关于等价无穷小量替换求极限的归类分析
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学中，求极限时等价无穷小替换是一个十分重要的技巧。
它可以帮助我们方便快捷地解决极值问题，为本科学生的学习和考试提供便利。
在本文中，我们将讨论求极限时等价无穷小替换的技，并且运用它来解决相关问题。
首先，让我们来介绍一下什么是求极限。
求极限是数学用来描述某个变量朝特定方向发散时的行为特征的技巧。
当我们求极限时，我们就是想要描述某个变量在靠近特定点时变化的规律。
例如，当我们求给定函数f(x)在x=a处的极限时，我们就想要描述x靠近a时f(x)的变化趋势。
然而，有时我们会遇到一些极限中的极限无法用定义的形式求出。
在这种情况下，我们就要使用求极限时等价无穷小替换的技巧。
在这里，我们先要介绍一下什么是无穷小。
无穷小是整个实数范围中正数的一种特殊集合，该集合中的任何一个正数都可以无限接近0，但永远不能等于0。
接下来，我们再来讨论一下求极限时等价无穷小替换的技巧。
这一技巧要求用无穷小替换极限表达式中的变量，然后运用定义求极限的方法来求出原极限的值。
不仅如此，我们还可以借助这一技巧来简化一些复杂的极限表达式。
…
- 1 -。
等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红
f（x）
f（x）
推论1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量 ，若f
（x），g （x） 为 同 阶 无 穷 小 ， 且 f （x） ~f′ （x），g （x） ~g′ （x）， 当 lim =
g（x） ≠1，则f（x）-g（x）~f′（x）-g′（x）。 f（x）
推 论2：设fi（x），gi（x）（i=1，2，… ，n）是 在 同 一 极 限 过 程 中
1
ln g（x） +lnf（x）
limlng（x）=0。 因为lim lnf（x） =lim lng（x） =lim f（x）
1
lnf（x）
lnf（x）
lng（x）
=0+1=1，所以 1 ~ 1 。 lnf（x） lng（x）
推论：设f（x），g（x）是同一极限过程中的无穷小量 ，且f（x）
~g（x）， 则 在 同 一 极 限 过 程 中 有 ln（1+f（x））~ln（1+g（x））。
基 金 项 目 ：河 池 学 院 应 用 数 学 重 点 学 科 （院 科 研 ［2007］2 号 ）；河 池 学 院 2007年 度 教 改 课 题 （编 号 ：2007E002）。
（1）若limf（x）h（x）=A，则limg（x）h（x）=A；（2）若lim h（x） =
x→x0
x→x0
x→x0 f（x）
7.高层次思考能力 的 发 展 需 要 学 生 在 数 学 教 学 过 程 中 的 全面参与
数学教学改革的目标之一是要培养学生的创新精神和发 展学生的高层次思考能力。 研究表明，学生在教学过程中全面 参与，是高层次思考能力发展的基本条件。 ［1］以学生参与为基 础的数学教学， 需要正确理解和发挥学生在教学过程中的作 用。 其中很重要的一个方面就是让学生积极参与到教学中去。 如果忽视学生的主体参与， 不可能真正培养学生的创新精神 和高层次数学思考能力。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。
它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。
为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。
这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。
极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。
比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。
在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。
因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。
综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
和差运算中无穷小的等价替换方法利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求无穷小量代数和的极限
差
运
算
中
无穷小的等价替换方法
&
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公
式求无穷小量代数和的极限
1 2 3
01 和 差 运 算 中 无 穷 小 的等价替换方法
复习：常见的求极限的方法 方法1：极限运算法则
函数和差积商的极限=极限的和差积
方法2：等价无穷小替换 无穷小的比较
常见等价无穷小
x→0
sin x ~ x tan x ~ x arcsin x ~ x
在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃， 以简化计算。(即：低阶无穷小＋高阶无穷小⇔低阶无穷小)P54定理1
为什么上一题的sin x 和xcos x要用三阶的麦克劳林公式而不用一阶或 者五阶的呢？拿到一个题目要怎么确定要用几阶的麦克劳林公式呢？有大佬总结出两个规律来自分式上下同阶原则和加减幂次最低原则
arctan x ~ x
ln(1+ x) ~ x
x＋1
x＋1
★在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意： 只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量 来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换。
推论：两个同阶但非等价的无穷小之差的每 一项都可以用与之等价的无穷小替换。
简单地说：替换后分子或分母不为0的均可替换
thank you for watching!
