大连长兴岛高中高三一轮复习数学试题一
2022-2023学年辽宁省大连市高三(下)第一次模拟数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年辽宁省大连市高三（下）第一次模拟数学试卷1. 已知，i 为虚数单位，若为实数，则( )A.B. C. 3 D.2. 如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，则( )A.B.C.D.3. 已知随机变量，且，则( )A.B.C.D.4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为( )A.B.C.D.5. 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是( )A.B.C.D.6. 牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为( )A. B. C.D.7. 已知对于每一对正实数x ，y ，函数满足：，若，则满足的n 的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在中，若，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10. 阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为…，其中…，k，为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列说法正确的是( )A. 四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B. 若，则四棱柱在顶点A处的离散曲率为C.若四面体在点处的离散曲率为，则平面D. 若四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面的夹角为11. 定义在R上函数，则( )A. 存在唯一实数a，使函数图像关于直线对称B. 存在实数a，使函数为单调函数C. 任意实数a，函数都存在最小值D. 任意实数a，函数都存两条过原点的切线12. 已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是( )A. 当时，，使得B. 当时，，C. 当时，，使得D. 当时，，13. 若，则______ .14. 已知单位向量，的夹角为，若，则记作已知向量，，则______ .15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为______ ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______ .16. 甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么做游戏次数是______ .17. 从①②③中选择一个条件补充到题目中：①，②，③，解决下面的问题.在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，且_____.求角A；若D为边AB的中点，，求的最大值.18. 如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD翻折，使点E翻折到点证明：；若，求二面角的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值.19. 在正项数列中，，求；证明：20. 国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第…，号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续比赛；③若第…，号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.令随机变量表示n名同学在第X轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；若把比赛规则③改为：若第…，号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示n名同学在第Y轮比赛结束.求随机变量的分布列；证明：随n增大而增大，且小于21. 已知双曲线和集合，直角坐标平面内任意点，直线l：称为点N关于双曲线C的“相关直线”.若，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：；若点，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：22. 已知函数，是的导函数，且求a的值，并证明函数在处取得极值；证明：在区间有唯一零点.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，由于为实数，则，所以，故选：求出，再由为实数，能求出本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则、实数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由Venn图可知，，因为，，则，，因此，故选：分析可知，求出集合A、、，即可得集合本题考查集合的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，知，故故选：根据正态分布的定义，先求出，再结合即可得到答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：如图，连接，BD，由正方体的结构特征可知，，异面直线直线与所成的角为，为等边三角形，故选：由，得异面直线与所成的角为，由为等边三角形，即可求出异面直线与所成的角．本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：分三种情况讨论：①三人每人2本，有种不同的分法，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法，③三人中一人4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则有种不同的分法，其中甲分得4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则甲得到4本的概率是故选：分三种情况讨论即可：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本．本题考查排练组合，考查古典概型，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：设，则，，，，则，令，解得，，，则，令，解得，故选：根据牛顿迭代法的运算法则，由求出再求出，结合选项得到最佳近似解．本题考查导数运算、考查数学运算能力，正确理解题意是关键，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：函数满足：，令得，，即，令得，，，，，，……，累加得，……，……，即当时，，令得，，解得或1，又，，即满足的n的个数是1个．故选：令得，，所以，先令求出的值，再利用累加法可求出的解析式，从而求出满足的n的个数．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了累加法求和，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：记坐标系二，三象限所在半平面为半平面，①当P在y轴左侧时，为平面解析几何问题②当P在y轴上及右侧时，如图建系，则，设，，，其中，，则，，，综上所述：A，P两点间距离的取值范围是故选：分当P在y轴左侧时与P在y轴上及右侧，分别进行计算可求A，P两点间距离的取值范围．本题考查圆的几何性质，考查翻折问题，属中档题．9.【答案】BD【解析】解：，，，，，，且，，A不一定等于B，错误，A错误；，且，，即，B正确；，且不一定等于，错误，C错误；，D正确．故选：根据及二倍角的正弦公式、切化弦公式、三角函数的诱导公式即可得出，从而得出，然后可判断A错误；根据即可判断B的正误；根据可判断C错误；根据可判断D的正误．本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；对于B，若，则菱形ABCD为正方形，平面ABCD，AB，平面ABCD，，，直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；对于C，在四面体中，，，，四面体在点上的离散曲率为，解得，由题意知，，，直四棱柱为正方体，平面，平面，，，，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，故C正确；对于D，直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则，是等边三角形，设，则是与平面的所成角，，故D错误．故选：根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理和性质能求出结果．本题考查直四棱柱、四面体的结构特征、离散曲率、立体几何等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立，所以且，所以，解得，且当时，，则，所以存在唯一实数a，使函数图象关于直线对称，故A正确；对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；对于C，由于，又令，则恒成立，所以在上单调递增，且，；，，故存在唯一的零点，使得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数a，函数都存在最小值，故C正确；对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，所以切线方程为，当切线过原点时，有，整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确．故选：根据对称性先用特殊值求得a的值，即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断本题考查导数的综合应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：，又，，故A错误；设AB的中点，，，，，两式相减得，又，，，，又，得到点M的轨迹方程为：，，故B正确；联立直线与椭圆方程可得，，解得，，，故C 正确；由点差法可得点M的轨迹方程为：，，故D正确．故选：利用抛物线性质，结合每个选项计算可判断其正确性．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】【解析】解：若，所以，两边同时平方得，则故答案为：由已知结合和差距公式，二倍角公式及同角平方关系可求．本题主要考查了和差距公式，二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以，，故答案为：由数量积公式计算，再由模长公式计算本题考查了平面向量数量积和模长公式，属于中档题．15.【答案】，【解析】解：根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，由它们均过，代入可得，，解可得：，，可得桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，则右边第二个溢流孔所在方程为，则有，解可得：或即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为，故答案为：，根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得p，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求．本题考查抛物线标准方程的综合应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】略17.【答案】解：选①，由余弦定理得：，又，所以，得，因为，所以；选②，因为，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因为，所以；选③，因为，由正弦定理得：，即，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即；在中，设，由正弦定理得，所以，，其中，当时取等号，所以的最大值是【解析】选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解；在中，设，由正弦定理可得，进而得到，进而求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AD的中点O，连接OC、OE，是边长为2的等边三角形，，，翻折后有，，，，，，OP，平面POC，平面POC，，，平面POC，又平面POC，，解：由得，，二面角的平面角为，在中，，，由余弦定理得，，二面角的大小是，在平面POC内作，交PC于M，平面POC，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由得，四边形OABC为矩形，又，，则，，，，，，，，设平面PCD的一个法向量为，则，令，则，，平面PCD的一个法向量为，设直线PB与平面PCD所成角为，则，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为【解析】取AD的中点O，连接OC、OE，可得，进而可得，可证平面POC，可证结论；可求二面角的大小是，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量与直线PB的一个方向向量，可求直线PB与平面PCD 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：依题意，当时，由，可得，即，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，，，，，证明：由题意及，可得，故不等式对任意恒成立．【解析】由题意当时，由，可得，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；先将第题数列的通项公式代入题干表达式，再运用裂项相消法进行运算，最后根据不等式的性质即可证明不等式成立．