湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末考试化学答案
高二化学试卷 理科 参考答案
一 选择题 本题含# 每小题#分 共% $个小题 $分 题号 答案 " , # & . % ' , ( ) , * + " $ . .
题号 " " " # " & " % " ' " ( " ) " * " + # $ 答案 . . . / / " # 7 ( B " $ C D 8 E 在干燥的 气流中加热脱水 # 5 / 8
电解
放置一段时间后不恢复原色 & 淀粉溶液!蓝色褪去
# 3 ! # / 9 3 % F # / 9 F F # # # *3 # + ' G
二 非选择题 本题含)个小题 每空#分 共( $分
# 3 水解 # 3 被空气中的 防止 1 # " 0 %分 2 2 4 !防止 1 # 氧化 # # 0 %分 " / 5"/!/ 5 #/ 5 # ( $ 6 #!
可逆反应的进行程度越大!可能增大也可能减小! # & 0 (分 " # $ 7 $ & 醛基!/ # % 0 " #分 " 8 / 5 / 5 / 8 # # # / 5 / 5 &4 & & # / 5 / 5 # / 5 / 543 # 5 & #4534 #&% & #4
化学 理 参考答案 长郡版 !" !
$ / 9
# / 5 / 4 4 535 4 / 5 / 5 4 5') 5 / 4 4 / 5 / 5 4 4 / / 5 # 5 4 ) )(/ & # # & # # &3 #
湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高二上学期第三次模块检测数学(文)试题含答案
长郡中学2015━2016 学年度高二第一学期第三次横块检测文科数学时量：90分钟 满分：150分得分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.z 满足34(zi i i =-为虚数单位), 则z 的共轭复数为 ( )A ．43i -+B ．43i --C ．43i +D ．34i + 2. 已知命题:,211xp x R ∀∈+>，则p ⌝是 ( )A ．0,211xx R ∃∈+≤ B ．,211x x R ∀∈+≤ C ．0,211xx R ∃∈+< D ．,211x x R ∀∈+<3. 两个变量x 与y 的回归模型中分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 ( ) A ．模型1的相关指数2R 为0.98 B ．模型2的相关指数2R 为0.80 C ．模型3的相关指数2R 为0.50 D ．模型4的相关指数2R 为0.254. 在“由于任何数的平方都是非负数，所以()220i ≥” 这一推理中，产生错误的原因是 ( ) A ．推理的形式不符合三段论的要求 B ．大前提错误 C ．小前提错误 D ．推理的结果错误5. “2a =” 是“函数()()2f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数” 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如下面两图，已知命题：若矩形ABCD 的对角线BD 与边AB 和BC 所成角分别为,αβ，则22cos cos 1αβ+=.若把它推广到长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1BD 与棱1,,AB BB BC所成的角分别为,,αβγ，则相应的命题形式是 ( )A ．222cos cos cos 1αβγ++= B ．222sin sin sin 1αβγ++= C ．222cos cos cos 2αβγ++= D ．222sin sin sin 2αβγ++=7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49 263954根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 8. 下列结论错误的是( )A ．命题“若()22log 211x x --=，则1x =-” 的逆否命题是“若1x ≠-，则()22log 211x x --≠” B ．若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．若“()p q ⌝∧” 是假命题’ 则“p q ∨” 为假命题D ．“a R ∃∈，使22sin cos 1αα+≥” 为真命题9. 若,,a b c R ∈，且1ab bc ca ++=，则下列不等式成立的是 ( )A ．2222a b c ++≥ B ．()23a b c ++≥C ．11123a b c++≥ D ．3a b c ++≤11. 已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为()12,15N --，则E 的离心率为 ( )A 3．32C 535 12. 已知函数()21(g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．22,e ⎡⎤-+∞⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()()()22132z a a a i a R =-+-+∈，若z 是纯虚数，则a = ．14. 设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, 若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程是 ． 15. 设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值，若对于任意的[]0,3x ∈，都有()2f x c <成立，则c 的取值范围是 ．16. 从()()11,1412,149123,149161234,=-=-+-+=++-+-=-+++⋅⋅⋅，推广到第n 个等式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）我校数学老师这学期分别用A 、B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人，入学时数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样). 现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，得到茎叶图：（1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少一个被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的22⨯成绩列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计下面临界值表仅供参考：()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++18. （本小题满分12分）已知命题p ：实数x 满足()223120x a x a a -+++<，命题q ：实数x 满足112162x +<< . (1) 若2a =，当“p q ∧” 为真时，求实数x 的取值范围；(2) 若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知一元二次方程根与系数的关系如下：设12,x x 是关于x 方程20x bx c ++=的根，则1212,x x b x x c +=-=.(1)若123,,x x x 是一元三次方程()()21340x x x ---=的根，求123x x x ++和123x x x 的值. (2) 若123,,x x x 是一元三次方程320x bx cx d +++=的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想123x x x ++和123x x x 与系数的关系，并加以证明.20. （本小题满分12分）用长为18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？21. （本小题满分12分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左, 右焦点分别为12,,F F P 为椭圆C上任意一点.（1）当12PF PF ⊥时，1PF 2PF 所在的弦3PQ =C 的方程；（2）若EF 为圆()22:21N x y +-=的任意一条直径，请求PE PF 的最大值.22.（本小题满分12分）设函数4()ln 1()f x x a x a R x=--+∈. （1）若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴垂直，求()f x 的极值； （2）当4a ≤时，若不等式()2f x ≥在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围.长郡中学2015━2016 学年度高二第一学期第三次横块检测文科数学参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分）1-5.AAABA 6-10.ABCBB 11-12.BB二、填空题（每小题5分，共20分）13.1- 14.430x y ±= 15.()(),19,-∞-+∞16.()()()1121491611123n n n n ++-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+三、解答题17. 解：(1) 记成绩为86分的同学为,A B ，其他不低于80分的同学为,,,C D E F ，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学” 的一切可能结果组成的基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F 共9个.故93155P ==.