2019.05.23
两个同号无穷小之和的每一项都可以用与之等价的无穷小替换。
运用等价无穷小的替换时，可以只替换分子或分母，也可以将 分子和分母同时替换。
02 泰 勒 公 式
泰勒公式是高等数学的核心内容之一，其基本思想是将一些
复杂的函数关系近似地表示为简单的幂级数的形式达到化繁
等价无穷小替换极限的计算
等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法，它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式，从而更容易求解。
在处理极限问题时，我们常常会遇到无穷小的概念，无穷小是指当自变量趋于一些值时，函数值趋于零，且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。
而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。
等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小，从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。
具体来说，我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。
1.正比无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个非零常数k，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于k那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
2.同阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
3.高阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个正整数n，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
通过使用等价无穷小替换，我们可以简化极限的计算过程。
例如，对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限，我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x，从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。
同理，对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限，我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x，从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。
需要注意的是，等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小，要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。
高数极限等价无穷小替换题目
极限等价无穷小替换是高等数学中的一个重要概念，它对于解决极限问题至关重要。
通过等价无穷小替换，我们可以将复杂的极限问题转化为更容易处理的形式，从而加快解题速度。
下面我将通过一些具体的题目，展示如何运用极限等价无穷小替换来解决问题。
题目：求极限lim(x→0) (1 + x - 1)(2 + x^2 - 1)(1 + x^3 - 1)...(1 + x^n - 1)，其中n为正整数。
分析：本题是一个复杂的极限问题，涉及到多个乘积项，而且每一项都包含变量x的幂次。
为了简化计算，我们可以利用极限等价无穷小替换，将每一项中的x用泰勒级数展开式替换为无穷小量ε，再利用ε的无穷小性进行计算。
解：设x为自变量，ε为无穷小量。
将每一项中的x用泰勒级数展开式替换为ε，可得：原式= (1 + ε- 1)(2 + 2ε^2 - 1)(3 + 3ε^3 - 1)...(n + nε^n - 1)= (nε^(n-1) + ε^(n-2) -ε^n) / (ε^(n-1) -ε^2)= ε^(n-2) / (ε^(n-2) -ε^2)= ε^(-2) / (ε^(-2) -ε^0)= ε^(-2) / (ε^(-2) - 1)当x→0时，ε→0，因此原式= ε^(-2) / (ε^(-2) - 1) = 1。
结论：通过极限等价无穷小替换，可以将复杂的极限问题转化为易于处理的形式，从而加快解题速度。
在本题中，我们巧妙地利用了泰勒级数展开式，将每一项中的x替换为无穷小量ε，再利用ε的无穷小性进行计算。
最终得到了一个易于求值的极限结果。
总结：极限等价无穷小替换是高等数学中的一个重要技巧，它可以帮助我们简化复杂的极限问题，提高解题效率。
通过灵活运用这一技巧，我们可以更好地掌握高等数学的精髓，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
例析等价无穷小代换求极限的方法
例析等价无穷小代换求极限的方法微积分是数学中的一个重要的分枝。
就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。
微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。
极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。
求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。
在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。
用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。
对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。
无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,, 恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。
那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。
或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。
下面就各种情况意义说明。
1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有证明:例如:求解:当时,推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有例如:求解:当时,推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,例如:2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则∴例如:求解:定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若则∴例如:求解:当时,3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误例如:代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
在高等数学中，求极限时等价无穷小替换是一个重要的问题。
求极限时，我们常常需要将一个无穷小量替换为另一个无穷小量，来使得求极限更容易。
例如，对于函数y = f(x)，当x 趋近于a 时，我们可以用(x-a) 替换x，以便更好地求函数在x = a 时的极限。
另一个例子是，对于函数y = f(x)，当x 趋近于a 时，我们可以用1/(x-a) 替换1/x，以便更好地求函数在x = a 时的极限。
这些替换是有技巧的,需要经过分析和理解函数行为来进行替换.