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：由题设，可取值为1，2，3，，因此的分布列为：1 2 3P可取值为1，2，…，n，每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，所以时，；当时，故的分布列为：1 2 3…nP…证明：由知：，，故单调递增；由上得，故，，故【解析】由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；应用二项分布概率公式求取值1，2，⋯，n对应概率，即可得分布列；由分布列得，定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论．本题考查了独立事件乘法公式、互斥事件、二项分布和离散型随机变量的分布列，属于中档题．21.【答案】解：直线l与双曲线C相切，理由如下：联立方程组，①，，，即，代入①得，，，直线l与双曲线C相切；证明：由知，直线l与双曲线的一支有2个交点，则：，，，，，；证明：设，，设，，，则，代入双曲线C：，利用M在l上，即，整理得，，同理得关于的方程，即、是的两根，，，【解析】直线l与双曲线C相切，理由：联立直线方程和曲线C的方程消去y可得出①，然后根据得出，然后代入①，得出方程①有二重根即可；由知，然后根据直线l与曲线C的一支有2个交点可得出，然后根据可得出，而根据可得出，最后即可得出；可设，，根据题意设，根据，，得出，从而得出，然后代入双曲线方程，并根据M在l上可得出关于的方程，同理可得出关于的方程，这样即可得出、是的两根，从而得出，然后即可得出结论．本题考查了直线和双曲线相切时，联立直线方程和双曲线方程消去y，得到关于x的一元二次方程，该方程有二重根，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，点在直线或曲线上时，点的坐标满足直线或曲线的方法，考查了计算和推理能力，属于难题．22.【答案】解：，则，令，得，，，当时，，，故在单调递增；当时，令，则，在区间上，，故是上的减函数，，即在区间上，，是上的减函数，综上所述，在处取得极大值；证明：由知，，，，在区间至少有一个零点，以下讨论函数在区间上函数值的变化情况：由，令，则，令，上，解得，，①当时，在区间上，，递减，；在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，故在上，，递减，，在上，，递增，而，故在上，，当且仅当时，，故在上有唯一零点；②对任意正整数k，在区间上，，递减，，在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，在上，，，递减，在上，，，递增，，，，可得在上有唯一零点，即在上有唯一零点，综上，在区间有唯一零点．【解析】求出原函数的导函数，由可求得a，再由导数可得原函数的单调性，即可证明在处取得极值；由零点存在性定理可知在区间至少有一个零点，再分及k 为正整数讨论即可得证．本题考查导数运算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于较难题目．。
大连长兴岛高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
大连长兴岛高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ．110C ．10D ．202． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 3． 已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,4 4． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5． 设复数z 满足z （1+i ）=2，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ）A1 B ﹣1 Ci D ﹣i6． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 7． 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件8． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ． BC. 12 D．29． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）10．已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．54 C ．i - D ．i 54 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.11．若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 12．命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 14．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．15．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．16．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB AC×的值为_______．CA B【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．三、解答题（本大共6小题，共70分。
辽宁省大连高三第一次模拟考试 数学(文科)试题有答案
大连市高三第一次模拟考试数学(文科)能力测试第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、集合{|13}A x x =-<<，集合{|12}B x x =-<<，则A B =A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3 D ．()1,3-2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，12z i =+，则2z =A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i -- 3、已知向量(2,1),(0,1)a b =-=，则2a b +=A．．2 D ．4 4、已知函数()5log ,02,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f =A ．4B ．14C ．4-D ．14- 5、某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x (元)与销售量y (万件)的统计资料如下表所示：已知销售量y (万件)与价格x (元)之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：ˆˆ40ybx =+，若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为 A ．7.66万件 B ．7.86万件 C ．8.06万件 D ．7.36万件 6、已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为 A7、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段CD 中点，则三棱锥11P A B A -的左视图为8、将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．12 C ．12- D．-9、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a =，则输出的结果是 A ．51 B ．49 C ．47 D ．4510、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，以F 为 圆心和双曲线C 的渐近线相切与双曲线C 在第一象限的交点为M ， 且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为 A．2BD ．2 11、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，满足 cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12、已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式1(ln )(ln()(1)2f x f xf -<的解集为A ．1(0,)e B ．(0,)e C ．1(,)e eD ．(,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
大连长兴岛高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
大连长兴岛高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2 B． C． D ．33． 已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=4． 函数的定义域为（ ）ABC D5． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．6． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ．8． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 9． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 10．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.11．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．64 B ．72 C ．80 D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 14．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．15．已知向量b a ,满足42=a ，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 16．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷附答案解析
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A ．{2}4，B ．{16}，C ．{3}5，D ．{1}2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数3．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠4．已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若a c b c ⊥⊥，，则//a bB ．若////a b a α，，则//b αC ．若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D ．若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5．将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种6．若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．43-B ．34-C ．13-D ．17．设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞8．设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B ．复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C ．复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D ．复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10．已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线12y =+是一条切线D ．()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11．已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是减函数C ．0f=D ．1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12．“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．13．在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是．14．已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ⊥；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16．已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；(2)停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．(1)求曲线G 的方程：(2)若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19．对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：(2)若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．1．C【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C 2．B【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3．D【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4．D【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D 5．B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6．