稳态热传导问题的有限元法
工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
第7章 稳态热传导问题的有限元法
)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指 温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态 过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三 维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值 方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场 的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j
(精品文档)FEA-10-ANSYS稳态热传导PPT演示课件
（10-13）
在一个单元内的加权积分公式为，
~ ~ e T T w1[ x ( x x ) y ( y y ) Q ]d 0 由分部积分得， ~ ~ ~ w1 T T T ( w1 x ) ( x ) w1 ( x ) x x x x x x
300
312.308
324.616
336.924
349.232
361.54
1373.848
386.156 NODAL SOLUTION
STEP=11 SUB =30 TIME=1215 TTOP RSYS=0 SMN =430.392 SMX =577.304
398.465
327.935
383.745
e
Ni N j Ni N j (k x ky )d x x y y
（10-19） （10-20）
Pi N i Q d
在整个物体上的加权积分方程是单元积分方程的和，
e
e
[(
e
[ N ] T [ N ] [ N ] T [ N ] ) (k x )( ) (k y )]{T }e d x x y y
或
（10-5)
3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。 物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介 质的温度为已知。 T T T
kx x nx k y y ny k z z nz h(T f Ts )
（10-6）
其中h为换热系数(film coefficient)，W/(m2 K)；
NODAL SOLUTION STEP=9 SUB =15 TIME=630 TTOP RSYS=0 SMN =300.03 SMX =551.174
稳态热传导方程范文
稳态热传导方程范文稳态热传导方程是描述物质内部温度分布情况的方程，它描述了热量在物体内部的传递过程。
稳态热传导是指物质内部的温度分布保持不变，热量的输入与输出相等。
这类问题通常涉及热平衡、热传导、温度分布等方面的内容。
∇·(k∇T)=0其中，∇表示空间导数算子，k为热导率，T为温度。
这个方程可以通过热平衡原理来推导。
考虑物体内部一点的热平衡，热导率k的定义是热流密度q与温度梯度的比率：q=-k∇T其中，负号表示热量从高温区流向低温区。
根据能量守恒定律，物体内部的热源产生的热量应该等于从其他区域流入的热量减去从这一点流出的热量。
我们可以通过描述物体内部的热传导来完成这个计算。
考虑一个微小的体积元素dV，在单位时间内流入该体积元素的热量是∇·(k∇T)dV。
我们假设该体积元素内无热源，那么流入的热量等于从该点流出的热量，即：∇·(k∇T)dV=-∇·(q)dV=-∇·(k∇T)dV两边去掉dV，并使用散度定理，得到：∇·(k∇T)=0这就是稳态热传导方程。
解决稳态热传导方程的方法有很多种，常见的方法包括分析解法和数值解法。
分析解法常用于求解简单几何形状的物体的稳态热传导问题，可以利用边界条件和初始条件得到解析解。
这种方法通常适用于几何形状规则、边界条件简单的情况。
数值解法则适用于复杂几何形状和复杂边界条件的情况。
数值解法将物体分成很多小区域，利用差分方法近似表示方程，通过迭代求解得到近似解。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法等。
稳态热传导方程在科学研究和工程应用中具有重要的意义。
它可以用于研究材料的热传导性质，优化传热设备的设计，预测材料的温度分布等。
在工程领域，热传导方程与其他方程（如流体力学方程）相结合，可以用于模拟热交换器、管道和冷却系统等设备的工作原理。
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组12()()()0A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Ω内） （2-1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件12()()()0B B B ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Γ内） （2-2）要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：()()()0A k k q x x y yφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω内） （2-3）0()0q B k q n φφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩（在上）（在上） （2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
传热问题的基本方程有限元分析
u t
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
