第十章 稳恒电流

第十章 稳恒电流10-1 已知摩尔质量为175.63-⋅=mol g M ，密度为39.8-⋅=cm g ρ，在铜导体线里，假设每个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为技术上的安全，铜线内最大电流密度20.6-⋅=mm A j m ，求此时铜线内电子的漂移速率d v ；（2）在室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率的多少倍?解：（1）一个铜原子质量AN Mm =，铜原子的密度M N m n A ρρ==/铜线内电子的漂移速率为141046.4--⋅⨯=⋅==s m eN Mj ne j v Am m d ρ （2）在室温下电子的热运动的平均速率为mKTv π8=，取K T 300=可求得 81042.281⨯≈=mKTv v v dd π 即电子热运动的平均速率是电子漂移速率的81042.2⨯倍。

10-2 有两个同轴导体圆柱面，它们长度均为20m ，内圆柱面的半径为3.0mm ，外圆柱面的半径为9.0mm ，若两圆柱面之间有A μ10电流沿径向流过，求通过半径为6.0mm 的圆柱面上的电流密度。

解：根据对称性，在两圆柱面间的任意同轴圆柱面上的电流强度相同，流过该圆柱面的电流为I ，因此有rLI S I j π2==将已知数据代入上式可得所求的电流密度为251033.1--⋅⨯=m A j 。

10-3 有两个半径分别为1R 和2R 同心球壳，其间充满了电导率为v （v 为常数）的介质，若在两球壳间维持恒定的电势差U 。

求两球壳间的电流。

解：球壳间的等效电阻为21122441R vR R R r drv R ππ-=⋅=⎰球壳间的电流强度为：22214R R UR vR R U I -⋅==π 10-4 同样粗细的碳棒和铁棒串联，能使两棒的总电阻不随温度而变化。

问此时两棒的长度比应为多少？解：同样粗细的碳棒和铁棒串联，设其长度分别为C L 和Fe L 电阻温度系数为C α和Fe α，则当温度变化T ∆时，总电阻为)R T(R R R 'R 'R 'Fe Fe C C Fe C Fe C αα+∆++=+=总R按题意：0)R R (T Fe Fe C C =+∆αα 即0L L Fe Fe Fe C C C =+αραρ 所以C C Fe Fe Fe C L L αραρ-=，查表代入数据得：2FeC 1086.2L L-⨯= 10-5 把大地看作电阻率为ρ的均匀电解质。

如图10-5所示，用一半径为a 的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地下，电极本身的电阻可忽略不计，试证明此电极的接地电阻为aR πρ2=证明：在球体电极外侧的大地内，取一半径为dr 的同心半球壳，其电阻为：)(22a r r drdR >>=πρ则电极的接地电阻为：ar dr dR R qπρπρ222===⎰⎰ 结论得证。

10-6 如图10-6所示，截圆锥体的电阻率为ρ，长为l ，两端的半径分别为1R 和2R 。

试计算此锥体两端面之间的电阻。

解：在截圆锥体上取平行于端面的薄圆盘，如图10-6所示。

其半径为)(11R r R r ≤≤，厚度为dr ，则其电阻为：)(122R r R rdxdR <<=πρ两端间的总电阻为：⎰⎰==212x x r dx dR R πρ由LR R x r 21-=得： dr R R Ldx r R R L x ⋅-=⋅-=2121,，将dx 代入上式可得两锥体之间的电阻R 为：2122121R R Lr dr R R L R R R πρπρ=⋅-=⎰ 10-7 一同轴电缆，其长为m L 31050.1⨯=，内导体外径为mm R 0.11=，外导体内经·O a r图10-5dxR 1rR 2l 图10-6R 1 R 2r x x x 1x 2 o为mm R 0.52=，其中填充物为绝缘电解质。

由于电缆受潮，测得绝缘介质的电阻率降低到m ⋅Ω⨯5104.6。

若信号源是电动热V 24=ε，内阻为Ω=0.3i R 的直流电源，求在电缆末端的负载电阻Ω=k R 0.10上的信号电压为多大？解：取图10-7所示薄介质圆柱壳，半径为r ，厚度为dr ，侧面面积为rL S π2= 根据电阻定律知该介质薄壳的径向电阻为rLdrdR πρ2=则该电阻的径向电阻为： 12ln 2221R R L rL dr dR R R R ⋅===⎰⎰πρπρ它与负载0R 并联后等效电阻为：Ω=+=+=5.982lnln '0121200L R R R R R R R R RR R πρρA R R I i2365.0'=+=ε负载上信号电压为：V IR U 3.23'==10-8 有一平行板电容器，其电容F C μ0.1=，极板间电解质的电阻率为m ⋅Ω⨯=13100.2ρ，相对电容率为0.5=r ε。

求该电容器两极间的电阻值。

解：由dSC r εε0=得：CS d rεε0= 将上式代入电阻定律S d R ρ=得：Ω⨯=⋅=801085.8CR r εερ 10-9 在上题中，若将电容器与一电源相连接，使之带电，然后撤去电源。

