+，①，可知121n nS S+=+，②②-①得12n na a+=，即()1122n na a n+=≥．且1n=时，2112aa=适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
重庆市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
重庆市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i2．若向量=（1，2），=（3，4），则||=（ ）A ．2B ．4C ．2D ．23．设全集U=R ，集合A={x|x ﹣1＞0}，B={x|﹣x 2+2x≤0}，则A∩（C U B}=（ ）A ．{x|0＜x≤1}B ．{x|1≤x＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|1＜x≤1}4．若0＜x ＜y ＜1，则（ ）A ．3y ＜3xB ．x 3＞y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．（）x ＜（）y5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x+1C ．D ．y=1766．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”7．设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．19．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积（）A ．0.18B ．0.16C ．0.15D ．110．设f （x ）=，则f[f （）]=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应横线上.11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 ．12．函数f （x ）=lg （2﹣x ）+的定义域是 ．13．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2= ．14．已知=2，=3，=4，…=7…（m ，n 都是正整数，且m ，n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则m ﹣n= ．15．若a 是复数z 1=的实部，b 是复数z 2=（1﹣i ）3的虚部，则ab 等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知，，其中=（1，0），=（0，1），计算，|+|的值．17．已知复数，试求实数a分别为什么值时，z分别为（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．18．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC19．已知f（x）=log（a＞0，a≠1），a（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）单调性并用定义证明．20．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．21．某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量为，已知该商品成本为每件25元．（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；重庆市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则答案可求．【解答】解： =，则复数的虚部为﹣1．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．若向量=（1，2），=（3，4），则||=（ ）A ．2B ．4C ．2D ．2 【考点】向量的模；平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵ ==（3，4）﹣（﹣1，﹣2）=（4，6），∴||==．故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题．3．设全集U=R ，集合A={x|x ﹣1＞0}，B={x|﹣x 2+2x≤0}，则A∩（C U B}=（ ）A ．{x|0＜x≤1}B ．{x|1≤x＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|1＜x≤1} 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合A ，B 的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x ﹣1＞0|}={x|x ＞1}，B={x|﹣x 2+2x≤0}={x|x≥2或x≤0}，则C U B={x|0＜x ＜2}， 则A∩（C U B}={x|1＜x ＜2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4．若0＜x ＜y ＜1，则（ ）A ．3y ＜3xB ．x 3＞y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．（）x ＜（）y 【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵0＜x ＜y ＜1，∴3y ＞3x ，x 3＜y 3，log 4x ＜log 4y ，．故选：C ．【点评】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x+1C ．D ．y=176 【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x 适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是（176，176），根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C．【点评】本题考查线性回归方程的写法，一般情况下要利用最小二乘法求出线性回归方程，本题是一个选择题目，有它特殊的解法，即把样本中心点代入检验，也不是所有的选择题都能这样做．6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题．【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选A．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．7．设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】根据复合命题与简单命题之间真假之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据复合命题真值表，知：pq或为假命题，知命题p和命题q同时都是假命题，非p是真命题．故满足充分性；若非p是真命题．命题p为假命题，若命题q为真命题，则命题p或q是真命题，故不满足必要性．故选：A．【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．【点评】本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积（）A．0.18 B．0.16 C．0.15 D．1【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的意义，豆子落在阴影部分的概率阴影部分的面积与正方形的面积比等于落在阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计，解得S=0.18；故选A．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基．10．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．先求f（），再求f[f（）]，由内而外．【解答】解：f（）=，，即f[f（）]=故选B【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应横线上.11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是， ∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．12．函数f （x ）=lg （2﹣x ）+的定义域是 [1，2） ．【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：函数定义域要满足，即，解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1，2），故答案为：[1，2）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2=．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】图表型．【分析】先读出表格中投中的次数，再根据平均数与方差的计算公式S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n﹣）2]计算即可．【解答】解析：甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差．故填：．【点评】本题考查平均数与方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．已知=2，=3，=4，…=7…（m ，n 都是正整数，且m ，n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则m ﹣n= 41 ．【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中的式子=2，=3，=4，…分析等式两边式子和数的变化规律，求出m ，n 的值，进而可得答案． 【解答】解：由已知中：=2，=3，=4，…，等式左右两边均为二次根式，左边的被开方数是两项的和，一项为n+1，另一项是分式，分子为n+1，分母为（n+1）2﹣1， 左边的被开方数是分式，分子为n+1，分母为（n+1）2﹣1，故=7中，m=48，n=7，故m ﹣n=41， 故答案为：41【点评】此题重点考查了准确由图抽取信息考查了学生的观察能力，根据已知分析式子两边数的变化规律是解答的关键．15．若a 是复数z 1=的实部，b 是复数z 2=（1﹣i ）3的虚部，则ab 等于．【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数代数形式的加减乘除运算法则分别化简z 1、z 2，整理出实部和虚部求出a 、b 的值，即可求出ab ．【解答】解：由题意知，z 1====，∴a=，∵z 2=（1﹣i ）3=﹣2i （1﹣i ）=﹣2﹣2i ，∴b=﹣2，∴ab=，故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知，，其中=（1，0），=（0，1），计算，|+|的值．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】首先将，用坐标表示，然后进行数量积和模的坐标运算．【解答】解：由已知，，其中=（1，0），=（0，1），所以=（1，﹣1），=（4，3），所以=1×4﹣1×3=1；=（5，2），|+|=．【点评】本题考查了平面向量的加减法、数量积的坐标运算；属于基础题．17．已知复数，试求实数a分别为什么值时，z分别为：（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）复数的虚部为0，复数是实数，求出a的值即可；（Ⅱ）复数的虚部不为0，复数是虚数，求出a的值即可；（Ⅲ）复数的实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当z为实数时，则∴a=﹣1或a=6，且a≠﹣1，∴当a=6时，z为实数．