q q0 ud
未知变量：
DISP u u
未知变量定义微分方程弱形式中 的变量
材料参数：
MATE ek ec q 1.0 1.0 0.0 kx(ky) ρc q
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量(考虑各向同性材料，各
在heatxy.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度 矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础 和应用》中相关章节)：
微分方程弱形式：
V
(c
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
ky
u y
u y
单元质量矩阵：
mass %1 ec*vol
c u u t
单元刚度矩阵对应微分方程弱形式 中的左端第二项
单元质量项对应微分方程弱形式中 的左端第一项，其中的ec表示密度
ρ与比热容c的乘积
单元载荷向量： load = +[u]*q*vol
向热传导系数相同即kx=ky=ek)
单元刚度矩阵：
dist = +[gu_i;gu_i]*ek*vol (其中gu是一向量，其分量为vect gu gux guy gu的表达式在该fde中对应：
6 稳态热传导问题的有限元法
6. 穩態熱傳導問題的有限元法本章的內容如下：6.1熱傳導方程與換熱邊界6.2穩態溫度場分析的一般有限元列式 6.3三角形單元的有限元列式 6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導方程與換熱邊界在分析工程問題時，經常要瞭解工件內部的溫度分佈情況，例如發動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分佈等。
物體內部的溫度分佈取決於物體內部的熱量交換，以及物體與外部介質之間的熱量交換，一般認為是與時間相關的。
物體內部的熱交換採用以下的熱傳導方程（Fourier 方程）來描述，Q z T z y T y x T x tT c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ為密度，kg/m 3； c 為比熱容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,為導熱係數，)k m w ⋅；T 為溫度，℃；t 為時間，s ；Q 為內熱源密度，w/m 3。
對於各向同性材料，不同方向上的導熱係數相同，熱傳導方程可寫為以下形式，Q zT yT xT tT c222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ （6-2）除了熱傳導方程，計算物體內部的溫度分佈，還需要指定初始條件和邊界條件。
初始條件是指物體最初的溫度分佈情況，() z y,x,T T00t ==（6-3）邊界條件是指物體外表面與周圍環境的熱交換情況。
在傳熱學中一般把邊界條件分為三類。
1）給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。
物體表面上的溫度或溫度函數為已知，s sT T=或 ),,,(t z y x T Ts s=（6-4）2）給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。
已知物體表面上熱流密度，s sz zy yx xq n zT n yT n xT =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n yT n xT s sz zy yx x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。
有限元第12章 热传导问题
第12章热传导问题1. 引言2. 稳态热传导问题33. 瞬态热传导问题一般格式直接积分法模态叠加法解的稳定性与时间步长选择44. 热应力的计算1.1 典型加工方法中的传热问题焊接汽车各个典型部件的加工方法注塑冲压铸造1.1典型加工方法中的传热问题焊接注塑铸造锻压1.1 典型加工方法中的传热问题注塑1.1 典型加工方法中的传热问题焊接1.1 典型加工方法中的传热问题铸造1.1 典型加工方法中的传热问题锻压冷冲热冲1.1 典型加工方法中的传热问题⏹传热问题广泛出现在材料加工领域⏹温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切1.2 温度场基本方程微分方程边界条件初始条件1.2 温度场基本方程退化为二维问题1.2 温度场基本方程退化为稳态问题稳态热传导问题以前各章所讨论的弹性静力学问题相同，采用C0型插值函数的有限单元进行离散以后，可以直接得到有限元求解方程。
瞬态热传导问题，在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程组，不能对它直接求解。
如何进行求解，原则上和下—章将讨论的动力学问题类同，可以采用模态叠加法或直接积分法。
热能传递的三种基本方式：1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
热对流仅能发生在流体中。
包括自然对流与强制对流，前者是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的；括自然对流与强制对流前者是于流体冷热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。
Th q ∆=牛顿冷却公式为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等，还与流体速度有密切关系。
h1.2 温度场基本方程1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。
