Ch5积分5.2
课程资料：ch5微分方程模型
si
i,
i(0)
i0
ds
dt
si,
s(0) s0
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用
MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
1
0.8 s(t)
0.6
0.4 i(t)
0.2
0
0
10
20
30
40
50
0.4
i
相轨线i(s)
0.3
0.2
0.1
s
P0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
0 当t 1 ln(1 )(1 ), dQ / dt 0
(1 )
K0 / K0
3) 经济增长的条件 每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长
dZ/dt>0
f Ly Z (t) 0 f
y f ( K )
L
0
0L
dZ dt
f0
y 1
dy dt
dZ dt
0
dy dt
0
1
K0 / K0
Q f0 Lg ( y), g( y) y
dQ dt
f0Lg( y)
dy dt
f0
g
(
y
)
dL dt
f0Ly 21[ f0 (1 ) y1 ]
1
y (t )
f0 [1 (1
K0 K0
)e (1
) t
]
1
dQ dt
0
1
K0 / K0
e(1
)
t
1
1
0 dQ / dt 0 ~ 劳动力相对增长率
模型4
newch5插值型数值微分与数值积分
f ( 2 ) — 右端点
2.两点公式(n=2) 给定三点 x i 1 , x i , x i 1及其对应的函数值 y i 1 , y i , y i 1 即
x i 1 y i 1 xi yi x i 1 y i 1
y i 1 y i 1 ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) yi
步长 h x i 1 x i
x xi x i 1 x i
1 h
yi
y i 1
1 h 1 h
y i 1
( y i 1 y i )
f ( x i ) P1( x i )
( y i 1 y i ) — 左端点公式 1 h ( y i 1 y i ) — 右端点公式
5.2 插值型数值积分
插值型数值积分的思想是：
若已知 f ( xi ) (i 0,1, , n ), a x 0 x1 x n 日插值多项式建立近似计算公式
b,
则利用拉格朗
这里
b a
L n ( x ) dx
n i0 n
b a
f ( x ) dx
b
b a
L n ( x ) dx
n
(i n )
b a ( 1) n
i! ( n i )!
(n )
t ( t 1) ( t i 1)( t i 1) ( t n ) dt
0
( b a )C i
C
(n ) i
ni ! ( n i )! ( 1)
f ( x i 1 )
CH5-移动通信
2024/9/21
5.3.5 GSM与CDMA系统旳技术比较
• TDMA系统旳基站只用一部发射机，干扰小； • 需要精拟定时与同步，确保移动台信号无混迭； • 各移动台只在指定旳时隙向基站发送信号； • 时帧与时隙在几到几十毫秒间变化； • 因为时延会造成移动信号旳落入时隙障碍，故设置保护
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 电源分系统 太阳能与化学电池
2024/9/21
嫦娥一号
5.4 其他移动通信系统
•
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 频段： 常用6/4 G, 5.925-6.425G/3.7-4.2G,转发器带
宽500M 在30/20 G,带宽达3.5 G
2024/9/21
5.5 无线移动旳发展
• 3、移动互联网 • WAP： 能够完毕HTML到WML旳转化。
4 、 3G LTE 4G
2024/9/21
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星通信旳频率： 1.6/1.5 6/4 8/7 14/11 30/20 GHz
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 天线分系统： 遥测指令天线——甚高频或短波波段，例如东 方红一号； 通信天线——半功率点波束宽17.34度，工作于 微波段。
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 天线增益： G=4A/2 =2D2/2 EIRP=PG 传播损耗：自由空间损耗、大气吸收、指向误
差、极化损耗、降雨等。
ch5测量误差的基本知识
● 观测与观测值分类
1.等精度观测和不等精度观测 通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三