（5分）（Ⅱ）当z为虚数时，则∴a≠﹣1且a≠6，z为虚数．（10分）（Ⅲ）当z为纯虚数时，则∴a=1，z为纯虚数．（14分）【点评】本题考查复数的基本概念，注意复数实部的分母不为0是解题的易错点．18．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（I）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k=﹣，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；（II ）由两点的距离公式，算出，结合S △ABC =7得到点A 到BC 的距离等于，由此建立关于m 、n 的方程组，解之即可得到m ，n 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵B （2，1），C （﹣2，3）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）可得直线BC 方程为化简，得BC 边所在直线方程为x+2y ﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由题意，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由点到直线的距离公式，得，化简得m+2n=11或m+2n=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得m=3，n=4或m=﹣3，n=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题给出三角形ABC 的顶点BC 的坐标，求直线BC 的方程并在已知面积的情况下求点A 的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．19．已知f （x ）=log a（a ＞0，a≠1），（1）求f （x ）的定义域； （2）判断f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）单调性并用定义证明．【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由＞0，求得﹣1＜x ＜1，由此求得函数的定义域．（2）由于f （﹣x ）=log a =﹣log a=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数．（3）设g （x ）=，则f （x ）=log a f （x ），先由函数的单调性的定义证明g （x ）在x ∈（﹣1，1）为递增函数，再根据复合函数的单调性规律求得f （x ）的单调性．【解答】解：（1）∵＞0，∴﹣1＜x ＜1，故定义域为（﹣1，1）．…（3分）（2）∵f （﹣x ）=log a=log a （）﹣1=﹣log a=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．…（6分）（3）设g （x ）=，则f （x ）=log a f （x ），取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则g （x 1）﹣g （x 2）=﹣=＜0 ∴g （x ）在x ∈（﹣1，1）为递增函数，…（8分）∴a ＞1时，f （x ）为递增函数，0＜a ＜1时，f （x ）为递减函数…（10分）【点评】本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．20．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：分组 频数 频率 （0，30]30.03 （30，60] 3 0.03 （60，90] 37 0.37 （90，120] m n （120，150] 15 0.15 合计MN（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．【考点】频率分布直方图；频率分布表．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）根据频率公式，结合表中第一组数据的频率算出总数M．再用减法可得第五组的频数m，由此可算出第五组的频率n的值，而N是各组的频率之和，显然为1．（II）90分以上的人有两组，分别是第五、六两组，算出它们的频率之和为0.57，由此不难估算出这次测试中我区成绩在90分以上的人数．（III）根据题意，列出从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有15种，而分数不超过30分的结果有3种，再结合等可能事件的概率公式，可得要求的概率．【解答】解：（I）由频率分布表，得总数，…（1分）所以m=100﹣（3+3+37+15）=42，…（2分）得第四组的频率，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…（3分）所求的频率分布直方图如右图所示…（5分）（Ⅱ）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，∴全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…（7分）（III）设考试成绩在（0，30]内的3人分别为A、B、C；考试成绩在（30，60]内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有15个．…（10分）设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D．则事件D含有3个结果：（A，B），（A，C），（B，C）…（11分）∴被选中2人分数不超过30分的概率为．…（13分）【点评】本题给出频率分布表，要我们计算其中的频率和频数，并算出被选中2人分数不超过30分的概率．着重考查了频率分布直方图的认识和等可能性事件的概率等知识，属于基础题．21．某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量为，已知该商品成本为每件25元．（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据题意写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）根据分段函数，求该商品第7天的利润；（Ⅲ）利用函数的性质，求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）当x=7时，t=（56﹣7）×（48﹣7）﹣25×（48﹣7）=984元﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）设该商品的利润为H（x），则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（x）=H（6）=1050当1≤x≤6时，Hmax（x）=H（7）=984当6＜x≤8时，Hmax当8＜x≤20时，H（x）=H（9）=902max∴第6天利润最大，最大利润为1050元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查函数的应用，根据题意列出分段函数，然后利用分段函数研究函数的性质．。
2017-2018学年重庆市高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年重庆市高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A为（）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁UA．{1，3，4} B．{4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．整数是自然数，由于﹣3是整数，所以﹣3是自然数，则有（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理正确 D．推理形式错误3．“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件4．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞05．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在区间[0，1]上随机取一个数x，使y=3x﹣1的值介于1与2之间的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）16 B．256 C．16 D．4A．log38．函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）9．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．10B ．15C ．20D ．3010．过点P （0，1）与圆（x ﹣1）2+y 2=4相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）A ．x+y ﹣1=0B ．x ﹣y+1=0C ．x=0D ．y=111．已知对k ∈R ，直线y ﹣kx ﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．[1，5）∪（5，+∞）D ．[1，5）12．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．[2，+∞）C ．（0，2]D ．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.）13．小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟．要完成这些事情，小明要花费的最少时间为 ．14．复数z=的共轭复数是 ．15．已知映射f 1：A→B，其中A=B=R ，对应法则f 1：x→y=x 2﹣2x+2；若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k的取值范围是 ．16．设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c ，若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为，则P 到曲线y=f （x ）的对称轴的距离的取值范围为 ．三．解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3．（1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．18．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： =， =﹣）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC；（Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．20．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a＞0）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在x∈[，e]上的最小值．21．椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2（1，0）的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q （M 、Q 不重合），求证：直线MQ 过x 轴上一个定点．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的参数方程为：（θ为参数），直线l 的参数方程为：（t 为参数），点P （2，1），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣3|．