物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
Stefan-Boltzmann定理其中为热力学温度（K），为环境温度，为Stefan-Boltzmann常量i i it)理想黑体其值等于般量。
热传导的规律和计算方法
热传导的规律和计算方法【热传导的规律和计算方法】热传导是物质中热量从高温区传递到低温区的过程。
了解热传导的规律和计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解热传导的机制，还可以在实际应用中进行热传导问题的计算和分析。
本文将介绍热传导的规律以及常用的计算方法。
一、热传导的规律热传导的规律可以用热传导定律来描述，即傅里叶热传导定律。
该定律可以表示为：q = -kA(dT/dx)式中，q表示热量传导速率，单位为瓦特（W）；k表示导热系数，单位为瓦特/米·摄氏度（W/m·°C）；A表示传热的截面积，单位为平方米（m^2）；dT/dx表示温度梯度，即温度随空间位置x的变化率，单位为摄氏度/米（°C/m）。
根据傅里叶热传导定律，热量传导速率正比于截面积和温度梯度的乘积，并与导热系数成反比。
这意味着截面积越大、温度梯度越大以及导热系数越小，热量传导速率就越大。
热传导的规律可以总结为以下几点：1. 热传导是由高温区到低温区的热量传递过程；2. 热传导速率与截面积和温度梯度的乘积成正比；3. 热传导速率与导热系数成反比。
二、热传导的计算方法热传导的计算方法主要包括两种情况：稳态热传导和非稳态热传导。
1. 稳态热传导计算方法稳态热传导是指热传导过程中温度分布保持不变的情况。
在这种情况下，我们可以根据物体两端的温度差和导热系数来计算热量传导速率。
热量传导速率的计算公式为：q = -kA(T2-T1)/L式中，q表示热量传导速率，单位为瓦特（W）；k表示导热系数，单位为瓦特/米·摄氏度（W/m·°C）；A表示传热的截面积，单位为平方米（m^2）；T2和T1分别表示物体的两端温度，单位为摄氏度（°C）；L表示物体的长度，单位为米（m）。
2. 非稳态热传导计算方法非稳态热传导是指热传导过程中温度分布会随时间变化的情况。
在这种情况下，我们需要根据物体的初始温度分布、导热系数和边界条件来求解热传导的温度分布和热量传导速率。
有限元分析实例2
29 9
VM144, BENDING OF A COMPOSITE BEAM
分析结果比较
SHELL99 model Displacement, in StressxTOP , psi StressxBOT , psi SHELL99 model (with node offset) Displacement, in StressxTOP , psi StressxBOT , psi SOLID46 model Displacement, in StressxTOP , psi StressxBOT , psi Target 0.832 2258. 1731. Target 0.832 2258. 1731. Target 0.832 2258. 1731. Analysis 0.832 2258. 1731. Analysis 0.832 2258. 1731. Analysis 0.832 2258. 1731. Ratio 1.000 1.000 1.000 Ratio 1.000 1.000 1.000 Ratio 1.000 1.000 1.000
80°F
0.014 Btu/(hr-in2°F) 80°F
建模、划分网格、加载边界条件和初始条件
铸件凝固过程中的热焓变化
1 ENTH FOR MATERIAL 2
200 180 160 140 120
ENTH
ENTH
100 80 60 40 20 0 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250
(边界上给定温度） (边界上给定热流密度） (边界上给定对流换热）
微元升温所需热量应与传入微元的热量和微体内 部产生的热量平衡。
热传导问题的有限元方法
02 有限元方法的基本原理
有限元方法的基本思想
将连续的求解区域离散成有限个小的 子区域（即有限元），在每个子区域 上选择合适的基函数，通过基函数的 线性组合来逼近真实解。
通过在子区域上定义的边界条件和初 始条件，将所有子区域的解联立起来 ，形成一组线性方程组，求解该方程 组即可得到原问题的近似解。
大规模计算
对于非常大的问题，有限元方法可能 需要大量的计算资源，这可能导致计 算时间较长。
处理复杂边界和界面条件
对于具有复杂边界和界面条件的问题， 有限元方法的实现可能变得复杂和困 难。
有限元方法的应用范围
传热问题
有限元方法广泛应用于传 热问题的数值模拟，如热 传导、热对流和热辐射等 。
结构分析
在结构工程中，有限元方 法用于分析结构的静态和 动态行为，如应力、应变 和振动等。
流体动力学
在流体动力学中，有限元 方法用于模拟流体流动和 传热，如流体动力学分析 和计算流体动力学(CFD) 。
电磁场理论
在电磁场理论中，有限元 方法用于分析电磁场的行 为，如电磁波的传播和散 射等。
05 热传导问题有限元方法的 发展趋势与展望
热传导问题有限元方法的研究热点
复杂几何形状的热传导问 题
03 热传导问题的有限元方法
热传导问题的有限元离散化
将连续的热传导问题离散化为 有限个单元，每个单元内的温 度和热流分布用数学模型表示。
单元之间的热量传递通过节点 传递，节点之间的热量传递用 耦合条件表示。
离散化后的方程组可以用矩阵 形式表示，方便进行数值求解。
热传导问题的有限元求解
01
通过迭代法或直接法求解离散化后的方程组，得到每个节点 的温度值。
有限元方法的数学基础
有限元方法在热传导中的应用
有限元方法在热传导中的应用一、问题描述如图一块二维方形平板，上下两边绝热，左右温度已知，分别为,a b T T ，求温度场。