个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不 断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件 相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各 次观测，称为不等精度观测。
2.直接观测和间接观测 3.独立观测和非独立观测
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
设该量的真值为X，则各观测值的真误差为
1= 1- X 2= 2- X
······ n= n- X
上式等号两边分别相加得和：
nlXnXl
由
nlXnXl
两边除以n： lXXLlX
n nn
n
当观测无限多次时：
lim lim lim [] (XL lXim) [l]0
n n
n n n
n n
得
lim [l] X n n
m 2 2
2 x2
f
2 n
mx2n
(h)
mz2
f12mx21
f 22 mx22
f
m 2 2
n xn
(h)
考虑
fi
F xi
，代入上式，得中误差关系式：
mZ
F x1
2
m12
F x2
2
m22
F xn
2
ch5 DSP的时钟与系统控制
5.2 时钟和系统控制单元
C28x DSP
外 设 总 线
Reset SYSCLKOUT
外设Reset CLKIN
看门狗 PLL&OSC
低功耗
LSPCLK LOSPCP
PCLKCR0/1/3
外设 寄存器
SCI-A, SPI-A
外设 寄存器
ECAP1, EPWM1~4
外设 寄存器
I2C-A
地址 0x0000-7010 0x0000-7011 0x0000-7012 0x0000-7013 0x0000-7014 0x0000-7016 0x0000-701B 0x0000-7021 0x0000-7022
大小（×16） 1 1 1 1 1 1 1 1 1
描述 XCLKOUT/XCLKIN控制 PLL状态寄存器 时钟控制寄存器 PLL锁定周期寄存器 内部振荡器1调整寄存器 内部振荡器2调整寄存器 低速外设时钟预分频器寄存器 PLL控制寄存器 系统控制&状态寄存器
PCLKCR3 外设时钟控制寄存器
位
域
值
描述
15-14 13
保留 GPIOINENCLK
12-11 10
9
8
7:2 1
保留 CPUTIMER2EN
CLK
CPUTIMER1EN CLK
CPUTIMER0EN CLK
保留 COMP2ENCLK
0
COMP1ENCLK
保留
GPIO输入时钟使能。
0
不给GPIO模块计时。
7-5
保留
4 I2CAENCLK
I时钟使能。
0 不给I模块计时。（默认）(1)
1 给I模块计时。
SEU-概率论-ch5~5.1-5.2
7 December 2017第五章大数定律与中心极限定理☐§5.1大数定律（依概率收敛、切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律）☐§5.2中心极限定理（林德伯格中心极限定理、独立同分布的维中心极限定理、棣莫弗--拉普拉斯定理）7 December 2017§5.1大数定律大数：描述试验次数很大时所呈现的概率性质定律：自然的可观规律（区别于定理，如牛顿三大定律）大数定律：由大量具体客观事实归纳总结而出。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现出几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。
7 December 2017依概率收敛的性质,P n X a −−→ P n Y b −−→则{X n }与{Y n }的加、减、乘、除依概率收敛到a 与b 的加、减、乘、除.7 December 2017(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注意点(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.7 December 2017§5.2中心极限定理大数定律：讨论多个随机变量平均∑ 的渐进性质 中心极限定理：独立随机变量和∑ 的极限分布。
7 December 2017讨论独立随机变量和的极限分布,指出极限分布为正态分布.独立随机变量和设{X n }为独立随机变量序列，记其和为1n i i n Y X ==∑7 December 2017注：中心极限定理针对相互独立随机变量而言。
要求每个随机变量的方差都存在。
若 服从中心极限定理，则其和的标准化随机变量的分布函数收敛到标准正态分布，也即该随机变量的和服从一般正态分布。
思考：在什么条件下，相互独立的随机变量序列服从中心极限定理。
这样，在求随机变量和的分布的时候，可以由正态分布来近似。
7 December 2017实际问题中，许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合影响下出现的。
断裂力学讲义ch5-J积分_58907430 (2)