（1）请写出函数f （x ）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f （x ）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x ﹣3|≥a+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．2017-2018学年重庆市高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A为（）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁UA．{1，3，4} B．{4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】并集及其运算．【分析】由已知中全集和集合A，结合补集运算的定义，可直接得到答案．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁A={4，5}U故选：B2．整数是自然数，由于﹣3是整数，所以﹣3是自然数，则有（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理正确 D．推理形式错误【考点】演绎推理的意义．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的分类，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“整数是自然数”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“整数是自然数”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选：A3．“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：解不等式x2﹣2x＞0得x＞2或x＜0，则x＞3⇒x2﹣2x＞0，而x2﹣2x＞0时，x＞3不成立0．故“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的充分不必要条件．故选A．4．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．5．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．6．在区间[0，1]上随机取一个数x，使y=3x﹣1的值介于1与2之间的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出y=3x﹣1的值介于1与2之间的值对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：y=3x﹣1的值介于1与2之间，即1＜3x﹣1＜2，解得：，y=3x﹣1的值介于1与2之间的对应的x的长度为1﹣．，故y=3x﹣1的值介于1与2之间的概率是．故选C．7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A．log16 B．256 C．16 D．43【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：B8．函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＜0，f（10）＞0，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选D．9．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，∵底面面积S=×4×3=6，高h=5，故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=20，故选：C10．过点P（0，1）与圆（x﹣1）2+y2=4相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x﹣y+1=0 C．x=0 D．y=1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】最长的弦是直径，根据圆的方程可得圆心坐标，再根据直线过点P（0，1），由截距式求得最长弦所在的直线方程．【解答】解：最长的弦是直径，根据圆的方程（x﹣1）2+y2=4可得圆心坐标为（1，0），再根据直线过点P（0，1），由截距式求得最长弦所在的直线方程为+=1，x+y﹣1=0，故选：A．11．已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，5）C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）【考点】椭圆的简单性质；恒过定点的直线．【分析】要使直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），需点（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围．【解答】解：直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，≤1且m＞0，得m≥1，而根据椭圆的方程中有m≠5，故m的范围是[1，5）∪（5，+∞），故本题应选C．12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2] D．【考点】函数单调性的性质．【分析】2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．【解答】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选A二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.）13．小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟．要完成这些事情，小明要花费的最少时间为 ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据统筹安排可得小明在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播最节省时间，进而得到答案．【解答】解：由题意可知在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为4+5+8=17分钟．故答案为：17分钟．14．复数z=的共轭复数是 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可．【解答】解：z====﹣1+i∴复数z=的共轭复数是﹣1﹣i 故答案为：﹣1﹣i15．已知映射f 1：A→B，其中A=B=R ，对应法则f 1：x→y=x 2﹣2x+2；若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k的取值范围是 ．【考点】映射．【分析】由题意可知，函数y=x 2﹣2x+2（x ∈R ）的值域是集合B 的子集，因而所求的范围是该函数的值域在R 中的补集．【解答】解：y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2≥1，∴该函数的值域C=[1，+∞），又∵对于映射f 1：A→B，其中A=B=R ，对应法则f 1：x→y=x 2﹣2x+2而言，C ⊆R ，∴若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，∴k ∈∁R C=（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）16．设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c ，若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为，则P 到曲线y=f （x ）的对称轴的距离的取值范围为 ．【考点】二次函数的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．【分析】由已知得f （x ）开口向上，对称轴x=，再由点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，到得切线的斜率的取值范围，所以x 0一定在x=的右侧，得到0≤2ax 0+b ≤1，最后建P 到对称轴距离模型求解．【解答】解：∵a ＞0，则f （x ）开口向上，对称轴x=∵点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，] ∴切线的斜率的取值范围为[0，1]x 0一定在x=的右侧切线的斜率=f'（x 0）=2ax 0+b∴0≤2ax 0+b ≤1∴P 到对称轴距离=x 0﹣（）=∴P 到对称轴距离的取值范围为：[0，]故答案为：[0，]三．解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3．（1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y 和y′=0中得到两个关于a 、b 的方程，求出a 、b 即可；（2）令y′=0得到x 的取值利用x 的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．【解答】解：（1）y′=3ax 2+2bx ，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，即（2）y=﹣6x 3+9x 2，y′=﹣18x 2+18x ，令y′=0，得x=0，或x=1当x ＞1或x ＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x ＜1时，y′＞0，函数单调递增．∴y 极小值=y|x=0=0．18．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式： =， =﹣）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x 2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由表中数据计算、，求出、，即可写出回归直线方程；（Ⅱ）写出利润函数z=y﹣w，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得， =×（2+4+6+8+10）=6，=×（16+13+9.5+7+4.5）=10，由最小二乘法求得==﹣1.45，=10﹣（﹣1.45）×6=18.7，所以y关于x的回归直线方程为y=﹣1.45x+18.7；（Ⅱ）根据题意，利润函数为z=y﹣w=（﹣1.45x+18.7）﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）=﹣0.05x2+0.3x+1.5，所以，当x=﹣=3时，二次函数z取得最大值；即预测x=3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC；（Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明四边形AMND为平行四边形，可得AD∥MN，利用线面平行的判定定理证明：AD∥平面BEC；（Ⅱ）利用VE﹣ABC =VA﹣BEC，求点E到平面ABCD的距离．【解答】（Ⅰ）证明：分别取BE，CE中点M，N，连接AM，MN，DN，由已知可得△ABE，△DCE均为腰长为4的等腰直角三角形，所以AM⊥BE，且AM=2．又∵平面ABE⊥平面BCE，且交线为BE，∴AM⊥平面BEC，同理可得：DN⊥平面BEC，且DN=2．∴AM∥DN，且AM=DN，∴四边形AMND为平行四边形．∴AD∥MN，又∵MN⊂平面BEC，AD⊄平面BEC，∴AD∥平面BEC．…（Ⅱ）解：点E到平面ABC的距离，也就是三棱锥E﹣ABC的高h．连接AC ，MC ，在Rt △EMC 中有MC==2，在Rt △AMC 中有AC==4．可得AC 2+AB 2=BC 2，所以△ABC 是直角三角形．由V E ﹣ABC =V A ﹣BEC 得•AB•AC•h=•BE•EC•AM，可知h=．∴点E 到平面ABC 的距离为．…20．已知函数f （x ）=+lnx ﹣1（a ＞0）．