二、变分关系式的推导 1. 控制方程和边界条件：1220,in |.|T T TT k qn ΓΓ⎧⎪∇=Ω⎪⎪=⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩ 2. 引入权函数,w w ，写成积分方程的形式222[]0.T w Td w kq d nΩΓ∂∇Ω+-Γ=∂⎰⎰将2T ∇项降阶22[]0.T T wd w kq d w Td nn∂ΩΓΩ∂∂Γ+-Γ-∇⋅∇Ω=∂∂⎰⎰⎰由于w 在边界上的任意性，可取12|0,|.w w kw ΓΓ==-则有220k w T d w qd ΩΓ∇⋅∇Ω-Γ=⎰⎰3. 令w T δ=，代入上式，有221,0.2k T Td Tqd δΩΓ∏=∇⋅∇Ω-Γ∏=⎰⎰三、问题的求解对本问题，0q =，即1.2k T Td Ω∏=∇⋅∇Ω⎰1. 划分单元，给单元和节点标号（同第二次作业，如图）2. 计算每个单元内的温度场及其梯度[]112323(,)(,)(,)(,)T T x y N x y N x y N x y T T ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭其中111122223333123111111222222333333111111111,,.111111111x y x y x y x y x y x y x y x y x y N N N x y x y x y x y x y x y x y x y x y ===温度的梯度11,2,3,21,2,3,3:[']{}.xx x yyy T N N N T T N T N N N T ⎧⎫⎡⎤⎪⎪∇==⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭其中2331121,2,3,1111112222223333332331121,2,3,111111222222333333,,;111111111,,.111111111x x x y y y y y y y y y N N N x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x x N N N x y x y x y x y x y x y x y x y x y ---===---=-=-=-3. 计算泛函∏{}{}{}{}()()()()()()()121()21([']['])21([][']['][]).2e e e eTe Te e Te T Te ek T Td k T Td k T N N Td T k L N N d LT ΩΩΩΩ∏=∇⋅∇Ω=∇⋅∇Ω=Ω=Ω⋅⎰∑⎰∑⎰∑⎰其中求和号内的[']N 军省略了单元标号（e ）。
热传导问题的有限元法
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
[例] 最速降线问题。
平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同 一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y = f (x) 滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的 曲线y =f (x)。不计物体与曲线间的摩擦力。
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
6 热传导问题的有限元法
本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化 为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问 题的解。
6-1 问题的提出
前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理， 建立了有限元的求解格式。
但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分 原理分析，求泛函的极值。
比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常 遇到的问题。
上式称为定解问题。
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变
第六讲热传导过程有限元分析
a场+算法 b场+算法+耦合场 (空一行) 初始化a场 时间循环开始标志 时间和边值更新 直接法求解a场 最小二乘求解b场 输出gid格式的结果文件 循环结束标志
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
q q0 ud
未知变量：
DISP u u
未知变量定义微分方程弱形式中 的变量
材料参数：
MATE ek ec q 1.0 1.0 0.0 kx(ky) ρc q
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量(考虑各向同性材料，各
向热传导系数相同即kx=ky=ek)
在heatxy.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度 矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础 和应用》中相关章节)：
微分方程弱形式：
V
(c
u t
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
传热问题的边界条件有三类：
第一类边界条件： u u0
第二类边界条件：
《高等有限元方法-张年梅》2.6二维稳态热传导问题