满足下述条件之一
1） 定常裂纹扩展 2） 无限小围道（第一项
2
0
r 1/ 2 rd 0 ）
3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料 沿 x1 方向均匀
再看看 J 积分的定义，应该与路径无关？开口围道 Vs 闭口围道
t u d Ga
x1
x1'
u wn1 t a x1
d d wdA dt Amov , x2 x1
J 积分 0 流入围道的能通量 1） 定常裂纹扩展 2 与 Griffith 能量释放率在满 1/ 2 r rd 0 ） 2 ） 无限小围道（第一项 0 足右列条件之一时相等 第二项如何？ 已将能量释放率变成一条线上 3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料 的积分！ ！ ！ 沿 x1 方向均匀（见下页证明）
0 ，d：无量纲材料参数组合， 0 ：参照应力
【习题 5-2】计算 I、II 型 K 场 J 积分，取圆形围道 J 积分小结
J i wni n j jk uk ,i d 0
从另一个角度可以理解能量释放率与加载方式无关 只需当前状态就能计算 J 积分。
※J 积分的另一种通过能量的定义—便于实验量测
5.2 HRR 场（Hutchinson, Rice 和 Rosengren） ——塑性幂硬化材料平面问题的静止裂纹尖端场 线弹性断裂力学在裂纹尖端存在渐近解，可以用单参数应力强 度因子 K 来表征其强度，渐近场称为 K 场。 非线性的幂硬化弹塑性断裂力学在裂纹尖端也存在渐近解，可 以用 J 积分表征强度，渐近场称为 HRR 场。
板壳力学ch5-大挠度理论
Mar.2012
板壳结构
68-23
TONGJI University
平 板 理 论
E E Ez 2 w 2w ( ( yz ) yz ) x( z ) x 2 2 2 y 2 2 1 1 1 y x Ez 2 w 2w y 2 2 2 1 y x Ez y K Kx 2 y 1
§5.1 基本假定
1) 板单元的荷载与内力 平 板 理 论
Mar.2012
板壳结构
68-2
2) 基本假定 平 板 理 论 尺寸相比较，仍为小量；
TONGJI University
(1) 板的挠度 w 与板厚 t 为同一数量级，但与板的平面
(2) 与挠度 w 相比较，中面位移 u、v 是很小的量；
(3) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂
2
由此长度变化产生的应变为
ds3 dx 1 w x dx 2 x
2
Mar.2012
板壳结构
68-12
TONGJI University ② 微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4 平 板 理 论
1 w 2 w 2 ds4 A2C2 dy dy 1 dy y 2 y
板壳结构
68-11
TONGJI University ① 微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3 平 板 理 论
1 w 2 w 2 ds3 A2 B2 dx dx 1 dx x 2 x
2
dx 2 w dx x
实变函数--ch5积分2
．
第二步．记 ．根据 鲁金定理，对于 及 ，存在R上的连续函数 ，使 ， ．这里 ．从而
．
第三步．对于 ，根据Weierstrass逼近定理，存在 上的多项式 ，使
§5.3.乘积空间上的积分
定义5.3.1．X与Y是集合， ． 分别取定 与 ，记 ，
． 称 ——E的x截口（集）， ——E的y截口（集）．
定义5.3.2．设 为 上的二元函数．取定 ，定义
．称为 的 截口（函数）．类似可定义 的 截口（函数） ．
性质：
．若 有 ，
， ．
以下设 上的函数， ，那么：
． ，有 ；
定义5.4.2.设 为 ,A)上的一个广义测度．集 A满足： A有
，则称E为关于 的正定集（负定集）．
引理1．若 为 的正（负）定集，则 A，集合 均为 的正（负）定集．
证：依题设条件， A，有 ；
；故 为 正（负）定集．
对于 ，记 ，则 为互不相交的 正（负）定集，故 A，有
， 为 正（负）定集．
证：(1)令 A为 负定集}， 为 负定集)．则存在 负定集列 ．
取 是负定集，且 ，故
，所以 ．
令 ，可证E为 正定集， 为 负定集． （证略）
(2)取上述关于 的Hahn分解 ，其中E为 正定集， 为 负定集．令 ，
A)．则
， ， ，即 是测度， 是有限测度．
进而，若 是有限广义测度，则 ， 为有限测度．
．
定义2．设 ,A)为可测空间，复集合函数 A 满足：
(1) ；
(2) (可列可加性)若 为A中两两不交的集列，则 ；
称 为 ,A)上的一个复测度．
注：(A)在R－N定理中，若 为复测度，则定理依然成立，其中 为复值 可积函数．
无线通信射频电路技术与设计(文光俊 电子工业出版社)习题答案ch5