等价无穷小替换是指将一个无穷小量替换为另一个无穷小量，使得求极限变得更容易。
这需要对函数的性质和行为有很好的理解，并能够运用数学知识进行分析。
替换的关键在于要使用与原函数类似的函数，这样才能确保等价性。
例如，对于函数y = 1/x，当x 趋近于a 时，我们可以用1/(x-a) 替换1/x，因为当x 趋近于a 时，两个函数的行为是相似的。
同样的，对于函数y = (x-a)^n,当x 趋近于a 时，我们可以用(x-a) 替换(x-a)^n，因为当x 趋近于 a
时，两个函数的行为是相似的。
通过这种替换方法,我们可以更容易地求出函数在某一点的极限值,或者是说更容易地判断函数是否存在极限.。
等价无穷小替换的原理
等价无穷小替换的原理
1 等价无穷小和替换的概念
等价无穷小和替换是微积分中常见的重要理论概念。
等价无穷小
指在极限意义下与某一函数的比极限为1的无穷小函数。
替换指在计
算极限的过程中，把与它等价的无穷小函数替代成它本身，这样我们
就可以简化求极限的过程，降低了计算难度。
2 等价无穷小替换的原理
等价无穷小替换原理是指：当x趋近于某个值a时，一些函数f(x)和g(x)之间存在着等价无穷小关系，即$\lim_{x\to
a}(\frac{f(x)}{g(x)})=1$，那么在求$\lim_{x\to a}(f(x))$时，可
以把f(x)替换成g(x)，并不影响极限的值。
具体地，若在求$\lim_{x\to a}(f(x))$时，发现f(x)可以表示成
g(x)$\times$h(x)，且$\lim_{x\to a} (g(x)-1)=0$，则可以把f(x)
替换成g(x)$\times$h(x)，得到$\lim_{x\to a}(g(x)\times h(x))$，然后就可以把g(x)替换成1，从而得到$\lim_{x\to
a}(f(x))=\lim_{x\to a}(g(x)\times h(x))=\lim_{x\to a}(h(x))$。
应用等价无穷小替换原理，可以简化复杂的极限求解过程，减少
计算难度，提高求解效率。
但需要注意的是，替换时要保证等价无穷
小关系是正确的，否则替换可能会导致求解错误。
对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨
对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨哎呀，大家好呀！今天咱们来聊聊一个听上去有点拗口的话题——对等价无穷小代换和洛必达法则求极限。
乍一听，这些名字就像天书一样，让人觉得高深莫测。
不过，别担心，咱们今天就把这块硬骨头啃下来，轻松愉快，保证不让你打瞌睡。
先来看看什么叫“对等价无穷小代换”。
这玩意儿听起来挺复杂，其实就像是你和朋友在一起的时候，偷偷把一瓶水换成了可乐，味道差不多，谁都没发现。
简单来说，就是在求极限的时候，把一个复杂的表达式换成一个简单的，换得恰到好处，效果也不错。
比如，当你在求某个函数的极限时，里面夹杂了许多复杂的项，就像一锅乱炖，找不到重点。
这个时候，咱们就用对等价无穷小代换，把那些复杂的东西换成简单的，结果往往会出人意料地好。
再说说洛必达法则，嘿嘿，这可真是一个神奇的法宝。
就像是你在厨房做饭，突然发现盐没了，结果你就一抹手，随便拿点儿别的东西来调味，最后做出来的菜居然味道超棒。
洛必达法则就是这样，当你碰到极限的形式是0/0或者∞/∞的时候，别慌，直接对分子和分母分别求导，然后再求极限。
这种方法就像开了挂一样，直接把难题变成了小菜一碟。
说到这，可能有人会问，这两者到底有什么关系呢？哈哈，关系可大了！对等价无穷小代换和洛必达法则，就像是一对默契的搭档，一个是潜行的特工，一个是直冲的战士，组合起来简直无敌。
很多时候，你在用洛必达法则的时候，其实就是在利用了无穷小的特性。
这就像你在打游戏的时候，利用一些小技巧，才能打出高分，事半功倍嘛！有趣的是，很多学生在学习这些方法的时候，脑子里满是问号，觉得特别抽象。
极限的世界就像一场大冒险，只有勇敢尝试，才能发现宝藏。
咱们在求极限的时候，关键是要抓住那种“微小”的感觉，体会到这些“无穷小”究竟是怎么回事。
就像你在沙滩上，捡到一颗小贝壳，虽然不起眼，但如果你细细品味，背后其实蕴藏着大海的秘密。
举个例子，假设你在计算极限，碰到一个0/0的情况。
这个时候，别着急，先用对等价无穷小代换，看看能不能把它转化成简单的形式。
全部等价无穷小替换公式
全部等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式（also known as等价无穷小代换公式）是一种方法，用于将复杂的无穷小函数转化为更简单的形式，以便于求解极限。
等价无穷小替换公式可以应用于各种情况，包括求导、积分和级数等。
等价无穷小替换公式的基本思想是将一个复杂的无穷小函数替换为一个与之等价的简单无穷小函数。
这样做的好处是可以简化计算，使得求解极限更加方便。
在等价无穷小替换公式中，我们将使用一些标准的等价无穷小函数来替换复杂的无穷小函数。
下面我将介绍一些常用的等价无穷小替换公式。
1.当x趋向于零时，有以下等价无穷小替换公式：- sin(x) ≈ x （初等函数的等价无穷小替换）- tan(x) ≈ x （初等函数的等价无穷小替换）-e^x-1≈x（指数函数的等价无穷小替换）- ln(1 + x) ≈ x （对数函数的等价无穷小替换）- (1 + x)^a - 1 ≈ ax （幂函数的等价无穷小替换，其中 a 是常数）2.当x趋向于正无穷时，有以下等价无穷小替换公式：- ln(x + 1) ≈ ln(x) （对数函数的等价无穷小替换）-e^x-1≈e^x（指数函数的等价无穷小替换）-x^a≈e^x（幂函数的等价无穷小替换，其中a是常数）3.当x趋向于负无穷时，有以下等价无穷小替换公式：- ln(1 + x) ≈ ln(-x) （对数函数的等价无穷小替换）-e^x-1≈-e^x（指数函数的等价无穷小替换）-x^a≈0（幂函数的等价无穷小替换，其中a是常数）需要注意的是，等价无穷小替换公式只能在特定的极限求解中使用。
