超静定结构位移计算力学
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结构力学 超静定结构的位移计算
计算实例
超静定结构的位移计算
-150 +250
3750EI 7 L2
-150
535.17
317.14
218 .75EI 7 L2 静定结构在温度、荷载共 同作用下的位移计算问题
单位：
EI
L
弯计算
535.17 317.14
为求A截面的转角，作P=1
单位：
P=1
超静定结构的位移计算
计算实例
图示结构，各杆长都是 L，梁截面为矩形，截面高度h
数为 。求（1）绘弯矩图（2）求杆 A 端转角
L 10
，线膨胀系
-150 -150 +250
A
超静定结构的位移计算
计算实例 -150 +250 X1 X2 基本体系
-150
3750EI 解得： X 1 7 L2 218 .75EI X2 7 L2
22
3a 3 12 21 4 EI
2P
17Pa3 48EI
16 P X2 44
3P X1 44
EI
p
6Pa/44 3Pa/44
EI
2EI
16 P X2 44
3Pa/44 8Pa/44
M图
P=1
1
1 1 6Pa 1 Pa 1 1 3Pa 7 Pa2 A a 1 a 1 1 a EI 2 44 2 4 44 176EI 2EI 2
超静定结构的位移计算
引言： 超静定结构的位移计算不需要另外推导公式，在力法的计算 过程中，其方法已经存在了。 下面以例题的形式加以说明。 D 6m
A 6m C 6m
B
结构力学_11超静定结构-位移法
§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
建筑材料力学第四章静 定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
结构力学 超静定结构计算)
0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们 都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算 典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增 加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生 动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适 合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移 刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计 算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程 中进行力矩的分配与传递。
第八章-结构的位移计算
线位移 — 结构上某点沿直线方向移动的距离。 角位移 — 结构上某截面旋转的角度。
绝对位移
相对位移
截面A角位移A ，
A点线位移 A 包含： 水平线位移 AH 竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移：
(CD )H C D
AB两截面的相对转角：AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
一．局部变形时的位移公式
如图所示，为一悬臂梁在B点附近有微段ds 有局部变形，结构其他部分没有变形，微
段 ds 局部变形包括三部分：
⑴ 轴向应变 ；⑵ 平均剪切应变 0 ；
⑶ 轴线曲率 （ 1 R，R 为轴线变形后
§8-2 结构位移计算的一般公式
—般情况下，结构发生位移在结构内部产生应变，因此，结构的位移计算 属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移采用的方法以虚 功原理最为普通。推导结构位移（变形体）计算的一般公式有两种途径：
一是根据变形体体系的虚功原理，然后由此导出变形体体系的位移公式， 另一种是先应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应 用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
第 六 章 结构位移计算
本章主要内容
➢ 应用虚功原理求刚体体系的位移 ➢ 结构位移计算的一般公式 ➢ 荷载作用下的位移计算 ➢ 图乘法 ➢ 温度作用及支座移动时的位移计算 ➢ 广义位移的计算 ➢ 互等定理
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一.结构位移计算概述
◆结构位移的种类：结构在外界因素作用下发生变形。因此而使结构各点的 位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。
在材料力学中，曾学过求梁的位移计算方法(如直接积分法等)。但这
些方法对于结构力学的研究对象，如多跨静定梁、桁架、刚架等结构，是
绝对位移
相对位移
截面A角位移A ，
A点线位移 A 包含： 水平线位移 AH 竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移：
(CD )H C D
AB两截面的相对转角：AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
一．局部变形时的位移公式
如图所示，为一悬臂梁在B点附近有微段ds 有局部变形，结构其他部分没有变形，微
段 ds 局部变形包括三部分：
⑴ 轴向应变 ；⑵ 平均剪切应变 0 ；
⑶ 轴线曲率 （ 1 R，R 为轴线变形后
§8-2 结构位移计算的一般公式
—般情况下，结构发生位移在结构内部产生应变，因此，结构的位移计算 属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移采用的方法以虚 功原理最为普通。推导结构位移（变形体）计算的一般公式有两种途径：
一是根据变形体体系的虚功原理，然后由此导出变形体体系的位移公式， 另一种是先应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应 用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
第 六 章 结构位移计算
本章主要内容
➢ 应用虚功原理求刚体体系的位移 ➢ 结构位移计算的一般公式 ➢ 荷载作用下的位移计算 ➢ 图乘法 ➢ 温度作用及支座移动时的位移计算 ➢ 广义位移的计算 ➢ 互等定理
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一.结构位移计算概述
◆结构位移的种类：结构在外界因素作用下发生变形。因此而使结构各点的 位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。
