等差数列的前n项和(第一课时)
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
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2.3等差数列的前n项和第一课时
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！
等差数列前n项和公式(第1课时).ppt
计算 1＋ 2＋3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100 = ?
1+100 =101 2+99 =101 3+98 =101
101
50个等式
…
＋ 50+51 =101
设计意图
1.学生叙述高斯首尾配 对的方法 2.学生对高斯的算法是 熟悉的，知道采用首尾 配对的方法来求和，但 是他们对这种方法的认 识可能处于模仿、记忆 的阶段 . 3.为了促进学生对这种 算法的进一步理解，设 计了下面问题.
S100= 50×101 = 5050
高斯求和法
计算 1+ 2 + 3 +...... +100
S=1 + 2 + 3 +… + 98+99+100
倒序相加法
S=100+99+98+…+ 3 + 2 + 1 101
类比联想，解决问题
问题2：Sn= 1+2+3+…+n = ?（
Sn= 1 + 2 + 3 + … + n ① Sn= n+(n-1)+(n-2) +…+1 ② 由①+②，得： 2Sn = (1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)
= n(1+n)
倒序相加法
）
讨论交流，延伸拓展
倒序相加法
问题3：已知等差数列｛an｝中,首项为a1,
第n项为an ,求它的前n项和Sn .
等差数列的前n项和+课件-2024-2025学年高二下学期北师大版(2019)选择性必修第二册
an )
பைடு நூலகம்
n1 2n
2
1
n2
典例分析
还有方 例2：在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古法代？皇 家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的地面由扇
圆形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈
有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈。请问：
(1)第9圈共有多少块石板；(2)前9圈一共有多少块石板.
若把次序颠倒是 Sn an an1 an2 an3 a1 (2) 由等差数列的性质 a1 an a2 an1 a3 an2
由(1)+(2)得 2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
即:
Sn
n(a1 2
an )
n个
等差数列的前n项和公式
项数 首项 第n项
答：底层有90盏彩灯，顶层有132盏彩灯。
小试牛刀
3.等差数列{an }中，a1 20, a5 12,求通项an 及前n项
和 Sn 的最大值.
解一：由 a1
20, d
a5 a1 5 1
2，得
an a1 (n 1)d 2n 22，
Sn
(a1
an )n 2
n2
21n，二次函数 y
x2
21x
(2)知三求二 建立方程或方程组求解
课后习题
1.求 sin2 10 sin2 20 sin2 30 sin2 80 2.何时可以使用倒序相加法？ 3.P17练习1.2.3
课后思考
已知数列{an}的通项公式an＝ 项和．
1 n(n
1)
，求数列{an}的前n
感谢指导
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册 (2)
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项
和.
21 2 3 (n 1) n n(n 1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
一、数列前n项和的定义:
设数列｛ an ｝： a1，a2 ，a3 ，…，an ，…
我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列 ｛ an ｝的前n项和，记作Sn .
放着120层铅笔，且自下而上各层的 铅笔数成等差数列，将其记｛an｝，
则有a1=1, a120=120.根据等差
数列前n项和的公式：
sn
n(a1 2
an )
s120
120 (1 120) 2
7260
答：V形架上共放着7260支铅笔。
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个,
问题:
如何求一般等差数列的前n项和
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ],①
Sn an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
S10 1050010(1201)50 7250
答：2001～2010”年,该市在“校校 通”工程中的总投入是7250元.
公式应用
练：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
等差数列前n项和公式的推导及简单应用第1课时人教A版(2019)选择性必修第二册
方法一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由题意知S10＝310，S20＝1 220，
nn－1
将它们代入公式 Sn＝na1＋ 2 d，
10a1＋45d＝310，
a1＝4，
得到
解方程组得
20a1＋190d＝1 220，
d＝6.
nn－1
∴Sn＝n×4＋ 2 ×6＝3n2＋n.
典例精析
题型一：等差数列基本量的计算
若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪练习
1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于(
A.2 300
解析
B.2 400
C.2 600
D.2 500
√
由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
50×49
解得 m＝50，所以 S50＝50×1＋ 2 ×2＝2 500.