由于电容器内漏电电流的存在，极板上的电荷逐渐减少。

（1）试证电容器极板上的电荷与时间之间的关系为r te Q Q ερε00-=其中0Q 是撤去电源（取t=0）时刻电容器极板上的电荷。

（2）求电容器极板上的电荷因漏电减少为20Q 所需的时间，设0.5,100.113=⋅Ω⨯=r m ερ。

LR 1R 2r dr图10-7证明（1）联立下列方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-⇒=-=R U i RC Q dt dQ U Q C dt dQ i将上题的结论CR rεερ0=代入上式分离变量得：rr dtQ dQ Q dt dQ ερεερε00,==-两边积分并考虑初始条件0=t 时，0Q Q =，可得： rteQ Q ερε00-=（2）若021Q Q =则 ,ln00ρεεr t Q Q -=即：s t r 201007.32ln ⨯==ρεε 10-10 如图10-10所示，在两块薄铜板之间，放置内外半径分别为1r 和2r 的环形硅，cm h cm r cm r 0.5,0.3,80.021===，如在两极间加V 200的电势差，求电路中的电流。

解：环形硅的电阻为：)(2122r r hS h R -==πρρ查表可知硅的电阻率为：m ⋅Ω⨯=2104.6ρ 若在两板间加电压V U 200=，则硅中的电流为A hr r U R U I 221221064.1)(-⨯=-⋅==ρπ10-11 在相距km 0.15的A 、B 两地之间的地下，敷设有一条双股电缆，其中一根导线因某处绝缘层破损触地面发生故障。

检修人员用图10-11（a ）所示装置可找出故障点的位置。

该装置中Ω⨯=30100.2R ，R 为可变电阻。

现通知A 地工作人员将该对电缆进行短接，测得电流计G 中没有电流时电阻Ω⨯=31086.1R 。

求电缆损坏处到B 的距离x 。

（电阻每千米直流阻抗为Ω150。

解：设K 为每千米电缆的直流阻抗，即1150-⋅Ω=km k200V hr 2 r 1图10-10则PB 段的电阻为PA kx R ,1=及另一根导线的电阻为)2(2x r K R -= 画出其电桥电路如图10-10（b ）。

由电桥平衡条件得：0201::)(R R R R R =+即)2(x r K R Kx -=+km rRr x 8.82=-= 10-12 一双股地下电缆，其单位长度的电阻是一定的，电缆两端相距7.0km ，由于电缆某处绝缘层漏电，使其两股电线在该点以电阻R 连接起来。

检测人员侧得，当电缆两端均开路时，A ，B 两端的电阻分别为Ω660和Ω⨯31056.1，当在A 端加上12V 电压时，B 端的电压为1.1V 。

依据以上检测到的数据，找出电阻R 和故障点的位置。

解：设电缆单位长度的电阻为K ，故障点P 到A 的距离为x ，其等效电路如图10-12所示，则：(4)2(3) 105.12(2) 6002(1) )(,132121A B R V RR R V V R R R R x L K R Kx R ⋅+==Ω⨯=+Ω=+-== 联立以上四式代入数据可得：Ω=5.60R ，故故障点P 和A 相距为km x 0.2=10-13 如图10-13所示，V 0.221==εε，内阻为Ω==1.021i i R R ，Ω=Ω=8.4,0.521R R ，试求（1）电路中的电流；（2）电路中的消耗的功率；（3）两电源的端电压。

解：（1）由闭合电路的欧姆定律得：A R R R R I i i 4.0221121=++++=εε（2）电路消耗的功率为：W I P 6.1)(21=+=εεGR 1R 2R 0R 0R图10-11（b ）GrAR 0R 0 R图10-11（a ）PxB• ••• R 1 图10-12ºº R 2R 2 R 1RA B PR 1R i1ε1 R i2ε2R 2 图10-13（3）两电源的端电压为：VIR V V IR V i i 96.196.1222111=-==-=εε10-14 如图10-14所示的电路中，已知：.0.4,0.3,0.2,0.1,0.2,0.6432121Ω=Ω=Ω=Ω===R R R R V V εε。

求（1）流过各电阻的电流；（2）A 、B 两点的电势差AB U 。

解：（1）因为整个闭合电路的电阻为：4343213421R R R R R R R R R R +++=++=由闭合电路的欧姆定律得：A R R RR R R RI 85.02121212121=+++-=-=εεεε所以，流过电阻21,R R 的电流为：A I I I 85.021=== 流过电阻43,R R 的电流分别为43,I I ，则⎩⎨⎧=+=II I R I R I 434433解之得：A I A I 36.0,49.043== （2）由一段含电源电路的欧姆定律得：V IR U AB 2.511-=-=ε10-15 如图10-15所示，已知：Ω==Ω=Ω=====0.3,0.2,0.1,0.4,0.245231321R R R R R V V εεε求：（1）电路中各支路的电流；（2）A 与B 两点间的电势差AB U 。

解：应用基尔霍夫定律列出各节点电流方程和回路电势方程如下： 对节点A 有：(1) 0321=--I I I对回路ABCA 有：(2)0)(2122141=-+++εεR I I R R 对回路ABDA 有：(3) 0)(3253322=-+++-εεR R I R I 联立（1）（2）（3）可得：A I A I A I 125.0,25.0,375.0321=== （2）由一段含电源电路的欧姆定律得A 、B 两点的电势差为：V R I U AB 5.3222=-=ε图10-14 AI 3R 1 R 4R 3 R 2 I 4Iε2ε1B10-16 一电路如图10-16所示，已知：Ω====Ω======0.2,0.1,0.8,0.9,0.125431321321R R R R R R R V V V i i i εεεΩ=00.32R 。