2021届天津市南开中学高三上学期数学统练(5)试题
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2021-2022学年天津市南开中学高三(上)第一次月考数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．13205．（5分）函数222()cos x x f x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = ． 11．（5分）62)x展开式中，常数项是 ．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 ．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =若12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 ． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-．2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <，推不出lnm lnn <， 故“22m n <”是“lnm lnn <”的必要不充分条件． 故选：B ．3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+【解答】解，根据题意，依次分析选项： 对于A ，1()f x x=，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于C ，()cos f x x x =，有(0)()02f f π==，在其定义域上不是增函数，不符合题意，对于D ，()sin f x x x =+，其定义域为R ，有()sin ()f x x x f x -=--=-，()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=+，在R 上为增函数，符合题意， 故选：D ．4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．1320【解答】解：由直方图可知，高度小于100cm 的树苗所占的频率为(0.0020.0060.012)100.2++⨯=所以在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是30000.2600⨯=， 故选：B ．5．（5分）函数222()cos x xf x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：222()cos x x f x x x --=+，222()0cos f πππππ--∴=>+，222()0cos()()f πππππ---=<-+-， ∴选项B 符合，其它选项不符合．故选：B ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【解答】解：12132111(),log ,log 332a b c ===，102110()()133a ∴<=<=，112211132b log log =>=，331102c c log log ==<=， b a c ∴>>．故选：C ．7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点【解答】解：根据题意，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，依次分析选项： 对于A ，()1||x f x x =+，(0)0f =，2(2)3f -=-，(0，(0))f 与(2-，(2))f -不关于(1,1)-对称，A 错误；对于B ，,01()1||,01xx x xf x xx x x⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，在R 上为增函数，B 正确； 对于C ，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，当0x 时，0()1f x <，同理0x <时，有1()0f x -<<， 综合可得：1()1f x -<<，即函数的值域为(1,1)-，C 正确； 对于D ，()0f x x -=即1||xx x =+，只有一解，即0x =，即函数()()g x f x x =-有且只有一个零点，D 正确； 故选：A ．8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，可得函数的一个单增区间为(1,2)， 故选：B ．9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--【解答】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t且1t ，2(1,2)t ∈．可得2228011203222220122b b b b b ⎧=->⎪+⋅+>⎪⎪⇒-<<-⎨+⋅+>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = 10． 【解答】解：由(1)12i z i -=+， 得12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， 所以22(1)310||z -+== 10． 11．（5分）62()x x展开式中，常数项是 60 ．【解答】解：62()x x-展开式的通项为33621662()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-令3302r-=得2r =故展开式的常数项为2236(2)60T C =-= 故答案为60．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 [1-，1) ．【解答】解：当1x >时，13()f x log x =，此时值域为(,0)-∞，依题意，当1x 时，[0，)()f x +∞⊆，显然10a -≠，即1a ≠，①若10a ->，即1a >时，()(1)2f x a x a =--单调递增，此时值域为(-∞，1]a --，不可能满足[0，)()f x +∞⊆，舍去；②若10a -<，即1a <时，()(1)2f x a x a =--单调递减，此时值域为[1a --，)+∞，则需10a --，1a -，故此时11a -<．综上，实数a 的取值范围为[1-，1)． 故答案为：[1-，1)．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 9 ． 【解答】解：a ，b 是正数，且323ab a b ab =+++，31)0ab ∴--=，∴3ab ，9ab ∴，故ab 的最小值为9，故答案为：9．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 122ln - ． 【解答】解：设12()()(0)f x gx t t ==>，则1,x e t t ==，∴212,4t x lnt x ==，∴2||4t d lnt =-，设2()4t ht lnt =-，则1(()22t t t h t t t +'=-=，易知函数()h t在单调递减，在)+∞单调递增，且0t →时，()h t →+∞，t →+∞时，()h t →+∞，122ln h -=， ∴12|()|2min ln h t -=，即d 的最小值为122ln -．故答案为：122ln -． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 1个 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ．【解答】解：函数1()2y f x x =-+的零点个数等价于1()2f x x =-的解的个数， 又方程1()2f x x =-的解的个数等价于函数()y f x =与12y x =-的交点个数， 又52,2231,22251()2,0221(2)(),02x x x f x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪⎪=⎨-<⎪⎪⎪++⎪<⎪⎩，作出函数的图象如图所示，函数12y x =-与函数()y f x =只有一个交点， 故第一个空应填1个，函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则()()f x g x =有偶数个解， 即()y f x =与()y g x =有偶数个交点，根据图象知12k <<时有2个交点， 当122x --时，设1(2)()2y x x =-++在0x x =处的切线过点1(0,)2-， 由1(2)()2y x x =-++，可得522y x '=--，所以切线斜率为005|22x x y x ='=-，所以函数在0x x =处的切线方程为000015(2)()(2)()22y x x x x x +++=--，又切线过点1(0,)2-，所以0000115(2)()(2)(0)222x x x x -+++=--，解得0x =，此时52k ，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数， ()g x 过点1(2-，0)时，512k =->，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数，()g x 过点(2,0)-时，14k =-，()y f x =与()y g x =有1个交点，不是偶数，所以函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点时k 的取值范围为(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．故答案为：1；(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈． 【解答】解：（Ⅰ）不等式211x x --，即2301x x --，即(23)(1)0x x --，且10x -≠， 求得1x <，或32x，故不等式的解集为3(,1)[2-∞，)+∞． （Ⅱ）对于不等式2(21)20()ax a x a R +--<∈，当0a =时，不等式即20x --<， 故它的解集为(2,)-+∞．由于当0a ≠时，2(21)20ax a x +--=的根为2-和1a， 当0a >时，12a >-，求得不等式2(21)20ax a x +--<的解集为1(2,)a-， 当0a <时，若12a =-，不等式即2(2)0x +<，它的解集为∅；若102a -<<，12a <-，不等式的解集1(a ，2)-；若12a <-，12a >-，不等式的解集1(2,)a-．综上，当0a =时，它的解集为(2,)-+∞；当12a =-时，它的解集为∅；当0a >，或12a <-时，它的解集为1(2,)a -，当102a -<< 时，它的解集1(a，2)-．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以(0)0f =，即1(1)01t --=，解得2t =， 经检验，当2t =时符合题意， 所以()x x f x a a -=-， 又()y f x =的图象过点3(1,)2，则132a a --=，解得2a =或12a =-， 又0a >且1a ≠， 所以2a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()22x x f x -=-， 因为x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<， 即2()(1)f kx x f x -<--对x R ∀∈恒成立， 因为()f x 为奇函数，则2()(1)f kx x f x -<-对x R ∀∈恒成立， 又()22x x f x -=-为R 上的单调递增函数， 所以21kx x x -<-对x R ∀∈恒成立，即2(1)10x k x -++>对x R ∀∈恒成立， 则△2(1)40k =+-<，解得31k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,1)-；（Ⅲ）由题意2222()22()22(22)x x x x x x g x mf x m ---=+-=+--， 令22x x t -=-，则222(22)222x x x x ---=+-， 所以22222(22)2x x x x m t mt --+--=-+， 因为[1x ∈，2log 3]， 所以38[,]23t ∈，记函数2()2h t t mt =-+，则函数()h t 在38[,]23上有最大值1，①若对称轴25212m t =>， 则3173()()1242max h t h m ==-=，解得136m =（舍)；②当对称轴25212m t =， 则252128()()3maxm h t h ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2567324m m ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以7324m =． 综上所述，存在实数7324，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1． 18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接AG ，GE ， 因为G ，E 分别为PD ，PC 的中点， 则//GE DC ，12GE DC =， 又//AB DC ，12AB DC =， 所以//GE AB 且GE AB =， 故四边形AGEB 为平行四边形， 所以//BE AG ，又BE ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以//BE 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ， 则PD AD ⊥，PD DC ⊥，又AD CD ⊥，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 所以1(1,1,0),(0,1,),(0,0,0),(0,0,1)2B E D P ，则1(1,0,),(0,0,1),(1,1,0)2BE DP DB =-==，1(0,1,)2DE =，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m DP z m DB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1y =-， 故(1,1,0)m =-， 所以||10|cos ,|||||1101104BE m BE m BE m ⋅<>===++⨯++ 所以直线BE 与平面PBD 10； （Ⅲ）解：因为12PF FB =，则12PF FB =，所以1()2DF DP DB DF -=-，故2121112(0,0,1)(1,1,0)(,,)3333333DF DP DB =+=+=，设平面DEF 的法向量为(,,)n a b c =， 则1120333102n DF a b c n DE b c ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令2c =，则1b =-，3a =-， 故(3,1,2)n =--，又平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)s =， 所以||214|cos ,|||||7914001n s n s n s ⋅<>===++⨯++， 故平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为147．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．【解答】解：（1）设(,0)F c -，由c a =，知a =． 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得y ==，解得b ，又222a c b -=，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=．（2）设点1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立直线方程和椭圆方程，消去y ，整理得2222(23)636k x k x k +++-．求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+．因为(A 0)，B ，0)，所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅-+⋅- 212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++2222121222126(22)2()2623k k x x k x x k k +=-+-+-=++， 由已知得22212526237k k ++=+，解得2k =±． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-． 【解答】（Ⅰ）解：2?1()?(?1)()2x f x x ax x a e a R =++∈， 则1()??(?)(x x x x a e f x x a x a e e--'==)，若0a =，则当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a >，则当0x <时，()0f x '>，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增；若0a <，则当x a <时，()0f x '>，当0a x <<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增． 综上所述，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增； 当0a <时，()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）()i 证明：由（1）可知，当01a <<时，()g x 在(0，}a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，所以g （a ）(0)0g <=， 又21(22)(22)?(22)(3)?(22)?(1?)31(3)?(22)3102g a a a a a c a a a a c a a +=+++++=+++++>，所以()g x 存在唯一正零点0(,22)x a a ∈+， 故()g x 有唯一正零点； （ⅱ）证明：设()??11x xh x e a=-， 则1()?1x h x e a'=-， 当0(1)x ln a <<--时，()0h x '<， 当(1)x ln a >--时，()0h x '>，所以()h x 在(0，(1))ln a --上单调递减，在((1)ln a --，)+∞上单调递增， 又因为(0)0h =，所以要证明0(0,)x x ∀∈，11x xe a<+-， 只需要证明0()0h x ， 即证_0011x x e a +-，即证0011?x x aa e+-， 因为0()(0)f x f =，即020001?1?2x x x aax a e +-+=，所以只需证02000011?2x x x x ax aax ee +-+-+，即证02x a ， 因为()f x 在(,)a +∞单调递增， 所以只需证明0()(2)f x f a ， 因为0()(0)f x f =， 所以只需证明(2)(0)f a f ，因为21(2)?(0)?(1?)a a f a f a e+=， 设r （a ）21?1(1)aa a e +=-，则r '（a ）22220(1)aa a e =>-，所以r （a ）在(0,1)上单调递增， 所以r （a ）(0)0r >=， 所以(2)(0)f a f >， 所以原不等式得证．。