当使用等价无穷小替换公式时，需要保证被替换的无穷小函数确实与替换后的函数等价。
另外，在一些特殊的情况下，还需要进行进一步的化简和验证。
下面我们来看一个例子，演示如何使用等价无穷小替换公式来求解极限：假设我们需要求解极限 lim(x->0) [sin(2x) / (3x)]。
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式一、等价无穷小等价替换的概念等价无穷小等价替换是指在求解极限、积分、微分等数学问题时，将一个无穷小量替换为与它具有相同极限的无穷小量，从而简化计算的过程。
等价无穷小等价替换的基本思想是在保持原有极限不变的前提下，用一个更便于计算的表达式替代原有函数或者无穷小量。
二、等价无穷小等价替换的原理等价无穷小等价替换的原理可以用极限的定义来解释。
假设函数f(x)和g(x)在x=a的一些邻域内定义，且f(x)和g(x)在x=a处连续，如果有lim(x→a)g(x)=0，lim(x→a)g(x)≠0，则称g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小。
根据无穷小的定义，对于任意一个无穷小g(x)，它满足lim(x→a)g(x)=0。
那么如果g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小，就意味着lim(x→a)(f(x)-g(x))=0。
这样，我们可以用g(x)替代f(x)，从而简化计算的过程。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1) sin(x) ~ x(2) tan(x) ~ x(3) arcsin(x) ~ x(4) arctan(x) ~ x(5) ln(1+x) ~ x(6)e^x-1~x2.当x趋于正无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^x~+∞(2)a^x~(x→+∞)+∞(其中a>1)(3)(1+x)^n~+∞(其中n为正整数)3.当x趋于负无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^(-x)~0(2)a^(-x)~0(其中a>1)四、例子下面通过具体的例子来说明等价无穷小等价替换的应用。
例1：求极限lim(x→0)sin(x)/x。
解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有sin(x)~x。
所以原极限可以等价替换为lim(x→0)x/x=1例2：求极限lim(x→0)(ln(1+x))/x。
解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有ln(1+x)~x。
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则以《等价无穷小替换原则》为标题，写一篇3000字的中文文章等价无穷小替换原则Equivalent Infinitesimal Substitution Principle）是微分几何中一种重要的思想，其发现者是著名英国数学家伯努利。
他在定义什么是微分几何时，提出了这个原则，这一原则得到了许多数学家的重视。
本文旨在介绍等价无穷小替换原则在微分几何中的意义和作用，以及它如何被广泛应用于数学知识的演绎和推理中。
首先，介绍一下什么是等价无穷小替换原则。
伯努利在1860年提出了这一原则，原则是由以下四个条件构成：（1）存在一对等价的无穷小量；（2）这两个无穷小量之间可以互换；（3）每个无穷小量都应满足相同的方程；（4）当替换不同的无穷小量时，方程的结果不应发生变化。
也就是说，等价无穷小替换原则是一种小量替换的原则，它允许替换一对等价的无穷小量，而可以获得相同的结果。
等价无穷小替换原则在微分几何中有着重要的意义。
在微分几何中，用户研究物体的曲线表示，通过不断更改无穷小量来改变曲线的形状，以求解更多的几何问题。
其中，等价无穷小替换原则对曲线变形和分析有着重要的作用。
举个例子，当曲线的一点出现无穷小角度时，它可以满足等价无穷小替换原则，它可以把一个无穷小量转换成另一个等价的无穷小量，从而改变曲线的形状，从而解决更多的几何问题。
另外，通过等价无穷小替换原则，也可以让几何问题变得更加简单，从而使得数学知识的推理和演绎变得更加容易。
等价无穷小替换原则在实际的研究和应用中也有着广泛的应用。
例如，它可以用于求解解析几何中的最近点问题，也可以应用于复变函数及其导函数等。
另外，它在天文学、力学、热力学和量子力学中也有广泛的应用。
此外，它还可以用于计算机科学中，特别是在机器学习和人工智能领域，它可以被用来发现新的结构，并进行推理计算。
从以上可以看出，等价无穷小替换原则是微分几何中的重要思想，它不仅可以用来改变曲线的形状，而且也可以用来演绎数学知识和推理计算，它还被广泛应用于解析几何、复变函数、天文学、力学、热力学、量子力学和计算机科学等领域的研究和应用中，因此，等价无穷小替换原则具有重要的意义和作用。
等价无穷小替换原则
等价无穷小替换原则