2.6 二维稳态热传导问题一、稳态热传导有限元的一般格式 具有内热源的二维稳态热传导问题的基本方程为ðððððð�aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQ cccc=00 按照有限元法公式推导的标准步骤，首先将求解区域A 离散为有限个单元体，在每个单元体内用伽辽金法选择权函数，得到：∬NN ii �ððððxx �aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQcccc �dddd dd ee=00 ii =11，⋯，nn （2.6.1） 上式中：dd ee 为单元面积，nn 为每个单元的节点个数，NN ii �xx ，ðð�为插值函数，它同样具有以下性质：NN ii �xx jj ，ððjj �=�00当jj ≠ii 时11当jj =ii 时和 ∑NN ii =11每个单元内各点的温度TT 可以近似地用单元节点温度ððii 插值得到：TT =�NN ii �xx ，ðð�ððii nnii =11=[NN ]{ðð}ee式中：[NN ]=[NN 11NN 22⋯NN nn ]，{ðð}ee 为单元节点温度列阵。
热传导过程有限元分析
单元刚度矩阵：
dist = +[gu_i;gu_i]*ek*vol (其中gu是一向量，其分量为vect gu gux guy gu的表达式在该fde中对应：
@l grad.xy f fe @w gu fe 也就是未知量对x和y的导数。
)
u x
u x
ky
u y
u y
单元质量矩阵：
mass %1 ec*vol
第六讲 热传导过程有限元分析
元计算技术部
传热学是研究温差引起的热能传递规律的科学。热力学第二定律指出：凡是有温差存在的地方，就有 热能自发地从高温物体向低温物体传递。本讲针对热传导问题从其基本方程、有限元分析、ELAB工程建 模等几个方面来介绍其仿真过程。
基本方程 ELAB模型向导实现 有限元脚本文件分析
V
(c
u t
u
kx
u x
u
x
ky
u y
u )dV
y
Q udV
V
q q0 ud
瞬态热传导有限元分析 ➢工程背景
一个长方形截面的冷空气通道，几何模型如下图所示。假设在垂直于纸面的方向上，通道内的初 始温度为0℃。通道的导热系数为0.044W/m·℃，比热和密度的乘积为1J/(m3·℃)，内壁维持在0℃， 外壁与流体发生对流交换，且与周围环境间的热换系数为10 W/m·℃，环境温度为30℃，求3s后通道 壁面中的温度和热流密度。
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
热传导问题的有限元方法
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。 简化构件几何和加载。 将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。 将瞬态过程简化为准稳态过程。 使热过程和力学过程分离。 忽略缺陷和裂纹的形成。 忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服 应力的相变过程。 对屈服规律进行简化。 简化坡口形状和焊层结构。 用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度 相关的材料特征值。
力学模型的网格划分
热学部分的网格划分较为密集，这是由于如 果其网格密度过于粗大，就会导致低温现象出现， 即这个模型最低温度远远低于常温20℃，与实际 情况差别较大，从而造成误差。然而，对于结构 模拟分析，倘若网格过于密集会导致计算时间过 长，在结构分析中将模型重新划分网格。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大 计算时间长、
需要详细的焊接方案 热源模型的建立 材料属性
难点和工作安排
13第6章热传导问题有限元
§6-3
稳态二维热传导
根据有限元部分的§2-1 节的第（ 2-1-2a）式， 3 节点有限元的插值函数为
1 Ni ai bi x c i y （ i, j , m ） 2A
对于任一单元 ijm ，可将插值函数求导代入式（6-2-3a） ，得到热传导矩阵元素
190
k k K1(ije) x bi b j y c i c j 4A 4A
q kxA
T x
（ 6-1-1）
其中 k x 是 x 方向上材料的导热系数； A 是垂直于 x 方向热流通过的面积； T 是温度。 （ 2） 对流 定义：对流是固体与周围物体之间进行热能传递的过程。 对流的热流速率可表示为
q hA T T
（ 3） 辐射 定义：辐射热传导是在服从电磁学定律的两个表面之间的热能交换过程。 辐射热流速率由下述关系确定单元热传导矩阵为源自（6-3-1） K
( e) 1
bi bi bi b j kx b jbj 4A sym
bi bm c c ci c j k y i i b j bm c jc j 4A bmbm sym
ci c m c j cm cm cm
如果物体处于没有任何热源的稳定状态，则方程（ 6-1-7）可简化为拉普拉斯方程
2 2 2 T T T 2 2 0 2 x y z
（6-1-10）
由于微分方程（6-1-6 ）或（6-1-7 ）是二阶的，所以需要规定两个边界条件。可能的边界条件是 在 T x , y, z, t T0 1 上： 在 2 上： k x （ 6-1-11a）
2 2 2 1 T T T T k k k 2 q c T dV x y z ~ V 2 x y z t
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6. 稳态热传导问题的有限元法本章的内容如下：6.1热传导方程与换热边界6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例6.1热传导方程与换热边界在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。
物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。