1
∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－2.
1
1
∵an＋1－an＝2(n＋1)－2－2n－2＝2，
3
故数列{an}是以2为首项，2 为公差的等差数列.
典例精析
题型三：由Sn与an的关系求an
反思与感悟
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，
再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，
(1)等差数列的依次 k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为 k2d 的等差数列．
Sn
(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an ＋bn(a，b 为常数)⇔数列{ n }为等差数列．
2
典例精析
题型三：由Sn与an的关系求an
等差等比数列前N项和练习答案
等差数列前N 项和（第一课时） 一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.2．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝13，∴a 1＋da 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1.又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( )A ．168B ．156C ．152D ．286[答案] D[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000[答案] C[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴5d ＝15，∴d ＝3.6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12[答案] A [解析]S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1，故选A ． 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2＋n2[解析] ∵a n ＝－5n ＋2， ∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－5n －1)2＝－5n 2＋n 2.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题9．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ． [解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列前N 项和（第二课时） 一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18[答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15 ∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎨⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．等比数列前N 项和综合练习1．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D 项． 2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝81[1－(23)5]1－23＝211. 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )A ．21B ．42C ．135D ．170 答案 D 解析5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4(1－125)1－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．等比数列{an }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1(1－1q n )1－1q ＝q 1－n ·1－q n1－q ＝q 1－n ·S .当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S .8．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案 A 解析9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A 解析10．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20， ∴a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.11．(2012·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.答案 －2解析 由S 3＝－2S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)，即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.12．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 1013．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2，得2q 2－q －3＝0，即q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 3n －1，或(－3)n －14解析答案24解析16．等比数列{a n}的公比q>0，已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________.答案 152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q >0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.17．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．答案 该数列的公比为2，项数为8解析18．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，则⎩⎨⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ①② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0. (q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.。
等差数列的前n项和(第一课时)
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1n≥2
表示．
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【变式】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an. 解 a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋ 3(n－1)]＝4n＋1， 当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
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【变式4】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可 求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
解 法一 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝na1＋nn2－1d.
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n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n (n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
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问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Q Sn a1 a2 a3 L an ①
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
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第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
等差数列的前n项和 第1课时
等差数列中基本量计算的两个技巧 (1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和 Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时 注意整体代换的思想． (2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝n（a12＋an） 结合使用．
表 达
n（n－1） 2
