高2020届高2017级湖南师大附属五雅中学高三考前适应性测试理科数学试题参考答案
湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(理)试题(解析)
3 2
z
0
，取
y
1
，得
m
(0
，1， 1)
，
设直线 PC 与平面 AEC 所成角为 ，
理科数学参考答案及解析 第 4页，总 9页
则直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为：
sin | |PPCC||mm| |
3 13
3 26 ． 2 26
（Ⅲ）假设在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M ，使得二面角 M AC E 的余弦值为 10 ， 10
P(0 ，0， 3) ， C(2 ，0， 0) ， A(0 ，0， 0) ， D(2 ， 3 ， 0) ， E(1， 3 ， 3) ，
22
AE
(1,
3
,
3
)
，
AC
(2
，0，
0)
，
PC
(2
，0，
3)
，
22
设平面 AEC 的法向量 m (x ， y ， z) ，
则
AEm ACm
x 2x
3y 2 0
设 M (a ， b ， c) ， PM PB ， B(0 ，3， 0) ，则 (a ， b ， c 3) (0 ，3， 3) ，
解得 a 0 ， b 3 ， c 3 3 ， M (0 ， 3 ， 3 3) ，
AC (2 ，0， 0) ， AM (0 ， 3 ， 3 3) ，
2 ,得
p
1 3
所以 ak1 3a(2)k1, ak2 3a(2)k ,所以 dk ak1 ak2 9a (2)k1 .
18、解：（Ⅰ）证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，并连接 EO ， 四边形 ABCD 为平行四边形， O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，
2020届湖南师大附中高三第5次月考试卷-理科数学答案
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2020届湖南师范大学附属中学2017级高三上学期第三次月考数学(理)试卷及解析
2020届湖南师范大学附属中学2017级高三上学期第三次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2340A x x x =--≤,{}3B x x =<,则A B =( ) A. [)1,3-B. (],4-∞C. []1,4-D. (),3-∞【答案】B【解析】 解一元二次不等式求出集合A,再利用集合的并运算即可求解. 【详解】由{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤,{}3B x x =<, 所以{}(]4,4A B x x ⋃=≤=-∞,故选：B2.已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】 3ie 表示的复数为：cos3sin3i +,根据3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出结论. 【详解】由题意可得3i e cos3sin3i =+,3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos30,sin 30∴<>, 因此在复平面中位于第二象限.故选：B3.已知函数()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()4f f =( ) A. 3B. 4C. 5D. 14【答案】A【解析】 首先将4代入对应解析式求出()41f =,再求()1f 即可.【详解】由()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩, 所以()1243log 4321f =+=-=,则()()()3141213f f f -==-=. 故选：A4.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A . 0 B. 12D. 1【答案】B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B5.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )。
2020届湖南师大附中高三摸底考试数学(理)试题(带答案解析)
2020届湖南师大附中高三摸底考试数学(理)试题1．设集合{}|20190M x x =+>，{}2|3N x x =>，则M N =I （ ）A ．19|20x x ⎧-<<⎨⎩ B ．{|x x >C ．19|20x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|x x < 2．满足条件|4|2||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 4．给出关于双曲线的三个命题： ①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±； ②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =； ③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x x f x x -=+ B ．()4()44log ||x x f x x -=- C ．()14()44log ||x x f x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+6．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种7．已知向量a r ，b r 满足||a =r ||1b =r ，且||b a -=r r a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，给出的是求1111 (24636)++++的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．18?i >B ．18?i <C ．19?i >D ．19?i < 9．非负实数x 、y 满足ln （x ＋y －1）≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为 A ．2和1 B ．2和－1 C ．1和－1 D ．2和－210．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()6f =（ ）A ．61B ．33C ．63D ．6511．已知函数()|cos |(0)f x x x =…的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()221sin 2θθθ=+（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．212．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．函数()e 22019x f x x =-+在()()0,0f 处的切线方程是_______.14．数列{}n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为n S ，353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，则3a =_____.15．点M 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在FPM V 中，sin sin PFM PMF λ∠=∠，则λ的最大值为__________.16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos a B c b A =-.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，求ABC ∆面积的最大值.18．如图在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，2224AB AD CD PC ====，，E 为线段PB 上一点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若点E 满足13BE BP =，求二面角P AC E --的余弦值. 19．某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；（2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布()2,N μσ用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ.利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？附：①n 个数12,,,n x x x L 的平均数11ni i x x n ==∑，方差(22221111)n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑； ②若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数()1e cos x f x x -=+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若12,(,)x x π∈-+∞，12x x ≠，且()()1212e e 4x x f x f x +=，证明：120x x +<.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =u u u u v u u u u v ，求动点M 的轨迹方程．（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++…； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111a b c++参考答案1．B【解析】【分析】求出M 和N ，然后直接求解即可【详解】19|20M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{|N x x =< x >，{|M N x x ∴⋂=>，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题2．B【解析】【分析】设复数z x yi =+，然后代入|4|2||z i z i +=+，得2222(4)44(1)x y x y ++=++，化简即可得答案【详解】设复数z x yi =+，则：|4||(4)|z i x y i +=++=|||(1)|z i x y i +=++=，结合题意有：2222(4)44(1)x y x y ++=++，整理可得：224x y +=.即复数z 对应点的轨迹是圆.故选：B.【点睛】本题考查复数的模的运算，属于简单题3．A【解析】【分析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<，因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3x y =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解 【详解】因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A.【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题4．