5.2解(a)阻抗/导纳类型：0L Z Z jX =-(b)阻抗/导纳类型：2200220L X Z jXZ Z Z X-=+5.5解:要达到最大功率传输，需要匹配网络的输出阻抗Z out 等于负载阻抗Z L 的共轭 即*Z (10020)out L Z j ==-。
匹配网络设计如下：电抗X1与源阻抗串联，电抗X2与负载阻抗并联。
*211221()1Z 11()s out L s s jX Z jX Z Z j X X jX Z jX +===++++ （1） 再把源阻抗和负载阻抗写成：Z R s s s jX =+，Z R L L L jX =+。
把（1）式可改写成：22112R ()R R ()s s L L s s jX X X X jX j X X X -+=-+++ （2） 分离实部和虚部后可得：1221R R ()()0s L L s s X X X X X X X +++++= （3）122R ()R ()0L s s L X X X X X ++-+= （4）解析上述几个公式可得：2s LX =21R (R s sL L X X R =由此可得两种匹配网络：匹配网络1：X1是电感L=0.938nH,X2是电容C=5.21pF;匹配网络2：X1是电容C=2.98pF,X2是电感L=6.02nH ;Matlab 代码如下：ZS = 10+j*25;ZL = 100+j*20;Z0 = 50;F = 960e6;get_matching(ZS,ZL,f,Z0);function[fig_num,network] = get_matching(ZS,ZL,f,Z0_in)global rf_Network;global Z0;Z0 = Z0_in;RL = real(ZL);XL = imag(ZL);RS = real(ZS);XS = imag(ZS);N = 0;X1(1) = (RL*XS+sqrt(RL*RS*(RS^2+XS^2-RL*RS)))/(RS-RL); X1(2) = (RL*XS-sqrt(RL*RS*(RS^2+XS^2-RL*RS)))/(RS-RL); X1(3) = -XL-sqrt(-RL^2+RL*RS+RL/RS*XS^2);X1(4) = -XL+sqrt(-RL^2+RL*RS+RL/RS*XS^2);If(imag(X1(1)) == 0 &imag (X2(1)) == 0)for(m = 1:2)N = N+1;fig_num(N)=Smith_Chart;init_network;Add_stunt_impedance(ZS);fprintf(\nNetwork#%d\n:N);fprintf(‘nource ->’);fprintf(‘shunt’);if(X1(m) >=0 )L1=X1(m)/(2*pi*f);fprintf(‘inductor(&.2eH)->,L1’);Add_shunt_inductor(L1);elseC1=-1/(2*pi*f)/X1(m);fprintf(‘capacitor’(%.2eF)->;C1);Add_shunt_capacitor(C1);end;fprintf(‘series’);if(X2(m)>=0)L2 = X2(m)/(2*pi*t);fprintf(“inductor(%.2eH)->,L2”);Add_series_inductor(L2);ElseC2 = -1/(2*pi*f)/X2(m);fprintf(‘capacitor(%.2eF)->;C2’);Add_series_capacitor(C2);fprintf(‘load\n’);rf_imp_transform(f,fig_num(N));network(N,;,;) = rf_Network;end;end;X1(1) = -XS+sqrt(-RS^2+RL*RS+RS/RL*XL^2);X1(2) = -XS-sqrt(-RS^2+RL*RS+RS/RL*XL^2);X2(1) = (-RS*XL+sqrt(RL*RS*(RL^2+XL^2-RL*RS)))/(RS-RL); X2(2) = (-RS*XL-sqrt(RL*RS*(RL^2+XL^2-RL*RS)))/(RS-RL); If(imag(X1(1)) == 0 &imag (X2(1)) == 0)for(m = 1:2)N = N+1;fig_num(N)=Smith_Chart;init_network;Add_stunt_impedance(ZS);fprintf(\nNetwork#%d\n:N);fprintf(‘nource ->’);fprintf(‘shunt’);if(X1(m) >=0 )L1=X1(m)/(2*pi*f);fprintf(‘inductor(&.2eH)->,L1’);Add_shunt_inductor(L1);elseC1=-1/(2*pi*f)/X1(m);fprintf(‘capacitor’(%.2eF)->;C1);Add_shunt_capacitor(C1);end;fprintf(‘series’);if(X2(m)>=0)L2 = X2(m)/(2*pi*t);fprintf(“inductor(%.2eH)->,L2”);Add_series_inductor(L2);ElseC2 = -1/(2*pi*f)/X2(m);fprintf(‘capacitor(%.2eF)->;C2’);Add_series_capacitor(C2);end;fprintf(‘load\n’);rf_imp_transform(f,fig_num(N));network(N,;,;) = rf_Network;end;5.11解:按照P150页的公式G =0.4L , 2t tan tan(*)18d πλβλ===, 202011G *20.04L t Y t Z +>==与公式（5.60）矛盾 5.14解:5.17解: 归一化负载阻抗：0z 0.50.6L L Z j Z ==-；2*54d d πβλ︒== 在Smith 原图上找到z L 点，继而得到00.48180︒Γ=∠-；以2倍电长度顺时针旋转0Γ，得到()d in Γ，此点亦可确定归一化输入阻抗z ()0.380.28in d j =+或者()1914in Z d j =+；亦可得到此处对应的SWR 是2.95.18解：信号源与负载之间实现最大功率传输的条件是信号源阻抗与负载阻抗共轭相等；匹配网络的输出阻抗为50M Z =，3015T Z j =+.(1)L 型匹配：阻抗M Z 的值等于T Z 先与电容C 并联再与电感L 串联，1150M L T CZ jX Z jB -=+=+ （1） 其中C B C ω=，L X L ω=；将公式（1）分别简化为实部和虚部两个公式解析出C 与L 的值。
北邮随机信号答案ch5
怎样的条件才能使
Z (t ) =
∑A e ω
j k =1 k
n
kt
是一个复平稳随机过程。 5.7 设有复随机过程
Z (t ) = ∑ (α i cos ω i t + jβ sin ω i t )
i =1
n
其中 α i 与 β k 是相互独立的随机变量， α i 与 α k 、 β i 与 β k (i ≠ k ) 是相互正交的，数学期 望和方差分别为 E[α i ] = E[ β i ] =0, 解：
πτ
= R0 (τ ) cos ω0τ
ˆ (τ ) = R (τ ) sin ω τ 是一个低频信号，所以 R n 0 0 πτ ˆ (τ ) sin ω τ = R (τ ) 所以 Rn (τ ) = Rn (τ ) = Rn (τ ) cos ω0τ + R n 0 0
由于 R0 (τ ) =
c s
=
1 2π
∫
∞
−∞
[2 X (ω − ω ′)U (ω − ω ′)][2 X (ω ′)U (ω ′)]d ω ′
Ω Ω ⎧ ω0 − ≤ ω ′ ≤ ω0 + ⎪ Ω Ω ⎪ 2 2 时亦不 由于有 ω0 − ≤ ω ≤ ω0 + 时 X (ω ) 不为零，因此有 ⎨ 2 2 ⎪ω − Ω ≤ ω − ω ′ ≤ ω + Ω 0 0 ⎪ 2 2 ⎩
5.2 设 A(t ) 与 ϕ(t ) 为低频信号，证明 (1) H [ A(t ) cos[ω 0 t + ϕ (t )] = A(t ) sin[ω 0 t + ϕ (t )] (2) H [ A(t ) sin[ω 0 t + ϕ (t )] = − A(t ) cos[ω 0 t + ϕ (t )]
数值计算CH5常微分方程数值解法—51引言(基本求解公式
h5 R(Sk ) 180 16
f (4) (k , y(k ))
将以上求积公式代入(11)式, 并加以处理, 得求解公式：
2021/4/21
23
(一) 矩形求解公式
由 以及 可得
y(xk ) y(xk1)
xk xk 1
f (x, y)dx
xk xk 1
f
(x,
y)dx
hf
( xk 1,
(4)式中区间 [x j , x上j1第] 一等式的一般格式：
1
h
y j1 y j
y(x j
)
h 2
y' ' (
j
)
f
(x
j
,
y
j
)
h 2
y' ' (
j
)
即
y j1
yj
hf (x j , y j )
h2 2
y''( j )
j 0,1,, n 1
得近似解及误差：
y
j
1
yj
hf
(x j ,
解: 由(9)式, 有
y1
y0
h( y0
2 x0 y0
)
1
0.1(1
20) 1
1.1
y1
y0
h( y1
2 x1 y1
)
1
0.1(1.1
2 0.1) 1.1
1.0918
y2
y1
h( y1
2 x1 y1
)
1.0918
0.1(1.0918
2 0.1 ) 1.0918
1.1827
y2
y1
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
数值分析Ch5
M. H. Xu
第五章 数积分与数值微分
§5. 1 引 言 一 问题的提出
b
计算
a
f (x)dx往 往遇 到如 下困 难:
(1) 由 于f (x)的 原函 数不 能或 很难 用初 等函 数显 式表 示, NewtonLeibniz公式
b
f (x)dx = F (b) − F (a),
M. H. Xu