A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 2sin 4παα⎛⎫- ⎪⎝⎭得()22225cos sin cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7．C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x xf x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe e x xg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sinπe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8．A【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a=+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ==，所以==ce a故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.9．BCD【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππ22cos isin i 1i 4422z ⎫⎫=--=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD.10．BC【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得0x ≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC 11．ACD【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f=∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.12．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13．24π[]π,6π【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r =（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14．【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：15．(1)证明见解析(3)14AP AD =，作图见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；（2） FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,21,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-=== ⎝，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m =，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,42cos ,22n m n m n m⎛⋅- ⋅===-⋅，所以平面与BCEF 与平面FGH（3）如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16．(1)1a ≥-(2)证明见解析【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x xx x x ->，1x >，再构造函数得到e e xx >，得到()()e 1e 1x x x x->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【详解】（1）由已知得，1ln a x x-≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x-=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；（2）法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x xx x x->，设()()e e ,e e x xh x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e1xx x x->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1xx x >-成立．即证11ln ex x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17．(1)335(2)分布列见解析，()275E X =(3)()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；（2）X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X3456P1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18．(1)24y x=-(2)（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【详解】（1）设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+==uuu r uuu r()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++=-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；（2）（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，020,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()2220001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+- 点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()00120028401x a y k k y y y -+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19．(1)0，1，1(2)不会，理由见解析(3)507【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；（3）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试理科数学试题及答案(word版)
2017年大连市高三一模测试数 学（理科）说明：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}12≥=x x A ，则∁R A =( )A. (-∞,0]B. (-∞,0)C. [0，+∞)D. (0，+∞)2．复数311iz +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为( ) A.1-i B.1+i C.i 2121+ D. i 2121-3．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样4．向量a =)1,(m ,b =)1,(n ,则1=nm是a //b 的( )A. 充分而不必要条件B.C. 充分必要条件D.5．若角α的终边过点)2,1(-，则)2cos(απ-的值为( ) A.53 B.53- C.55 D.55- 6．执行如图所示的程序框图,若输入]2,0[π∈x ，则输出y 的取值范围是( ) A.[0,1] B. [-1,1] C. [-22,1] D. [-1,22] 7．4个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置，共有( )种不同的站法．A. 6个B. 9个C.12 个D. 18个 8．在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,，则满足12-≥x y 的概率是( ) A. 92B. 97 C. 61 D.65 9． 函数)40)(3sin()(<<-=ωπωx x f 图象的一条对称轴方程是125π=x ，将函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A. ()g x =x 2sin B. ()g x =)sin(62π-xC. ()g x =)sin(654π-x D. ()g x =)sin(3054π-x10．已知双曲线:C )(014222>=-b b y x 的一条渐近线方程为x y 26=，21,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，1:3:21=PF PF ,+的值是( ) A. 4 B. 26 C. 210 D.5106 11．若x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[ 1.5]2,[5.1]5-=-=）．设{}[]x x x =-，则对函数{}x x f =)(，下列说法中正确的个数是（ ） ①定义域为R ，值域[0,1) ②它是以1为周期的周期函数③若方程k kx x f +=)(有三个不同的根，则实数k 的取值范围是1111(,][,)3443-- ④若121n x x n <+≤≤(n Z)Î,则12f(x )f (x )£A. 1B.2C. 3D. 412．已知212+==x x g e x f x ln )(,)(，对R,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 11ln 22+B. 11ln 22-12 D. 2124e -第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为 ．14．焦点在x 轴的椭圆()x y a a a +=>+2221041，则它的离心率的取值范围为 ． 15．设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足,53cos cos a C b B c =- 则=CBtan tan ．16．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各有一个动点P 、Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的 动点，则111M ABPQABC A B C M ABPQV V V ----的最大值是 ．1APB C AQ1CM1B （第16题图）（第13题图）三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，等比数列{}n b 的公比21，有153=S ,3211=+b a ，6422=+b a ． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n n b a ,； （Ⅱ）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）为了调查某厂数万名工人独立生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天独立生产该产品的数量，产品数量的分组区间为)15,10[，),25,20[),20,15[),30,25[)35,30[，频率分布直方图如图所示，已知独立生产的产品数量在)25,20[之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定：若独立生产能力当日不小于25，则该工人当选今日“生产之星”． 若将这天独立生产该产品数量的频率视为概率，随机从全厂工人中抽取3人， 这3人中当日“生产之星”人数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．（第18题图）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -,底面ABCD 为直角梯形，AD BC //,CD BC ⊥,AD CD BC 21==,APB ∆是等腰直角三角形，,90o =∠APB H 是AB 中点， PD PC =．（Ⅰ）证明：⊥PH 平面ABCD ;（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知过抛物线2:4C x y =的焦点F 直线与C 交于,A B 两点．HAB CPD（第19题图）（Ⅰ）求线段AB 中点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）动点P 是抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 与抛物线C 的准线l 分别交于点,M N ，求⋅的值．21.（本小题满分12分）. f(x)=2cosx 12x +-（Ⅰ）求证： x 0,f(x)0≥≥;（Ⅱ）若不等式2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，以R t △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心OC 为半径的⊙O 与AC 另一个交点E ，D 为斜边AB 上一点，且OD=OC ，2AD AE AC =⋅.（Ⅰ）证明AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若8DE OB ⋅=，求⊙O 的半径．23. 选修4－4：极坐标与参数方程选讲（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为t t y t x (,2,1⎩⎨⎧+=+=为参数），以该直角坐标系的原点（第22题图）DEABOCO 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．24. 选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分） 设不等式)(32*∈<-+-N a a x x 的解集为A ,且32A,A 2蜗.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()2f x x a x =++-的最小值.2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.B8.D9.A 10.C 11.C 12.A 二．填空题 13.π3314.(,0215.4116.21三．解答题 17． 解：（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+,,,6232511111b d a b a d a解得,,,213211===b d a ………………4分所以.)(,n n n b n a 2113=-= ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知⨯+⨯+⨯=82152122)(n S 321)(+n n n n ))(())((211321431-+-+⋅⋅⋅- ①①21⨯得+⨯+⨯=3221521221)()(n S 121132143+-+-+⋅⋅⋅n n n n ))(())(( ②……8分①-②得1322113212121321221+--+⋅⋅⋅++⨯+⨯=n n n n S ))((])()()[( 1121132112114131+-----+=n n n ))((])([， ………………10分整理得52153++-=n n n S ))((． ………………12分18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在)25,20[之间的频率为0.3， 所以,.306=m即.20=m ………………4分 （Ⅱ）由频率分布直方图可得产品数量不小于25的频率为0.4，所以三人中每人是“生产之星”的概率都是,52 ………………6分X 的取值为0,1,2,3，由题知X~),,(523B()(),()(),()(),()()p X p X C p X C p X =====⨯⨯===⨯====3123223332723540151255512523362823551255125所以X 的分布列为………………10分所以)(X E =56． ………………12分19.证明：（Ⅰ）取CD 中点G ，连接,PG HG 。