在材料力学中，曾学过求梁的位移计算方法(如直接积分法等)。但这
些方法对于结构力学的研究对象，如多跨静定梁、桁架、刚架等结构，是
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
结构力学 静定结构的位移计算1
结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立 的状态。分别称为结构的位移状态和力状态
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
超静定结构的位移计算
建筑力学
谢谢观看！
最后需要说明的是，在计算超静定结构的过 程中，经过的计算步骤和数学运算较多，比较容 易发生错误。为保证最后结果的正确性，校核工 作是十分重要的。最后内力图的校核，应从平衡 条件和变形条件两个方面进行：
正确的内力图首先要满足平衡条件。平衡条 件的校核 出结构的一部分都应满足平衡条件。
建筑力学
超静定结构的位移 计算
超静定结构的位移计算
超静定结构的位移计算和静定结构的位移计 算方法相同，即采用单位荷载法。由力法计算可 知，当多余未知力解出后，静定的基本结构在多 余未知力和荷载共同作用下的内力和变形是与原 结构的受力与变形完全一致的。因此，超静定结 构的位移计算问题可以转化为基本结构的位移计 算问题，即静定结构的位移计算问题。
正确的内力图还应该满足变形条件。因为计算 超静定结构内力时，除平衡条件外，还应用了变形 条件。特别是在力法中，多余未知力是由变形条件 求得的，因此，校核工作应以变形条件为重点。校 核变形条件的一般作法是，任意选取基本结构，任 意选取一个多余未知力Xi，然后根据最后的内力图 算出沿Xi方向的位移△i，并检查△i是否与原结构 中的相应位移(给定值)相等。
(a)
【解】 1）用力法求解，作出最后弯矩图如
图（b）所示。
2) 选取悬臂刚架为基本结构，将单位力施加
在基本结构上，绘出
M
图如图（c）所示。
1
(b)M图(kN m)
(c) M1图
3）按图乘法求结构的位移。
由M图与
M
图相乘，可得
1
1
11
21
ΔDV
EI
(10 2
2 2
10 2 2
3
2
2
20 4 2
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
05结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算-1(唐雪松)
δ11
1 EI
(1 2
l
l)( 2 3
l)
l3 3EI
D1P
1 EI
(1 l 3
ql 2 ) 2
3l 4
ql 4 8EI
X1
Δ1P δ11
3 ql 2 8
4
三、力法典型方程
力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面以图所示刚架为例，讨论力法方程 的一般形式。
D1=0, D2=0, D3=0
第五章 超静定结构的内力与位移计算
研究对象：超静定结构 主要内容：内力与位移计算 超静定结构特性：
(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系 (2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组 (3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，
均可产生内力。
原结构
力法基本结构
δ11 X1 δ12 X 2 Δ1P 0 δ21 X1 δ22 X 2 Δ2P 0
d11
1 2EI
(1 2
l
l)
2 3
l
l3 6EI
d12
d 21
1 2EI
(1 2
l l)l
l3 4EI
d 22
1 EI
(1 2
l l)
2l 3
1 2EI
(l l) l
5l 3 6EI
F 32
0.172 F 2
FN X 1FN1 FP
X1=1
FNP
d11 X 1
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
为0，而应该等于杆DE的轴向缩短。
结构力学-第五章-力法4
§5-7 最后内力图的校核
例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。
M C B
2M /5 C 3M /5 M /5
A
l
B
M
1
3M /5
B X1 = 1
EI= 常数
A l/ 2
M
2M /5
A
M1 图
解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ C 是否为零, 任取一基本结构作图M 1 ，令 M 1 与M 相图乘得： 2m m 1 1 l 3m 2 1 ml ml 5 5 Δ C [ 1 l 1] [ ]0 EI 2 2 5 3 2 EI 10 10
小 结
小
结
力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系 , 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件 , 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键 , 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。
§5-7 最后内力图的校核
结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。
X1 = 1
C B
A
也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
超静定结构的计算—超静定结构基础知识(建筑力学)
超静定次数的判断
1.超静定次数的概念 指多余约束的个数。
2.超静定次数的判断方法 （1）方法
去多余约束，使超静定结构变为静定结构，总共去掉多余约束的数目即为超静定次数。 （2）去多余约束的方式
①切断一根链杆，相当于去掉一个约束； ②拆除一个单铰，相当于去掉两个约束； ③截断一根连续杆件，相当于去掉三个约束； ④将连续变为单铰，相当于去掉一个约束。
超静定结构的概念
1.概念 ①具有多余约束的几何不变体系。 ②仅仅依靠平衡方程不能求出所有约束反力的结构。 2.特点
①计算自由度 W ＜ 0；
②仅仅依靠平衡方程，不能求出其所有未知反力； ③约束反力和内力，与结构位移有关。
常见超静定结构
超静定梁 超静定桁架 超静定组合结构
超静定刚架 超静定拱
超静定铰接排架
超静定次数的判断
3.注意事项 ①同一结构，超静定次数是确定的，但去约束的方式有多种；
②必须去掉所有多余约束，使体系成为几何不变体系，但也不能多去，使体系几何可变。 ③要确保去掉的是多余约束，不能去掉必要约束，不能将原超静定结构变为瞬变体系。
结构力学
第五章 超静定结构计算——位移法一、判断题：1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI2EI EIEIEIEA EA ab EI=EI=EI=244422、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