y y=y(x)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Ch5.2 中心极限定理
例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数 对于一个学生而言，
是一个随机变量， 个学生无家长、 1名家长、 2名 是一个随机变量，设一 个学生无家长、 名家长、 家长来参加会议的概率 分别为 .05 0.8、15.若学校 0 、 0. 共有400名学生，设各学生参加 名学生， 会议的家长数相互 独立， 独立，且服从同一分布.
概率论与数理统计
第二节
中心极限定理
中心极限定理 例题 课堂练习
中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的 影响所形成的. 因素的综合（或和 影响所形成的 例如： 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 如瞄准， 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的 每个随机因 素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 素的对弹着点（随机变量和） 的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？ 那么弹着点服从怎样分布哪
相互独立， 设随机变量X1, X2 ,LXn ,L相互独立，服从同一分 方差: E( Xk ) = µ, D( Xk ) = σ 2 布，且具有数学期望和 (k = 1,2,L，则随机变量之和 ∑ Xk的标准化变量 )
n
Yn = k=1
∑ Xk − nµ n σ
n
k=1
F x 的分布函数 n( x)对于任意 满足
设需N台车床工作， 现在的问题是： 设需 台车床工作， 现在的问题是： 台车床工作 求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 的最小的
千瓦， 台工作所 （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所 由于每台车床在开工时需电力 千瓦 需电力即N千瓦 千瓦.） 需电力即 千瓦 ）
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f(x) ↘
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更具有一般性，但此处讨论F(x)的单调性需要 用到下一节的知识：变上限积分的求导问题。
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( a < b)
同分割同近似点即可
7/20
∫
b
a
|f (x)| dx ≤
∫
b
b
a
f (x) dx ≤
∫
b
a
|f (x)| dx ，
于是
∫0
−2
−2
|
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∫
a
f (x)dx | ≤
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∫
b
a
|f (x)|dx
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(a<b)．
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性质6 估值定理
∫0 4dx ≤ ∫0 3 + sin 3 xdx ≤ ∫0 3dx,
π 1 π π ∴ ≤∫ dx ≤ . 4 0 3 + sin 3 x 3
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π
1
π
1
f ( x ) 在[ , ]上单调下降,
π π 故 x = 为极大点， x = 为极小点, 4 2
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使
∫x
x+2
关键：再找一点 η ，使得 f (η ) = f ( 0 )
3 ∫2 f ( x )dx = 3 f (η )
3 1
y
+
−π
0
π x
−2
0
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y= x +4
2 x
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sin(3/ ξ ) = 2 lim 3 f (ξ ) ξ →+∞ (3/ ξ )
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1 = f (η ) 3
1
解 由积分中值定理知有 ξ ∈ [ x , x + 2],
内存在一点 ξ使得f ' (ξ ) = 0.