（1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）求f （x ）在x ∈[，e]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）通过a=1，求出函数的导数，令导数大于0，小于0，即可求函数f （x ）的单调区间；（2）通过，，e ≤a 判断导函数的单调性，然后求f （x ）在x ∈[，e]上的最小值．【解答】（本题满分，第（1）问，第（2）问7分）解：（1）…x ∈（0，1）时，f′（x ）＜0，则f （x ）在 （0，1）上单调递减，x ∈[1，+∞）时，f′（x ）≥0，则f （x ）在[1，+∞）上单调递增；…（2）…①当时，f'（x ）≥0，f （x ）在单调递增，，…②当时，f （x ）在上递减，（a ，e]上单调递增，f （x ）min =f （a ）=lna ，…③当e ≤a 时，f'（x ）≤0，f （x ）在单调递减，．…21．椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2（1，0）的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q （M 、Q 不重合），求证：直线MQ 过x 轴上一个定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率与焦距，求出a ，c ，得到b ，即可求出椭圆C 的方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），Q （x 2，﹣y 2），l ：y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合MQ的方程为，令y=0，化简求解可得x=2，说明直线MQ 过x 轴上一个定点．【解答】（本题满分，第（1）问，第（2）问9分）解：（1），所以椭圆的方程为；…（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），Q （x 2，﹣y 2），l ：y=k （x ﹣1），代入整理得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，由韦达定理可得：，，…MQ 的方程为令y=0，得代入，，x===2．得x=2，所以直线过定点（2，0）…请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的参数方程为：（θ为参数），直线l 的参数方程为：（t 为参数），点P （2，1），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C 的参数方程为：（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1可得：曲线C 的标准方程．直线l 的参数方程为：（t 为参数），消去参数t 可得：直线l 的标准方程．（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：（t 为参数），代入椭圆方程，利用|PA||PB|=|t 1t 2|即可得出．【解答】解：（1）由曲线C 的参数方程为：（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1可得：曲线C 的标准方程为： +y 2=1，直线l 的参数方程为：（t 为参数），消去参数t 可得：直线l 的标准方程为： y ﹣2+=0．（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：（t 为参数），代入椭圆方程得：5t 2+8t+16=0，∴|PA||PB|=|t 1t 2|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣3|．（1）请写出函数f （x ）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f （x ）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x ﹣3|≥a+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据绝对值的应用进行表示即可．（2）根据绝对值的应用求出|x+1|+|x﹣3|的最小值，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）=…函数f（x）的图象如图所示．（2）由（1）知f（x）的最小值是4，所以要使不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+恒成立，有4≥a+，…若a＜0，则不等式恒成立，若a＞0，则不等式等价为a2﹣4a+1≤0，得2﹣≤a≤2+，综上实数a的取值范围是a＜0或2﹣≤a≤2+…。
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．2(1)1i i+=-（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可. 【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i ii i i i i i i +++====+=-+---+. 故选：C . 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．三个正整数x ，y ，z 满足条件: x y >，y z >，3xz >，若5z =，则y 的最大值是（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y 的最大值. 【详解】由不等式的性质结合题意有：,5,53x x y y >>>， 即,5,15.15x y y x y x >><∴<<， 由于,,x y z 都是正整数，故y 的最大值是13. 故选：B . 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率. 【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．4．设n 个数据1x ，2x ，L ，n x 的平均数为x ，则其方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L .若数据1a ，2a ，3a ，4a ，的方差为3，则数据121a +，221a +，321a +，421a +的方差是（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】由题意结合方差的性质求解数据121a +，221a +，321a +，421a +的方差即可. 【详解】由题意结合方差的性质可得数据121a +，221a +，321a +，421a +的方差为：22312⨯=.故选：D . 【点睛】本题主要考查方差的性质及其应用，属于基础题.5．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱CD 的中点，若2AB =，则点B 到平面1A AE 的距离是（ ） A 5B ．455C ．355D ．55【答案】B【解析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可. 【详解】设点B 到平面1A AE 的距离为h ，由等体积法可知：11B A AE A ABE V V --=， 即111133A AE ABE S S AA h ⨯⋅⨯⋅=△△，1111252223232h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得：4h 55=. 【点睛】本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是（ ） A ．112 B ．128C ．145D ．167【答案】D【解析】由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数. 【详解】由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：83564178487167.1216787587236835625⨯=≈≈++.故选：D . 【点睛】本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.7．某四棱锥的三视图如图所示，在四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是（ ）A 2B ．22C ．2D ．3【答案】D【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其几个侧面积中的最大值即可. 【详解】如图所示，三视图对应的几何体为图中的四棱锥1A ABDM -，其中正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱BC 的中点， 很明显112ABA ADA S S ==△△，1112222MBA S =⨯⨯=△ 由于119,5,22AM MD A D == 故15cos 5235M A D ∠==⨯⨯，125sin 5M A D ∠= 112355325A MD S =⨯=△，则四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是3. 故选：D . 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．45B ．56C ．76 D ．78【答案】A【解析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可. 【详解】由题意可知，流程图的功能为计算111112233445S =+++⨯⨯⨯⨯的值， 裂项求和可得：11111114122334455S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A . 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．9．函数()(cos )xf x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数=a （ ） A 31- B 13- C 31+ D ．31+-【答案】A【解析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )xf x a x x e '=+-， 曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：31032f a e ππ'⎛⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选：A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．将十进制数47化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余法”，得如下过程：472231=⨯+，232111=⨯+，11251=⨯+，5221=⨯+，2210=⨯+，1201=⨯+，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到47的二进制数为101111，记作: (2)47101111=.类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则(3)47=（ ） A ．202 B ．1202C ．1021D ．2021【答案】B【解析】由题意利用所给的信息计算47除以3的余数和商，并辗转相除可得其三进制表示. 【详解】 注意到：473152,15350,5312=⨯+=⨯+=⨯+，1301=⨯+，结合题意可得：3(47)1202=. 故选：B . 【点睛】本题主要考查新知识的应用，数制之间的转化方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．不等式|2||21|2||x a a x ->--对一切R x ∈都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,3(--B ．