C【解析】 对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误； 对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，2|2,1a a ===，从而离心率2c e a==，所以②正确；对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确； 故选C.5．D【解析】【分析】 结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()x x f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题6．B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况， 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ．7．C【解析】【分析】 先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r ||1b =r ，且||b a -=r r所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,4⋅<>===r r r r r r a b a b a b . 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.8．D【解析】【分析】 由已知中程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出 进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】 模拟程序的运行，可知程序的功能是计算111124636+++⋯+的值， 即36n …，19i <时，进入循环，当19i =时，退出循环，则判断框内填入的条件是19i <．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9．D【解析】【分析】【详解】试题分析：依题意有，作出可行域，如下图所示：设x y z -=，则有y x z =-，平移y x z =-，当直线y x z =-经过点(0,2)A 时，z 有最小值，其值为2-，当直线y x z =-经过点(2,0)B 时，z 有最大值，其值为2， 因此 x －y 的最大值和最小值分别为2和－2， 故选：D.考点： 简单的线性规划问题． 10．C 【解析】 【分析】根据题意，求出(1)1f =，同理，求出(2)21+1=3f =⨯，(3)22+1=5f =⨯，(4)25+1=11f =⨯，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+【详解】由题设可得(1)1f = 求出(2)21+1=3f =⨯，(3)22+1=5f =⨯，(4)25+1=11f =⨯，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+， 所以()663f =. 故选：C 【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键． 11．B 【解析】 【分析】依题意，设直线为y kx =，则直线y kx =与(0)y cosx x =…切于3(,2)2ππ上的一点,求出切点坐标为(,cos )θθ，然后利用切线方程，即可求出θ，进而得到22(1)sin 2θθθ+的值【详解】Q 函数()|cos |(0)f x x x =…的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数()|cos |(0)f x x x =…在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切，在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上， ()f x 的解析式()cos f x x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ.∴切线斜率0sin sin x k y x θ==-=-'=，∴由点斜式得切线方程为：cos sin ()y x θθθ-=--，即sin sin cos y x θθθθ=-++Q 直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()221222tan tan 1sin 11sin 2212sin cos cos tan θθθθθθθθθθ--∴===-⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图像问题，难点在于利用切线方程求出θ的值，属于中档题 12．D 【解析】 【分析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面αP 平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面αP 平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个， 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题 13．2020y x =-+ 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到(0)f '，再求出(0)f ，然后列出利用切线方程可得答案. 【详解】求导函数可得()2xf x e =-，当0x =时，0(0)21f e '=-=-，0(0)020192020f e =-+=Q ，切点为()0,2020，∴曲线()22019x f x e x =-+在点()()0,0f 处的切线方程是2020y x -=-，故答案为：2020y x =-+. 【点睛】本题考查切线方程问题，属于简单题 14．36 【解析】 【分析】由题意可得：1q >，由353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，可得324523a a a ⨯=+即 523111(1)(),4841a q a q a q q q-=+=-，联立解得:1a ，q ，再利用通项公式即可得出答案【详解】由题意得()2311151510314841a q a q a q a q S q ⎧⋅=⋅+⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得3q =，14a =，23136a a q ∴=⋅=. 故答案为：36 【点睛】本题考查差比混合问题，设方程求解即可，属于简单题 15【解析】 【分析】由正弦定理求得||||PM PF λ=，根据抛物线的定义，得1||||PB PM λ=,即1sin αλ=，则λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，由0∆=求得k 的值，即可求得λ的最大值 【详解】如图，过P 点作准线的垂线，垂足为B ，则由抛物线的定义可得||||PF PB =， 由sin sin PFM PMF λ∠=∠，在PFM △中正弦定理可知：||||F PM P λ=， 所以||||PM PB λ=，所以1||||PB PM λ=， 设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，当λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，设直线PM 的方程为2p y kx =-，则222x py p y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2220x pkx p -+=， 所以222440p k p ∆=-=， 所以1k =±，即tan 1α=±，则sin 2α=， 则λ得最大值为1sin α=【点睛】本题属于综合题，难度较大，难点（1）利用sin sin PFM PMF λ∠=∠，通过正弦定理转化为||||F PM P λ=；难点（2）设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，通过λ取得最大值时，sin α最小，得出PM 与抛物线相切，本题属于难题 16．(,6][12,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=， 当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=，当1132(6)6924a a a =++=+其出现的概率为211()24=，∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34， 则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17．（1）3π；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得1cos 2A =，根据A 的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得bc 的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos C B A A B -=， 即：()2sin cos sin cos cos sin sin C A A B A B A B =+=+，A B C π++=Q ()sin sin 0A B C ∴+=≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈Q 3A π∴=（2）由（1）知：1sin 2ABC S bc A ==V 由余弦定理得：2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥（当且仅当b c =时等号成立） ∴036bc ∴<≤（当且仅当b c =时等号成立）ABC S ∆∴的最大值为：364⨯=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型. 18．（1）见解析（2）3【解析】 【分析】(1)由已知条件分别证明AC BC ⊥、PC AC ⊥，由此可证得AC ⊥平面PBC ，进而可证EAC PBC ⊥平面平面(2)以C 为原点，取AB 的中点H ，CH u u u r ，CD uuu r ，CP u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由13BE BP =，求得224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得平面ACE 的一个法向量为()1,1,1n =--r，平面PAC 的一个法向量为(1,1,0)CB =-u u u r ，设二面角P AC E --的平面角为θ，根据||cos |cos ,|||||n CB n CB n CB θ⋅=〈〉=⋅u u u r r u u u r ru u u r r求解即可 【详解】（1）如图，由题意，得AC BC ==2AB =，BC AC ∴⊥.PC ⊥Q 底面ABCD ，PC AC ∴⊥，又PC BC C =Q I ，AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂Q 平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM CD CP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则()()()1,1,0,0,0,4,1,1,0B P A -，设(),,E x y x ，且13BE BP =u u u r u u u r，得1(1,1,)(1,1,4)3x y z -+=-，即224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,1,0)CA =u u u r，224,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，设平面EAC 的法向量为()111,,n x y z =r， 由00CE n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111122403330x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 令11x =，得(1,-1,-1)n =r.