天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练试卷(含答案)
2022-2023学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（11）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,3}，B={2,5,6}，则A∩(∁U B)=( )A. {4}B. {1,3}C. {1,2,3,4}D. {1,3,4,5,6}>0”的( )2.设x∈R，则“|x|>1”是“xx−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=sinx+4x的图象大致为( )e|x|A. B.C. D.4.某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为( )A. 30B. 60C. 70D. 1305.已知a=20.1，b=2ln1，c=ln2，则a，b，c的大小关系为( )2A. c>a>bB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a6. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x)，y =f(x +3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减.则下面结论正确的是( )A. f(10)<f(e 12)<f(ln2) B. f(e 12)<f(ln2)<f(10) C. f(ln2)<f(10)<f(e 12)D. f(ln2)<f(e 12)<f(10)7. 已知函数f(x)=4cos(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向右平移m(m >0)个单位，所得函数为奇函数，则实数m 的最小值为( )A. π12B. π6 C. 5π12D. π48. 若将函数g(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是．( )A. f(x)在[0,π4]上的最小值是12 B. (4π3,0)是f(x)的一个对称中心 C. g(x)在(π4,π2)上单调递减D. g(x)的图象关于点(π6,0)对称9. 已知函数f(x)={2x 2−4|x|+4,x >1e 1−x +x,x ≤1，若不等式12f(x)−|x −m 2|<0的解集为⌀，则实数m 的取值范围为( )A. [14,5−2ln3]B. [13,5−3ln3] C. [14,6−2ln3] D. [12,6−3ln3]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若复数z 满足z(1−i)=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是______．11. 已知(x 2−2x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是______．12. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 3=7a 3，则使S n >12764成立的n 的最小值为______．13. 已知x >0，y >0，x +y =1，则3yx +1x +1y 的最小值为______．14. 为了抗击新冠肺炎疫情，现在从A 医院200人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自B 医院的概率是______.设3名联络员中A 医院的人数为X ，则随机变量X 的数学期望为______． 15. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段EF 上存在一点M ，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R)，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______；若AN −=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。
2021届南开中学高三校模拟数学试卷
面积等于 ( )
A. 81π 8
B. 81π 2
C. 121π 8
D. 121π 2
7. 已知抛物线 y2 = 2px (p > 0) 上一点 M (1, m) (m > 0) 到其焦点的距离为 5，双曲线 x2 − y2 = 1 的左顶点 a
为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是 ( )
所( 以直线 DQ 的方)程为
(
−12m 3m2 + 4
−
4 m
(2) 求直线 BC1 与平面 A1BE 所成角的正弦值；
(3) 在棱 CC1 上是否存在一点 P ，使得平面 P AB 与平面 A1BE 所成二面角为 60◦?若存在，求出线段 CP 的长；若不存在，请说明理由．
18. 已知 A1B
A1，A2 分别为椭圆 C : √
x2 a2
+
y2 b(2
的距离为 4 7b ，椭圆 C 过点
使得 f (s) = f (t)，且 s ̸= t．
（1）若 m = −2，b = （2）若关于 x 的方程
|f
(x)|
=
；( f
m
)
有
4
个不相等的实数根，则
a
的取值范围是
．
3
16. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 cos B = − b ．
cos C
2a + c
3x
（用数字作答）．
12. 已知过点 P (0, 1) 的直线 l 与直线 4x − 3y = 0 垂直，l 与圆 x2 + y2 + 2x − 6y + 6 = 0 相交于 A，B 两点，则
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)统练数学试题(四)
天津市南开中学2020-2021学年高三（上）统练数学试题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设U =R ，{|21}x A x =>，2{|log 0}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <D ．{|01}x x <2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ） A ．1BC ．2D．3．设函数f (x )＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )>f (1)的解集是（ ）A ．(－3，1)∪(3，＋∞)B ．(－3，1)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，3)4．下列四个函数：①3y x =-；②()120x y x -=>；③2210y x x =+-；④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C ．(0,2) D ．13[,2)86．已知函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1，则a 的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．(0,1)C ．1(0,]2D ．(1,)+∞7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，，C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，，D ．(10)(01)-⋃，， 8．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[2,2]m ∈-，2(3)()0f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．()3,3-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有(6)()+(3)f x f x f +=成立，且(6)2f -=-，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-.则给出下列命题：①(2016)2f =-；②6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在(9,6)--上为减函数；④方程()0f x =在[9,9]-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题10．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2(1f x f x=，则()f x =_______ 11．已知函数()f x 的定义域为R ，直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，且()01f =，则()()410f f +=________.12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 13．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________.三、解答题16．设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π=--.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()6f x π-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角PAB C 的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*11·()3n n n n S S a n N n++=+∈，且11a =. （1）证明：数列{}na n是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．已知函数()()21ln 3f x t x tx t =+++，t ∈R .（1）若0t =，求证:当0x ≥时，()2112x f x x -≥+； （2）若()4f x x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求t 的取值范围.20．已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln 2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】利用对数函数的性质，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，利用指数函数的性质确定出集合A ，由全集U =R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合 【详解】易知{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则{|01}U A C B x x ⋂=<， 故选：C . 【点睛】本题属于以考查不等式的解法为平台，考查了交､并､补集的混合运算，是高考中常考的基本题型. 2．B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 3．A 【分析】先求出(1)f ，再分0x ≥和0x <代入解析式解不等式，求出解集. 【详解】解：f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)． 【点睛】本题考查了对分段函数的理解与应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．B 【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同. 【详解】①3y x =-的定义域与值域均为R ， ②()120x y x -=>的定义域为()0,∞+，值域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， ③2210y x x =+-的定义域为R ，值域为[]11,-+∞，④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单. 5．B 【分析】根据题意，由单调性的定义可得22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，求出a 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，必有22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，解可得138a ，即13(,]8a ∈-∞； 故选：B. 【点睛】该题考查函数单调性的性质，注意分段函数的单调性的分析方法，属于基础题目. 6．A【分析】对x 进行分类讨论，当2x ≤时，()1f x x 和当2x >时，2log 1a x +≤.由最大值为1得到a 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，()1f x x ，()()21max f x f ∴==,函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1 ∴当2x >时，2log 1a x +≤.∴0121a a log <<⎧⎨≤-⎩，解得1[2a ∈，1)故选：A 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数的范围，涉及对数函数求值域，属于中档题. 7．D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．A 【解析】()()f x f x -=-, 且()2cos 30f x x =-<' ，所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a-+>222(3)()()3f ma f a f a ma a⇒->-=-⇒-<-即223123111323a a a a a a a-<<⎧-<-⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--<-⎩⎩ ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内 9．D 【分析】①首先判断出函数()y f x =是以6为周期的周期函数，可得(2016)(0)f f =，即可得到答案;②根据函数的周期性可以直接得到结论; ③利用单调性的定义可以得到答案;④根据(3)(3)0f f =-=，以及函数的周期性，得出答案. 【详解】对于①，令3x =-，由(6)()+(3)f x f x f +=得(3)0f -=，又函数()y f x =是R 上的偶函数，∴(3)(3)0f f =-=，∴(6)()f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数，∴(2016)(3366)(0)f f f =⨯=；又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-，即①正确；对于②，函数关于y 轴对称，周期为6，∴函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故②正确； 对于③，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-设12x x <，则12()()f x f x <，故函数()y f x =在[0,3]上是增函数，根据对称性，易知函数()y f x =在[3,0]-上是减函数，根据周期性，函数()y f x =在(9,6)--上为减函数，故③正确；对于④，因为(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性可知在[9,9]-，有且仅有(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程()0f x =在[9,9]-上有4个根，故④正确.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的周期性和单调性，做题时要认真审题，属于中档题，1013【分析】根据1()2(1f x f x =，考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x ，用1x代替x 代入 1()2(1f x f x=-，解关于()f x 与1()f x 的方程组，即可求得()f x ．【详解】考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x，故可考虑利用换元法进行求解．在1()2(1f x f x =，用1x代替x ，得1()2(1f f xx=-，将1()1f x =-代入1()2(1f x f x=中，可求得1()3f x =．13+. 【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法． 11．2 【分析】（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，从而可推出()()2f x f x =+，进而可得出答案．（性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2，从而可求出答案． 【详解】解：（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，则()()222f x f x +=++⎡⎤⎣⎦，所以()()2f x f x =+，则()()()()410002f f f f +=+=. （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2. 又()01f =，则()()()()410002f f f f +=+=. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题． 12．8 【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．82 【解析】试题分析：由()3sin 2f x x x =++知当时，()()1222f x f x +=⨯.1120-+=⨯，1919202020-+=⨯，⋅⋅⋅，(1)(1)22f f ∴-+=⨯，1919()()222020f f -+=⨯，⋅⋅⋅，则()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin 2f x x x =++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题. 14．