…………………………………………………………………………………………5分(2) 由茎叶图共得22⨯列联表如下：甲班乙班合计优秀 3 10 13 不优秀 171027合计20 20 40……………………………………………………………………………………………………………………6分 所以()22403101017 5.584 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，………………………………………………………8分因此在犯错误的概率不超过0,025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关. ………………………10分 18. 解：(1) 由题意有:23q x -<<，………………………………………………………………………1分当2a =时，()():250p x x --<即25x <<，………………………………………………………2分p q ∧为真，故()()2,32,5x ∈-，……………………………………………………………………3分即()2,3x ∈. ………………………………………………………………………………………………4分(2)()():210p x a x a ---< ，且有:2q x ⌝≤-或3x ≥. ………………………………………6分若1a =-，则()2:10p x +<为空集， …………………………………………………………………7分:,p x R p ∴⌝∈⌝是q ⌝的必要不充分条件，满足；若1,a <-即21a a >+，则:21p a x a +<<，:21p x a ∴⌝≤+或,x a p ≥⌝是q ⌝的必要不充分条件，则有，212a +≥-且3a ≤,得312a -≤<-；……………………………………………………………9分若1a >-即21a a <+，则21a x a <<+，:p x a ∴⌝≤或21,x a p ≥+⌝为q 的必要不充分条件，则有2a ≥-且213a +≤得11a -<≤. ……………………………………………………………………11分综上可得312a -≤≤为a 的取值范围. ……………………………………………………………………12分 19. 解：(1)方程2340x x --=的两个根分别为1-和4 ，…………………………………………2分 ∴方程()()21340x x x ---=的根分别为1,1-和4………………………………………………………3分1231234,4x x x x x x ∴++==-.……………………………………………………………………………5分(2)123123,x x x b x x x d ++=-=-. ………………………………………………………………………7分 证明：123,,x x x 是方程320x bx cx d +++=的根，()()()32123x bx cx d x x x x x x ∴+++=---， …………………………………………………………9分 又()()()123x x x x x x ---展开式中二次项为一()2123x x x x ++， …………………………………10分常数项为一123x x x ， ………………………………………………………………………………………11分 ∴123123,x x x b x x x d ++=-=-.…………………………………………………………………………12分20. 解：设长方体的宽为()x m ，则长为()2x m ，高为()181234.53042x h x m x -⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭.……4分 故长方体的体积为()()()223332 4.539602V x xx x x m x ⎛⎫=-=-<<⎪⎝⎭从而()()21818181V x x x x x '=-=-. 令()0V x '=，解得0x =(舍去) 或1x =，因此1x =.……………………………………………………7分当01x <<时，()0V x '>；当312x <<时，()0V x '<，…………………………………………………8分故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值. …………………………………9分从而最大体积()()233191613V V m ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m . ………………11分答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m .………………………12分21.(1) 连接1F Q ，在1Rt PFQ ∆中，13FQ ===，于是11433F Q PF PQ a ++=+=，解得a =4分由离心率2c e a ==，得1,1c b ==， 故椭圆方程为2212x y +=.……………………………………………………………………………………5分 (2)()()PE PF NE NPNF NP =--()()()2221NF NPNF NP NP NF NP =---=--=-…………………………………………………8分从而将求PE PF 的最大值转化为求2NP 的最大值,P 是椭圆C 上的任一点，设()00,P x y ，则有220012x y +=即220022x y =-，……………………………9分又()0,2N ，所以()()22220002210NP x y y =+-=-++而[]01,1y ∈-，所以当01y =-时，2NP 的最大值9，……………………………………………………11分故PE PF 的最大为8. ………………………………………………………………………………………12分22. 解：（1）24()1af x x x'=+-，…………………………………………………………………………1分由题意，切线斜率 (1)140k f a '==+-=， …………………………………………………………2分5a ∴=，4()5ln 1f x x x x∴=--+.2224554()1(0)x x f x x x x x -+'=+-=> ()014f x x x '===，则或，()f x ∴的极小值为(4)415ln 41410ln 2f =--+=-，()f x 的极大值为(1)14012f =--+=- . ………………………………………………………4分（2）由题意，当4a ≤时，()f x 在[1,4]上的最大值2M ≥，224()(14)x ax f x x x-+'=≤≤ . ……………………………………………………………………5分（i ）当44a -≤≤时，222424()0a a x f x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=≥， 故()f x 在[1,4]上单调递增，(4)M f =.………………………………………………………………8 分（ii ）当4a <-时， 设221240(160),x ax a x x -+=∆=->的两根为， 121204x x a x x +=<⎧⎨=⎩故12,0x x <， ∴在[1,4]上224()0x ax f x x -+'=>， 故()f x 在[1,4]上单调递增，(4)M f =. …………………………………………………………11分综上所述，当4a ≤时，()f x 在[1,4]上的最大值(4)41ln 412M f a ==--+≥ 解得1ln 2a ≤. 所以a 的取值范围是1(,]ln 2-∞ . ………………………………………………………………………12分。
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数2341i i i i++=-（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i +2、已知:p 26270x x --≤，:q 1x m -≤（0m >），若q 是p 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m <C ．8m ≥D ．8m > 3、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,x y A ，()22,x y B 两点，如果126x x +=，那么AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 4、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827 B ．6481C ．49D ．89 5、若()()0002lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '等于（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．16、把下面在平面内成立的结论：()1如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交 ()2如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行 ()3如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直 ()4如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（ ）A ．()()12B ．()()23C ．()()24D ．()()34 7、用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++⋅⋅⋅++=（n *∈N ）时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ）A ．1 B ．12+ C ．123++ D ．1234+++ 8、三棱锥CD A -B 中，C D 2AB =A =A =，D 90∠BA =，C 60∠BA =，则CD AB⋅等于（ ）A ．2-B ．2C ．-D ．9、曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．4ln 2- D ．42ln 2-10、已知斜率为2的直线l 与双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）交于A ，B 两点，若点()2,1P 是线段AB 的中点，则C 的离心率等于（ ）A B C ．2 D ．