(1,3)C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意结合绝对值三角不等式得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围.【详解】题中所给的不等式即：1||22a x a x ->--， 则：1||2222a a a a x x x x ⎛⎫-<+-≤--= ⎪⎝⎭， 据此得绝对值不等式：122aa -<， 故22122a a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：1(31)(1)0,13a a a --<∴<<. 即实数a 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．一圆锥的内部装有一个小球，若小球的体积为43π，则该圆锥侧面积的最小值是（ ）A ．4πB ．6πC ．(3π+D ．2)π【答案】C【解析】由题意考查球与圆锥相切的情况，然后结合均值不等式的结论即可求得圆锥侧面积的最小值. 【详解】满足题意时，圆锥与球相切，其纵截面如图所示，设圆锥的底面半径CD R =，母线长AC l =，内切球半径OE r =， 由小球的体积为43π可知其半径为1=r ， 利用等面积法可得：22112(22)22R l R l R r l R ⋅-=⋅+⋅=+， 故()()2222RlR l R -=+， ①不妨设,(1)l mR m =>，代入①式整理可得：211m R m +=-， 则圆锥的侧面积的平方：2222222211213111m m m m m m l m S R πππ++==⎛⎫⋅⋅=-++ -⋅⎪--⎝⎭侧22(32)π≥+⋅，故(322S π≥+，当且仅当2(1)2,21m m -==时等号成立.故选：C . 【点睛】本题主要考查球与圆锥的关系，均值不等式求最值的方法，圆锥的侧面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．甲、乙两人下中国象棋，下成和棋的概率为13，甲获胜的概率为12，则甲输棋的概率是__________. 【答案】16. 【解析】由题意利用概率公式可得甲输棋的概率. 【详解】设甲输棋为事件A ，由题意可得：()115236P A =+=， 故()()511166P A P A =-=-=. 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查对立事件概率公式及其应用，属于基础题.14．在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AB A A =，若V ABC 是正三角形，则直线D A 1和平面ABC 所成的角的大小是__________.【答案】30°.【解析】首先找出线面角，然后结合空间几何体的结构特征可得线面角的大小. 【详解】如图所示，连结AD ，由题意可知1A DA ∠即为直线D A 1和平面ABC 所成的角.不妨设1AA m =，则2,3AB m AD m ==，1113tan 303AA A DA A DA AD ︒∠===∴∠， 即直线D A 1和平面ABC 所成的角的大小是30o . 【点睛】本题主要考查线面角的求解，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．函数323()3(1)2a f x x x a x =-+-，若()f x 在(1,4)内是减函数，在(7,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】]8,5[.【解析】由题意利用导函数与原函数单调性的关系将原问题转化为恒成立问题，据此可得实数a 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得：2()333(1)3[(1)](1)f x x ax a x a x '=-+-=---， 则在区间()1,4内，()'0f x ≤恒成立，在区间()7,+∞内，()'0f x ≥恒成立， 据此可得：417,58a a ≤-≤∴≤≤. 即实数a 的取值范围是]8,5[. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，属于中等题.16．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c ++=__________. 【答案】213.【解析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100a b c ++的值. 【详解】若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾； 若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠； 故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为：213． 【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是： sin cos ρθθ=+.（1）求l 的直角坐标方程和C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1) :0l x y += 22:4C x y +=.(2)2.【解析】(1)消去参数可得C 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得l 的直角坐标方程；(2)首先求得圆心到直线的距离，然后利用弦长公式可得线段AB 的长. 【详解】（1）直线l的方程即：sin cos ρθρθ+=l的直角坐标方程为0x y +-.由曲线C 的参数方程可得：()()22222cos 2sin 4x y αα+=+=，即C 的普通方程为224x y +=.（2）由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离：d ==结合弦长公式可得：||2AB ==. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，圆的弦长公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．已知()|21|f x x =-，x R ∈ （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()24f x x <-+，求x 的取值范围. 【答案】（1）}21|{≥-≤x x x 或（2）(5,3)x ∈- 【解析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集； (2)由题意分类讨论求解绝对值不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意可得：|21|3x -≥，故213x -≥或213x -≤-， 据此可得不等式的解集为}21|{≥-≤x x x 或 （2）不等式|21||2|4x x -<-+等价于：121224x x x ⎧≤⎪⎨⎪-<-+⎩或1222124x x x ⎧<≤⎪⎨⎪-<-+⎩或22124x x x >⎧⎨-<-+⎩， 求解不等式可得：152x -<≤或122x <≤或23x <<. 综上可得，不等式的解集为：{|53}x x -<<，即(5,3)x ∈-.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．19．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，ABC 90︒∠=，已知2AB BC ==，3AD =，E 是AC 的中点，F CD ∈.（1）求证: BE ⊥平面ACD ；（2）若//AD 平面BEF ，求三棱锥BEF C -的体积. 【答案】(1)见解析.(2) 12C BEF V -=. 【解析】(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先求得点B 到直线CEF 的距离，然后转化定点即可求解三棱锥BEF C -的体积. 【详解】（1）证明:∵AD ⊥面ABC ，⊂BE 面ABC ∴AD BE ⊥又∵AB BC =，AE EC = ∴AC BE ⊥ ∵AD AC A =I ∴BE ⊥面ACD（2）∵AD //面BEF ，面ACD ⋂面BEF EF = ∴EF AD //， ∵E 是AC 的中点∴1322EF AD == ∵AD ⊥面ABC ∴EF ⊥面ABC ∴EF AC ⊥∵ABC 90︒∠=，AB BC 2==，∴AC =∴BE EC ==∴1132C BEF B EFC EFC V V S BE --∆==⋅= 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，棱锥体积公式的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长。
重庆市巴蜀中学高二上学期期中复习数学试卷Word版含答案
巴中2018-2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·周南中学] ）A BC D2．[2018·南昌十中] ）A BC D3．[2018·安徽师大附中]为（ ）A．10 B．14 C．15 D．174．[2018·厦门外国语学校]）AB CD5．[2018·南海中学]（）A．4 B．2 CD6．[2018·铜梁县第一中学]）AB．1 CD7．[2018·揭阳三中]）AB CD8．[2018·白城一中]10a+=）A．68 B．67 C．61 D．609．[2018·黑龙江模拟]）A．2 BCD10．[2018·黑龙江模拟]）ABCD11．[2018·江南十校]）ABCD12．[2018·盘锦市高级中学]）A BCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·金山中学]．14．[2018·柘皋中学]．15．[2018·余姚中学]_____．16．[2018·哈尔滨市第六中学]_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·豫南九校]（1取值范围；（218．（12分）[2018·凌源二中]（1（219．（12分）[2018·邯郸期末]（1（220．（12分）[2018·阳朔中学]（1（2（321．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，3，（1（222．（12分）[2018·肥东市高级中]（1（2理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】A；C D，故选B．2．【答案】D【解析】故选D．3．【答案】C【解析】C．4．【答案】C【解析】由图可知，符合题意；此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，综上，实数a C．5．【答案】C【解析】C．6．【答案】B【解析】B．7．【答案】D【解析】．故选D．8．【答案】B【解析】10a +=B ．9．【答案】B【解析】B ． 10．【答案】C【解析】成立，C 选项．11．【答案】B【解析】，0，12．【答案】C【解析】，C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1【解析】1．14．234n a n n⋅=⨯⨯⋅⋅=15．【解析】16．【解析】三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1（2【解析】（1可得）<（2418．【答案】（1（2【解析】（1（219．【答案】（12）1，3或3，1．【解析】（1（220．【答案】（1）4；（2（3）3．【解析】（1）（2（321．【答案】（1（2【解析】（1（2=22．【答案】（1（2【解析】（1（2）由（12231b b n n n+=----⎪ ⎪ ⎪++⎭⎝⎭⎝⎭。
2018-2019重庆市巴蜀中学高二下学期（文）数学试题（解析版）