又BC AC ⊥，且BC PC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，故平面PAC 的法向量为(1,1,0)m BC ==-u r u u u r，设二面角P AC E --的平面角为θ，则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系和空间直角坐标系，属于简单题 19．（1）平均分为74，标准差为7.（2）该校学生“体能达标”预测合格. 【解析】 【分析】(1)根据甲组的平均成绩为70,乙组的平均成绩为80，根据公式可得x设甲组24名学生的测试成绩分别为：1224 ,x x x ⋯，乙组16名学生的测试成绩分别为：252640,x x x ⋯，将公式2211()n i i s x x n ==-∑变形变形为()22222121n s x x x nx n⎡⎤=+++-⎣⎦L ， 分别求得21s 和22s ，即可根据公式解得解得()22221224241670x x x +++=⨯+L 和()2222252640163680x x x +++=⨯+L ，最后整理公式得()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦L L ，计算并求解即可 (2)由(1)可得ˆ74μ=,ˆ7σ=,由(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=， 得(6088)0.9544P X <<=，进而得到1(60)(10.9544)0.02282P X <=⨯-=， 求出全校学生“不合格”的人数占总人数的百分比，与5%进行比较即可 【详解】（1）这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==.将()2211n i i s x x n ==-∑变形为()()22222212111n i n i s x x x x x nx n n=⎡⎤=-=+++-⎣⎦∑L . 设第一组学生的测试成绩分别为12324,,,,x x x x L ， 第二组学生的测试成绩分别为25262740,,,,x x x x L ，则 第一组的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦L ， 解得()22221224241670x x x +++=⨯+L .第二组的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦L ， 解得()2222252640163680x x x +++=⨯+L .这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦L L ()()222124167016368040744840⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦，所以7s ==≈.综上，这40名学生测试成绩的平均分为74，标准差为7.（2）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=. 由(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，得(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=， 即(6088)0.9544P X <<=.所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=…，从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人）， 而23505%10001000<=， 故该校学生“体能达标”预测合格. 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，难点在于运算量较大，属于基础题20．（1）22182x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）因为1C 224a b =；即1C 的方程为：222214x y b b +=，代入()2,1P -即可；（2）设直线PD PE 、的斜率为12,k k ,则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形需证120k k +=．由已知可得直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为：12y x t =+，联立直线和椭圆的方程，找到斜率，代入相应的量即可．试题解析：（1）因为1C 224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=代入()2,1P -解得：22b =， 因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=（2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12， 设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212{182y x t x y =++=得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ，于是212122,24x x t x x t +=-=-，分别设直线PD PE 、的斜率为12,k k ， 则，则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆综合题． 21．（1）单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）见解析【解析】【分析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式()0f x >和()0f x <，得函数的增区间和减区间即可；(2)由2112()()4x x e f x e f x +=,得21124x xe cosx e cosx +++=，可构造函数()xg x e cosx =+，则12()()4g x g x +=，探究()g x 在(,)π-+∞上的单调性，构造函数()()()G x g x g x =+-，探究()G x 在(,)π-+∞上的单调性,再结合关系式12()()4g x g x +=，利用单调性可得出结论 【详解】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()cos sin sin 4x x x f x e x e x x π---⎛⎫'=--=+ ⎪⎝⎭，由()0f x '<，得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，从而322,44k x k k ππππ-<<+∈Z ； 由()0f x '>，得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，从而522,44k x k k ππππ-<<-∈Z ； 所以，()f x 的单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； 单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）()()12124xxe f x e f x +=，即1212cos cos 4xxe x e x +++=，令()cos xg x e x =+，则()()124g x g x +=，()sin xg x e x '=-.当0x >时，()1sin 0g x x '>-…；当0x π-<„时，sin 0x „，()sin 0x g x e x '=->， 故(,)x π∈-+∞时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在(),π-+∞上单调递增，不妨设12x x π-<<，注意到0(0)cos 02g e =+=，所以120x x π-<<<，令()()(),(,0)G x g x g x x π=+-∈-，则'()2sin xxG x e ex -=--，令()2sin x xx e ex ϕ-=+-，则()2cos 2(1cos )0x x x e e x x ϕ-'=+--厖，所以()x ϕ在(),0π-上单调递增，从而()(0)0x ϕϕ<=，即()0G x '<，所以()G x 在(),0π-上单调递减，于是()(0)(0)(0)4G x G g g >=+-=，即()()4g x g x +->，又1(,0)x π∈-，所以()()114g x g x +->，于是()()()1124g x g x g x ->-=， 而()g x 在(),0π-上单调递增，所以12x x ->，即120x x +<. 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题22．（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】 【分析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，由2PM MQ =u u u u r u u u u r即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ， 则由2PM MQ =u u u u r u u u u r，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ，即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '， 则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可（2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】 证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a ca b c b c a=++++++…， 当a b c ==时等号成立.（2）因为1111111111122a b c a b a c b c ⎛⎛⎫++=+++++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝…， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc=， 111a b c∴++. 当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。
2020届湖南师范大学附属中学2017级高三5月模拟考试数学(理)试卷参考答案
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理科数学参考答案及解析 第 1页，总 9页
对称，故①错误；因为
f
(x
π)
sin
x 2
π 2
cos
x 2
π 2
cos
x 2
sin
x 2
f
(x)
故 x π 是函数 （f x）的一个周期，且当 x [0, π) 时 f (x) sin x cos x
2
2
2
sin
x 2
π 4
2
3
3
6.答案：B 解析：(
x
2 )6 x
的通项为
C6r
2r
63r
x2
，所以
(x3
1)(
x
2 )6 x
的展开式中的常数项为
x3C64
24
612
x2
和
(1)
C62 22
66
x2
，又 C64 24
C62 22
240
60
180
，所以
(x3
1)(
x
2 )6 x
的展开式中的常数项为
180.