2019届辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学理试卷【含答案及解析】
2019届辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学理试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知复数，则（）A. 5B.C. -3D.2. 已知集合，，则（）A. B.C. D.3. 设均为实数，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充要条件________D. 既不充分也不必要条件4. 若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（）A. 2B.C.D.5. 已知数列满足，，则（）A. 9B. 15．________C. 18D. 306. 在平面内的动点满足不等式，则的最大值是（）A. 6B. 4C. 2D. 07. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. 4B.C.D.8. 将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 79. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A. B. C. D.10. 若方程在上有两个不相等的实数解，则（）A. B. C. D.11. 已知向量，，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 __________ 种不同的分法（用数字作答）．14. 函数的图象在点处的切线方程是 __________ ．15. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数__________ ．16. 过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为 __________ ．三、解答题17. 已知点，，为坐标原点，函数.（1）求函数的最小值及此时的值；（2）若为的内角，，，求的周长的最大值.18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点.（1）求证：平面；（2）若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为 .20. 已知点是长轴长为的椭圆：上异于顶点的一个动点，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与的斜率之积恒为 .（1）求椭圆的方程；（2）设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.21. 已知函数 .（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为1.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
大连高三数学一模试卷
大连高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母填在题后的括号内。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(1)的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，3，5，则该数列的公差为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为（）。
A. -25B. -23C. -14D. 254. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. π5. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|的值为（）。
A. 5B. √7C. √25D. √416. 已知圆心在原点的圆的方程为x^2 + y^2 = 4，则该圆的半径为（）。
A. 2B. 4C. -2D. -47. 若直线y = 2x + 3与直线y = -x + 1平行，则它们的斜率k1和k2之间的关系为（）。
A. k1 = k2B. k1 ≠ k2C. k1 > k2D. k1 < k28. 已知等比数列{b_n}的前三项分别为2，4，8，则该数列的公比为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 49. 函数y = ln(x)在区间(0, +∞)上是（）。
A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数10. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(-1, 4)，则a的值为（）。
A. 1B. -1C. 2D. -2二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接填写在题后的横线上。
）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x) = ________。
2. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = ________。
辽宁省大连市瓦房店长兴岛高级中学2019-2020学年高一数学文上学期期末试卷含解析
辽宁省大连市瓦房店长兴岛高级中学2019-2020学年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】利用正弦定理求出a、b、c的比值，然后利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，∴a：b：c=5：7：8．不妨设a=5t，b=7t，c=8t，由余弦定理可得：49t2=25t2+64t2﹣2×5t×8tcosB，∴cosB=．∴B=．故选：B．【点评】本题主要考查余弦定理以及正弦定理的应用，求出cosB，是解题的关键，基本知识的考查．2. 已知集合，那么集合为( )A.x =3，y=lB.C．（-3，-1） D.参考答案：D略3. 设>1，则图像大致为（）参考答案：B略4. 函数的图像大致为（）参考答案：B5. 如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣9参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，∴f（﹣10）=9，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）在[4，10]上是减函数，且有最小值f（10）=﹣f（﹣10）=﹣9．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，要求熟练掌握函数性质的综合应用，属于基础题．6. x=是a、x、b成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件参考答案：D7. 设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是A.若m //,，,则m // nB.若m,n,m //,n //,则//C.若，m,则mD.若，m,则m //参考答案：A8. 对函数作代换，则不会改变函数的值域的代换是（）A． B. C. D.参考答案：A略9. 已知函数,若,则x的取值范围是( )A. (－∞,－1)∪(2,+∞)B. (－2,1)C. (－1,2)D. (－∞,－2)∪(1,+∞)参考答案：D10. 设，集合，，且，则（）A.0B.-1C.0或D. 以上都错参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数．利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得的值为_____．参考答案：13．【分析】由题意可知：可以计算出的值，最后求出的值.【详解】设,，所以有，因为,因此【点睛】本题考查了数学阅读能力、知识迁移能力，考查了倒序相加法.12. 已知||=2,||=3,=－1，那么向量与的夹角为＝参考答案：12013. 如图，正方体的棱长为1，点M是对角线上的动点，则AM+M的最小值为（）（A）（B）（B）（C）（D）2参考答案：A略14. 已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m}，若B?A，则实数m= ．参考答案：±1【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】由集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m}，B?A，知m=﹣1，或m=2m﹣1，由此能求出实数m．【解答】解：∵集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m}，B?A，∴m=﹣1，或m=2m﹣1，解得m=﹣1，或m=1，当m=﹣1时，A={﹣1，3，﹣3}，B={3，﹣1}，成立；当m=1时，A={﹣1，3，1}，B={3，1}，成立．故m=1，或m=﹣1，故答案为：±1．【点评】本题考查集合的子集的性质，解题时要认真审题，全面考虑，避免丢解．15. （5分）函数g（x）=x（2﹣x）的递增区间是．参考答案：（﹣∞，1]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的图象即可求出其单调增区间．解答：g（x）=x（2﹣x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，其图象开口向下，对称轴为：x=1，所以函数的递增区间为：（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．点评：本题考查二次函数的单调性问题，二次函数单调区间一般借助图象求解，主要与二次函数的开口方向与对称轴有关．属于基础题．16. 函数的最小正周期为__________．参考答案：函数的最小正周期为故答案为：17. 已知f(x)=x2+4x-6，若f(2m)>f(m+1)，则实数m的取值范围是___________。