d.
由已知得
10a1＋102 9 d＝100，①, 100a1＋1002 99 d＝10，②
①×10－②，整理得d＝－5110 ，代入①得a1＝1100909 .
所以 S110＝110a1＋110×2109 d＝110×1100909 ＋110×2109 ×－5110 ＝
书
1101
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等差数列的前n项和公式？ 2．怎样推导等差数列的前n项和公式？
1.等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式
首项，末项与项数
n(a1 an )
Sn＝_____2_____
首项，公差与项数 Sn＝ n_a_1＋__n_(_n_2_1_)_d_
在等差数列{an}中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列 的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公 式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列的前n项和
新课程标准
学业水平要求
1.探索并掌握等差数 列的前n项和公式，理 解等差数列的通项公 式与前n项和公式的关 系． 2．能在具体的问题情 境中，发现数列的等 差关系，并解决相应 的问题．
高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104
等差数列的前n项和公式(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
等差数列的前n项和公式第一课时1.课时教学内容等差数列前n项和公式2.课时学习目标(1)会推导等差数列前n项和公式；(2)会用等差数列的前n项和公式解决简单问题。
3.教学重点与难点重点∶等差数列的前n项和的应用。
难点∶等差数列前n项和公式的推导方法。
4.教学过程设计环节一情景引入200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一。
他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献。
问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释。
高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题。
等差数列中，下标和相等的两项和相等。
设a n=n,则a1=1，a2=2，a3=3，…如果数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p +q =s +t,则a p +a q =a s +a t可得：a 1+a 100=a 2+a 99=⋯=a 50+a 51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 解：原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+52 =102×50+51 =5151解法2：原式=(1+2+⋯+100)+101=[(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)]+101=101×50+101 =5151解法3：原式=0+1+2+⋯+100+101=(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51 =5151问题3：你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n 为偶数时， S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n2+(n2−1)] =(1+n )+(1+n )…+(1+n ) =n2(1+n ) =n(1+n)2当n 为奇数数时， n －1为偶数S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n +12−1)+(n +12+1)]+ n +12=(1+n )+(1+n )…+(1+n )+ n+12=n−12(1+n )+n+12=n(1+n)2对于任意正整数n ，都有1＋2＋3＋… ＋n =n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ S n = 1+ 2 + 3 +⋯+nS n = n +(n −1)+(n −2)+⋯+1 将上述两式相加，得2S n=(n+1)+[(n−1)2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)=n(1+n)所以S n=1+2+3+⋯+n=n(1+n)2问题5:上述方法的妙处在哪里？倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a nS n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)即：S n=n(1+n)2问题6:这种方法能够推广到求等差数列{a n}的前n项和吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a n,S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1.2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)所以S n=n( a1+a n)2得到等差数列前n项和公式：S n=n( a1+a n)2追问1：你能用文字语言表达这个公式吗？首项加末项乘以项数除以2.追问2：这个公式还有什么含义？等式两边同除以n,S nn =(a1+a n)2，即a1+a2+a3+⋯+a nn =(a1+a n)2前n项平均数等于首项与第n项的平均数问题7：能不能用a1和d来表示S n呢？将a n=a1+(n−1)d代入公式整理得S n ＝na1+n(n−1)2d追问：如果不利用前面结论，你还有其他方法得到上述公式吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n,=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+[a1+(n−1)d]=na1+[1+2+3+(n−1)d]=na1+n(n−1)2d等差数列的前n项和公式公式S n＝n(a1+a n)2功能1：已知a1,a n,n 求S n功能2：已知S n a1,a n,n中任意3个，求第4个。
【课件】等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解得n 10或n 10(舍去).
∴原等差数列的前10项的和等于 100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
4a1 6d 6
3
1
解：根据题意,得
,解得a1 ,d .
4
2
8a1 28d 20
3 16 15 1
∴S16 16
72.
4
2
2
课本P23
04
目标检测 检验效果
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
15 14
解：
由题意,得15a1
d 5[a1 d a1 5d a1 (k 1)d ].
2
整理得( k 16)d 0.
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
2
n
an
a1
n
a1
an
(n-1)d
n(n 1)
Sn na1
d
2
04
例题练习 巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1 7,a50 101,求S50 ；
5
(2) 若a1 2,a2 ,求S10 ；
等差数列的前n项和 第1课时课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
②当 n 7 时，| a 1 | | a 2 | | a 6 | | a n |
a 1 a 2 a 6 (a 7 a 8 a n ) S 6 (S n S 6) 2S 6 S n 72 (12n n 2) n 2 12n 72
所以
Sn
na1
n(n 1) d 2
11n
n(n 1) (2) 12n 2
n2
(2)令 a n 2n 13 0 ，得 n 6.5 ， 所以数列{an}的前6项为正，后面都为负.
①当 n 6 时，| a1 | | a 2 | | a 3 | | a n |
a1 a2 a3 an S n 12n n 2
a n ) (a 2
a
n
)
1
(a
3
a n2) (a 1
a n)
(a 1
a
n ) (a 1
a
n) (a 1
a
n)
(a 1
a
)
n
n个
=n(a 1 a n )
由此得到等差数列的前n 项和公式
Sn
n(a 1 2
a n)
若把等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 代入上式，还可以得到
(3)由
a n a 1 (n 1)d n(n 1)
S n na 1 2 d
，可得
n
a
a1 1
2(n 1) 11 n(n 1) 2
2
3
5
，
解得
a
1
3
或
a
1
1
.
n 5 n 7
求数列{|an|}的前n项和
例2.已知等差数列{an}的通项公式 a n 2n 13 . (1)求Sn； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
等差数列的前n项和(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；
（2）可以先利用 和 的值求出d，再利用公式 = +
等差数列的前n项和公式(第1课时)
高斯（Gauss，1777－
1855），德国数学家，
近代数学的奠基者之一.