「等价无穷小替换原则」是一种论证模型，指的是在一定条件下，研究某个不确定问题可以在它的范围内做无穷小的变化，并且做完变化的结果跟本身的结果相等，因此就可以把大问题转换成一系列更小的问题。
这个原则也可以用于数学和统计学中，用来说明某一变量的增加不会对另一变量的大小造成（太大）影响。
无穷小替换原则主要应用于数学分析，可以把复杂的函数拆分成更容易处理的函数。
例如，有一个变量X，它跟另外几个数字有关，这时，可以用无穷小替换原则，把X分解成许多小的增量，这样，就可以更容易地判断X对其它变量的关系。
无穷小替换原则在微积分学中特别重要，它被广泛用于求解无穷积分、无穷级数和无穷微分等问题。
例如，要求解一个复杂的函数的极限值时，可以把它分解为许多小的变量，然后一步步求极限值，用无穷小替换原则可以非常方便地求解极限值。
无穷小替换原则也广泛应用于统计学，它可以帮助我们研究不同变量之间的关系。
无穷小替换原则假定，一个变量的变化不会对另一个变量的变化产生重大影响，就可以把复杂的统计图形分解成几个简单的变量，这样，我们就可以更容易地分析变量之间的关系。
可以看出，无穷小替换原则是一个很有用的模型，它能够帮助我们解决数学和统计学中的复杂问题，但是，它也有一些局限性，例如，如果变量之间有关联性，那么无穷小替换原则就很难应用。
另外，无穷小替换原则也不能解释一些复杂的函数的特性，所以，在使用无穷
小替换原则的时候，必须慎重考虑。
综上所述，无穷小替换原则是一种常见的论证模型，在数学分析和统计学中有着广泛的应用，它可以有助于我们更容易地研究变量之间的关系，但是，也有一定的局限性，因此，在使用无穷小替换原则的时候，一定要慎重。
等价无穷小量的替换法求极限
等价无穷小量的替换法求极限樊宝恒（西北师范大学数学与统计学学院甘肃兰州 730070）摘要：讨论了等价无穷小量以及等价无穷小量替换法求极限以及在运算中互相替换时要注意的一些问题.Abstract:Some problems are discussed as well as the EquivalentInfinitesimal Substitution of Equivalence Infinitesimal Method for limit and replace each other in operation should pay attention to.关键词：无穷小量；无穷大量；等价无穷小量；极限Keywords: infinitesimal; infinity; l; infinite product; limit一 等价无穷小量的定义设f 在某()0x o U 内有定义，若lim ()0x x f x →= 则称f 为当0x x →时的无穷小量设当0x x →时，f 于g 均为无穷小量 若0()lim 1()x x f x g x →= 则称f 于g 是当0x x →时的等价无穷小量。
记作0()~()()f x g x x x →二 等价无穷小在求函数极限中的应用求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些0∞1∞型的极限的计算引理 设函数f （x ），f （x ）满足下列条件：在a 的某个去心邻域内均有非零导数（1）lim f （x ）=0，；0)(lim _=→x f a x（2）()lim 1()x a f x f x →'='则 ()lim 1()x a f x f x →=，ln(1())lim 1ln (1())x a f xf x →+=+（3）当f （x ），()f x >0时, ln ()lim ln ()x a f x f x →=1证明 由洛比达法则; ()lim ()x a f x f x →=()lim 1()x af x f x →'='; ln(1())lim ln (1())x a f x f x →+=+1()()lim .11()()x a f x f xf x f x →⎧⎫'+=⎨⎬'+⎩⎭ln ()lim ln ()x a f x f x →=()()lim .1()()x a f x f x f x f x →'=',证毕定理1 设函数f(x),g(x)及()f x ,()g x 满足下列条件:（1）在a 的某去心邻域内均有导数（2）在x →a 时,均为无穷小量,()lim 1()x a f x f x →'=',()lim 1()x a g x g x →'=',于是; (1) 若1()lim 1(),f x x a g x l →⎡⎤+=⎣⎦[]1()lim 1()f x x ag x l →+= (2) 若f(x), ()f x >0，且()lim ()g x x a f x t →=,则()lim ()g x x af x t →= 证明 由引理(1) [][]ln 1()ln 1()ln 1()ln 1()()lim lim **lim ()()()()ln 1()x a x a x a g x g x g x g x f x f x f x f x f x g x →→→⎧⎫⎡⎤⎡⎤++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦==⎨⎬⎡⎤+⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 故[]11()()lim 1()lim 1()f x f x x a x a g x g x l →→⎡⎤+=+=⎣⎦ (2) ()ln ()lim ()ln ()lim ()ln ()**lim ()ln ()()ln ()x a x a x a g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x →→→⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 故()()lim ()lim ()g x g x x a x a f x f x t →→==如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些0∞1∞型的极限时将很方便. 