11、若对于任意的实数x ，有()()()2330123222x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 12、下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <“的逆命题是真命题B ．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =“的否命题是真命题C ．命题“p q ∨“为真命题，则命题p 和q 均为真命题D ．命题“R x ∃∈，20x x ->”的否定是“R x ∀∈，20x x -≤”13、()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x''+<且()10f -=，则不等式()()0f x g x <的解集为（ ） A ．()()1,01,-+∞ B ．()()1,00,1- C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()(),10,1-∞-14、椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12FF ∆P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15、方程22ay b x c =+中的a ，b ，{}3,2,0,1,2,3c ∈--，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 16、平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定 个三角形．17、已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22F F 12A +B =，则AB = ．18、设sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝的展开式中的常数项是 ．19、已知函数()y f x =的图象在()()1,1f M 处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+= ．20、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则()f n = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21、（本小题满分8分）已知命题:p 方程22129x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线2215y x m -=的离心率e ∈⎝，若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 22、（本小题满分8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．()1求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；()2在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．23、（本小题满分8分）如图，在五面体CD AB E 中，F A ⊥平面CD AB ，D//C//F A B E ，D AB ⊥A ，1F C F D 2A =AB =B =E =A ．()1求异面直线F B 与D E 所成的角的大小；()2求二面角CD A --E 的余弦值．24、（本小题满分8分）已知直线1y kx =+和双曲线2231x y -=相交于两点A ，B ． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使得以AB 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25、（本小题满分8分）已知函数()()1ln 11xf x ax x-=+++，0x ≥，其中0a >． ()1若1a =，求()f x 的单调区间；()2若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题1、C2、C3、B4、A5、C6、B7、D 8、A 9、D 10、A 11、B 12、D13、A 14、D 15、B二、填空题16、11017、818、160-19、320、2-+n n331三、解答题。
湖南省长沙市长郡中学2015届高三数学上学期第二次月考试卷 文(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，没小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤2C．m＞2 D．﹣2＜m＜22．（5分）若直线ax+by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则2a+3b的取值范围是（）A．（﹣7，﹣1）B．（﹣3，5）C．（﹣7，3）D．R3．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．4．（5分）已知，且，则=（）A．B．C．D．5．（5分）已知f（x）=（a＜0），定义域为D，任意m，n∈D，点P （m，f（n））组成的图形为正方形，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣46．（5分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB 的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．97．（5分）一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（）A．3﹣1 B．2C．4 D．58．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）的导函数是f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）+2f′（x）＜0成立，则（）A．＜B．＞C．=D．无法比较10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）=ax2（a＞0），使得（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（3，+∞）C．12．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题：（1）m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；（3）若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β；（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m其中真命题是（填序号）13．（5分）已知线段AB两个端点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，2）且过线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为．14．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．15．（5分）定义在区间上的函数y=f（x），f′（x）是函数f（x）的导数，如果∃ξ∈，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为上的“中值点”．下列函数：①f（x）=2x+1，②f（x）=x2﹣x+1，③f（x）=ln（x+1），④f（x）=（x﹣）3．其中在区间上的“中值点”多于一个的函数是（请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+2）的最小正周期和最值．17．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V F﹣ABCD，V F﹣CBE，求V F﹣ABCD：V F﹣CBE．18．（12分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．19．（13分）已知{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n （1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，T n为数列{c n}的前n项和，求证：T n＜．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S△PF1F2═．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N 两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．21．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，没小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤2C．m＞2 D．﹣2＜m＜2考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：先化简集合，再由x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，A是B的一个子集求解．解答：解：A={x∈R|＜2x＜8}={x|﹣1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A⊊B，∴m+1＞3，即m＞2．故选C点评：本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系．2．（5分）若直线ax+by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则2a+3b的取值范围是（）A．（﹣7，﹣1）B．（﹣3，5）C．（﹣7，3）D．