辽宁省大连市2023届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（ ）A．B．C．D．2.若复数 (为虚数单位)，则（ ）A．B．C．D．3. 2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（）A ．各班植树的棵数不是逐班增加的B ．4班植树的棵数低于11个班的平均值C ．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D ．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳4. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．5.已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ）A．B．C ．2D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 设平面向量，，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．8.已知数列满足，若，则（ ）A ．2B．C．D．9. 下列说法正确的是（ ）A．回归直线一定经过样本点的中心B ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1C ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D ．在线性回归模型中，相关指数越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好辽宁省大连市2023届高三一模数学试题(1)辽宁省大连市2023届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题10. 已知函数，，则（ ）A ．函数在上存在唯一极值点B ．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是C ．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为D ．若，则的最大值为11. 依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I 、II 、III 、IV 、V 、劣V 类六个类别，其中I 、II 类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V 类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能.环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图.从统计图中能够得到的合理推断是（）A ．浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况B ．辽河流域I~III 类水质占比小于60%C ．黄河流域的水质比长江流域的水质要好D ．IV 、V 类水质所占的比例最高的是淮河流域12.已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（）A ．直线与直线垂直B ．直线与平面平行C．点与点到平面的距离相等D ．平面截正方体所得的截面面积为13. 已知直线和，若，则__________.14. 在中，边，满足，，则边的最小值为______．15. 设是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则的值是______．16. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，当不等式恒成立时，求的取值范围．17. 设，已知函数，的零点分别是，，且．（Ⅰ）若，求a 的取值范围；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，证明：．18. 已知函数，，函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)如果函数的两个零点为，，且，求证：.19. 在中，内角的对边分别为.若.(1)若，求边上的中线的长；(2)若是锐角三角形，求的取值范围.20. 设△的内角的对边长分别为，设为△的面积，满足.（1）求；（2）若，求的最大值.21. 已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数在处导数相等，证明．（Ⅲ）若对任意的实数，若直线上与曲线均有唯一公共点，求实数b的取值范围．。
辽宁省大连市2023届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1.设，且，，则等于A．B．C．D．或2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A．B．C．D．3.设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）A ．如果，，，那么B．如果，，，那么C ．如果，，，那么D ．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么4. 某展示柜共有32个不同的手办摆件，起初上层放14个手办摆件，下层放18个手办摆件，现要从下层的18个手办摆件中抽2个调整到上层，若其他手办摆件的相对顺序不变，则不同的调整方法有（ ）A ．18360种B ．24480种C ．36720种D ．73440种5. 设O 为坐标原点，A 为圆C ：上一个动点，则的最大值为（ ）A．B．C．D．6.如图，在中，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．7. 函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．8. 若，且，则称是同阶的，记，当时，是同阶的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知函数的最小正周期为，则（ ）A．B．C．图象的一个对称中心为D ．在上单调递增辽宁省大连市2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题10. 已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）A．B．C．D．11. 一个人的领导力由五种能力—影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，每项能力分为三个等级，“一般”记为3分､“较强”记为4分､“很强”记为5分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（）A ．甲､乙的五项能力指标的均值相同B ．甲､乙的五项能力指标的方差相同C ．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D ．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ）A ．离心率e的取值范围为B ．存在点N，使得C ．当时，的最大值为D ．的最小值为113. 等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为_____.14. 已知，是第三象限角，则___________.15.在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则___________.16. 已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：.17. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．18.已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，.①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；②设，，，若，（），求的面积.19. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下.（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.①求的分布列：②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？20. 某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的200名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：男性女性合计喜欢153045不喜欢8570155合计100100200根据上述信息，解决下列问题：(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；(2)现从被调查的200名观众中，随机依次抽取2人作为幸运观众（注：第一次先从200名观众中随机抽取1名，第二次再从剩下的199名观众中随机抽取1名）．求在第一次抽到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率．附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.072 2.7063.841 6.63510.82821. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，，求△ABC的面积．。
辽宁省大连市瓦房店长兴岛高级中学2020年高一数学文期末试题含解析
辽宁省大连市瓦房店长兴岛高级中学2020年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数和函数的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的参考答案：D2. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A． B． C． D．参考答案：C3. 已知函数则不等式的解集为（）A、 B、 C、 D、参考答案：A略4. 在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 ( )A b=20，A=45°，C=80°B a=30，c=28，B=60°C a=14，b=16，A=45°D a=12，c=15，A=120°参考答案：C略5. 若点在角α的终边上，则sinα+cosα的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用特殊角的三角函数及三角函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，点（，﹣）在角α的终边上，∴sinα+cosα=﹣+，故选C．6. 已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC=120o，则A、C两地的距离为A．10 km B．km C．10 km D．10 km参考答案：D略7.已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是：A．B．C． D．参考答案：C8. 已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA⊥平面ABC，，，则该球的半径为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先由题意，补全图形，得到一个长方体，则即为球的直径，根据题中条件，求出，即可得出结果.【详解】如图，补全图形得到一个长方体，则即为球的直径.又平面，，,所以，因此直径，即半径为.故选：D.9. 设奇函数定义在上，在(0,+∞)上为增函数，且，则不等式的解集为（）．A．(－1,0)∪(1,+∞)B．(－∞,－1)∪(0,1) C．(－∞,－1)∪(1,+∞)D．(－1,0)∪(0,1)参考答案：D解：奇函数定义在上，在上为增函数，且，∴函数的关于原点对称，且在上也是增函数，过点，所以可将函数的图像画出，大致如下：∵，∴不等式可化为，即，不等式的解集即为自变量与函数值异号的的范围，据图像可以知道．故选．10. 图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的极差为_________.（图2）参考答案：7该运动员在这五场比赛中得分的极差为15-8=7.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，则lg x·lg y的最大值是________．参考答案：412. 已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。
辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案
2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。
2021-2022学年辽宁省大连市瓦房店长兴岛高级中学高一数学文模拟试卷含解析
2021-2022学年辽宁省大连市瓦房店长兴岛高级中学高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,若,则（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则.2. 函数的大致图象是（）．A．B．C．D．参考答案：A中函数有定义，则，即，则排除，，．故选．3. 已知集合｜，则下列结论正确的是（）A．B． C． D．集合M是有限集参考答案：A4. 已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（）A．a2＞2a＞log2a B．2a＞a2＞log2a C．log2a＞a2＞2a D．2a＞log2a＞a2参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜1，1＜2a＜2，log2a＜0，∴2a＞a2＞log2a，故选：B．5. （5分）下列图象表示的函数中没有零点的是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标，观察图象可得结论．解答：由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标，观察图象可知A选项中图象对应的函数没有零点．故选A．点评：本题主要考查函数的零点的定义，属于基础题．6. 在等比数列中，成等差数列，则公比等于（）A. 1 或 2B. ?1 或 ?2C. 1 或 ?2D. ?1 或 2参考答案：C【分析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解【详解】等比数列中，设首项为，公比为，成等差数列，，即，或答案选C【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题7. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A． B． C． D．参考答案：A略8. 函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A. [0，4]B. [0，4）C.[4，+）D. （0，4）参考答案：A略9. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩（?R B）等于( )A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵全集R，B={x|﹣1≤x≤3}，∴?R B={x|x＜﹣1或x＞3}，∵A={x|1＜x＜4}，∴A∩（?R B）={x|3＜x＜4}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10. （5分）已知函数f（x）=（）|x|，设a=f（2﹣0.3），b=f（log20.3），c=f（ln10），则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c参考答案：D考点：指数型复合函数的性质及应用．专题：函数的性质及应用．分析：比较2﹣0.3，log20.3，ln10的绝对值的大小，结合指数函数的单调性即可解得此题．解答：∵|2﹣0.3|=2﹣0.3＜1，1＜|log20.3|=log2＜2，ln10＞2，∴|2﹣0.3|＜|log20.3|＜|ln10|；又y=（）x是减函数，∴f（2﹣0.3）＞f（log20.3）＞f（ln10）；故a＞b＞c．