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期第一次月考（文）数学试题一、单选题1．在区间[2,3]-上随机取一个数x ，则[1,1]x ∈-的概率是（ ）A ．25B ．15C ．34D ．35【答案】A【解析】由几何概型概率公式求解即可. 【详解】由几何概型概率公式得[1,1]x ∈-的概率()()112325P --==-- 故选：A 【点睛】本题主要考查了几何概型概率公式求概率，属于基础题. 2．命题：“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（ ） A ．若a b >，则a c b c +≤+ B ．若a c b c +≤+，则a b ≤ C ．若a c b c +>+，则a b > D ．若a b ≤，则a c b c +≤+【答案】B【解析】根据逆否命题的定义求解即可. 【详解】命题：“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为“若a c b c +≤+，则a b ≤” 故选：B 【点睛】本题主要考查了写出命题的逆否命题，属于基础题.3．已知变量x 与y 是负相关，且2x =， 6.4y =-，则线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ2 2.4yx =-- B ．ˆ0.3 4.4yx =-+ C ．ˆ2 2.4yx =- D ．ˆ0.4 1.6yx =+ 【答案】A【解析】根据变量x 与y 是负相关，则线性回归方程的斜率为负数，判断CD ；由样本点中心必在线性回归方程上，判断AB. 【详解】因为变量x 与y 是负相关，所以线性回归方程的斜率为负数，故排除CD线性回归方程应满足样本点中心(2, 6.4)-在直线上，将点(2, 6.4)-代入A ，B 选项验证，结果只有A 项满足，即 6.422 2.4-=-⨯- 故选：A 【点睛】本题主要考查了求回归直线方程，属于基础题.4．已知直线m 和两个不同的平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊂，则m α⊥ B ．若//,//m αβα，则//m β C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若//,m αβα⊥，则m β⊥【答案】D【解析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A 选项，若,m αββ⊥⊂，则m 可能与α平行，故A 错误；对于B 选项，若//,//m αβα，则m 可能与β平行或者在平面β内，故B 错误； 对于C 选项，若//,//m m αβ，则,αβ可能平行或者相交，则C 错误； 对于D 选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D 正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题.5．已知一组数据从小到大依次为3，8，a ，11，11，12，且该组数据的中位数为10，则下面能够正确反映这组数据集中与分散程度的统计量是（ ）A ．众数011x =B ．平均数9=xC ．方差29s =D ．标准差s =【答案】C【解析】利用中位数的性质得出9a =，计算方差，标准差，由方差，标准差表示数据的离散程度，得出答案. 【详解】由于该组数据的中位数为10，则11102a +=，解得：9a = 3891121296x +++⨯+==方差22222221(39)(89)(99)(119)(119)(129)96s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 标准差93s ==由于方差，标准差表示数据的离散程度，则能够正确反映这组数据集中与分散程度的统计量是方差29s = 故选：C 【点睛】本题主要考查了计算几个数据的方差以及标准差，属于基础题.6．对某产品30天内每天的生产数量进行了统计，得到茎叶图如图所示，现将这30天的生产数量由少到多编为1-30号，再用系统抽样方法从中选取5个样本，已知第一个抽中的是83，则第4个抽中的是（ ）A ．95B ．99C ．100D ．101【答案】C【解析】求出分段间隔，由于83为4号，根据系统抽样的性质得出第4个抽中的号码，即可得出答案. 【详解】3065=，则分段间隔为6 由茎叶图可知，83为4号，则第4个抽中的号码为43622+⨯= 故第4个抽中的是100 故选：C 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，属于基础题.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π【答案】B【解析】根据三视图得出该几何体的形状，求出圆柱的侧面积和底面积，圆锥的侧面积，相加即为该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由圆柱中挖去一个圆锥，且该圆锥的底面为圆柱的一个底面，高为圆柱的高则该几何体的表面积为圆柱的侧面积加上一个底面的面积，再加上圆锥的侧面积 故该几何体的表面积为()()212343235482ππππ⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积，属于基础题.8．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和少于4元的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．34【答案】C【解析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和少于4元”.甲乙两人抢到红包的所有结果为：{}{}{}{}1.49,1.31,1.49,2.19,1.49,3.40,1.49,0.61{}{}{}1.31,2.19,1.31,3.40,1.31,0.61，{}{}{}2.19,3.40 ,2.19,0.61,3.40,0.61，共10种情况，其中事件A 的结果一共有6种根据古典概型概率计算公式得63()105P A == 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.9．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，OF为半径的圆与双曲线在第一象限相交于点M ，若圆F 在点M 处的切线l 的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．31+ B ．21+C ．3D ．2【答案】A【解析】根据直角三角形的性质确定2AF c =，从而得出点A 为双曲线的左焦点，再由双曲线的定义得出2MA MF a -=，化简即可得出离心率. 【详解】设切线与x 轴相交于点A ，切线l 的斜率为3，则该切线的倾斜角30α=︒由于切线与MF 垂直，则AMF ∆为直角三角形则由直角三角形的性质得出2AF c =，3AM c =，即点A 为双曲线的左焦点 根据双曲线的定义得2MA MF a -=323131c c c a e a -=⇒===- 故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率，属于基础题.10．如图，大衍数列：0，2，4，8，12…来源于《乾坤图》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生中曾经经历过的两仪数量总和.下图是一个求大衍数列前n 项和的程序框图，若输出的100S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．6?n ≥B ．7?n ≥C ．8?n ≥D ．9?n ≥【答案】C【解析】模拟运行程序直到100S =，得出判断框内应填入的条件. 【详解】 运行程序2111,0,02n a S -====222,2,22n a S ====2313,4,2462n a S -====+=244,868142,n a S ====+=251512,14122,26n a S -====+=26618,,2618442n a S ====+=271724442462,8,n a S -====+=2,88,3268321002n a S ====+=故判断框内应填入的条件是8?n ≥ 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全循环结构框图的条件，属于基础题. 11．已知点A 、B 、C 、D 在半径为32的球面上，2,120AB BC ABC ︒==∠=，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．433C ．6D ．263【答案】D【解析】由于三棱锥D ABC -的底面面积一定，则高最大时，体积最大，利用勾股定理以及正弦定理得出最大的高，根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由于三棱锥D ABC -的底面面积一定，则高最大时，体积最大取ABC ∆的外接圆圆心为1O ，半径为r ，球心为O ，球的半径为R ，连接1O O ，并延长交球面于点D ，如下图所示此时三棱锥D ABC -的高最大，即高为1DO由正弦定理得22421sin 2BC r r BAC ===⇒=∠ 则2213222222DO R R r =-=+=故体积的最大值为1122sin120323⎛⎫⨯⨯⨯︒⨯= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体与球的外接问题以及棱锥的体积公式，属于中档题.12．已知函数2()21,()ln 12xx f x g x a x =-=-+，若对任意的x ∈R ，总有()1f x <或()1g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)e - B ．()21,e-C ．()2,e-∞D ．(,)e -∞【答案】D【解析】解不等式()1f x <，得出1x <，由题意得出当1x ≥时，()1g x <恒成立，讨论x 的值，构造函数2()2ln xh x x=，利用导数得出()h x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2111x f x x =-<⇒<由题意知，对任意的x ∈R ，总有()1f x <或()1g x <成立则当1x ≥时，()1g x <恒成立，即2ln 02x a x -<在[1,)+∞上恒成立当1x =时，21ln 022x a x -=-<恒成立，则a R ∈当1x >时，22ln x a x <恒成立令2()2ln x h x x =，2(2ln 1)()2(ln )x x h x x '-=()0h x x '>⇒>()01h x x '<⇒<<所以()h x 在上单调递减，)+∞上单调递增2min()()()2ln e h x h e e e===a e ∴<即当a e <时，对任意的x ∈R ，总有()1f x <或()1g x <成立 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式的恒成立问题，属于中档题.二、填空题13．若复数z 满足(1)4z i i -=（i 为虚数单位），则||z =_____________. 【答案】22【解析】根据复数的除法运算得出22z i =-+，根据模长公式求解即可. 【详解】44(1)4(1)221(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+ 22||(2)222z =-+=故答案为：22 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及模长公式，属于基础题. 14．执行如下图所示的程序框图后，输出的结果为______________.【答案】23【解析】执行程序，当23n =时，88050S =>，即可得出答案. 【详解】2,(21)11n S ==-⨯= 5,(51)14n S ==-⨯= 11,(111)440n S ==-⨯=23,(231)4088050n S ==-⨯=>23n ∴=故答案为：23 【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于基础题.15．如图所示的“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个面积为29的大正方形，且已知直角三角形的两直角边之和是7，现向大正方形内随机投入1160粒芝麻，则落在图中阴影小正方形内的芝麻大约有____________粒.【答案】360【解析】由勾股定理得出直角三角形的两直角边的长度，由几何概型概率公式得出芝麻落在小正方形内的概率，根据概率即可得出芝麻落在小正方形内的粒数. 