如0x →时, ,sin ,tan ,1,ln(1)x x x x e x -+等,均为无穷小量,且 ()()00200sin lim limcos 1tan 1lim lim 1cos x x x x x x x x x x →→→→'==''==' ()[]00001lim lim 1ln(1)1lim lim 11x x x x x x e e x x x x →→→→'-==''+=='+所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，α和 β都是无穷小，且α≠0，如果lim 1βα=，那么α和β是等价无穷小，记~αβ。
如何正确理解等价无穷小替换
如何正确理解等价无穷小量替换?等价无穷小量替换是我们进行极限运算的一个重要方法,我们在初学时经常会对无穷小替换的条件理解不够透彻.下面我们试图通过几个定理和例子来加深同学们对等价无穷小量替换方法的理解.先来回顾一下等价无穷小量替换的定理,这里我们把标准教材上的定理做了修改.定理1:设 ,αα是同一极限过程中的无穷小量, αα ,又 lim αβ存在,则lim αβ存在且 lim lim αβαβ=. 证明:直接利用极限的四则运算法则得: lim lim lim ααβαβαβα=⋅=. 也可以利用 ()o ααα=+得: ()lim lim[]lim o ααβαβαβαβα=+⋅=. 注: 因为没有要求 lim 0αβ=,所以这里结论没有写成 αβαβ .另外第二种做法会在处理其它问题时会更具有一般性.从本定理可以看到当因子α与β做乘法时可将α用它的等价无穷小 α来替换,即 lim lim αβαβ=.如果因子α与β做加法,那么能不能用 α来替换呢?(此时要使αβ+是无穷小量,要求β也是无穷小量.)一般来说不可以用 α来替换,请看下面的例子. 例1. 考虑0x →时,22(),x x o x α=+ 2(),x x o x x αβ=+=- . 容易看到虽然 αα,但是22x αβ+=与 2x αβ+=并不是等价无穷小,因而无法用等价无穷小量替换进行极限计算.如果我们仔细的观察例1,会发现22x αβ+=与 2x αβ+=不等价是因为x β=-与 ,αα异号,因而它们相加后改变了原来无穷小量αβ+的阶数.那么自然会想到如果β与 ,αα同号相加之后不就可以不改变原来无穷小量的阶数了,所以我们如下结论.定理2: 设 ,,ααβ是同一极限过程中的无穷小量, αα ,0αβ⋅>,则 αβαβ++ . 证明:不防设0,0αβ>>,因为 αα ,则 0α>.所以 01ααβ<<+,那么()()()111o o o αβααβααααβαβαβααβ+++==+=+⋅→++++.谈到这里,我们会发现其实我们是把αβ+看成一个整体,只要替换不改变αβ+的阶数,那么替换后就是等价的,比如我们把例1中的β稍做修改:例2. 考虑0x →时,22(),x x o x α=+ 2(),2x x x o x αβ=+=- . 此时 222,22x x x x αβαβ+=++=+,那么仍然有 αβαβ++ . 当然如果替换改变αβ+的阶数,也有可能会有 αβαβ++ ,比如下面的例子. 例3. 考虑0x →时,23(),x x x o x α=++ 22(),2x x x o x x αβ=+=-- . 此时 223,22x x x αβαβ+=++=,那么仍然有 αβαβ++ .最后我们来谈一下如果出现因子相加且不能简单地做等价无穷小替换时,那么应该如何处理呢?一般来说,有两个途径.一是通过提取因子化加法为乘法再利用各个因子的等价无穷小来分析,二是利用Taylor 展开直接分析出αβ+的准确的阶数.来看下面的例子. 例4. 考虑0x →时,求无穷小量tan sin x x -的等价无穷小.因为tan ,sin x x x x ,如果同时用x 替换tan ,sin x x ，则改变了无穷小量tan sin x x -的阶数, 那么如何来分析tan sin x x -的阶数呢?方法(1) 化加法为乘法: 23tan sin tan (1cos )22x x x x x x x -=⋅-⋅= . 方法(2) Taylor 展开法:333333sin (),tan (),tan sin ().632x x x x x o x x x o x x x o x =-+=++-=+ 即3tan sin 2x x x - . 方法一的适用范围小,方法二是更一般的方法.从这里可以看到Taylor 公式对无穷小量分析起着很重要的作用,是处理这类问题的一个重要的方法.。
考研数学利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。