故选：D．点评：本题主要考察了利用指数型复合函数的单调性比较大小，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则A∩B=．参考答案：[﹣，0]【考点】函数的值域；交集及其运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出A中函数的值域确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0，即A=（﹣∞，0]；集合B中的函数y=，得到2x+1≥0，解得：x≥﹣，即B=[﹣，+∞），则A∩B=[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]【点评】此题以函数定义域与值域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12. 某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0．2，则．参考答案：200略13. （5分）已知f（x）=是R上的单调增函数，则实数a的取值范围为．参考答案：[4，8）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用指数函数和一次函数的单调性，结合R上的单调增函数，可得a＞1且4﹣＞0且a≥4﹣+2，分别解出它们，再求交集即可．解答：由f（x）是R上的单调增函数，则当x＞1时，由指数函数的单调性可得a＞1，当x≤1时，由一次函数的单调性可得4﹣＞0，可得a＜8，再由R上递增，则a≥4﹣+2，解得a≥4，综上可得，4≤a＜8．故答案为：[4，8）．点评：本题考查函数的单调性的运用：求参数范围，考查指数函数和一次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．14. 设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P 的值是．参考答案：﹣1【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】要求三点共线问题，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判断，本题知道，要根据和算出，再用向量共线的充要条件．【解答】解：∵，，∴，∵A、B、D三点共线，∴，∴2=2λ，p=﹣λ∴p=﹣1，故答案为：﹣1．15. 甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 .参考答案：0.116. 已知函数f（x）=ax3+bx++2，f（﹣2）=﹣6，则f（2）= ．参考答案：10【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】整体思想；函数的性质及应用．【分析】运用函数f（x）=ax3+bx++2，f（﹣x）+f（x）=4，当x=2时整体求解．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx++2，∴f（﹣x）+f（x）=4，∵f（﹣2）=﹣6，∴f（2）=4﹣（﹣6）=10，故答案为：10．【点评】本题综合考查了函数性质奇偶性，结合整体方法求解．17. 函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2．当x∈（﹣2.5，3]时，f（x）的值域是．参考答案：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}【考点】函数的值域．【分析】由题意，函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，这个整数必须是小于等于x的最大整数，对x进行分段讨论即可．【解答】解：∵函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当x∈（﹣2.5，3]时，对其分段：当﹣2.5＜x＜﹣2时，f（x）=﹣3；当﹣2≤x＜﹣1时，f（x）=﹣2；当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣1；当﹣1≤x＜0时，f（x）=0；当1≤x＜2时，f（x）=1；当2≤x＜3时，f（x）=2；当x=3时，f（x）=3；综上可得：当x∈（﹣2.5，3]时，f（x）的值域是{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故答案为：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023届辽宁省大连市高三第一次模拟考试高三一模数学答案(1)
2023年大连市高三一模测试参考答案与评分标准数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一.单项选择题：1. （A ）；2.（D ）；3.（B ）；4．（C ）； 5. （A ）；解：可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有C 26C 24C 22＝90(种)方法；②“1,2,3型”，有C 16C 25C 33A 33＝360(种)方法；③“1，1,4型”，有C 46A 33＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法． 甲得到4本方法2C 46=30，30154018= 6．（D ）； 解：000()()()()f x f x f x x x '≈+-，令()0f x =，则000()()f x x x f x ≈-'，迭代关系为33122()3121=()3333k k k k k k k k k k f x x x x x x x f x x x +-+-=-=-'--， 012x =，121,0.347223x x ==，选D 7．（A ）；令1y =，(1)()2f x f x x +=++， 累加：(3)()12n n f n +=-，()f n n =，解得2n =-或1n = 8．（D ）．解法一：记坐标系二、三象限所在半平面为半平面α.①当P 在y轴左侧时，为平面解析几何问题[4PA ∈；②当P 在y轴上及右侧时，如图建系，则3(,2A -，设(4cos ,4sin ,0),[,]22P ππθθθ∈-，222327||(4cos )(4sin 2)2912cos 16sin 2920sin()24AP θθθθθϕ=++-+=+-=--其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，则[,]22ππθϕϕϕ-∈---，4sin()[1,]5θϕ-∈-，故PA ∈，综上，[4PA ∈． 二.多项选择题： 9．（B ）（D ）；以B 正确 1，C 错；而综上可知选B,D. 10.（B ）（C ） ；解：A 项，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故选项A 错误；B 项，若，则菱形为正方形，因为平面，所以，，所以直四梭柱在顶点处的离散曲率为，选项B 正确； C 项，在四面体中，，，，所以，所以四面体在点处的离散曲率为，解得，1111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -AC BD =ABCD 1AA ⊥ABCD 1AA AB ⊥1AA AD ⊥1111ABCD A B C D -A 11122224ππππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭1A ABD 1AA AB ⊥1AA AD ⊥1AA AB AD ==114AA B AA D π∠=∠=1A ABD 1A 117124412BA D πππ⎛⎫-++∠= ⎪⎝⎭13BA D π∠=易知，所以，所以，所以直四棱柱为正方体，结合正方体的结构特征可知平面，选项C 正确． D 项，顶点处的离散曲率为111()2223ππαπ-++=，3πα∴=，,AB BD AB BD O ∴=⊥=，则1BC 与平面1ACC的夹角1sin 4BC O ∠=，所以选项D 错误；故选：BC 11.（A ）（C ）（D ）；A 项，函数()f x 图像关于直线12x =-对称，则1()0,21()0,2f f ⎧'-=⎪⎪⎨⎪'''-=⎪⎩，(或者()f x '关于1(,0)2-对称，)此时3a =；故A 正确；B 项，32()468f x x x x a '=+++不能恒正或恒负，故B 错误；C 项， 2()121280f x x x ''=++>，所以()f x '单调递增且有变号零点，先负后正，所以函数()f x 存在最小值，故C 正确；D 项， 设切点00(,)x y ，切线为4323200000000(241)(468)()y x x x ax x x x a x x -++++=+++-，过(0,0)，43243200000000241468x x x ax x x x ax ∴++++=+++，即43200034410x x x ++-=，求导可知方程一定有一正根一负根，故D 正确. 12.（B ）（C ）（D ）解析：A 项（方法一），当1m =时，联立得：22(34)690k x kx ++-=，1224|||4[3,4)34AB x x k =-=-∈+，||||8||[4,5)FA FB AB ∴+=-∈，故A 错；A 项（方法二）||||8||FA FB AB ∴+=-，max ||4AB =，||||4FA FB ∴+≥，故A 错； B 项，设AB 中点(,)M x y ，由点差法得：034x yk+=，又1y kx =+， 得点M 的轨迹方程为：224330(0)x y y y +-=>，||2||22FA FB FM x +===>，故B 正确；C 项，联立得：22784120y my m -+-=，0∆>，得：m<<11A B A D ==BD =AB AD ⊥1111ABCD A B C D -1AC ⊥1A BD A1214||||4()4(427m FA FB y y +=++=+∈+，11442<<+，故C 正确； D 项，由点差法得点M 的轨迹方程为：034x y+=， 6||2||5FA FB FM +=≥，故D 正确.三.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 12-；14. ； 15. ()236145x y -=-；14013【解析】设桥拱所在抛物线方程22x py =-，由图可知，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=，所以()2136:145C x y -=-， 点A 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2136:145C x y -=-的交点坐标， 设(),,714A x y x <<，由()228036145714x y x y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：14013x = 所以点A 的横坐标为14013.故答案为：()236145x y -=-；1401316. 5解：N 次游戏所取卡片数字总和为()229940N m n k ++=++=，又1236m n k ++≥++=，且m n k ++为40的因数，min ()8m n k ++=，故2,4,5N =. 当2N =时，20m n k ++=，因为丙得9粒石子，则8k ≤，所以甲石子小于16，矛盾不成立；当4N =时，10m n k ++=，因为丙得9粒石子，则6k ≤，为了使得甲获得石子，6,1,3k m n === 此时甲得21粒石子，矛盾不成立；当5N =时，8m n k ++=，因为丙得9粒石子，则5k ≤，为了使得甲获得石子，5,1,2k m n === 此时甲得22粒石子， 甲乙丙三次得子数四.解答题： 17.(本小题满分10分)解：(I)选①由余弦定理得：2222cos b c a bc A +-=，又1sin 2S bc A =，所以1sin 2cos 24bc A bc A =⨯，………………………………………………………………3分得tan A =0A π<<，所以3A π=.……………………………………………………5分选②，因为sin sin sin a b c b C A B +-=-，由正弦定理得：a b c bc a b+-=-， 整理得：222b c a bc +-=，………………………………………………………………3分由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=.……………………………………………………………………5分cos c b C C a ++=sin sin cos sin C BC C A++=，即sin cos sin sin sin C A C A C B +=+，…………………………………………………2分又因为 A C B π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin cos sin C A C A C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，cos 2sin()16A A A π-=-=，………………………………………………………4分因为0A π<<，所以66A ππ-=，所以3A π=.…………………………………………………5分(II)法一：在ACD 中，设ADC θ∠=，4sin sin(120)AC AD θθ===︒-， 4sin ,4sin(120)AC AD θθ∴==︒-，………………………………………………………7分4sin 8sin(120)8sin )b c θθθθθϕ∴+=+︒-=+=+≤9分(tan 2ϕ=，当90θϕ+=︒时取等号， 所以b c +的最大值是.…………………………………………………………………………10分 法二：由余弦定理及中线定理可得：222222,482(),a b c bc c a b ⎧=+-⎪⎨+=+⎪⎩224248b bc c ∴-+=，……………………………………………………7分 令t b c =+，2242()()48b b t b t b ∴--+-=，2274480b tb t ∴-+-=，221628(48)0t t ∆=--≥，解得0t <≤……………………………………………………8分当t =b =AD =符合题意，……………………………………………9分 所以b c +的最大值是.…………………………………………………………………………10分 18.