6、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
7、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2/22l l θθC8、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
9、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql E I 324/。
ql二、计算题：10、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆线刚度均为i ，各杆长均为 l 。
11、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆长均为 l ，线刚度均为i 。
12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。
q 213、用位移法计算图示结构并作M 图。
E I =常数。
ll /2l /2第四章 超静定结构计算——力法一、判断题：1、判断下列结构的超静定次数。
（1）、 （2）、(a )(b)（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、(a)(b)2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。
3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。
5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。
(a)(b)X1第二章 静定结构内力计算一、判断题：1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
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例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
A
l/2
C
B
ql2/12 l/2 ql2/24
ql2/12
CV ql 4 384EI
M图
ql2/12
ql2/12 l/4
1
基本体系2
可任取一个基本结 构加单位力与原结 构的弯矩图图乘计 算位移。
例：已知M图，EI=常数。求ΔBV，α
FPl/8
M图
A
B
。
FP C
X1
FP
6FP l 80 17 FP l 80
X2
l/2
基本体系
3FP l 80
M图
1、用位移协调条件检验多余约束力是否正确。 2、用力平衡条件检验内力图是否正确。
力法小结
1、力法的典型方程是变形协调方程； 2、主系数恒大于零、副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系固有常数，与外界因素无关； 4、荷载作用时，内力分布与绝对刚度大小无关， 与各杆刚度比值有关。在某固定荷载作用下， 调整各杆刚度比可使内力重分布； 5、温度变化和支座移动等非荷载因素作用产生的 内力和反力与杆件的绝对刚度成正比；
解决思路：把超静定结构等效替换为多余约束力 和支座移动或温度变化因素共同作用下的静定结 构，于是，问题转化为在静定结构上求某项位移 （注：不能忽略温度变化引起的轴向变形）。
已知：M，EI，l，q， 求αB 。
A
l
B
3i l
3i l
结构的弯矩图 及支座位移
基本体系
荷载作用 + 支座位移作用
6、选用不同基本结构其计算方便程度不同。
t1 t2
1 1 1
X1
X2
基本体系 MM 1 1 3 t2 t1 l B1 dx X l l 1 1 EI EI 2 4h
M1图
M1图
多余约束力引起的
B2
(t2 t1 )
h
AM 4h
l (t2 t1 )
h
温度变化引起的
B1 B 2
l (t2 t1 )
3. 超静定结构内力图的校核
（1）平衡条件校核
结构中的任意部分都必须满足平衡条件。但满 足平衡条件的解答不一定是真解。
（2）变形条件校核 在满足平衡条件的众多个解答中，满足原结构 变形条件的解答是唯一正确的解答。
i = 给定值
CV
M2图
1 1 l 6i 2 l ( ) EI 2 2 l 3 2 2
已知：EI，EA ，，X1 3 (t2 t1 ) EI 2hl ，X 2 (t 2 t1 ) EA 2 求： B
t1 t2 l
t1 t2
X 1l
B M图 1
A
X1
1 1 3i 3 B l 1 EI 2 l 2l
3i l2
FyB
基本体系
※尽量将有支座位移的多余 约束去掉，选取基本结构。
例：已知杆件EI=常数，求ΔCV。
6i l
M图
A
B
C
l/2 1
l/2
CV
M1图
l/4 l/2 1 1/2
M P M1 dx FR c EI 1 0 ( ) 2 2
FP
FPl/8
B
l/2
1
l/2
1 FP l l FP l B ( l )0 EI 8 2 4
M1图
l
BV
1
1 FP l l 1 FP l l ( l l ) EI 8 2 2 4 2 0
M2图
1
用这种方法可以验算原 结构的弯矩图是否正确
（2）支座移动或温度变化情况下的位移计算
验算图示弯矩图是否正确。
q
l l
2EI EI
l l
l
X1 1
l
X2 1
M1
Δ1 MM 1 ds 0 EI
M2
Δ2 MM 2 ds 0 EI
错误的（X1，X2） 能否满足平衡条件?
验算变形条件时可选任意 基本结构上的单位弯矩图， 都应满足。
B 2EI l EI A l/2
3i l
X1=1
X1=1
1/l
荷载作用 + 支座位移作用
3i l
X1=1
X1=1
1/l
1 1 3 B M1M P dx FR i ci ( ) EI 2l l 2l
A
l
B
1
比较一下， 有什么体会？
图乘
X1 1
3i l
结构的弯矩图 及支座位移
1. 理论依据
பைடு நூலகம்
变形体系虚功原理的应用 —— 单位荷载法
2. 位移计算
（1）荷载作用下的位移计算
ΔiP
M i M Pds EI
一般来说需要解超静定结构的Mi 和 MP， 工作量较大。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
A
l/2
C
B
ql2/12 l/2 ql2/24
ql2/12
l/8 A
1 M图
l/8 B
M图
AyC MMP 2 2 l ql2 l 1 ql4 ΔCV ds 0 EI EI EI 3 2 8 8 4 384EI
基本结构在多余约束力和荷载共同作用下的 内力和变形与原结构完全相同！
解决思路：如将超静定结构由力法求得的多余约 束力看作已知荷载，并作用在去掉多余约束的基 本结构（一般是静定的）上，超静定结构位移计 算问题就可采用在基本结构上建立虚拟力状态的 方法得到解决。