8- 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x ，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(4)()f x f x -=-，所以()()(4)8f x f x f x =--=-，8是函数()f x 的一个周期，所以()(4)()4f x f x f x -=-=+，所以2x =-是函数的一条对称轴，函数的对称轴是()42x k k Z =-∈，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，12344,12x x x x +=+=-，所以12348x x x x +++=-， 故答案为：8- 【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.15．33,4⎛--⎤⎥⎝⎦【分析】根据新定义可得31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()11111f f f x m --==+--，∴31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，∴()311x m x -=-，21m x x =---，()1,1x ∈-.∵2213124y x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在()1,1-的值域为33,4⎛--⎤ ⎥⎝⎦， 所以方程有解实数m 的取值范围是33,4⎛--⎤⎥⎝⎦， 故答案为：33,4⎛--⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．16．（1）最小正周期π；（2）最大值是12，最小值是【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x ，利用周期公式即可求最小正周期. （2）求()6f x π-解析式，1()sin(2)632f x x ππ-=--，然后根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出其值域后，，即可得到最大最小值. 【详解】 （1）21()sin cos sin ()sin 242f x x x x x π=--=-，∴函数()f x 的最小正周期T π=；（2）由（1）得1()sin(2)632f x x ππ-=--， [0x ∈，]2π，22333x πππ∴--，sin(2)[3x π∴-∈1]，1()[62f x π∴-∈-，1]2，()6f x π∴-在[0，]2π上的最大值是12，最小值是. 【点睛】本题考查三角函数的周期性和三角函数的值域，以及三角函数平移变换和三角恒等变换，属于中档题.17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）7-;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB 找一线与之平行即可，显然分析//DB AC 即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠，所以PC 与AB 不垂直，故不存在试题解析：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =，所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=， 又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB ⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.以,,DB DA DP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B，()A ，()0,0,1P，()C .平面ABC 的法向量()n 0,0,1=，设()m ,,x y z =为平面PAB 的一个法向量，则 由m 0,{m 0BA BP ⋅=⋅=可得令1y =，则x z ==，所以平面PAB的一个法向量(m 3,1,=，所以m n 3cos m,n 7m n⋅===所以二面角PAB C 的余弦值为7-. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得()1,AB =，()1PC =-， 因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18．（1）证明见解析；（2）99314423nn n S ⎛⎫ ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭⎭⎪⎝.【分析】（1）利用11n n n S S a ++-=化简，证明n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）可得113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，再利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）证明：根据题意可得，11·3n n n n S S a n++-=， 11·3n n n a a n ++∴=， ∴11·13n n a an n +=+， 11a =，∴数列{}n a n是以1为首项，以13为公比的等比数列，（2）由（1）可得11()3n n a n -=，11·()3n n a n -∴=，012111111()2()3()()3333n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，∴123111111()2()3()()33333n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅， ∴123111************()()()()()()()()1333333322313n n n n n n S n n n --=++++⋯+-⋅=-⋅=-+⋅-， 9931()()4423n n n S ∴=-+⋅.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）[)1,+∞． 【分析】（1）将0t =代入解析式得()ln f x x =，从而有()()1ln 1f x x +=+，令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论； （2）由题意得()21ln 340t x tx t x +++-≥，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，先根据()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，从而可推出函数()x ϕ在[)1,+∞递增，从而得出结论． 【详解】（1）证：当0t =时，()ln f x x =，()()1ln 1f x x +=+，即证()21ln 12x x x -≥+； 令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，则()201xg x x '=>+，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ≥=， 即()2112x f x x -≥+； （2）解：由()()241ln 340f x x t x tx t x ≥⇒++-≥+， 令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，首先由()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，因为1t ≥所以()16810t t ∆=-+≤， 所以()0h x ≥恒成立，即()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)1,+∞递增， 故()()1440x t ϕϕ≥=-≥， 综上：t 的取值范围[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题． 20．（1）()f x 在0,单调递减；（2）(],0-∞.【解析】 试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 . 试题解析：（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=- 即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-， ∴()()22212110x f x x xx--=--=≤'函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠，原不等式2211lnx m x x>--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，设()()22111211g x lnx x f x x x x⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，当01x <<时，()()0,0f x g x >>；当1x >时，()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，假设存在正数b ，使得()0g x b >>，若01b <≤，当1x b >时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； 若1b >，当11x b <<时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； ∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(],0-∞.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．。
2021年天津市南开中学高考数学统练试卷
2021年天津市南开中学高考数学统练试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4}，B={1,3，5}，P=A∩B，则P的子集共有()A. 2个B. 4个C. 6个D. 3个2.设i为虚数单位，a∈R，若复数z=a−2i1+i是纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −1D. 13.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是()A. f(x)=(4x−4−x)|x|B. f(x)=(4x−4−x)log2|x|C. f(x)=(4+4−x)|x|D. f(x)=(4x+4−x)log2|x|4.已知偶函数g(x)在(−∞,0)上是减函数，若a=g(−log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a5.从0，1，2，3，4中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，则组成的三位数是偶数的概率是()A. 23B. 35C. 38D. 586.已知x>0，y>0，x+2y=3，则x2+3yxy的最小值为()A. 3−2√2B. 2√2+1C. √2−1D. √2+17.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，圆x2+y2=b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|MF1|=3|MF2|，则该双曲线的离心率为()A. 2B. 3C. √2D. √38.将函数f(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)+√3cos2(x+φ)−√32(0<φ<π2)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，且满足g(π3)=12，则g(x)的一个单调递增区间可以是()A. [−π4,π4] B. [−π6,π12] C. [π4,π2] D. [−π2,π6]9.已知函数f(x)={x 3,x>0ax+|x+2|,x<0，若函数y=f(x−1)+f(1−x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是()A. (2,+∞)B. (4,+∞)C. (2,3)D. [3,4]二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则用电量低于150度的户数为______．11. 在(x 3+2x 2)5的展开式中，常数项是______．12. 甲、乙两人同时参加环保知识晋级赛，甲晋级的概率为13，乙晋级的概率为12，两人是否晋级互不影响，则其中至少有一人晋级的概率为______；记晋级的人数为X ，则X 的期望E(X)=______． 13. 如果一个八面体各个面都是全等的正三角形，如图所示，则这个几何体叫正八面体，则棱长为4的正八面体的内切球半径是______．14. 过抛物线C ：y 2=2Px(P >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN|=√33|AB|，则l 的斜率为______．15. 如图，已知△ABC 中，AB =3，AC =2，∠CAB =60°，AD =2DB ，AE =EC ，BE 和CD 交于点F ，点G 是线段DE 上一动点，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√15，b −c =2，cosA =−14． (1)求a 和sin C 的值； (2)求cos(2A +π6)的值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PD=CD=1，BC=2，E是棱PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F．(1)求证：PB⊥平面DEF；(2)求直线BD与平面DEF所成角的正弦值；(3)求二面角D−BP−C的余弦值．18.设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大子0，且a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n}满足c n={1,n为奇数b n2,n为偶数，求∑a i2ni=1c i．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与C交于M，N两点，△MNF2的周长为8，当直线l垂直于x轴时，|MN|=3．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设椭圆C的右顶点为A，直线AM，AN分别交直线x=−4于P，Q两点，当△PQF1的面积是△AMN 面积的5倍时，求直线l的方程．20.已知函数f(x)=alnx−(a+2)x+x2．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对于任意a∈[4,10]，x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≤λx1x2成立，试求λ的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={0,1，2，3，4}，B={1,3，5}，∴P=A∩B={1,3}，∴P的子集共有22=4．故选：B．先求出P=A∩B={1,3}，由此能求出P的子集的个数．本题考查交集的求法，考查集合的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】B【解析】解：∵z=a−2i1+i =(a−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−22−a+22i是纯虚数，∴{a−22=0a+22≠0，解得a=2．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，用排除法分析：对于A，f(x)=(4x−4−x)|x|，其定义域为R，有f(−x)=(4−x−4x)|x|=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，不符合题意；对于B，f(x)=(4x−4−x)log2|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=(4−x−4x)log2|x|=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=(4x+4−x)|x|，在区间(0,1)上，f(x)>0，不符合题意；故选：D．根据题意，用排除法分析：利用函数的奇偶性排除AB，由区间(0,1)上，函数值的符号排除C，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，偶函数g(x)在(−∞,0)上是减函数，则g(x)在(0,+∞)为增函数，a=g(−log25.1)=g(log25.1)，又由20.8<21=2<log25.1<log28=3，故有b<a<c；故选：C．根据题意，由偶函数的性质可得g(x)在(0,+∞)为增函数且a=g(−log25.1)=g(log25.1)，由对数的性质可得20.8<21=2<log25.1<log28=3，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及对数大小的比较，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：取出的三位数是偶数，则个位数必是偶数，百位不为0，①若个位为0，则有A42=12种，②若个位为2或4，则共有C21C31C31=18种，则共有18+12=30种，从0，1，2，3，4中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，共有C41A42=48，故组成的三位数是偶数的概率P=3048=58．故选：D．求出取出的三位数是偶数的个数，以及从0，1，2，3，4中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数的总个数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：x >0，y >0，x +2y =3， 则x 2+3y xy=x 2+y(x+2y)xy=x y +2y x+1 ≥2√x y ⋅2y x+1=2√2+1．当且仅当x =√2y =3√2−3时，上式取得等号， 则x 2+3y xy的最小值为2√2+1．故选：B ． 由条件可得x 2+3y xy=x 2+y(x+2y)xy=x y +2y x+1，运用基本不等式可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由双曲线的定义可得|MF 2|=a ，设M(m,n)，m >0，可列出{|OM |2=m 2+n 2=b 2|MF 2|2=(m −c)2+n 2=a 2b 2+a 2=c 2，得到{m =b 2cn =b·ac，结合m 2a 2−n 2b 2=1，可得a ，b ，c 的关系，运用离心率公式可得所求值． 