【详解】设该直角三角形的两直角边分别为(),x y x y <根据题意得2272295x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 则阴影小正方形的面积为12925492-⨯⨯⨯= 所以芝麻落在小正方形内的概率为929则落在图中阴影小正方形内的芝麻大约有9116036029⨯=粒 故答案为：360 【点睛】本题主要考查了利用几何概型概率公式计算概率，属于基础题.16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上第一象限内一点，点B 在l 上，直线AB 与y 轴相交于点M ，若,||3||AF BF AM MB ⊥=，则直线AB 的斜率为____________. 【答案】33【解析】利用相似三角形的性质以及抛物线方程得出点A 坐标，根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质得出点B 的坐标，利用两点的斜率公式得出直线AB 的斜率. 【详解】过点,A M 分别作准线的垂线，垂足于点D，C ，过点A 作轴的垂线，垂足于点E 由于BCMBDA ∆∆，||3||AM MB =，则4422pDA CM p ==⨯= 所以点A 的横坐标为3222p p p -=，纵坐标为3232py p p =⨯=，即3,32p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以3tan 3pAFE p∠==，即60AFE ∠=︒，所以30BFO ∠=︒ 则点B 的纵坐标为3tan 303p p ︒=，即3,23p B p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以33333322AB p pk p p -==+ 故答案为：3【点睛】本题主要考查了求直线与抛物线的交点坐标以及两点的斜率公式，属于中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为43cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）已知过原点O 且倾斜角为6π的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值.【答案】（1）28cos 70ρρθ-+=；（2【解析】（1）先将参数方程化为普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）得出直线l 的参数方程，联立22(4)9x y -+=，得出270t -+=，利用直线的参数方程的几何意义以及韦达定理求解即可. 【详解】（1）曲线C 的参数方程化为普通方程是22(4)9x y -+=，展开得22870x y x +-+=，用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得：28cos 70ρρθ-+=；（2）直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，联立22(4)9x y -+=得：270t -+=，从而有1212121211||||7t t t t OA OB t t t t +++===⋅. 【点睛】本题主要考查了参数方程化极坐标方程以及直线参数方程参数的几何意义，韦达定理，属于中档题.18．某学校为了了解初三学生的体育锻炼情况，随机抽取了40名学生对一周的体育锻炼时间长（单位：小时）进行统计，并将数据整理如下：（1）采用样本估计总体的方式，试估计该校的所有学生中一周的体育锻炼时间长为[2,4)的概率；（2）若将一周的体育锻炼时间长不低于3小时的评定为“体育锻炼合格者”，否则为“不合格者”，根据以上数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为体育锻炼与性别有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）58；（2）表格见解析；没有【解析】（1）由表得出一周的体育锻炼时间在[2,4)内的人数，利用概率公式得出相应概率；（2）根据题意得出22⨯列联表，计算2K的值，即可作出判断.【详解】（1）由表知，抽取的40人中，一周的体育锻炼时间在[2,4)内的人数有：3610625+++=人；则该校所有学生中一周的体育锻炼时间在[2,4)的概率约为：255408 p==.（2）22⨯列联表为：女 8 12 20 合计 221840因此2240(141286)403.6362020221811K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为3.636 3.841<，所以没有95%的把握认为体育锻炼与性别有关. 【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率以及独立性检验的应用，属于中档题. 19．在四棱锥P ABCD -中，1,602AD AB DC DAB ︒==∠=，且//AB DC .（1）若点E 是PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）若2,32,4AB PA PD PB ====，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）35【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）作辅助线，由线面垂直的出判定定理证明PH 为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）设O 是PD 的中点，连接,OE OA因为E 是PC 的中点，所以12OE DC =由题意12AB DC =，从而OE AB =，所以四边形AOEB 是一个平行四边形 所以//BE AO ，因为BE ⊄平面,PAD AO ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ； （2）连接DB ，设H 是DB 的中点，连接,PH AH因为2AB AD ==，60DAB ︒∠=所以1,3HB AH ==因为4PD PB ==，所以PHDB ⊥所以224115PH =-=32PA =222PA AH PH =+ 所以PH AH ⊥又,AH DB ⊂平面ABCD ，AH DB H ⋂= 所以PH ⊥平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高. 于是()11112324sin 6015353322P ABCD ABD BDC V S S PH ︒-∆∆⎛⎫=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，棱锥的体积公式，属于中档题.20．从某商场随机抽取了2000件商品，按商品价格（元）进行统计，所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1000)，[1000,1200)，[1200,1400]对应的小矩形的面积分别为123,,S S S ，且12336S S S ==.（1）按分层抽样从价格在[200,400)，[1200,1400]的商品中共抽取6件，再从这6件中随机抽取2件作价格对比，求抽到的两件商品价格差超过800元的概率； （2）在清明节期间，该商场制定了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折；方案二：全场商品优惠如下表，如果你是消费者，你会选择哪种方案？为什么？（同一组中的数据用该组区间中点值作代表） 商品价格 [200,400)400,[600)[600,800)[800,1000)[1000,1200)[1200,1400]优惠（元） 3050140160280320【答案】（1）815；（2）方案一，原因见解析 【解析】（1）根据频率和为1的性质，计算得出1230.30,0.10,0.05S S S ===，再得出价格在[200,400)，[1200,1400]的频率，由分层抽样的性质得出[200,400)和[1200,1400]抽取的件数，得出6件中抽两件的所有情况，从中得出符合题意的情况，由古典概型概率公式计算即可；（2）由频率分布直方图得出各组的频率，分别计算出两种方案优惠的价钱的平均值，即可作出判断.【详解】（1）根据频率和为1的性质知1230.000502000.001002000.001252001S S S ⨯+⨯+⨯+++=，又12336S S S ==，得到1230.30,0.10,0.05S S S ===；价格在[200,400)的频率为0.000502000.10⨯=，价格在[1200,1400]的频率为30.05S =；按分层抽样的方法从价格在[200,400)，[1200,1400]的商品中抽取6件则在[200,400)上抽取4件，记为1234,,,a a a a ；在[1200,1400]上抽取2件，记为12,b b ； 现从中抽出2件，所有可能情况为：121314111222222431324142134132,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共计15种；其中符合题意的有1112212231324142,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b ，共8种； 因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为815p =. （2）对于方案一，优惠的价钱的平均值为：[3000.105000.207000.259000.3011000.1013000.05]20%150⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=元；对于方案二，优惠的价钱的平均值为：300.10500.201400.251600.302800.103200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元；因为150140>，所以选择方案一更好. 【点睛】本题主要考查了计算古典概型问题的概率以及用平均数的表示意义解决实际问题，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，12,F F 是该椭圆的左、右焦点，M 是上顶点，且12MF F ∆是等腰直角三角形.（1）求E 的方程；（2）已知O 是坐标原点，直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，点P 在E 上且满足四边形OAPB 是一个平行四边形，求||AB 的最大值.【答案】（1）2212x y +=；（2【解析】（1）将点1,2⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，即可得出椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，利用椭圆方程得出||AB =当直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程，并代入椭圆方程，利用韦达定理得出1212,x x x x +⋅，由中点坐标公式得出点P 坐标，代入椭圆方程得出22421m k =+，由弦长公式化简得出AB =>||AB 的最大值.【详解】 （1）由已知可得221112a b+=：结合222a b c =+，解得1a b c === ∴椭圆方程为2212x y +=.（2）①当直线l的斜率不存在时，方程为2x =±，代入椭圆得2y =±，此时||AB =②当直线l 的斜率存在时，方程为y kx m =+联立22220y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得：()222214220k x kmx m +++-= ()()222(4)421220km k m ∆=-⨯+->，即()228210k m ∆=+->设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，由于四边形OAPB 是平行四边形 ∴012012,x x x y y y =+=+∴2121222422,2121km m x x x x k k --+=⋅=++，故2242,2121km m P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又P 点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程，整理得：22421m k =+ 因此||AB ====显然，当0k=时，||AB>综上，||AB . 