(本小题满分12分)解析：(I)证明：在平面图形中取AD 中点O ，连接,OC OE ，ADE 是边长为2的等边三角形，OE AD ∴⊥，1OD =，故翻折后有OP AD ⊥，………………………1分又//CD AE ， 3CDO DAE π∴∠=∠=， 2CD AE ==，OC AD ∴⊥， …………3分且OP OC O =，,OP OC POC ⊂平面，AD POC ∴⊥平面， …………………………4分2BAD ABC π∠=∠=，//AD BC ∴，BC POC ∴⊥平面，………………………………5分又PC POC ⊂平面，BC PC ∴⊥.……………………………………………………………6分(II)解：由(I)得OP AD ⊥，OC AD ⊥，∴二面角P AD B --的平面角为POC ∠， 在POC中，OC OP ==3PC =，由余弦定理得1cos 2POC ∠=-，23POC π∴∠=， 二面角P AD B --的大小是23π，…………………………8分在平面POC 内作OM OC ⊥，交PC 于M ，AD POC ⊥平面，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，O OA B C DEP (E )DC BA由(I)得，四边形OABC 为矩形，又23POC π∠=，OP =(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，B，C，3(0,)2P ，所以3(1,,)22PB =-，3(0,)22PC =-，DC =， 设平面PCD 的一个法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即30,220,y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩设1y =，则z =x =(∴=n ，…………………………………………10分设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则sin |70θ==.……………………………………………………12分 19.（本小题满分12分）解析：(I)由222221212(2)n n n n a a n --⋅=+⋅≥得，222221221n n n n a a --⋅-⋅=，令222n n n b a =⋅，则11n n b b --=，…………………………………………………………………2分{}n b ∴为首项为1，公差为1的等差数列，()2221+11=n n a n n ∴⋅=-⨯，…………………………………………………………………………4分0n a >，得n a =.………………………………………………………………………………6分(II)1223111111()(()()2222222222ni i nn n i n a +++=-=-+-++-=-<∑.……12分 20.（本小题满分12分） 解：（I ）X 可取值为1，2，3，()2111323P X ==⨯=，()2111215232233218P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()1573131818PX ==--=，…………………………………………………………………3分因此X 的分布列为4分（II ）（i ）Y 可取值为1,2,,n ，每位同学两题都答对的概率为211323p =⨯=， 所以答题失败的概率均为：2121323-⨯=， *(11,)Y k k n k =≤≤-∈N 时，121()()33k P Y k -==⨯.………………………………………6分当Y n =时，()12()3n P Y n -==.…………………………………………………………………7分Y 的分布列为：8分（ⅱ）法一：()111*1212()()(,2)333n k n k E Y k n n n ---==⨯+∈≥∑N .…………………………………………………9分记n 名同学随机变量Y 的数学期望为()n E Y ，()()11121222()(1)()()()033333n n n n n n E Y E Y n n n --+-=⨯++-=>，故()E Y 随n 增大而增大；………………………………………………………………………10分 求得()253E Y =，故()()()()()()()()232431n n n E Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y -=+-+-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22231122()[1()]52225233()()()()32()3233333313n n n E Y ----=++++=+=-⨯<-.…………12分法二：()2211212121223()(1)()()(1)33333333n n E Y n n --=+⨯⨯+⨯⨯++-⨯+，…………9分()23122121212122()3()(1)()()(2)3333333333n nE Y n n -=⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯+(1)(2)-得：()22111111212122212()()()(1)()()3333333333312[1()]2212233()(1)()()1()23333313n n n n n n n n nE Y n n n n n n -----=+⨯+⨯+++--⨯--=+--⨯-=-- 所以()1232()33n E Y -=-⨯<，……………………………………………………………………11分 故()E Y 随n 增大而增大，且小于3. ………………………………………………………………12分 21.（本小题满分12分）解：（I ）直线l 与双曲线C 相切．理由如下：联立方程组220011ax by ax x by y ⎧-=⎨-=⎩，()222220000210aby a x x ax x by ∴-+--=，……………………………………………………1分2200,1N C ax by ∈∴-=， 220020ax ax x ax ∴-+-=，∴222200440a x a x ∆=-=，∴直线l 与双曲线C 相切．………………………………………3分（II ）证明：由（I ）知 ()222220000210aby a x x ax x by -+--=，∵直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，则2220020222000100aby a x by aby a x ⎧⎪-⎪⎪∆>⎨⎪-->-⎩≠⎪⎪，……………………………5分∴()()222222220000014414(0)a x a by ax by aby axby ∆=---+-=>-，∴222001a x by <-，∵220022222000011)0(by by aby a x a ax by --+=>--， ∴220001ax by -<<，……………………………………………………………………………7分 ∴00()N x y Q ∈，．…………………………………………………………………………………8分 （III ）法一：设11()()M x y A x y ，，，，设,MA AN MB BN λμ==,∵00()N x y l ∉，，∴1λ≠-，则101011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，………………………………………………9分代入双曲线221C ax by -=：，利用M 在l 上，即01011ax x by y -=，整理得()222211200110ax by ax by λ--+--=，………………………10分 同理得关于μ的方程()222211200110ax by ax by μ--+--=．即λμ、是()222220011110ax by t ax by --+--=的两根，……………………………………11分0λμ∴=+，∴||||||||MA MB AN BN =．…………………………………………………………………12分（III ）法二：设112233()(),()A M x y B x y x y ，，，，，设AN NB λ=,则12012011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，……………………………………………………………………………………9分 ∵,A B 在双曲线上，∴221122221(1),1(2),ax by ax by ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 2(1)(2)λ-得：22222221212()()1a x x b y y λλλ---=-， ∴1212121211111x x x x y y y y a b λλλλλλλλ+-+-⋅⋅-⋅⋅=+-+-，即121200111x x y y ax by λλλλ--⋅-⋅=--，∴点1212(,)11x x y y λλλλ----在l 上，…………………………………………………………………10分 又∵点1212(,)11x x y y λλλλ----在AB 上，∴12312311x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，……………………………………11分此时AM MB λ=-，∴||||||||MA MB AN BN =．…………………………………………………………12分（III ）法三：设112233()(),()A M x y B x y x y ，，，， ，设直线MN 上00()y y k x x -=-,联立方程组00001()ax x by y y y k x x -=-⎧⎨-=⎩,解得02003001bkx y by x ax bky -++=-……………………………9分联立方程组2002001()ax by y y k x x -=-⎧⎨-=⎩，得22000()1ax b kx x y --+=， 2222200000()2()()10a b y x bk kx y x b kx y +--+--+-=，22222222220000004()4()(21)0x b k kx y x a b y bk x bkx y by ∆=--+-+-+-->22220000001212222222002221,bk x bky bk x bkx y by x x x x a b y a b y -+-+--+==++…………………………10分 223011302||||||||(1)[()()()()MA BN AN MB k x x x x x x x x -=+--+-- 2120312303(1)[2)()()2k x x x x x x x x x =+-++++002200000222222200000000200002221(1)2(21)()(22()(1)[bkx y by x bkx y by bk x bkx y by x bk x bky a b y ax bky ax bky k a b y -++-++-+---+-+++--=++=0………………………………………………………………………………………………………11分∴||||||||MA MB AN BN =．…………………………………………………………………………………12分 22.（本小题满分12分） ）()2f x =(0)0f '=()f x ∴=-当0x <时，，()g x e '=，处取得极大值；……………………………………………………………sin )1]x -，…………………………………………………………………………π又(2)h k π=()h x 在区间()f x 在区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大连长兴岛高中高三一轮复习数学试题一参考数据：注：本场考试不准使用计算器．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10分，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卡指定位置上． 1．若函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可以为 A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2 D ．f (x )＝x －1 2．(x 2)10的展开式中x 6y 4项的系数是A ．840B ．－840C ．210D ．－2103．一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰有一次获得通过的概率是A ．14B ．13C ．12 D ．344．已知曲线y ＝cos x ，其中x ∈[0，32π]，则该曲线与坐标轴围成的面积等于A ．1B ．2C ．52D ．35．一位母亲纪录了儿子3~9岁的身高的数据（略），她根据这些数据建立的身高y （cm ）与年龄x 的回归模型为 y ＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是A ．身高一定是145.83cmB ．身高在145.83cm 左右C ．身高在145.83cm 以上D ．身高在145.83cm 以下6．若复数312a ii++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A ．－2B ．4 C．－6 D ．6 7．若z ∈C 且|z ＋2－2i |＝1，则|z －2－2i |的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．联表：A ．95%以上认为无关B ．90%~95%认为有关C ．95%~99.9%认为有关D ．99.9%以上认为有关9．从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人，要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有 A ．210种 B ．186种 C ．180种 D ．90种10．若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B 、C 相邻，则不同的排法共有 A ．72种 B ．96种 C ．120种 D ．144种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡指定位置上． 11．1-⎰(x 2＋2 x ＋1)dx ＝_________________．12．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，那么第2次也抽到A 的概率为_______________________． 13．在数列{a n }中，a 1＝3，且a 1n +＝a 2n （n 为正整数），则数列{a n }的通项公式a n ＝_____． 