7.答案：D 解析：设 DF 8, AF 2 则 AC 12 22 2 1 2 cos120 7
m－1≥0，
m－1＞0，
所以 m－e－en＜0，
(1)或 m－e－en≤0，
(2)
m＞0，
m＞0，
0≤n≤e，
0≤n≤e，
所以 m，n 满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则mn＋＋21＝mn－－
－2 －1
表示点(m，n)与点(－
1，－2)所在直线的斜率，
湖南省师范大学附属中学2020届高三考前演练（四）数学（理）试卷含解析
湖南省师范大学附属中学2020届高三考前演练（四）数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
V* — 11.函数/（x ） = sinx-ln ——的大致图象为（）-V "I JL2.如图所示，在正方形A3CD 中,E 为B C 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（)B. -AB + -AD2 3-AB--ADC. 3 21 3-AB ——AD 2 4A. 若。
为AABC 的外心，则PC = 2B. 若AABC 为等边三角形，则AP -LBCC. 当ZACB=90°时，PC 与平面PAB 所成角的范围为（0』3. 已知抛物线C:y 2 =2px （p>0）的焦点为F ,准线为/,点Af , N 分别在抛物线C 上，且MF + 3NF = 0>直线"交/于点F ，NN'A.1,垂足为N'.若^MN'P 的面积为24右，则尸到/的距 离为（）A. 12B. 8C. 6D. 44. 已知三棱锥P-ABC 中，O 为AB 中点，PO 1平面ABC, ZAPB = 90°» PA=PB = 2,则下列说法中错误的是（）D.当PC=4时，M为平面PBC内动点，若OMlI平面PAC,则M在三角形PBC内的轨迹长度为25.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）1416A.3b.5 C.3 D.66.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0,则开始输入的x值为输出x3_157_21A.4b.16 C.8d.327.为了得到函数y=3cos2x图象，只需把函数y=3sin^2x+|^|图象上所有点（）A.向右平行移动%个单位长度B.向右平行移动£个单位长度C.向左平行移动%个单位长度71d.向右平行移动a个单位长度8.设x,yWR,则"|x|Ul且|y|Vl”^x+y2<2n^J（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件/ 1、”-1|n9. 记函数y(x)= |+COSQ 在区间(—2,4)上的零点分别为工=击" = 1,2,则qx, = ()A. 5B. 6C. 7D. 8TP10. 一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为二，则圆锥的内切球的表面积为()4A. 8〃B. 4(2 一皿尸有32(2-^2)2C. 4(2 + J5)2〃d . —49 —“11. 如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为7.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t,则函数h = f(t)的图象大致是()12.在如图的程序框图中，若输入m=77, n=33,则输出的n 的值是[W]A. 3B.7C.11D.33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南师范大学附属中学高三毕业班高考适应性月考卷(五)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前 炎德•英才大联考湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班高考适应性月考卷(五)数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足：(1)1i z i +=-，则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A. (0,1)B. (0,1)-C. (1,0)D. (1,0)-【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算法则求出z ，结合共轭复数的概念，即可求出结论. 【详解】由()11z i i +=-，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-， ∴复数z 的共轭复数为i ，在复平面内对应的点为(0,1).故选：A.【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义,属于基础题.2.设集合(){}{}lg 1,2x A x y x B y y ==-==,则A B =（ ） A. ()0,+∞B. [)1,0-C. ()0,1D. (),1-∞【答案】C【解析】【分析】 求对数函数的定义域,求指数函数的值域,确定集合,A B ,然后根据交集定义求结果【详解】解：101x x -∴＞，＜ (),1A ∴=-∞()200+x B ∴=∞＞，，则()0,1A B =故选C【点睛】本题考查了交集及其运算,考查了对数函数的定义域,指数函数的值域,是基础题3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推．例如 6613 用算筹表示就是,则 8335 用算筹可表示为（ ）A.B. C.D. 【答案】B【解析】千位8用横式表示为, 百位3用纵式表示为,十位3用横式表示为, 个。
2020届湖南师范大学附属中学2017级高三上学期第五次月考数学(理)试卷及解析
2020届湖南师范大学附属中学2017级高三上学期第五次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足：(1)1i z i +=-,则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A. (0,1)B. (0,1)-C. (1,0)D. (1,0)-【答案】A【解析】根据复数除法运算法则求出z ,结合共轭复数的概念,即可求出结论. 【详解】由()11z i i +=-,得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-, ∴复数z 的共轭复数为i ,在复平面内对应的点为(0,1).故选：A.2.设集合(){}{}lg 1,2x A x y x B y y ==-==,则A B =（ ） A. ()0,+∞B. [)1,0-C. ()0,1D. (),1-∞【答案】C【解析】 求对数函数的定义域,求指数函数的值域,确定集合,A B ,然后根据交集定义求结果【详解】解：101x x -∴＞，＜ (),1A ∴=-∞()200+x B ∴=∞＞，，则()0,1A B =故选C3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推．例如 6613 用算筹表示就是,则 8335 用算筹可表示为（ ）A.B. C.D. 【答案】B千位8用横式表示为, 百位3用纵式表示为,十位3用横式表示为, 个位5用纵式表示为,因此选B. 4.数列{}n a 满足11a =,且()*11n n a a n n +-=+∈N ,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为（ ） A. 911 B. 1011 C. 2011 D. 2111【答案】C【解析】根据递推公式,用累加法,求出数列{}n a 通项公式,进而求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式,用裂项相消法,即可求解.。
2020届湖南师范大学附属中学高三毕业班高考适应性月考卷(五)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前 炎德•英才大联考湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班高考适应性月考卷(五)数学(文)试题(解析版)一、选择题1.若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A. 12B. 12i -C. 121【答案】C【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解。
【详解】)()i 12i z -===， 故z的虚部为12. 故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查计算能力,属于基础题.2.设非空集合P Q ，满足P Q P ⋂=,则（ ）A. x Q ∀∈,有x P ∈B. x Q ∀∉,有x P ∉C. 0x Q ∃∉,使得0x P ∈D. 0x P ∃∈,使得0x P ∉ 【答案】B【解析】【分析】根据交集运算结果判定集合关系,再结合Venn 图判断元素与集合的关系即可．【详解】解：∵P Q P ⋂=,∴P Q ⊆∴A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．故选B ．【点睛】本题考查命题真假的判断,考查子集的关系,属于基础题型.3.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 分析：根据三视图还原几何体,利用勾股定理求出棱长,再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -,在四棱锥P ABCD-中,2,2,2,1PD AD CD AB ====, 由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====则在四棱锥中,直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个,故选C.。
2020届湖南师大附属五雅中学高三考前适应性测试数学(文)试卷 (1)
2020届湖南师大附属五雅中学高三考前适应性测试数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{x |x 2－x －2<0，x ∈Z }，N ＝{－1,0,1,2}，则(∁U M )∩N ＝( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2} 2．若复数z ＝2i ＋21＋i，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( ) A ． 22 B ． 2 C ．3 D ．23．从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.124．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝33，则cos2α＝( )A ．－12B ．12C ．13D ．－135．设向量a →与b →的夹角为θ，且a →=(−2，1)，a →+2b →=(2，3)，则cosθ=（ ）A ．−35B ．35C ．√55D ．−2√556．若lg2，lg （2x +1），lg （2x +5）成等差数列，则x 的值等于（ ）A ．1B ．0或18 C ．18 D ．log 237．f （x ）是定义域为R 的偶函数，对∀x ∈R ，都有f （x +4）＝f （﹣x ），当0≤x ≤2时，f(x)={2x −1，0≤x ＜1，log 2x +1，1≤x ≤2，则f(−92)+f(21)=( )A ．2√2 B. √2 C. 1 D.28、在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA ＝AB ＝2，则直线PB 与平面PAC 所成角为( )A. π2B.π4 C π6 D. .π39．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)满足f (x 1)·f (x 2)＝－4，且|x 1－x 2|的最小值为π4，则将f (x )的图象向右平移π12个单位长度后得到的函数g (x )的图象所对应的函数解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3C ．g (x )＝2sin4xD ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π610．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln2)ln2，c ＝－f (－3)3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．c <a <b11．已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝12x ＋1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝( )A ． 5B ．2 5C ．255D ． 45512．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln (－x ＋1)，x ≤0，x 2＋3x ，x >0，若f (x )－(m ＋2)x ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－2,1]C ．[0,3]D ．[3，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考试必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答。
湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷及答案解析.
湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A.(){}1,1 B.(){}2,4- C.()(){}1,1,2,4- D.∅2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A.甲B.乙C.丙D.丁4.已知直线,a b 表示不同的直线，则//a b 的充要条件是（ ）A.存在平面α，使//,//a b ααB.存在平面α，使,a b αα⊥⊥C.存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥D.存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒5.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B. C. D.6.()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( )A.－60B.240C.－80D.1807.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）B.413D.478.关于函数()sin cos 22x x f x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ∃∈R ，()01f x = .其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设a,b,c 分别是ΔABC 的内角A,B,C 的对边，已知(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，设D 是边BC 的中点，且ΔABC 的面积为√3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )等于（ ）A. 2B. 4C. -4D. -210.已知椭圆C:x 24+y 2b =1(0<b <2),作倾斜角为3π4的直线交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b=( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. √6211.在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，G 为ΔDBC 的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30∘，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12.已知函数()1ln m f x n x x=--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A.22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B.22,11e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ C.2,11e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ D.1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）S 的值是__________．14.在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =cos cos c B b C +=，则ABC 的面积的取值范围为______．15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 是坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为A ，B ，且OAB ∠为直角，记OAF △和OBF 的面积分别为OAF S ，OBF S ，若35OAF OBF S S =△△，则双曲线C 的离心率为______． 16.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n −2n+1，若不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n 对∀n ∈N ∗恒成立，则整数λ的最大值为__.三、解答题（题型注释）17.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()*10,N a a a a =>∈，1n n S pa +=（0p ≠且1p ≠-，*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +，②2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为k d ，求p 的值及对应的k d ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，且3PA AB ==，2AC =，E 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；（3）在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由. 19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 20.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金，经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是l.38万元、1.18万元、l.14万元的概率分别为16、12、13；对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是()01p p <<，记B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为1ξ，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2ξ． (i)求1ξ，2ξ的概率分布列和数学期望1E ξ，2E ξ；(ii)如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由．21.设函数()ln x f x x x ae =-，()212x mx x φ=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数． （1）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）当10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，设()()()F x f x x φ=-，m R ∈，若()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证： 212x x e >． 22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB，求α的值. 23.已知函数f(x)=|x−2a|−|x−a|，a∈R．（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|(y+2020)|+ |y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案1.C【解析】1.首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，故选：C.2.D【解析】2. 试题由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 3.B【解析】3.结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.4.B【解析】4.根据充要条件的定义，逐项判断//a b 是否能推出选项成立，和选项是否能得出//a b 成立，即可得出结果.A 选项，//a b ⇒存在平面α，使//,//a b αα；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故A 错误.B 选项，//a b ⇒存在平面α，使,a b αα⊥⊥；反之，也成立.故B 正确.C 选项，//a b ⇒存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故C 错误.D 选项，//a b ⇒存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故D 错误.故选：B5.D【解析】5.∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ， 故选：D ．6.D【解析】6.求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案.由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为： 3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D【解析】7.设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a ，再利用面积之比可得结论.由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=，所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos 3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得AF =，所以，大正六边形的边长为AF =，所以，小正六边形的面积为21122222S a a a =⨯⨯+⨯=，大正六边形的面积为2212222S =⨯⨯=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.8.B【解析】8.根据偶函数的定义可得()f x 为偶函数,故①错误;根据()()f x f x +π=对任意的x 都成立,知②正确;在一个周期[0,)π内任取一个x ,都有()f x ∈,可知③错误. 依题意，()()()sin cos sin cos ()2222x x x x f x f x ---=+=+=， 故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误； 因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，故②正确，③错误. 故选B .【解析】9.利用三角形内角和定理可得(b +c )sinB =(a +c )(sinA −sinC )．由正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A ∈（0，π）可得A 的值，结合ΔABC 的面积求得bc,将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )利用向量加减法运算转化为AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,即可求得结果.∵(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，，∴由正弦定理可得：(b +c )b =(a +c )（a −c ），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ，∴由余弦定理可得：cosA=−12，∴由A ∈（0，π），可得：A=2π3，又ABC 的面积为√3，即12bcsin 2π3=√3,∴bc=4,又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=(DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )•(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2-DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=−4AB⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 4=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ •AC⃑⃑⃑⃑⃑ =-bccosA=2. 故选A.10.B【解析】10.分析：首先设出点A ,B 的坐标，然后结合点差法计算b 的值即可.详解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则{x 124+y 12b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+ (y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0. 因为y 1−y 2x 1−x 2=−1,所以x 04−y 0b 2=0.即y 0x 0=b 24. 由y 0x 0=b 24=12,解得b 2=2,即b =√2. 