【解答】解：由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2a ， 若|MF 1|=3|MF 2|，则|MF 2|=a ， 设M(m,n)，m >0，则有{|OM |2=m 2+n 2=b 2|MF 2|2=(m −c)2+n 2=a 2b 2+a 2=c 2,解得{m =b 2cn =b·ac ,① 又m 2a 2−n 2b 2=1，②把①带入②可得：c 2=3a 2，则e =ca =√3． 故选D ．8.【答案】B【解析】解：将函数f(x)=sin(x +φ)cos(x +φ)+√3cos 2(x +φ)−√32=12sin(2x +2φ)+√3×+1+cos(2x+2φ)2−√32=sin(2x +2φ+π3) (0<φ<π2)的图象，向右平移π6个单位，得到函数g(x)=sin(2x −2×π6+2φ+π3)=sin(2x +2φ)的图象， ∵满足g(π3)=sin(2×π3+2φ)=sin(2φ+2π3)=12， 由于2φ+2π3∈(2π3,5π3)，∴2φ+2π3=5π6，∴φ=π12，g(x)=sin(2x +π6).令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， 可得函数g(x)的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ， 故选：B ．由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：f(x)={x 3,x >0(a +1)x +2,−2<x <0(a −1)x −2,x ≤−2，f(x −1)={(x −1)3,x >1(a +1)x +(1−a),−1<x <1(a −1)x −(a +1),x ≤−1，f(1−x)={−(x −1)3,x <1−(a +1)x +(a +3),1<x <2−(a −1)x +(a −3),x ≥2，f(x −1)+f(1−x)={(x −1)3−(a −1)x +(a −3),x ≥2(x −1)3−(a +1)x +a +3,1<x <2(a +1)x +(1−a)−(x −1)3,−1<x <1(a −1)x −(a +1)−(x −1)3,x ≤−1，因为函数y =f(x −1)+f(1−x)关于x =1对称， 所以，由题可得，x >1时，有两个零点， y ={(x −1)3−(a −1)x +(a −3),x ≥2(x −1)3−(a +1)x +a +3,1<x <2，y′={3x 2−6x +(4−a),x ≥23x 2−6x +(2−a),1<x <2，要让函数在x >1时有两个零点，则y′(2)<0， 所以2−a <0， 所以a >2， 故选：A ．根据题意先写出f(x −1)+f(1−x)的解析式，由于函数y =f(x −1)+f(1−x)关于x =1对称，则x >1时，有两个零点，即可得出答案．本题考查函数与方程的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．10.【答案】30【解析】解：由频率分布直方图得用电量低于150度的频率为： (0.0024+0.0036)×50=0.3，∴用电量低于150度的户数为100×0.3=30． 故答案为：30．由频率分布直方图求出用电量低于150度的频率，再求出用电量低于150度的户数． 本题考查频率分布直方图的性质，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】80【解析】解：在(x 3+2x 2)5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r⋅2r ⋅x 15−5r ， 令15−5r =0，求得r =3，可得常数项是C 53⋅23=80，故答案为：80．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．12.【答案】23 56【解析】解：设甲，乙两人至少有一个晋级为事件A ， 则P(A)=1−(1−13)×(1−12)=23， 由题意可得，X 的所有可能的值为0，1，2， P(X =0)=(1−13)×(1−12)=13，P(X =1)=13×(1−12)+(1−13)×12=12， P(X =2)=13×12=16，E(X)=0×13+1×12+2×16=56． 故答案为：23,56．求出两人均不能晋级的概率，其对立事件为甲，乙两人至少有一个晋级，即可求解，由题意可得，X 的所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解． 本题主要考查离散型随机变量的期望的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．13.【答案】2√63【解析】解：如图，连接AF ，DB ，CE ，可得AF ，DB ，CE 互相垂直平分， 由题意，该正八面体的棱长为4，则该正八面体的体积V =2×13×4×4×√42−(2√2)2=64√23，该八面体的表面积S =8×√34×42=32√3设正八面体的内切球半径为r ，∵13S r =V ，即13×32√3⋅r =64√23，解得r =2√63，故答案为：2√63． 由正八面体的棱长为3，分别求出正八面体的体积及表面积，再由等体积法求正八面体的内切球半径． 本题考查球的内接几何体，训练了利用等体积法求多面体内切球的半径，考查计算能力，是基础题．14.【答案】√3【解析】解：分别过A，B，N作抛物线的准线的垂涎，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|NN′|=12(|AA′|+|BB′|)=12|AB|，因为|MN|=√33|AB|，所以|NN′|=√32|MN|，所以∠MNN′=30°，即直线MN的倾斜角为150°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为60°，k AB=√3．故答案为：√3．分别过A，B，N作抛物线的准线的垂涎，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|NN′|=12(|AA′|+|BB′|)=12|AB|，因为|MN|=√33|AB|，所以|NN′|=√32|MN|，所以∠MNN′=30°，即直线MN的倾斜角为150°，再得l的倾斜角和斜率．本题考查了抛物线的性质，属中档题．15.【答案】[54,7 2 ]【解析】解：建立如图所示坐标系，由题可知，A(0,0)，B(3,0)，D(2,0)，E(12,√32)，C(1,√3)，则k CD=√3−01−2=−√3，所以直线CD的方程为y=−√3(x−2)．同理可得直线BE的方程为y=−√35(x−3)，联立{y=−√3(x−2), y=−√35(x−3)，解得x=74,y=√34所以F(74,√34)所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,√34)易知直线DE的方程为y=−√33(x−2)设G(m,−√33(m−2))，其中12≤ m≤2(因为G在线段DE上)，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−√33(m −2)) 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =74m +√34[−√33(m −2)]=32m +12∈[54,72]，故答案为：[54,72]．建立坐标系，通过直线BE 和CE 方程求出点F 坐标，根据G 在线段DE 上设出G 点坐标，用坐标运算求AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围．本题考查平面向量的坐标运算、数量积及直线方程的相关知识，考查了转化思想，属于中档题．16.【答案】解：(1)在三角形ABC 中，由cosA =−14，可得sinA =√154， △ABC 的面积为3√15，可得：12bcsinA =3√15，可得bc =24，又b −c =2，解得b =6，c =4，由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得a =8，由a sinA =c sinC ，解得sinC =√158； (2)cos(2A +π6) =cos2Acos π6−sin2Asin π6=√32(2cos 2A −1)−12×2sinAcosA =√15−7√316．【解析】(1)通过三角形的面积以及已知条件求出b ，c ，利用正弦定理求解sin C 的值；(2)利用两角和的余弦函数化简cos(2A +π6)，然后直接求解即可．本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 17.【答案】(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵底面ABCD 是长方形，∴CD ⊥BC ，又PD ∩CD =D ，∴BC ⊥平面PCD ，∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PD =CD ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，∵PC ∩BC =C ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥PB ，又EF ⊥PB ，DE ∩EF =E ，∴PB ⊥平面DEF ．(2)解：由题意知DA 、DC 、DP 两两垂直，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0，0)，P(0,0，1)，C(0,1，0)，B(2,1，0)，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)，设直线BD 与平面DEF 所成角为θ，由(1)知BP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面DEF 的法向量， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)，由(1)知BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面DEF 的法向量，∴sinθ=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√6=√306． ∴直线BD 与平面DEF 所成角的正弦值为√306． (3)解：由(2)知，E(0,12,12)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)，设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −y =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −y +z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−2,0)， 由(1)知DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面PBC ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12)是平面PBC 的法向量， 设二面角D −BP −C 的平面角为α，由图知α是锐角，∴cosα=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5×√12=√105．∴二面角D −BP −C 的余弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，从而BC ⊥平面PCD ，进而BC ⊥平面PCD ，DE ⊥BC ，再求出DE ⊥PC ，从而DE ⊥平面PBC ，DE ⊥PB ，由EF ⊥PB ，DE ∩EF =E ，能证明PB ⊥平面DEF ．(2)由题意知DA 、DC 、DP 两两垂直，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD 与平面DEF 所成角的正弦值．(3)求出平面PBD 的法向量和平面PBC 的法向量，利用向量法能求出二面角D −BP −C 的余弦值．18.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，且a 1=b 1=3，b 2=a 3，b 3=4a 2+3，所以{3q =3+2d 3q 2=15+4d ，解得d =3，q =3．所以a n =3n ；b n =3n ．(Ⅱ)数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数b n 2,n 为偶数， 由(Ⅰ)得：∑a i 2n i=1c i =a 1c 1+a 2c 2+...+a 2n c 2n ，=(a 1+a 2+...+a 2n−1)+(a 2c 1+a 4c 2+...+a 2n c n )，=[3n +(n−1)n 2×6]+(6×31+12×32+...+6n ⋅3n )， =[3n +(n−1)n 2×6]+6×(1×31+2×32+...+n ⋅3n )，设T n =1×31+2×32+...+n ⋅3n ①，3T n =1×32+2×33+...+n ⋅3n+1②，①−②得：2T n =(2n−1)⋅3n+1+32，∑a i 2n i=1c i =3n 2+6T n =3n 2+3×(2n−1)⋅3n+1+32=(2n−1)⋅3n+2+6n 2+92．【解析】(Ⅰ)直接利用等比数列和等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用分组法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)由{4a =82b 2a=3，解得a =2，b =√3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设直线l 的方程为x =my −1，M(my 1−1,y 1)，N(my 2−1,y 2)，P(−4,y p )，N(−4,y Q )，联立{x =my −13x 2+4y 2−12=0， 所以3(my −1)2+4y 2−12=0，所以(3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，由P ，M ，A 三点共线可得y P =−6y 1my1−3， 同理可得y Q =−6y 2my2−3， 所以S △PQF 1S △AMN =|y P −y Q ||y 1−y 2|=|18(my1−3)(my 2−3)| =|18m 2y 1y 2−3m(y 1+y 2)+9|=12(3m 2+4)=5， 解得m =±√2，所以直线l 的方程为y =±√22(x +1)．【解析】(Ⅰ)由△MNF 2的周长为8，|MN|=3，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案．(Ⅱ)设直线l 的方程为x =my −1，M(my 1−1,y 1)，N(my 2−1,y 2)，P(−4,y p )，N(−4,y Q )，联立直线l 与椭圆的方程，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，由P ，M ，A 三点共线，可解得P 点纵坐标，同理得Q 点纵坐标，则S △PQF 1S △AMN =|y P −y Q ||y 1−y 2|，即可解得m 的值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(I)当a =1时，f(x)=lnx −3x +x 2，∴f′(x)=1x −3+2x ，f(1)=−2，∴f(x)在x =1处的切线斜率k =f′(1)=0，∴f(x)在x =1处的切线方程为y =−2．(II)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a x −(a +2)+2x =2x 2−(a+2)x+a x =(2x−a)(x−1)x ，当a ≤0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a <2时，函数在(0,a 2),(1,+∞)上单调递增，在(a 2,1)上单调递减；当a =2时，函数的(0,+∞)上单调递增；当a >2时，函数在(0,1),(a 2,+∞)上单调递增，在(1,a 2)上单调递减．(III)|f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2|≤λx 1x 2恒成立，即|f(x 1)−f(x 2)|≤λ|1x 1−1x 2|恒成立， 不妨设x 2>x 1，因为当a ∈[4,10]时，f(x)在[1,2]上单调递减，则f(x 1)−f(x 2)≤λ(1x 1−1x 2)，可得f(x 1)−λx 1≤f(x 2)−λx 2， 设g(x)=f(x)−λx =alnx −(a +2)x +x 2−λx ，∴对于任意的μ∈[4,10]，x 1，x 2∈[1,2]，x 2>x 1，g(x 1)≤g(x 2)恒成立，∴g(x)=f(x)−λx在[1,2]上单调递增，g′(x)=(2x−a)(x−1)x +λx2=2x3−(a+2)x2+ax+λx2≥0在x∈[1,2]上恒成立，∴2x3−(a+2)x2+ax+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，即a(−x2+x)+2x3−2x2+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，∵当x∈[1,2]时，−x2+x≤0，∴只需10(−x2+x)+2x3−2x2+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，即2x3−12x2+10x+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，设ℎ(x)=2x3−12x2+10x+λ，则ℎ(2)=−12+λ≥0，∴λ≥12，故实数λ的取值范围为[12,+∞)．【解析】(Ⅰ)将a=1代入f(x)中，对f(x)求导，求出f(x)在x=1处的切线斜率，再求出切线方程即可；(Ⅱ)对f(x)求导，然后分a≤0，0<a<2，a=2和a>2四种情况，求出f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)=f(x)−λx =alnx−(a+2)x+x2−λx，根据条件可得，对于任意的μ∈[4,10]，x1，x2∈[1,2]，x2>x1，g(x1)≤g(x2)恒成立，然后将问题转化为10(−x2+x)+2x3−2x2+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，再求出λ的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的切线方程和单调性，利用不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想，分类讨论思想和函数思想，属难题．。
高三数学上学期统练试题5含解析 试题