推论2：奇偶性 奇函数则有 偶函数则
l l
∫
l −l
f ( x ) dx = 0； ∫ − l f ( x ) dx = 2∫ 0
y
−
f ( x ) dx ．
2
3 3 t sin f ( t )dt = ξ sin f (ξ )( x + 2 − x ), t ξ x+2 3 3 lim ∫ t sin f ( t )dt = 2 lim ξ sin f (ξ ) ξ → +∞ x → +∞ x ξ t
b x
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由闭区间上连续函数的介值定理知
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推论1：广义的积分中值公式(不做要求)
例 4 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) = 1，
x → +∞
如果在区间[a , b]上 f(x)连续，g(x)可积 且不变号，则存在ξ∈[a,b]使得
性质1 分项可加性
§5.2
b
定积分的性质
证
∫a [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
b
b
b
性质2 齐次性
对定积分的补充规定:
（1）当a = b 时， ∫ f ( x )dx = 0 ；
a
（2）当 a > b 时， ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx .
0
1
a
a
1
a
a ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx .
0 0
1
a
a
0
证明 左边－右边 = a ∫0 f ( x )dx − ∫0 f ( x )dx
= a[ ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ] − ∫ f ( x )dx
0 a 0 a 1 a
1
a
= ( a − 1) ∫ f ( x )dx + a ∫ f ( x )dx
= 6.
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积分中值定理
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例 6 证明：若 f ( x ) 在[0,1]上连续且单调减少， 则对 ∀a∈(0,1), 有
证二 左边－右边 = a ∫0 f ( x )dx − ∫0 f ( x )dx
= a[ ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ] − ∫ f ( x )dx
3
1 , 3 + sin 3 x
∀ x ∈ [0, π ],
解
f ( x) = f ′( x ) =
sin x , x
π π x ∈[ , ] 4 2
sinx<x<tanx
证
∵ m ≤ f ( x) ≤ M ,
0 ≤ sin x ≤ 1,
b
1 1 1 ≤ ≤ , 4 3 + sin 3 x 3
1
π
∴
设 M 及 m 分别是函数
例2
估计积分 ∫
π
0
1 dx 的值. 3 + sin 3 x
例3
估计积分 ∫π2
4
π
sin x dx 的值. x
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值，
则 m ( b − a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ( b − a ) .
b
解
f ( x) =
∴
π π π − = , 2 4 4
1 b f ( x )dx = f , 平均值 b − a ∫a b 即 ∫a f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) . (a ≤ ξ ≤ b )
使
f (ξ ) =
使 ∫a f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .
b
(a ≤ ξ ≤ b )
c b
b
c
c
∫ a [k1 f ( x ) + k 2 g( x )] dx = k1 ∫ a f ( x ) dx + k2 ∫ a g( x ) dx
4/20
b
b
f (x) dx c
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∫
c
f (x) dx b
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（定积分对于积分区间具有可加性）
x
5/20 6/20
O
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a
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0
x
− x )dx > 0,
如果在区间[a, b]上 f ( x ) ≤ g( x )，
则 ∫a f ( x )dx ≤ ∫a g ( x )dx .
b b
|f (x)| 显然也可积，而−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| ，
−
∴
∫− 2 e
0
x
dx > ∫− 2xdx , e x dx < ∫0 xdx .
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性质4 改变函数有限个点的值并不改变积分值。
推论1：保号性
如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ，
则 ∫ f ( x )dx ≥ 0 .
a b
例1
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ g ( x )dx
a
b
比较积分值 ∫0 e x dx 和 ∫0 xdx 的大小.
i =1
n
n
λ → 0 i =1
= ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
1/20 2/20
b
= k ∫a f ( x )dx .
b
3/20
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y
y
推论
性质3 分域可加性 对任意三个常数 a,b,c 有
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在区间[a , b]上至少存在一个点 ξ ，
π 2 2 M = f( )= , 4 π
π 2 m= f( )= , 2 π
性质7（定积分的中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续，
则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ ，
∵ b−a =
b c
a < c < b, 如图：
y
由性质 1 及性质 2 得到积分的 线性性质：
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
f (x) dx
b
∫ ∫
c a
b
a
则
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx − ∫b f ( x )dx