R考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．解答：解：不等式组表示的平面区域是由A（1，1），B（﹣1，1），C（0，﹣1）围成的三角形区域（包含边界）．∵直线ax+by=1与表示的平面区域无公共点，∴a，b满足：或．（a，b）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．设z=2a+3b，平移直线z=2a+3b，当直线经过点A1（0，1）时，z最大为z=3，当经过点B1时，z最小，由解得，即B1（﹣2，﹣1），此时z=﹣4﹣3=﹣7，故2a+3b的取值范围是（﹣7，3）．故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．3．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．解答：解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B 正确；故选B点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．4．（5分）已知，且，则=（）A．B．C．D．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：通过利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．解答：解：因为，所以，解得tanα=，因为，所以sinα=﹣；====．故选A点评：本题是基础题，考查两角和的正切公式的应用，三角函数的表达式的化简求值，考查计算能力，注意角的范围，三角函数的值的符号的确定，以防出错．5．（5分）已知f（x）=（a＜0），定义域为D，任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，根据任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，得到函数的最大值为2，解方程即可得到结论．解答：解：要使函数有意义，则a（x﹣1）（x﹣3）≥0，∵a＜0，∴不等式等价为（x﹣1）（x﹣3）≤0，即1≤x≤3，∴定义域D=，∵任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f（1）=f（3）=0，∴函数的最大值为2，即a（x﹣1）（x﹣3）的最大值为4，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）=ax2﹣4ax+3a，∴当x=2时，f（2）=﹣a=4，即a=﹣4，故选：D．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求解和应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．6．（5分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB 的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．9考点：基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故选B．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．7．（5分）一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（）A．3﹣1 B．2C．4 D．5考点：直线与圆的位置关系；图形的对称性．专题：综合题；数形结合．分析：先作出圆C关于x轴的对称的圆C′，问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径，方法是连接AC′与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出AC′，然后减去半径即可求出．解答：解：先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′，则圆C′的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=1，所以圆C′的圆心坐标为（2，﹣3），半径为1，则最短距离d=|AC′|﹣r=﹣1=5﹣1=4．故选C．点评：本题考查学生会利用对称的方法求最短距离，灵活运用两点间的距离公式化简求值，掌握数形结合的数学思想解决实际问题．是一道综合题．8．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．解答：解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．9．（5分）函数f（x）的导函数是f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）+2f′（x）＜0成立，则（）A．＜B．＞C．=D．无法比较考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：分析：根据选项可构造函数h（x）=xf（2lnx），利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（2）与h（3）的大小，从而得到答案．解答：解：令h（x）=xf（2lnx），则h′（x）=f（2lnx）+xf′（2lnx）=f（2lnx）+2f′（2lnx）∵对任意的x∈R都有f（x）+2f′（x）＜0成立，∴f（2lnx）+2f′（2lnx）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在定义域上单调递减，∴h（2）＞h（3），即2f（2ln2）＞3f（2ln3）．即，故选：B．点评：点评：本题考查了导数的运算法则，利用导数判断函数的单调性．合理构造函数是解决问题的关键．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）=ax2（a＞0），使得（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（3，+∞）C．解答：解：由题设知，点P（1，a），Q（k，ak2），A（5，0），∴向量=（1，a），=（5，0），=（k，ak2），∴=（1，0），=（），∵（λ为常数），．∴1=λ（1+），a=，两式相除得，k﹣1=，k﹣2=a2k＞0∴k（1﹣a2）=2，且k＞2．∴k=，且0＜1﹣a2＜1．∴k=＞2．故选A．点评：本题考查平面向量的综合运算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，则其通项a n=2n﹣10．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用递推关系可求数列的通项公式解答：解：∵S n=n2﹣9n，∴a1=S1=﹣8n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣9n﹣（n﹣1）2+9（n﹣1）=2n﹣10n=1，a1=8适合上式故答案为：2n﹣10点评：本题主要考查了由和S n求项a n，容易出错的点是：漏掉对n=1的检验，若n=1适合通项，则数列的通项只有一个，若a1不适合a n（n≥2），则要写出分段的形式．12．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题：（1）m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；（3）若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β；（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m其中真命题是（1）、（2）、（3）（填序号）考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；阅读型．分析：对于（1）可根据异面直线的定义进行判定，对于（2）可根据线面垂直的判定定理进行判定，对于（3）根据面面平行的判定定理进行判定，对于（4）列举出所以可能即可．解答：解：（1）m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，根据异面直线定义可知正确；（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，根据线面垂直的判定定理可知正确；（3）若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β，根据面面平行的判定定理可知正确；（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m平行、相交、异面，故不正确；故答案为：（1）、（2）、（3）点评：本题主要考查了空间两直线的位置关系、以及直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．13．（5分）已知线段AB两个端点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，2）且过线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为k≤﹣5或k≥1．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．解答：解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，根据斜率公式可知k PA==﹣5 k PB==1则l的斜率k的取值范围为k≤﹣5或k≥1故答案为：k≤﹣5或k≥1点评：本题主要考查了直线的斜率，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观．14．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．15．（5分）定义在区间上的函数y=f（x），f′（x）是函数f（x）的导数，如果∃ξ∈，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为上的“中值点”．