例1：求极限30tan sin lim x x x x→- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ''''-⋅-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim 1αβ=时,命题是假命题． 对于例1，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin lim lim 1tan x x x x αβ→→== 所以，证明的结论是错误的．正确解答:2333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→--==. 例2：求201sin(sin )lim x x x x→ 错误解答: 2200011sin(sin )sin 1lim lim lim sin 0x x x x x x x x x x x→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换： 而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x 均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时，22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sin lim x x xπ→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1． 应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==. 注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．巩固相应知识点① 无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim (0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 ② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,。
重要的等价无穷小替换公式
重要的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中的重要概念，它在求极限、导数和积分等计算中起到了关键作用。
本文将介绍几个重要的等价无穷小替换公式，并解释其应用。
一、等价无穷小的定义等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数与某个已知无穷小函数之间的关系。
它表示在极限过程中，函数与另一个函数的差异可以忽略不计。
二、等价无穷小替换公式1. sinx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有sinx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用sinx替换x，而不会改变极限的结果。
2. tanx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有tanx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用tanx替换x，而不会改变极限的结果。
3. e^x-1与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有e^x-1/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用e^x-1替换x，而不会改变极限的结果。
4. ln(1+x)与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有ln(1+x)/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用ln(1+x)替换x，而不会改变极限的结果。
5. a^x-1与xlna的等价无穷小当x趋于0时，我们有a^x-1/xlna等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用a^x-1替换xlna，而不会改变极限的结果。
三、等价无穷小替换公式的应用1. 求极限等价无穷小替换公式在求极限的过程中经常被使用。
通过将原函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化计算过程并得到准确的极限值。
2. 导数的计算等价无穷小替换公式在求导数的过程中也有广泛的应用。
通过将函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化求导的过程，并得到准确的导数值。
3. 积分的计算等价无穷小替换公式在求积分的过程中同样起到了重要作用。
通过将被积函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化积分的过程，并得到准确的积分值。
四、总结等价无穷小替换公式是微积分中的重要工具，它在求极限、导数和积分等计算中发挥了关键作用。
极限的计算方法总结
极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
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根据前 面 的常 见 的等 价 无 穷 小 结 果 ， 当
Ｏ时 ， 有ｓ ｉ ｎ ２ ｘ￣２ ｘ， ｔ ａ ｎ ５ ｘ ￣５ ｘ ， 于是
ｌ
． ．
ｌ ｉ ｍ
ｇ Ｌ ｚ，
证明
ｌ ｉ ｍ
ｌ ｍ ■—＿ ＝ ｌ ｔ ｍ 一＝ ７ ． ｔ・０ ｔ ａｎ ： Ｃ — ・ ０ ． Ｚ
Ｉ ｉ ｍ 教材 中没 有很 明显 的规 律 ． 本 文 主要 针 对 这 ２
的 极 限问题
此类极限问题， 属于分子上有乘法 因子