14．若(2x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝_____________．15．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示___________种不同的信号． 16．函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 在[－4π，4π]上的最大值是________________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）用数学归纳法证明：当n 为正整数时，13＋23＋33＋……＋n 3＝22(1)4n n +．18．（本小题满分12分）某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖概率． 19．（本小题满分14分）有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2000 获得相应应职位的概率P 20.40.30.20.120．（本小题满分12分）先阅读下面的文字，再按要求解答．如图，在一个田字形地块的A 、B 、C 、D 四个区域中栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻两区域（A 与D ，B 与C 不相邻）种不同的植物，现有四种不同的植物可供选择，问不同的种植方案有多少种？某学生给出如下的解答：解：完成四个区域种植植物这件事，可分4步，第一步：在区域A 种植物，有C 14种方法；第二步：在区域B 种植与区域A 不同的植物，有C 13种方法 第三步：在区域D 种植与区域B 不同的植物，有C 13种方法 第四步：在区域C 种植与区域A 、D 均不同的植物，有C 12种方法根据分步计数原理，共有C 14C 13C 13C 12＝72（种）答：共有72种不同的种植方案．问题：（Ⅰ）请你判断上述的解答是否正确，并说明理由；（Ⅱ）请写出你解答本题的过程．21．（本小题满分15分）为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应 有效 无效 合计 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合计12271193根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由．22．（本小题满分15分）已知函数f (x )＝(x 2－2x )e kx （k ∈R ，e 为自然对数的底数）在(2和2)D C BA上递增，在[上递减．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A A C D B C B D C D 二、填空题：每小题5分，共30分．11．1312．11713．123n-14．109415．1516．1三、解答题：共80分．17．证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝22124⨯＝1，∴等式成立．··························································································································2分（2）假设当n＝k时，等式成立，即13＋23＋33＋……＋k3＝22(1)4k k+． ···················································································4分那么，当n＝k＋1时，有13＋23＋33＋……＋k3＋(k＋1)3＝22(1)4k k+＋(k＋1)3．···················································6分＝(k＋1)2(24k＋k＋1)＝(k＋1)22444k k++＝22(1)(2)4k k++＝2(1)[(1)1]4k k+++．········································································································9分这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． ·········································································· 10分根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立．····································································· 12分18．解：设摸出红球的个数为x，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5． ································································································4分于是中奖的概率为P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5) ···············································································6分＝353103010530C CC--＋454103010530C CC--＋555103010530C CC--··················································································9分≈0.191． ································································································································ 12分19．解：根据月工资的分布列，可得EX1＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400．····························································································································2分DX1＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000 ······························································································································4分EX2＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400 ·······························································································································6分DX2＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝112000 ····························································································································8分因为EX1＝EX2，DX1＜DX2．所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．························································································································ 12分这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． ····························································································· 14分注：最后一步言之有理就给2分．20．解：（Ⅰ）上述解答不正确．·································································································2分理由如下：上述解答中的第四步认为A、D区域种植的植物一定是不同的，事实上，已知条件中规定A、D两区域不相邻，所以A、D两区域中可以种植不同植物，也可以种植相同的植物，故解答不正确．···········································································································5分正确解答以种植需要进行合理的分类（Ⅱ）在A、B、C、D四个区域完成种植植物这件事，可分为A、D两区域种植同一种植物和A、D两区域种植不同种植物两类． ···························································································6分①A、D两区域种植同一种植物的方法有C14C13C12C13＝36（种）·········································································································8分②A、D两区域种植不同种植物的方法有C14C13C12C12＝48（种） ······································································································ 10分根据分类加法原理可知，符合题意的种植方法共有36＋48＝84（种） ··························· 11分答：共有84种不同的种植方案． ······················································································· 12分21．解：提出假设H0：药的效果与给药方式无关系．根据列联表中的数据，得χ2＝2193(58314064)122719895-⨯-⨯⨯⨯⨯≈1.3896＜2.072．·································································7分当H0成立时，χ2＞1.3896的概率大于15%，····································································· 10分这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论． ················································································································ 15分22．解：（Ⅰ）对函数f(x)求导，得f'(x)＝e kx[kx2＋(2－2k)x－2]．····························································································2分∵函数f(x)在(2和2)上递增，在[22上递减．而e kx＞0．∴g(x)＝kx2＋(2－2k)x－2在(2和2)上的函数值恒大于零，·················································································································································3分g(x)＝kx2＋(2－2k)x－2在22上函数值恒小于零． ········································4分即不等式kx2＋(2－2k)x－2＞0的解集为(－∞2∪2∞)·······························································································5分∴k＞0，且x2kx2＋(2－2k)x－2＝0的两个解．··········································6分根据韦达定理得，k＝1．·······································································································7分（Ⅱ）①当0＜m2∵f(x)在[上递减，∴f(x)在区间[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(m)＝(m2－2m)e m．························································9分2m≤2时，∵f(x)在[22上递减，f(x)在2)上递增，且f(0)＝f(2)＝0，∴f(x)在[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f2＝(2－22．············································· 12分③当m＞2时，∵f(x)在[22上递减，f(x)在2)上递增，且f(m)＞0＝f(0)，∴f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)＝(m2－2m)e m，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f2＝(2－22．············································· 15分。