南开中学2021届高三数学上学期统练试题〔5〕〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题2:,2n P n N n ∃∈>，那么P ⌝为〔 〕A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否认为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即此题的正确选项为C.2.设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，那么 A. 2x <3y <5z B. 5z <2x <3y C. 3y <5z <2x D. 3y <2x <5z【答案】D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，那么2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，那么23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，那么25x z <，应选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或者作商进展比拟大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法那么，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不一样．三个房间的粉刷面积〔单位：2m 〕分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用〔单位：元/2m 〕分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用〔单位：元〕是〔 〕 A. ax by cz ++B. az by cx ++C. ay bz cx ++D.ay bx cz ++【答案】B 【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.应选B.32()1f x x ax bx =+++，函数(1)1y f x =+-为奇函数，那么函数()f x 的零点个数为〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 试题分析：32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++为奇函数，3a ∴=-，2b =，32()321f x x x x ∴=-++，2()362f x x x '∴=-+，那么()0f x '=的两根为1313x =-，2313x =+，所以，()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>，(1)50f -=-<，∴存在0(1,0)x ∈-，使0()0f x =．综上，函数()f x 的零点个数为1,故应选B ．考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答此题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得2()0f x >和，(1)50f -=-<，从而断定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，此题具有一定的难度，难点在于如何断定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．5.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，假设存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，那么a 的取值范围是〔 〕A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，应选D. 【点睛】此题考察导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.设函数()f x 满足()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='那么0x >时，()f x ( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】【详解】函数()f x 满足2'()2()xex f x xf x x+=，()2'x e x f x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =， 那么()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-， 那么()()()2'2',x xe x x e F x xϕ-=-=()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既无极大值也无极小值，应选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法那么. 【方法点睛】此题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法那么，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进展类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造适宜的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状〞变换不等式“形状〞；②假设是选择题，可根据选项的一共性归纳构造恰当的函数.此题通过观察导函数的“形状〞，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.7.假设函数()22log 2axf x x x +=---为奇函数，那么使不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立的m 的取值范围是〔 〕A. (),1-∞B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()(),00,1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用()22log 2axf x x x+=---为奇函数，求出a ，由此求出该函数的定义域，不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()11f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()22log 2x f x x x +=---在区间()2,2-s 递减，可得m 的取值范围.【详解】由函数()22log 2axf x x x+=---为奇函数，可得()()f x f x =--. 即：2222log log 22ax ax x x x x+---=-+-+，2222log log 22x axax x --∴=++，那么2222x axax x--=++，所以，22244x a x -=-，得21a =，解得1a =±.①当1a =-时，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠，定义域不关于原点对称，不符合题意；②当1a =时，()22log 2x f x x x+=---，由202xx +>-，解得22x -<<，该函数的定义域为()2,2-，定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，函数()y f x =为奇函数.对于函数22log 2x y x +=-，内层函数24121x u x x +==----在()2,2-上单调递增，外层函数2log y u =在()0,∞+上单调递增，所以，函数22log 2xy x+=-在()2,2-上单调递增. 所以，函数()22log 2xf x x x+=---在()2,2-上单调递减，且()()22211log 31log 3log 6f =--=-+=-，由21log 60f m ⎛⎫+<⎪⎝⎭得()21log 61f f m ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，112m ∴<<，解得112m <<.应选：B.【点睛】此题主要考察函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.8.定义“标准01数列〞{a n }如下：{a n }一共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.假设m =4，那么不同的“标准01数列〞一共有 A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，那么详细的排法列表如下：,01010011;010101011,一共14个【点睛】求解计数问题时，假如遇到情况较为复杂，即分类较多，HY 也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会到达岀奇制胜的效果．9.f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，满足不等式()10f x -<的x 取值范围是〔 〕 A. ()1,3- B. ()3,1-C. ()(),13,-∞-+∞D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式()10f x -<转化为()1(2)f x f -<，即可得到结论.【详解】解：由题意：f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，可得f (x ) 在(0,)+∞上为减函数，且()20f -=，()10f x -<等价于()10f x -<，即()1(2)f x f -<，那么12x -＞，解得：3x ＞或者1x <-， 应选：C.【点睛】此题主要考察函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵敏运用函数性质解题.二、填空题〔一共6小题：一共30分〕 10.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，假设2ii 12iz -+=+，那么b =__________． 【答案】2- 【解析】()()2i 12i 2i i i 12i 5z ---+===-+，2i=z ∴=- a bi +，2b ⇒=-故答案为2-. 11.在二项式5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52. 【解析】 【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解2x 的系数即可.【详解】结合二项式定理的通项公式有：355215512rrr r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝， 令3522r -=可得：2r，那么2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】〔1〕二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件〔特定项〕和通项公式，建立方程来确定指数〔求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 、r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等〕)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．〔2〕求两个多项式的积的特定项，可先化简或者利用分类加法计数原理讨论求解． 12.()331f x x x =+-，()33f a -=-，()31f b -=，那么+a b 的值是______.【答案】6. 【解析】 【分析】令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数, ()()1f x h x =-,且()()330h a h b -+-=，可得+a b 的值.【详解】解：令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数，且()()1f x h x =-，由()33f a -=-，可得()3(3)12h a f a -=-+=-，()31f b -=，可得()3(3)12h b f b -=-+=，可得()()330h a h b -+-=，由()h x 为奇函数，可得330a b -+-=，故6a b +=， 故答案为：6.【点睛】此题主要考察函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.13.函数()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，假设函数f (x )在1x =处获得极大值，那么实数a 的取值范围是______.【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】求出函数的导数，讨论a 的取值范围，得到函数()f x 的单调区间，结合函数的最大值，可得a 的取值范围.【详解】解：由()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，可得'()22f x Inx ax a =-+，设()22()g x Inx ax a x =-+＜0，'112()2axg x a x x-=-=， 当0a ≤，(0,)x ∈+∞，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增， 当0a ＞，1(0,)2x a∈，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增； 1(,)2x a∈+∞，'()0g x ＜，函数()g x 单调递减； 由f (x )在1x =处获得极大值，可得'(1)0f =，当0a ≤时，'()f x 单调递增，当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增，所以f (x )在1x =处获得极小值，与题意不符；当1a 20＜＜时，即12a1＞，可得：'()f x 在1(0,)2x a ∈单调递增，所以当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，当1(1)2x a∈，，'()0f x ＞，即f (x )在(0,1)x ∈单调递减，在1(1,)2x a ∈单调递增，所以f (x )在1x =处获得极小值，与题意不符； 当1a=2时，即1=2a1，'()f x 在(0,1)x ∈单调递增，在(1,+)x ∈∞单调递减， 所以当(0,+)x ∈∞，'()0f x ≤，()f x 单调递减，与题意不符；当12a ＞，即可1012a＜＜，当1(,1)2x a ∈，'()0f x ＞，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＜，函数()f x 单调递减，所以f (x )在1x =处获得极大值，符合题意， 故答案为：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.14.给出以下结论：①函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设()()12,31f f -=-=-，那么()()31f f <-；②函数()212log 2y x x =-的单调递减区间是(,0)-∞； ③函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，那么当0x <时，()2f x x =-；④假设函数()y f x =的图象与函数xy e =的图象关于直线y x =对称，那么对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+.那么正确结论的序号是_______________________〔请将所有正确结论的序号填在横线上〕． 【答案】①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得()()331f f =--= ，而()12f -=，所以()()31f f <- ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为()2,+∞；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据0x >的解析式，求得0x < 的解析式；④()ln f x x =，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需,0x y >，由()()()f xy f x f y =+，所以正确的序号是①③.【点睛】此题以多项选择题的形式考察函数的某些性质，综合性比拟高，选项②错的比拟多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减〞，同时函数的定义域，定义域是比拟容易无视的问题，做题时要重视.15.a R ∈，函数3()f x ax x =-，假设存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，那么实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】此题主要考察含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于才能型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，那么原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三、解答题〔一共5小题：一共65分〕16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. 〔1〕证明：2B A π-=； 〔2〕求sin sin A C +的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕29(,]28. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由〔1〕知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin 2A <<，因此221992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]28． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.17.如图,ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//AF DE ，AD DE ⊥,26AF =,36DE =〔1〕求证：面ACE ⊥面BED ；〔2〕求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；〔3〕在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60？假设存在，求出AMAF的值；假设不存在，说明理由. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕1313；〔3〕14.【解析】【详解】试题分析：〔1〕由平面ADEF ⊥平面ABCD ，AD DE ⊥可推出DE ABCD ⊥面，再根据ABCD 是正方形，可推出AC ⊥平面BDE ，从而可证AC ⊥平面BDE ；〔2〕根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的法向量，即可求出直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；〔3〕点M 在线段AF 上，设()3,0,M t ，026t ≤≤，求出平面MBE 的法向量，根据二面角M BE D --的大小为60，即可求出t .