物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述，Q z T z y T y x T x t T c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ为密度，kg/m 3； c 为比热容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,为导热系数，()k m w ⋅；T为温度，℃；t 为时间，s ；Q 为内热源密度，w/m 3。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式，Q zT y T x T t T c 222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ（6-2）除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。
初始条件是指物体最初的温度分布情况，() z y,x,T T 00t ==（6-3）边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。
在传热学中一般把边界条件分为三类。
1） 给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。
物体表面上的温度或温度函数为已知，s s T T =或),,,(t z y x T T s s =（6-4）2） 给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。
已知物体表面上热流密度，s sz z y y x xq n zT n y T n x T =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n y T n x T s sz z y y x x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3） 给定对流换热条件，称为第三类边界条件。
物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介质的温度为已知。
)(s f z z y y x xT T h n zT n y T n x T -=∂∂+∂∂+∂∂λλλ （6-6）其中h 为换热系数，W/(m 2K)；s T 是物体表面的温度；f T 是介质温度。
如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即0=∂∂tT这类问题称为稳态（Steady state ）热传导问题。
稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。
随时间变化的瞬态（Transient ）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为，0Q z T z y T y x T x =+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z y x λλλ （6-7）对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为Poisson 方程，0zT y T x T 222222=+∂∂+∂∂+∂∂λQ（6-8）考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足Laplace 方程，0z Ty T x T 222222=∂∂+∂∂+∂∂ （6-9）在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。
计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。
温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简单。
进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，由单元结点上的温度来确定。
由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。
6.2稳态温度场分析的一般有限元列式在前面我们已经介绍了有限元方法可以用来分析场问题，稳态温度场计算是一个典型的场问题。
我们可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格式，推导出的单元刚度矩阵有明确的力学含义。
在这里，介绍如何用加权余量法（Weighted Residual Method ）建立稳态温度场分析的有限元列式。
微分方程的边值问题，可以一般地表示为未知函数u 满足微分方程组，0...)()()(21=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=u A u A u A（在域Ω内）（6-10）未知函数u 还满足边界条件，0....)()()(21=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=u B u B u B（在边界Γ上）（6-11）如果未知函数u 是上述边值问题的精确解，则在域中的任一点上u 都满足微分方程（6-10），在边界的任一点上都满足边界条件（6-11）。
对于复杂的工程问题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解。
所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数，一般表示为Na ==≈∑=i i ni a N u u 1（6-12）其中i a 为待定系数，i N 为已知函数，被称为试探函数。