【点睛】本题主要考查了利用椭圆上的点求椭圆方程以及由直线与椭圆的位置关系求弦长的最大值，属于中档题.22．已知21()()2,2xf x x a e x x a R =+--∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）设()()(1)51xg x f x x a e x =-+-++，且()()()12124g x g x x x +=≠，求证：120x x +<.【答案】（1）单调增区间为(,2),(0,)-∞-+∞，单调减区间为(2,0)-；（2）证明见解析【解析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明函数()g x 在R 上单调递增，且(0)2g =，又()()()12124g x g x x x +=≠，不妨设12x x <，则有120x x <<；利用分析法得出要证120x x +<，只需证明()()224g x g x +->，其中20x >，构造函数2()()()2x x m x g x g x e e x -=+-=+-+，利用导数证明其单调性，得出()m x 在(0,)+∞的最小值大于4，即可证明120x x +<.【详解】（1）当1a =时，21()(1)2,2xf x x e x x x R =+--∈ ∴()()(1)2(2)1xxxf x e x e x x e '=++--=+-， 令()0f x '>，解得0x >或2x <- 令()0f x '<，解得20x -<<因此()f x 的单调增区间为(,2),(0,)-∞-+∞，单调减区间为(2,0)-.（2）∵21()312xg x e x x =-++，()3x g x e x '=-+ 令()()hx g x '=，则()1x h x e '=-令()0h x '>，解得0x > 令()0h x '<，解得0x <故函数()g x '在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增 因此min ()(0)40g x g ''==>，则函数()g x 在R 上单调递增且(0)2g =，又()()()12124g x g x x x +=≠，不妨设12x x <，则有120x x <<； 要证120x x +<，只需证明12x x <-，由()g x 的单调递增，只需证明()()12g x g x <-， 即：()()224g x g x -<-，即证明()()224g x g x +->，其中20x >. 设2()()()2xxm x g x g x e ex -=+-=+-+，则()2x x m x e e x -'=--，()220x x m x e e -''=+->=故()0m x ''>在(0,)+∞上恒成立，则()m x '在(0,)+∞上单调递增()(0)0m x m ''>=，故()m x 在(0,)+∞上单调递增从而()(0)4m x m >=，即有224x x e e x -+-+>在(0,)+∞上恒成立，即有()()224g x g x +->，从而有120x x +<，证毕. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究双变量问题，属于较难题.。
重庆市巴蜀中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题含答案
重庆市巴蜀中学高2018届高二下期末考试数学（文）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}2,4B =,则()U C AB =（ ）A ．{}1,3,4,5B ．{}1,4C ．{}1,2,4D ．{}3,5 2．复数z 满足12i z i ⋅=-，则z =( )A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i - 3．下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是（ ）A ．3y x = B ．y x = C ．1y x = D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．已知抛物线22y px =（()0p >）的准线经过点()1,4-，过抛物线的焦点F 且与x 轴垂直的直线交该抛物线于M 、N 两点，则MN =（ )A ．4B ．23C ．2D ．15．设a ，b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．如图，正六边形ABCDEF 中,AB CD FE ++=( ) A ．0 B ．AD C ．BE D ．CF7．执行如下图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ) A ．18 B ．20 C ．87 D ．908．如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ) A ．27cm π B ．28cm π C ．29cm π D ．211cm π9．已知1tan 2=α,()1tan 212-=αβ，则()tan -=αβ（ ） A ．25- B ．25 C ．1423- D ．142310．当0a >时,函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω），若两个不等的实数1x ，()22A x x f x ⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭，且12x x -的最小值为π，则()f x 的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π12．已知实数0a >,函数()()112,01,02x x e a x f x a e x a x a x --⎧+<⎪=⎨+-++≥⎪⎩，其中e 是自然对数的底数。
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重庆市巴蜀中学高2018级高二（下）半期考试
文科数学
一、选择题（本题10个小题，每个5分，共50分）： 1、下列命题中正确的是（ ）
A 若一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线平行于这个平面。
B 若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面。
C 若两个平面互相平行，则一个平面内的任意一条直线平行于另一平面。
D 若两个平面互相垂直，则一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面。
2、高二年级某班有男生36人，女生28人，从中任选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数是（ ）
A 36
B 28
C 64
D 1018 3、设a 、b 是一对异面直线，则与a 、b 都垂直的直线有（ ） A 0条 B 1条 C 2条 D 无数条 4、已知二面角l αβ--为0
30，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则P 在平面β内的射影到棱l 的距离为（ ） A 3 B
3
2
C 2
D 12
5、有以下四个命题：
（1）过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
（2）两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； （3）底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥是正棱锥； （4）底面是正方形，有两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱。
其中正确的命题是（ ）
A.(1) (4)
B. (1) (3)
C.(3) (4)
D. (2) (3) 6、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的体积是（ ） A. 6
B.6
C. 32
D. 23
7、已知两条直线m , n 和两个平面α, β，则下列命题中正确的是（ ）
A 若m //n ，m ⊥α，n ⊥β，则α//β
B 若m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂β，则α//β
C 若m //n ，n ⊥β，m ⊂α，则α//β
D 若m //n ，m ⊂α，n ⊂β，则α//β 8、在北纬45°圈上有M 、N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2
4
R π（R 是地球的半径）
， 则M 、N 两地的球面距离为（ ）。
A
24R π B R π2
2
C R 2π D
3R π 9、用0、1、2、3四个数字组成允许数字重复的三位数，则这样的三位数共有（ ）
绝密★启用前 解密时间2018年4月29日15：30 【考试时间4月29日13：30—15：30】
A 64个
B 48个
C 36个
D 16个
10、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AD 、CC 1上，若AF ⊥A 1E ，则（ ） A. AE ＝ED B. AE ＝C 1F C. AE ＝CF D. C 1F=CF 二、填空题（本题5个小题，每个5分，共25分）：
11、如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面共有_________个。
12、设A 、B 是平面α外同侧的两点，它们到α的距离分别是4和1，AB 与α所成的角为0
60，则线段AB 的长是 .
13、侧棱长为1的正四棱锥，如果底面周长是4，则这个棱锥的侧面积是 .
14、P 、A 、B 、C 是球O 的面上四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O 的表面积为__________。
15、如图所示，一个矩形广告牌分为5个不同的区域，现给广告牌着色，要求 相邻区域不得使用同一颜色。
现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种。
三、解答题：（本题6个小题，共75分） 16、（13分）已知如图所示，PA 、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO 在平面α内的射影，且直线α⊂a ，a ⊥PO.
求证：a ⊥AO 17、（13分）如图，已知长方体1111D C B A ABCD -.
求证：平面11D AB ∥平面1BDC
18、（13分）如图，在△ABC中，∠C是直角，平面ABC外有一点P，PC=24，点P到直线AC、BC的距离PD和PE都等于10
6，求：
（1）点P到平面ABC的距离PF；
（2）PC与平面ABC所成的角。
19、（12分）如图，已知四棱锥S―ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面
,3
ABCD SB=，点M为棱SA的中点。
（1）求证：DM SAB
⊥平面；
（2）求异面直线DM与SC所成角的大小。
20、（12分）如图，已知三棱锥S—ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，SC=1，
∠SCA=90°，侧面SAC与底面ABC所成二面角为60°，E、D分别为SA和AC的中点。
（1）求点S到平面BDE的距离；
（2）求三棱锥S—ABC的体积。
A
B
C
S
E
D
A
B
E
F
C D
P
M
S
D C
B
A
21、（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC 中，AC=BC=2，AB=AA 1=22，点D 是AB 的中点，点E 是BB 1的中点。
（1）求证：平面CDE ⊥平面11A ABB ； （2）求二面角D-CE-A 1的大小。