试题解析：(1)证明：∵ADEF ABCD ⊥面面，ADEF ABCD AD 面面⋂=，DE ADEF ⊂面，DE AD ⊥∴DE ABCD ⊥面. ∵AC ABCD ⊂面 ∴DE AC ⊥又∵ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥∵DE BD D ⋂=，DE BED ⊂面，BD BED ⊂面 ∴AC ⊥平面BDE . 又∵AC ACE ⊂面 ∴A CE BED 面面⊥ .(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz -如下图，那么()3,0,0A，(F，(E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，()3,3,0CA =-，(3,BE =--，(3,0,EF =设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =，00n BE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111133030x y x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，1113x y z 则==,那么()62n =，∴-3cos ,32CAn CA n CA n⋅===⨯∴直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为13. (3)解：点M 在线段AF 上，设()3,0,M t ，0t ≤≤，那么()0,3,BM t =-，(3,BE =--设平面MBE 的法向量为()111,,m x y z =，那么00m BM m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111130330y tz x y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令111,3y t z x t ===则，那么()36,,3m t t =-，1cos ,23m CA m CA m CA⋅===，整理得：22150t -+=解得：)t t ==舍， 此时14AM AF =. 18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .233=+nn S .〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】〔Ⅰ〕13,1,{3,1,n n n a n -==>; 〔Ⅱ〕13631243n nn T +=-⨯. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；〔Ⅱ〕结合第〔Ⅰ〕问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的构造特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】〔Ⅰ〕因为233=+n n S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>〔Ⅱ〕因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-，所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133nnn T n ---=+++--⋅()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也合适， 综上可得：13631243n n n T +=-⨯. 【点睛】此题考察数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进展数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 19.函数1()ln f x x a x x=-+． 〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进展分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：〔1〕()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+=--+-'=.〔i 〕假设2a ≤，那么()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.〔ii 〕假设2a >，令()0f x '=得，x =或者x =当0,22a a x ⎛⎛⎫-+∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x 在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增. 〔2〕由〔1〕知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，那么21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数()12ln g x x x x=-+，由〔1〕知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考察的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进展讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.3()(1)f x x ax b =---，x∈R，其中a,b∈R.〔Ⅰ〕求f 〔x 〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设f 〔x 〕存在极值点x 0，且f 〔x 1〕= f 〔x 0〕，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；〔Ⅲ〕设a ＞0,函数g 〔x 〕= |f 〔x 〕|,求证：g 〔x 〕在区间[0,2]上的最大值不小于14.【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕详见解析；〔Ⅲ〕详见解析. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；〔Ⅱ〕由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；〔Ⅲ〕本质研究函数最大值：主要比拟(1),(1)f f -，33(,()33a af f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：〔Ⅰ〕解：由，可得.下面分两种情况讨论： 〔1〕当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.〔2〕当时，令，解得313a x =+，或者313ax =-.当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a -∞-313a - 33(1,1)33a a -+ 313a + 3(1,)3a++∞ ＋－＋单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a -∞-，3(1,)3a++∞. 〔Ⅱ〕证明：因为存在极值点，所以由〔Ⅰ〕知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及〔Ⅰ〕知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以. 〔Ⅲ〕证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： 〔1〕当时，33102133a a-≤<≤+，由〔Ⅰ〕知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.〔2〕当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由〔Ⅰ〕和〔Ⅱ〕知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.〔3〕当时，2323011233a a<-<+<，由〔Ⅰ〕和〔Ⅱ〕知， 233(0)(1)(1)33a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)33a af f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤： 〔1〕确定函数f 〔x 〕的定义域〔定义域优先〕； 〔2〕求导函数f ′〔x 〕；〔3〕在函数f 〔x 〕的定义域内求不等式f ′〔x 〕＞0或者f ′〔x 〕＜0的解集； 〔4〕由f ′〔x 〕＞0〔f ′〔x 〕＜0〕的解集确定函数f 〔x 〕的单调增〔减〕区间．假设遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f 〔x 〕在〔a ，b 〕上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′〔x 〕≥0〔或者f ′〔x 〕≤0〕恒成立问题，要注意“＝〞是否可以取到．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2021届天津市南开区高三数学上学期期末考试数学试题
天津市南开区2021届高三数学上学期期末考试试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页，第II卷3至8页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.本答案共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：•柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.•锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合，，，则等于（）（A）（B）（C）（D）（2）“”是“”（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）（4）已知等比数列满足，，则的值为（）（A）（B）（C）（D）（5）函数的图像经过怎样的平移变换得到函数的图像（）（A）向左平移个单位长度（B）向左平移个单位长度（C）向右平移个单位长度（D）向右平移个单位长度（6）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（）（A）（B）（C）（D）（7）已知函数，且，，，则，，的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）（8）已知抛物线的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）（A）（B）（C）（D）（9）已知，若函数有三个或者四个零点，则函数的零点个数为（）（A）1或2 （B）2 （C）0或1 （D）0或1或2第II卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2.本卷共11题，共105分。
高中_天津市2020年上学期南开中学高三数学统练周测试题
天津市2021年上学期南开中学高三数学统练周测试题一、选择题(共9小题,共45分)1.集合{}()(){}2,1,0,1,2,|120A B x x x =--=-+<,那么A ∩B=(). A.{-1,0} B.{0,1} .{1,0,1}C - .{0,1,2}D2.设x>0,y ∈R ,那么"x>y"是"x>|y|〞的().A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.372cos ,cos()510ααβ=-=,且02πβα<<<,那么β=(). .12A π .6B π.4C π .3D π4.下列图为函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><的图象的一局部,为了得到该函数的图象,只需将函数3sin y x =的图象上每个点的().A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再向右平移23π个单位长度 B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移3π个单位长度 C.横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再向右平移23π个单位长度 D.横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再向右平移3π个单位长度 5.{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与a 9的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,n ∈N *,那么10S 的值为().6.等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=那么357()a a a ++=7.假设a>b>1,0<c<1,那么()..c c A a b < B.c cab ba <C.b a alog c blog c <.log log a b D c c < 8.函数() f x asinx bcosx =-(a ､b 为常数,a ≠0,x ∈R )在4x π=处取得最小值,那么函数3()4y f x π=-是(). A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 C.奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称9.a ∈R ,设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩,假设关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,那么a 的取值范围为().A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]二､填空题(共6小题,共30分)10.i 为虚数单位,假设复数21m i i+-为纯虚数,那么实数m=_____. 11.在51()2x x -的展开式中,2x 的系数为_____.12.假设棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,那么该球的外表积为_____.13.设等比数列满足132410,5,a a a a +=+=那么12n a a a 的最大值为_____. 14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且1111,S ,n n n a a S ++=-=那么n S =_____.15.2,01(),1,0x x x f x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩假设函数g(x)=f(x)-t 有三个不同的零点12,,x x 3123(),x x x x <<那么123111x x x -++的取值范围是_____.三､解答题(共5小题,共75分)16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,2cosC(acosB+bcosA)=C.(I)求C;(II)假设7,c △ABC 33求△ABC 的周长.17.如图,四边形PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面PDCE ⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°1,1,22AB AD CD PD ====. (I)假设M 为PA 中点,求证:AC//平面MDE:(II)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值;(III)在线段PC 上是否存在一点Q(除去端点),使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π?假设存在,请说明点Q 的位置;假设不存在,请说明理由.18.数列{}n a 的前n 项和2S 38,{}nn n n b =+是等差数列,且1.n n n a b b +=+(I)求数列{}n b 的通项公式; (II)令1(1),(2)n n n nn a c b ++=+求数列{}n c 的前n 项和.n T19.数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2.nn S a n =- (I)证明数列{1}na +是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (II)记1111,nn n n b a a a ++=+求数列{}n b 的前n 项和.n T20.函数()(x f x x ae a =-∈R ,e 为自然对数的底)(I)讨论函数f(x)的单调性; (II)假设∀x ∈R ,有2()x f x e ≤恒成立,求实数a 的取值范围;(III)假设函数f(x)有两个不同的零点1212,(),x x x x <求证:12 2.x x +>。
天津市天津南开中学等六校2021届高三数学上学期期初检测试题.doc
优质资料\word 可编辑15 x 天津市天津南开中学等六校2021届高三数学上学期期初检测试题一、选择题（每题 5 分，共 45 分）1. 设全集为 R ，集合 A =x R |0 x 2 ， B =x N | x 1 ，则 A (C R B )7. 在ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c 。
已知ABC 的面积为3 ， 3sin A2 sin C ， cos B 1 ，则cos2 A的值为2. 命题“ x R ， 2x 2 3x ”的否定是 8. 已知 F ， F 分别为双曲线3x 2 y 23a 2a 0 的左右焦点， P 是抛物线 y 28ax 与1 23. 已知a ln ， blg125 ， c 1.3，则a , b , c 的大小关系是双曲线的一个交点，若| PF 1 | | PF 2| 18 ，则抛物线的准线方程为4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队,教练将二人最近6 次篮球比赛的得分数进行统计,甲乙两人的平均得分分别是,则下列说法9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： f (x ) f (x ) e 2 x ， f ln 2 4 ，则不等式 f (x ) e 2 x 的解集为A . , ln 2B . ,2C . ln 2，D . 2，二、填空题（每题 5 分，共 30 分）正确的是10. 二项式 253x 的展开式的常数项是A . ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛B . ,甲比乙稳定,应选甲参加比赛C .,甲比乙稳定,应选甲参加比赛D .,乙比甲稳定,应选乙参加比赛5. 已知直线m , n ，平面α ， n ，那么“ m // ”是“ m // n ”A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6．函数 f (x )A sin(ωxφ) ，（其中 A 0, ω0,| φ | π）2的一部分图像如图所示，将函数上的每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2 倍，得到的图像表示的函数可以为11. i 是虚数单位，则 3 4i (1 i)=1 i12．如图，在三棱柱的侧棱 A 1 A 和 B 1B 上各有一动点 P , Q 且满足 A 1PBQ ， 过 P , Q , C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C ABQP与三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积比为13. 如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE 2EA ， AD与CE 交于点O 。