下列函数：①f（x）=2x+1，②f（x）=x2﹣x+1，③f（x）=ln（x+1），④f（x）=（x﹣）3．其中在区间上的“中值点”多于一个的函数是①（请写出你认为正确的所有结论的序号）考点：导数的运算．专题：新定义．分析：根据“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案．解答：解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率值．对于①，根据题意，在区间上的任一点都是“中值点”，f′（x）=2，满足f（b）﹣f（a）=f′（x）（b﹣a），∴①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间只存在一个“中值点”，∴②不正确；对于③，f（x）=ln（x+1）在区间只存在一个“中值点”，∴③不正确；对于④，∵f′（x）=3（x﹣）2，且f（2）﹣f（﹣2）=19，2﹣（﹣2）=4；∴3（x﹣）2×4=19，解得x=±∉，∴不存在“中值点”，④不正确．故答案为：①．点评：本题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+2）的最小正周期和最值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由图象知，A、T的值，求出ω及φ的值，即得f（x）的解析式；（Ⅱ）由三角恒等变换，化简函数y，求出它的最小正周期与最值．解答：解：（Ⅰ）由图象知，A=2，∵=8，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+φ）；∵函数f（x）的图象过点（1，2），∴×1+φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴φ=∴f（x）=2sin（x+）；（Ⅱ）由题意，函数y=2sin（x+）+2sin=2sin（x+）+2cos（x+）=2cos x，∴最小正周期是8，y max=2，y min=﹣2．点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时还应用了三角函数的恒等变换公式，数形结合思想等，是基础题．17．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V F﹣ABCD，V F﹣CBE，求V F﹣ABCD：V F﹣CBE．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；转化思想．分析：（1）可以先由平面ABCD⊥平面ABEF以及CB⊥AB证得CB⊥平面ABEF，⇒AF⊥CB．又因为AB为圆O的直径⇒AF⊥BF，就可证：AF⊥平面CBF；（2）取DF的中点为N，利用MN AO⇒MNAO为平行四边形⇒OM∥AN即可．既用线线平行来证线面平行．（3）先把两个锥体的体积套公式求出来，就可求出其体积之比．解答：解：（1）证明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，得CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB（2分）又因为AB为圆O的直径，所以AF⊥BF，（3分）又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF（4分）（2）证明：设DF的中点为N，连接AN，MN则MN CD，又AO CD则MN AO，所以四边形MNAO为平行四边形，（6分）所以OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，所以OM∥平面DAF．（8分）（3）过点F作FG⊥AB于G，因为平面ABCD⊥平面ABEF，所以FG⊥平面ABCD，所以（9分）因为CB⊥平面ABEF，所以（11分）所以V F﹣ABCD：V F﹣CBE=4：1．（12分）点评：本题是对立体几何知识的综合考查，涉及到线面垂直，线面平行和棱锥体积公式．是道综合性极强的好题．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．18．（12分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．考点：直线与圆的位置关系；直线的截距式方程；圆的标准方程．分析：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．解答：解：（1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，令y=0，得x1=0，x2=2t∴，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵k MN=﹣2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=﹣2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点，当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．19．（13分）已知{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n （1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，T n为数列{c n}的前n项和，求证：T n＜．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．分析：（1）数列{a n}为等差数列，公差，可得a n=3n﹣1．由题设条件知．，b n=2﹣2S n，b n﹣b n﹣1=﹣2（S n﹣S n﹣1）=﹣2b n．，由此可求出数列{b n}的通项公式．（2），由此能证明数列{cn}的前n项和T n＜．解答：解：（1）数列{a n}为等差数列，公差，可得a n=3n﹣1由b n=2﹣2S n，令n=1，则b1=2﹣2S1，又S1=b1，所以．b2=2﹣2（b1+b2），则．当n≥2时，由b n=2﹣2S n，可得b n﹣b n﹣1=﹣2（S n﹣S n﹣1）=﹣2b n．即，所以{b n}是以为首项，为公比的等比数列，于是．（2）∴=点评：本题考查数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S△PF1F2═．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N 两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过椭圆的截距以及三角形的面积求出a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求出A、B坐标通过（1）当直线l与x轴垂直时，求出AN的方程，BM的方程，然后求出直线AN与直线x=4的交点，判断交点R在直线BM上；（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）利用直线与椭圆方程联立结合韦达定理，利用分析法证明A，N，R共线，即点R总在直线BM上即可．解答：解：（Ⅰ）由题意知：，…（1分）∵椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且，∴．∴，．∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2…（2分）又∵，∴…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知A（﹣2，0）、B（2，0），（1）当直线l与x轴垂直时，、，则AN的方程是：，BM的方程是：，直线AN与直线x=4的交点为，∴点R在直线BM上．…（6分）（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R （4，y0）由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0∴，…（7分），，A，N，R共线，∴…（8分）又，，需证明B，M，R共线，需证明2y1﹣y0（x1﹣2）=0，只需证明若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）=0∵（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）=﹣2x1x2+5（x1+x2）﹣8=成立，…（11分）∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）点评：本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线方程以及韦达定理的应用．难度比较大，解题需要一定的运算能力以及分析问题解决问题的能力．21．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：压轴题．分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．（3）是近年来2015届高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．解答：解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．- 21 -。
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)(Word版含解析)