本题选择B 选项.11.D【解析】11.分析：求出△ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球O 的半径，即可求出球O 的表面积．详解：取BC 的中点为E ，由题意，AE=√3，AD=1，cos ∠BAC=2×2√3×2√3=﹣12，∴sin ∠BAC=√32，∴△ABC 外接圆的直径为2r=√32=4√3，设球O 的半径为R ，∴R=√12+14=72 ∴球O 的表面积为49π， 12.A【解析】12.由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩或(1)0,(e)0,f f >⎧⎨≤⎩化简可得关于.m n 的约束条件，利用线性规划求解即可. 22()m n m nx f x x x x '+=--=-，当0n =时，2()0m f x x '=-<， 当0e n <≤时，令()0f x '=，则0mx n=-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减， 由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，得(1)0, (e)0,f f ≥⎧⎨<⎩,即10,10,em mn -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 即10,e e 0,m m n -≥⎧⎨--<⎩或 (1)0, (e)0,f f >⎧⎨≤⎩,即10,e e 0,m m n ->⎧⎨--≤⎩,又0m >，0n e ≤≤，所以10,e e 0,0,0e,m m n m n -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （1）或10,e e 0,0,0e,m m n m n ->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （2）所以m ，n 满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示， 则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点（m ，n ）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21n m ++的最小值在A 点处取得，根据e e 0,e,m n n --=⎧⎨=⎩得A 点坐标满足2e e,e,m n ⎧=+⎨=⎩，所以最小值为2e 2e e 1+++，故选A. 13.0【解析】13.模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案.1,0tan3n S π==+=22,tan 03n S π=== 33,0tan 03n S π==+=44,0tan3n S π==+=55,tan 03n S π=== 6,0tan603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：014.【解析】14.利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 232C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+==ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin a C c A ==，1sin sin 2ABCSac B B ∴==∈．故答案为：.【解析】15.不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，先求出点,A B 的纵坐标，再根据35A OAFOBF B y S S y ==△△求出离心率. 不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，因为OAB ∠为直角，所以直线AB 的方程为()ay x c b=--， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得点A 的纵坐标22A abc y a b =+， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点B 的纵坐标22B abc y b a =-， 所以222235A OAF OBF B b a y S S y a b -===+△△，解得2214b a =或4，又离心率e =，所以双曲线C16.4【解析】16.试题分析：当n =1时，S 1=2a 1−22得a 1=4，S n =2a n −2n+1；当n≥2时，S n−1=2a n −2n ，两式相减得a n =2a n −2a n−1−2n ，得a n =2a n−1+2n ，所以a n2n −a n−12n−1=1． 又a 121=2，所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列，a n 2n=n +1，即a n =(n +1)•2n ．因为a n >0，所以不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n ，等价于5−λ>2n−32n．记b n=2n−32n，n ≥2时，b n+1b n=2n−12n+12n−32n =2n−14n−6．所以n ≥3时，b n+1b n<1,(b n )max =b 3=38．所以5−λ>38,λ<5−38=378，所以整数λ的最大值为4．17.（1）()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）见解析【解析】17.（1）由1n n S pa +=再写式子12n n S pa n -=≥（），两式作差得到11n n a pa p++=（n ≥2），所以数列{a n }从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当n ＝1时2a a p =，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1k a +，2k a +，3k a +，若选①，则1232k k k a a a ++++=，解出p 值，即可求得k d ；同理若选②，则2312k k k a a a ++++=，解出p 值，求得k d . （1）因为1n n S pa +=，当2n ≥时，1n n S pa -=， 两式相减，得()112n n a p n a p ++=≥，故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列， 又当1n =时，120a pa -=，1a a =，所以2a a p =，从而()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）得111k k a p a p p -+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21k k a p a p p +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，131k k a p a p p ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若选①，则1232k k k a a a ++++=，11p p +=或112p p +=-，得23p =-， 所以113122k k a a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，133122k k a a ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1319182k k k k a d a a -++⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭．若选②，则2312k k k a a a ++++=，11p p +=或12p p +=-，得13p =-，所以()1132k k a a -+=--，()232kk a a +=--，所以()11292k k k k d a a a -++=-=-⋅-．18.（1）证明见解析.（2（3）存在，13PM PB =【解析】18.（1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，可证//EF PB ，从而得线面平行；（2）由题意以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设(01)PM PB λλ=<<，求出平面MAC 和平面EAC （（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得λ． （1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF .∵ABCD 是平行四边形，∴F 是BD 的中点.又E 是PD 的中点，∴//EF PB 又PB ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)A ，，，(030)B ，，，(200)C ，，，(230)D -，，，(003)P ，，，33(1)22E -，，.设平面AEC 的法向量为()x y z n =，，. ∵33(1)(200)22AE AC =-=，，，，，， ∴00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3302220.x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 不妨取1y =，得(011)n =，，又(203)PC =-，，.设直线PC 与平面AEC 所成的角为α，则326sin cos 26PC αPC PC n n n⋅=<==⋅>，即直线PC 与平面AEC所成角的正弦值为26． （3）假设在线段PB 上(不含端点)存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为.连接AM MC ，.设(01)PM PB λλ=<<， 得(0333)M λλ-，，. 设平面MAC 的法向量为()x y z m =，，. ∵(0333)(200)AM λλAC =-=，，，，，， ∴00m AM m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3(33)020.y z x λλ+-=⎧⎨=⎩，不妨取1z =，得1(011)λm =-，， 设二面角M AC E --的平面角为θ，则cos cos 102θm n m n m n⋅=<===⋅⋅>，.化简得29920λλ-+=， 解得13λ=，或23λ=. ∵二面角M AC E --的余弦值为10，∴13λ=. ∴在线段PB 上存在一点M ，且13PM PB =，使得二面角M AC E --的余弦值为10. 19.（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】19.(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以1212222y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m =+222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 20.（1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大；（2）(i)分布列见解析，1E ξ=1.2，2E ξ20.50.3 1.4p p =--+； (ii) 当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．理由见解析【解析】20.（1）由图表可知甲地区的数据比较分散，所以甲地区比乙地区的方差大；也可求出两地区的平均数，比较平增多数；（2）（i ）由题可知1ξ分别取l.38、1.18、l.14时，其对应的概率分别为16、12、13，从而可列出1ξ的分布列，由题意得~(2,)B p ξ，从而可列出ξ的分布列，而ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元，由此可列出2ξ的分布列，并可求出期望； （ii ）对（i ）得到的数学期望1E ξ，2E ξ比较大小，进行决策. （1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大； （2）（i ）由题意得1ξ的概率分布列为所以1 1.38 1.18 1.14 1.2623E ξ=⨯+⨯+⨯=． 由题意得~(2,)B p ξ，即ξ的概率分布列为由题意得下调次数和利润2的关系为所以2的概率分布列为所以222 1.4(1) 1.252(1)0.6E p p p p ξ=⨯-+⨯-+⨯()()2221.412 2.50.6p p p p p =⨯-++⨯-+⨯20.50.3 1.4p p =--+（ii ）当12E E ξξ<，得21.20.50.3 1.4p p <--+，即25320p p +-<，整理得(52)(1)0p p -+<，解得205p <<； 当12E E ξξ=时，25p =； 当12E E ξξ>时，215p <<； 所以，当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．