2021届天津市南开区高三上学期期末数学试题(解析版)
【详解】（1）由 ，因为 ，可得 ，
又由 ，解得 ，
又因为 ，解得 ， ，
根据余弦定埋得 ，即 ，
所以 ， ， .
（2）由（1）及正弦定理 ，可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】方法规律总结：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
【答案】B
【分析】直接利用充分条件、必要条件的定义进判断即可.【详解】由 ，
可得 ，
故 成立；
当 ，
得 ，
当 时，
不成立；
所以“ ”是“ ”必要不充分条件.
故选：B.
3．函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求使函数有意义的x的取值范围即可.
【详解】要使函数有意义，只需 ，解得 ，
【答案】（1） （2）证明见解析
【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有 求解.
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0， ），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx ，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.
① ②得 ③，
② ①得 ④.
由③，④得 ，
不妨设 ，记 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
则 ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，即 .
令 ，则 在 上单调递增.
天津市南开中学2021届高三数学开学统练试题(含解析).doc
天津市南开中学2021届高三数学开学统练试题（含解析）一、选择题1.设集合{}{}{}1,1,2,3,5,2,3,4,|13A B C x R x =-==∈≤<，则()A C B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3D.{}1,2,3,4【答案】D 【解析】 【分析】 求出AC 后可求()A C B .【详解】{}1,2A C =，故{}()1,2,3,4A C B =，故选D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题. 2.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. 86πB. 46πC. 26πD. 6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 2 3 C. 25【答案】D 【解析】【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===．故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度． 5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6.设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]nt n=同时成立，则正整数n 的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又()4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π= 故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ．8.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1 B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】 【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 二、填空题9.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________. 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项． 【详解】8848418831(2)()(1)28rrrr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r，所以的常数项为228(1)28C -=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 10.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】xy =0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．11. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)y x =-，直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-． 由3(23),33y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．12.已知直线l ：330mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与y 轴交于C ，D两点，若||AB =，则||CD =__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案. 【详解】因为AB =，且圆的半径为r =，所以圆心()0,0到直线30mx y m ++-=3=，则由3=，解得m =，代入直线l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．13.已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 14.已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________ 【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论． 三、解答题15. 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ) 14-；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】(Ⅰ)在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =. 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=2224161992423a a a a a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-.故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从面()()33210,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====.由题意知事件{}3,1X Y ==与{}2,0X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立， 从而由(Ⅰ)知：{}{}()()3,12,0P M P X Y X Y =====()()3,12,0P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）49（Ⅲ）87【解析】 【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF 的方向向量和平面ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF 长度的方程，解方程可得CF 的长度.【详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以,,AB AD AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E .设()0CF h h =>，则()1,2,F h .(Ⅰ)依题意，()1,0,0AB =是平面ADE 的法向量， 又()0,2,BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE . (Ⅱ)依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--，设(),,n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令z =1，可得()2,2,1n =， 因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (Ⅲ)设(),,m x y z =为平面BDF 的法向量，则00m BD m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y y hz -+=⎧⎨+=⎩. 不妨令y =1，可得21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由题意，有41cos ,332m n m n m n-⋅===⨯，解得87h =. 经检验，符合题意｡ 所以，线段CF 的长为87. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.【答案】（Ⅰ）22154x y +=. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==，又222a b c =+，可得a =b =2，c =1.所以，椭圆方程为22154x y +=.(Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200kxkx ++=，可得22045P kx k=-+， 代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P P y k x k-=-， 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭， 化简得2245k =，从而5k =±. 所以，直线PB5-. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列(){}221n n a c -的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得21ni i i a c =∑的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n nnnn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-. (ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 20.设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)构造函数()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数()h x 的最小值即可证得题中的结论；(Ⅲ)令2n n y x n π=-，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n ny x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<. 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。
2021届天津市南开区高三上学期期中考试数学试题(解析版)
天津市南开区2021届高三上学期期中考试数学试题一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}1A x x =≥，{}3,1,1,3B =--，那么()RA B =（ ）A. ∅B. {}1,3C. {}3,1--D. {}3,1,1--『答案』C 『解析』{}1A x x =≥，{}1R A x x ∴=<，(){}3,1A B =∴--R .故选：C.2. 命题“0x ∃∈R ，200220x x ++≤”的否定是（ ） A. 0x ∃∉R ，200220x x ++≤B. 0x ∃∈R ，200220x x ++>C. x ∀∈R ，2220x x ++≤D. x ∀∈R ，2220x x ++>『答案』D『解析』命题“0x ∃∈R ，200220x x ++≤””的否定是“x ∀∈R ，2220x x ++>”，故选：D.3. 已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66z i ππ=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』B『解析』由717sinsin()sin ,cos cos()cos 6662666ππππππππ=+=-=-=+=-=即复数771sincos 662z i ππ=-=-+，所以复数对应的点为1(,22-位于第二象限. 故选：B4. 设a ∈R ，则“290a a -<”是“9a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件『解析』由不等式29(9)0a a a a -=-<，解得09a <<，令{|09}A a a =<<，{|9}B a a =<，则A 是B 的真子集， 所以“290a a -<”是“9a <”的充分不必要条件. 故选：A.5. 函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A. B.C. D.『答案』B『解析』设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 6. 已知32a log =，72b log =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<『答案』B『解析』因为3223ln a log ln ==，7227ln b log ln ==，0237ln ln ln <<<，所以1b a <<，所以200.50.51a c -=>=，所以1b a c <<<7. 将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C.(),0πD. 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭『答案』D『解析』()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D.8. 某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时D. 28小时『答案』C『解析』由题意得192b e =①，222248k b k b e e e +=⋅=②.将①代入②得2214ke=，则1112ke =， 当33x =时，333331192242+⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭k b k b y e e e .故选：C.9. 在ABC ∆中，3AB =，5AC = ，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO ⋅的值为（ ）A. 17B. 10C.172D.596『答案』D『解析』取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为ABC ∆的外心，,0OE AB AB OE ∴⊥∴⋅=，22,3BN NC BN BC =∴=， 2212()3333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+，2119||222AO AB AB EO AB AB ⎛⎫∴⋅=+⋅== ⎪⎝⎭，同理可得21||2522AO AC AC ⋅==， 12121925933333232526AN AO AB AC AO AB AO AC AO ⎛⎫∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭故选：D.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 设43z i =-(i 是虚数单位)，则1z=________. 『答案』432525i - 『解析』由复数43z i =-，可得43z i =+，则()()1143434343432525i i z i i i -===-++-. 故答案为：432525i -. 11. 已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________.『答案』2 『解析』()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=.故答案为：2.12. 若sin 2cos 0αα+=，则tan α=________；tan2α=________.『答案』 (1). 2- (2).43『解析』由sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos αα=-，所以sin tan 2cos ααα==-， 22tan 44tan 21tan 143ααα-===--. 故答案为：2-；4313. 已知平面向量a ，b 满足(1,2)=-a ，(3,)b t =-，且()a a b ⊥+，则b =________.『解析』()a a b ⊥+，∴()0a a b ⋅+=即20a a b +⋅=，又(1,2)=-a ，(3,)b t =-，∴225a a ==，1(3)(2)32a b t t ⋅=⨯-+-⨯=--， ∴5320t --=，1t ∴=，所以(3,1)b =-，2(3)b =-=14. 已知实数,a b 满足0ab >，则2a a a b a b-++的最大值为____________『答案』3-『解析』因为0ab >，所以20,0a bb a>>所以22(2)()2()(2)32a a a a b a a b ab a b a b a b a b a ab b +-+-==++++++ 123a bb a =++≤3==-2a bb a =，即a =时取等号所以2a aa b a b-++的最大值为3-故答案为：3- 15. 