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）A．5B．6C．7D．84．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）A．4B．3C．2D．5．（5分）在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有2个零点的概率为（）A．B．1一C．D．l﹣6．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．8．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为39．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）﹣2α+2（α＞0），若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数α的取值范围是（）A．B．（0，]C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为．12．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi （其中x，y∈R，i为虚数单位），则x+y的值为．13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax+8，若f（5）+f′（5）=﹣5，则实数a=．14．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为．15．（5分）如图，直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB 于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．19．（13分）已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m构成首项为2，公差为﹣2的等差数列a m+1，a m+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，m∈N+，（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N+，都有a n+2m=a n成立．①当a27=时，求m的值；②记数列{a n}的前n项和为S n．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）解答：解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．点评：本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：流程图的概念．专题：图表型．分析：首先要读懂框图，按照所给的条件进行循环，当不满足条件框中的条件时，继续循环，知道满足条件时才结束循环，依次做下去，得到结果．解答：解：当T=1，n=1时，进入循环体，T=1×1=1，n=1+1=2，不满足条件，进入循环体，T=2，n=3，不满足条件，进入循环体，T=6，n=4，不满足条件，进入循环体，T=24，n=5，不满足条件，进入循环体，T=120，n=6，不满足条件，进入循环体，T=720，n=7，满足输出的结果是720，结束程序，得到a=7，故选C．点评：本题考查流程图的概念，考查读框图的能力，是一个基础题，近几年这种题目经常出现在2015届高考题目中，是一个每一年必出的题目．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）A．4B．3C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四棱锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．解答：解：由已知三视图我们可得：几何体为四棱锥，棱锥以俯视图为底面以侧视图高为高由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h=结合三视图中标识的其它数据，S底面=×（1+2）×2=3故V=×S底面×h=故选D．点评：本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键．5．（5分）在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有2个零点的概率为（）A．B．1一C．D．l﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出方程有解的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：在区间内随机取两个数分别记为a，b，则，对应的区域为正方形，面积为S=2π×2π=4π2，若f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有两个零点，则判别式△=4a2﹣4×4（π2﹣b2）＞0，即a2+b2＞π2，对应区域为圆的外部作出不等式组对应的平面区域如图：圆的面积为π×π2=π3，∴圆外部落在正方形内的面积S=4π2﹣π3，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=；故选B．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．6．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b．解答：解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax，∴，∴（2a+1）x=0，∴2a+1=0，即，∵g（x）=是奇函数，∴g（0）=1﹣b=0，∴b=1，∴a+b=，故选D．点评：本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0（0在该函数的定义域内）可以简化基本运算．8．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；压轴题．分析：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．解答：解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．点评：本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围．解答：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有令t==（﹣4，1）•（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即y=4x+t﹣7．故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9，当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为7﹣0+2=9，故t=则的取值范围是，故选C．点评：本题主要考查向量与线性规划问题相结合的问题，利用线性规划解决范围问题是常用方法，考查了线段的中点公式，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）﹣2α+2（α＞0），若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数α的取值范围是（）A．B．（0，]C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈时，f（x）=，值域是，值域是，∵存在x1、x2∈使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A点评：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为相交．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．解答：解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x﹣y+1=0，把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+=2，所以圆心坐标为（0，），半径r=，因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．故答案为：相交点评：此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．12．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi （其中x，y∈R，i为虚数单位），则x+y的值为8．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知得===5+3i=x+yi，由此能求出x+y=8．解答：解：∵在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi（其中x，y∈R，i为虚数单位），∴===5+3i=x+yi，∴x=5，y=3，x+y=8．故答案为：8．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数性质的合理运用．13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax+8，若f（5）+f′（5）=﹣5，则实数a=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由题意求得F（5）与F′（5），得到f（5）与f′（5），代入f（5）+f′（5）=﹣5求得a的值．解答：解：根据图象知，函数y=F（x）的图象与在点P处的切线交于点P，F（5）=f（5）+5=5a+8，得f（5）=5a+3，F′（5）为函数y=F（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴F′（5）=f′（5）+2=a，f′（5）=a﹣2，由f（5）+f′（5）=﹣5，得5a+3+a﹣2=﹣5，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．14．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为6．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y 的最小值．解答：解：∵，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥2=2=2=6，当且仅当2x=y=1时取等号．故答案为6．