21.（1）1(0,)e；（2）证明见解析.【解析】21.（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则()0f x '=有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证212x x e >即证12ln ln 2x x +>，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，即()ln F x x mx '=-有两个零点1x ，2x ，可得()()12121212ln ln ln ln x x x x x x x x -++=-，设21x t x =，则()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，即证()1ln 21t tt +>-，1t >，即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.解：（1）()1x f x lnx ae '=+-，由题意可知，10x lnx ae +-=在(0,)+∞上有两个不同的实数根， 即1xlnx a e +=，只需函数1()xlnx g x e +=和y a=图象有两个交点， 211(1)1()()x x x x e lnx e lnx x x g x e e-+--'==，易知1()1h x lnx x =--在(0,)+∞上为减函数，且()10h =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数； 所以1()(1)max g x g e ==，所以1a e<，又当0x →，()g x →-∞，x →+∞，()0>g x ， 要使()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则10a e <<． 故a 的取值范围为1(0,)e． （2）10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭易得0a =，()()()21ln 2F x f x x x x mx x φ=-=-- ()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <()ln F x x mx '∴=-有两个零点1x ，2x ，则1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得12121212ln ln ln ln x x x x m x x x x +-==+- 于是()()221212111221211ln ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==-- 又120x x <<，设21x t x =则1t >，因此()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t > 要证12ln ln 2x x +>，即证()1ln 21t t t +>-，1t > 即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t >，则 ()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++ 所以，()h t 为()1,+∞上的增函数，又()10h =，因此()()10h t h >=于是，当1t >时，有()21ln 1t t t->+， 所以，有12ln ln 2x x +>成立，即212x x e >，得证22.（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα=【解析】22.（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解.（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩, 消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+= 曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=, 设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈ 点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<< 3424πππαα∴-=∴= 23.（Ⅰ）(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）[−1010,0).【解析】23.（Ⅰ）由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max ≤[|y +2020|+|y −a|]min ，分别求出[f(x)]max 和[|y +2020|+|y −a|]min ，列出不等式求解即可．（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1， 若a≤12，则不等式化为1−2a −1+a >1，解得a <−1； 若12<a <1，则不等式化为2a −1−(1−a)>1，解得a >1，即不等式无解； 若a≥1，则不等式化为2a −1+1−a >1，解得a >1，综上所述，a的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y−a|恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y+2020|+|y−a|]min，当x∈(−∞,a]时，|x−2a|−|x−a|≤−a，[f(x)]max=−a，因为|y+2020|+|y−a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y−a)≤0时，[|y+2020|+|y−a|]min=|a+2020|，即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0).。
高三数学5月适应性考试试题理word版本
2017年5月高考适应性调研考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集U 是实数集R,已知集合{}(){}22|2,|log 10A x x x B x x =>=-≤，则()U C A B =A.{}|12x x <<B.{}|12x x ≤<C. {}|12x x <≤D.{}|12x x ≤≤ 2.已知复数满足21zi i=-+，则的共轭复数对应的点位于复平面内的 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知数列{}n a 为等比数列，且2113725a a a π+=，则()212cos a a 的值为A. 12-B. 2C.2D.124.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为1）A. 20B. 16C.8D. 45.阅读如图（2）所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A.2B.4C.6D. 8 6.将函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则的最大值为 A. 54 B.32C. 2D. 37.已知实数,x y 满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若使得目标函数z ax y =+取最大值的最优解有无数个，则实数a 的值是A. 2B. -2C. 1D.-18.若圆()()()22221:24100C x m y n m n mn -+-=++>始终平分圆()()222:112C x y +++=的周长，则12m n+的最小值为 A. 3 B.92C. 6D. 9 9.下列命题中，真命题的个数为①对任意的,a b R ∈，a b >是a a b b >的充要条件；②在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >；③非零向量,a b ，若0a b ⋅>，则向量与向量的夹角为锐角；④ln 3ln 2ln 5.325>> A. 1 B. 2 C. 3 D. 410. 已知,x y 是[]0,1上的两个随机数，则(),P x y 到点()1,0的距离大于其到直线的距离的的概率为 A. 112 B. 1112 C.14 D.3411. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上一点，若221PF PF OA-存在最小值为12a ，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是 A.15 B. 1212.已知函数()2ln 3,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且只有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在直线1y kx =-上，则实数的取值范围是A. 2,17⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.72,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数据,x y 的取值如下表：从散点图可知，y 与x 呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线ˆˆ0.8yx a =+上，则的取值为.14.在711x ⎫-+⎪⎭的展开式中，的系数为.15.在平面四边形ABCD 中，117,6,cos ,6sin 14AB AC BAC CD DAC ==∠==∠，则BD 的最大值为.16.表面积为40π的球面上有四点,,,S A B C ，且SAB ∆为等边三角形，球心到平面SAB 的距离为，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的体积的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前项和为，且347,24a S ==，数列{}n b 的前项和2.n n T n a =+ （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，是PC 的中点，底面ABCD 为矩形，4,2,AB AD PA PD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点，平面PCD 与平面PAB 交于直线（1）求证：//l EF ;（2）求与平面ABCD ，求二面角P AE B --的余弦值.19.（本题满分12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对 “使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？（2）若从年龄在[)[)55,65,65,75的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点在直线30l y --=上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆的方程；（2）若直线经过点()1,0P ，且与椭圆有两个交点,A B ，是否存在直线00:l x x =（其中02x >）使得,A B 到的距离,A B d d 满足A B PAd d PB=恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()2222322ln ,2,0.a f x a x x g x x a x a x=-=-++> （1）讨论函数()f x 在()21,e 上零点的个数；（2）若()()()h x f x g x =-有两个不同的零点12,x x ，求证：2122x x e ⋅>.（参考数据：取2.8，ln 2取0.7，取1.4）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
【精准解析】湖南师大附中2020届高三摸底考试数学(理)试题
B. 60 种
C. 100 种
D. 120 种
【答案】B
【解析】
根据题意，首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动，有 种情况，
再从剩下的 3 人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有
=60 种.
故选 B．
7.已知向量
a
，b
满足 |
a
|
2
，
|
可得答案
-1-
【详解】设复数 z x yi ，则：| z 4i || x ( y 4)i | x2 ( y 4)2 ，
| z i || x ( y 1)i | x2 ( y 1)2 ，
结合题意有： x2 ( y 4)2 4x2 4( y 1)2 ，
整理可得： x2 y2 4 .
94
2
对于②：双曲线的焦点为 2, 0 ,2, 0 ，
2a 2 22 3 02 2 22 3 02 2, a 1，从而离心率 e c 2 ，所以②
a
正确；
对于③：
F
c,
0
,
B
0,
b
,
FB
的中点坐标
c 2
,
b 2
均不满足渐近线方程，所以③正确；
故选 C.