已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则m 的取值范围是________；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________.『答案』 (1). 03m <≤ (2). 3m > 『解析』根据分段函数的单调性，当0m >时若要()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 则224m m m m m m -⨯+≥=， 解得03m <≤.存在实数b ，关于x方程()f x b =有三个不同的根，224m m m m m m -⨯+<=，解得3m >.故答案为：03m <≤；3m >.三､解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin 7:8:3A B C =. （1）求角A ；（2）求cos(2)B A -的值.解：（1）依题意，由正弦定理得::7:8:3a b c =， 可设7a k =，8b k =，3c k=，由余弦定理得222649491cos 2832k k k A k k +-==⋅⋅，因为0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理得222499641cos 2737k k k B k k +-==-⋅⋅，所以sin B ==，所以sin 22sin cos B B B == 247cos 22cos 149B B =-=-， 所以cos(2)cos2cossin 233B A B B ππ-=⋅+⋅4717149298=-⋅-=-. 17. 已知函数()2|2|()f x x ax x =-+∈R . （1）若()3f a =，求实数a 的值；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围；（3）设()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()g x f x =，求()g x 的解析式.解：（1）依题意，函数(2)4,2()(2)4,2a x x f x a x x -+<⎧=⎨+-≥⎩， 当2a <时，令()(2)43f a a a =-+=，解得1a =； 当2a ≥时，令()(2)43f a a a =+-=，解得a ∈∅. 综上可得，实数a 的值为1.（2）要使函数()f x 有最小值，则有2020a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得22a -≤≤，即当[2,2]a ∈-时，()f x 有最小值.（3）因为()g x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0g =. 设0x >，则0x -<，所以()()(2)4g x g x a x =--=--，所以函数(2)4,0()0,0(2)4,0a x x g x x a x x -+<⎧⎪==⎨⎪-->⎩. 18.已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 解：（1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈， 即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 19. 设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围. 解：（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++， 所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意.（3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数.20. 设函数()xe f x x=，()1ln g x x x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若直线()0x m m =>与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别交于点P 和Q ，求PQ 的最小值；（3）设函数()()()F x xf x a g x =+⎡⎤⎣⎦，当()0,ln 2a ∈时，证明：()f x 存在极小值点o x ，且()00ln 0x ea x +<.解：（1）()()21x e x f x x-'=，()(),00,x ∈-∞+∞，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在()1,+∞上为增函数； 当()(),00,1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x ∴在(),0-∞和()0,1上为减函数.()f x ∴的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),0-∞和()0,1.（2）设函数()()()1ln x e h x f x g x x x x=-=--，()0,x ∈+∞，则()()()2221111x x x x e xe e h x x x x x---'=-+=， ()0,x ∈+∞，10x e ∴->，∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；()h x ∴在()0,∞+上有最小值()()min 11==-h x h e . 即当1x m ==时，PQ 的最小值为1e -.（3）()1ln x F x e a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞， 则()2211121ln ln x x x F x e a x e e a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0x e >，()F x '∴与221ln a x x x+-+同号. 设()221ln t x a x x x =+-+，()0,x ∈+∞，则()2322x x t x x-+'=， ∴对任意()0,x ∈+∞，都有()0t x '>，()t x ∴在()0,∞+单调递增.()0,ln 2a ∈，()110t a =+>，11ln 022t a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭， ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =. 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '<，()F x 单调递减； 当()0,1x x ∈，()0F x '>，()F x 单调递增；∴若()0,ln 2a ∈，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0x 是()F x 的极小值点. 由()00t x =得：020021ln 0a x x x +-+=，即00220001212ln x a x x x x -+=-=，()00002012ln 0x x x e a x e x -∴+=⋅<.。
天津市南开中学2025届高三上学期数学统练试卷3
天津市南开中学2025届高三上学期数学统练试卷3一、单选题1．已知集合{}(){}21,0,1,2,3,lg 5A B x y x =-==-，则A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2- 2．设R m ∈.下列选项中，12m m +>的充要条件是（ ） A ．0m ≠ B ．1m ≠ C ．21m ≠ D ．3m m ≠3．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．下列说法错误的是（ ）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率0.05α=值的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.055．已知2log 3a =，2332b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5πcos πsin 32c ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．若πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 1sin αα-=（ ） A ．125- B ．65 C ．125 D ．5127．已知函数33()log log 327x x f x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为（ ）．A ．34B ．32C ．2D ．238．已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ）ABCD二、多选题9．设函数()f x 的定义域为R ，f x −1 为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()222f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．111639f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x -为偶函数C ．()f x 在(10,12)上单调递增D ．函数()()ln g x f x x =+有11个零点三、填空题10．已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i 1z -=，则z =.11．在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为. 12．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πcos 2cos 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α=． 13．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为.14．已知函数 ()()πcos 002f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，的部分图象如图所示，若函数()()12g x f x =-在512t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值等于1，则t 的取值范围是.15．已知12,x x 是函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎫=+><⎪⎭的两个零点，且12min π||6x x -=，若将函数()f x 的图象向左平移π3个单位后得到的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在π,6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有2个极值点，则实数θ取值范围为.四、解答题16．已知()2cos 6cos 3f x x x x =+-．(1)求函数()y f x =的最小正周期T ；(2)求函数()y f x =的单调增区间；(3)当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求函数()y f x =的值域．17．已知函数()22sin cos cos f x x x x x m =+-+的最小值为1-.(1)求m 的值；(2)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(3)若01125x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求0πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，点D 、E 、F 分别为111,,A B AA CD 的中点， 12AB AC AA ===.(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 夹角的余弦值． 19．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为12，焦距为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ，D （异于点A ）两点，直线AB ，AD 分别与直线4x =交于M ，N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．已知函数()12e x x f x x λ-=-.(1)当1λ=时，求()f x 的图象在点 1,f 1 处的切线方程；(2)若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；(3)求证：()1111111232124e2e *n n n n n n n +++++-+++->∈N L .。
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【解析】
由 ， ，所以
，故 ；同理，
，故 .因为 ，故 .故最低费用为 .故选B.
4．B
【解析】
试题分析： 为奇函数， ， ， ， ，则 的两根为 ， ，所以， 的极小值为 ．又 ， ， 存在 ，使 ．综上，函数 的零点个数为 ,故应选B．
考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数 的解析表达式，运用题设中的 是奇函数，求出函数 解析式中的参数 的值，进而运用导数求得函数 的两个极值点 ，通过计算分析算得 和 ， ，从而判定函数 的零点在区间 内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数 的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．
2020届天津市南开中学高三上学期数学统练（5）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设命题 ，则 为（）
A． B．
C． D．
2．设x、y、z为正数，且 ，则
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y
C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z
故 且 ，解得 ，故选D.
【点睛】
本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
6．D
【详解】
函数 满足 ，
，令 ，
则 ，
由 ，得 ，令 ，
则
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 .
又 在 单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于 .
参考答案
1．C
【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题 的否命题应该为 ，即本题的正确选项为C.
2．D
【解析】
令 ，则 ， ，
∴ ，则 ，
，则 ，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
②函数 的单调递减区间是 ；
③已知函数 是奇函数，当 时， ，则当 时， ；
④若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则对任意实数 都有 .
则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．
15．已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的最大值是____.
A．0B．1C．2D．3
5．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．设函数 满足 则 时， ( )
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
7．若函数 为奇函数，则使不等式 成立的 的取值范围是（）
三、解答题
16．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 为钝角. （1）证明： ； （2）求 的取值范围.
17．如图, 是边长为 的正方形，平面 平面 ， ， , , .
（1）求证：面 面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
5．D
【分析】
设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】
设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
直线 恒过定点 且斜率为 ，
18．设数列 的前n项和为 .已知 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求 的前n项和 .
19．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
20．设函数 x∈R，其中a,b∈R.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
7．B
【分析】
利用 为奇函数，求出 ，由此求出该函数的定义域，不等式 ，即 ，由 在区间 s递减，可得 的取值范围.
【详解】
由函数 为奇函数，可得 .
即： ， ，则 ，
所以， ，得 ，解得 .
C． D．
二、填空题
10．对于复数 ，若 ，则 __________．
11．在二项式 的展开式中， 的系数为__________．
12．已知 ， ， ，则 的值为______.
13．已知函数 ，若函数f(x)在 处取得极大值，则实数a的取值范围是______.
14．给出下列结论：
①已知函数 是定义在 上的奇函数，若 ，则 ；
【方法点睛】
本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数 ，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
3．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ， ，且 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ ）分别为 ， ， ，且 ．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，函数 为奇函数，则函数 的零点个数为（）
A． B．
C． D．
8．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个B．16个
C．14个D．12个
9．已知f(x)为偶函数，且在 上为增函数， ，满足不等式 的x取值范围是（）
A． B．