点评：本题考查了⇔=0，基本不等式的性质，属于基础题．15．（5分）如图，直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB 于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于．考点：抛物线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．解答：解：∵OD⊥AB，∴k OD•k AB=﹣1．又k OD=，∴k AB=﹣2，∴直线AB的方程为y=﹣2x+5．设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）=5x1x2﹣10（x1+x2）+25联立方程，消y可得4x2﹣x+25=0①∴x1+x2=，x1x2=，∴x1x2+y1y2=5×﹣10×+25=0，∴p=，当p=时，方程①成为8x2﹣45x+50=0显然此方程有解．∴p=，故答案为：．点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）利用系统抽样的特点，可确定其抽样比，第1组抽出的号码，得所有被抽出职工的号码．（2）由茎叶中图的体重数据，求出平均数为71，通过列举，利用古典概型概率公式，可得结果．解答：解：（1）由题意，第5组抽出的号码为22．因为22=5×（5﹣1）+2，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47（2）因为10名职工的平均体重为=（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，从10名职工中随机抽取两名体重不轻于71公斤的职工，共有10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）．故所求概率为：P（A）==．点评：本题主要考查茎叶图，从图中获取数据的能力，同时考查了古典概型的概率公式，是个基础题．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用已知5（a2+b2﹣c2）=3ab代入余弦定理公式求得cosC的值，利用同角三角函数关系求得sinC的值，进而利用二倍角公式求得cos2C的值；通过cosA求得sinA 的值，最后利用两角和公式取得sin（A+C）的值，进而取得sinB的值，求得B．（Ⅱ）利用正弦定理求得a和c的关系式，代入a﹣c=﹣1求得a和c，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．18．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）由已知可得△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．由点P在圆O所在平面上的正投影为点D，可得PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．得到DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．在Rt△DEB中，利用边角关系求出DE即可．解答：（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD=DB知，点D为AO的中点，又∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，由知，∠CAB=60°，∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD=，PD=DB=3，过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．∵PD⊥平面ABC，又CB⊂平面ABC，∴PD⊥CB，又PD∩DE=D，∴CB⊥平面PDE，又DF⊂平面PDE，∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，∴DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．在Rt△DEB中，DE=DBsin30°=，，．点评：熟练掌握等边三角形的判定与性质、正投影的意义、线面垂直的判定与性质定理、线面角的定义与作法、直角三角形的边角关系等是解题的关键．19．（13分）已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m构成首项为2，公差为﹣2的等差数列a m+1，a m+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，m∈N+，（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N+，都有a n+2m=a n成立．①当a27=时，求m的值；②记数列{a n}的前n项和为S n．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差等比数列通项公式分段求出即可；（2）①由a27==，得m≥6，从而有2km+m+6=27，k∈N，由此可求得m值；②先求S4m+1=2S2m+a1=，然后对不等式适当变形，根据函数单调性可作出判断；解答：解：（1）当1≤n≤m时，a n=2+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+4；当m+1≤n≤2m时，=；所以；（2）①a27==，所以m≥6，则2km+m+6=27，即（2k+1）m=21，k∈N，当k=0时，m=21；当k=1时，m=7；当k≥2时，m，所以m的取值为：7或21；②S4m+1=2S2m+a1=2+2=﹣2m2+6m+4﹣，S4m+1≥2即﹣2m2+6m+4﹣≥2，亦即，当m=3时，不等式为1成立，当m≥4时，﹣m2+3m+1＜0，而，不等式不成立，所以存在符合条件的m=3．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力，能力要求较高．20．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．21．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e ，）点评：本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．。
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4 C．m≥8D．m＞83．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．64．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+48．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln210．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．1212．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．18．（3分）设的展开式中的常数项等于．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4 C．m≥8D．m＞8考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质求出p，q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：由x2﹣6x﹣27≤0，得﹣3≤x≤9，即p：﹣3≤x≤9，由|x﹣1|≤m（m＞0），得1﹣m≤x≤1+m，即q：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的必要而不充分条件，则，即，解得m≥8，即实数m的取值范围是m≥8，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．解答：解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P==．故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．考点：极限及其运算；变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．解答：解：根据导数的定义可得，=故选C点评：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，在长方体中找．（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，根据平行公理，则这两条直线平行；（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义；（4）垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面，比如墙角上的三条垂直的直线．故选B．点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解答：解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．解答：解：===0﹣2×=﹣2故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF 的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答：解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：要否定一个命题只要举出反例即可：对于A、B、C可举出反例；D根据全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”即可判断出正确与否．