他在天文学、大地测量
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
学、磁学、光学等领域
1，2，3，⋯ ，n ， ⋯ ① 前100 项的和的问题. 都做出过杰出贡献.
5
导入新课：
p18你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?
4
情景导入：
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下
面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题.
200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：
1+2+3+4+5+ ⋯ +98 +99 +100 =？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时, 10岁的
高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)
=102×101
S101
102 101
2
5151.
等差数列 {an} 的性质, (m,n,p,q∈N*)
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
8
导入新课：
思考2:你能用高斯的方法求1+2+ 3+⋯+n 吗?
解析：Sn = 1 +2 +3 + ⋯ + (n-1) +n ①
Sn = n + (n-1) + ⋯ + 3 + 2 + 1 ②
d (2)
2
11
选择性必修二第四章等差数列的前n项和公式(第一课)
(1)m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq . (2)m＋n＝2p am＋an＝2ap (m，n，p，q∈N*) (3) an=am+(n－m)d
探究新知
德国古代著名数学家高斯9岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋ 100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？
高斯的算法是：
首项与末项的和：
当n为奇数时，有
于是有
a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-3 =···，
Sn =1+2+···+n
1
n
2
n
1
n 2
(
n 2
1)
1n1 n1n1n
n个
n1 n
2
2
Sn =1+2+···+n
1
n
2
n
1
(
n
2
1
-1)
(
n
1 2
1)
n
1 2
1n1 n1n1n
n
1 2
n个
2
n -1 1 n n 1
2
2
n1 n
2
探究新知
思考：
我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇书偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？
如果对公式
Sn
=1+2+···+n
n1
2
n
作变形，可得
2Sn =2 (1+2+···+n)= n(n+1)
相当于两个Sn 相加，而结果变成n个(n+1)相加。
受此启发，我们得到下面的方法：
把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代人公式(1)， 可得
等差数列的前n项和
1等差数列前N 项和（第一课时）一、预习问题处理：1、等差数列前n 项和公式=n S = 。
2、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。
3、等差数列的两个求和公式应根据题目条件灵活选用：当已知首项1a 和末项n a 时，应选用=n S ；当已知首项1a 和公差d 时，应选用=n S 。
二、新课讲解：1、等差数列前n 项和公式的推导：在等差数列{}n a 中首项1a ，公差d ，求12n S a a =++……+n a ． 12n S a a =++……+11()n a a a d =+++……+1(1)a n d +- 1n n n S a a -=++……+1()n n a a a d =+-+……[](1)n a n d -- ∴ 12()n n S n a a =+，∴ 1()2n n n a a S +=，又∵1(1)n a a n d =+-， ∴1(1)2n n n S na d -=+。
2、公式变形： 由公式1(1)2n n n S na d -=+经变形可得n da n d S n ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2212，设2,21d a B d A -==，则上式可写为Bn An S n +=2。
三、例题讲解：例1、一堆钢管共10层，第一层钢管数为1，第十层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？2例2、已知等差数列{}n a 中，21,231-==d a ，15-=n S ，求n 和n a 。
【变式1】已知等差数列{}n a 中，512,11-==n a a ，1022-=n S ，求公差d 。
【变式2】已知等差数列{}n a 中，41=a ，1728=S ，求公差8a 和d 。
【变式3】已知等差数列{}n a 中，245=S ，求42a a +。
3例3、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50,202010==a a 。
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长春师范学院数学学院说课教案
07级五班姓名：冯梅学号：0707140505 §3.3 等差数列的前n项和（第一课时）
一、教材分析
（一）、教材内容的地位和作用
《等差数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．
（二）、教学目标
知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用
能力目标：
（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感目标：
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
（三）、教学重点、难点
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
二、教法、学法分析
针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
而让学生真正的掌握和理解并且形成技能，突出这节课的重点和突破难点。
三、说教学程序。