试探函数要取自完全的函数序列，是线性独立的。
由于试探函数是完全的函数序列，任一函数都可以用这个序列来表示。
采用这种形式的近似解不能精确地满足微分方程和边界条件，所产生的误差就称为余量。
微分方程（6-10）的余量为， )(Na A R =（6-13）边界条件（6-11）的余量为，B(Na)R =（6-14）选择一族已知的函数，使余量的加权积分为零，强迫近似解所产生的余量在某种平均意义上等于零， 0=Γ+Ω⎰⎰ΓΩd d Tj T j R W R W（6-15）j j W W 和称为权函数，通过公式（6-15）可以选择待定的参数i a 。
这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
对权函数的不同选择就得到了不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（Galerkin method ）。
在很多情况下，采用Galerkin 法得到的方程组的系数矩阵是对称的，在这里也采用Galerkin 法建立稳态温度场分析的一般有限元列式。
在Galerkin 法中，直接采用试探函数序列作为权函数，取j j N W =，j j N W -=。
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值方法”的1.2.3节）。
例，求解二阶常微分方程)10(022≤≤=++x x u dxud边界条件：当0=x 时，0=u ；当1=x 时，0=u 。
取两项近似解： )1(1x x N -= )1(22x x N -=)1()1(~2212211x x a x x a a N a N u -+-=+= 11N W =， 22N W =由公式（6-15）可以得到两个加权积分方程，0)]62()2()[1(3222110=-+-+-+-+-⎰dx x x x a x x a x x x0)]62()2()[1(3222121=-+-+-+-+-⎰dx x x x a x x a x x x积分后可以得到一个二元一次方程组，解得，1707.0,1924.021==a a近似解为，)1707.01924.0)(1(~x x x u+-= 该方程的精确解为，x xu -=1sin sin近似解与精确解的结果比较见表6-1，假定单元的形函数为，]...[][21n N N N N =单元结点的温度为，T n e T T T T ]...[}{21=单元内部的温度分布为，e T N T }]{[=以二维问题为例，说明用Galerkin 法建立稳态温度场的一般有限元格式的过程。
二维问题的稳态热传导方程为，0Q y T y x T x =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y x λλ （6-16a ）第一类换热边界为s sT T=(6-16b)第二类换热边界条件为，s y y x xq n yTn x T =∂∂+∂∂λλ (6-16c)第三类边界条件为，)(s f y y x xT T h n yT n x T -=∂∂+∂∂λλ （6-16d ）在一个单元内的加权积分公式为，0])~()~([1=Ω+∂∂∂∂+∂∂∂∂⎰Ωd Q yT y x T x w y x eλλ（6-17）由分部积分得，)~()~()~(111x Tx w x T x w x T w x x x x ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂λλλ)~()~()~(111yTy w y T y w y T w y y y y ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂λλλ 应用Green 定理，一个单元内的加权积分公式写为，)~~(])~()~([1111=Γ∂∂+∂∂+Ω-∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰ΓΩd n y T n x T w d Q w yT y w x T x w y y x x ey x eλλλλ （6-18）采用Galerkin 方法，选择权函数为，i N w =1将单元内的温度分布函数和换热边界条件代入(6-18)式，单元的加权积分公式为，}]{[})]{][()][([332=Γ-Γ+Γ-Ω-Ω∂∂∂∂+∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΩΩd hT N d T N h N d q N d Q N d T yN y N x N x N f i eei ee s i i ee y i x i eλλ （6-19）换热边界条件代入后，在(6-19)式内相应出现了第二类换热边界项Γ-⎰Γd q N s i e3，第三类换热边界项Γ-Γ⎰⎰ΓΓd hT N d T N h N f i eei e33}]{[，但没有出现与第一类换热边界对应的项。
这是因为，采用i N 作为权函数，第一类换热边界被自动满足。
写成矩阵形式有，][}]{[][][][})]{][()][()][()][[(332=Γ-Γ+Γ-Ω-Ω∂∂∂∂+∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΩΩd hT N d T N N h d q N d Q N d T yN y N x N x N f T eeTee s T T ee y T x T eλλ （6-20）公式（6-20）是n 个联立的线性方程组，可以确定n 个结点的温度i T 。
按有限元格式将（6-20）表示为，e e e P T K }{}{][=（6-21）其中矩阵[K]e为单元的导热矩阵或称为温度刚度矩阵，{T}e为单元的结点温度向量，{P}e称为单元的温度载荷向量或热载荷向量（Thermal load vector ）。