解答：解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆命题，取m=0时不成立；B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是“若，则||≠||”是假命题，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆命题是假命题；C．只要p、q中有一个为真命题，则pVq即为真命题．由此可知：C为假命题；D．根据：全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”可知：D 正确．综上可知：正确答案为：D．故选D．点评：掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：导数的乘法与除法法则；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h （x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h （x）的草图，结合图象得到不等式的解集．解答：解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定110个三角形．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数即可解答：解：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数，故有﹣=110个三角形．故答案为：110．点评：本题考查排列组合的基本问题，属于基础题．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．解答：解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．18．（3分）设的展开式中的常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令 3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=37；f（n）=3n2﹣3n+1．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．解答：解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=++…++f（1）=6+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故答案为：37；3n2﹣3n+1．点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．解答：解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ由PC=PD，CE=DE∴PQ⊥CD，EQ⊥CD∴∠E QP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由ED=CD=a，在等边△ECD中EQ= a在等腰Rt△CPD中，PQ= a在Rt△EPQ中，cos∠EQP=．故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，解得即为k的范围；（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．解答：解：（1）由，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±；（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，∴+1=0，解得k=±1．经检验，k=±1满足题目条件，则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．。
湖南省长沙市长郡中学2014届高三上学期第四次月考试卷数学(文)试题及答案
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5），集合{}{}3,4,1,2,3A B ==，则等于A ．{}3B ．{}1,2C ．{}1,3D ．{}1,2,3 2．在极坐标系中，曲线4cos ρθ=围成的图形面积为A ．πB ．4C ．4πD ．16 3．已知a R ∈，则“a>2”是“22a a <”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 。
值为5，则输出的y 值为A ．-2B ．-1C ．2D ．125.点(,)P x y 满足10,10,,x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为1，则实数a 的值是 A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．16．若单位向量a ，b 满足a b a b -=+，则a 与a-b 的夹角大小为A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A ．2B ．4C ．2+D ．4+8．抛物线24y x =的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，O 为坐标原点，则PF PO的最小值是A ．2 B ．2 C ．2D 9．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(2)2()f x f x =，且当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，若12,x x 是方程()(01)f x a a =<≤的两个实数根，则12x x -不可能是A. 30B. 56 C ．80 D ．112选择题答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 10．若复数2a ii+的实部与虚部相等，则实数a=__________. 11．等差数列{}n a 中，34259,18a a a a +==，则16a a =_________.12.设P 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为_________.13.如图所示，M ，N 是函数2sin()(0)y x ωϕω=+>图 象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运 动，当△MPN 面积最大时0PM PN ⋅=，则ω= _________14.设点A ，B 是圆224x y +=上的两点，点(1,0)C ，如果90ACB ∠=，则线段AB 长度的最大值为_________．15.对于各数互不相等的正整数数组123(,,,)n i i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于3的正整数），若对任意的p ，q ∈{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅，当p<q 时有p q i i >，则称,p q i i 是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组(2，3，1)的逆序数等于2．则数组(4，2，3，1)的逆序数等于__________；若数组123(,,,)n i i i i ⋅⋅⋅的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -⋅⋅⋅的逆序数为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1 6．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c,已知a=2c ，且2A C π-=．(1)求cos C 的值；(2)当b=l 时，求△ABC 的面积S 的值． 1 7．（本小题满分12分）某市政府为了了解居民的生活用电情 况，以使全市在用电高峰月份的居民 生活不受影响，决定制定一个合理的 月均用电标准．为了确定一个较为合 理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n 位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，其样本统计结果如下图表：(1)分别求出n ，a 的值；(2)若月用电紧张指数y 与月均用电量x （单位：度）满足如下关系式：10.3100y x =+，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率．18.（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将△ADM 沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C 得四棱锥'D ABCM -. (1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB; (2)若'3D EF π∠=，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为3π，求直线AD'与平面ABCM 所成角的正弦值．19.（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，14,0n a a =>，前n 项和为n S，若n a =+(,2)n N n *∈≥.(l)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,求证132020n T ≤≤． 20.（本小题满分13分）已知圆222:((0)M x y r r -+=>．若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M 的同心，离心率为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围． 21.（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中a ≤2． (1)求函数()f x 的单调区间；f x在（0,2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．(2)若函数()。