5.已知函数 f x 的图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能是（ ）
A. x | 19 x 3
20
B. x | x 3
C.
x |
3
x
19 20
D. x | x 3
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 M 和 N ，然后直接求解即可
【详解】 M
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（2）当 a 1 0 时， 令 h(x) 0 ，得 x ln(a 1) ．由 h(x) 0 ，得 x ln(a 1) ；
由 h(x) 0 ，得 x ln(a 1) ．
所以 h(x) 在 ( ， ln(a 1)) 上单调递减，在 (ln(a 1) ， ) 上单调递增．
要使得“ h(x) ex (a 1)x b 0 恒成立”，必须有：
“当 x ln(a 1) 时， h(x)min (a 1) (a 1)ln(a 1) b 0 ”成立． 所以 b(a 1) (a 1)ln(a 1) ．则 a b2(a 1) (a 1)ln(a 1) 1 ． 令 G(x) 2x xlnx 1 ， x 0 ，则 G(x) 1 lnx ． 令 G(x) 0 ，得 x e ．由 G(x) 0 ，得 0 x e ； 由 G(x) 0 ，得 x e ．所以 G(x) 在 (0, e) 上单调递增，在 (e, ) 上单调递减， 所以，当 x e 时， G(x)max e 1． 从而，当 a e 1 ， b 0 时， a b 的最大值为 e 1 ． 综上， a b 的最大值为 e 1 ． （12 分）
，由余弦定理可得
直角坐标系，
，在△AB1C 中，有
，所以以 OA，OB，OB1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间
则 可取
，设平面 ABB1 的一个法向量为
，则
，又平面 BCB1 的一个法向量为
，∴二面角 C﹣B1B﹣A 的余弦值为
， ．
湖南师大附属
20、答案：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，得到：① 甲地区比乙地区的新增人数的平均数低，
0
1
2
2
1.4
1.25
0.6
所以 2 的概率分布列为：
2
1.4
P
(1 p)2
1.25
0.6
2 p(1 p)
p2
E2 1.4 (1 p)2 1.25 2 p(1 p) 0.6 p2 0.5 p2 0.3p 1.4 .
（ii）当 E1
E2
，得1.2
0.5 p2
0.3 p
1.4 ，即 5 p2
2 ，∴ | AB|=|1 2|=|4sin 4cos|=4
2 | sin( π ) | 4 4
2，
∴ sin( π ) 1 ，∵ 0 π ，∴ π 3π ，∴ π π ，解得 3π ．
4
4
4
42
4
23、答案：（1） f x 0 m x 1 0 1 m x 1 m ，
（2）曲线 C1 : (x 2)2 y2 4 化为极坐标方程为 4cos ，设 A(1, ), B(2 ,2 ) ，∵曲线 C3 的极坐标方程为 ,0 π, R ，点 A 是曲线
C3 与 C1 的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A, B 均异于原点 O ，且 | AB|=4
湖2、B 3、C 4、D 5、A 6、C7、A 8、B9、C 10、C11、A12、B
13、
3
14、
3 5
15、
1 2
，4
16、1.7820
17、解：（1）证明：取 BC 中点 O，连接 AO，B1O，由于△ABC 与△B1BC 是全等的等边三角形， ∴AO⊥BC，B1O⊥BC，且 AO∩B1O＝O，∴BC⊥平面 B1AO，又 AB1 在平面 B1AO 内，∴BC⊥AB1； （ 2 ） 设 AB ＝ a ， △ ABC 与 △ B1BC 是 全 等 的 等 边 三 角 形 ， 则 BB1 ＝ AB ＝ BC ＝ AC ＝ B1C ＝ a ， 又
3p
2 0 ，解得 0
p
2 5
，当 E1
E2 时，
p
2 5
，当 E1
E2 时，
2 5
p
1，
∴当 0 p 2 时，投资 B 项目：当 p 2 时，两个项目都可以；当 2 p 1 时，投资 A 项目.
5
5
5
21、解：（Ⅰ） F(x) ex 2x b ，则 F(x) ex 2 ．
令 F(x) ex 2 0 ，得 x ln2 ，所以 F (x) 在 (ln2, ) 上单调递增．
22、答案：（1）由曲线
C1
的参数方程为
x
y
2 2cos 2 sin
（
为参数），消去参数得曲线
C1
的普通方程为
(x
2)2
y2
4
∵曲线 C2 的极坐标方程为 4sin ，∴ 2 4 sin ，∴ C2 的直角坐标方程为 x2 y2 4 y ，整理，得 x2 ( y 2)2 4 ．
由 f x 1 0 的解集为0, 2，可知 m 1．
（2） 1 1 1 1， a 2b 3c
则
a
2b
3c
a
2b
2c
1 a
1 2b
1 3c
1
2b a
3c a
a 2b
1
3c 2b
a 3c
2b 3c
1
3 2b a 3c a 3c 2b 3 6 9 ． a 2b a 3c 2b 3c
因为 h(x) 0 ，所以此时 h(x) 在 (, ) 上单调递增．
①若 a 1 0 ，则当 b0 时满足条件，此时 a b 1 ；
②若
a
1
0
，取
x0
0
且
x0
1b a 1
，
此时
h(x0 )
e x0
(a
1)x0
b
1
(a
1) 1 b a 1
b
0
，所以
h(x) 0 不恒成立．
不满足条件；
当且仅当 a 2b 3c 时等号成立，即 a 3， b 3 ， c 1时等号成立． 2
② 甲地区比乙地区的方差大（2）（i）由题意得 1 的概率分布列为：
1
1.38
1.18
1.14
P
1
1
1
6
2
3
E1
1.38
1 6
1.18
1 2
1.14
1 3
1.2
,
由题意得 ~ B(2, p) ，即 的概率分布列为:
0
1
2
P
(1 p)2
2 p(1 p)
p2
由题意得下调次数 和利润 2 的关系为：
令 F(x) ex 2 0 ，得 x ln2 ，所以 F (x) 在 (, ln2) 上单调递减． （4 分）
（ ）设 h(x) f (x) g(x) ex (a 1)x b ，则 h(x) 0 恒成立．
易得 h(x) ex (a 1) ． （1）当 a 10 时，
湖南师大附属