刚体力学习题课

J mR
2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中， 机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。
1 1 2 2 mv 0 J0 mgh 2 2
v0 R0
2 (m R2 J )0 h 0.016m 2m g
[例2]已知m1，m2 ，M1，M2，R1，R2 且m1> m2 试由牛顿运动 定律和转动定律写出系统的运动方程，求m2 的加速度和 张力T1 ,T2 , T3 。 解：设m2的加速度大小为a，方向向上， m1的加速度大小也为a，方向向下。 设向内为正方向。 对m1 、m2分析受力。由牛顿定律：
刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。
刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点 的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。
J mi ri
刚体定轴转动角动量：
2
Lz J
刚体的转动动能： Ek转 1 J 2 2 力矩的功： 刚体的重力势能:
T1
关联方程： 联立得：
a 1R1 2 R2
2(m1 m2 ) g a 2 m1 m2 M 1 M 2 （ ）
4m1m2 m1 ( M 1 M 2 ) T1 m1 g m1a 2(m1 m2 ) M 1 M 2
T2 m2 g m2a
i


质点的运动

刚体的定轴转动


转动定律： M z J d( Jω) 角动量原理： z M dt 角动量守恒： J C
动能定理： M d Ek
a
动能定理： F dr E k
b a


b

机械能守恒：

机械能守恒：
B
O2
EP 0
h
解二：应用牛顿第二定律和转动定律 A B C
T1R1 J11
T2 R2 T1R1 J 2 2
m1 , R1
mg T2 ma
a R11 R2 2
A
O1
T1
T1 m , R
2
2
关联方程：
B
O2
T2
T2
解得：
2m g a m1 m2 2m
力的矢量和为零，则此刚体 [
A）必然不会转动 C）转速必然改变
D
]
B）转速必然不变 D）转速可能改变，也可能不变。
4、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． C）它受热或遇冷时，角速度均变大． D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．［
常用的转动惯量：
1) 均匀细棒
o
o
1 2 J o mL 3
o
Jo
1 J o mR 2 2
1 mL2 12
2）均匀圆盘 （圆柱体）：
3）圆环： （薄圆筒）
o
J o mR2
练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：
o o
J
l 2
l
m
l 2
o R
m
1 2 1 J ml mR 2 m(l R ) 2 3 2

AaLeabharlann F drA M d
a
b

动能
1 2 Ek mv 2

1 2 转动动能 Ek J 2
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)



运动定律：F ma d (mv ) 动量定理：F dt 动量守恒： mi vi C
时的速度 v 。 解一：应用机械能守恒定律
A
m1 , R1
O1
m2 , R2
关联方程：v R11 R22
1 2 J 2 m2 R2 2 mgh v 2 m1 m2 2m 1 J1 m1 R12 2
C m
1 2 1 1 2 2 mgh mv J11 J 2 2 2 2 2
D］
5、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关 B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． D）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关 [ C ] 6、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平 地二哑铃．在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒． B）机械能守恒，角动量不守恒． C）机械能不守恒，角动量守恒． D）机械能不守恒，角动量也不守恒．［ C ］
1 T3 m2 ( g a) M 2 a 2
例3
如图所示，A、B 两圆盘可分别绕 O1 ， 2 轴 O
无摩擦地转动。重物 C 系在绳上（绳不伸长），且与圆盘边 缘之间无相对滑动。已知 A、B 的半径分别为 R1 ， 2 ，A 、 R
B、C 的质量分别为m1 ， 2 ，m，求：重物 C 由静止下降 h m
解：1）研究定滑轮的转动。分析所 受力矩。取滑轮转动方向为正。
M

R
0
m
T
1 T R J MR 2 由转动定律： T 2 研究物体的运动。分析受力。取向上为正。
T mg ma
m
mg
关联方程：
a R
T T
联立解得： mgR 78.4(rad / s 2 ) 2
M2
R2
T3
M1
R1
T2
m2
T1
m1
m1 g
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a
m2 g
T3
T2
M2
R2
T3
M1
R1
对M1 、M2分析力矩；由转动定律： 1 (T1 T3 ) R1 M 1 R12 1 2 1 2 (T3 T2 ) R2 M 2 R2 2 2
刚体定轴转动角动量守恒定律：
若 M z 0 ，则Lz J 常量。
3） 刚体定轴转动定律：
M J
4）刚体定轴转动的动能定理：
1 1 2 2 A M d Ek J J0 2 2
合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。
5）刚体的机械能守恒定律: 若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统 机械能守恒.
2、一轻绳绕于半径 r = 0.2m 的飞轮边缘，并施以 F = 98N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于 39.2rad/s2，此飞轮的转动惯量为（

0.5kgm2
0.5kgm2
）
Fr J
F
J
Fr

3、一半径为R、质量为M的圆盘可绕中心轴旋转。圆盘上距离 转轴为R/2处站有一质量为m的人。设开始时圆盘与人相对于地 面以角速度ω0匀速转动，则此人走道圆盘边缘时，人和圆盘一 2 1 R 2M m 2 起转动的角速度为（ ） 0 L0 MR 0 m 0 2 2 2 M 4m 1 L MR 2 mR 2 2 3、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个
力学习题课
力 时间积累：冲量 动量定理 质点 质点系
F 空间转动效应：力矩 角动量定理 质点 质点系 刚体
空间积累：功 动能定理 质点 质点系 保守力 势能
动量守恒定律 质点 质点系
角动量守恒定律 定轴转动定律
动力学知 识点回顾
机械能守恒定律
刚体动能定理
刚体机械能守恒定律
能量守恒定律
一、基本概念：
m
B
mg
l 2
A
h
m
mg
C
m
l mg
l mvA J mul 2
l l mu J 2 2
J为其跷板的转动惯量, 把板看成是窄长条形状。
l 1 2 u v A 2 gl J ml 2 12 l 1 2 mvA J ml 2 2 l mvA 6m (2 gh) 2 1 1 2 (m 6m)l 2 ml ml 12 2
1 2 E J mghc C 2
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)

质点的运动
速度 加速度

dr v dt dv a dt
b

刚体的定轴转动
角速度 角加速度

d dt d dt

质量m, 力F 力的功

转动惯量J , 力矩M 力矩的功
7、均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑 轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到 竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ A）角速度从小到大，角加速度从大到小． B）角速度从小到大，角加速度从小到大． C）角速度从大到小，角加速度从大到小． D）角速度从大到小，角加速度从小到大． [ A ］
C m
h
mg
mgh v 2ah 2 m1 m2 2m
[例4] 一杂技演员A由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端, 并把跷板另一端的演员B弹了起来. 设跷板是匀质的, 长度 为l, 质量为m,支撑板在板的中点C, 跷板可绕点C在竖直平 面内转动, 演员A，B的质量都是m. 假定演员A落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞. 问演员B可弹起多高. 解: 把演员视为质点, A、B和跷 板作为一个系统, 以通过点C 垂直平面的轴为转轴. 由于作用在系统上的合外力 矩为零,故系统的角动量守恒。 l 初状态： L1 rA mv A mv A 2 末状态： L2 LA LB LC mu