＊” 待定型极限问题， 解决此类极限问题 和列出同济大学等主编的《 高等数学 》 教材中 的“
的有关结论 ：
（ １ ） 设在 自变量 同一 变化 过 程 中 ， 函数
数学教学．
Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｄ ｚ ｚ ｙ ｘ ｙ ｆ ２ ０ ０ ６ ０ ９ ＠１ ２ ６ ． ｔ ｏ ｍ
第３ ３ 卷第 ３ 期
２ ０ １ ４年 ３月
数学教学研究
５ ３
女 Ⅱ 果 ｌ ｉ ｍ
一
存在删 ｌ ｉ ｍ
．
．
解
使 用 等价无 穷 小替换 原 理求极 限．
换．
例２ 求 的极 限．
＝ ｌ ｉ ｎ ｌ （ 船・ ・
ｈ （ ｚ ） “ （ ～ ） ） ，
ｍ
船 ｍ
ｌ ｉ ａ ｒ ．１ ｉ
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） ，
解
根据前 面常见的等价无穷小结果，
当 Ｏ 时， 有
ｓ ｉ ｎ ２ ～ ２ ｚ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ５ ｘ￣ ５ ｘ，
一
给出下面的定理． （ ２ ） （ 等价无穷小替换原 理） 在 自变量 同 方便 ， 定理 １ 设在 自变量 同一变化 过程 中， 变化 过 程 中， Ｙ＝ ｆ（ ） ， ｙ— ｇ（ ） ， Ｙ一
ｇ （ ） ， Ｙ—ｈ （ ｚ） 都是 非零 的无穷小 量， 且
＝厂 （ ｚ ） ， ：ｇ （ ） ， 一＾ （ ） ， ＝／（ ） ， — ／（ ） ， —ｇ （ ） 都是无 穷小量 ， 且， （ － ｚ ） ～ 厂
・
于是
因为 （ ｚ ） ～／（ ） ， ｇ （ ） ～ｇ （ ） ， ｈ （ ｚ ） ～
＾ （ ） ， 所以，
，．
Ｉ ｌ Ｉ ＴＩ—— ——— —— —— ＝ —一 —Ｏ ａｒ ｃｔ ａｎ ｂ ｘ
（ ＋ ２ ） ｓ ｉ ｎ ２ ｘ
ｌ ｉ ｍ ． １ ， ｌ ｉ ｍ 磐＿ １ ，
小量替换是一种非常有效 的工具 ， 但是， 如果使 用不 当， 会造成错误 结果 ， 针 对这个 问题 本 文进行 了
归类分析 ， 寻找 出了解题规律． 关键 词 ： 极 限； 无穷小量 ； 待 定型 中图分类号 ： ０１ ７ ２
１ 引言
极 限是 数学 分 析 的 基 础 ， 极 限运 算 是 极
￣ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｚ～ ｌ ｎ （ １ ＋ ｚ） ～ 一 １ ；
一 ＣＯＳ ． Ｔ～ ；
换， 什么情况下不能直接替换 ， 目前高等数学
个 问题 进行 归类 分析 ， 以求 寻找 出解 题规 律． 为 了下 文叙 述 方 便 ， 首 先 做 出 有 关假 设
（ １ ＋ ｚ） ａ 一１ ￣ｑ Ｘ（ Ｏ Ｉ ≠Ｏ ） ．
／ （ Ｉ ｚ ） ， ｇ （ Ｉ Ｔ ） ～ｇ （ ） ， 如果 ｌ ｉ ｍ
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ７ — ０ ６
存在 ， 那
厂 （ ｚ ） ～／（ ） ， ｇ （ ） ～ｇ （ ） ， ｈ （ ｚ ） ～， ｌ （ ・ ） ，
作者简介： 臧新建 （ １ ９ ６ ５ ～） ， 男， １ ９ ８ ８ 年毕业于聊城师范学 院数学系 ， 理学学 士副教授 ， 研究方 向 ： 基础 数学 ； 一直从 事高等
么 ｌ ｉ ｍ ＿ ｌ ｉ ｍ 船．
（ ３ ） 当 Ｏ 时， 常见的等价无穷小有 ：
Ｘ ＂－ ｓ ｉ ｎ ｘ￣ ｔ ａ ｎ ｘ￣ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ
限一章的重要内容 ， 在求解极 限问题 中， 经常
遇到“ ” 待定型极限问题， 而解决“ ＊” 待定
型极 限 问题 ， 等 价无 穷 小量 替 换 是 一 种非 常 有效 的工 具 ， 但 是 在 什 么情 况下 可 以直 接 替
－ － －
通常可 以使用极 限运算法则 、 函数 的连续性 及洛 必达法 则进 行求 解 ， 但是 ， 当变 量 比较 复
计 算起 来 比较麻 烦 ， 而使 用 等价 无 穷小 ￣ｆ （ ｘ ） ， —ｇ （ ） ， ＝ （ ） 都 是 非 零 的 无穷 杂时 ， 量替 换 求 极 限 可 以 简化 计 算 过 程． 为 了使用 小量．
ｌ ｉ ｍ ＿１ ，
＝
ｌ ｉ ａ（ ｒ ＋ ２ ）．１ ｉ ｍ
删
ａｒ ｃｔ ａ ｎ
＝
ｌ ｉ ｍ（ ＋ ２ ）・ｌ ｉ ｍ
因此 ，
－ ｉ ｍ
Ｌ ｚ Ｉ ｇ
ｍ
一 ９．
呈：
５‘
— —
ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ， ． ２ ｘ
２
２ ． ２ ｈ （ ｘ ） ≠１的极 限 问题
ｍ
（ 船・ ・ 。 糌 ｚ ） ７
・ ・
此类极限问题 的求解 ， 可 以使用本文中 的定理 １ 求解． 在求解过程 中， 分式 中的乘法 因子如果是无 穷小量 （ 不是无穷小量 的不考 虑替换问题） ， 可 以部分替换 ， 也可 以全部替
５ ２
数学教学研究
第３ ３ 卷第 ３ 期
２ ０ １ ４年 ３月
关 于等价无穷小量替换求极限的归类分析
臧 新 建 ，董艳 慧 ，范 玉军
（ 德 州 职业 技 术 学 院 ，山东 德州 ２ ５ ３ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 在 极 限 运 算 过 程 中 ， 经 常 遇 到 “ 罟 ’ ’ 待 定 型 极 限 问 题 ， 而 解 决 “ 罟 ” 待 定 型 极 限 问 题 ， 等 价 无 穷